Satz 4.20 Jede Potenzreihe besitzt einen Konvergenzradius $ρ$ , der auch 0 oder $\infty$ sein kann.

Bemerkung. Die offene Kreisscheibe in $l C$ mit dem Mittelpunkt $a$ und dem Radius $ρ$ (bzw. das offene Intervall in $I R$ mit dem Mittelpunkt $a$ und der Länge $2 ρ$ ) heißt Konvergenzgebiet oder Konvergenzkreis (bzw. Konvergenzintervall ) und $a$ heißt Mittelpunkt der Potenzreihe $\sum a_{n} {(x - a)}^{n} .$ Innerhalb dieser offenen Kreisscheibe (bzw. des offenen Intervalls) konvergiert die Potenzreihe absolut, außerhalb divergiert sie; auf dem Rande kann sowohl Konvergenz als auch Divergenz vorliegen (man betrachte das Beispiel $\sum \frac{x^{n}}{n}$ für $x = \pm 1$ ).