Satz 4.22 $($ Summe von Potenzreihen $)$

Es seien $\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ und $\sum b_{n} {(x - a)}^{n}$ Potenzreihen mit den Konvergenzradien $ρ_{1}$ bzw. $ρ_{2}$ und $α, β$ seien reelle oder komplexe Zahlen. Dann gilt $:$

$(1)$

Die Potenzreihe

\sum (α \cdot a_{n} + β \cdot b_{n}) \cdot {(x - a)}^{n}

hat einen Konvergenzradius

ρ \geq min {ρ_{1}, ρ_{2}} .

$(2)$

Für

| x - a | < min {ρ_{1}, ρ_{2}}

ist

\sum (α \cdot a_{n} + β \cdot b_{n}) \cdot {(x - a)}^{n} = α \cdot \sum a_{n} {(x - a)}^{n} + β \cdot \sum b_{n} {(x - a)}^{n} .

Beweis. Der Beweis erfolgt sehr leicht mit Hilfe der Sätze über Folgen (von Partialsummen) und über Reihen.

<mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>