Satz 4.23 $($ Produkt von Potenzreihen $)$ Es seien $\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ und $\sum b_{n} {(x - a)}^{n}$ Potenzreihen mit den Konvergenzradien $ρ_{1}$ bzw. $ρ_{2},$ und es sei $c_{n} = \sum_{i + j = n}^{} a_{i} b_{j} (= \sum_{ν = 0}^{n} a_{ν} b_{n - ν}) .$ Dann gilt $:$

$(1)$

Die Potenzreihe

\sum c_{n} {(x - a)}^{n}

hat einen Konvergenzradius

ρ \geq min {ρ_{1}, ρ_{2}} .

(2)

Für

| x - a | < min {ρ_{1}, ρ_{2}}

ist

(\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - a)}^{n}) \cdot (\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} {(x - a)}^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n} .

Beweis. Für

| x - a | < min {ρ_{1}, ρ_{2}}

konvergieren beide Potenzreihen absolut; folglich läßt sich ihr Cauchyprodukt bilden (vgl. Satz 4.14), das auch wenigstens dort absolut konvergiert. Also

ρ \geq min {ρ_{1}, ρ_{2}}

und

(\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - a)}^{n}) \cdot (\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} {(x - a)}^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{ν = 0}^{n} a_{ν} {(x - a)}^{ν} \cdot b_{n - ν} {(x - a)}^{n - ν})

= \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{ν = 0}^{n} a_{ν} b_{n - ν} \cdot {(x - a)}^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(x - a)}^{n} \cdot \underset{= c_{n}}{\underset{︸}{\sum_{ν = 0}^{n} a_{ν} b_{n - ν}}} = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n} .

Für

| x - a | < min {ρ_{1}, ρ_{2}}

konvergiert

\sum c_{n} {(x - a)}^{n}

absolut (vgl. Satz 4.14).

<mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>