Satz 5.4 $($ Stetigkeit der rationalen Operationen $)$ Summe, Differenz, Produkt und Quotient von stetigen Funktionen sind stetig.

Beweis. Mit Hilfe von Satz 5.3 erhält man die Behauptung unmittelbar aus den Grenzwertsätzen für Folgen. Wir skizzieren den Beweis für die Summe. Es sei $x_{n} \to a .$ Dann ist

$(f + g) (x_{n}) = f (x_{n}) + g (x_{n}) \underset{n \to \infty}{\to} f (a) + g (a) = (f + g) (a) .$ <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>