Beweis. Nach Definition der Stetigkeit ist $g$ in $a$ und $f$ in $g\left(a\right)$ definiert, folglich ist $a\in D\left(f\circ g\right)$.

Sei $\left(x_n\right)$ eine Folge in $D\left(f\circ g\right)$ mit $x_n\to a$. Dann ist $g$ in $x_n$ definiert, und wegen $W\left(g\right)\subseteq D\left(f\right)$ ist $f$ in $g\left(x_n\right)$ definiert. Aus der Stetigkeit von $g$ in $a$ folgt: $g\left(x_n\right)\to g\left(a\right).$ Nach Voraussetzung ist $f$ in $g\left(a\right)$ stetig. Dann gilt für jede Folge $\left(y_n\right)$ in $D\left(f\right)$:

     Wenn $y_n\to g\left(a\right)$, so $f\left(y_n\right)\to f\left(g\left(a\right)\right).$

Speziell für $y_n=g\left(x_n\right)$ gilt dann

     $\left(f\circ g\right)\left(x_n\right)=f\left(g\left(x_n\right)\right)=f\left(y_n\right)\underset{}{\to }f\left(g\left(a\right)\right)=\left(f\circ g\right)\left(a\right).$

Nach Satz 5.3 ist also $f\circ g$ in $a$ stetig.   $$