Satz 5.8 Ist $f$ in $[a, b]$ injektiv und stetig, dann ist $f^{- 1}$ in $[α, β]$ stetig, wobei $α = min {f (a), f (b)}$ und $β = max {f (a), f (b)}$ .

Beweis. Nach Satz 5.7 ist $f$ in $[a, b]$ streng monoton. Sei o.B.d.A. $f$ in $[a, b]$ streng monoton wachsend und $α : = f (a), β : = f (b)$ (für „fallend“ verläuft der Beweis analog). Dann ist $f (a) < f (b)$ , und nach dem Zwischenwertsatz werden alle Werte $d$ mit $f (a) < d < f (b)$ durch $f$ angenommen, also $f ([a, b]) = [f (a), f (b)] = [α, β]$ .

Sei $γ \in [α, β]$ . Wir haben zu zeigen, daß $f^{- 1}$ in $γ$ stetig ist.

Dazu sei $(y_{n})$ eine Folge mit $y_{n} \in [α, β]$ und $y_{n} \to γ$ . Wegen $y_{n}, γ \in [α, β] = f ([a, b])$ existieren $x_{n}, c \in [a, b]$ , so daß $f (x_{n}) = y_{n}$ und $f (c) = γ .$ Damit ist $(x_{n})$ eine beschränkte Folge in $[a, b]$ . Folglich besitzt $(x_{n})$ einen Häufungspunkt $c_{0}$ und eine gegen $c_{0}$ konvergierende Teilfolge $(x_{n_{i}}) : x_{n_{i}} \to c_{0}$ . Da $[a, b]$ abgeschlossen ist, gehört $c_{0}$ zu $[a, b]$ . Aus der Stetigkeit von $f$ in $[a, b]$ folgt somit $f (x_{n_{i}}) \underset{}{\to} f (c_{0})$ .

Da $y_{n} \to γ$ und $(y_{n_{i}})$ eine Teilfolge von $(y_{n})$ ist, gilt auch $y_{n_{i}} \to γ$ . Also $y_{n_{i}} \to γ$ und $y_{n_{i}} = f (x_{n_{i}}) \underset{}{\to} f (c_{0})$ , folglich ist

$f (c) = γ = f (c_{0}) .$

Gäbe es einen weiteren Häufungspunkt $c^{'}$ von $(x_{n}),$ so gäbe es eine Teilfolge $(x_{n_{i}}^{'})$ von $(x_{n})$ mit $x_{n_{i}}^{'} \to c^{'}$ . Analog wie im vorhergehenden Teil des Beweises existiert eine Teilfolge $(y_{n_{i}}^{'})$ von $(y_{n})$ mit $y_{n_{i}}^{'} = f (x_{n_{i}}^{'}) \underset{}{\to} f (c^{'})$ . Wegen $y_{n_{i}}^{'} \to γ$ gilt dann auch

$f (c^{'}) = γ = f (c) .$

Aus der Injektivität von $f$ folgt schließlich $c^{'} = c_{0} = c .$ Die beschränkte Folge $(x_{n})$ besitzt also genau einen Häufungspunkt, und dieser ist $c$ , also $x_{n} \to c .$

Nach Voraussetzung gilt: $y_{n} \to γ$ . Folglich ist

$f^{- 1} (y_{n}) = f^{- 1} (f (x_{n})) = x_{n} \underset{}{\to} c = f^{- 1} (f (c)) = f^{- 1} (γ),$

d.h., $f$ ist an der Stelle $γ$ stetig. <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>