Satz 5.12 Für $e^{x}$ gilt $:$ $(1)$ $lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty$ und $lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0 .$ $(2)$

e^{x}

nimmt jeden Wert

y > 0

genau einmal an (

\Rightarrow W (e^{x}) = {y : y > 0} = (0, \infty)

Beweis. (1). Für $x > 0$ ist $e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} > 1 + x$ und $lim_{x \to \infty} (1 + x) = \infty .$ Für $x < 0$ ist $- x > 0$ und somit $e^{x} = \frac{1}{e^{- x}} \underset{x \to - \infty}{\to} 0,$ denn $e^{x} \underset{x \to \infty}{\to} \infty .$

(2). Sei $y > 0$ beliebig. Aufgrund der Eigenschaft (1) gibt es Elemente $a, b \in I R,$ so daß $e^{a} < y < e^{b} .$ Da die Funktion $e^{x}$ in $I R$ stetig ist, nimmt sie nach dem Zwischenwertsatz den Wert $y$ an. Andererseits kann $y$ auch nur einmal angenommen werden, denn $e^{x}$ ist nach Satz 5.11 (4) streng monoton wachsend. <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>