Satz 5.14 Es seien $a, b > 0 .$ Dann gilt $:$

$(1)$ $ln a^{x} = x \cdot ln a,$

$(2)$ $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y},$

$(3)$ ${(a^{x})}^{y} = a^{x y},$

$(4)$ $a^{x} \cdot b^{x} = {(a b)}^{x},$

$(5)$ $a^{x}$ ist stetig.

$(6)$

Für

0 < a < 1

ist

a^{x}

streng monoton fallend, und für

1 < a

ist

a^{x}

streng monoton wachsend, für

a = 1

ist

a^{x}

konstant

1

.

$(7)$

Für

0 < a < 1

ist

lim_{x \to \infty} a^{x} = 0, lim_{x \to - \infty} a^{x} = \infty,

und für

a < 1

ist

lim_{x \to \infty} a^{x} = \infty, lim_{x \to - \infty} a^{x} = 0

.

Beweis. Den Beweis führt man leicht mit Hilfe der Eigenschaften von $e^{x}$ . <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>