Bemerkung. Die Eigenschaften (3) – (6) im Satz 5.16 heißen auch Additionstheoreme von $sin$ und $cos.$

Im folgenden wird die Zahl $\pi$ definiert. Es genügt offensichtlich $\frac{\pi }{2}$ festzulegen, und dies wird sich als kleinste positive Nullstelle von $cos$ erweisen. Dazu müssen wir zeigen, daß $cos$ überhaupt eine kleinste positive Nullstelle besitzt. Hierzu benötigen wir einige Lemmata.

Lemma 1. $cos2<0.$

Beweis. Es ist

     $cos2={\sum }_{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\cdot \frac{2^{2n}}{\left(2n\right)!}={\sum }_{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\cdot \frac{4^n}{\left(2n\right)!}$

        $=\underset{=-\frac{1}{3}<1}{\underbrace{1-2+\frac{4^2}{4!}}}+\underset{\left(\star \right)}{\underbrace{{\sum }_{n=3}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\cdot \frac{4^n}{\left(2n\right)!}}}.$

$\left(\star \right)$ ist eine alternierende Reihe; das erste Glied (für $n=3$) ist negativ und $\left(\right.\frac{4^n}{\left(2n\right)!}\left)\right.$ ist eine monoton fallende Nullfolge. Folglich ist die Reihe konvergent, und ihr Wert (vgl. Beweis des Leibniz-Kriteriums) ist negativ. Insgesamt gilt damit $cos2<0.$   $$