Am Ende von Kapitel 3 haben wir bereits Funktionenfolgen und ihre Konvergenz bzw. gleichmäßige Konvergenz definiert, ohne damit irgendwelche Anwendungen zu verbinden. Bevor wir dies tun, sollen zunächst noch Funktionenreihen definiert werden.

Definition. (Funktionenreihe) Sei $M \subseteq I R$ , $(f_{n})$ eine Folge von Funktionen, die alle in $M$ definiert sind, und es sei $F_{n} : = \sum_{i = 0}^{n} f_{i}$ (die $F_{n}$ sind also ebenfalls in $M$ definierte Funktionen).

(1) Die Folge $(F_{n})$ heißt Funktionenreihe. Bez.: $\sum_{i = 0}^{\infty} f_{i}$ bzw. $\sum_{i = 0}^{\infty} f_{i} (x)$ oder einfach $\sum f_{i}$ bzw. $\sum f_{i} (x)$

(2) $\sum_{i = 0}^{\infty} f_{i}$ ist in $M$ konvergent (bzw. gleichmäßig konvergent ) gegen $f$ =Df $(F_{n})$ ist in $M$ konvergent (bzw. gleichmäßig konvergent) gegen $f$ .

(3)

\sum_{i = 0}^{\infty} f_{i}

ist in

M

absolut konvergent gegen

f

=Df

\sum_{i = 0}^{\infty} | f_{i} |

ist in

M

konvergent gegen

f