Bemerkung. Funktionenreihen sind also spezielle Funktionenfolgen. Alles, was über Funktionenfolgen ausgesagt wird, trifft sinngemäß auch auf Funktionenreihen zu. Potenzreihen sind offenbar spezielle Funktionenreihen.

Wir befassen uns zunächst mit einigen wichtigen Konvergenzkriterien für Funktionenfolgen und -reihen.

Satz 5.18 $($ Cauchysches Konvergenzkriterium für die gleichmäßige Konvergenz $)$ Sei $M \subseteq I R$ und $(f_{n})$ eine Folge von Funktionen, die alle in $M$ definiert sind.

$(1)$ $(f_{n})$ ist in $M$ gleichmäßig konvergent gdw für jedes $ε > 0$ ein $n_{0}$ existiert, so daß für alle $m, n \geq n_{0}$ und alle $x \in M$ gilt $:$ $| f_{m} (x) - f_{n} (x) | < ε .$

$(2)$ $\sum_{i = 0}^{\infty} f_{i}$ ist in $M$ gleichmäßig konvergent gdw für jedes $ε > 0$ ein $n_{0}$ existiert, so daß für alle $m, n \geq n_{0}$ und alle $x \in M$ gilt $:$ $|\sum_{i = 0}^{m} f_{i} (x) - \sum_{i = 0}^{n} f_{i} (x)| < ε$ $($ $\Leftrightarrow |\sum_{i = n + 1}^{m} f_{i} (x)| = |\sum_{i = n + 1}^{n + k} f_{i} (x)| < ε,$ falls $m > n$ und $m = n + k$ ).