Satz 5.19 $($ Majorantenkriterium für Funktionenreihen $)$ Sei $M \subseteq I R, (f_{n})$ eine Folge von Funktionen, die alle in $M$ definiert sind, und es seien $c_{n}$ reelle Zahlen. Ist $| f_{n} (x) | \leq c_{n}$ für fast alle $n$ und alle $x \in M$ , und ist $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n}$ konvergent, dann ist $\sum_{n = 0}^{\infty} f_{n} (x)$ gleichmäßig und absolut konvergent in $M$ .

Beweis. (Der Beweis erfolgt mit Hilfe des Cauchyschen Kriteriums.) Sei $ε > 0$ . Dann ist

$| \sum_{i = n + 1}^{n + k} f_{i} (x) | \leq \sum_{i = n + 1}^{n + k} | f_{i} (x) | \leq \sum_{i = n + 1}^{n + k} c_{i} < ε$

für hinreichend große $n$ . Folglich ist die Funktionenreihe gleichmäßig konvergent. Die absolute Konvergenz erhält man sofort aus dem Majorantenkriterium für Reihen mit konstanten Gliedern. <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>