Satz 5.20 $($ Reelle $)$ Potenzreihen konvergieren in jedem abgeschlossenen Teilintervall ihres Konvergenzbereiches gleichmäßig.

Beweis. Sei $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - a)}^{n}$ eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius $ρ > 0$ und $ρ_{1} < ρ$ . Für $| x - a | \leq ρ_{1} < ρ$ ist $\sum_{}^{} a_{n} {(x - a)}^{n}$ absolut konvergent. Folglich ist $\sum | a_{n} | ρ_{1}^{n}$ konvergent. Mit Hilfe des Majorantenkriteriums für Funktionenreihen erhält man sofort die Behauptung. <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>