Satz 5.21 $($ Stetigkeit der Grenzfunktion $)$ Sei $M \subseteq I R, (f_{n})$ eine in $M$ definierte Funktionenfolge, und alle $f_{n}$ seien in $a$ bzw. in ganz $M$ stetig.

$(1)$ Konvergiert $(f_{n})$ in $M$ gleichmäßig gegen $f$ , dann ist $f$ in $a$ bzw. in $M$ stetig.

$(2)$ Konvergiert $\sum_{}^{} f_{n}$ in $M$ gleichmäßig gegen $f$ , dann ist $f$ in $a$ bzw. in $M$ stetig.

Beweis. (1). Sei $ε > 0$ . Nach Definition der gleichmäßigen Konvergenz existiert ein $n_{0}$ , so daß für jedes $n \geq n_{0}$ und für jedes $x \in M$ gilt:

$| f_{n} (x) - f (x) | < \frac{ε}{2} .$

Wegen der Stetigkeit von $f_{n}$ existiert ein $δ_{n} > 0$ , so daß für jedes $x \in M$ gilt:

Wenn $| x - a | < δ_{n},$ so $| f_{n} (x) - f (a) | < \frac{ε}{3}$ .

Für $| x - a | < δ_{n}$ und $n \geq n_{0}$ erhält man daraus:

$| f (x) - f (a) | \leq \underset{: = (⋆) < \frac{ε}{3}}{\underset{︸}{| f (x) - f_{n} (x) |}} + \underset{: = (⋆ ⋆) < \frac{ε}{3}}{\underset{︸}{| f_{n} (x) - f_{n} (a) |}} + \underset{: = (⋆ ⋆ ⋆) < \frac{ε}{3}}{\underset{︸}{| f_{n} (a) - f (a) |}} < ε .$

( $(⋆), (⋆ ⋆ ⋆) < \frac{ε}{3}$ folgen aus der gleichmäßigen Konvergenz und $(⋆ ⋆) < \frac{ε}{3}$ aus der Stetigkeit der $f_{n}$ .)

(2) folgt sofort aus (1), denn mit $f_{0}, \dots, f_{n}$ ist auch $F_{n} : = \sum_{i = 0}^{n} f_{i}$ stetig. <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>