Satz 6.2 Für alle $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c} \in {I R}^{n}$ und $r \in I R$ gilt $:$

$(1)$ $| \bar{a} | \geq 0$ , und $| \bar{a} | = 0 \Leftrightarrow \bar{a} = \bar{0}$ .

$(2)$ $| r \cdot \bar{a} | = | r | \cdot | \bar{a} |$ .

(\Rightarrow | - \bar{a} | = | \bar{a} |

und

| \bar{a} - \bar{b} | = | \bar{b} - \bar{a} |) .

(Symmetrie des Abstands)

(3)

| \bar{a} + \bar{b} | \leq | \bar{a} | + | \bar{b} | .

(Dreiecksungleichung)

\begin{array}{l} (4) | \bar{a} - \bar{b} | \leq | \bar{a} - \bar{c} | + | \bar{c} - \bar{b} |, \\ (5) | | \bar{a} | - | \bar{b} | | \leq | \bar{a} - \bar{b} | . \end{array}} (Formen der Dreiecksungleichung)

Beweis. (1) und (2) sind trivial (analog wie für komplexe Zahlen). (3) wird mit Hilfe der Schwarzschen Ungleichung bewiesen (analog wie für komplexe Zahlen). (4) und (5) folgen aus (3) wie bei den reellen Zahlen.

<mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>