Satz 6.6 In metrischen Räumen gilt $:$

$(1)$ Die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen ist offen.

$(2)$ Der Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen ist offen.

$(3)$ Die Vereinigung von endlich vielen abgeschlossenen Mengen ist abgeschlossen.

$(4)$ Der Durchschnitt von beliebig vielen abgeschlossenen Mengen ist abgeschlossen.

Beweis. Übungsaufgabe ! Hinweise:

(1). Sei $I$ eine Indexmenge und sei $M_{i}$ für jedes $i \in I$ offen. z.z.: $⋃_{i \in I} M_{i}$ ist offen.

(2). Analog zu (1), aber $I$ endlich.

(3) und (4) folgen aus (1) und (2) mit Hilfe der de Morganschen Formeln:

C (⋂_{i \in I} M_{i}) = ⋃_{i \in I} C (M_{i})

und

C (⋃_{i \in I} M_{i}) = ⋂_{i \in I} C (M_{i})

(vgl. Aufgabe 3, Kapitel 1).