Bemerkungen.
(1) Randpunkte von

M

müssen nicht zu

M

gehören.
(2)

M

ist offen gdw jeder Punkt aus

M

innerer Punkt von

M

ist.
(3)

M

ist abgeschlossen gdw der Rand von

M

(:= Menge aller Randpunkte von

M

) zu

M

gehört.
(4) Nicht jede Menge ist offen oder abgeschlossen.
(5) Es gibt Mengen, die offen und abgeschlossen sind.

Beweis. (1). Beispiel: Das Intervall $M = (0, 1)$ in $I R$ . (2) ist nach Definition trivial. (3). Randpunkte sind offenbar Häufungspunkte oder isolierte Punkte. Daraus folgt die Behauptung. (4). Beispiel: $I M = I R$ und $M = [0, 1)$ . (5). Beispiel: $I M = I R$ und $M = I R$ oder $M = \emptyset$ . <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>

Wir betrachten jetzt Folgen $(x_{n})$ in $I M,$ d.h., für jede natürliche Zahl $n$ ist $x_{n} \in I M$ .