Definition. (Grenzwert ) Sei $f : {I M}_{1} \to {I M}_{2}$ , $a$ ein Häufungspunkt von $D (f)$ und $c \in {I M}_{2}$ . $f$ besitzt in $a$ den Grenzwert $c$ =Df

Für jedes

ε > 0

gibt es ein

δ > 0

, so daß für jedes

x \in D (f)

mit

x \neq a

gilt: Wenn

ρ_{1} (x, a) < δ

, so

ρ_{2} (f (x), c) < ε

Bez.:

lim_{x \to a} f (x) = c

oder

f (x) \underset{x \to a}{\to} c .

Ist $f : {I R}^{n} \to I R, c \in I R$ und $\bar{a}$ ein Häufungspunkt von $D (f)$ , dann gilt: $f$ besitzt an der Stelle $\bar{a}$ den Grenzwert $c$ $\Leftrightarrow$ für jedes $ε > 0$ gibt es ein $δ > 0$ , so daß für jedes $\bar{x} \in D (f)$ mit $\bar{x} \neq \bar{a}$ gilt: Wenn $| \bar{x} - \bar{a} | < δ$ , so $| f (\bar{x}) - c | < ε$ . Für reellwertige Funktionen lassen sich völlig analog wie im eindimensionalen Fall uneigentliche Grenzwerte $\pm \infty$ definieren.