Beweis. Sei $f\left(\overline{a}\right)>0$ (den Fall $f\left(\overline{a}\right)<0$ beweist man analog). Angenommen, die Behauptung ist falsch. Dann gibt es für jede Umgebung $U\left(\overline{a}\right)$ ein $\bar{x}\in U\left(\overline{a}\right)\cap D\left(f\right)$, so daß $f\left(\bar{x}\right)\le 0$. Für die Umgebungen $U\left(\overline{a}\right):=U_{{\epsilon }_n}\left(\overline{a}\right)$ mit ${\epsilon }_n=\frac{1}{n},n=1,2,3,\dots$, existieren dann Elemente ${\bar{x}}_n\in U_{{\epsilon }_n}\left(\overline{a}\right)\cap D\left(f\right)$, so daß $f\left({\bar{x}}_n\right)\le 0$. Es entsteht also eine Folge $\left({\bar{x}}_n\right)$ mit ${\bar{x}}_n\to \overline{a}$. Nach Voraussetzung ist $f$ in $\overline{a}$ stetig, folglich existiert $\underset{n\to \infty }{lim}f\left({\bar{x}}_n\right)=f\left(\overline{a}\right).$ Wegen $f\left({\bar{x}}_n\right)\le 0$ erhält man aus Satz 3.10 (6) sofort $f\left(\overline{a}\right)=limf\left({\bar{x}}_n\right)\le 0$.   ! (Siehe hierzu auch die Abbildungen 6.8 a und 6.8 b)  $$