Satz 6.15 $($ Satz von Weierstraß $)$ Sei $f : {I R}^{n} \to I R, M \subseteq {I R}^{n}$ und $M \neq \emptyset .$ Dann gilt $:$ Ist $f$ in $M$ stetig und $M$ beschränkt und abgeschlossen, dann existieren Minimum und Maximum von $f$ in M (d.h., es gibt Elemente $\bar{a}, \bar{b} \in M$ , so daß $f (\bar{a}) = min f (M)$ und $f (\bar{b}) = max f (M)$ ).

Beweis. Wir zeigen, daß $f$ in $M$ ein Maximum besitzt; für das Minimum erfolgt der Beweis analog. Nach Satz 6.14 ist $f (M)$ beschränkt, folglich existiert $α : = sup f (M) .$ g.z.z.: $α \in M,$ denn dann ist $α$ das Maximum von $f (M) .$

Annahme: $α \notin f (M) .$

Wegen $α = sup f (M)$ ist dann $α > f (\bar{x})$ für alle $\bar{x} \in M .$ Nach Definition des Supremums gilt: Für jedes $ε > 0$ gibt es ein $b \in f (M)$ , so daß $α > b > α - ε .$ Also in jeder $ε$ -Umgebung von $α$ liegt ein Punkt $b \in f (M)$ und $b \neq α;$ somit ist $α$ ein Häufungspunkt von $f (M)$ . Nach Satz 6.14 ist $f (M)$ abgeschlossen, folglich ist $α \in f (M) .$ PICT ! <mi
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