Definition. (gleichmäßige Stetigkeit ) Sei $f : {I M}_{1} \to {I M}_{2}$ und $M \subseteq {I M}_{1}$ . $f$ ist in $M$ gleichmäßig stetig =Df

M \subseteq D (f)

und für jedes

ε > 0

gibt es ein

δ > 0

, so daß für jedes

x, y \in M

gilt: Wenn

ρ_{1} (x, y) < δ

, so

ρ_{2} (f (x), f (y)) < ε

Stetigkeit in einer Menge ist immer punktweise Stetigkeit, d.h., eine Funktion $f$ ist in einer Menge $M$ stetig gdw $f$ in jedem Punkt aus $M$ stetig ist. Wir wollen jetzt anhand einer Funktion $f : M \to I R, M \subseteq I R$ den Unterschied zwischen Stetigkeit und gleichmäßiger Stetigkeit von $f$ in einer Menge $M$ herausarbeiten, wobei man sich unter $M$ ein Intervall vorstellen möge. (Wir wählen hierfür eine formale Schreibweise, um den Unterschied deutlicher hervortreten zu lassen.)

$f$ ist in $M$ stetig $\Leftrightarrow$ $\forall y \in M \forall ε > 0 \exists δ > 0 \forall x \in M (| x - y | < δ \to | f (x) - f (y) | < ε),$ und

$f$ ist in $M$ gleichmäßig stetig $\Leftrightarrow$ $\forall ε > 0 \exists δ > 0 \forall x, y \in M (| x - y | < δ \to | f (x) - f (y) | < ε),$

Bei der Stetigkeit in der Menge $M$ hängt $δ$ von $ε$ und von der betrachteten Stelle $y \in M$ ab; bei der gleichmäßigen Stetigkeit hängt $δ$ nur von $ε$ ab. Wir werden jetzt zeigen, daß aus der gleichmäßigen Stetigkeit die Stetigkeit folgt, daß aber die Umkehrung im allgemeinen falsch ist. Hierbei beschränken wir uns wieder auf reellwertige Funktionen.