Satz 6.16 Sei $f : {I R}^{n} \to I R$ und $M \subseteq D (f)$ . Ist $f$ in $M$ gleichmäßig stetig, dann ist $f$ in $M$ stetig.

Beweis. Der Beweis folgt unmittelbar aus den Definitionen.

Es sei $\bar{a} \in M .$ g.z.z.: $f$ ist in $\bar{a}$ stetig.

Wählt man in der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit speziell $y = \bar{a}$ , dann erhält man: Für jedes $ε > 0$ gibt es ein $δ > 0,$ so daß für jedes $\bar{x} \in M$ gilt: Wenn $| \bar{x} - \bar{a} | < δ,$ so $| f (\bar{x}) - f (\bar{a}) | < ε .$ <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>