Beweis. Annahme: $f$ ist in $M$ nicht gleichmäßig stetig.

Dann gibt es ein $\epsilon >0,$ so daß für jedes $\delta >0$ Elemente $\bar{x},ȳ\in M$ existieren mit $|\bar{x}-ȳ|<\delta$ und $|f\left(\bar{x}\right)-f\left(ȳ\right)|\ge \epsilon .$ Wir wählen jetzt $\delta ={\delta }_i:=\frac{1}{i},i=1,2,3,\dots .$ Für ${\delta }_i$ existieren dann Elemente ${\bar{x}}_i,{ȳ}_i\in M$ mit $|{\bar{x}}_i-{ȳ}_i|<{\delta }_i<\frac{1}{i}$ und $|f\left({\bar{x}}_i\right)-f\left({ȳ}_i\right)|\ge \epsilon .$

Da $M$ beschränkt ist, ist auch die Folge $\left({\bar{x}}_i\right)$ beschränkt. Folglich besitzt $\left({\bar{x}}_i\right)$ einen Häufungspunkt $\overline{a}$ und eine gegen $\overline{a}$ konvergente Teilfolge ${\bar{x}}_{i_j}$. Da $M$ abgeschlossen ist, gilt (analog wie im Beweis von Satz 6.14) $\overline{a}\in M.$ Damit ist $f$ in $\overline{a}$ definiert und stetig. Für die Teilfolge $\left({ȳ}_{i_j}\right)$ von $\left({ȳ}_i\right)$ gilt:

     $|{ȳ}_{i_j}-\overline{a}|\le \left|\underset{\underset{j\to \infty }{\to }0}{\underbrace{{ȳ}_{i_j}-{\bar{x}}_{i_j}}}\right|+\left|\underset{\underset{j\to \infty }{\to }0}{\underbrace{{\bar{x}}_{i_j}-\overline{a}}}\right|\Rightarrow {ȳ}_{i_j}\to \overline{a}.$

Wegen ${\bar{x}}_{i_j}\to \overline{a}$ und ${ȳ}_{i_j}\to \overline{a}$ gilt:

     $f\left({\bar{x}}_{i_j}\right)\to f\left(\overline{a}\right)$ und $f\left({ȳ}_{i_j}\right)\to f\left(\overline{a}\right).$

Also

     $\underset{\ge \epsilon }{\underbrace{|f\left({\bar{x}}_{i_j}\right)-f\left({ȳ}_{i_j}\right)|}}\le \underset{<\frac{\epsilon }{2}}{\underbrace{|f\left({\bar{x}}_{i_j}\right)-f\left(\overline{a}\right)|}}+\underset{<\frac{\epsilon }{2}}{\underbrace{|f\left(\overline{a}\right)-f\left({ȳ}_{i_j}\right)|}}<\epsilon$

falls $j$ hinreichend groß ist.   !   $$