Satz 6.18 Sei $f : {I R}^{n} \to I R$ und $M \subseteq D (f)$ . Existiert eine Konstante $c \in I R,$ so daß für jedes $\bar{x}, ȳ \in M$ gilt $:$ $| f (\bar{x}) - f (ȳ) | \leq c \cdot | \bar{x} - ȳ |$ , dann ist $f$ in $M$ gleichmäßig stetig.

Beweis. Sei o.B.d.A. $c > 0$ und $| f (\bar{x}) - f (ȳ) | \leq c \cdot | \bar{x} - ȳ |$ für alle $\bar{x}, ȳ \in M .$ Weiterhin sei $ε > 0$ beliebig. Wir wählen $δ = \frac{ε}{c} .$ Dann gilt für jedes $\bar{x}, ȳ \in M$ mit $| \bar{x} - ȳ | < δ = \frac{ε}{c} :$

$| f (\bar{x}) - f (ȳ) | \leq c \cdot | \bar{x} - ȳ | < c \cdot δ = c \cdot \frac{ε}{c} = ε .$

Folglich ist $f$ in $M$ gleichmäßig stetig. <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>