Beweis. ($\to$) $f$ habe in $a$ den Grenzwert $c$. Dann gilt: Für jedes $\epsilon >0$ gibt es ein $\delta >0,$ so daß für jedes $x\in D\left(f\right)$ mit $x\ne a$ gilt:      $Wenn|x-a|<\delta ,$ so $|f\left(x\right)-c|<\epsilon .$ Dies gilt insbesondere für alle $x$ mit $x\in D_r\left(f,a\right)\subseteq D\left(f\right)$ bzw. $x\in D_l\left(f,a\right)\subseteq D\left(f\right)$. Damit ist $c$ sowohl rechts- als auch linksseitiger Grenzwert von $f$ in $a$. ($\leftarrow$) $f$ besitze in $a$ einen rechtsseitigen Grenzwert $c_r$ und einen linksseitigen Grenzwert $c_l$ mit $c_r=c_l:=c$. Dann gilt: Für jedes $\epsilon >0$ gibt es ein ${\delta }_r>0$, so daß für jedes $x\in D_r\left(f,a\right)$:

     Wenn $|x-a|<{\delta }_r,$ so $|f\left(x\right)-\underset{=c_r}{\underbrace{c}}|<\epsilon$

und ein ${\delta }_l>0$, so daß für jedes $x\in D_l\left(f,a\right)$:

     Wenn $|x-a|<{\delta }_l,$ so $|f\left(x\right)-\underset{=c_l}{\underbrace{c}}|<\epsilon$.

Für $\delta =min\left\{{\delta }_r,{\delta }_l\right\}$ und für jedes $x\in \underset{D\left(f\right)-\left\{a\right\}}{\underbrace{D_r\left(f,a\right)\cup D_l\left(f,a\right)}}$ gilt dann:

Wenn $|x-a|<\delta ,$ so $|f\left(x\right)-c|<\epsilon$.   $$