Wichtig Die Formeln für Flächeninhalt und Volumen finden Sie in jeder Formelsammlung. Wenn Sie diese häufig Verwenden, werden Sie diese von alleine behalten. Andernfalls reicht es, zu wissen, wie man die Formeln benutzen muss. Bitte lernen Sie die Formeln nicht auswendig.
Definition: Flächeninhalt

Der Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe einer Fläche.

Bei einer Fläche handelt es sich hierbei um eine zweidimensionale, beschränkte Figur. Eine allgemeinere Definition einer Fläche geht über den Stoff des Vorkurses hinaus. Neugierige können die Definition bei Wikipedia mal anschauen. Hier reicht Ihre intuitive Vorstellung einer Fläche bzw. Figur. Zur Vollständigkeiten werden kurz die wichtigsten geometrischen Figuren definiert.

Definition: Polygone, Vielecke, Dreieck,…
  • Ein Polygon oder Vieleck ist eine Figur, die aus mindestens drei Eckpunkten und entsprechender Anzahl an Seiten besteht.

    • Ein Dreieck ist ein Polygon mit drei Eckpunkten und drei Seiten.

    • Ein Viereck ist ein Polygon mit vier Eckepunkten und vier Seiten

      • Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem mindestens zwei Seiten parallel sind.

      • Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem jeweils zwei Seiten parallel sind.

      • Ein Rechteck ist ein Viereck, bei dem alle Innenwinkel rechte Winkel sind.

      • Eine Raute ist ein Viereck, bei dem alle Seiten gleich groß sind.

      • Ein Quadrat ist ein Viereck, bei dem alle Seiten gleich groß sind und alle Winkel rechte Winkel sind.

    • Ein Fünfeck

  • Ein Kreis ist eine Figur, definiert durch alle Punkte, die von einem Punkt (dem Mittelpunkt) den gleichen Abstand (Radius) haben.

Beachten Sie:

  • Ein Quadrat ist eine Raute und ein Rechteck. Warum?

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Ein Quadrat ist ein Viereck und hat nur rechte Winkel, also erfüllt es die Definition eines Rechtecks. Ebenso ist ein Quadrat ein Viereck mit gleich langen Seiten und erfüllt so die Definition der Raute.

  • Rechteck und Raute sind Parallelogramme. Warum?

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Ein Rechteck ist ein Viereck bei dem alle Winkel rechte Winkel sind, das heißt, die Gegenüberliegenden Seite sind jeweils parallel. Somit erfüllt ein Rechteck die Definition eines Parallelogramms. Dadurch, dass bei einer Raute alle vier Seiten gleich lang sind und ein Viereck ergeben, müssen die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel sein. Somit erfüllt eine Raute die Definition des Parallelogramms.

  • Ein Parallelogramm ist ein Trapez. Warum?

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Bei einem Parallelogramm ist ein Viereck bei dem je zwei Seiten parallel sind, dadurch sind auch mindestens zwei Seiten parallel. Somit erfüllt ein Parallelogramm die Definition eines Trapez'.

Beispiel 1. Figuren

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Satz: Formeln für den Flächeninhalt

Mit Hilfe der folgenden Formeln lassen sich die Flächeninhalte verschiedener geometrischer Figuren berechnen.

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Beispiel 2. Beispiel Flächeninhalt

Gegeben ist folgendes "Haus". Gesucht ist die braune Fläche des "Hauses". http://rnll.fh-kl.de/~asciidoc/mv/images/FlaechenUndVolumen/fhkl-flaechen-figuren2.png

Dach: Das Dach ist ein Trapez. Die Fläche eines Trapez' lässt sich mit $\frac{1}{2}(a+c)h$ berechnen. a und c sind gegeben. Die Höhe h muss mit Hilfe eines rechtwinkligen Dreiecks und dem Satz des Pythagoras berechnet werden.

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Die Länge der Seite t ist $(4-1):2=\frac{3}{2}$. Damit ergibt sich für die Höhe des Trapez $h=\sqrt{2,5^2-t^2}=\sqrt{2,5^2-1,5^2}=\sqrt{4}=2.$ Die Fläche des Trapez ist somit $\frac{1}{2}(a+c)h=\frac{1}{2}(4+1)\cdot 2=5$.

Hauswand: Die Hauswand ist ein Rechteck mit zwei Aussparungen in Kreisform. Um den Flächeninhalt der Hauswand zu berechnen wird der Flächeninhalt des Rechtecks minus dem Flächeninhalt der Kreise berechnet. Der Flächeninhalt des Rechtecks ist $4 \cdot 3=12$. Der Flächeninhalt eines Kreises ist $\pi \cdot r^2=\pi \cdot 0,5^2 =0,25\pi$. Somit ergibt sich für den Flächeninhalt der Hauswand $12-2 \cdot 0,25\pi\approx 10,43$.

Weg: Der Weg ist ein Parallelogramm. Auch hier muss die Höhe mit Hilfe eines rechtwinkligen Dreiecks und dem Satz des Pythagoras bestimmt werden.

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Es gilt $h=\sqrt{1,41^2-1^2}\approx\sqrt{1}=1$. Somit ergibt sich für den Weg $2 \cdot 1=2$.

kleines Haus: Das kleine Haus setzt sich zusammen aus einem Quadrat und einem Dreieck. Der Flächeninhalt des Quadrats ist $1 \cdot 1=1$ und der Flächeninhalt des Dreiecks ist $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$. Der Flächeninhalt des kleinen Hauses ist also $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$.

Insgesamt ergibt sich für das "Haus" also den Flächeninhalt von $5+10,43+2+\frac{3}{2}=18,93$.

Definition: Volumen

Unter Volumen versteht man den räumlichen Inhalt eines geometrischen Körpers.

Bei einem Körper handelt es sich hierbei um eine dreidimensionale beschränkte Figur. Auch hier zur Vollständigkeit die wichtigsten Körper:

Definition: Prisma, Pyramiden, Kegel,…
  • Ein Prisma ist ein Körper, bei dem die Grundfläche ein Vieleck ist und dessen Seitenkanten parallel und gleich lang sind. Man unterscheidet dabei gerade (die Parallelverschiebung erfolgt senkrecht zur Grundfläche) und schiefen Prismen.

    • Ein Quader ist ein gerades Prisma, dessen Grundfläche ein Rechteck ist.

    • Ein Würfel ist ein gerades Prisma, dessen Grundfläche ein Quadrat ist und dessen Höhe gleich der Grundseite ist.

    • Ein (gerader Kreis-) Zylinder ist ein gerades Prisma, dessen Grundfläche ein Kreis ist.

  • Eine Pyramide ist ein Körper, der durch ein Vieleck (Grundfläche) und mindesten drei Dreiecken (Seitenflächen), die in einem Punkt (die Spitze der Pyramide) zusammen treffen, begrenzt ist.

  • Ein (gerader Kreis-) Kegel ist ein Körper definiert durch einen Kreis (Grundfläche) und einem Punkt (Spitze des Kegels). Der Kegel ergibt sich, wenn man alle Punkte der Grundfläche mit der Spitze des Kegels verbindet.

  • Eine Kugel ist ein Körper, definiert durch alle Punkte, die von einem Punkt (dem Mittelpunkt) den gleichen Abstand (Radius) haben.

Beispiel 3. Figuren

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Beispiel 4. Beispiel Volumen

Berechnen Sie das Volumen einer Pyramide mit Höhe $h=2$ m und einer quadratischen Grundfläche deren Diagonale $\sqrt{2}$ m ist.

Um die Grundfläche zu berechnen, braucht man als erstes die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche. Diese berechnet man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras \begin{eqnarray*} a^2+a^2=\sqrt{2}^2 \qquad \Rightarrow \qquad a=1 \end{eqnarray*} Die Grundfläche der Pyramide ist also $1m \cdot 1m =1m^2$. Daraus ergibt sich für die Pyramide das folgende Volumen \begin{eqnarray*}V=\frac{1}{3}\cdot G \cdot h=\frac{1}{3}\cdot 1m^2 \cdot 2m=\frac{2}{3}m^3. \end{eqnarray*}