1. Anwendungskontext

Ein Unternehmen verkauft Fernseher. Die Gewinnfunktion (pro verkauftem Fernseher) lautet: $g(x)=-0,002x^3+1,86x^2+18x-1188$. Diese Funktion besitzt drei Nullstellen. Bei einer Stückzahl zwischen der zweiten und dritten Nullstelle macht das Unternehmen einen Gewinn. Durch probieren ergibt sich $g(-30)=0$. Wie viele Fernseher sollte die Firma höchstens/mindestens verkaufen?

Die Polynomdivision kann als mathematisches Werkzeug gesehen werden. Mit Ihrer Hilfe können Gleichungen gelöst, Nullstellen und Asymptoten von Funktionen bestimmt, Integrale mit Hilfe der Partialbruchzerlegung gelöst, … werden.

Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion: \begin{eqnarray*}f(x)=x^3-x^2-2x+2\end{eqnarray*}

2. Lernziele

Am Ende dieses Lernmoduls können Lernende…

  • … Nullstellen von linearen und quadratischen Funktionen berechnen.

  • … den Fundamentalsatz der Algebra nennen.

  • … an Hand eines Beispieles erklären, warum man für die Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms den Fundamentalsatz braucht.

  • … erklären, was eine Polynomidivision ist und wofür man diese braucht.

  • … eine Polynomdivision mit und ohne Rest durchführen.

  • … Nullstellen von (gutartigen) kubischen Funktionen berechnen.

  • … mit Hilfe von Nullstellenberechnungen Anwendungsprobleme lösen.

  • … mit Hilfe des Fundamentalsatzes und der Polynomdivision geeigneten Gleichungen lösen.

3. Jetzt geht’s los

4. Tipps & Tricks

Beim Berechnen von Nullstellen oder Lösungen mit Hilfe der Polynomdivision kann leicht überprüft werden, ob die Polynomdivison richtig durchgeführt wurde. Bleibt bei dieser Art der Polynomdivision ein Rest übrig wurde entweder die falsche Polynomdivision durchgeführt (geratene Lösung oder Nullstelle ist falsch oder ein falscher Ansatz wurde gewählt) oder sich während der Polynomdivision verrechnet.

Beispiel 1. Anwendung des Tricks:

Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion: \begin{eqnarray*} f(x)=x^3+2x^2-x-2 \end{eqnarray*}

Die Funktion hat eine Nullstell bei $x=-2$. Häufiger Fehler: \begin{eqnarray*} (x^3+2x^2-x-2):(x-2) \end{eqnarray*} Führt man diese Polynomdivison aus bleibt ein Rest von $-4$. Die richtige Polynomdivision lautet: \begin{eqnarray*} (x^3+2x^2-x-2):(x-(-2))\end{eqnarray*} bzw. \begin{eqnarray*} (x^3+2x^2-x-2):(x+2) \end{eqnarray*}

5. Wissenskontrolle

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6. Zurück zum Anfang

Ein Unternehmen verkauft Fernseher. Die Gewinnfunktion (pro verkauftem Fernseher) lautet: $g(x)=-0,002x^3+1,86x^2+18x-1188$. Diese Funktion besitzt drei Nullstellen. Bei einer Stückzahl zwischen der zweiten und dritten Nullstelle macht das Unternehmen einen Gewinn. Durch probieren ergibt sich $g(-30)=0$. Wie viele Fernseher sollte die Firma höchstens/mindestens verkaufen?

Lösung ausblenden

Da die erste Nullstelle gegeben ist, können die beiden anderen Mittels Polynomdivision berechnet werden: \begin{eqnarray*}(&-0,002x^3&+&1,86x^2&+&18x&-&1188&):(x+30)=-0,002x^2+1,92x-39,6\\ -(&-0,002x^3&-&0,06x^2&)&&&&\\ &0&+&1,92x^2&+&18x&-&1188& \\ &&-(&1,92x^2&+&57,6x&)&&\\ &&&0&-&39,6x&-&1188&\\ &&&&-(&-39,6x&-&1188&)\\ &&&&+&0&+&0& \end{eqnarray*} Das nun entsandene Polynom muss 0 gesetzt werden und dann mit Hilfe der abc- oder p,q-Formel bzw. mit Hilfe der quadratischen Ergänzung gelöst werden. Es ergeben sich die Nullstellen $x_1\approx 938,92$ und $x_2\approx 21,09$. Das Unternehmen sollte also mindestens 22 und höchstens 938 Fernseher verkaufen.

Die Polynomdivision kann als mathematisches Werkzeug gesehen werden. Mit Ihrer Hilfe können Gleichungen gelöst, Nullstellen und Asymptoten von Funktionen bestimmt werden, Integrale mit Hilfe der Partialbruchzerlegung gelöst werden,…

Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion: \begin{eqnarray*}f(x)=x^3-x^2-2x+2\end{eqnarray*}

Lösung ausblenden

Die erste Nullstelle kann durch raten bestimmt werden. Sie ist bei$x=1$. Die zweite und dritte Nullstelle kann dann mittels Polynomdivision ermittelt werden: \begin{eqnarray*}(&x^3-x^2&&-2x+2&):(x-1)=x^2-2\\ -(&x^3-x^2&)&&\\ &0+0&&-2x+2& \\ &&-(&-2x+2&)\\ &&&&0 \end{eqnarray*} Das nun entsandene Polynom muss 0 gesetzt und anschließend gelöst werden. Es ergeben sich als weitere Nullstellen $x_1=\sqrt(2)$ und $x_2=-\sqrt(2)$