Definition: Nullstelle

Gegeben ist eine Funktion $f$. Gilt $f(x_0)=0$, so wird $x_0$ Nullstelle der Funktion $f$ genannt.

Die Nullstellen einer Funktion sind die x-Werte der Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse.

Beispiel 1. Nullstellen

a) Die Funktion $f(x)=3x+5$ hat eine Nullstelle bei $x_0=-\frac{5}{3}$, weil $f(-\frac{5}{3}=3\cdot (-\frac{5}{3})-5=0$.

b) Die Funkiton $f(x)=x^2+x-2$ hat eine Nullstelle bei $x_0=1$ und eine Nullstelle bei $x_1=$-2$, weil $f(1)=0$ und $f(-2)=0$.

c) Die Funktion $f(x)=\frac{x^2-4}{3x-2}$ hat Nullstellen bei $x_0=2$ und bei $x_1=-2$, weil $f(2)=0$ und $f(-2)=0$.

Um die Nullstellen einer Funktion zu berechnen, wird die Funktion gleich Null gesetzt und anschließend nach x aufgelöst. Bei linearen Funktionen und quadratischen Funktionen bzw. ganzrationalen Funktionen (Funktionen, die im Zähler und Nenner jeweils ein Polynom haben) bei denen der Zähler auch nur ein Polynom ersten oder zweiten Grades ist, ist dies kein Problem. Um die Gleichung nach x aufzulösen werden einfach die bekannten Äquivalenzumformungen bzw. die bekannten Lösungsformel benutzt. Sobald aber Polynome höheren Grades auftreten, lassen sich Lösungen nicht mehr so leicht berechnen.

Beispiel 2. Nullstellen berechnen

a) Um die Nullstellen der Funktion $f(x)=-2x+4$ zu berechnen, setzt man die Funktionsvorschrift gleich 0 und bestimmt anschließend die Lösungsmenge: \begin{eqnarray*} -2x+4&=&0\\ -2x&=&-4\\ x&=&2 \end{eqnarray*} Also hat die Funktion $f(x)=-2x+4$ eine Nullstelle bei $x_1=2$.

b) Analog ist das vorgehen bei quadratische Funktionen, zum Beispiel $f(x)=x^2-x-6$. Hier kann die Lösungsmenge mit Hilfe quadratischer Ergäenzung, der a,b,c- oder p,q-Formel bestimmt werden: \begin{eqnarray*} x^2-x-6&=&0\\ x_{1,2}&=&\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{1\pm5}{2}=\begin{cases} 3\\-2\end{cases} \end{eqnarray*} Also hat die Funktion $f(x)=x^2-x-6$ Nullstellen bei $x_1=3$ und $x_2=-2$.

c) Auch bei Funktionen höheren Grades, zum Beispiel $f(x)=x^3-x^2+x+4$, kann die Funktion gleich Null gesetzt werden. Allerdings fehlen hier Methoden bzw. Lösungsformel um die Lösungsmenge zu bestimmen. \begin{eqnarray*} x^3-x^2+x+4&=&0\\ x&=&??? \end{eqnarray*}

Ein bekanntes Vorgehen aus der Schulmathematik ist die erste Nullstelle zu raten und dann mit Hilfe der Polynomdivision Nullstellen eines Polynoms kleineren Grades zu bestimmen. Dieses Vorgehen beruht auf dem folgenden wichtigen Satz:

Satz: Abspaltung eines Linearfaktors

Sei $f(x)$ ein Polynom vom Grad $n \leq 1$. Es gilt $f(x_0)=0$. Dann gibt es genau ein Polynom $g(x)$ vom Grad $n-1$ mit der Eigenschaft: \begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \cdot (x-x_0) \qquad (*) \end{eqnarray*}

Beispiel 3. Absplatung eines Linearfaktors

Für die Funktion $ f(x)=x^2+3x-4$ gilt $f(1)=0$. Also existiert eine Funktion $g(x)$ vom Grad 1 (also eine Gerade) so, dass: \begin{eqnarray*} f(x)=g(x)\cdot (x-1) \end{eqnarray*} Dabei hat $g$ die folgende Funktionsvorschrift $g(x)=x+4$.

Wie aber genau, wird nun die Funktionsvorschrift von g bestimmt? Dazu wird die Gleichung (*) aus obigen Satz nach g aufgelöst:

\begin{eqnarray*} f(x)&=&g(x) \cdot (x-x_0) \\ g(x)&=&\frac{f(x)}{x-x_0}. \end{eqnarray*}

Es ensteht eine sogenannte Polynomdivision. Gesucht wird also ein Weg ein Polynom durch ein anderes Polynom zu teilen.

Anleitung zur Polynomdivision

Um den Quotienten (=Ergebnis einer Division) zweier Polynome zu berechnen, müssen die folgenden Schritte nacheinander durchgeführt werden:

  1. Schreiben Sie die Polynome jeweils sortiert nach dem Exponenten in absteigender Reihenfolge auf.

  2. Dividieren Sie den ersten Term des Zählerpolynoms durch den ersten des Nennerpolynoms und notieren Sie das Ergebnis.

  3. Multiplizieren Sie dieses Ergebnis mit dem Nennerpolynom und subtrahieren Sie alles vom Zählerpolynom.

  4. Wiederholen Sie die Schritte 2.-4. mit dem Restpolynom in analoger Weise so lange, bis der Grad des Restpolynoms kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms.

  5. Der Rest wird als Zähler eines Bruches mit dem Nennerpolynom als Nenner addiert.

Zu kompliziert? Kein Problem. Hier können Sie sich Schritt für Schritt eine Polynomdivision anschauen:

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