1. Anwendungskontext

Die Polynomdivision kann als mathematisches Werkzeug gesehen werden. Mit Ihrer Hilfe können Gleichungen gelöst, Nullstellen und Asymptoten von Funktionen bestimmt, Integrale mit Hilfe der Partialbruchzerlegung gelöst, … werden.

Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion: \begin{eqnarray*}f(x)=x^3-x^2-2x+2\end{eqnarray*}

2. Lernziele

Am Ende dieses Lernmoduls können Lernende…

  • … den Fundamentalsatz der Algebra nennen.

  • … an Hand eines Beispieles erklären, warum man für die Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms den Fundamentalsatz braucht.

  • … eine Polynomdivision mit und ohne Rest durchführen.

  • … mit Hilfe des Fundamentalsatzes und der Polynomdivision Nullstellen einer geeigneten Polynomfunktion berechnen.

  • … mit Hilfe des Fundamentalsatzes und der Polynomdivision geeigneten Gleichungen lösen.

3. Jetzt geht’s los

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4. Tipps & Tricks

Beim Berechnen von Nullstellen oder Lösungen mit Hilfe der Polynomdivision kann leicht überprüft werden, ob die Polynomdivison richtig durchgeführt wurde. Bleibt bei dieser Art der Polynomdivision ein Rest übrig wurde entweder die falsche Polynomdivision durchgeführt (geratene Lösung oder Nullstelle ist falsch oder ein falscher Ansatz wurde gewählt) oder sich während der Polynomdivision verrechnet.

Beispiel 1. Anwendung des Tricks:

Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion: \begin{eqnarray*} f(x)=x^3+2x^2-x-2 \end{eqnarray*}

Die Funktion hat eine Nullstell bei $x=-2$. Häufiger Fehler: \begin{eqnarray*} (x^3+2x^2-x-2):(x-2) \end{eqnarray*} Führt man diese Polynomdivison aus bleibt ein Rest von $-4$. Die richtige Polynomdivision lautet: \begin{eqnarray*} (x^3+2x^2-x-2):(x-(-2))\end{eqnarray*} bzw. \begin{eqnarray*} (x^3+2x^2-x-2):(x+2) \end{eqnarray*}

5. Wissenskontrolle

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6. Zurück zum Anfang

Die Polynomdivision kann als mathematisches Werkzeug gesehen werden. Mit Ihrer Hilfe können Gleichungen gelöst, Nullstellen und Asymptoten von Funktionen bestimmt werden, Integrale mit Hilfe der Partialbruchzerlegung gelöst werden,…

Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion: \begin{eqnarray*}f(x)=x^3-x^2-2x+2\end{eqnarray*}

Lösung ausblenden

Die erste Nullstelle kann durch raten bestimmt werden. Sie ist bei$x=1$. Die zweite und dritte Nullstelle kann dann mittels Polynomdivision ermittelt werden: \begin{eqnarray*}(&x^3-x^2&&-2x+2&):(x-1)=x^2-2\\ -(&x^3-x^2&)&&\\ &0+0&&-2x+2& \\ &&-(&-2x+2&)\\ &&&&0 \end{eqnarray*}