Wird im ersten Quadranten (postive x- und y-Richtung) ein beliebiger Punkt auf den Einheitskreis (das ist der Kreis mit Mittelpunkt im Urspurng des Koordinatensystems und dem Radius 1) gezeichnet, so steht in der x-Koordinate des Punktes der Sinus des Winkels zwischen der positiven x-Achse und dem Punkt. In der y-Koordinate steht entsprechend der Kosinus des Winkeld zwischen der positiven y-Achse und dem Punkt.

http://rnll.fh-kl.de/~asciidoc/mv/images/Winkelfunktionen/Einheitskreis.png

Dies gilt, da im eingezeichneten Dreieck für Sinus und Cosinus die folgenden Bedingungen gelten:

\begin{eqnarray*} \cos(\alpha)=\frac{x}{1}=x \\ \sin(\alpha)=\frac{y}{1}=y \\ \end{eqnarray*}

Wird dieser Ansatz für alle Winkel größer als 90 Grad oder kleiner als 0 Grad verallgemeinert und der Cosinus als x-Koordinate und der Sinus als y-Koordinate definiert, so entstehen die folgenden Funktionen.

Herleitung der Graphen (Achtung die Winkel sind hier im Bogenmaß):

GEOGEBRA ANIMATION

Definitionsmenge: Reele Zahlen $\mathbb{R}$ Zielmenge: $[-1,1$]

Dabei wiederholen sich Sinus und Kosinus nach jeweils 360 Grad. Deshalb heißen sie auch periodischen Funktionen mit Phasenlänge 360 Grad bzw. $2\pi$. Die Sinusfunktion ist Punktsymmetrisch (zum Ursprung) und der Cosinus Achsensysmmetrisch (zur y-Achse). Außerdem ergibt sich aus dieser Verallgemeinerung und dem Satz des Pytahgoras sofort die folgende Beziehung.

Satz: Sinus und Cosinus

Es gilt: \begin{eqnarray*} \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1 \end{eqnarray*} Dabei steht $\sin^2(\alpha)$ als abkürzende Schreibweise für $(\sin(\alpha))^2$. Analog beim Kosinus.