Die Mathematik 2 teilt sich auf in einen Teil in der die Analysis aus Mathematik 1 fortgesetzt wird und in den zweiten Teil in dem Grundbegriffe aus dem Bereich Lineare Algebra eingeführt werden. In Kapitel 1 wird zunächst die Integralrechnung eingeführt und Rechenregeln zu diesen hergeleitet. Außerdem wird gezeigt, wie der Computer zur Berechnung von Integralen eingesetzt werden kann, an welchen Stellen der Computer an seine Grenzen stößt und wie Integrale mit Hilfe von Computern nummerisch berechnet werden können. Das zweite Kapitel wird dann den Differentialgleichungen gewidmet sein. Hier werden vor allem die Grundbegriffe veranschaulicht und gezeigt, wie man mit dem Rechner Lösungen approximieren kann. Ab Kapitel 3 werden dann die Grundlagen der Linearen Algebra eingeführt. Besonderes werden wir hier auf Übergangsmatrizen eingehen, die unter anderem genutzt werden um Populationssimulationen durchzuführen.
1. Integralrechnung
1.1. Einführung
Der Fieberverlauf eines Erkrankten kann mit Hilfe mathematischer Funktionen modelliert werden. Wird von einer durchschnittlichen Körpertemperatur von 36,5°C bei einem gesunden Menschen ausgegangen, so kann bereits nach einer ersten Messung zum Beispiel eine Stunde nach Ausbruch der Krankheit der Fieberverlauf ermittelt werden. Dazu wird der Parameter a der folgenden Funktion bestimmt.
\begin{eqnarray*} K(t)=36,5+t\cdot e^{at} \end{eqnarray*}
Besonders kritisch wird es dabei, wenn die höchste Temperatur einen kritischen Punkt übersteigt bzw. wenn die Durchschnittstemperatur der ersten 48 Stunden über einem kritischen Wert liegt. Mit fiebersenkenden Mittel kann dann im Notfall frühzeitig eingegriffen werden.
Eine Stunde nach Ausbruch der Krankheit wird bei einem Erkrankten eine Temperatur von 37,4048 °C gemessen.
In Mathematik 1 haben Sie bereits gelernt, wie der Parameter a bestimmt und wie dann mit Hilfe der Ableitungen die höchste Körpertemperatur und den dazugehörigen Zeitpunkt berechnet werden kann.
Bestimmen Sie den Parameter a und ermitteln Sie die Körperhöchsttemperatur des Erkrankten.
$a=-0,1$ und $H=(10;40,18)$
Im folgenden Kapitel wird sich nun dem zweiten Teil der Fragestellung angenähert. Es wird versucht die Durchschnittstemperatur in den ersten 48 Stunden zu berechnen. Ein erster Ansatz hierzu könnte sein, dass die Temperatur jeweils zur vollen Stunde berechnet wird und anschließend mit den diskreten Wertepaaren der Durchschnittswert ermittelt wird.
Die 48 Werte werden berechnet und aufsummiert und anschließend durch 48 geteilt um die durchschnittliche Temperatur zu bekommen. Schon diese wenigen Werte machen von Hand keinen Spaß mehr. Hier kann jedoch gut mit einem Tabellenkalkulationsprogramm gearbeitet werden.
Im nächsten Schritt könnte man nun auf die Idee kommen, jede halbe Stunden den Wert zu berechne und anschließend den Mittelwert dieser Werte zu bestimmen.
Je mehr Werte gemessen werden, desto genauer ist der Durchschnittswert. Lässt man die Anzahl der gemessenen Werte gegen Unendlich laufen bekommt man einen exakten mathematischen Durchschnittswert. Im Folgenden soll sich dieser mathematischen exakte Lösung nun genauer genähert werden.
Im ersten Versuch wurde sich der Funktion angehnähert indem angenommen wurde, dass die Temperatur während der folgenden Stunde konstant bleibt. Es entsteht dann eine Aneinanderreihung konstanter Funktionen. Im folgenden Bild wird dies angedeutet.
Mit dem Aufsummieren wurde somit die Fläche der entstandenen 48 Rechtecke berechnet. (Genauer wird hier die mathematische Linkssumme berechnet.)
Auch hier gilt, je mehr Rechtecke benutzt werden, desto genauer wird der durchschnittliche Wert berechnet. Insgesamt kann hier gesagt werden, dass sich der exakte mathematische durchschnittliche Wert ergibt, indem man den Flächeninhalt unterhalb der Kurve durch die Länge des Intervalls (hier im Beispiel 48) teilt.
Ziel ist es also, den Flächeninhalt exakt zu berechnen um dann den exakten Durchschnittswert zu erhalten. Der Flächeninhalt wird mit einer ähnlichen Idee wie oben angenähert. Zunächst wird das Intervall, indem man die Fläche berechnen will, in n gleich große Teile unterteilt. In jedem Teil wird dann ein Rechteck eingezeichnet, welches komplett unterhalb des Funktionsgraphen liegt. Die Summe der Fläche dieser Rechtecke ergibt dann eine untere Grenze für den Flächeninhalt. Der mathematische Fachbegriff hierfür lautet Untersumme. Analog kann man in jedes Teil ein Rechteck einzeichnen, welches mit dem oberen Rand komplett oberhalb des Graphen liegt. Die Summe der Fläche dieser Rechtecke ergibt dann eine obere Grenze für den Flächeninhalt. Der mathematische Fachbegriff hierfür lautet Obersumme. Der Flächeninhalt liegt also zwischen der Ober- und der Untersumme. Je feiner die Unterteilung gewählt wird (also je mehr Rechtecke eingezeichnet werden) desto besser werden die Abschätzungen und desto näher kommen sich diese zwei Werte. Lässt man die Anzahl der Rechtecke gegen Unendlich laufen, erhält man den exakten Flächeninhalt. Der Flächeninhalt ist dann der Grenzwert der Ober- bzw. Untersumme (welche hier identisch sind).
Da dieser Grenzwert so wichtig ist, hat man für ihn ein eigens mathematisches Symbol (das Integral) eingeführt. Das Integral $\int_a^b f(x) dx$ gibt den Flächeninhalt der Fläche zwischen Funktion und x-Achse im Bereich zwischen a und b an. Flächen oberhalb der Achse gehen dabei positiv ein, Flächen unterhalb der Achse negativ. Dabei ist a die untere Grenze des Integrals und b die obere Grenze des Integrals. dx gibt das Ende des Integrals an und gibt die Variable nach der integriert werden soll (hier x) an.
Die durchschnittliche Wert (auch Mittelwert) einer (stetigen) Funktion im Intervall $[a,b]$ergibt sich durch:
\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx \end{eqnarray*}
Das Integral steht dabei für den exakten Wert zwischen Funktion und x-Achse. Achtung, Flächen unterhalb der Achse gehen dabei negativ ein. Es handelt sich also strenggenommen um eine Flächenbilanz.
Soll tatsächlich die Fläche berechnet werden, so kann entweder mit dem Betrag der Funktion gearbeitet werden oder die Flächenabschnitte können separat berechnet werden und anschließend deren Beträge addiert werden. Wichtig ist dabei, dass sich bewusst gemacht wird, was genau berechnet werden soll und dass beachtet wird, was das Integral genau ergibt/bedeutet/berechnet.
Mit Hilfe der Bedeutung des Integrals ergeben sich auch direkt die folgenden Rechenregeln für Integrale:
\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x) dx+\int_b^c f(x) dx= \int_a^c f(x) dx \end{eqnarray*}
und
\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x) dx+\int_a^b g(x) dx= \int_a^b f(x) +g(x)dx \end{eqnarray*}
Wenn Sie von der zweiten Regel noch nicht überzeugt sind, versuchen Sie mal in GeoGebra die Situation nach zu bauen.
1.2. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Eine anschauliche Einführung mit Hilfe des Teppichabrollens (eine Methode, die von Prof. Dr. Dörte Haftendorn in ihrem Buch
[Haftendorn, Dörte. Mathematik sehen und verstehen. Schlüssel zur Welt. Spektrum. 2010]
und auf ihrer Homepage
[http://www.mathematik-verstehen.de/]
beschrieben wird) in den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung finden Sie im OLAT Kurs. Dort werden der Sachverhalt und dieser fundamentale Zusammenhang der Analysis anschaulich erarbeitet. Im folgenden Abschnitt des Skriptes wird der Satz "nur" formal angegeben und bewiesen.
Ein wichtiges Hilfsmittel zum exakten Berechnen von Integralen ist die Erkenntnis, dass die Integration und die Differentiation "Umkehroperatoren" voneinander sind. Diese fundamentale Erkenntnis wird im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung festgehalten.
Der Beweis dieses Satzes ist eigentlich ganz leicht. Jedoch wird noch ein Hilfsmittel benötigt, der Mittelwertsatz. Der Mittelwertsatz sagt anschaulich aus, dass es einen Punkt ($P=(\xi, f(\xi))$auf der (stetigen) Funktion gibt, dessen Wert genau die durchschnittliche Höhe ist und dass die Fläche unterhalb der Funktion zwischen a und b, also das Integral $\int_a^b f(x)dx$, auch als Rechteck mit Grundseite "ab" und der durchschnittlichen Höhe berechnet werden kann. Das Integral $\int_a^b f(x)dx$ ist also das gleiche wie $(b-a)\cdot f(\xi)$.
Mit Hilfe der Animation, die Sie online finden, können Sie diesen Sachverhalt noch einmal an einer beliebigen Funktion nachvollziehen.
Nun wird im Folgenden mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bewiesen. Die erste Aussage die gezeigt werden muss ist das $F(x)$ differenzierbar ist und das gilt $F'(x)=f(x)$. Eine Funktion $F$ ist differenzierbar, wenn der folgende Grenzwert existiert:
\begin{eqnarray*} \lim_{h\rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \end{eqnarray*}
Für die Funktion F gilt $F(x)=\int_{x_0}^x f(t) dt$ also ist $F(x+h)=\int_{x_0}^{x+h} f(t) dt$ und damit:
\begin{eqnarray*} \lim_{h\rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}&=&\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\int_{x_0}^{x+h} f(t) dt-\int_{x_0}^x f(t) dt}{h}\\ &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left( \int_{x_0}^{x+h} f(t) dt-\int_{x_0}^x f(t) dt \right)\\ &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) dt \end{eqnarray*}
Der letzte Schritt lässt sich anschaulich sehr gut an einer Skizze nachvollziehen:
Durch die Überlegungen vorher, also durch den Mittelwertsatz, folgt nun, dass es eine Zahl $\xi_h$ gibt, so dass gilt \begin{eqnarray*} \int_{x}^{x+h} f(t) dt = f(\xi) \cdot ((x+h)-x)= f(\xi_h) \cdot (x+h-x)=f(\xi_h) \cdot h \end{eqnarray*}
Beide Gleichungen zusammengehängt ergeben:
\begin{eqnarray*} \lim_{h\rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}&=&\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\int_{x_0}^{x+h} f(t) dt-\int_{x_0}^x f(t) dt}{h}\\ &=& \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left( \int_{x_0}^{x+h} f(t) dt-\int_{x_0}^x f(t) dt \right)\\ &=& \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) dt\\ &=& \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h} (f(\xi_h) \cdot ((x+h)-x))\\ &=& \lim_{h\rightarrow 0} \frac{1}{h} (f(\xi_h) \cdot h)\\ &=& \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(\xi_h) \cdot h}{h} \\ &=& \lim_{h\rightarrow 0} f(\xi_h) \end{eqnarray*}
Auf Grund der Stetigkeit und weil $\xi_h \rightarrow x$ für $x \rightarrow 0$ gilt:
\begin{eqnarray*} \lim_{h\rightarrow 0} f(\xi_h)=f(x). \end{eqnarray*}
Also ist die Funktion F differenzierbar und es gilt $F'(x)=f(x).
Für den zweiten Teil der Aussage gilt: \begin{eqnarray*} F(b)-F(a)=\int_{x_0}^b f(t) dt - \int_{x_0}^a f(t) dt = \int_{a}^{b} f(t) dt \end{eqnarray*}
Der letzte Schritt folgt wieder wie beim ersten Teil der Aussage.
Mit Hilfe des Hauptsatzes ergibt sich nun auch direkt eine weitere Rechenregel für Integrale:
\begin{eqnarray*} \int_a^b c \cdot f(x) dx= c \cdot \int_a^b f(x) dx \end{eqnarray*}
Berechnen Sie beide Seiten mit Hilfe des Hauptsatzes und vergleichen Sie die Ergebnisse.
1.3. Uneigentliche Integrale
Bisher wurden nur Integrale betrachtet deren Wert endlich war. Ist das bei allen Integralen so? Wie sieht es mit dem Integral \begin{eqnarray*} \int_{0}^1 \frac{1}{x} dx \end{eqnarray*} aus? Die Funktion geht für $x \rightarrow 0$ gegen unendlich. Lässt sich trotzdem die Fläche berechnen? Oder wie sieht es mit dem Integral \begin{eqnarray*} \int_{0}^\infty \frac{1}{e^x} dx \end{eqnarray*} aus? Die Funktion geht für $x \rightarrow \infty$ gegen Null. Dafür ist die Grundseite unendlich lange. Lässt sich trotzdem die Fläche berechnen?
Das Problem bei obigen Integralen ist, dass der Wert Null bzw. Unendlich nicht in die Funktion bzw. deren Stammfunktion eingesetzt werden kann. Der Hauptsatz hilft hier direkt also nicht weiter. Es wird an dieser Stelle von uneigentlichen Integralen gesprochen.
Achtung nicht jedes uneigentliche Integral existiert (also ist endlich). Es kann auch sein, dass das Integral (also anschaulich die Fläche) unendlich groß wird. Denken Sie zum Beispiel an das Integral $\int_0^\infty x dx$ hier ist direkt klar, dass die Fläche nicht endlich ist. Wie sieht es aber mit den beiden obigen Integralen aus? Sind hier die Flächen endlich? Ein "Trick" um sich der Frage zu nähern ist mit einer Variable, die sich dem verbotenen Wert nähert zu arbeiten. Es werden also die beiden folgenden Umformungen benutzt: \begin{eqnarray*} \int_{0}^1 \frac{1}{x} dx = \lim_{a \rightarrow 0} \int_{a}^1 \frac{1}{x} dx \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \int_{0}^\infty \frac{1}{e^x} dx = \lim_{b \rightarrow \infty} \int_{0}^b \frac{1}{e^x} dx \end{eqnarray*}
Nun kann mit Hilfe des Hauptsatzes (und eventuell einer Formelsammlung um die Stammfunktion von $\frac{1}{x}$ abzulesen) gearbeitet werden:
\begin{eqnarray*} \lim_{a \rightarrow 0} \int_{a}^1 \frac{1}{x} dx &=& \lim_{a \rightarrow 0} [ln(x)]_a^1\\ &=& \lim_{a \rightarrow 0} (ln(1)-ln(a))\\ &=&\lim_{a \rightarrow 0} ln(1) -\lim_{a \rightarrow 0} ln(a) \\ "&=& ln(1)-(-\infty)\\ &=&0+\infty\\ &=&\infty" \end{eqnarray*}
Die letzten Schritte stehen hier in Anführungszeichen, da es sich bei $\infty$ nicht um eine Zahl handelt, mit der im eigentlichen Sinn gerechnet werden kann. Es wird aber hier schnell deutlich, dass die Fläche nicht endlich ist. Versuchen Sie mal das Integral $\int_0^\infty \frac{1}{x} dx$ zu berechnen und Ihre Lösung mit Hilfe der Reihe $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k}$ in Verbindung zu bringen.
\begin{eqnarray*} \int_{0}^\infty \frac{1}{e^x} dx &=& \lim_{a \rightarrow \infty} \int_{0}^b \frac{1}{e^x} dx\\ &=&\lim_{a \rightarrow \infty} [-\frac{1}{e^x}]_0^a\\ &=&\lim_{a \rightarrow \infty} (-\frac{1}{e^a})-(-\frac{1}{e^0})\\ &=&\lim_{a \rightarrow \infty}(-\frac{1}{e^a}) - \lim_{a \rightarrow \infty} (-\frac{1}{e^0})\\ &=&\lim_{a \rightarrow \infty}(-\frac{1}{e^a}) - \lim_{a \rightarrow \infty} (-1)\\ &=&\lim_{a \rightarrow \infty}(-\frac{1}{e^a}) +1 \\ &=&0+1\\ &=&1 \end{eqnarray*}
Hier haben wir ein unendliches Integral betrachtet, welches trotzdem einen endlichen Wert liefert. Versuchen Sie mal das Integral $\int_0^\infty \frac{1}{x^2} dx$ zu berechnen und Ihre Lösung mit Hilfe der Reihe $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k^2}$ in Verbindung zu bringen.
Sie können die Ergebnisse auch mit Hilfe von GeoGebra überprüfen. Wie reagiert GeoGebra bei einem unendlichen Integral? Beide Bilder oben sind auch mit Hilfe von GeoGebra entstanden, bei dem ersten Bild musste ich allerdings etwas "tricksen". Wundern Sie sich also nicht, wenn das (unendlich) Integral nicht eingezeichnet wird.
1.4. Computereinsatz, nummerische Verfahren und sonstiges
Wie bereits festgestellt, können heute Computer beliebige Integrale schnell und einfach berechnen. Meistens benutzen Sie dazu aber nicht den Hauptsatz sondern numerische Verfahren. Eines dieser Verfahren haben wir bereits im Einführungsbeispiel gesehen. Das Integral kann mit Hilfe von Ober- und Untersummen approximiert werden. Je feiner dabei die Zerlegung (also in je mehr Stücke das Intervall unterteilt wird) desto genauer ist dieser nummerische Wert. Neben diesem Verfahren gibt es noch weiter (bessere und schnellere) nummerische Verfahren. Achtung, wir haben bereits gesehen, dass der Computer auch seine Grenzen hat (denken Sie zum Beispiel an das folgende Integral aus der Übung $\int_{-2}^{2} \frac{1}{\sqrt{\sqrt{x^2}}} dx$.) Dies sollte im Hinterkopf behalten werden. Nutzen Sie daher den Computer nur als Rechenknecht und nicht als Denkknecht! Vertrauen Sie nicht blind dem Computer sondern vergewissern Sie sich, dass die Ergebnisse sinnvoll sind und Sie die verwendeten Techniken verstehen (ein mechanisches bzw. automatisiertes Anwenden der Technik kann dann getrost dem Computer überlassen werden.)
Ich verweise Sie an dieser Stelle wieder an Frau Prof. Dr. Dörte Haftendorn. Sie führt in ihrem Buch
[Haftendorn, Dörte. Mathematik sehen und verstehen. Schlüssel zur Welt. Spektrum. 2010]
zwei Methoden (Keplersche Integrationsregel und Simpson-Regel zur Integration) zur nummerischen Berechnung vor. Versuchen Sie diese zu verstehen. Erinnern Sie sich in diesem Zusammenhang auch an die Taylorentwicklung. Diese kann hier gut benutzt um nicht Polynome in Polynome zu verwandeln.
Bisher wurden nur bestimmte Integrale angeschaut, d.h. die Integrale hatten feste Grenzen. Das so erhaltene Ergebnis liefert die Flächenbilanz unterhalb des Graphen der Funktion. Oft tauchen auch Integrale ohne Grenzen auf. Der mathematische Fachbegriff dafür lautet unbestimmtes Integrale. Das Ergebnis liefert hier eine (bzw. alle) Stammfunktion, d.h. alle Funktionen deren Ableitung genau die Funktion unterhalb des Integrals ist. Die Stammfunktionen unterscheiden sich dabei alle nur um eine Konstante (diese geht nämlich bei der Ableitung "verloren"). Deshalb ist hierfür eine typische Schreibweise wie folgt:
\begin{eqnarray*} \int2x^2-3x+1 dx =\frac{2}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+x+c \quad \quad wobei \quad c\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}
Diese Konstante ist auch aus der anderen Richtung betrachtet logisch. Wenn Sie die (Stamm-)Funktion nach oben oder unten verschieben, ändern Sie nichts an der Steigung des Graphen, daher sollte sich die (Ableitungs-)Funktion auch nicht ändern. Gängige Stammfunktionen findet man in jeder Formelsammlung
Für Interessierte hier noch einige Formel neben dem Hauptsatz mit deren Hilfe von Hand integriert werden kann. All diese Formel sind auch in jeder gängigen Formelsammlung oder bei Wikipedia zu finden:
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Partielle Integration \begin{eqnarray*} \int_a^b f'(x) \cdot g(x) dx = [f(x) \cdot g(x)]_a^b-\int_a^b f(x) \cdot g'(x) dx \end{eqnarray*}
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Integration durch Substitution (hier wird manchmal auch erst die zündende Idee gebraucht, damit eine geeignte Substitution gefunden wird, das kann sehr schwer sein) \begin{eqnarray*} \int_a^b f(g(t)) \cdot g'(t) dt = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x) dx \end{eqnarray*}
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Integration der Umkehrfunktion ( $F$ ist die Stammfunktion von $f$. $f$ und $f^{-1}$ sind Umkehrfunktionen voneinander.) \begin{eqnarray*} \int_a^b f^{-1}(x) dx=[x \cdot f^{-1}(x)-F(f^{-1}(x))]_a^b \end{eqnarray*}
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Logarithmische Integration (ein Spezialfall der Substitution) \begin{eqnarray*} \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx= ln|f(x)|+c \end{eqnarray*}
2. Differentialgleichungen
2.1. Einführung
Differentialgleichungen sind wichtige …
3. Lineare Algebra
Hier kommt was