1. Definitionen und Sätze

1.1. Bruchrechnung

Definition: Bruch

Das Ergebnis einer Division einer beliebigen ganzen Zahl durch eine beliebge natürliche Zahl, kann als Bruch geschrieben werden, d.h.

chapter_saetze_definitionen__1.png

a heißt dabei Zähler des Bruches und b heißt dabei Nenner des Bruches.

Anschaulich sagt die Definition lediglich aus, dass der Bruch $\frac{a}{b}$ entsteht, wenn man a Ganze durch b Teile teilt. Alternativ könnte man auch ein Ganzes in b Teile teilen und davon a Stücke nehmen. Beiden Anschauungen führen zum gleichen Ergebnis, wie man an einem einfachen Beispiel leicht sehen kann: So ist es egal, ob Sie von 3 identischen Pizzen jeweils $\frac{1}{4}$ bekommen oder ob Sie von einer in viertel geteilten Pizza 3 Stücke bekommen. Sie bekommen jeweils $\frac{3}{4}$ Pizza.

images/bruchrechnung/Pizzen.png

Für Brüche gelten die folgenden Rechengesetze:

Satz: Rechnen mit Brüchen

Seien $a,c \in \mathbb{Z}$ und $b,c \in \mathbb{N}$. Dann gilt:

Kürzen und Erweitern

$\frac{a}{b}=\frac{a\cdot x}{b\cdot x}$ für jede belibiege Zahl $x \ne 0$.
Dabei heißt die Umformung von links nach rechts erweitern und die Umformung von rechts nach links kürzen.

Addition und Subtraktion

$\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}=\frac{bd}{bd}\pm \frac{cb}{db}=\frac{ad\pm cd}{bd}$
Achtung bei der Addition bzw. Subtraktion zweier Brüche muss zu erst ein gemeinsamer Hauptnenner bestimmt werden.

Multiplikation

$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b \cdot d}$

Divison

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b \cdot c}$
Durch einen Bruch wird dividiert indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

Doppelbrüche

$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b} : \frac{c}{d}$

Beispiel 1. Rechnen mit Brüchen

Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck: \begin{eqnarray*}\frac{\frac{b}{a}:5-\frac{a}{b}:\frac{1}{4}}{3\cdot\frac{a}{b}-\frac{3a-1}{b}}=\end{eqnarray*}

Lösung ansehen

\begin{eqnarray*} \frac{\frac{b}{a}:5-\frac{a}{b}:\frac{1}{4}}{3\cdot\frac{a}{b}-\frac{3a-1}{b}} &=&\frac{\frac{b}{a}:\color{red}{\frac{5}{1}}-\frac{a}{b}:\frac{1}{4}}{3\cdot\frac{a}{b}-\frac{3a-1}{b}} \quad \end{eqnarray*}

die Zahl 5 wird als Bruch geschrieben um dann die Divisionsregel anwenden zu können

\begin{eqnarray*} &=& \frac{\frac{b}{a}\color{red}{\cdot \frac{1}{5}}-\frac{a}{b}\color{red}{\cdot \frac{4}{1}}}{3\cdot\frac{a}{b}-\frac{3a-1}{b}} \quad & \end{eqnarray*}

Divisionen werden in Muliplikationen verwandelt, indem der Kehwert des Divisors (Zahl durch die geteilt wird) gebildet wird

\begin{eqnarray*} &=& \frac{\color{red}{\frac{b\cdot 1}{a \cdot 5}}-\color{red}{\frac{a \cdot 4}{b \cdot 1}}}{\color{red}{\frac{3\cdot a}{1 \cdot b}}-\frac{3a-1}{b}} \quad & \end{eqnarray*}

Durchführung der drei Muliplikationen; Achtung: 3 und 4 können als Bruch mit Nenner 1 geschrieben werden

\begin{eqnarray*} &=& \frac{\frac{b}{5a}-\frac{4a}{b}}{\frac{3a}{b}-\frac{3a-1}{b}} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &=& \frac{\frac{b \color{red}{\cdot b}}{5a\color{red}{\cdot b}}-\frac{4a \color{red}{\cdot 5a}}{b \color{red}{\cdot 5a}}}{\frac{3a}{b}-\frac{3a-1}{b}} \quad & \end{eqnarray*}

oberen beiden Brüche erweitert um sie auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen

\begin{eqnarray*} &=& \frac{\frac{b\cdot b-4a\cdot 5a}{5ab}}{\frac{3a-\color{red}{(}3a-1\color{red}{)}}{b}} \quad & \end{eqnarray*}

Subtraktion im Zähler und Nenner; Achtung: Klammer muss gesetzt werden

\begin{eqnarray*} &=& \frac{\frac{b^2-20a^2}{5ab}}{\frac{3a\color{red}{-3a+1}}{b}} \quad & \end{eqnarray*}

Vereinfachen und Klammer auflösen

\begin{eqnarray*} &=& \frac{\frac{b^2-20a^2}{5ab}}{\frac{1}{b}} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &=& \frac{b^2-20a^2}{5ab}: \frac{1}{b}\quad & \end{eqnarray*}

Definition eines Bruches als Divison verwendet (Doppelbrüche)

\begin{eqnarray*} &=& \frac{b^2-20a^2}{5ab} \cdot \frac{b}{1} & \end{eqnarray*}

Division wird in Muliplikation verwandelt, indem der Kehwert des Divisors gebildet wird

\begin{eqnarray*} &=& \frac{\color{red}{(}b^2-20a^2\color{red}{)} \cdot b}{5ab \cdot 1} \quad & \end{eqnarray*}

Durchführung der Muliplikation; Achtung: Klammer muss gesetzt werden

\begin{eqnarray*} &=& \frac{b^2-20a^2}{5a} \quad & \end{eqnarray*}

mit 5 gekürzt

\begin{eqnarray*} \frac{\frac{b}{a}:5-\frac{a}{b}:\frac{1}{4}}{3\cdot\frac{a}{b}-\frac{3a-1}{b}} &=&\frac{\frac{b}{a}:\color{red}{\frac{5}{1}}-\frac{a}{b}:\frac{1}{4}}{3\cdot\frac{a}{b}-\frac{3a-1}{b}} \quad & \textit{die Zahl 5 wird als Bruch geschrieben um dann die Divisionsregel anwenden zu können}\\ &=& \frac{\frac{b}{a}\color{red}{\cdot \frac{1}{5}}-\frac{a}{b}\color{red}{\cdot \frac{4}{1}}}{3\cdot\frac{a}{b}-\frac{3a-1}{b}} \quad & \textit{Divisionen werden in Muliplikationen verwandelt, indem der Kehwert des Divisors (Zahl durch die geteilt wird) gebildet wird}\\ &=& \frac{\color{red}{\frac{b\cdot 1}{a \cdot 5}}-\color{red}{\frac{a \cdot 4}{b \cdot 1}}}{\color{red}{\frac{3\cdot a}{1 \cdot b}}-\frac{3a-1}{b}} \quad & \textit{Durchführung der drei Muliplikationen; Achtung: 3 und 4 können als Bruch mit Nenner 1 geschrieben werden}\\ &=& \frac{\frac{b}{5a}-\frac{4a}{b}}{\frac{3a}{b}-\frac{3a-1}{b}}\\ &=& \frac{\frac{b \color{red}{\cdot b}}{5a\color{red}{\cdot b}}-\frac{4a \color{red}{\cdot 5a}}{b \color{red}{\cdot 5a}}}{\frac{3a}{b}-\frac{3a-1}{b}} \quad & \textit {oberen beiden Brüche erweitert um sie auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen} \\ &=& \frac{\frac{b\cdot b-4a\cdot 5a}{5ab}}{\frac{3a-\color{red}{(}3a-1\color{red}{)}}{b}} \quad & \textit {Subtraktion im Zähler und Nenner; Achtung: Klammer muss gesetzt werden}\\ &=& \frac{\frac{b^2-20a^2}{5ab}}{\frac{3a\color{red}{-3a+1}}{b}} \quad & \textit{Vereinfachen und Klammer auflösen}\\ &=& \frac{\frac{b^2-20a^2}{5ab}}{\frac{1}{b}}\\ &=& \frac{b^2-20a^2}{5ab}: \frac{1}{b}\quad & \textit{Definition eines Bruches als Divison verwendet (Doppelbrüche)}\\ &=& \frac{b^2-20a^2}{5ab} \cdot \frac{b}{1} & \textit{Division wird in Muliplikation verwandelt, indem der Kehwert des Divisors gebildet wird}\\ &=& \frac{\color{red}{(}b^2-20a^2\color{red}{)} \cdot b}{5ab \cdot 1} \quad & \textit{Durchführung der Muliplikation; Achtung: Klammer muss gesetzt werden}\\ &=& \frac{b^2-20a^2}{5a} \quad & \textit{mit 5 gekürzt} \end{eqnarray*}

1.2. Rechenregeln und Termumformungen

Satz: Rechnen mit reelen Zahlen

Die folgenden Rechengesetze gelten für die Addition bzw. Muliplikation reeler Zahlen und können benutzt werden um Terme zu vereinfachen bzw. umzuformen.

Klammernregel

Ausdrücke, die in Klammern stehen, müssen zuerst berechnet werden.

Distributivgesetzt

Mit Hilfe des Distributivegesetzes können Klammern augeflöst werden: \begin{eqnarray*} a\cdot (b+c)= a\cdot b + a\cdot c \\ (a+b) \cdot c = a\cdot c + b \cdot c \end{eqnarray*}

Punkt-vor-Strich-Regel

Gibt es keine Klammern mehr wird die Mulitplikation vor der Addition durchgeführt.

Assoziativgesetz

Die Reihenfolge in der mehrere Zahlen addiert (bzw. multipliziert) spielt keine Rolle: \begin{eqnarray*} a+(b+c)=a+b+c=(a+b)+c\\ a \cdot (b \cdot c)= a\cdot b \cdot c= (a\cdot b) \cdot c \end{eqnarray*}

Kommutativgesetz

Die Summanden einer Addition (bzw. die Faktoren einer Multiplikation) können beliebig vertauscht werden. \begin{eqnarray*} a+b=b+a\\ a \cdot b = b \cdot a \end{eqnarray*}

Minus mal Minus ist Plus

Werden zwei negative Zahlen multiplizieren ergibt sich eine positive Zahl.

Wikipedia liefert folgende anschauliche Erklärung eines mathematischen Terms (mehr Informationen (Beispiele, Erklärungen,…) erhält man auf der angegebenen Homepage):

In der Mathematik bezeichnet ein Term einen sinnvollen Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen und Klammern enthalten kann. Terme sind die … korrekt gebildeten Wörter … in der formalen Sprache der Mathematik.

Wikipedia
— http://de.wikipedia.org/wiki/Term

Terme im Sinne des obigen Satzes sind also Ausdrucke mit

  • reelen Zahlen,

  • Variablen, die für reele Zahlen stehen

  • Additions- und Multiplikationszeichen sowie

  • Klammern.

Ein typisches Beispiel für einen solchen Term ist zum Beispiel der Term, der einen die monatliche Handyrechnung eines Vertrages (monatlicher Grundpreis 9,90 € und für jede Minute 6 Cent) mit Hilfe der monatlich telefonierten Minuten x berechnen lässt:

$0,06\cdot x+9,90$

Bevor nun die obigen Rechenregeln an einem Beispiel erläutert werden, werden zunächst noch die Subtraktion und die Multiplikation von reelen Zahlen definiert.

Definition: Subtraktion und Multiplikation

Seien $a,b \in \mathbb{R}$ dann ist die Subtraktion und die Division wie folgt definiert: \begin{eqnarray*} a-b = a + (-b)\\ a : b = a \cdot \frac{1}{b} \end{eqnarray*}

Diese Definition klingt vielleicht etwas künstlich, aber nun kann die Subtraktion bzw. die Division auf die Addition bzw. die Multiplikation zurückgeführt werden. Somit werden "nur" noch Rechenregeln für die Addition und die Multiplikation benötigt, da diese auf die Subtraktion und Division verallgemeinert werden können. Mit einem Schlag kann nun der obige Satz auch auf Terme erweitert werden, die zusätzlich noch Subtraktions- und Divisionszeichen haben.

Anmerkung
Neutrale und Inverse Elemente

Damit Sie es schon mal gehört haben:

  • Die 0 ist das neutrale element der Addition, da man zu jeder beliebigen reelen Zahl a die 0 dazuaddieren kann ohne die Zahl zu ändern: \begin{eqnarray*} a+0=a \end{eqnarray*}

  • Die 1 ist das neutrale element der Multiplikation, da man zu jeder beliebigen reelen Zahl a die Zahl 1 dazumultiplizieren kann ohne die Zahl zu ändern: \begin{eqnarray*} a\cdot 1=a \end{eqnarray*}

  • Das -b aus obiger Definition wird auch das zu b Inverse Element bezüglich der Addition gennant. Jede reele Zahl b besitzt ein solches addidative Inverses. Addiert man eine reele Zahl b mit ihrem additativen Inversen ergibt sich immer die 0: \begin{eqnarray*} b + (-b) = 0 \end{eqnarray*}

  • Das $\frac{1}{b}$ aus obiger Definition wird auch das zu b Inverse Element bezüglich der Multiplikation gennat. Jede reele Zahl b ungleich Null besitzt ein solches multiplikatives Inverses. Multipliziert man eine reele Zahl b ungleich 0 mit ihrem multiplikativen Inversen ergibt sich immer die 1: \begin{eqnarray*} b \cdot \frac{1}{b} = 1 \end{eqnarray*}

Nun das versprochene Beispiel:

Beispiel 2. Vereinfachen von Termen

Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck: \begin{eqnarray*}2a(3+x)-(7a-ax)+(3+2)=\end{eqnarray*}

Lösung: \begin{eqnarray*} && 2a(3+x)-(7a-ax)+(3+2)&\\ &=& 2a(3+x)-(7a-ax)+\color{red}{5} \quad & \textit{berechenbare Klammer (dritte Klammer) wird berechnet}\\ &=& \color{red}{2a\cdot 3+ 2a \cdot x} -(7a-ax) + 5 \quad & \textit{erste Klammer mit Hilfe des Distributivgesetzt aufgelöst}\\ &=& 2a \cdot 3+ 2a \cdot x - \color{red}{1}\cdot (7a-ax) +5 \quad & \textit{neutrales Element der Multiplikation vor die verbleibende Klammer geschrieben}\\ &=& 2a \cdot 3+ 2a \cdot x \color{red}{+ (- 1)}\cdot (7a\color{red}{+(-ax)}) +5 \quad & \textit{Subtraktionen in Additionen verwandelt}\\ &=& 2a \cdot 3+ 2a \cdot x + \color{red}{(-1)\cdot 7a+(-1)\cdot (-ax)} +5 \quad & \textit{Klammer mit Hilfe des Distributivgesetzt aufgelöst}\\ &=& 2\color{red}{\cdot 3\cdot a} +2ax+(-7a)+ax+5 \quad & \textit{Kommutativgesetzt um 3 und a zu vertauschen, Minus-mal-Minus ist Plus}\\ &=& \color{red}{6}a+2ax+(-7a)+ax+5 \quad & 2\cdot 3\textit{berechnet}\\ &=& 6a+\color{red}{(-7a)+2ax}+ax+5 \quad & \textit{2ax und -7a vertauscht}\\ &=& \color{red}{(-a)+3ax}+5 \quad & \textit{passende Terme addiert}\\ &=& \color{red}{-a}+3ax+5 \quad & \textit{Klammern weggelassen} \end{eqnarray*}