1. Anwendungskontext

Der pH-Wert einer wässrigen Lösung kann mit Hilfe der folgenden Formel bestimmt werden: $pH=-\log_{10}{(a_{H+})}$. Dabei steht $ a_{H+} $ für die Konzentration an H+-Ionen in der Lösung. Gegeben ist eine Lösung mit pH-Wert 10,6. Berechnen Sie die Konzentration an H+-Ionen der Lösung.

Gesucht wird der Informationsgehalt Ihres Vornamens. Berechnen Sie dazu den Informationsgehalt jedes Buchstabens Ihres Vornamens und addieren Sie diese anschließend. Der Informationsgehalt eines Buchstabens lässt sich berechnen durch: $I=-\log_{2}{(p)}$ wobei p für die Auftrittswahrscheinlichkeiten des Buchstaben steht. Die Auftrittswahrscheinlichkeiten aller Buchstaben können Sie im Wikipediaartikel Buchstabenhäufigkeiten nachlesen. Mehr zu dem Thema Informationsgehalt.

2. Lernziele

Am Ende dieses Lernmoduls können Lernende…

  • … an einem Beispiel erklären, was Potenzen, Wurzel und Logarithmen sind.

  • … Terme mit Hilfe von Potenz-, Wurzel- und Logarithmusgesetzen vereinfachen.

  • … Potenz-, Wurzel- und Logarithmusgleichungen richtig lösen.

  • … Anwendungsaufgaben zu den Themengebieten lösen.

  • … den Zusammenhang von Potenz, Wurzel und Logarithmus an Hand eines Beispiels erklären.

  • … den Logarithmus einer beliebigen Basis mit Hilfe des Taschenrechners berechnen.

3. Jetzt geht’s los

4. Tipps & Tricks

Viele Handelsüblichen Taschenrechner können zwar einen Logarithmus zur Basis 10 (log-Taste) und einen Logarithmus zur Basis e (ln-Taste) berechnen haben aber keine Tasten für einen Logarithmus zu einer beliebigen Basis. Allerdings kann der Logarithmen zu einer beliebigen Basis mit Hilfe des folgendes Satzes leicht in einen Logarithmus mit einer anderen (bekannten, berechenbaren) Basis umformt werden.

Satz: Basiswechselsatz

Sofern alle Ausdrücke definiert sind, gilt: \begin{eqnarray*}\log_{a}{(b)}=\frac{\log_{c}{(b)}}{\log_{c}{(a)}}\end{eqnarray*}

Beispiel 1. Anwendung des Tricks:

Berechnen Sie die Anzahl der benötigten Bits des Buchstabens "a". Die Auftrittswahrscheinlichkeiten des Buchstaben "a" beträgt 6,51%. Berechnet werden muss also:

\begin{eqnarray*}I=-\log_{2}{(6,51\%)}=-\log_{2}{(0,0651)}=-\frac{\log_{10}{(0,0651)}}{\log_{10}{(2)}}\end{eqnarray*}

Dies kann nun in den Taschenrechner eingetippt werden. Das Ergebnis ist hier mit Wolframalpha dargestellt.

5. Wissenskontrolle

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6. Zurück zum Anfang

Der pH-Wert einer wässrigen Lösung kann mit Hilfe der folgenden Formel bestimmt werden: $pH=-\log_{10}{(a_{H+})}$. Dabei steht $ a_{H+} $ für die Konzentration an H+-Ionen in der Lösung. Gegeben ist eine Lösung mit pH-Wert 10,6. Berechnen Sie die Konzentration an H+-Ionen der Lösung.

Lösung ausblenden

\begin{eqnarray*} pH&=&-\log_{10}{(a_{H+})}\\ 10,6&=&-\log_{10}{(a_{H+})} \\ -10,6&=&\log_{10}{(a_{H+})} \quad \textit{| 10 hoch Seite}\\ 10^{-10,6}&=&10^{\log_{10}{(a_{H+})} }\\ 10^{-10,6}&=&a_{H+}\\ 2,5 \cdot 10^{-11}&\approx& a_{H+} \end{eqnarray*}

Gesucht wird der Informationsgehalt Ihres Vornamens. Berechnen Sie dazu den Informationsgehalt jedes Buchstabens Ihres Vornamens und addieren Sie diese anschließend. Der Informationsgehalt eines Buchstabens lässt sich berechnen durch: $I=-\log_{2}{(p)}$ wobei p für die Auftrittswahrscheinlichkeiten des Buchstaben steht. Die Auftrittswahrscheinlichkeiten aller Buchstaben können Sie im Wikipediaartikel Buchstabenhäufigkeiten nachlesen.

Lösung ausblenden

Exemplarisch wird der Informationsgehalt des Vornamens "Julia" berechnet: \begin{eqnarray*} I(Julia)&=&I(J)+I(u)+I(l)+I(i)+I(a)\\ &=&-\log_{2}{(p(J))}-\log_{2}{(p(u))}-\log_{2}{(p(l))}-\log_{2}{(p(i))}-\log_{2}{(p(a))}\\ &=&-\log_{2}{(0,27\%)}-\log_{2}{(4,35\%)}-\log_{2}{(3,44\%)}-\log_{2}{(7,55\%)}-\log_{2}{(6,51\%)}\\ &=&-\log_{2}{(0,0027)}-\log_{2}{(0,0435)}-\log_{2}{(0,0344)}-\log_{2}{(0,0755)}-\log_{2}{(0,0651)}\\ &\approx&-(-8,53)-(-4,52)-(-4,86)-(-3,43)-(-3,94)\\ &=&8,53+4,52+4,86+3,43+3,94\\ &=&25,28 \end{eqnarray*}

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