1. Definitionen und Sätze
1.1. Bruchrechnung
Anschaulich sagt die Definition lediglich aus, dass der Bruch $\frac{a}{b}$ entsteht, wenn man a Ganze durch b Teile teilt. Alternativ könnte man auch ein Ganzes in b Teile teilen und davon a Stücke nehmen. Beiden Anschauungen führen zum gleichen Ergebnis, wie man an einem einfachen Beispiel leicht sehen kann: So ist es egal, ob Sie von 3 identischen Pizzen jeweils $\frac{1}{4}$ bekommen oder ob Sie von einer in viertel geteilten Pizza 3 Stücke bekommen. Sie bekommen jeweils $\frac{3}{4}$ Pizza.
Für Brüche gelten die folgenden Rechengesetze:
Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck: \begin{eqnarray*}\frac{\frac{b}{a}:5-\frac{a}{b}:\frac{1}{4}}{3\cdot\frac{a}{b}-\frac{3a-1}{b}}=\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \frac{\frac{b}{a}:5-\frac{a}{b}:\frac{1}{4}}{3\cdot\frac{a}{b}-\frac{3a-1}{b}} &=&\frac{\frac{b}{a}:\color{red}{\frac{5}{1}}-\frac{a}{b}:\frac{1}{4}}{3\cdot\frac{a}{b}-\frac{3a-1}{b}} \quad \end{eqnarray*} |
die Zahl 5 wird als Bruch geschrieben um dann die Divisionsregel anwenden zu können |
\begin{eqnarray*} &=& \frac{\frac{b}{a}\color{red}{\cdot \frac{1}{5}}-\frac{a}{b}\color{red}{\cdot \frac{4}{1}}}{3\cdot\frac{a}{b}-\frac{3a-1}{b}} \quad & \end{eqnarray*} |
Divisionen werden in Muliplikationen verwandelt, indem der Kehwert des Divisors (Zahl durch die geteilt wird) gebildet wird |
\begin{eqnarray*} &=& \frac{\color{red}{\frac{b\cdot 1}{a \cdot 5}}-\color{red}{\frac{a \cdot 4}{b \cdot 1}}}{\color{red}{\frac{3\cdot a}{1 \cdot b}}-\frac{3a-1}{b}} \quad & \end{eqnarray*} |
Durchführung der drei Muliplikationen; Achtung: 3 und 4 können als Bruch mit Nenner 1 geschrieben werden |
\begin{eqnarray*} &=& \frac{\frac{b}{5a}-\frac{4a}{b}}{\frac{3a}{b}-\frac{3a-1}{b}} \end{eqnarray*} |
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\begin{eqnarray*} &=& \frac{\frac{b \color{red}{\cdot b}}{5a\color{red}{\cdot b}}-\frac{4a \color{red}{\cdot 5a}}{b \color{red}{\cdot 5a}}}{\frac{3a}{b}-\frac{3a-1}{b}} \quad & \end{eqnarray*} |
oberen beiden Brüche erweitert um sie auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen |
\begin{eqnarray*} &=& \frac{\frac{b\cdot b-4a\cdot 5a}{5ab}}{\frac{3a-\color{red}{(}3a-1\color{red}{)}}{b}} \quad & \end{eqnarray*} |
Subtraktion im Zähler und Nenner; Achtung: Klammer muss gesetzt werden |
\begin{eqnarray*} &=& \frac{\frac{b^2-20a^2}{5ab}}{\frac{3a\color{red}{-3a+1}}{b}} \quad & \end{eqnarray*} |
Vereinfachen und Klammer auflösen |
\begin{eqnarray*} &=& \frac{\frac{b^2-20a^2}{5ab}}{\frac{1}{b}} \end{eqnarray*} |
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\begin{eqnarray*} &=& \frac{b^2-20a^2}{5ab}: \frac{1}{b}\quad & \end{eqnarray*} |
Definition eines Bruches als Divison verwendet (Doppelbrüche) |
\begin{eqnarray*} &=& \frac{b^2-20a^2}{5ab} \cdot \frac{b}{1} & \end{eqnarray*} |
Division wird in Muliplikation verwandelt, indem der Kehwert des Divisors gebildet wird |
\begin{eqnarray*} &=& \frac{\color{red}{(}b^2-20a^2\color{red}{)} \cdot b}{5ab \cdot 1} \quad & \end{eqnarray*} |
Durchführung der Muliplikation; Achtung: Klammer muss gesetzt werden |
\begin{eqnarray*} &=& \frac{b^2-20a^2}{5a} \quad & \end{eqnarray*} |
mit 5 gekürzt |
\begin{eqnarray*} \frac{\frac{b}{a}:5-\frac{a}{b}:\frac{1}{4}}{3\cdot\frac{a}{b}-\frac{3a-1}{b}} &=&\frac{\frac{b}{a}:\color{red}{\frac{5}{1}}-\frac{a}{b}:\frac{1}{4}}{3\cdot\frac{a}{b}-\frac{3a-1}{b}} \quad & \textit{die Zahl 5 wird als Bruch geschrieben um dann die Divisionsregel anwenden zu können}\\ &=& \frac{\frac{b}{a}\color{red}{\cdot \frac{1}{5}}-\frac{a}{b}\color{red}{\cdot \frac{4}{1}}}{3\cdot\frac{a}{b}-\frac{3a-1}{b}} \quad & \textit{Divisionen werden in Muliplikationen verwandelt, indem der Kehwert des Divisors (Zahl durch die geteilt wird) gebildet wird}\\ &=& \frac{\color{red}{\frac{b\cdot 1}{a \cdot 5}}-\color{red}{\frac{a \cdot 4}{b \cdot 1}}}{\color{red}{\frac{3\cdot a}{1 \cdot b}}-\frac{3a-1}{b}} \quad & \textit{Durchführung der drei Muliplikationen; Achtung: 3 und 4 können als Bruch mit Nenner 1 geschrieben werden}\\ &=& \frac{\frac{b}{5a}-\frac{4a}{b}}{\frac{3a}{b}-\frac{3a-1}{b}}\\ &=& \frac{\frac{b \color{red}{\cdot b}}{5a\color{red}{\cdot b}}-\frac{4a \color{red}{\cdot 5a}}{b \color{red}{\cdot 5a}}}{\frac{3a}{b}-\frac{3a-1}{b}} \quad & \textit {oberen beiden Brüche erweitert um sie auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen} \\ &=& \frac{\frac{b\cdot b-4a\cdot 5a}{5ab}}{\frac{3a-\color{red}{(}3a-1\color{red}{)}}{b}} \quad & \textit {Subtraktion im Zähler und Nenner; Achtung: Klammer muss gesetzt werden}\\ &=& \frac{\frac{b^2-20a^2}{5ab}}{\frac{3a\color{red}{-3a+1}}{b}} \quad & \textit{Vereinfachen und Klammer auflösen}\\ &=& \frac{\frac{b^2-20a^2}{5ab}}{\frac{1}{b}}\\ &=& \frac{b^2-20a^2}{5ab}: \frac{1}{b}\quad & \textit{Definition eines Bruches als Divison verwendet (Doppelbrüche)}\\ &=& \frac{b^2-20a^2}{5ab} \cdot \frac{b}{1} & \textit{Division wird in Muliplikation verwandelt, indem der Kehwert des Divisors gebildet wird}\\ &=& \frac{\color{red}{(}b^2-20a^2\color{red}{)} \cdot b}{5ab \cdot 1} \quad & \textit{Durchführung der Muliplikation; Achtung: Klammer muss gesetzt werden}\\ &=& \frac{b^2-20a^2}{5a} \quad & \textit{mit 5 gekürzt} \end{eqnarray*}
1.2. Rechenregeln und Termumformungen
Wikipedia liefert folgende anschauliche Erklärung eines mathematischen Terms (mehr Informationen (Beispiele, Erklärungen,…) erhält man auf der angegebenen Homepage):
In der Mathematik bezeichnet ein Term einen sinnvollen Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen und Klammern enthalten kann. Terme sind die … korrekt gebildeten Wörter … in der formalen Sprache der Mathematik.
— http://de.wikipedia.org/wiki/Term
Terme im Sinne des obigen Satzes sind also Ausdrucke mit
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reelen Zahlen,
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Variablen, die für reele Zahlen stehen
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Additions- und Multiplikationszeichen sowie
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Klammern.
Ein typisches Beispiel für einen solchen Term ist zum Beispiel der Term, der einen die monatliche Handyrechnung eines Vertrages (monatlicher Grundpreis 9,90 € und für jede Minute 6 Cent) mit Hilfe der monatlich telefonierten Minuten x berechnen lässt:
$0,06\cdot x+9,90$
Bevor nun die obigen Rechenregeln an einem Beispiel erläutert werden, werden zunächst noch die Subtraktion und die Multiplikation von reelen Zahlen definiert.
Diese Definition klingt vielleicht etwas künstlich, aber nun kann die Subtraktion bzw. die Division auf die Addition bzw. die Multiplikation zurückgeführt werden. Somit werden "nur" noch Rechenregeln für die Addition und die Multiplikation benötigt, da diese auf die Subtraktion und Division verallgemeinert werden können. Mit einem Schlag kann nun der obige Satz auch auf Terme erweitert werden, die zusätzlich noch Subtraktions- und Divisionszeichen haben.
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Neutrale und Inverse Elemente
Damit Sie es schon mal gehört haben:
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Nun das versprochene Beispiel:
Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck: \begin{eqnarray*}2a(3+x)-(7a-ax)+(3+2)=\end{eqnarray*}
Lösung: \begin{eqnarray*} && 2a(3+x)-(7a-ax)+(3+2)&\\ &=& 2a(3+x)-(7a-ax)+\color{red}{5} \quad & \textit{berechenbare Klammer (dritte Klammer) wird berechnet}\\ &=& \color{red}{2a\cdot 3+ 2a \cdot x} -(7a-ax) + 5 \quad & \textit{erste Klammer mit Hilfe des Distributivgesetzt aufgelöst}\\ &=& 2a \cdot 3+ 2a \cdot x - \color{red}{1}\cdot (7a-ax) +5 \quad & \textit{neutrales Element der Multiplikation vor die verbleibende Klammer geschrieben}\\ &=& 2a \cdot 3+ 2a \cdot x \color{red}{+ (- 1)}\cdot (7a\color{red}{+(-ax)}) +5 \quad & \textit{Subtraktionen in Additionen verwandelt}\\ &=& 2a \cdot 3+ 2a \cdot x + \color{red}{(-1)\cdot 7a+(-1)\cdot (-ax)} +5 \quad & \textit{Klammer mit Hilfe des Distributivgesetzt aufgelöst}\\ &=& 2\color{red}{\cdot 3\cdot a} +2ax+(-7a)+ax+5 \quad & \textit{Kommutativgesetzt um 3 und a zu vertauschen, Minus-mal-Minus ist Plus}\\ &=& \color{red}{6}a+2ax+(-7a)+ax+5 \quad & 2\cdot 3\textit{berechnet}\\ &=& 6a+\color{red}{(-7a)+2ax}+ax+5 \quad & \textit{2ax und -7a vertauscht}\\ &=& \color{red}{(-a)+3ax}+5 \quad & \textit{passende Terme addiert}\\ &=& \color{red}{-a}+3ax+5 \quad & \textit{Klammern weggelassen} \end{eqnarray*}