Definition: Menge, Element einer Menge, Mächtigkeit einer Menge

Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten, auch Elemente genannt.

Zu jedem Element x kann eindeutig gesagt werden, ob x ein Element der Menge ist bzw. oder ob x kein Element der Menge ist. Die Schreibweise ist dabei wie folgt: $x \in M$ bzw. $x \notin M$.

Von einer endlichen Menge wird gesprochen, wenn die Menge nur endlich viele Elemente besitzt. Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge wird auch als Mächtigkeit der Menge M (geschrieben: |M|) bezeichnet.

Wichtig bei der Definition sind vor allem die zwei Worte unterscheidbare Objekte. Objekte sind dabei alles außer Aussagen. Aussagen sind Sätze oder Formeln für die entschieden werden kann (theoretisch bzw. wenn die Variable bekannt wäre), ob Sie wahr oder falsch sind. Das Wort unterscheidbar weist darauf hin, dass nie zwei gleiche Objekte in einer Menge sein dürfen.

Es gibt verschiedene Arten Mengen darzustellen, zum Beispiel:

  • indem man alle Element der Menge aufzählt. Dabei schreibt man die Elemente durch Kommata getrennt in geschweifte Klammern.

  • indem man die ersten Elemente der Menge durch Kommata getrennt in geschweiften Klammern aufzählt und dann mit … fortführt und gegebenenfalls noch das letzte Element auflistet. (Dies geht nur, wenn eindeutig klar ist, wie es weiter geht!)

  • indem man eine Grundmenge angibt in die Elemente liegen und eine Eigenschaft, die die Elemente in der Menge erfüllen, angibt.

  • indem man einen Satz aufschreibt, der die Elemente der Menge identifiziert, beschreibt oder auflistet.

Beispiel 1. Menge, Element einer Menge, Mächtigkeit einer Menge

Die im Folgenden angegebenen Menge M beschreibt jeweils die gleiche Menge:

  • $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$

  • $M=\{1,2,3, ... , 10\}$

  • $ M=\{x \in \mathbb{N} | 1 \leq x \leq 10 \}$

  • Die Menge M beinhaltet alle natürlichen Zahlen von einschließlich eins bis einschließlich 10.

  • Die Menge M besteht aus den Zahlen eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, 8, 9 und 10.

Die Menge M ist endlich und es gilt $|M|=10$ (Mächtigkeit der Menge).

Beispiel für Elemente aus der Menge bzw. kein Element der Menge sind:

  • $2 \in M$

  • $2,5 \notin M$

  • $-3 \notin M$

  • $11 \notin M$

Keine Mengen sind die folgenden Konstrukte:

  • $M=\{2<5, 8<3, x=7\}$, weil es Aussagen enthält.

  • $M=\{2,5,7,2\}$, weil es Objekte doppelt enthält.

Weitere Mengen sind beispielsweise:

  • $M=\{rot, grün, gelb\}$ (Die Menge der Farben rot, grün und gelb}

  • $M=\{\}$ (Die Leeremenge, die kein Element enthält)

  • $M=\{\{1,2\},\{3,1\}\}$ (Die Menge, die die Mengen {1,2} und {3,1} enthält.

Von der Mächtigkeit einer Menge wird nur bei endlichen Mengen gesprochen. Die Menge der natürlichen Zahlen beispielsweise besitzt keine Mächtigkeit, da sie nicht endlich ist. Der Ausdruck $|\mathbb{N}|$ ergibt keinen Sinn. In der Sprach der Mathematik wird gesagt, der Ausdruck $|\mathbb{N}|$ ist nicht wohldefiniert.

Wird "Sei $x\in M$" geschrieben, so ist gemeint, dass x ein beliebiges Element aus der Menge ist. Wird "daraus folgt $x \in M$" geschrieben so ist gemeint, dass folgt, dass x ein Element aus der Menge ist.

Definition: Teilmenge, Obermenge

Eine Menge N ist eine Teilmenge der Menge M ($N \subset M$, manchmal auch als $N\subseteq M$ geschrieben), wenn jedes Element N ebenfalls Element der Menge M ist. Mathematisch ausgedrückt: $N \subset M$ wenn für jedes $x\in N$ gilt $x\in M$. M heißt dann auch Obermenge der Menge N.

Beispiel 2. Teilmenge, Obermenge

Gegeben sind die Mengen N={1,2,3,4} und M={1,2,3,4,5,6}. Dann gilt $N \subset M$. N ist also Teilmenge von M und M ist Obermenge von N.

Zur Veranschaulichung von Sachverhalten, kann es helfen, Mengen mit Hilfe von Mengendiagramm darzustellen. Dabei wird eine Menge graphisch dargestellt, indem ein Bereich markiert wird indem alle Elemente der Menge liegen. Beispielsweis könnte die Menge M wie folgt dargestellt werden (Bild links). Dadurch können Beziehungen zwischen zwei Mengen leicht veranschaulicht werden. Beispielsweise könnte der Sachverhalt $N \subset M$ wie folgt dargestellt werden (Bild rechts).

http://rnll.fh-kl.de/~asciidoc/mv/images/Mengenoperationen/Teilmenge.png

Definition: Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Differenzmenge

Seien M und N zwei Menge. Es können die folgenden Mengenoperationen durchgeführt werden.

Schnittmenge

$M \cap N =\{ x | x \in M \ und \ x \in N \}$ http://rnll.fh-kl.de/~asciidoc/mv/images/Mengenoperationen/Schnittmenge.png

Vereinigungsmenge

$M \cup N =\{ x | x \in M \ oder \ x \in N \}$ http://rnll.fh-kl.de/~asciidoc/mv/images/Mengenoperationen/Vereinigungsmenge.png

Differenzmenge

$M \setminus N =\{ x | x \in M \ und \ x \notin N \}$ http://rnll.fh-kl.de/~asciidoc/mv/images/Mengenoperationen/Differenzmenge.png

Beispiel 3. Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Differenzmenge

Gegeben sind die Mengen $M=\{1,2,3,4,5,6\}$ und $N=\{4,5,6,7,8 \}$. Dann gilt:

\begin{eqnarray*} M \cap N &=& \{4,5,6\} \\ M \cup N &=&\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \\ M \setminus N &=&\{1,2,3\} \\ \end{eqnarray*}

In der Mathematik werden besonders häufig Mengen benötigt, deren Elemente alle Zahlen zwischen zwei anderen Zahlen sind. Daher definiert man für diese Art von Mengen eine abkürzende Schreibweise.

Definition: offene, geschlossene und halboffene Intervalle

offenes Intervall: \begin{eqnarray*}(a,b)=\{x \in \mathbb{R} | a < x<b\} \end{eqnarray*}

geschlossenes Intervall: \begin{eqnarray*}[a,b]=\{x \in \mathbb{R} | a \leq x\leq b\} \end{eqnarray*}

halboffene Intervalle: \begin{eqnarray*}(a,b]=\{x \in \mathbb{R} | a < x\leq b\} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*}[a,b)=\{x \in \mathbb{R} | a \leq x< b\} \end{eqnarray*}