Formelsammlung Statistik/ Wahrscheinlichkeitsrechnung – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher

Mengenlehre und DE MORGANsche Regeln

$P(\bar A \cup \bar B) = P(\overline{A \cap B})$

und

$P(\bar A \cap \bar B) = P(\overline{A \cup B})$

Kombinatorik

Fakultät

$n! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (n-1) \cdot n$

$0! = 1$

Binomialkoeffizient

${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}, \quad k,n \in N, \quad k,n \ge 0.$

${n \choose 0} = 1.$

Zufallsstichproben

Anzahl der möglichen Stichproben vom Umfang n aus einer Grundgesamtheit vom Umfang N:

	Ohne Zurücklegen	Mit Zurücklegen
Mit Berücksichtigung der Reihenfolge	$\frac{N!}{(N-n)!}$	$N^n$
Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge	${N \choose n}$	${N + n -1 \choose n}$

Definition der Wahrscheinlichkeit

(Symmetrieprinzip oder Prinzip nach LAPLACE)

Jedes Ergebnis A aus der Ergebnismenge Ω sei gleich häufig. |A| ist die Zahl der Ergebnisse,

die durch A belegt werden (Anzahl der günstigen Ergebnisse), |Ω| ist die Zahl aller möglichen Ergebnisse. Es ist

$P(A) = \frac {|A|} {|\Omega|} .$

Axiome der Wahrscheinlichkeiten (Kolmogoroff):

Gegeben sind zwei Ereignisse A,B ⊂ Ω.

$P(A) \ge 0 \; .$ Nichtnegativität
$P(\Omega) = 1 \; .$ Normiertheit
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) \; ,$ falls A und B disjunkt sind.

Additionssatz

Für zwei Ereignisse A, B aus Ω gilt :

$P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B) .$

Für drei Ereignisse A, B, C aus Ω gilt analog :

$\begin{array}{cl} P(A \cup B \cup C) =& P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) \ &- P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B\cap C) . \end{array}$

Falls die Ereignisse disjunkt sind, gilt

$P(A \cup B) = P(A)+P(B) .$

$P(A \cup B \cup C) = P(A)+P(B) +P(C).$

Bedingte Wahrscheinlichkeit

$P(A | B ) = \frac {P(A \cap B)} {P(B)}$

Unabhängigkeit von Ereignissen

Ein Ereignis A ist unabhängig von B, wenn

$P(A | B ) = P(A | \overline{B} ) = P(A)$

Totale Wahrscheinlichkeit

Sei A₁ ...A_k eine disjunkte Zerlegung von Ω. Dann gilt für B ⊂ Ω:

$P(B)=\sum_{i=1}^k P(B|A_i)\cdot P(A_i)$ .

BAYES Theorem

Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ mit $P(B) > 0$ lässt sich die Wahrscheinlichkeit von

$A$ unter der Bedingung, dass $B$ eingetreten ist, angeben durch die Wahrscheinlichkeit von

$B$ unter der Bedingung, dass $A$ eingetreten ist:

$P(A\mid B) \; = \; \frac {P(B\mid A) \cdot P(A)} {P(B)}$ .

Hierbei ist

$P(A\mid B)$ die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ unter der Bedingung, dass $B$ eingetreten ist,

$P(B\mid A)$ die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $B$ unter der Bedingung, dass $A$ eingetreten ist,

$P(A)$ die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ und

$P(B)$ die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $B$ .

Endlich viele Ereignisse:

Wenn $A_{i},\; i = 1, \dotsc, N$ eine Zerlegung der Ergebnismenge in disjunkte Ereignisse ist, gilt für die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit $P(A_i \mid B)$

$P(A_i \mid B) \; = \; \frac{P(B\mid A_i) \cdot P(A_i)}{P(B)} \; = \; \frac{P\left(B\mid A_i\right)\cdot P(A_i)}{\sum_{j=1} ^{N} P\left(B\mid A_j\right) \cdot P(A_j)}$ .

Den letzten Umformungsschritt bezeichnet man auch als Marginalisierung.

Da ein Ereignis $A$ und sein Komplement $A^c$ stets eine Zerlegung der Ergebnismenge darstellen, gilt insbesondere

$P(A \mid B) \; = \; \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B \mid A) \cdot P(A) + P(B \mid A^c) \cdot P(A^c)}$ .