BAYES Theorem
Für zwei Ereignisse und
mit
lässt sich die Wahrscheinlichkeit von
unter der Bedingung, dass
eingetreten ist, angeben durch die Wahrscheinlichkeit von
unter der Bedingung, dass
eingetreten ist:
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Hierbei ist
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die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
unter der Bedingung, dass
eingetreten ist,
-
die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
unter der Bedingung, dass
eingetreten ist,
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die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
und
-
die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
.
Endlich viele Ereignisse:
Wenn eine Zerlegung der Ergebnismenge in disjunkte Ereignisse ist, gilt für die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit
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Den letzten Umformungsschritt bezeichnet man auch als Marginalisierung.
Da ein Ereignis und sein Komplement
stets eine Zerlegung der Ergebnismenge darstellen, gilt insbesondere
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