BAYES Theorem

Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ mit $P(B) > 0$ lässt sich die Wahrscheinlichkeit von

$A$ unter der Bedingung, dass $B$ eingetreten ist, angeben durch die Wahrscheinlichkeit von

$B$ unter der Bedingung, dass $A$ eingetreten ist:

$P(A\mid B) \; = \; \frac {P(B\mid A) \cdot P(A)} {P(B)}$.

Hierbei ist

$P(A\mid B)$ die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ unter der Bedingung, dass $B$ eingetreten ist,

$P(B\mid A)$ die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $B$ unter der Bedingung, dass $A$ eingetreten ist,

$P(A)$ die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ und

$P(B)$ die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $B$.

Endlich viele Ereignisse:

Wenn $A_{i},\; i = 1, \dotsc, N$ eine Zerlegung der Ergebnismenge in disjunkte Ereignisse ist, gilt für die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit $P(A_i \mid B)$

$P(A_i \mid B) \; = \; \frac{P(B\mid A_i) \cdot P(A_i)}{P(B)} \; = \; \frac{P\left(B\mid A_i\right)\cdot P(A_i)}{\sum_{j=1} ^{N} P\left(B\mid A_j\right) \cdot P(A_j)}$.

Den letzten Umformungsschritt bezeichnet man auch als Marginalisierung.

Da ein Ereignis $A$ und sein Komplement $A^c$ stets eine Zerlegung der Ergebnismenge darstellen, gilt insbesondere

$P(A \mid B) \; = \; \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B \mid A) \cdot P(A) + P(B \mid A^c) \cdot P(A^c)}$.