Linearkombinationen normalverteilter Zufallsvariablen

Für n normalverteilte Zufallsvariablen $X_i \; (i = 1, ... , n), \text{ mit } X_i \propto N(\mu_i ; \sigma_i^2)$

ist die Linearkombination

$Y = a_0 + a_1X_1 + a_2X_2 + ... + a_nX_n = a_0 + \sum_{i=1}^n a_iX_i$

ebenfalls normalverteilt mit dem Erwartungswert

$E(Y)= a_0 + \sum_{i=1}^n a_iE(X_i) = a_0 + \sum_{i=1}^n a_i \mu_i$ .

Falls die $X_i \text{ }(i = 1, ... , n)$ stochastisch unabhängig sind, gilt für die Varianz

$Var(Y) = \sum_{i=1}^n a_i^2 \cdot (X_i) = \sum_{i=1}^n a_i^2 \sigma_i^2$ .

Die Varianz muss größer Null sein, deshalb muss zudem $a_j \ne 0$ für mindestens ein $j \in \{1,\dots, n\}$ gelten.