Verteilung des Stichprobendurchschnitts

Sind die n Zufallsvariablen $X_i$ (i = 1, ... , n) sämtlich normalverteilt

mit gleichem μ und gleichem σ², ist die Linearkombination

X mit a₀ = 0, a₁ = a₂ = ... = a_n = 1/n, also :$\bar X = \frac {1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$

normalverteilt dem Erwartungswert

$E (\bar X) = \frac {1}{n} \sum_{i=1}^n \mu = \mu$

und, falls die Xi (i = 1, ... , n) stochastisch unabhängig sind, mit der Varianz

$Var( \bar X) = \frac {1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$ .