Konfidenzintervall für den Erwartungswert μ

Normalverteiltes Merkmal mit bekannter Varianz
P \left(-z_{1-\alpha/2} \le \frac{ \bar{X} - \mu }{ \sigma } \cdot \sqrt{n} \le z_{1-\alpha/2} \right) = 1 - \alpha
\left[\bar x - z(1-\begin{matrix}\frac {\alpha}2 \end{matrix}) \frac{\sigma}{\sqrt {n}} ; \bar x + z(1-\begin{matrix}\frac {\alpha}2 \end{matrix}) \frac{ \sigma } {\sqrt{n}}\right]\;.

(Quantil z aus Normalverteilungstabelle)

Normalverteiltes Merkmal mit unbekannter Varianz

Für normalverteilte Merkmale und unbekannter Varianz muss die Varianz durch s2 geschätzt werden.

P\left( \bar X - t(1- \begin{matrix}\frac {\alpha}2 \end{matrix} ; n-1 ) \frac S{\sqrt {n}} \le \mu \le \bar X + t( 1-\begin{matrix}\frac {\alpha}2 \end{matrix}  ; n-1 ) \frac S{\sqrt {n}}\right) = 1 - \alpha \; . .
\left[\bar x - t(1- \begin{matrix}\frac {\alpha}2 \end{matrix} ; n-1 ) \frac s{\sqrt {n}}\ ;\ \bar x + t( 1-\begin{matrix}\frac {\alpha}2 \end{matrix};n-1 ) \frac s{\sqrt {n}}\right]\;.

(Quantil t(1- \begin{matrix}\frac {\alpha}2 \end{matrix} ; n-1 ) aus der t-Verteilungstabelle bei Freiheitsgrad n-1).

Merkmal mit unbekannter Verteilung und bekannter Varianz

Konfidenzintervall für EX : :\left[\bar x - z(1-\begin{matrix}\frac {\alpha}2 \end{matrix}) \frac{\sigma}{\sqrt {n}} ; \bar x + z(1-\begin{matrix}\frac {\alpha}2 \end{matrix}) \frac{ \sigma } {\sqrt{n}}\right]\;. für n > 30.


Merkmal mit unbekannter Verteilung und unbekannter Varianz

Konfidenzintervall für EX : :\left[\bar x - z(1- \begin{matrix}\frac {\alpha}2 \end{matrix}) \frac s{\sqrt {n}}\ ;\ \bar x + z( 1-\begin{matrix}\frac {\alpha}2 \end{matrix} ) \frac s{\sqrt {n}}\right]\;. für n > 50

Konfidenzintervalle für den Anteilswert einer dichotomen Grundgesamtheit

Modell mit Zurücklegen

Beschreibung durch mit geschätztem Anteilswert  : \hat{p} = \frac {x}{n} . Für n > 100 und n\hat{p}(1-\hat{p}) \ge 9 ),

erhält man das 1-α-Konfidenzintervall für p durch eine Approximation der Binomialverteilung mit Hilfe der Normalverteilung:

\left[ \hat p - z(1 - \begin{matrix}\frac {\alpha}2 \end{matrix}) \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n } \ ;\ \hat p + z(1 - \begin{matrix}\frac {\alpha}2 \end{matrix}) \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n } \right].
Modell ohne Zurücklegen

Für n > \tfrac 9 {p(1-p)} , n > 100 n/N \le 0,05 kann die hypergeometrische Verteilung durch die Normalverteilung approximiert werden:


(1-\alpha)-Konfidenzintervall für \theta:


\left[\ p - z\left(1- \frac{\alpha}{2}\right) \sqrt {\frac{p(1-p)}{n}}\sqrt {\frac{N-n}{N-1}} \ ;\ p + z\left(1- \frac{\alpha}{2}\right) \sqrt {\frac{p(1-p)}{n}}\sqrt {\frac{N-n}{N-1}} \ \right].