Vorzeichentest

Einstichprobenproblem

	Einseitig		Zweiseitig
$\, H_0$	$\, P(X \geq \theta_0) \geq 1/2$	$\, P(X \geq \theta_0) \leq 1/2$	$\, P(X \geq \theta_0) = 1/2$
$\, H_1$	$\, P(X \geq \theta_0) < 1/2$	$\, P(X \geq \theta_0) > 1/2$	$\, P(X \geq \theta_0) \neq 1/2$
$\, H_0$	$\, \theta \geq \theta_0$	$\, \theta \leq \theta_0$	$\, \theta = \theta_0$
$\, H_1$	$\, \theta < \theta_0$	$\, \theta > \theta_0$	$\, \theta \neq \theta_0$

Die Stichprobenwerte, die größer als der hypothetische Median $\theta_0$ sind, bekommen ein "+" zugeordnet;

Werte, die kleiner sind, ein "-". Die Anzahl der positiven Vorzeichen wird gezählt und dient als Teststatistik.

Zweistichprobenproblem

Die $n$ Beobachtungspaare dürfen nicht voneinander abhängen, d.h. das Wertepaar $(x_{1i},x_{2i})\,$ muss unabhängig

vom Wertepaar $(x_{1j},x_{2j}), \forall \; i \neq j$ sein.

Besitzen beide Grundgesamtheiten den gleichen Median, gilt $P(X_{11}>X_{12})=P(X_{11}<X_{12})$.

Folgende Hypothesen können mit dem Vorzeichentest geprüft werden:

	Einseitig		Zweiseitig
$\, H_0$	$\, P(X_{1} \geq X_{2}) \geq 1/2$	$\, P(X_{1} \geq X_{2}) \leq 1/2$	$\, P(X_{1} \geq X_{2}) = 1/2$
$\, H_1:$	$\, P(X_{1} \geq X_{2}) < 1/2$	$\, P(X_{1} \geq X_{2}) > 1/2$	$\, P(X_{1} \geq X_{2}) \neq 1/2$

Die Wertepaare der Stichproben, bei denen $x_{i1} > x_{i2}$ gilt, bekommen ein "+" zugeordnet;

Wertepaare, für die $x_{i1} < x_{i2}$ gilt, ein "-". Die Anzahl der positiven Vorzeichen wird gezählt

und dient als Teststatistik. Die Teststatistik entspricht der Anzahl der positiven Vergleiche (Differenzen der Werte bzw. Ränge):

$V=\sum_{i=1}^{n'}\mathrm{I}(x_{i1}>x_{i2}) \sim B(\pi=0{,}5,n')$

mit

$\mathrm{I}(x_{i1}>x_{i2})= \begin{cases} 1, \quad \text{wenn}\; x_{i1} > x_{i2}\ 0, \quad \text{sonst}\ \end{cases}$

Für das Einstichprobenproblem sind die Werte der zweiten Stichprobe durch den hypothetischen Median zu ersetzen.

Bei Gültigkeit der Nullhypothese $H_0$ ist die Summe der positiven Differenzen binomialverteilt mit $\pi=0{,}5$,

da der Median dem 50 %-Quantil entspricht. n' bezeichnet den nach Behandlung von Ties (Nulldifferenzen, Rangbindungen, s.u.)

verbleibenden Stichprobenumfang. Bei Gültigkeit der Nullyhypothese ist die Verteilung der Prüfgröße symmetrisch.

Approximation durch die Normalverteilung

Mit $n \rightarrow \infty$ nähert sich die Binomialverteilung einer Normalverteilung mit $N(np,np(1-p))$,

als Faustregel $np(1-p)\geq 9$ ($H_0: p=1/2$).

Mit $\tfrac{1}{4}n\geq 9$ bzw. $n\geq 36$ ist die z-standardisierte Größe

$z_V = \frac{\sum_{i=1}^{n'} - \frac{1}{2}\cdot n'}{\tfrac{1}{2}\sqrt{n'}} \approx N(0,1)$

näherungsweise standardnormalverteilt.

Bindungen (Nulldifferenzen) Sind im Zweistichprobenproblem die Werte von Beobachtungen von der ersten zur zweiten Stichprobe unverändert

oder im Einstichprobenproblem einige Werte gleich dem Median, ergeben sich Nulldifferenzen bzw. Bindungen (Ties),

die man so behandeln kann:

• Beobachtungen mit Rangbindungen werden eliminiert, d.h. der Stichprobenumfang wird reduziert.
• Die Beobachtungen werden zu gleichen Teilen den Gruppen zugeordnet. Bei ungerader Anzahl von Bindungen wird ein Beobachtungspaar eliminiert.
• Die Beobachtungen werden jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 einer der beiden Gruppen (+ oder -) zugeordnet.