Test auf Anteilswert (Binomialtest)

Der Anteilswert θ wird geschätzt durch

$\hat \theta = p = \frac{x}{n}$.

Mit dem Binomialtest können folgende Hypothesenpaare für θ getestet werden:

Test	$H_0$	$H_1$
zweiseitig	$\theta = \theta_0$	$\theta \neq \theta_0$
rechtsseitig	$\theta\leq \theta_0$	$\theta > \theta_0$
linksseitig	$\theta \geq \theta_0$	$\theta < \theta_0$

für n > 30 , nθ₀ ≥ 10 n(1-θ₀) ≥ 10 

kann man durch die Gauß-Verteilung approximieren:

Testfunktion

$T = \frac{\theta -\theta_0 }{\sqrt{\theta_0(1-\theta_0) } } \cdot \sqrt{ n} \; \; \approx N(0;1)$ (Gauß-Test) .

	Ablehnungsbereich
zweiseitig	$|T| > z_{1-\alpha/2}$
rechtsseitig	$|T| > z-{1-\alpha}$
linksseitig	$|T| < -z-{1-\alpha}$

für n < 30 oder nθ₀ < 10 oder n(1-θ₀) < 10

ist der exakte Binomialtest anzuwenden:

Testfunktion

Die Teststatistik $X$ gibt an, wie oft das Merkmal in einer zufälligen Stichprobe vom Umfang $n$ aufgetreten ist.

Unter der Nullhypothese $H_0\colon \theta = \theta_0$ ist die Teststatistik $B(\theta_0,n)$-verteilt, das heißt

$P(X=i) = B(i|\theta_0,n) = \binom{n}{i} \theta_0^i (1-\theta_0)^{n-i}$.

Ablehnungsbereich

Da die Teststatistik diskret verteilt ist, kann das vorgegebene Signifikanzniveau $\alpha$ in der Regel nicht eingehalten werden.

Daher wird gefordert, die kritischen Werte so zu wählen, dass für ein möglichst großes exaktes Signifikanzniveau $\alpha_\text{ex}$ gilt $\alpha_\text{ex}\leq\alpha$.

Für den zweiseitigen Test werden daher als kritische Werte das größte $c_1$ und das kleinste $c_2$ bestimmt, für die gilt

• $\sum_{i=0}^{c_1} B(i|\theta_0,n) \leq \alpha/2$ und
• $\sum_{i=c_2}^n B(i|\theta_0,n) \leq \alpha/2$.

Das exakte Signifikanzniveau ergibt sich als

$\alpha_\text{ex}=\sum_{i=0}^{c_1} B(i|\theta_0,n)+\sum_{i=c_2}^n B(i|\theta_0,n)$.

Für die beiden einseitigen Tests wird analog verfahren.

Test	Kritische Werte	Kritischer Bereich	Grenze(n)
zweiseitig	$c_1+1$ und $c_2-1$	$\{0,\dotsc,c_1\} \cup \{c_2,\dotsc,n\}$
rechtsseitig	$c-1$	$\{c,\dotsc,n\}$	c = kleinster Wert, für den $\sum_{i=c}^n B(i| \theta_0,n)= \alpha_\text{ex} \leq \alpha$
linksseitig	$c+1$	$\{0,\dotsc,c\}$	c = größter Wert, für den $\sum_{i=0}^{c} B(i| \theta_0,n)= \alpha_\text{ex} \leq \alpha$