Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest

Nullhypothese

$H_0$: Die Merkmale $X$ und $Y$ sind stochastisch unabhängig.

Die Beobachtungen der Merkmale $X$ und $Y$ liegen paarweise in $m$ bzw. $r$ Klassen vor.

Es gibt insgesamt $n$ paarweise Beobachtungen von $X$ und $Y$, die sich auf $m \cdot r$ Kategorien verteilen. Aufstellung z. B. in einer Häufigkeitstabelle:

	Merkmal $Y$						Summe Σ
Merkmal $X$	1	2	…	k	…	r	nj.
1	n11	n12	...	n1k	...	n1r	n1.
2	n21	n22	…	n2k	…	n2r	n2.
…	…	…	…	…	…	…	…
j	…	…	…	njk	…	…	nj.
…	…	…	…	…	…	…	…
m	nm1	nm2	…	nmk	…	nmr	nm.
Summe Σ	n.1	n.2	…	n.k	…	n.r	n

Absolute Randhäufigkeiten $n_{j\,\cdot}$ bzw. $n_{\cdot\, k}$

$n_{j\,\cdot }= \sum_{k=1}^r n_{jk}$ und $n_{\cdot\, k}= \sum_{j=1}^m n_{jk}$

Prüfgröße für den Unabhängigkeitstest:

$\chi ^2= \sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^r \frac{(n_{jk}- n^*_{jk})^2}{n^*_{jk}}.$

Mit :$n^*_{jk}=\frac{n_{j\,\cdot}\cdot n_{\cdot \,k}}{n},$

$H_0$ wird abgelehnt, wenn $\chi^2 > \chi^2(1-\alpha; (m-1)(r-1))$ ist.