0

0/17

18 Vektoralgebra

0/17/3

18.4 Skalarprodukt

0/17/3/0 .
Beispiel 18 - 175
Kraft, die entlang eines Wegs wirkt .


PIC .

Abbildung 1: Kraftwirkung

.

.
0/17/3/1

.

F S =|F||S| cos α
F S =Fx Sx + Fy Sy
.
Fasst man den Vektor F als Matrix mit einer Zeile (Zeilenvektor) und S als Matrix mit einer Spalte (Spaltenvektor) auf, so kann man das Skalarprodukt als klassische Matrixmultipikation nach dem Falk’schen Schema behandeln: F S = FT S. 0/17/3/2 .
Beispiel 18 - 176
Zahlenbeispiel:

 #
F

= 3 2

                                                                                                                                                                                             #
                                                                                                                                                                                             S

= -1 5 .

.

Die Berechnung erfolgt durch komponentenweise Multiplikation:

 #
F

#
S = (-3+10) = 7
α = arccos 2 1326


PIC .

Abbildung 2: Falk’sches Schema

.
0/17/3/3

Mittels des Skalarprodukts lassen sich Winkel zwischen Vektoren bestimmen. .
a b = |a||b| cos α .
oder cos α = a b |a | |b .
oder α = arccos( a b|a | |b |). .
Für a b > 0 gilt: α < 90°, spitzer Winkel .
Für a b = 0 gilt: α = 90°, rechter Winkel .
Für a b < 0 gilt: α > 90°, stumpfer Winkel .

0/17/3/4 .
Beispiel 18 - 177
Gegeben sind die Vektoren

#F

= 1 1

                                                                                                                                                                                             #S

= -1 1

Bestimmen Sie den Winkel zwischen diesen Vektoren über das Skalarprodukt.

.

#F

            #S

= - 1 + 1 =0
|

#
F |

= 12 + 12 =2 =|

 |

#
F

           #
           S

= 0 =2 2 cos α cos α = 0

                                                                                                          #
                                                                                                          F

                                                                                                                                                                                                          #
                                                                                                                                                                                                          S


.
0/17/3/5 .
Beispiel 18 - 178
Welchen Winkel schließt der Vektor

#a = 2 1 mit der x- bzw. der y-Achse ein ? .

Für den zweiten Vektor gilt:

#e x = 1 0 bzw.

#e y = 0 y . .

#a

#e x = 2 1 1 0 = 2.

 #
a

#
e y = 2 1 0 1 = 1.

|

#
a | = 22 + 12 = 5, |

#
e x| = |

#
 e y| = 1. .
Damit wird cos α = #
a

                 #
                 e x |

#
a ||

                  #
                  e x = 2 5
oder

α = arccos( #
a

         #
         e x |

#
a ||

          #
          e x|) = arccos( 2 5) 0, 46 27°.
und cos β = #a

          #e y |

#
a ||

           #
           e y = 1 5
oder α = arccos( #
a

              #
              e y |

#
a ||

               #
               e y|) = arccos( 1 5) 1, 099 63° .

.
0/17/3/6