+
,
analog: Beide
Nenner sind gleich. . Bildet man aus der Koeffizientenmatrix .
den
Wert ,
. hat man die Koeffizientendeterminante der Matrix
bestimmt. Da die Koeffizientenmatrix eine -Matrix
ist, spricht man von einer 2-reihigen Koeffizientendeterminanten oder Koeffizientendeterminanten 2.
Ordnung.
Ist der Wert der Determinanten ,
so hat das Gleichungssystem keine (bzw. bei einem homogenen Gleichungssystem unendlich viele)
Lösung(en). . Determinanten lassen sich nur für quadratische Matrizen (d.h. die Matrix hat genau so viele Zeilen
wie Spalten) angeben. .
Rechenregel zur Bestimmung einer
-Determinanten:
.
. Die Determinante erhält man, indem man das Produkt der Hauptdiagonal-Elemente bildet und
davon das Produkt der Nebendiagonal-Elemente subtrahiert:
. Beispiel 16 - 1:
.
0/15/0/0/1 . Beispiel 16 - 143
-
1.
-
-
2.
-
-
3.
-
. .
-
1.
-
-
2.
-
-
3.
-
. 0/15/0/0/2
0/15/0/1
16.1.2 allgemeine Rechenregeln für Determinanten
Die hier aufgeführten Rechenregeln gelten auch für Determinanten höherer Ordnung:
-
1.
- Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man Zeilen und Spalten vertauscht
-
2.
- Beim Vertauschen zweier Zeilen (bzw. Spalten) ändert sich das Vorzeichen
-
3.
- Multlipliziert man eine Zeile (bzw Spalte) mit ,
dann multipliziert sich die Determinante
mit
-
4.
- Eine Determinante besitzt den Wert ,
wenn
-
(a)
- alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) Null sind
-
(b)
- Zwei Zeilen (oder Spalten) gleich sind
-
(c)
- Zwei Zeilen (oder Spalten) zueinander proportional sind
-
(d)
- Eine Zeile (oder Spalte) als Linearkombination der übrigen Zeilen (oder Spalten)
darstellbar ist.
-
5.
- Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) das
Vielfache einer anderen Zeile (oder Spalte) addiert.
-
6.
-
-
7.
- Dreiecksmatrizen
. haben als Determinante das Produkt der Hauptdiagonalen
Beispiel 16 - 144:
-
1.
- Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man Zeilen und Spalten vertauscht:
.
. .
.
-
2.
- Beim Vertauschen zweier Zeilen (bzw. Spalten) ändert sich das Vorzeichen: .
.
-
3.
- Multlipliziert man eine Zeile (bzw Spalte) mit ,
dann multipliziert sich die Determinante
mit
: .
. .
(Achtung! Nicht verwechseln mit der (Skalar-)Multiplikation bei Matrizen/Vektoren!)
-
4.
- Eine Determinante besitzt den Wert ,
wenn
-
(a)
- alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) Null sind
-
(b)
- Zwei Zeilen (oder Spalten) gleich sind
-
(c)
- Zwei Zeilen (oder Spalten) zueinander proportional sind
-
(d)
- Eine Zeile (oder Spalte) als Linearkombination der übrigen Zeilen (oder Spalten)
darstellbar ist: .
| | | | |
| |
.
-
5.
- Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) das
Vielfache einer anderen Zeile (oder Spalte) addiert: .
Addition des 6-fachen von Zeile II zu Zeile I:
.
-
6.
-
.
| | |
| |
.
-
7.
- Dreiecksmatrizen haben als Determinante das Produkt der Hauptdiagonalen
:
.
.
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