0

0/10

11 Periodische Funktionen

0/10/2

11.2 Anwendungen in der Schwingungslehre

0/10/2/0

0/10/2/1

11.2.1 Harmonische Schwingungen

0/10/2/1/0

y = a sin(x) (siehe Bild)| a -Amplitude
y = a sin(b x) | b -Veränderung der Periode
y = a sin(b x + c) | c -Verschiebung entlang der x-Achse Phase

0/10/2/1/1


PIC .

Abbildung 1: Harmonische Schwingung

0/10/2/1/2 .

(Die Cosinusfunktion ist analog zur Sinusfunktion, da cos(x) = sin(x + π 2 ) )

0/10/2/2

11.2.2 Anwendungen in der Mechanik

0/10/2/2/0

.
Masse-Feder-Pendel .
y = A sin(ωt + φ) .
.

A: max. Ausdehnung, Amplitude
ω:Kreisfrequenz ω = 2π f = 2π T
φ: Phase
f: Frequenz
T: Schwingungsdauer

.
0/10/2/2/1 .
Beispiel 11 - 62

y =5cm sin( 2s-1 ω t + π 2 )

.

Frequenz : f = ω 2π = 2s-1 2π 0, 32s-1
Amplitude : 5cm
Phase : (2s-1 t + π 2 ) = 0
t = -π 4 s

.
0/10/2/2/2

0/10/2/3

11.2.3 Zeigerdiagramme

0/10/2/3/0

y = a sin(ωt + φ) 0/10/2/3/1


PIC .

Abbildung 2: y = a sin(ωt + φ)

0/10/2/3/2 .
Beispiel 11 - 63:

y1 =3 cos(5t)
y2 =3 cos(5t + π)
y3 =3 cos(5t + π 3 )

0/10/2/3/3


PIC .

Abbildung 3: Darstellung im Zeigerdiagramm (t = 0)

0/10/2/3/4 .

0/10/2/4

11.2.4 Überlagerung gleichfrequenter Schwingungen (Superposition)

0/10/2/4/0

Zwei Schwingungen mit gleicher Frequenz, aber ggf. unterschiedlicher Amplitude und Phase können als eine Schwingung y = y1 + y2 = a sin(ωt + φ) zusammengefasst werden: .

y1 =A1 sin(ωt + φ1)
y2 =A2 sin(ωt + φ2)
0/10/2/4/1

PIC .

Abbildung 4: Paralellogramm

0/10/2/4/2 .

0/10/2/4/3 .
Beispiel 11 - 63

y =y1 + y2
zur Vereinfachung: ωt =0
x1 =A1 cos(φ1)
y1 =A1 sin(φ1)
x2 =A2 cos(φ2)
y2 =A2 sin(φ2)

.
A2 =(x2 + y2) = (x 1 + x2)2 + (y 1 + y2)2
=(A1 cos φ1 + A2 cos φ2)2 + (A 1 sin φ1 + A2 sin φ2)2
=A12 cos 2φ 1 + 2A1A2 cos φ1 cos φ2 + A22 cos 2φ 2
+ A12 sin 2φ 1 + 2A1A2 sin φ1 sin φ2 + A22 sin 2φ 2
=A12( cos 2φ 1 + sin 2φ 1 1)+A22( cos 2φ 2 + sin 2φ 2 1)+2A1A2( cos φ1 cos φ2 + sin φ1 sin φ2 cos(φ1-φ2)=cos(φ2-φ1))
=A12 + A 22 + 2A 1A2 cos(φ1 - φ2)
A =A1 2 + A2 2 + 2A1 A2 cos (φ1 - φ2 )
Phase:  tan φ = y x = y1 + y2 x1 + x2 = A1 sin φ1 + A2 sin φ2 A1 cos φ1 + A2 cos φ2

.
0/10/2/4/4

0/10/2/4/5 .
Beispiel 11 - 64

Stellen Sie die Harmonischen Schwingungen
y1 = 3 cos(ωt -π 4 ) und y2 = -3 sin(ωt -π 6 ) durch eine Sinusfunktion vom Typ y = A sin(ωt + ϕ) dar. .

y1 = 3 cos(ωt -π 4 ) = 3 sin(ωt + π 4 ) .
y2 = -3 sin(ωt -π 6 ) = 3 sin(ωt + 5π 6 ) .

y = A sin(ωt + ϕ) .
und A1 = A2 = 3, φ1 = π 4 , φ2 = 5π 6 mit A = A1 2 + A2 2 + A1 A2 cos (φ1 - φ2 ) = 9 + 9 + 9 cos ((1 4 -1 6)π) = 18 + 9 cos (( 3 12 - 2 12)π) = 18 + 9 cos ( 1 12π) 18 + 9 0, 991 26, 9 5, 188. .
tan φ = y1 + y2 x1 + x2 = A1 sin φ1 + A2 sin φ2 A1 cos φ1 + A2 cos φ2 = sin π 4 + sin 5π 6 cos π 4 + cos 5π 6 -7.595 .
φ arctan -7.595 -1, 44 82°. .

.
0/10/2/4/6 Anwendung: 0/10/2/4/7


PIC .

Abbildung 5: Überlagerung von Schwingungen

0/10/2/4/8 .
0/10/2/4/9 .
Beispiel 11 - 65

y1 =4cm sin(2s-1 t)
y2 =3cm cos(2s-1 t -π 6 )

.

y1 =4cm sin(2s-1 t)
y2 =3cm cos(2s-1 t -π 6 )
=3cm sin(2s-1 t + π 3 )
φ1 - φ2 =π 3
A =42 cm2 + 32 cm2 + 2 4 3cm2 cos π 3 =6, 08cm
tan φ = 4cm 0 + 3cm sin π 3 4cm cos 0 + 3cm cos π 3 =2, 59cm 5, 5cm =0, 47
φ 25, 3 0, 44

.
0/10/2/4/10

0/10/2/5

11.2.5 Lissajous-Figuren

0/10/2/5/0

x =a sin ωt
y =b cos ωt
xa = sin ωt
y b = cos ωt
x2 a2 + y2 b2 =1

0/10/2/5/1


PIC .

Abbildung 6: Lissajous-Figuren

0/10/2/5/2 .
.
Beispiel 11 - 66: Befehle zum Zeichnen von Lissajous-Figuren: .
Maple: plot([sin(2 * x),cos(x),x = -Pi..Pi]) .
Maxima: plot2d([parametric,sin(t),cos(t), [t,-8 * %pi, 8 * %pi], [nticks, 2000]])