0

0/14

15 Reelle Matrizen

0/14/4

15.4 Gauß’scher Algorithmus

0/14/4/0

15.4.1 Darstellung in Matrixform

0/14/4/0/0

- x + y + z =0 umbilden in Matrix:
x - 3y- 2z =5 1. Spalte: x,2. Spalte: y
5x + y + 4z =3 3. Spalte: z,4. Spalte: Konstante

- 1 + 1 + 10
1- 3- 25
5143

.

.
Das lineare Gleichungssystem kann geschrieben werden als A x = c . .
Koeffizienten: aik
Absolutglieder (Konstanten): ci

A x = c

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + + a1n xn =c1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + + a2n xn =c2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + + a3n xn =c3

A x =cmit x = x1 x2 x3 und c = c1 c2 c3

.

Entsprechend verfolgt jetzt der Gaußsche Algorithmus das Ziel, über äquivalente Umformungen die Matrix A in ein gestaffeltes System (Dreiecksform) zu bringen durch die Schritte:

1.
Vertauschen von Zeilen
2.
Multiplikation mit einem Faktor 0
3.
Addition eines Vielfachen einer anderen Zeile

0/14/4/0/1 .
Beispiel 15 - 136
Lösen eines Gleichungssytems mit Excel : .


PIC .

Abbildung 1: Gleichungssystem als Excel-Tabelle

.
.

.

.
0/14/4/0/2

0/14/4/0/3 .
Beispiel 15 - 137

- x + y + z =0 umbilden in Matrix:
x - 3y- 2z =5 1. Spalte: x,2. Spalte: y
5x + y + 4z =3 3. Spalte: z,4. Spalte: Konstante

.

.

1- 1- 10-1
1- 3- 25
5143





1 - 1 - 1 0
1- 3- 25- I
5143- 5 I





1- 1- 10
0- 2- 15- I
0693 + 3 II





1- 1- 10
0- 2- 15- 2I
006183





1- 1- 10
011 2-5 2
0013






.
z = 3 .
Aus Zeile 2 folgt: y + 3 1 = -5 2 y = -4 .
Aus Zeile 1 folgt: x + 4 - 3 = 0 x = -1 .
(alternativ Gauß-Jordan: Später !)

.
0/14/4/0/4

0/14/4/1

15.4.2 Lösungsschritte des Gauß’schen Algorithmus

Die Lösung eines linearen Gleichungssystems A x = c erfolgt durch Umformung in zwei, ggf. drei Schritten:
I. Vorwärtselimination mit
Ia. eventueller Pivotisierung (d.h. Vertauschen von Zeilen, bis die Diagonalelemente 0)
II. Rückwärtselimination

I. Vorwärtselimination

1.
Eliminationsschritt: (a110)
subtrahierea21a11-fache der 1.Zeile von 2.Zeile
a31a11-fache der 1.Zeile von 3.Zeile

Durch den ersten Eliminationsschritt entstehen in der 1. Spalte der Matrix Nullen, außer a11 sind alle ai1 = 0.
2.
Eliminationsschritt: (a220)
subtrahierea32a22-fache der 2.Zeile von 3.Zeile
a42a22-fache der 2.Zeile von 4.Zeile
3.
Solange wiederholen, bis die Dreiecksform vorliegt. (Die Koeffizienten der Matrix in Dreiecksform werden ab hier der Übersichtlichkeit halber mit Koeffizienten a ik bzw. c i bezeichnet.)

Ia. Pivotisierung

1.
Das Gauß-Verfahren versagt, falls das Diagonalelement oder Pivotelement (engl. für Dreh- und Angelpunkt) akk eines Eliminationsschrittes gleich Null ist, akk = 0 (Abbruch des Verfahrens bei Division durch Null).
2.
Pivotsuche: Ist ein Diagonalelement akk = 0, so vertauscht man die Pivot-Zeile k vor Ausführung des k-ten Eliminationsschrittes mit derjenigen Zeile m > k, die den betragsmäßig größten Koeffizienten für xk besitzt:
3.
Neue Pivotzeile m, neues Pivotelement amk.

II. Rückwärtselimination
Aus der Dreiecksform werden die Lösungen xi durch schrittweises Rückwärtseinsetzen gewonnen:

1.
Zuerst die unterste Zeile nach xn auflösen.
2.
Die anderen Elemente xi,i = n - 1,, 1 des Lösungsvektors x bestimmt man dann rekursiv mit der Gleichung xn = c n a nn, xi = c i a ii - k=i+1nx k a ik a ii ,i = n - 1,, 1

.
Sei A eine 4x4-Matrix, dann lautet das Gleichungssystem A x = c mit dem unbekannten Vektor x = (x-1,x2,xn)T:

a11x1+a12x2+a13x3+a14x4 =c1
a22x2+a23x3+a24x4 =c2
a33x3+a34x4 =c3
a44x4 =c4

x4 erhält man aus der letzten Zeile: x4 = c4 a44
Der Wert für x4 wird in die vorletzte Zeile eingesetzt, diese nach x3 aufgelöst: x3 = c3 - a34x4 a33 .
.
Das gleiche Schema wird auf die darüberliegenden Zeilen angewandt, bis alle Werte von x bestimmt sind.

0/14/4/2

15.4.3 Gauß-Jordan-Verfahren

0/14/4/2/0

Alternativ zum beschriebenen Gauß-Verfahren kann man auch die Koeffizientenmatrix noch weiter umformen, bis man eine Einheitsmatrix E erhält. Damit können die Lösungen direkt abgelesen werden.

A x = c
A-1 A x = A-1 c oder
x = A-1 c
Dies ist auch als Gauß-Jordan-Verfahren bekannt.
0/14/4/2/1 .
Beispiel 15 - 138
Alternative Lösung des obigen Beispiels mit Gauß-Jordan: .

- x + y + z =0 umbilden in Matrix:
x - 3y- 2z =5 1. Spalte: x,2. Spalte: y
5x + y + 4z =3 3. Spalte: z,4. Spalte: Absolutglied

.
(Anm.: Man kann das Absolutglied zuerst auch auf die linke Seite der Gleichung bringen, man muß nur beim Ablesen darauf achten.) .
xyzc PS
1- 1- 10- 1
1- 3- 251- I
514313- 5 I






1- 1- 10- 1- II2
0- 2- 152
069318 + 3 II






100- 10
010- 4- 3
00618246






100- 10
010- 4- 3
00134







.
x = -1,y = -4,z = 3 .

.
0/14/4/2/2

0/14/4/2/3 .
Beispiel 15 - 139
Zu lösen ist das Gleichungssystem .

- x + y- z =- 2
+ y- 2z =- 4
- z =- 15

.

- 11- 1- 2- III
01- 2- 4- 2 III
00- 1- 15





- 11013- II
01- 2- 4 + 2 III
00- 1- 15





1- 10- 1- II
01026
00- 1- 15 (-1)





10013
0 1 0 26
00115






.
.
x = 13,y = 25,z = 15 .

.
0/14/4/2/4

Beispiele zum Gauß’schen Verfahren
0/14/4/2/5 .
Beispiel 15 - 140
Tragwerke

FAFBMAc
0 1 20F cos αnach II
1 1 20F sin αnach I
0 k 21k 2 F sin α

.
Pivotisieren:

.

FAFBMAc





1 1 20F sin α- II
0 1 20F cos α
0 k 21k 2 F sin αk





1 00F (sin α - cos α)
0 1 20F cos α
0 1 21 k1 2 F sin α- II





1 00F (sin α - cos α)
0 1 20F cos α2
0 01 kF (1 2 sin α - cos α) k





1 00F (sin α - cos α)
0 102 F cos α
0 01F k (1 2 sin α - cos α)






.
FA = F (sin α - cos α)
FB = 2 F cos α
MA = F k (1 2 sin α - cos α)

.
0/14/4/2/6

0/14/4/2/7 .
Beispiel 15 - 141

1 1 -2 1-1-2 2 3 -4 x y z = 0 0 0

11- 20
1- 1- 20
23- 40

.
.

11- 20
1- 1- 20- I
23- 40- 2I
11- 20
0- 200
0100 + II 2
11- 20
0- 200
0000 + II 2

Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen
z wird zum Parameter und ist frei wählbar.
Auflösen durch Rückwärtseinsetzen:
II y = 0 .
I x + 0 - 2λ = 0 .
x = 2λ .

.
0/14/4/2/8

0/14/4/2/9 .
Beispiel 15 - 142

- x1 + 2x2 + x3 =6
x1 + x2 + x3 =- 2
2x1 - 4x2- 2x3 =- 6


.

- 121 6
1 + 11 - 2 + I
2- 4- 2 - 6 + 2I
- 121 6
032 4
0 00 - 6
.
oder .
.
- x1 + 2x2 + x3 =6
03x2 + 2x3 =4
000 =- 6

Das Gleichungssystem ist nicht lösbar.


.
0/14/4/2/10

Ein Gleichungssystem hat

eine oder keine oder unendlich viele
Lösungen. .


Ist das Gleichungssystem homogen (Alle Absolutglieder sind Null, c = 0) so hat es entweder genau eine Lösung (die Triviallösung x = 0) oder unendlich viele Lösungen (darunter auch die Triviallösung).