0
0/15
0/15/1
0/15/1/12
0/15/1/12/0
Das Lösungsverhalten eines linearen (m,n)-Gleichungssystems wird durch die Homogenität/Inhomogenität des Gleichungssystems entscheidend geprägt:
Ein gegebenes Gleichungssystem
0/15/1/12/2
.
In Matrixschreibweise :
wird durch äquivalente
Umformungen in
überführt.
.
.
.
Damit das Gleichungssystem lösbar ist, muss die erweiterte Koeffizientenmatrix
die
spezielle Form
.
.
annehmen.
Sowohl die Matrizen
als auch
sind von trapezförmiger Gestalt und enthalten in den letzten (m-r) Zeilen nur Nullen. Sie stimmen
daher mit ihrem Rang überein:
.
Da die erweiterten Matrizen
und
durch äquivalente Umformungen / elementare Zeilenumformungen ineinander übergegangen sind,
sind die korrespondierenden Matrizen ebenso ranggleich.
Dann gilt jedoch:
Ein lineares (m,n)-System
ist nur dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatric
mit dem Rang der erweiterten
Koeffizientenmatrix
übereinstimmt:
(
Fallunterscheidungen
| ⋮ | ⋮ | ||||
In Matrixschreibweise :
.
.
Nun kann man durch Rückwärtseinsetzen die Werte für
bestimmen. Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung
| ⋮ | ⋮ | ||||||
Zusammenfassung: Ein Lineares Gleichungssystem ist nur lösbar, wenn Koeffzientematrix
und erweiterte
Matrix
ranggleich sind:
Im Falle der Lösbarkeit besitzt das lineare Gleichungssystem die folgende Lösungsmenge:
Für :
Genau eine Lösung
Für :
Unendlich viele Lösungen
In einem homogenen System
ist die Lösbarkeitsbedingung
stets erfüllt.
.
0/15/1/12/3 .
Beispiel 16 - 154
Das Gleichungssystem
0/15/1/12/5 .
Beispiel 16 - 155
Das Gleichungssystem
.
.
.
.
.
.
Daraus folgt: .
.
Aus dem gestaffelten System kann man das Ergebnis ablesen: .
.
.
. .
0/15/1/12/7 .
Beispiel 16 - 156
Das Gleichungssystem
.
.
.
Daraus folgt: .
.
Da ,
besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. .