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20 Anwendungen

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20.4 Drehung von Vektoren

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20.4.1 Drehung von Vektoren um die x-,y- oder z-Achse

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Vektoren in x = x y z -Darstellung können gedreht werden, indem man sie mit mit Drehmatrizen multipliziert: .
.
x1 = (α)x. .
.
Für einen vorgegebenen Winkel α wird die Drehung um die x-Achse beschrieben mit: .
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x(α) = 1 0 0 0 cosα - sinα 0sinα cosα .
.
Die Drehung um die y-Achse wird beschrieben mit: .
.
y(α) = cosα 0sinα 0 1 0 - sinα0cosα .
.

Die Drehung um die z-Achse wird beschrieben mit: .
.
z(α) = cosα - sinα0 sinα cosα 0 0 0 1 .
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Beispiel 20 - 226
Modell eines einfachen (nur bedingt praxistauglichen) Roboters .
Gegeben sei ein Zweiachsenroboter mit den Achsen a1 und a2:


PIC .

Abbildung 1: einfaches Robotermodell

.
Die Koordinaten der Spitze des Roboters liegen bei (1,2,4) [m]. .
Nun dreht der Roboter zunächst seine Spitze um die Achse a1 um 45°gegen den Uhrzeigersinn und danach um seine Achse a2 um 45°gegen den Uhrzeigersinn. Wo steht dann die Spitze ?

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Wechsel des Bezugssytems: Neuer Ursprung (0,2,4). Bezüglich dieses Bezugspunkts hat die Spitze die Koordinaten (1,0,0). .
Drehung um Achse a1: .

 #
x1 = (α)

  #
 x = 1 2 0 1 2 0 1 0 - 1 20 1 2 1 0 0 = 1 2 0 - 1 2 . .
Erneuter Wechsel des Bezugssytems: Neuer Ursprung (0,0,4). Bezüglich dieses Bezugspunkts hat die (gedrehte) Spitze die Koordinaten 1 2 2 - 1 2 . .
Drehung um Achse a2: .

#x2 = (α)

  #x1  = 1 2- 1 20 1 2 1 2 0 0 0 1 1 2 2 - 1 2 = 1 2 - 2 2 1 2 + 2 2 - 1 2 . .
Die neue Lage der Spitze ist dann nach Transformation in (0,0,0): 1 2 -2 1 2 + 2 4 - 1 2 . .

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