0

0/13

14 Einführung in die Integralrechnung

0/13/3

14.3 elementare Integrationsregeln

0/13/3/0

14.3.1 Faktorregel

0/13/3/0/0

Ein konstanter Faktor darf vor das Integral geschrieben werden: .
a f(x) dx = a f(x) dx .

Beispiel 14 - 1: .
4x3 dx = 4 x3 dx = 4 4x4 + C .
0/13/3/0/1 .
Beispiel 14 - 104
2 x dx = .

2 x dx = 2 1 x dx = 2 ln |x| + C .

.
0/13/3/0/2 .
Beispiel 14 - 105
3 3x dx =

.

3 3x dx = 3 3x dx = 3 3x 1 ln |3| + C .
.
0/13/3/0/3

0/13/3/0/4 .
Beispiel 14 - 106
4x+2 dx =

.

4x+2 dx = 42 4x dx = 42 4x ln |4| + C
.
0/13/3/0/5 .
Beispiel 14 - 107
2 cos x dx =

.

2 cos x dx = 2 cos x dx = 2 sin x + C
.
0/13/3/0/6 .
Beispiel 14 - 108
-2 cos 2x dx =

.

-2 cos 2x dx = -2 1 cos 2x dx = -2 tan x + C
.
0/13/3/0/7

0/13/3/0/8 .
Beispiel 14 - 109
-3 sin 2x dx =

.

-3 sin 2x dx = 3 -1 sin 2x dx = 3 cot x + C
.
0/13/3/0/9

0/13/3/1

14.3.2 Summenregel

0/13/3/1/0

Eine endliche Summe von Funktionen darf gliedweise integriert werden: .
f1(x) + f2(x) + .... + fn(x) dx =f1(x) dx +f2(x) + + fn(x) dx .
bzw. .
i=1nf i(x) dx = i=1nf i(x) dx .

Beispiel 14 - 110: .
(x2 + 2x + 1) dx =x2 dx + 2x dx + 1 dx = 1 3x3 + x2 + x + C .
0/13/3/1/1 .
Beispiel 14 - 110
2x -1 x  dx =

.

2x -1 x  dx = 2x dx -1 x dx = x2 - ln |x| + C
.
0/13/3/1/2 .
Beispiel 14 - 111
(ex + 2x+2) dx =

.

(ex + 2x+2) dx =ex dx + 2x 22 dx = ex + 22 2x 1 ln |2| + C

.
0/13/3/1/3 .
Beispiel 14 - 112
(sin x + cos x) dx =

.

(sin x + cos x) dx = sin x dx + cos x dx = - cos x + sin x + C
.
0/13/3/1/4 .
Beispiel 14 - 113
5 cos 2x - 5 sin 2x + x2  dx = 5 cos 2x dx - 5 sin 2x dx +x2 dx

.

5 cos 2x - 5 sin 2x + x2  dx = 5 cos 2x dx - 5 sin 2x dx +x2 dx .
= 5 1 cos 2x dx - 5 1 sin 2x dx +x2 dx = 5 tan x + 5 cot x + 1 3x3 + C
.
0/13/3/1/5

0/13/3/2

14.3.3 Vertauschungsregel

Das Vertauschen von Integrationsgrenzen bewirkt einen Vorzeichenwechsel des Integrals:
abf(x) dx = - baf(x) dx

0/13/3/3

14.3.4 Zusammenfallen der Integrationsgrenzen

Fallen die Integrationsgrenzen zusammen, so ist der Integralwert gleich Null: .
aaf(x) dx = 0 .

0/13/3/4

14.3.5 Zerlegen des Integrationsintervalls in Teilintervalle

Für jede Stelle c aus dem Integrationsintervall a c b gilt : .
abf(x) dx = acf(x) dx + cbf(x) dx .