0
0/12
13 Differentialrechnung
0/12/2
13.2 Ableitungsregeln
0/12/2/0
0/12/2/1
13.2.1 Faktorregel
Die Ableitungsregeln können können wahlweise eingesetzt werden und schließen sich nicht
gegenseitig aus.
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| | | | | |
| |
.
.
Beispiel:
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| | | | | | |
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.
0/12/2/2
13.2.2 Summenregel
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Beispiel 13 - 1:
.
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| | | | |
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| | | | | |
| |
0/12/2/3
13.2.3 Produktregel
0/12/2/3/0
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| |
.
.
.
0/12/2/3/1 .
Beispiel 13 - 74
| Beispiel 1: | | | | |
| Beispiel 2: | | | | |
| Beispiel 3: | | | | |
| |
.
Beispiel 1:
Beispiel 2:
Beispiel 3:
.
0/12/2/3/2
0/12/2/4
13.2.4 Quotientenregel
| | | | |
| | | | |
| |
.
Beispiel 13 - 75:
| | | | | | |
| |
| | | |
| | |
| |
.
0/12/2/5
13.2.5 Kettenregel
0/12/2/5/0
Beispiel 13 - 76:
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| | | Innere Funktion |
| | | | Äußere Funktion |
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| | | | | | |
| | | | | |
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| | | | | | |
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.
.
| | | | |
| | | |
| | | |
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.
0/12/2/5/1 .
Beispiel 13 - 75
.
äußere Funktion:
innere Funktion:
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| | | |
| | |
| | | | | | | |
| | |
| |
.
0/12/2/5/2 .
0/12/2/5/3 .
Beispiel 13 - 76
.
äußere Funktion:
innere Funktion:
| | |
| | | |
| | | | | | | |
| | |
| | | | | | | |
| | |
| |
.
0/12/2/5/4
0/12/2/5/5 .
Beispiel 13 - 77
.
1. Substitution:
2. Substitution:
| | | | |
| | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | |
| | | | | |
| | | | | |
| | |
| |
. . Weiteres Beispiel:
.
0/12/2/5/6 .
0/12/2/6
13.2.6 Logarithmische Ableitung
0/12/2/6/0
Vorgehensweise :
-
1.
- Logarithmieren beider Seiten
-
2.
- Ableiten (z. B. mit Hilfe der Kettenregel)
Beispiel 13 - 78:
| | | | | Logarithmieren beider Seiten |
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| | | |
| | | |
| | |
| | | | | |
| | | | | |
| | |
| | | | | |
| |
.
0/12/2/6/1 .
Beispiel 13 - 78
.
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| | | |
| | | | äußere Funktion |
| | | | innere Funktion |
| | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | |
| |
.
0/12/2/6/2 .
Beispiel 13 - 79
.
.
(Produktregel)
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| | |
| | | |
| | | |
| | | | | |
| | | | | |
| |
.
0/12/2/6/3
0/12/2/7
13.2.7 Ableitung der Umkehrfunktion
0/12/2/7/0
Gegeben sei eine Funktion ,
von der die Ableitung
sowie die Umkehrfunktion
gebildet werden kann. .
Falls die Ableitung der Umkehrfunktion
nun nicht mit den bisherigen Verfahren gebildet werden kann, läßt sich die Umkehrfunktion
evtl.
doch ableiten:
0/12/2/7/1
0/12/2/7/2 .
Das Prinzip: .
Funktionsgleichung nach x auflösen:
Anders ausgedrückt:
| innere Funkion | | | | |
| äußere Funkion | | |
| Kettenregel: | | | | |
| | | | |
| | | | | |
| |
.
.
Die Schritte zur Ableitung der Umkehrfunktion
-
1.
- Ersetzen der Variablen
durch
und ableiten
-
2.
- Auf beiden Seiten
und
vertauschen
Beispiel 13 - 80:
Gegeben sei die Umkehrfunktion von :
.
sowie die Ableitung von :
. .
Gesucht ist die Ableitung :
.
Schritt 1: .
.
.
Schritt 2: Vertauschen von
und :
.
.
0/12/2/7/3 .
Beispiel 13 - 80
.
| | | | |
| | | |
| | | | | | | |
| | | | | |
| |
.
0/12/2/7/4
0/12/2/8
13.2.8 Implizite Ableitung
0/12/2/8/0
Ist eine Gleichung in impliziter Darstellung
gegeben, läßt sich die Ableitung bilden, indem man alle Terme ableitet (Kettenregel beachten !) .
0/12/2/8/1 .
Beispiel 13 - 81
Zu bilden sei die Ableitung der Funktion
.
. . Auflösen nach
:
. .
. .
.
0/12/2/8/2
0/12/2/9
13.2.9 Differential einer Funktion
0/12/2/9/0
0/12/2/9/1
0/12/2/9/2 .
Fragestellung: Wie groß wird der Fehler, wenn anstelle der Tangentensteigung die Sekantensteigung für
ein
(z.B. von 0.1) verwendet wird ? .
.
Differential
.
Zuwachs der Ordinate
der Kurventangente an
bei Änderung der Abszisse
um .
:
Ordinatenabweichung .
Die Ableitung einer Funktion kann als Quotient zweier Differentiale aufgefasst werden.
Beispiel 13 - 82:
.
Gesucht ist Steigung der Sekante, also die Ordinatenänderung
für eine
Änderung von
an . .
.
| Für | | | in |
| Für | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| |
Damit ist die Steigung der Sekante im Punkt
ungefähr .
.
Steigung der Kurventangente: .
| | |
| | | |
| |
.
Differenz der Steigungen:
.
Der relative Fehler ist
dann Steigungsdifferenz
/ Steigung
0/12/2/10
13.2.10 Höhere Ableitungen
0/12/2/10/0
-
1.
-
-
2.
-
-
3.
-
-
4.
-
-
5.
- n.
.
.
.
: Differentialqutient n-ter Ordnung
.
Beispiel 13 - 83:
.
.
0/12/2/10/1 .
Beispiel 13 - 82
.
| | |
| | | |
| | | |
| | | |
| |
.
0/12/2/10/2
0/12/2/11
13.2.11 Übungen
Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .