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16 Determinanten

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16.2 Determinanten von Matrizen höherer Ordnung

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16.2.13 Lösung linearer Gleichungssysteme mit der Cramer’schen Regel

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Ein lineares (n,n)-Gleichungssystem A x = c besitzt genau eine Lösung, wenn die Koeffizientenmatrix A regulär ist. Dann existiert auch die zu A inverse Matrix A-1, und die Lösung läßt sich wie folgt berechnen:
Man multipliziert die Matrizengleichung A x = c von links mit A-1 :
A-1 A x = A-1 c

A-1 c = A-1 A x = (A-1 A) E x = E x = x

Damit wird der Lösungsvektor

x = A-1c = 1 det AA11A21An1 A12 A22 an2 A 1nA2nAnn c1 c2 c n

= 1 det A c1 A11 + c2 A21 + + cn An1 c1 A12 + c2 A22 + + cn An2 c 1 A1n + c2 A2n + + cn Ann ,
.

oder in komponentenweiser Darstellung:


x1 = c1A11 + c2A21 + + cnAn1 det A
x2 = c1A12 + c2A22 + + cnAn2 det A
⋮       ⋮
xn = c1A1n + c2A2n + + cnAnn det A
.

Den Zähler kann man auch schreiben als Determinante:

D1 = c1a12a13a1n c2 a22a23a2n c nan2an3ann ,
.

was sich sofort verifizieren läßt, indem man einfach diese Determinante nach den Elementen der ersten Spalte entwickelt.
Mit der Vereinbarung D = det A kann man dann vereinfacht schreiben:
x1 = D1 D ,x2 = D2 D ,x3 = D3 D bzw. xi = Di D ,
was als Cramer’sche Regel bekannt ist.

Die Cramer’sche Regel scheint zwar einfach anwendbar, ist aber in der Regel ineffizient, insbesondere bei größeren Zahlen von m und n. .
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Beispiel 16 - 157
Das Gleichungssystem

2x1+x2+3x3 =8
- x1-4x2+x3 =3
x1+2x2-4x3 =1
.
hat genau eine Lösung, da die Koeffizientendeterminante .
det A = 2 1 3 -1 -4 1 1 2 -4 = 32+1-6+12-4-4 = 310ist. .
.

Anwendung der Cramer’schen Regel: .

det D1 = 8 1 3 3 -4 1 1 2 -4 = 155 .

det D1 = 2 8 3 -1 3 1 1 1-4 = -62.

det D1 = 2 1 8-1 -4 3 1 2 1 = 0.

Daraus folgt: .
x1 = D1 D = 155 31 = 5 .
.
x2 = D2 D = -62 31 = -2 .
.
x1 = D3 D = 0. .

.
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