0

0/19

20 Anwendungen

0/19/3

20.3 Vektorielle Darstellung der Ebene

0/19/3/2

20.3.2 Drei-Punkte-Form

0/19/3/2/0

Eine Ebene in Drei-Punkte-Form läßt sich recht einfach in eine Punkt-Richtungsform bringen, indem man aus jeweils zwei Punkten einen Richtungsvektor bildet:
r(P) = r1 + λP1P2 + μP1P3 . oder in Komponentenschreibweise: .
.
0/19/3/2/1 .
Beispiel 20 - 211
Ebenendarstellung in Punkt-Richtungsform .
mit

#P
 1  =

#r
 1  = x1 y1 z1 ,

 #
P2 = x2 y2 z2 und

 #
P3 = x3 y3 z3 .
erhält man .

#r (P) = x1 y1 z1 +λ x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 +μ x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1 = + x1 + λ(x2 - x1) + μ(x2 - x1) y1 + λ(y2 - y1) + μ(y3 - y1) z1 + λ(z2 - z1) + μ(z3 - z1) .

.
0/19/3/2/2 .
0/19/3/2/3 .
Beispiel 20 - 212
Umwandlung der Ebenendarstellung: Drei-Punkte-Form in eine Parameterdarstellung .
Gegeben sind die drei Punkte mit den Ortsvektoren

#r
1 = 1 5 0 ,

#r2 = -2 -1 8 und

 #
r3 = 2 0 1 .
Die Parameterdarstellung der Ebene lautet dann .

#r (P) = x1 y1 z1 +λ x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 +μ x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1 = .
1 5 0 +λ -2 - 1 -1 - 5 8 - 0 +μ 2 - 1 0 - 5 1 - 0 .
= 1 5 0 +λ -3 -6 8 +μ 1 -5 1 .

.
0/19/3/2/4 .