0

0/13

14 Einführung in die Integralrechnung

0/13/2

14.2 Integration

0/13/2/0

14.2.1 Definition des Integrationsbegriffs

0/13/2/0/0

y = f(x)

Differentiation →�
Integration
y′ = f′(x) .
Das Aufsuchen sämtlicher Stammfunktionen F(x) zu einer vorgegebenen Funktion y = f(x) wird als Integration bezeichnet. .
f(x) →IntegrationF(x), mit F′(x) = f(x)
F(x) =∫ f(x) dx
.
.

Gesucht ist bei den folgenden Beispielen die Stammfunktion von f(x) bei ∫ f(x) dx .
Beispiel 14 - 1: .

∫ 2x dx =x2 + C
.
0/13/2/0/1 .
Beispiel 14 - 101
∫ sin x dx =

.

∫ sin x dx = - cos x + C

.
0/13/2/0/2 .
Beispiel 14 - 102
∫ x2 dx =

.

∫ x2 dx = 1 3 ⋅ x3 + C

.
0/13/2/0/3 Mit Maxima läßt sich die Stammfunktion bestimmen .
mittels integrate(sin(x),x);. .
Mit Maple gelingt dies mittels ∫ sin(x)dx (Achtung: Palette benutzen !) oder über int(sin(x),x).

0/13/2/1

14.2.2 Das bestimmte Integral als Flächeninhalt

0/13/2/1/0

Beispiel 14 - 103: Für die Funktion y = x2 soll die Fläche zwischen 1 und 2 berechnet werden. .
0/13/2/1/1


PIC .

Abbildung 1: Flächenbestimmung unter einer Kurve

0/13/2/1/2 .

Näherungsweise läßt sich diese Fläche als Untersumme sowie als Obersumme bestimmen. Existiert nun der Grenzwert .
lim x→0 ∑ k=1nf(x k)Δxk, .
so bezeichnet man ihn als das bestimmte Integral der Funktion f(x) .
in den Grenzen von x = a bis x = b. .
.
Es wird durch das Symbol ∫ abf(x)dx gekennzeichnet. .

0/13/2/2

14.2.3 Unbestimmtes Integral und Flächenfunktion

0/13/2/2/0

Hält man bei dem bestimmten Integral die untere Grenze fest und macht die obere Grenze variabel, so hängt der Integralwert nur noch von der oberen Grenze ab: 0/13/2/2/1 EndIsUnit


PIC .

Abbildung 2: Flächenfunktion

0/13/2/2/2 F(x) = ∫ axf(t)dt .

1.
Die Funktion F(x) wird als unbestimmtes Integral von f(t) bezeichnet, da die obere Grenze unbestimmt ist. Es repräsentiert den Flächeninhalt zwischen der Funktion y = f(t) und der t-Achse im Intervall a ≤ t ≤ x in Abhängigkeit von der oberen Grenze x.
2.
Zu jeder stetigen Funktion f(t) gibt es unendlich viele unbestimmte Integrale, die sich in ihrer unteren Grenze voneinander unterscheiden.
3.
Die Differenz zweier unbestimmter Integrale F1(x) und F2(x) ist eine Konstante.

0/13/2/3

14.2.4 Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

0/13/2/3/0

Vergrößert man die obere Grenze x im Integral F(x) = ∫ axf(x)dx um Δx, so wächst der Flächeninhalt um ΔF = F(x + Δx) - F(x): .
0/13/2/3/1


PIC .

Abbildung 3: Variation der oberen Integrationsgrenze

0/13/2/3/2 .
Zwischen den Flächeninhalten besteht also die Beziehung .
.
f(x) ⋅ Δx ≤ ΔF ≤ f(x + Δx) ⋅ Δx, .
.
und nach Division durch Δx: .
.
f(x) ≤ΔF Δx ≤ f(x + Δx). .
.
Bildet man den Grenzübergang Δx → 0: .
.

lim Δx→0f(x) ≤ lim Δx→0ΔF Δx ≤ lim Δx→0f(x + Δx), .
.
so wird mit lim Δx→0ΔF Δx = F′(x) .
.
und mit lim Δx→0f(x) = lim Δx→0f(x + Δx) = f(x) : .
.
f(x) ≤ F′(x) ≤ f(x) und damit F′(x) = f(x). .
.
Dies führt zum Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung:
Jedes unbestimmte Integral F(x) = ∫ axf(x)dx ist eine Stammfunktion zu f(x): .
F(x) = ∫ axf(x)dx ⇒ F′(x) = f(x) .
0/13/2/3/3 .
Beispiel 14 - 103
Gegeben sei die Funktion f(x) = e(x+1 x)

1.
Bestimmen Sie f′(x)
2.
Berechnen Sie ∫ f′(x) dx

.

1.
f′(x) = e(x+1 x) ⋅ (1 - 1 x2 ) = e(x+1 x) -e(x+1 x) x2 .
2.
∫ f′(x) dx = e(x+1 x) + C .

.
0/13/2/3/4

0/13/2/4

14.2.5 Grundintegrale
∫ 1 x2 + 1 dx = arsinhx + C = ln |x + x2 + 1| + C
∫ 1 x2 - 1 dx = arcoshx + C = ln |x + x2 - 1| + C (für |x| > 1)
∫ 1 1 - x2  dx = artanhx + C1 = 1 2 â‹… ln(1 + x1 - x) + C1 für |x| < 1 arcothx + C2 = 1 2 â‹… ln(1 + xx - 1) + C2 für |x| > 1






∫ xn dx = xn+1 n + 1 + C ∫ 1 x dx = ln |x| + C
(gilt für n≠ - 1 )






∫ ex dx = ex + C ∫ax dx =ax ⋅ 1 ln a + C






      
∫ sin x dx = - cos x + C ∫ cos x dx = sin x + C






∫ 1 cos 2 x dx = tan x + C ∫ 1 sin 2 x dx =- cot x + C






      
∫ 1 1 - x2 dx = arcsin x + C1 - arccos x + C2 ∫ 1 1 + x2  dx = arctan x + C1 - arccotx + C2






      
∫ sinh x dx = cosh x + C ∫ cosh x dx = sinh x + C






∫ 1 cosh 2 x dx = tanh x + C ∫ 1 sinh 2 x dx =- coth x + C






      






      






      






.