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17 Anwendungen

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17.1 Anwendungen in der Ökologie, Eigenwerte und Eigenvektoren

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17.1.1 Markov-Ketten und Übergangsmatrizen

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Beispiel 17 - 1: Sie wohnen auf einer recht einsamen Insel. Auf dieser Insel gibt es nur einen Getränkeanbieter mit zwei Getränkesorten T und K. Der Anbieter hat festgestellt, daß pro Jahr 15 % der T-Konsumenten zu K und 4 % von K zu T wechseln. .
Das Konsumentenverhalten kann man graphisch so darstellen: .
0/16/0/0/1


PIC .

Abbildung 1: Wechselverhalten der Getränkekonsumenten

0/16/0/0/2 .
Bezeichnet man den Absatz des Getränks K bzw. T in diesem Jahr mit ki und im Folgejahr mit ki+1 bzw. ti und ti+1, kann man die Gleichungen aufstellen: .
ki+1 =0.85 ki+0.04 ti ti+1 =0.15 ki+0.96 ti .
.
Geht man über zur Matrixschreibweise, ergibt sich der Getränke-(Spalten-)vektor im Folgejahr als Produkt der Übergangsmatrix M mit dem Getränke-(Spalten-)vektor des Vorjahres: .
.

 #
Gi+1 = ki+1 ti+1 = 0.850.04 0.15 0.96 ki ti .
.
.

 #
Gi+1 = M

#
Gi  . .

Für einen Anfangs-Absatz von .
.

 #
G0 = k0 k0 = 2000 3000 .
.
Fässern erhält man im Folgejahr einen Verkauf von .
.

#G
 1 = k1 t1 = 0.850.04 0.15 0.96 2000 3000 = 1820 3180 .
.
Fässern. .
.
Im Folgejahr (gleiches Wechselverhalten vorausgesetzt) ergibt sich ein Verkauf von .
.

 #
G2 = k2 t2 = 0.850.04 0.15 0.96 1820 3180 = 1674 3326 .
.
Fässern. .
.

Interpretiert man den jährlichen Verkauf von Getränkefässern als Beobachtung und die Wechselraten als (feste) ’Wahrscheinlichkeiten’, so können wir bei bekannten Verkaufszahlen eines Jahres auf die Verkaufszahlen im Folgejahr schließen. .
Derartige Prognosemodelle, die mit der Verkettung von Wahrscheinlichkeiten operieren, nennt man Markoff’sche Ketten : Jede Beobachtung ist nur von einer oder von einer beschränkten Anzahl vorhergehender Beobachtungen abhängig. .