0

0/19

20 Anwendungen

0/19/2

20.2 Abstände/Schnittpunkte von Geraden

0/19/2/7

20.2.5 Anwendungsbeispiele

0/19/2/7/0 .
Beispiel 20 - 206
Gegeben seien die Geraden:

g1:

#
x

= 3 -1 2 +λ1 2 4 3
g2:

#
x

= -1 5 10 +λ2 -4 4 6


Wie liegen die Geraden zueinander ? .
.
Wo liegt ggf. der Schnittpunkt?
3 + 2λ1 =- 1 - 4λ2 2λ1 + 4λ2 =- 4
- 1 + 4λ1 =5 + 4λ2 4λ1 - 4λ2 =6
2 + 3λ1 =10 + 6λ2 3λ1 - 6λ2 =8

λ1λ2c
24- 41 2
4- 46- 4 I 2
3- 68- 3 I 2
12- 2
0- 1214-1 2
0- 1214-1 2(kann wegbleiben)
12- 2 + II3
06- 71 6
12- 2
01-7 6
1222 II
01-7 6
10-6-7 3
01-7 6


.
Lösung: λ1 = 1 3; λ2 = -7 6 .
.

Schnittpunkt:S = 3 -1 2 +1 3 2 4 3 = 11 3 1 3 3 .
.
.
.
Schnittwinkel: φ = arccos

#a1

                     #a2  |

#a1   ||

                      #a2  | = arccos 2 4 3 11 3 1 3 3 4+16+916+16+36 .
.
= arccos -8+16+18 2968 0.3 π 54o

.
0/19/2/7/1

0/19/2/7/2 .
Beispiel 20 - 207
Gegeben seien die Geraden:

g1:

#
x

= 1 3 5 +λ1 2 4 6
g2:

#x

= 2 5 9 +λ2 -1 -2 -3


Wie liegen die Geraden zueinander ?

.

Man kann zunächst beide Geradengleichungen gleichsetzen:

1 + 2λ1 =2 - 1λ2
3 + 4λ1 =5 - 2λ2
5 + 6λ1 =9 - 3λ2

Das Gleichungssystem hat keine Lösungen. .
.
Prüfen auf Kollinearität: a1 × a2 .
x y z 2 4 6 -1 -2 -3 = -12 + 120 -6 + 6 -4 + 4 =
0 0 0
..
.
Bestimmung des Abstands der kollinearen Geraden: Man bestimmt den Abstand eines Punkts der Geraden 2 (z.B. Ortsvektor) zur Geraden g1

d = |

#
P2P1   ×

 #
a1   | |a1|

 #
P2P1 ×

 #
a1  = x y z 1 - 15 - 39 - 5 2 4 6 = xyz 0 24 2 4 6 = 12 - 16 8 - 0 0 - 4 = -4 8 -4 .
.
d = 42 +82 +42 22 +42 +62 = 96 56 9,7 7,48 1, 3

.
0/19/2/7/3

0/19/2/7/4 .
Beispiel 20 - 208
Der Sicherheitsabstand zweier Flugzeuge sei 200m. Die Flugzeuge bewegen sich längs der Geraden:

#r (λ1)

= 100 200 100 m+λ1 100 100 100 m

#r (λ2)

= 300 0 300 m+λ2 200 0 100 m
.
.
Wird der Sicherheitsabstand eingehalten? .
.
[a1a2(

#
r2  -

                 #
                 r1  )] = 100 100 100 200 0 100 200-200200 = -4106m3 .
.

#a
 1 ×

#a
 2  = x y z 100100100200 0 100 m2 = 104 104 -2 104 m2.
.
|

#
a1  ×

#
a2  | = 6104m2.
.

d = 4 106 6 104m 163m .

.
0/19/2/7/5