0

0/4

5 Reihen, Grenzwert und Stetigkeit

0/4/2

5.2 Grenzwerte von Funktionen

0/4/2/0

5.2.1 Grenzwert einer Funktion f(x)

lim xx0+f(x)

+: Annäherung von rechts
-: Annäherung von links

0/4/2/1

5.2.2 Grenzwert für x x0

0/4/2/1/0 .
Beispiel 5 - 32
f(x) = x2

Annäherung von rechts: .
lim x2+x2 = 4 .
.






xn2, 12, 012, 001





f(xn)4, 414, 04044, 004






.
lim x2-x2 = 4 .
.





xn1, 91, 991, 999





f(xn)3, 613, 96013, 996001






.

Funktionswert für x = 2 ist definiert.

.
0/4/2/1/1

Dies führt zum Grenzwertbegriff:
Eine Funktion y = f(x) sei in einer Umgebung von x0 definiert. Guilt dann für jede im Definitionsbereich der Funktion liegende und gegen die Stelle x0 konvergierende Zahlenfolge < xn > stets .
lim nf(xn) = g,
so heißt g der Grenzwert von y = f(x) an der Stelle x0.
0/4/2/1/2 .
Beispiel 5 - 33
Für die Funktion y = f(x) soll gelten: .
y = f(x) ist 0 für x < 0 und 1 für x 0
Gibt es einen Grenzwert ? .
.

lim x0+1 = 1
lim x0-0 = 0

Da der linksseitige Grenzwert mit dem rechtsseitigen Grenzwert nicht übereinstimmt, besitzt die Funktion keinen Grenzwert.

.
0/4/2/1/3

0/4/2/1/4 .
Beispiel 5 - 34
Die Funktion (x2 - 4x) (x - 4) an der Stelle x = 4:

.

ist zwar an x=4 nicht definiert, besitzt aber Grenzwert. .
lim x4(x2 - 4x) (x - 4) = lim x4(x(x - 4)) (x - 4) = lim x4x = 4
.

.
0/4/2/1/5

0/4/2/2

5.2.3 Grenzwert für x

.
lim xf x = g .
.
Beispiel 5 - 35: .
lim x 2x-1 x = lim x2 -1 x = 2 .

0/4/2/3

5.2.4 Rechenregeln für Grenzwerte

1.
lim xx0C f(x) = C lim xx0f(x), wobei C = konstant.
2.
lim xx0[f(x) ± g(x)] = lim xx0f(x) ± lim xx0g(x)
3.
lim xx0[f(x) g(x)] = lim xx0f(x) lim xx0g(x)
4.
lim xx0f(x)n = lim xx0f(x)n
5.
lim xx0 f(x) n = lim xx0f(x) n
6.
lim xx0af(x) = alim xx0f(x)
7.
lim xx0[log a(f(x))] = log a lim xx0f(x)

Beispiel 5 - 36:

lim x0(x2-2x+5) cos x = lim x0(x2-2x+5) lim x0(cos x) =5 1