0

0/1

2 Gleichungen

0/1/1

2.1 Terme und Gleichungen, Äquivalenzumformungen

0/1/1/3

2.1.4 Äquivalenzumformungen

Äquivalenz kann alternativ so formuliert werden: Definitionsmenge und Lösungsmenge äquivalen- .
ter Terme stimmen überein.

Elementare Äquivalenzumformungen :

1.
Vertauschen der Seite einer Gleichung
x = 3 3 = x .
x < 3 3 < x
.
2.
Termaddition/Subtraktion
x + 3=7|- 3 .
x=4.
3.
Term-Multiplikation/Division

Achtung ! Term darf nicht Null sein!! Sonst ist die Ursprungsgleichung nicht mehr erkennbar.
.
Beispiel 2 - 3
x=3| 4 x 4=3 4
x=3| (x - 1) =0 x (x - 1)=3 (x - 1)f
.
Alle Nullstellen des Faktors, mit dem wir multiplizieren, kommen als scheinbare Lösungen hinzu. Mit einer Probe kann man sie wieeder "herausfiltern".

.

4.
Substitution
.
Beispiel 2 - 4
x2 - 6 = 3 .
x2 - 6 =3 Substituiere mit: y = x2
y - 6 =3
y =9 Rücksubstitution:
x2 =9|Wurzel ziehen
x1,2 =± 3

.
.
Beispiel 2 - 5
5 4 = 5+x x .

5 4 =5+x x | x (mit x0)
5x 4 =5 + x| 4
5x =20 + 4x|- 4x
x =20

.

.
Beispiel 2 - 6
(x - 1)2 (x + 2) = 4 (x + 2)

. .

(x - 1)2 (x + 2) =4 (x + 2)
1. Ansatz (schlecht):
(x + 2) =0
(x - 1)2 (x + 2) =4 (x + 2)| : (x + 2) mit x - 2
(x - 1)2 =4|Wurzel ziehen
(x - 1) =2 Keine Äquivalenzumformung!!
x =3
.
(besser:)
(x - 1)2 (x + 2) = 4 (x + 2)
(x2 - 2x + 1) (x + 2) = 4 (x + 2)
x3 - 2x2 + x + 2x2 - 4x + 2 = 4x + 8
x3 - 7x - 6 = 0 3 Lösungen
Beispielsweise mit Hilfe der Cardanoschen Formel oder durch Erraten: x1 = -1
Polynomdivision: (x3 - 7x - 6) : (x + 1) = x2 - x - 6
x2,3 = 1 2 ±1 4 + 6 = 1 2 ±25 4 = 1 2 ±5 2
L = {-2; -1; 3}
.