0

0/13

14 Einführung in die Integralrechnung

0/13/4

14.4 Integrationsmethoden

0/13/4/1

14.4.2 Partielle Integration

0/13/4/1/0

Beim Integral f(x) wird f(x) in ein Produkt aus

zerlegt, d.h. f(x) dx =u(x) v(x) dx

Beispiel 14 - 1: .
xu(x) ex v(x) dx

Dieses Integral lässt sich wie folgt darstellen: .
f(x) dx =u(x) v(x) dx = u(x) v(x) -u(x) v(x) dx

Das Verfahren ist hilfreich, wenn die Stammfunktion von v(x) v(x) einfach zu bestimmen ist. Dann ist das Integral u(x) v(x) dx elementar lösbar.

Erklärung:
u(x) v(x) dx= ?u(x) v(x) -u(x) v(x) dx .
Nach der Produktregel für Ableitungen ist .
[u(x) v(x)] = u(x) v(x) + u(x) v(x) u(x) v(x) = [u(x) v(x)]- u(x) v(x) .
Das ganze integriert ergibt .
u(x) v(x) dx =[u(x) v(x)] dx -u(x) v(x) dx .
Aus der Beziehung zwischen Differential- und Integralrechnung
F(x) dx = F(x) .
folgt .
u(x) v(x) dx = u(x) v(x) -u(x) v(x) dx .
Analog: .
u(x) v(x) dx = u(x) v(x) -u(x) v(x) dx

Vorgehensweise

1.
Bestimmen von u(x) und v(x)
2.
Berechnen von u(x) und v(x)
3.
u(x),u(x),v(x),v(x) in .
u(x) v(x) dx = u(x) v(x) -u(x) v(x) dx .
einsetzen und ausrechnen.

Beispiel 14 - 2: .
x ex dx .
Schritte: .

1.
u(x)=x
v(x) =ex
2.
u(x)=1
v(x) =ex
3.
u(x),u(x),v(x),v(x) in .
u(x) v(x) dx = u(x) v(x) -u(x) v(x) dx .
einsetzen und ausrechnen.
x ex dx = x ex -ex dx = x ex - ex + C = ex(x - 1) + C .

0/13/4/1/1 .
Beispiel 14 - 119
x cos x dx

.

.
0/13/4/1/2

0/13/4/1/3 .
Beispiel 14 - 120
sin x x2 dx
(Achtung: Zweimalige partielle Integration erforderlich!) .
(Attention: Two partial integrations required!)

.

Teil 1:

Teil 2:

.
0/13/4/1/4

Regel zum Auffinden von u und v (die ALPES-Formel , aufgestellt durch meinen Studierenden Thaifa Alae): .
Sind beispielweise zwei Ausdrücke in der Prioritätsliste

1.
A: arcsin(),arccos(),arctan()
2.
L: ln()
3.
P: Polynome
4.
E: exp()
5.
S: sin(),cos(),tan()

zu finden, so wird derjenige Term, der in der Liste weiter unterhalb steht, zu u und derjenige Term, der in der Liste weiter oberhalb steht, zu v.