0

0/4

5 Reihen, Grenzwert und Stetigkeit

0/4/3

5.3 Stetigkeit einer Funktion

0/4/3/0

5.3.1 Definition

0/4/3/0/0

Eine Funktion ist in einer gewissen Umgebung von x0 stetig, wenn der Grenzwert vorhanden ist und mit Funktionswert übereinstimmt. lim xx0f(x) = f(x0)

Beispiel 5 - 1:
y = x2 ist in der Umgebung x = 2 stetig.

0/4/3/0/1 .
Beispiel 5 - 35
Für y = f(x) soll gelten: .
y = -1 für x < 0
y = 0 für x = 0
y = 1 für x > 0
Ist y = f(x) stetig für x = 0?


PIC .

Abbildung 1: Geradengleichung

.
linksseitiger Grenzwert: g1 = lim x0-f(x) = lim x0-(-1) = -1
rechtsseitiger Grenzwert: g2 = lim x0+f(x) = lim x0+(1) = 1
Funktion in der Umgebung von x0 nicht stetig.

.

.
0/4/3/0/2

.
0/4/3/0/3 .
Beispiel 5 - 36
f(x) = (x2-1) (x+1) .

Definitionslücke bei x0 = -1 .
(Weder stetig noch unstetig) .
lim x-1x2-1 x+1 = lim x-1(x+1)(x-1) x+1 = lim x-1(x - 1) = -2 .

g(x)

x2-1 x+1 = x - 1fürx - 1 -2 fürx = -1
x- 1
Behebung einer Definitionslücke. .
Zeichnen: .
plot((x2 - 1)x + 1,thickness = 3); (Maple) .
bzw plot2d([(x2 - 1)(x + 1)], [x,-10, 10]); (Maxima) .

PIC .

Abbildung 2: Definitionslücke

.
0/4/3/0/4