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18 Vektoralgebra

0/17/2

18.3 Vektorrechnung in der Ebene

0/17/2/0

Vektoren in der Ebene können als Komponenten in x- und y-Richtung beschrieben werden. .
0/17/2/1 .
Beispiel 18 - 167
Vektorkomponenten

.


PIC .

Abbildung 1: Vektorkomponenten

.
0/17/2/2

a =ax + ay =ax ex + ay ey
a = ax ay
.

Beispiel 18 - 172: Parameterdarstellung von Geraden .
Eine Gerade ist ausreichend beschrieben durch einen darauf befindlichen Punkt und der Richtung der Geraden. Hat man die Ortsvektoren der beiden Punkte P1 und P2, kann man willkürlich einen davon auswählen. .
P1 oder P1 dienen als Ortsvektor. .
Die Richtung der Geraden kann man ausdrücken als Differenz der Vektoren P2 - P1 .
(Richtungsvektor) (P2 -P1 ) oder .
(P1 -P2 ) (entgegengesetzte Richtung) .
Parameterdarstellung einer Geraden durch P1 und P2: .
G = P1 + λ (P2 -P1 ) .
Die Punkt-Steigungsform wird zu: .
y = mx+b r = 0 b +λ1m

0/17/2/3 .
Beispiel 18 - 172
Gegeben sei eine Gerade

#
g durch den Punkt P1 = 1 2 und der Steigung m = 3. .
Wie lautet eine Geradengleichung in Parameterform ? .
.

Der Punkt P2 sei 2 5 .
.

 #
P2 -

 #
P1  = 2 5 -1 2 = 1 3

#G = 1 2 +λ1 3 .

.
0/17/2/4 .
Anmerkung: .
Jeder Aufpunkt auf der Geraden ist zulässig. Der Richtungsvektor kann mit jeder Zahl 0 multipliziert sein, da λ ein frei wählbarer Parameter ist. .
Allgemeinere Vorgehensweise: Falls die Gleichung in der Form ax + by + c = 0 vorliegt, ersetzt man eine der vorkommenden Variablen (z.B. x) durch den Parameter λ. .
Dann ist die x-Komponente durch λ gegeben, die y-Komponente erhält man durch Auflösen nach y. .
0/17/2/5 .
Beispiel 18 - 173
Umformen der Geradengleichung 3x + y - 5 = 0 in vektorieller Parameterdarstellung: .
x = λ .
.
y = -3λ + 5 .
.
x y = 0 5 +λ 1 -3 .

.
0/17/2/6

Überführung von der Parameterdarstellung in eine Geradengleichung . Hierzu stellt man je Komponente eine Gleichungszeile auf und eliminiert bei dem aufgestellten Gleichungssystem den Parameter λ. .
0/17/2/7 .
Beispiel 18 - 174
Gegeben sei eine Gerade in Parameterdarstellung:

#G

= x y = 0 5 +λ 1 -3

Formen Sie diese Darstellung in eine Achsenabschnittsform um.

.

Lösung über Elimination des Parameters λ: .

x =λ
y =5 - 3λ
y =5 - 3x
x y = 1 2 +λ 1 -3

x =1 + λ λ =x - 1
y =2 - 3λ y =2 - 3(x - 1)
y =2 - 3x + 3 = -3x + 5
.
0/17/2/8