0

0/6

7 Gebrochenrationale Funktionen

0/6/0

7.1 Nullstellen und Polstellen

0/6/0/0

7.1.1 echt und unecht gebrochen rationale Funktionen

0/6/0/0/0

y = g(x) h(x) = amxm+a1x1+a0 bnxn+b1x1+b0

n >mEcht gebrochen rational
n mUnecht gebrochen rational

Schritte: .

1.
Zerlegen von Zähler und Nenner in Linearfaktoren (beseitigen von Definitionslücken)
2.
Linearfaktoren Zähler Nullstellen.
3.
Linearfaktoren Nenner Polstellen.

Ermitteln (Errraten) einer ersten Lösung
Polynomdivision (Horner-Schema)

Kürzung gemeinsamer Faktoren in Zähler und Nenner.

0/6/0/0/1 .
Beispiel 7 - 44
y = (2x3 + 2x2 - 32x + 40) (x3 + 2x2 - 13x + 10) .
.

y = 2x3 + 2x2 - 32x + 40 x3 + 2x2 - 13x + 10 = 2(x - 2)2 (x + 5) (x - 1)(x - 2)(x + 5) = 2(x - 2) (x - 1) .
.
Zähler 2x3 + 2x2 - 32x + 40 = 0, x1 = 2: .
22 - 32 40 2 4 12 - 40 26 - 20 0 .
2x2 + 6x - 20, x2 = 2: .
2 6 - 20 2 4 20 210 0 .
2(x + 5) = 0, x3 = -5: .

Nenner: x3 + 2x2 - 13x + 10 = 0, x1 = 1: .
12 - 1310 1 1 3 10 13 - 10 0 .
x2 + 3x - 10 = 0, x2 = 2,x3 = -5 .

Beseitigung der Definitionslücken (x = 2,-5) .
.
y = 2x3 + 2x2 - 32x + 40 x3 + 2x2 - 13x + 10 = 2(x - 2)2(2 + 5) (x - 1)(x - 2)(x + 5) = 2(x - 2) (x - 1) .
.
Maple: convert(2x3 + 2x2 - 32x + 40 x3 + 2x2 - 13x + 10 ,parfrac) .
Maxima: partfrac (1/(1+x)^2 - 2/(1+x) + 2/(2+x), x); .

.
0/6/0/0/2