0
0/6
7 Gebrochenrationale Funktionen
0/6/0
7.1 Nullstellen und Polstellen
0/6/0/0
7.1.1 echt und unecht gebrochen rationale Funktionen
0/6/0/0/0
| | | Echt gebrochen rational |
| | | | Unecht gebrochen rational |
| |
Schritte: .
-
1.
- Zerlegen von Zähler und Nenner in Linearfaktoren (beseitigen von efinitionslücken)
-
2.
- Linearfaktoren Zähler
Nullstellen.
-
3.
- Linearfaktoren Nenner
Polstellen.
Ermitteln ()
einer ersten Lösung
Polynomdivision ()
- Reduktion des Polynom-Grades.
- Auflösung für Polynome
3. Grades.
Kürzung gemeinsamer Faktoren in Zähler und Nenner.
0/6/0/0/1 .
Beispiel 7 - 44
.
.
. . Zähler
,
:
.
.
,
:
.
.
,
:
.
Nenner: ,
: .
.
,
.
Beseitigung der
Definitionslücken ()
.
.
.
.
Maple:
.
Maxima: partfrac (1/(1+x)^2 - 2/(1+x) + 2/(2+x), x); .
.
0/6/0/0/2
0/6/0/1
7.1.2 Nullstellen
0/6/0/1/0
Ein Polynom vom Grad
hat
(komplexe) Nullstellen ( Fundamentalsatz der Algebra )
0/6/0/1/1 .
Beispiel 7 - 45
Fall 1:
.
Fall 2: keine
reelle Lösung .
.
0/6/0/1/2
Linearfaktorzerlegung; Die Nullstellen des Zählers sind (nach Kürzen) die Nullstellen des
Polynoms.
0/6/0/1/3 .
Beispiel 7 - 46
.
Zähler:
. Nenner hat keine rellen Nullstellen
. .
Maple:
.
.
.
0/6/0/1/4
0/6/0/2
7.1.3 Definitionslücken
- behebbar, wenn Zähler und Nenner eine Nullstelle der gleichen Ordnung aufweisen.
- Ist die Ordnung der Nullstelle des Zählers größer als die des Nenners, weist der Bruch
Nullstellen (sowie möglicherweise behebbare Definitionslücken) auf.
- Ist die Ordnung der Nullstelle des Nenners größer als die des Zählers , weist der
Bruch nicht behebbare Definitionslücken ( Pole sowie möglicherweise weitere, auch
behebbare Definitionslücken) auf. .
0/6/0/3
7.1.4 Asymptotisches Verhalten
0/6/0/3/0 .
Beispiel 7 - 47
Beispiele für Polstellen: .
.
:
Vorzeichenwechsel, kein Grenzwert !
. : kein
Vorzeichenwechsel
. : je ein
Vorzeichen-wechsel
.
.
0/6/0/3/1
(vgl.Rechenregeln für Grenzwerte)
Bestimmung der Asymptoten
- echt gebrochen rational
- unecht gebrochen rational: Aufteilung in ganzrationale Funktion und echt gebrochen
rationale Funktion.
0/6/0/3/2 .
Beispiel 7 - 48
.
Nullstelle=x=7, Faktor 2 ausklammerbar:
. .
.
.
.
plot((x pow 2 -2x)/(x-2),x=-5..5)
plot((1/x),x=-5..5)
. Weiteres Beispiel:
. .
.
.
Weit. Beispiel: .
.
.
.
0/6/0/3/3
0/6/0/4
7.1.5 Partialbruchzerlegung
Ziel der Partialbruchzerlegung ist eine Vereinfachung gebrochenratiohaler Funktionen, um sie
beispielsweise besser integrieren zu können. Vorgehen:
- Bestimmung reeller Nullstellen des Nenners.
- Jeder Nullstelle wird ein Partialbruch zugeordnet.
-
(einfache Nullstelle) .
-
(zweifache Nullstelle) .
-
(dreifache Nullstelle) .
-
-
(-fache
Nullstelle) .
- Liegen weitere nicht-reelle Nullstellen des Nenners vor (z.B.)
,
so gehört dazu ein Partialbruch mit dem Zähler
etc. .
- Die echt gebrochen rationale Funktion ist die Summe der Partialbrüche.
Die Konstanten ,
…kann man durch Koeffizientenvergleich oder durch geschickte Wahl von Nullstellen etc.
bestimmen.
Beispiel 7 - 49:
, mit
und
.
.
.
.
. .
.
Daraus folgt .
.
.
Diese Beziehungen müssen für beliebige
erfüllt sein. .
1. Koeffizientenvergleich: .
.
.
.
.
oder .
2. geschickte Wahl von x, damit man Nullstellen erhält:
| | |
| | | |
| | | |
| | | |
| |
| | | = | |
| |
.
0/6/0/5
7.1.6 Übungen
Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .