0

0/15

16 Determinanten

0/15/1

16.2 Determinanten von Matrizen höherer Ordnung

0/15/1/2

16.2.3 Determinanten höherer Ordnung

0/15/1/2/0

Für (quadratische!) nxn-Matrizen können Determinanten n-ter Ordnung entsprechend angegeben werden:

D = det A = a11a12a1n a21 a22a2n a n1an2ann

.

Die o.a. Rechenregeln für Determinanten gelten entsprechend.

Die Determinante kann man nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz einer nxn-Matrix durch Entwickeln nach einer Zeile oder Spalte berechnen: .
.
D = k=1na ik Aik oder D = i=1na ik Aik . .
.
Die Aik sind die algebraischen Komplemente von aik in D: Aik = (-1)i+k D ik

Vorgehen bei der Bestimmung einer n-reihigen Determinante:

1.
Man versucht, mit Hilfe elementarer Umformungen zunächst die Elemente einer Zeile (oder Spalte) bis auf eines (oder wenigen) auf Null zu bringen.
2.
Durch Entwicklung nach diesen Elementen erhält man eine (n-1)-reihige Unterdeterminante.
3.
Dies wird solange wiederholt, bis man z.B. 3-reihige Determinanten nach der Regel von Sarrus bestimmen kann. .

0/15/1/2/1 .
Beispiel 16 - 147

det A = 2 2 0 0 4 1 -3 2 0-1 2 1 1-1 0 0 =.
.

det A = 2 2 0 0 4 1 -3 2 0-1 2 1 1-1 0 0 .
.
Zuerst das Doppelte von Zeile 4 zur Zeile 1 addieren: .
.
4 0 0 0 4 1 -3 2 0-1 2 1 1-1 0 0 .
.
Dann enthät die Zeile 1 nur ein Element, nach dem entwickelt wird: .
.
det A = 4 1 -32 -1 2 1 -1 0 0 = 47 = 28.
.
0/15/1/2/2 .

0/15/1/2/3 .
Beispiel 16 - 148
det A = -1 1 0-20 0 2 1-14 1 0 0-31 1 2 0 0 3 0 -2 1 2 2 =
.
.

Zur vierten Spalte addieren wir das Doppelte der zweiten Spalte : .
.
det A = -1 1 0 0 0 0 2 1 3 4 1 0 0 -3 1 1 2 0 4 3 0 -2 1 -2 2 .
.
Zur zweiten Spalte addieren wir die erste Spalte : .
.
det A = -1 0 0 0 0 0 2 1 3 4 1 1 0 -3 1 1 3 0 4 3 0 -2 1 -2 2 .
.
Die erste Zeile hat nur noch einen von Null verschiedenen Wert in Spalte 1. Deshalb entwickeln wir nach der 1. Zeile: .
.
det A = -1 2 1 3 4 1 0 -3 1 3 0 4 3-2 1 -2 2 =.
.
Von der vierten Zeile subtrahieren wir die erste Zeile: .
.
det A = -1 2 1 3 4 1 0 -3 1 3 0 4 3 -4 0 -5 -2 .
.
In der zweiten Spalte ist nur noch das erste Element verschieden von Null, daher entwickeln wir nach der 2. Spalte: .
det A = -1-1 1 -3 1 3 4 3 -4 -5 -2 = -8+36-15+16+15-18 = 26.
.
0/15/1/2/4 .