0

0/15

16 Determinanten

0/15/0

16.1 Einstieg

0/15/0/0

16.1.1 zweireihige Determinanten

0/15/0/0/0

2 × 2 Gleichungssysteme A x = c können wie folgt umgeformt werden:

a11x1 + a12x2 =c1 a22
a21x1 + a22x2 =c2 (-a12)

a11a22 x1 +a12a22 x2= c1 a22 -a12a21 x1-a12a22 x2=-c2 a12
+


a11a22 x1 - a12a21 x1 = c1 a22 - c2 a12
(a11a22 - a12a21)x1 = c1 a22 - c2 a12
x1 = c1 a22 - c2 a12 a11a22 - a12a21 , analog:
x2 = c2 a11 - c1 a21 a11a22 - a12a21 Beide Nenner sind gleich.
.
Bildet man aus der Koeffizientenmatrix .

A = a11a12 a21 a22 den Wert D = a11 a22 - a21 a12,
.
hat man die Koeffizientendeterminante der Matrix A bestimmt.
Da die Koeffizientenmatrix eine 2x2-Matrix ist, spricht man von einer 2-reihigen Koeffizientendeterminanten oder Koeffizientendeterminanten 2. Ordnung.

Ist der Wert der Determinanten D = 0, so hat das Gleichungssystem keine (bzw. bei einem homogenen Gleichungssystem unendlich viele) Lösung(en). .
Determinanten lassen sich nur für quadratische Matrizen (d.h. die Matrix hat genau so viele Zeilen wie Spalten) angeben. .

Rechenregel zur Bestimmung einer 2x2-Determinanten: .

D = det A = a11 a12 × a 21 a22 = |A| = |aik|
.

Die Determinante erhält man, indem man das Produkt der Hauptdiagonal-Elemente bildet und davon das Produkt der Nebendiagonal-Elemente subtrahiert:

det A = det a11a12 a21 a22 = a11a22-a21a12
.
Beispiel 16 - 1:

det A = 5 3 -10 -6 = -30+30 = 0.

0/15/0/0/1 .
Beispiel 16 - 143

1.
det A = 3 5 -2 -4 =
2.
det A = 10 0 1 =
3.
det A = 5 3 -10 -6 =

.
.

1.
det A = 3 5 -2 -4 = 3-4-(-2)5 = -12-(-10) = -2
2.
det A = 10 0 1 = 10-00 = 1
3.
det A = 5 3 -10 -6 = 5(-6)-(-10)3 = 0

.
0/15/0/0/2

0/15/0/1

16.1.2 allgemeine Rechenregeln für Determinanten

Die hier aufgeführten Rechenregeln gelten auch für Determinanten höherer Ordnung:

1.
Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man Zeilen und Spalten vertauscht
2.
Beim Vertauschen zweier Zeilen (bzw. Spalten) ändert sich das Vorzeichen
3.
Multlipliziert man eine Zeile (bzw Spalte) mit λ, dann multipliziert sich die Determinante
mit λ
4.
Eine Determinante besitzt den Wert 0, wenn
(a)
alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) Null sind
(b)
Zwei Zeilen (oder Spalten) gleich sind
(c)
Zwei Zeilen (oder Spalten) zueinander proportional sind
(d)
Eine Zeile (oder Spalte) als Linearkombination der übrigen Zeilen (oder Spalten) darstellbar ist.
5.
Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) das Vielfache einer anderen Zeile (oder Spalte) addiert.
6.
det(A B) = det A det B
7.
Dreiecksmatrizen

A = a11a12a13 0 a22a23 0 0 a33
.

haben als Determinante das Produkt der Hauptdiagonalen
det A = a11 a22 a33 = ia ii

Beispiel 16 - 144:

1.
Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man Zeilen und Spalten vertauscht: .

det AT = det A

det A = 8 5-3 2 = 16+15 = 31 .
.
det AT = 8-3 5 2 = 16+15 = 31
.

2.
Beim Vertauschen zweier Zeilen (bzw. Spalten) ändert sich das Vorzeichen: .

det A = 7 3 4 -1 = -7-12 = -19

det A = 4-1 7 3 = 12+7 = 19 .

3.
Multlipliziert man eine Zeile (bzw Spalte) mit λ, dann multipliziert sich die Determinante
mit λ : .
det A = 2 52 5 -3 2 = 20+30 = 50 = 225 = 2 5 5-3 2
.
.
(Achtung! Nicht verwechseln mit der (Skalar-)Multiplikation bei Matrizen/Vektoren!)
4.
Eine Determinante besitzt den Wert 0, wenn
(a)
alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) Null sind
(b)
Zwei Zeilen (oder Spalten) gleich sind
(c)
Zwei Zeilen (oder Spalten) zueinander proportional sind
(d)
Eine Zeile (oder Spalte) als Linearkombination der übrigen Zeilen (oder Spalten) darstellbar ist: .
det A = 15 0 0 = 0 det B = 43 4 3 = 0 det C = 42 8 4 = 0
.
5.
Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) das Vielfache einer anderen Zeile (oder Spalte) addiert: .

det A = -65 1 4 = -24-5 = -29

Addition des 6-fachen von Zeile II zu Zeile I:

det A = 029 1 4 = 0-29 = -29
.

6.

det(A B) = det A det B .

A = 1 4 5 -2 B = -2-3 4 1


det A det B = (-22) (10) = -220

det(AB) = 14 1 -18 -17 = -220
.
7.
Dreiecksmatrizen haben als Determinante das Produkt der Hauptdiagonalen

det A = a11 a22 a33 = ia ii : .

det A = 5-4 0-3 = 5(-3)-0(-4) = 5(-3) = -15

.

0/15/1

16.2 Determinanten von Matrizen höherer Ordnung

0/15/1/0

16.2.1 Dreireihige Determinanten

0/15/1/0/0

Beispiel 16 - 145:
Gegeben sei ein 3 × 3 Gleichungssystem A x = c ,
ausgeschrieben:

a11x1 + a12x2 + a13x3 =c1
a21x1 + a22x2 + a23x3 =c2
a31x1 + a32x2 + a33x3 =c3

Bildet man aus der Koeffizientenmatrix .

A = a11a12a13 a21 a22a23 a31 a32a33

.
den Term
D =a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32-
-a13 a22 a31-a11 a23 a32-a12 a21 a33 ,
.
.
hat man die Koeffizientendeterminante der Matrix A bestimmt.
Ist der Wert der Determinanten D = 0, so hat das Gleichungssystem keine (oder unendlich viele) Lösung(en).
Schreibweisen:

D = det A = a11a12a13 a21 a22a23 a31 a32a33 = |A| = |aik|
.

Man spricht hier von dreireihigen Determinanten oder Determinanten 3. Ordnung.

Als Merkregel für die Bestimmung der dreireihigen Determinante von A kann man die Regel von Sarrus verwenden, indem man das Produkt der Hauptdiagonalen addiert und das Produkt der Nebendiagonalen subtrahiert:
( = Nebendiagonale, = Hauptdiagonale)

D = det A = a11a12a13 a21 a22a23 a31 a32a33 a11a12 a21 a22 a31 a32 =
.

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32-
-a13 a22 a31- a11 a23 a32- a12 a21 a33

0/15/1/0/1 .
Beispiel 16 - 144
Die dreireihige Determinante von A: .
det A = 1-27 0 3 2 5 -1 4 .
.

.

det A = 1-27 0 3 2 5 -1 4 .

= 1 3 4 + (-2) 2 5 + 7 0 (-1)-
- 7 3 5 - 1 2 (-1) - (-2) 0 4 =
= 12 - 20 - 105 + 2 = -111

.
0/15/1/0/2

0/15/1/0/3 .
Beispiel 16 - 145

det A = 4 2 1 10 5 0 -6-31 =
.

.

det A = 4 2 1 10 5 0 -6-31 = 20+0-30+30-0-20 = 0 .
.
Man hätte sofort auch erkennen können: Spalte 1 ist das Zweifache von Spalte 2. .
.
0/15/1/0/4

0/15/1/1

16.2.2 Laplace’scher Entwicklungssatz

0/15/1/1/0

Der Laplace’scher Entwicklungssatz ermöglicht die Berechnung der Determinante von Matrizen mit mehr als 3 * 3 Elementen.
Streicht man bei einer Determinante D die i-te Zeile und k-te Spalte, so heißt die verbliebene Determinante Unterdeterminante. Sie wird durch das Symbol Dik gekennzeichnet. Die mit dem Vorzeichenfaktor (-1)i+k versehene Unterdeterminante Dik wird als algebraisches Komplement Aik bezeichnet.
Aik = (-1)i+k D ik

Man kann sich das Vorzeichen entsprechend einem Schachbrettmuster vorstellen:




+-+



-+-



+ -+





Die Determinante von A läßt sich auch über die algebraischen Komplemente Ank ermitteln:

det A = a11a12a13 a21 a22a23 a31 a32a33
.

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32-
-a13 a22 a31 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 =

=a11 (a22 a33 - a23 a32)- a12 (a21 a33 - a23 a31) + a13 (a21 a32 - a22 a31)
D11D12D13

D11 = ... ... a 22a23 a 32a33 = a22a23 a32a33 = a22a33-a23a32.

D12 = .. ... a 21 a23a 31 a33 = a21a23 a31a33 = a21 a33 - a23 a31.

D13 = .. ... a 21a22 a 31a32 = a21a21 a31a32 = a21 a32 - a22 a31.
.

Damit kann man die Determinante D in der Form
D = a11D11 - a12D12 + a13D13 .
bzw. .
D = a11A11 + a12A12 + a13D13 = k=13a 1k A1k
schreiben. .
.
Allgemein kann man nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz die Determinante einer 3x3-Matrix durch Entwickeln nach einer Zeile oder Spalte berechnen: .
D = k=13a ik Aik oder .
D = i=13a ik Aik . .
.
Die Aik sind die algebraischen Komplemente von aik in D: Aik = (-1)i+k D ik .

0/15/1/1/1 .
Beispiel 16 - 146
det A = 1 4 6 5 -2 3 0 1 7 .
.
.

A11 = -23 1 7 = -14-3 = -17.
.
.
A21 = -46 1 7 = -(28-6) = -22.
.
det A = -17 - 5 * 22 = -127

.
0/15/1/1/2

0/15/1/2

16.2.3 Determinanten höherer Ordnung

0/15/1/2/0

Für (quadratische!) nxn-Matrizen können Determinanten n-ter Ordnung entsprechend angegeben werden:

D = det A = a11a12a1n a21 a22a2n a n1an2ann

.

Die o.a. Rechenregeln für Determinanten gelten entsprechend.

Die Determinante kann man nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz einer nxn-Matrix durch Entwickeln nach einer Zeile oder Spalte berechnen: .
.
D = k=1na ik Aik oder D = i=1na ik Aik . .
.
Die Aik sind die algebraischen Komplemente von aik in D: Aik = (-1)i+k D ik

Vorgehen bei der Bestimmung einer n-reihigen Determinante:

1.
Man versucht, mit Hilfe elementarer Umformungen zunächst die Elemente einer Zeile (oder Spalte) bis auf eines (oder wenigen) auf Null zu bringen.
2.
Durch Entwicklung nach diesen Elementen erhält man eine (n-1)-reihige Unterdeterminante.
3.
Dies wird solange wiederholt, bis man z.B. 3-reihige Determinanten nach der Regel von Sarrus bestimmen kann. .

0/15/1/2/1 .
Beispiel 16 - 147

det A = 2 2 0 0 4 1 -3 2 0-1 2 1 1-1 0 0 =.
.

det A = 2 2 0 0 4 1 -3 2 0-1 2 1 1-1 0 0 .
.
Zuerst das Doppelte von Zeile 4 zur Zeile 1 addieren: .
.
4 0 0 0 4 1 -3 2 0-1 2 1 1-1 0 0 .
.
Dann enthät die Zeile 1 nur ein Element, nach dem entwickelt wird: .
.
det A = 4 1 -32 -1 2 1 -1 0 0 = 47 = 28.
.
0/15/1/2/2 .

0/15/1/2/3 .
Beispiel 16 - 148
det A = -1 1 0-20 0 2 1-14 1 0 0-31 1 2 0 0 3 0 -2 1 2 2 =
.
.

Zur vierten Spalte addieren wir das Doppelte der zweiten Spalte : .
.
det A = -1 1 0 0 0 0 2 1 3 4 1 0 0 -3 1 1 2 0 4 3 0 -2 1 -2 2 .
.
Zur zweiten Spalte addieren wir die erste Spalte : .
.
det A = -1 0 0 0 0 0 2 1 3 4 1 1 0 -3 1 1 3 0 4 3 0 -2 1 -2 2 .
.
Die erste Zeile hat nur noch einen von Null verschiedenen Wert in Spalte 1. Deshalb entwickeln wir nach der 1. Zeile: .
.
det A = -1 2 1 3 4 1 0 -3 1 3 0 4 3-2 1 -2 2 =.
.
Von der vierten Zeile subtrahieren wir die erste Zeile: .
.
det A = -1 2 1 3 4 1 0 -3 1 3 0 4 3 -4 0 -5 -2 .
.
In der zweiten Spalte ist nur noch das erste Element verschieden von Null, daher entwickeln wir nach der 2. Spalte: .
det A = -1-1 1 -3 1 3 4 3 -4 -5 -2 = -8+36-15+16+15-18 = 26.
.
0/15/1/2/4 .

0/15/1/3

16.2.4 Lösbarkeit von Gleichungssystemen

0/15/1/3/0

Bei der Lösbarkeit von Gleichungssystemen gibt es die drei Fälle:
Ein Gleichungssystem hat

eine oder keine oder unendlich viele
Lösungen. .
.
Mit Hilfe des Rangs einer Matrix (s.u.) läßt sich eine Angabe über die Lösbarkeit machen:

0/15/1/3/1


PICT



Abbildung 8: Lösbarkeit eines LGS anhand des Rangs

0/15/1/3/2

.
.

Neben dem Rang Rg() einer Matrix ist es hilfreich zu wissen, was eine

Matrix ist.

0/15/1/4

16.2.5 Reguläre Matrix

Eine n-reihige, quadratische Matrix A heißt regulär, wenn ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert besitzt. Anderenfalls heißt sie singulär. .
Beispiel 16 - 149:
Die Matrix .
A = 1 02-1 4 1 -212
.


ist regulär, da ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert (21) besitzt.

Die Matrix .

A = -4 2 6 -3
.

ist singulär, da ihre Determinante den Wert Null besitzt.

0/15/1/5

16.2.6 Inverse Matrix

Wie bereits gezeigt, sind Matrixprodukte nicht kommutativ. Man kann jedoch auf beiden Seiten einer Gleichung eine Multiplikation mit der gleichen Matrix durchführen (Rechts- oder Links-Multiplikation).
Hat man speziell eine Matrixgleichung mit einer einreihigen, quadratischen Matrix A AX = E (E : Einheitsmatrix), so heißt X die zu A inverse Matrix und wird durch das Symbol A-1 dargestellt.

Berechnung der inversen Matrix unter Verwendung von Unterdeterminanten
Für eine reguläre n-reihige (quadratische) Matrix A kann man mit Hilfe von Unterdeterminanten die Inverse A-1 wie folgt berechnen:

A-1 = 1 det A A11A21An1 A12 A22An2 A 1nA2nAnn .
.

Man beachte die Reihenfolge der Indizes !

Aki = AikT Aik ist das algebraische Komplement, also die mit dem Vorzeichenfaktor (-1)i+k versehene Unterdeterminante Dik : Aik = (-1)i+k D ik

Nachteil des Verfahrens ist der hohe Rechenaufwand bei größeren Matrizen.

Stattdessen wird eine Matrix häufig nach dem Gaußschen Algorithmus (Gauß-Jordan-Verfahren) invertiert. Hierbei bildet man aus einer Matrix A und einer n-reihigen Einheitmatrix eine erweiterte Matrix

(A|E) = a11 a12 a1n a21 a22 a2n a m1am2amn A 100 0 1 0 0 0 1 E.

Mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen wird diese Matrix so umgeformt, daß auf der linken Seite die Einheitsmatrix steht. Auf der rechten Seite steht dann die Inverse:

100 0 1 0 0 0 1 E b11 b12 b1n b21 b22 b2n b m1bm2bmn B=A-1 = (E|A-1).
.
0/15/1/6 .
Beispiel 16 - 150

A = 1 0-1 -84 1 -21 0 . .
.
.

AE
=.
.
.
1 0-1 -84 1 -21 0 A 100 0 1 0 001 E tauschentauschen .

1 0-1 -21 0 -84 1 100 0 0 1 010 -4 II .
.
1 0-1 -21 0 0 0 1 10 0 0 0 1 01-4 +III .
.

1 00-2 1 0 0 01 11-4 00 1 0 1 -4 +2 I .
.
Dies führt zu: .
.

100 0 1 0 001
E
11-4 22-7 01-4
A-1
=
EA-1
.
.
Die inverse Matrix A-1 lautet damit: .
.
A-1 =
11-4 22-7 01-4
.
0/15/1/7

0/15/1/8

16.2.7 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/15/1/9

16.2.8 Orthogonale Matrix

0/15/1/9/0

Ensteht aus dem Produkt einer n-reihigen Matrix A und ihrer Transponierten A-1 eine Einheitsmatrix
A AT = E,
so heißt die Matrix A orthogonal.
Es gilt: .
det(A AT) = det(A) (det(AT)) det A = (det A)2 = det E = 1. .
.
Damit ist
det A = 1 oder det A = -1.
Dann gilt auch:
A A-1 = A-1 A = E .
Multipliziert man nun auf beiden Seiten von links mit der inversen Matrix A-1 , so erhält man:
A-1 (A AT) = A-1 E und weiter

A-1 (A AT) = (A-1 A) E AT = E AT = AT
A-1 E = A-1
Damit ist AT = A-1.
.
Das heißt, eine Orthogonale Matrix geht bei der Transposition in ihre inverse über. Dann gilt auch:
A AT = AT A = E.

Eigenschaften einer orthogonalen Matrix

1.
Die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren einer orthogonalen Matrix A bilden ein orthonormiertes System, stellen also zueinander orthogonale Einheitsvektoren dar (daher auch ihr Name)
2.
Die Determinante einer orthogonalen Matrix A besitzt den Wert + 1 oder - 1:
det A = ±1
Eine orthogonale Matrix ist daher stets regulär (der Umkehrschluß darf daraus nicht gezogen werden).
3.
Bei einer orthogonalen Matrix A sind die Transponierte AT und die Inverse A-1 identisch: .
AT = A-1 .

Beispiel für eine orthogonale Matrix: 0/15/1/9/1 .
Beispiel 16 - 151
A = 1 220-1 22 1 220 1 22 0 1 0 .
.
Mit AT = A-1 muss gelten: .
.
A AT = E .

.

AAT = 1 220-1 22 1 220 1 22 0 1 0 1 22 1 220 0 0 1 -1 221 220 = 100 0 1 0 001 = E.

.
0/15/1/9/2

0/15/1/10

16.2.9 Rang einer Matrix

0/15/1/10/0

Zunächst wird der Begriff der Unterdeterminante auf nicht quadratische Matrizen ausgedehnt, indem man einfach eine oder mehrere Zeilen oder Spalten streicht, bis man eine quadratische pxp-Matrix erhält, von der dann die Unter-Determinante p-ter Ordnung gebildet werden kann.

Beispiel 16 - 152:

A = 21 - 4 08 3
.

hat die Unterdeterminanten .
.
1-4 8 3 = 35, 2-4 0 3 = 6und 21 0 8 = 16 ,
.

aber auch sechs einreihige Unterdeterminanten:

3 = 3 , 8 = 8 , 0 = 0 , -4 = -4 , 1 = 1 , 2 = 2 .

Bildet man nun von einer Matrix alle möglichen Unterdeterminanten und betrachtet beginnend von der höchsten Ordnung deren Werte, so ergibt die Ordnung der ersten Determinante, die verschieden von Null ist, den Rang dieser Matrix.

Der Rang einer Matrix ist die höchste Ordnung aller von Null verschiedenen Unterdeterminanten von A.

Bestimmung des Rangs einer Matrix Amn:
Ist m n , vertauscht man einfach m und n.
Der Rang der Matrix ist höchstens n.

1.
man beginnt mit der höchsten Ordnung m
2.
man bildet die Unterdeterminanten der Ordnung m
3.
Ist eine dieser Unterdeterminanten verschieden von Null ?
Wenn ja, rg(Amn) = m Ende
4.
anderenfalls reduziert man m um 1 und geht zu Schritt 2

.
Alternativ: .
Man formt die Matrix um in Richtung Dreiecksgestalt. Die Anzahl der Nicht-Nullzeilen gibt den Rang der Matrix an. .
.
Der Rang einer Matrix A ändert sich bei den folgenden Umformungen nicht:

1.
Vertauschen zweier Zeilen (oder Spalten)
2.
Multiplikation oder Division einer Zeile oder Spalte mit einer beliebigen, von Null verschiedenen Zahl
3.
Addition eines Vielfachen einer anderen Zeile oder Spalte zu einer Zeile bzw. Spalte.

0/15/1/10/1 .
Beispiel 16 - 152
Rang der Matrix .
A23 = 749 7 3 0 .
.

.

A23 = 749 7 3 0 m = 2, n = 3.

Wegen m = 2 ist Rg(A) 2.

Prüfen, ob RgA = 2: Finde eine Unterdeterminante U mit detU0.

det 49 3 0 = 40-93 = -270.   Rg(A) = 2.
.
Alternativ: .
A23 = 749 7 3 0 7 4 9 0 - 1 - 9    Rg(A) = 2.
.
0/15/1/10/2

0/15/1/10/3 .
Beispiel 16 - 153
Rang der Matrix .

A = 1 1 10 2 - 1 1 3 1 - 203 .
.

Erster Versuch: Streichen der ersten Spalte: .
.
1 10 - 1 1 3 - 203 = 0.

Zweiter Versuch: Streichen der zweiten Spalte: .

110 2 1 3 103 = 0.

Dritter Versuch: Streichen der dritten Spalte: .
1 10 2 - 13 1 - 2 3 = 0.

Vierter Versuch: Streichen der vierten Spalte: .
1 1 1 2 - 1 1 1 - 20 = 0.

Der Rang kann höchstens noch zwei sein. Erste Zeile und erste und beide Spalte streichen ergibt .
.
13 0 3 = 30.

Der Rang ist also rg = 2. .
.
Alternativ: .
.
1 1 10 2 - 1 1 3 1 - 203 1 1 1 0 0 - 3 - 1 3 0 - 3 - 13 1 1 1 0 0 - 3 - 1 3 0 0 0 0 .
.
rg(A) = 2

.
0/15/1/10/4 Man kann zeigen: .
Für jede Matrix A ist die maximale Anzahl unabhängiger Zeilenvektoren gleich der Anzahl unabhängiger Spaltenvektoren. Diese maximale Anzahl heißt Rang einer Matrix rg(A).

0/15/1/11

16.2.10 Anwendungen auf Lineare Gleichungssysteme

Wie bereits gezeigt, kann das lineare Gleichungssystem geschrieben werden als A x = c mit den Koeffizienten aik und den Absolutgliedern (Konstanten): ci .
A x = c

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a1n xn =c1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + a2n xn =c2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + a3n xn =c3

A x =cmit x = x1 x2 x3 und c = c1 c2 c3
.
.
Das lineare Gleichungssystem heißt homogen, wenn c = ist, d.h. wenn alle Absolutglieder verschwinden: A x = 0 .
Ist mindestens ein Absolutglied von Null verschieden, so ist das Gleichungssystem inhomogen. .
Für n = m hat man ein quadratisches Gleichungssystem vor sich.

0/15/1/12

16.2.11 Lösungsverhalten eines linearen (m,n)-Gleichungssystems

0/15/1/12/0

Das Lösungsverhalten eines linearen (m,n)-Gleichungssystems wird durch die Homogenität/Inhomogenität des Gleichungssystems entscheidend geprägt:

1.
Inhomogenes lineares Gleichungssystem A x = c
Das System besitzt entweder genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen oder überhaupt keine Lösung.
2.
Homogenes lineares Gleichungssystem A x = 0
Das System besitzt entweder genau eine Lösung, nämlich die triviale Lösung x = 0, oder unendlich viele Lösungen (darunter die triviale Lösung).

Ein gegebenes Gleichungssystem

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a1n xn =c1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + a2n xn =c2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + a3n xn =c3

kann man durch äquivalente Umformungen in ein gestaffeltes Gleichungssystem der Form

a11* x 1 + a12* x 2 + + a1r* x r + a1n* x n =c1*
+ a22* x 2 + + a2r* x r + a2n* x n =c2*
+ a rr* x r + arn* x n =cr*
0 =cr+1*
0 =cr+2*
0 =cm*

überführen.

0/15/1/12/1

PICPICPIC

Abbildung 9: eine / unendlich viele / keine Lösungen

0/15/1/12/2

.
In Matrixschreibweise :
A x = c wird durch äquivalente Umformungen in A*x* = c* überführt.
A (A|c) Zeilenumformungenelementare A* (A*|c*)

.

(A*|c*) = a11**a 12a1r*a 1n* 0 *a 22a2r*a 2n* 0 0 a rr*a rn* 0 0 0 0 A* c1* c2* c r* c m* c* .
.

Damit das Gleichungssystem lösbar ist, muss die erweiterte Koeffizientenmatrix (A*|c*) die spezielle Form

(A*|c*) = a11**a 12a1r*a 1n* 0 *a 22a2r*a 2n* 0 0 a rr*a rn* 0 0 0 0 0 0 0 0 A* c1* c2* 0 0 0 c*.
.
annehmen.
Sowohl die Matrizen a* als auch (A*|c*) sind von trapezförmiger Gestalt und enthalten in den letzten (m-r) Zeilen nur Nullen. Sie stimmen daher mit ihrem Rang überein:

Rg(A*) = Rg(A*|c*) = r.

Da die erweiterten Matrizen (A|c) und (A*|c*) durch äquivalente Umformungen / elementare Zeilenumformungen ineinander übergegangen sind, sind die korrespondierenden Matrizen ebenso ranggleich.

Dann gilt jedoch:

Ein lineares (m,n)-System A c = c ist nur dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatric A mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix (A|c) übereinstimmt:

Rg(A) = Rg(A|c) = r    (r m; r n)

Fallunterscheidungen

1.
Fall: r = n
Das gestaffelte System Ax = c* besitzt für r =n die quadratische Form:
a11* x 1 + a12* x 2 + + a1n* x n =c1*
+ a22* x 2 + + a2n* x n =c2*
a nn* x n =cn*

.

In Matrixschreibweise :

(A*|c*) = a11**a 12a1n* 0 *a 22a2n* 0 0 a nn* A* c1* c2* c n* cn* .
.
Nun kann man durch Rückwärtseinsetzen die Werte für x bestimmen. Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung

2.
Fall: r < n
Das gestaffelte System A*x = c* hat rechteckige Gestalt für r < n

a11* x 1 + a12* x 2 + + a1r* x r + a1n* x n =c1*
+ a22* x 2 + + a2r* x r + a2n* x n =c2*
a rr* x r + arn* x n =cr*
.
.
Damit haben wir mehr Unbekannte als Gleichungen: n > r. Davon sind n - r der Unbekannten, z.B. xr+1,xr+2,,xn frei wählbare Größen (Parameter).
Durch Rückwärtseinsetzen erhält man die unendlich vielen Lösungen des gestaffelten Systems, die dann durch die Parameter ausgedrückt werden.

Zusammenfassung: Ein Lineares Gleichungssystem ist nur lösbar, wenn Koeffzientematrix A und erweiterte Matrix (A|c) ranggleich sind:

Rg(A) = Rg(A|c) = r

Im Falle der Lösbarkeit besitzt das lineare Gleichungssystem die folgende Lösungsmenge:
Für r = n : Genau eine Lösung
Für r < n : Unendlich viele Lösungen

In einem homogenen System A x = 0 ist die Lösbarkeitsbedingung Rg(A) = Rg(A|c) stets erfüllt.


PICT
Abbildung 10: Lösbarkeit von Gleichungssystemen

.

0/15/1/12/3 .
Beispiel 16 - 154
Das Gleichungssystem

3x1-4x2 =2
- x1+5x2 =4
5x1+2x2 =12
.
ist nicht lösbar: Der Rang der Koeffizientenmatrix .
.
A 3 -4 -1 5 5 2 beträgt 2, da z.B. die Determinante .


-15 5 2 = -270.

Die Erweiterte Koeffizientenmatrix (A|c) ist quadratisch und sogar regulär: .
det(A|c) = 3 -4 2 -1 5 4 5 2 12 = -260.

Damit ist rg(A|c)rg(A) , das Gleichungssystem ist nicht lösbar. .
.
0/15/1/12/4 .

0/15/1/12/5 .
Beispiel 16 - 155
Das Gleichungssystem

4x1-x2-x3 =6
x1 +2x3 =0
- x1+2x2+2x3 =2
3x1-x2 =3
hat genau eine Lösung: .

(A|c) = 4 -1-1 1 0 2 -1 2 2 3 -1 0 6 0 2 3 tauschen tauschen .

1 0 2 4 -1 -1 -1 2 2 3 -1 0 0 6 2 3 -4 I +I -3 I .

1 0 2 0 -1 -9 0 2 4 0 -1 -6 0 6 2 3 +2 II -II .

1 0 2 0 -1 -9 0 0 -14 0 0 3 0 6 14-3 14 3 .

1 0 2 0 -1 -9 0 0 -1 0 0 1 0 6 1 -1 +III .

1 0 2 0 -1 -9 0 0 -1 0 0 0 A* 0 6 1 0 c* = (A*|c*).
Daraus folgt: rg(A) = rg(A*) = 3,rg(A|c) = rg(A*|c*) = 3. .
Aus dem gestaffelten System kann man das Ergebnis ablesen: .
x3 = -1 .
- x-2 - 9x3 = 6 x2 = 3 .
x1 + 2x3 = 0 x1 = 2. .

.
0/15/1/12/6 .

0/15/1/12/7 .
Beispiel 16 - 156
Das Gleichungssystem

x1+x2+x3+3x4 =0
2x2 +2x4 =5
- x1-x2-2x3-2x4 =4
2x1+4x2+2x3+8x4 =5
.
ist lösbar und hat unendlich viele Lösungen: .

(A|c) = 1 1 1 3 0 2 0 2 -1-1-2-2 2 4 2 8 0 5 4 5 +I -2 I .

11 1 3 0 2 0 2 00-11 02 0 2 0 5 4 5 -II .

11 1 3 0 2 0 2 00-11 00 0 0 A* 0 5 4 0 c* = (A*|c*).

Daraus folgt: rg(A) = rg(A*) = 3,rg(A|c) = rg(A*|c*) = 3. .
Da - r = 4 - 3 = 1, besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. .

.
0/15/1/12/8

0/15/1/13

16.2.12 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/15/1/14

16.2.13 Lösung linearer Gleichungssysteme mit der Cramer’schen Regel

0/15/1/14/0

Ein lineares (n,n)-Gleichungssystem A x = c besitzt genau eine Lösung, wenn die Koeffizientenmatrix A regulär ist. Dann existiert auch die zu A inverse Matrix A-1, und die Lösung läßt sich wie folgt berechnen:
Man multipliziert die Matrizengleichung A x = c von links mit A-1 :
A-1 A x = A-1 c

A-1 c = A-1 A x = (A-1 A) E x = E x = x

Damit wird der Lösungsvektor

x = A-1c = 1 det AA11A21An1 A12 A22 an2 A 1nA2nAnn c1 c2 c n

= 1 det A c1 A11 + c2 A21 + + cn An1 c1 A12 + c2 A22 + + cn An2 c 1 A1n + c2 A2n + + cn Ann ,
.

oder in komponentenweiser Darstellung:


x1 = c1A11 + c2A21 + + cnAn1 det A
x2 = c1A12 + c2A22 + + cnAn2 det A
⋮       ⋮
xn = c1A1n + c2A2n + + cnAnn det A
.

Den Zähler kann man auch schreiben als Determinante:

D1 = c1a12a13a1n c2 a22a23a2n c nan2an3ann ,
.

was sich sofort verifizieren läßt, indem man einfach diese Determinante nach den Elementen der ersten Spalte entwickelt.
Mit der Vereinbarung D = det A kann man dann vereinfacht schreiben:
x1 = D1 D ,x2 = D2 D ,x3 = D3 D bzw. xi = Di D ,
was als Cramer’sche Regel bekannt ist.

Die Cramer’sche Regel scheint zwar einfach anwendbar, ist aber in der Regel ineffizient, insbesondere bei größeren Zahlen von m und n. .
0/15/1/14/1 .
Beispiel 16 - 157
Das Gleichungssystem

2x1+x2+3x3 =8
- x1-4x2+x3 =3
x1+2x2-4x3 =1
.
hat genau eine Lösung, da die Koeffizientendeterminante .
det A = 2 1 3 -1 -4 1 1 2 -4 = 32+1-6+12-4-4 = 310ist. .
.

Anwendung der Cramer’schen Regel: .

det D1 = 8 1 3 3 -4 1 1 2 -4 = 155 .

det D1 = 2 8 3 -1 3 1 1 1-4 = -62.

det D1 = 2 1 8-1 -4 3 1 2 1 = 0.

Daraus folgt: .
x1 = D1 D = 155 31 = 5 .
.
x2 = D2 D = -62 31 = -2 .
.
x1 = D3 D = 0. .

.
0/15/1/14/2

0/15/1/15

16.2.14 Auswirkungen von Rundungsfehlern

Die bisher aufgeführten Verfahren

bergen die Gefahr von Rundungsfehlern.
Beispiel 16 - 158:
Das Gleichungssystem

x1+ x2 = 2 x1 +1, 0001 x2 =2, 0001

hat (1, 1) als Lösung. Lag nun beispielsweise ein Rundungsfehler vor,

x1+ x2 =2 x1 +1, 0001 x2 =2 ,

erhält man als Lösung (2, 0), was deutlich von der ersten Lösung abweicht.
Sind die Rundungseffekte noch stärker,so erhält man

x1+x2 =2 x1 +x2 =2 ,

mit unendlich vielen Lösungen (2 - λ,λ),λ R, was nochmals deutlich von der ersten Lösung abweicht.

Wenn sehr kleine Veränderungen der Werte solch große Auswirkungen auf die Lösungen haben, spricht man von einem schlecht konditioniertem Gleichungssystem.
Bei dem Gleichungssystem
0, 00001 x1+x2 =1 x1 +x2 =2

tritt dies beispielsweise nicht auf, das Gleichungssystem ist gut konditioniert. Ein Runden ergibt
x2 =1 x1+x2 =2 ,

und man erhält als Lösung (1, 1). Bei Anwendung des Gauß-Verfahrens erhält man jedoch
0, 00001 x1+ x2 = 1 - 9999 x2 = - 99998

und daraus x2 = 0, 99990. Rundet man diesen Wert auf 1, so ergibt sich aus der ersten Gleichung
0, 0001 x1 + 1 = 1 x1 = 0,

also eine Lösung (0, 1) und nicht (1, 1) wie erwartet. Der Fehler ließe sich durch entsprechende Umstellung vermeiden, indem man z.B. die Variablen vertauscht:

x2+0, 00001 x1 = 1 x2 + 1 x1 =2

was zu den Gleichungen führt:

x2+0, 00001 x1 = 1 0, 9999 x1 =1

und daraus nach Rundung das Ergebnis (1, 1). Indem man die Diagonalelemente durch Umstellung möglichst groß macht (Pivotisieren), läßt sich dieser Effekt meist reduzieren.