0

0/14

15 Reelle Matrizen

0/14/0

0/14/1

15.1 Einstieg: Lineare Gleichungssysteme

0/14/1/0

15.1.1 gängige Methoden

In diesem Kapitel werden die Methoden

zur Lösung von Gleichungssystemen einschließlich der Hintergründe behandelt. BeginIsUnit 0/14/1/1

15.1.2 Einige Beispiele zum Einstieg

0/14/1/1/0

Beispiel 15 - 1:
In der Klasse 7c sind 31 Schüler. Die Zahl der Mädchen ist um 3 kleiner als die Zahl der Jungen. Wie viele Jungen und Mädchen sind in der Klasse ?

M: Mädchen J: Jungen
M + J =31
M + 3 =J

Beispiel 15 - 2:
Drei Zahnräder eines Getriebes haben zusammen 80 Zähne. Bei 10 Umdrehungen des ersten Rades drehen sich das zweite 18 und das dritte 45 mal. Wie viel Zähne hat jedes Rad ?

A + B + C =80
A18 =B10
A45 =C10

Beispiel 15 - 3: Balken in einem Lager
Ein Balken (Länge k) wird in einem festen Lager links eingespannt und rechts von einem Seil in einem Winkel von 45 o gehalten. Eine Kraft F wirkt unter dem Winkel α auf die Mitte des Balkens. 0/14/1/1/1


PIC .

Abbildung 1: Eingespannter Balken

0/14/1/1/2

Fragestellung der Technischen Mechanik ist bei diesem Beispiel die Bestimmung der Kräfte FA,FB und des Moments MA in Abhängigkeit vom Winkel α der angreifenden Kraft F (’Drehachse’ links): .
0/14/1/1/3


PIC .

Abbildung 2: Kräfte an einem Balken

0/14/1/1/4 .
x - Richtung :0 FA+ 1 2 FB+0 MA = F cos α y - Richtung : FA + 1 2 FB+0 MA = F sin α DrehmomentM :0 FA+ k 2 FB+ MA =k2 F sin α .
.
3 Gleichungen, 3 Unbekannte .

Beispiel 15 - 4: Verschnittkreuz
Gegeben sind die zwei (zu bestimmenden) Mengen x1 und x2 eines Weins mit dem Säuregehalt G1 = 3, 8gl und G2 = 9gl, die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge M und einem Gesamtsäuregehalt G = 6gl.
Die Gleichungen dieses Systems lauten dann:

x1+x2=M
G1 x1+G2 x2=G M

Nun multipliziert man die erste Gleichung mit G2: .
G2 x1+G2 x2=G2 M
G1 x1+G2 x2=G M

Subtraktion der zweiten von der ersten Zeile ergibt: .
(G2 - G1) x1+=(G2 - G) M

und damit x1 = (G2 - G) M G2-G1
oder x1 G2 - G
Die gleichen Schritte werden nach der Multiplikation der ersten Gleichung mit G1 analog durchgeführt:
G1 x1+G1 x2=G1 M
G1 x1+G2 x2=G M

Subtraktion der zweiten von der ersten Zeile ergibt:. .
+(G2 - G1) x2=(G - G1) M

und damit x2 = (G - G1) M G2-G1
oder x2 G - G1.
Kennt man die gesuchte Gesamtmenge nicht, kann man für das Verhältnis von x1 zu x2 angeben:
x1 x2 = G2-G G-G1 = (9.0-6.0)gl (6.0-3.8)gl = 3.0 2.2 1.36.

Zum besseren Behalten dieser Gleichungen werden die Werte in einem (Verschnitt-)Kreuz aufgetragen: .
.




G1 x1 (G2 - G)
G
G2 x2 (G - G1)



.
.
Mit Zahlen: .
.



3.8 3.0
6.0
9.0 2.2



.
.
Hat man nun eine vorgegebene Menge x1 = 630l, so kann man die Menge des Weins x2 einfach bestimmen zu:
630 x 2 = 3.0 2.2 und x2 = 630 2.2 3.0l = 462l.
Lösung des Beispiels mit Maple:
restart; eq1 := x1+x2 = M;
eq2 := 3.8*x1+9*x2 = 6.0*M;
solve({eq1, eq2}, {x1, x2,M}) ergibt:
x1 + x2 = M
3.8 x1 + 9 x2 = 6.0 M
{M = 2.363636364*x2, x1 = 1.363636364*x2, x2 = x2}.
Also: x2 ist frei wählbar, daraus ergibt sich x1 und daraus wiederum die Gesamtmenge.

0/14/1/1/5 .
Beispiel 15 - 128
Gegeben sind die drei (zu bestimmenden) Mengen x1, x2 und x3 eines Weins mit dem Alkoholgehalt A1 = 8 Vol %, A2 = 12 Vol % und A3 = 15 Vol % , die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge M und einem Gesamt-Alkoholgehalt A = 12 Vol %.
(1.267l Alkohol entspricht 1kg; auf der linken und rechten Seite steht aber die gleiche Einheit. Deshalb kann sie weggelassen werden.)
Gleichzeitig haben die Weine Säuregehalte von S1 = 3gl, S2 = 9gl und S3 = 5gl,die zusammengemischt den Ziel-Gesamtsäuregehalt G = 6gl haben sollen. .

Die Gleichungen dieses Systems lauten:

x1+x2+x3=M
A1 x1+A2 x2+A3 x3=A M
S1 x1+S2 x2+S3 x3=S M
,
in Zahlen:
x1+x2+x3=M
0.08 x1+0.12 x2+0.15 x3=0.12 M
0.10 x1+0.01 x2+0.12 x3=0.09 M
,
Lösung mit Maxima: .
eq1 : x1 + x2 + x3 = M; .
eq2 : 0.08 * x1 + 0.12 * x2 + 0.15 * x3 = 0.12 * M .
eq3 : 0.03 * x1 + 0.09 * x2 + 0.05 * x3 = 0.06 * M .
algsys([eq1,eq2,eq3], [x1,x2,x3,M]) .
ergibt :
[[x1 = %r1,x2 = 13%r1 9 ,x3 = 4%r1 3 ,M = 34%r1 9 ]] .

Lösung mit Maple: restart; eq1 := x1+x2+x3 = M;
eq2 := 0.08*x1+0.12*x2+0.15*x3 = 0.12*M;
eq3 := 0.03*x1+0.09*x2+0.05*x3 = 0.06*M;
solve({eq1, eq2,eq3}, {x1, x2,x3,M})
ergibt :
{M = 34 9 x1 ;
x1 = x1 ;
x2 = 13 9 x1 ;
x3 = 4 3 x1};
Die Lösung sagt gleichzeitig, dass man für die Zielzusammensetzung alle drei Weine benötigt. .

.
0/14/1/1/6

0/14/1/1/7 .
Beispiel 15 - 129
Gegeben sind die drei (zu bestimmenden) Mengen x1, x2 und x3 eines Weins mit dem Alkoholgehalt A1 = 8 Vol %, A2 = 12 Vol % und A3 = 13, 5 Vol % , die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge M und einem Gesamt-Alkoholgehalt A = 11 Vol %.
Gleichzeitig haben die Weine Säuregehalte von S1 = 3, 8gl, S2 = 9gl und S3 = 7gl,die zusammengemischt den Ziel-Gesamtsäuregehalt G = 6gl haben sollen. .

Die Gleichungen dieses Systems lauten:

x1+x2+x3=M
A1 x1+A2 x2+A3 x3=A M
S1 x1+S2 x2+S3 x3=S M
,
in Zahlen:
x1+x2+x3=M
8 x1+12 x2+13.5 x3=11.0 M
3.8 x1+9.0 x2+7.0 x3=6.0 M
,
Lösung mit Maxima: .
eq1 : x1 + x2 + x3 = M .
eq2 : 8 * x1 + 12 * x2 + 13.5 * x3 = 11.0 * M .
eq3 : 3.8 * x1 + 9 * x2 + 7 * x3 = 6.0 * M .
algsys([eq1,eq2,eq3], [x1,x2,x3,M]) .
ergibt :
[[x1 = %r2,x2 = 5%r2 13 ,x3 = 68%r2 65 ,M = 158%r2 65 ]] .

Lösung mit Maple: restart; eq1 := x1+x2+x3 = M;
eq2 := 8*x1+12*x2+13.5*x3 = 11.0*M;
eq3 := 3.8*x1+9*x2+7*x3 = 6.0*M;
solve({eq1, eq2,eq3}, {x1, x2,x3,M})

Gäbe man als Ziel-Alkoholgehalt nun beisipielsweise 12% vor, erhielte man negative Mengenwerte. Diese negativen Werte der Lösung sagen aus, daß für diese Zielsetzung keine entsprechende Mischung möglich ist. .

.
0/14/1/1/8 Die Systematik von linearen Gleichungssytemen kann diese Ergebnisse erklären.

0/14/1/2

15.1.3 Lösen von Gleichungssystemen über äquivalente Umformungen

0/14/1/2/0

Bei einem linearen Gleichungssystem bleibt die Lösungsmenge bei Anwendung der folgenden Operationen unverändert erhalten (Äquivalente Umformungen eines linearen Gleichungssystems):

1.
Zwei Zeilen können miteinander vertauscht werden.
2.
Jede Gleichung kann mit einer von Null verschiedenen Zahl multipliziert werden.
3.
Zu jeder Gleichung darf ein Vielfaches einer anderen Gleichung addiert werden.

.

0/14/1/2/1 .
Beispiel 15 - 130

Zeilen- Opera-
summe tion
- x + y + z =01
x- 3y- 2z =51+I
5x + y + 4z =313+ 5I

.

Lösungsansatz: Bringe Gleichungssystem auf Dreiecksform

.

- x + y + z =01
0 - 2y- z =52
0 + 6y + 9z =318/3
- x + y + z =01
0 - 2y- z =52
0 + 2y + 3z =16+II
- x + y + z =01
0 - 2y- z =52
0 0 + 2z =68

z = 3

-2y - 3 = 5 y = -4

-x - 4 + 3 = 0 x = -1

.
0/14/1/2/2 .
Gauß’scher Algorithmus : Bringe das Gleichungssystem durch geeignete äquivalente Umformungen in Dreiecksform. Die letzte Zeile enthält die Lösung für eine Variable. Diese Lösung wird in der zweitletzten Zeile zur Bestimmung der zweiten Variablen verwendet usw. .

0/14/1/3

15.1.4 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/14/1/4

15.1.5 Definition einer reellen Matrix

Matrix : .

rechteckiges Schema mit
m Zeilen
n Spalten
aik:Matrixelemente
.

A= a11 a12 a1n a21 a22 a2n a m1am2amn
.

i wird als Zeilenindex
k wird als Spaltenindex bezeichnet.

Schreibweisen: A,A(m,n),aik, (aik)m,n

Sonderfälle:

m = n: n-reihige quadratische Matrix oder auch Matrix n-ter Ordnung .
Nullmatrix 0: Matrix, deren Elemente sämtlich verschwinden .

Spaltenmatrix: a1 a2 a n
.

Zeilenmatrix: a1a2an .

0/14/1/5

15.1.6 Transponierte einer Matrix

0/14/1/5/0

Vertauschen von Zeilen und Spalten ergibt die Transponierte einer Matrix : .
.
aikT = a ki .
.
Beispiel:
A = 1 3 4 2 0 - 8 AT = 14 0 3 2 - 8 .
.
0/14/1/5/1 .
Beispiel 15 - 131
B = 1 1 1 0 - 2 5 7 6 0 BT =.
.

B = 1 1 1 0 - 2 5 7 6 0 BT = 1 0 7 1 - 2 6 1 5 0

.
0/14/1/5/2 .


.
.
= Nebendiagonale
= Hauptdiagonale

0/14/1/6

15.1.7 Gleichheit von Matrizen

Zwei Matrizen A,B sind gleich, wenn
aik = bik für alle i,k,
also wenn alle ihre Elemente gleich sind.

0/14/2

15.2 Spezielle quadratische Matrizen

0/14/2/0

0/14/2/1

15.2.1 Diagonalmatrix

aik = 0 für ik

a11 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 a33 0 0 0 0 ann
.

Sind alle aii = 1, so nennt man diese Matrix Einheitsmatrix

100 0 1 0 001 = E .

0/14/2/2

15.2.2 Dreiecksmatrix

alle Elemente oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonalen verschwinden

Beispiel 15 - 132: Untere Dreieicksmatrix:
100 3 1 0 405
.

0/14/2/3

15.2.3 Symmetrische Matrix

aik = aki AT = A .
Beispiel:

1 4 - 2 4 5 0 - 2 0 8 .

0/14/2/4

15.2.4 Schiefsymmetrische Matrix

aik = -aki aii = 0 .
Beispiel: .
0 4 3 - 4 0 - 5 - 35 0 .

0/14/3

15.3 Rechenoperationen mit Matrizen

0/14/3/0

15.3.1 Addition

0/14/3/0/0

C = A + B cik = aik + bik
0/14/3/0/1 .
Beispiel 15 - 132
A = 15 - 3 40 8 +B = 5 13 - 1 4 7 .

.

C = A+B = 66 0 3 4 15 .

.
0/14/3/0/2 .
Beispiel 15 - 133: - C -=- -A -+ --<msup><mrow>B< -/mrow><mrow >T</mrow></msup >  .
Diese Operation ist nicht definiert .

0/14/3/1

15.3.2 Multiplikation mit einem Skalar

0/14/3/1/0

λ A = λ (aik) = (λ aik) für alle i,k.
0/14/3/1/1 .
Beispiel 15 - 133
A = 1 - 53 4 1 0 ,λ = 4B = λ A = .

.

A = 1 - 53 4 1 0 ,λ = 4B = λA = 41 - 53 4 1 0 = 4 - 2012 16 4 0

.
0/14/3/1/2

kommutativ:A + B =B + A
λ A =A λ
assoziativ: A + (B + C) =(A + B) + C
λ (μ A) =(λ μ) A
distributiv: (λ + μ)A =λA + μA
λ(A + B) =λA + λB

0/14/3/1/3 .
Beispiel 15 - 134
A = 13 2 4 ,C = 02 1 3 .
.
B = 3 A + CT =

.
.

B = 3A+CT = 3 9 6 12 01 2 3 = 310 8 15 . .

.
0/14/3/1/4

0/14/3/2

15.3.3 Multiplikation von Matrizen

0/14/3/2/0

A = 15 2 3 und B = 412 1 0 3

C = A B
.

Die Ergebnismatrix hat 3 Spalten und 2 Zeilen

C = c11c12c13 c21 c22c23
.

c11 = a11 b11 + a12 b21 = 1 4 + 5 1 = 9

Falk-Schema für die Multiplikation von Matrizen : .
.

A = 15 2 3 C


B = 412 1 0 3
.





a11a12c11c12c13





a21 a22c21c22c23










b11b12b13





b21b22b23





.
.
C = A B .
cik =ai1 b1k + ai2 b2k + + ain bnk
= j=1na ij bjk
.


Beispiel 15 - 135:
A = 14 2 4 0 - 3 B = 1 10 - 2 3 5 0 14 .
.
C = A B .
.
- -- -- -- -- --
-C  =  B ⋅ --A .
.







142- 71528






40- 341- 12












110






- 235






014







.


Multiplikation ist nur zulässig, wenn Spaltenanzahl A = Zeilenanzahl B .

0/14/3/2/1 .
Beispiel 15 - 135
A = 1 - 53 4 1 0 ,B = 10 1 0 12 .
.
A B = .

.

AB = - 16 5 0 .

.
0/14/3/2/2

Rechengesetze für die Matrixmultiplkikation:

Assoziativität:A (B C) =(A B) C
Distributivität:A (B + C) =A B + A C
(A + B) C =A C + B C
(A B)T =BT AT
A E =E A = A

Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ

Man kann jedoch bei Gleichungen mit Matrizen entweder auf beiden Seiten von links oder auf beiden Seiten von rechts mit einer Matrix multiplizieren (vorausgesetzt natürlich, die Anzahl Spalten bzw. Zeilen sind dazu passend): .

(B C) =(E F)
A (B C) =A (E F)
(B C) A =(E F) A

0/14/3/3

15.3.4 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/14/4

15.4 Gauß’scher Algorithmus

0/14/4/0

15.4.1 Darstellung in Matrixform

0/14/4/0/0

- x + y + z =0 umbilden in Matrix:
x - 3y- 2z =5 1. Spalte: x,2. Spalte: y
5x + y + 4z =3 3. Spalte: z,4. Spalte: Konstante

- 1 + 1 + 10
1- 3- 25
5143

.

.
Das lineare Gleichungssystem kann geschrieben werden als A x = c . .
Koeffizienten: aik
Absolutglieder (Konstanten): ci

A x = c

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + + a1n xn =c1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + + a2n xn =c2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + + a3n xn =c3

A x =cmit x = x1 x2 x3 und c = c1 c2 c3

.

Entsprechend verfolgt jetzt der Gaußsche Algorithmus das Ziel, über äquivalente Umformungen die Matrix A in ein gestaffeltes System (Dreiecksform) zu bringen durch die Schritte:

1.
Vertauschen von Zeilen
2.
Multiplikation mit einem Faktor 0
3.
Addition eines Vielfachen einer anderen Zeile

0/14/4/0/1 .
Beispiel 15 - 136
Lösen eines Gleichungssytems mit Excel : .


PIC .

Abbildung 3: Gleichungssystem als Excel-Tabelle

.
.

.

.
0/14/4/0/2

0/14/4/0/3 .
Beispiel 15 - 137

- x + y + z =0 umbilden in Matrix:
x - 3y- 2z =5 1. Spalte: x,2. Spalte: y
5x + y + 4z =3 3. Spalte: z,4. Spalte: Konstante

.

.

1- 1- 10-1
1- 3- 25
5143





1 - 1 - 1 0
1- 3- 25- I
5143- 5 I





1- 1- 10
0- 2- 15- I
0693 + 3 II





1- 1- 10
0- 2- 15- 2I
006183





1- 1- 10
011 2-5 2
0013






.
z = 3 .
Aus Zeile 2 folgt: y + 3 1 = -5 2 y = -4 .
Aus Zeile 1 folgt: x + 4 - 3 = 0 x = -1 .
(alternativ Gauß-Jordan: Später !)

.
0/14/4/0/4

0/14/4/1

15.4.2 Lösungsschritte des Gauß’schen Algorithmus

Die Lösung eines linearen Gleichungssystems A x = c erfolgt durch Umformung in zwei, ggf. drei Schritten:
I. Vorwärtselimination mit
Ia. eventueller Pivotisierung (d.h. Vertauschen von Zeilen, bis die Diagonalelemente 0)
II. Rückwärtselimination

I. Vorwärtselimination

1.
Eliminationsschritt: (a110)
subtrahierea21a11-fache der 1.Zeile von 2.Zeile
a31a11-fache der 1.Zeile von 3.Zeile

Durch den ersten Eliminationsschritt entstehen in der 1. Spalte der Matrix Nullen, außer a11 sind alle ai1 = 0.
2.
Eliminationsschritt: (a220)
subtrahierea32a22-fache der 2.Zeile von 3.Zeile
a42a22-fache der 2.Zeile von 4.Zeile
3.
Solange wiederholen, bis die Dreiecksform vorliegt. (Die Koeffizienten der Matrix in Dreiecksform werden ab hier der Übersichtlichkeit halber mit Koeffizienten a ik bzw. c i bezeichnet.)

Ia. Pivotisierung

1.
Das Gauß-Verfahren versagt, falls das Diagonalelement oder Pivotelement (engl. für Dreh- und Angelpunkt) akk eines Eliminationsschrittes gleich Null ist, akk = 0 (Abbruch des Verfahrens bei Division durch Null).
2.
Pivotsuche: Ist ein Diagonalelement akk = 0, so vertauscht man die Pivot-Zeile k vor Ausführung des k-ten Eliminationsschrittes mit derjenigen Zeile m > k, die den betragsmäßig größten Koeffizienten für xk besitzt:
3.
Neue Pivotzeile m, neues Pivotelement amk.

II. Rückwärtselimination
Aus der Dreiecksform werden die Lösungen xi durch schrittweises Rückwärtseinsetzen gewonnen:

1.
Zuerst die unterste Zeile nach xn auflösen.
2.
Die anderen Elemente xi,i = n - 1,, 1 des Lösungsvektors x bestimmt man dann rekursiv mit der Gleichung xn = c n a nn, xi = c i a ii - k=i+1nx k a ik a ii ,i = n - 1,, 1

.
Sei A eine 4x4-Matrix, dann lautet das Gleichungssystem A x = c mit dem unbekannten Vektor x = (x-1,x2,xn)T:

a11x1+a12x2+a13x3+a14x4 =c1
a22x2+a23x3+a24x4 =c2
a33x3+a34x4 =c3
a44x4 =c4

x4 erhält man aus der letzten Zeile: x4 = c4 a44
Der Wert für x4 wird in die vorletzte Zeile eingesetzt, diese nach x3 aufgelöst: x3 = c3 - a34x4 a33 .
.
Das gleiche Schema wird auf die darüberliegenden Zeilen angewandt, bis alle Werte von x bestimmt sind.

0/14/4/2

15.4.3 Gauß-Jordan-Verfahren

0/14/4/2/0

Alternativ zum beschriebenen Gauß-Verfahren kann man auch die Koeffizientenmatrix noch weiter umformen, bis man eine Einheitsmatrix E erhält. Damit können die Lösungen direkt abgelesen werden.

A x = c
A-1 A x = A-1 c oder
x = A-1 c
Dies ist auch als Gauß-Jordan-Verfahren bekannt.
0/14/4/2/1 .
Beispiel 15 - 138
Alternative Lösung des obigen Beispiels mit Gauß-Jordan: .

- x + y + z =0 umbilden in Matrix:
x - 3y- 2z =5 1. Spalte: x,2. Spalte: y
5x + y + 4z =3 3. Spalte: z,4. Spalte: Absolutglied

.
(Anm.: Man kann das Absolutglied zuerst auch auf die linke Seite der Gleichung bringen, man muß nur beim Ablesen darauf achten.) .
xyzc PS
1- 1- 10- 1
1- 3- 251- I
514313- 5 I






1- 1- 10- 1- II2
0- 2- 152
069318 + 3 II






100- 10
010- 4- 3
00618246






100- 10
010- 4- 3
00134







.
x = -1,y = -4,z = 3 .

.
0/14/4/2/2

0/14/4/2/3 .
Beispiel 15 - 139
Zu lösen ist das Gleichungssystem .

- x + y- z =- 2
+ y- 2z =- 4
- z =- 15

.

- 11- 1- 2- III
01- 2- 4- 2 III
00- 1- 15





- 11013- II
01- 2- 4 + 2 III
00- 1- 15





1- 10- 1- II
01026
00- 1- 15 (-1)





10013
0 1 0 26
00115






.
.
x = 13,y = 25,z = 15 .

.
0/14/4/2/4

Beispiele zum Gauß’schen Verfahren
0/14/4/2/5 .
Beispiel 15 - 140
Tragwerke

FAFBMAc
0 1 20F cos αnach II
1 1 20F sin αnach I
0 k 21k 2 F sin α

.
Pivotisieren:

.

FAFBMAc





1 1 20F sin α- II
0 1 20F cos α
0 k 21k 2 F sin αk





1 00F (sin α - cos α)
0 1 20F cos α
0 1 21 k1 2 F sin α- II





1 00F (sin α - cos α)
0 1 20F cos α2
0 01 kF (1 2 sin α - cos α) k





1 00F (sin α - cos α)
0 102 F cos α
0 01F k (1 2 sin α - cos α)






.
FA = F (sin α - cos α)
FB = 2 F cos α
MA = F k (1 2 sin α - cos α)

.
0/14/4/2/6

0/14/4/2/7 .
Beispiel 15 - 141

1 1 -2 1-1-2 2 3 -4 x y z = 0 0 0

11- 20
1- 1- 20
23- 40

.
.

11- 20
1- 1- 20- I
23- 40- 2I
11- 20
0- 200
0100 + II 2
11- 20
0- 200
0000 + II 2

Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen
z wird zum Parameter und ist frei wählbar.
Auflösen durch Rückwärtseinsetzen:
II y = 0 .
I x + 0 - 2λ = 0 .
x = 2λ .

.
0/14/4/2/8

0/14/4/2/9 .
Beispiel 15 - 142

- x1 + 2x2 + x3 =6
x1 + x2 + x3 =- 2
2x1 - 4x2- 2x3 =- 6


.

- 121 6
1 + 11 - 2 + I
2- 4- 2 - 6 + 2I
- 121 6
032 4
0 00 - 6
.
oder .
.
- x1 + 2x2 + x3 =6
03x2 + 2x3 =4
000 =- 6

Das Gleichungssystem ist nicht lösbar.


.
0/14/4/2/10

Ein Gleichungssystem hat

eine oder keine oder unendlich viele
Lösungen. .


Ist das Gleichungssystem homogen (Alle Absolutglieder sind Null, c = 0) so hat es entweder genau eine Lösung (die Triviallösung x = 0) oder unendlich viele Lösungen (darunter auch die Triviallösung).