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0/14

15 Reelle Matrizen

0/14/1

15.1 Einstieg: Lineare Gleichungssysteme

0/14/1/0

15.1.1 gängige Methoden

In diesem Kapitel werden die Methoden

zur Lösung von Gleichungssystemen einschließlich der Hintergründe behandelt. BeginIsUnit 0/14/1/1

15.1.2 Einige Beispiele zum Einstieg

0/14/1/1/0

Beispiel 15 - 1:
In der Klasse 7c sind 31 Schüler. Die Zahl der Mädchen ist um 3 kleiner als die Zahl der Jungen. Wie viele Jungen und Mädchen sind in der Klasse ?

M: Mädchen J: Jungen
M + J =31
M + 3 =J

Beispiel 15 - 2:
Drei Zahnräder eines Getriebes haben zusammen 80 Zähne. Bei 10 Umdrehungen des ersten Rades drehen sich das zweite 18 und das dritte 45 mal. Wie viel Zähne hat jedes Rad ?

A + B + C =80
A18 =B10
A45 =C10

Beispiel 15 - 3: Balken in einem Lager
Ein Balken (Länge k) wird in einem festen Lager links eingespannt und rechts von einem Seil in einem Winkel von 45 o gehalten. Eine Kraft F wirkt unter dem Winkel α auf die Mitte des Balkens. 0/14/1/1/1


PIC .

Abbildung 1: Eingespannter Balken

0/14/1/1/2

Fragestellung der Technischen Mechanik ist bei diesem Beispiel die Bestimmung der Kräfte FA,FB und des Moments MA in Abhängigkeit vom Winkel α der angreifenden Kraft F (’Drehachse’ links): .
0/14/1/1/3


PIC .

Abbildung 2: Kräfte an einem Balken

0/14/1/1/4 .
x - Richtung :0 FA+ 1 2 FB+0 MA = F cos α y - Richtung : FA + 1 2 FB+0 MA = F sin α DrehmomentM :0 FA+ k 2 FB+ MA =k2 F sin α .
.
3 Gleichungen, 3 Unbekannte .

Beispiel 15 - 4: Verschnittkreuz
Gegeben sind die zwei (zu bestimmenden) Mengen x1 und x2 eines Weins mit dem Säuregehalt G1 = 3, 8gl und G2 = 9gl, die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge M und einem Gesamtsäuregehalt G = 6gl.
Die Gleichungen dieses Systems lauten dann:

x1+x2=M
G1 x1+G2 x2=G M

Nun multipliziert man die erste Gleichung mit G2: .
G2 x1+G2 x2=G2 M
G1 x1+G2 x2=G M

Subtraktion der zweiten von der ersten Zeile ergibt: .
(G2 - G1) x1+=(G2 - G) M

und damit x1 = (G2 - G) M G2-G1
oder x1 G2 - G
Die gleichen Schritte werden nach der Multiplikation der ersten Gleichung mit G1 analog durchgeführt:
G1 x1+G1 x2=G1 M
G1 x1+G2 x2=G M

Subtraktion der zweiten von der ersten Zeile ergibt:. .
+(G2 - G1) x2=(G - G1) M

und damit x2 = (G - G1) M G2-G1
oder x2 G - G1.
Kennt man die gesuchte Gesamtmenge nicht, kann man für das Verhältnis von x1 zu x2 angeben:
x1 x2 = G2-G G-G1 = (9.0-6.0)gl (6.0-3.8)gl = 3.0 2.2 1.36.

Zum besseren Behalten dieser Gleichungen werden die Werte in einem (Verschnitt-)Kreuz aufgetragen: .
.




G1 x1 (G2 - G)
G
G2 x2 (G - G1)



.
.
Mit Zahlen: .
.



3.8 3.0
6.0
9.0 2.2



.
.
Hat man nun eine vorgegebene Menge x1 = 630l, so kann man die Menge des Weins x2 einfach bestimmen zu:
630 x 2 = 3.0 2.2 und x2 = 630 2.2 3.0l = 462l.
Lösung des Beispiels mit Maple:
restart; eq1 := x1+x2 = M;
eq2 := 3.8*x1+9*x2 = 6.0*M;
solve({eq1, eq2}, {x1, x2,M}) ergibt:
x1 + x2 = M
3.8 x1 + 9 x2 = 6.0 M
{M = 2.363636364*x2, x1 = 1.363636364*x2, x2 = x2}.
Also: x2 ist frei wählbar, daraus ergibt sich x1 und daraus wiederum die Gesamtmenge.

0/14/1/1/5 .
Beispiel 15 - 128
Gegeben sind die drei (zu bestimmenden) Mengen x1, x2 und x3 eines Weins mit dem Alkoholgehalt A1 = 8 Vol %, A2 = 12 Vol % und A3 = 15 Vol % , die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge M und einem Gesamt-Alkoholgehalt A = 12 Vol %.
(1.267l Alkohol entspricht 1kg; auf der linken und rechten Seite steht aber die gleiche Einheit. Deshalb kann sie weggelassen werden.)
Gleichzeitig haben die Weine Säuregehalte von S1 = 3gl, S2 = 9gl und S3 = 5gl,die zusammengemischt den Ziel-Gesamtsäuregehalt G = 6gl haben sollen. .

Die Gleichungen dieses Systems lauten:

x1+x2+x3=M
A1 x1+A2 x2+A3 x3=A M
S1 x1+S2 x2+S3 x3=S M
,
in Zahlen:
x1+x2+x3=M
0.08 x1+0.12 x2+0.15 x3=0.12 M
0.10 x1+0.01 x2+0.12 x3=0.09 M
,
Lösung mit Maxima: .
eq1 : x1 + x2 + x3 = M; .
eq2 : 0.08 * x1 + 0.12 * x2 + 0.15 * x3 = 0.12 * M .
eq3 : 0.03 * x1 + 0.09 * x2 + 0.05 * x3 = 0.06 * M .
algsys([eq1,eq2,eq3], [x1,x2,x3,M]) .
ergibt :
[[x1 = %r1,x2 = 13%r1 9 ,x3 = 4%r1 3 ,M = 34%r1 9 ]] .

Lösung mit Maple: restart; eq1 := x1+x2+x3 = M;
eq2 := 0.08*x1+0.12*x2+0.15*x3 = 0.12*M;
eq3 := 0.03*x1+0.09*x2+0.05*x3 = 0.06*M;
solve({eq1, eq2,eq3}, {x1, x2,x3,M})
ergibt :
{M = 34 9 x1 ;
x1 = x1 ;
x2 = 13 9 x1 ;
x3 = 4 3 x1};
Die Lösung sagt gleichzeitig, dass man für die Zielzusammensetzung alle drei Weine benötigt. .

.
0/14/1/1/6

0/14/1/1/7 .
Beispiel 15 - 129
Gegeben sind die drei (zu bestimmenden) Mengen x1, x2 und x3 eines Weins mit dem Alkoholgehalt A1 = 8 Vol %, A2 = 12 Vol % und A3 = 13, 5 Vol % , die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge M und einem Gesamt-Alkoholgehalt A = 11 Vol %.
Gleichzeitig haben die Weine Säuregehalte von S1 = 3, 8gl, S2 = 9gl und S3 = 7gl,die zusammengemischt den Ziel-Gesamtsäuregehalt G = 6gl haben sollen. .

Die Gleichungen dieses Systems lauten:

x1+x2+x3=M
A1 x1+A2 x2+A3 x3=A M
S1 x1+S2 x2+S3 x3=S M
,
in Zahlen:
x1+x2+x3=M
8 x1+12 x2+13.5 x3=11.0 M
3.8 x1+9.0 x2+7.0 x3=6.0 M
,
Lösung mit Maxima: .
eq1 : x1 + x2 + x3 = M .
eq2 : 8 * x1 + 12 * x2 + 13.5 * x3 = 11.0 * M .
eq3 : 3.8 * x1 + 9 * x2 + 7 * x3 = 6.0 * M .
algsys([eq1,eq2,eq3], [x1,x2,x3,M]) .
ergibt :
[[x1 = %r2,x2 = 5%r2 13 ,x3 = 68%r2 65 ,M = 158%r2 65 ]] .

Lösung mit Maple: restart; eq1 := x1+x2+x3 = M;
eq2 := 8*x1+12*x2+13.5*x3 = 11.0*M;
eq3 := 3.8*x1+9*x2+7*x3 = 6.0*M;
solve({eq1, eq2,eq3}, {x1, x2,x3,M})

Gäbe man als Ziel-Alkoholgehalt nun beisipielsweise 12% vor, erhielte man negative Mengenwerte. Diese negativen Werte der Lösung sagen aus, daß für diese Zielsetzung keine entsprechende Mischung möglich ist. .

.
0/14/1/1/8 Die Systematik von linearen Gleichungssytemen kann diese Ergebnisse erklären.

0/14/1/2

15.1.3 Lösen von Gleichungssystemen über äquivalente Umformungen

0/14/1/2/0

Bei einem linearen Gleichungssystem bleibt die Lösungsmenge bei Anwendung der folgenden Operationen unverändert erhalten (Äquivalente Umformungen eines linearen Gleichungssystems):

1.
Zwei Zeilen können miteinander vertauscht werden.
2.
Jede Gleichung kann mit einer von Null verschiedenen Zahl multipliziert werden.
3.
Zu jeder Gleichung darf ein Vielfaches einer anderen Gleichung addiert werden.

.

0/14/1/2/1 .
Beispiel 15 - 130

Zeilen- Opera-
summe tion
- x + y + z =01
x- 3y- 2z =51+I
5x + y + 4z =313+ 5I

.

Lösungsansatz: Bringe Gleichungssystem auf Dreiecksform

.

- x + y + z =01
0 - 2y- z =52
0 + 6y + 9z =318/3
- x + y + z =01
0 - 2y- z =52
0 + 2y + 3z =16+II
- x + y + z =01
0 - 2y- z =52
0 0 + 2z =68

z = 3

-2y - 3 = 5 y = -4

-x - 4 + 3 = 0 x = -1

.
0/14/1/2/2 .
Gauß’scher Algorithmus : Bringe das Gleichungssystem durch geeignete äquivalente Umformungen in Dreiecksform. Die letzte Zeile enthält die Lösung für eine Variable. Diese Lösung wird in der zweitletzten Zeile zur Bestimmung der zweiten Variablen verwendet usw. .

0/14/1/3

15.1.4 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/14/1/4

15.1.5 Definition einer reellen Matrix

Matrix : .

rechteckiges Schema mit
m Zeilen
n Spalten
aik:Matrixelemente
.

A= a11 a12 a1n a21 a22 a2n a m1am2amn
.

i wird als Zeilenindex
k wird als Spaltenindex bezeichnet.

Schreibweisen: A,A(m,n),aik, (aik)m,n

Sonderfälle:

m = n: n-reihige quadratische Matrix oder auch Matrix n-ter Ordnung .
Nullmatrix 0: Matrix, deren Elemente sämtlich verschwinden .

Spaltenmatrix: a1 a2 a n
.

Zeilenmatrix: a1a2an .

0/14/1/5

15.1.6 Transponierte einer Matrix

0/14/1/5/0

Vertauschen von Zeilen und Spalten ergibt die Transponierte einer Matrix : .
.
aikT = a ki .
.
Beispiel:
A = 1 3 4 2 0 - 8 AT = 14 0 3 2 - 8 .
.
0/14/1/5/1 .
Beispiel 15 - 131
B = 1 1 1 0 - 2 5 7 6 0 BT =.
.

B = 1 1 1 0 - 2 5 7 6 0 BT = 1 0 7 1 - 2 6 1 5 0

.
0/14/1/5/2 .


.
.
= Nebendiagonale
= Hauptdiagonale

0/14/1/6

15.1.7 Gleichheit von Matrizen

Zwei Matrizen A,B sind gleich, wenn
aik = bik für alle i,k,
also wenn alle ihre Elemente gleich sind.