0
0/13
14 Einführung in die Integralrechnung
0/13/2
14.2 Integration
0/13/2/0
14.2.1 Definition des Integrationsbegriffs
0/13/2/0/0
|
| Integration |
.
Das Aufsuchen sämtlicher Stammfunktionen
zu einer vorgegebenen Funktion
wird als Integration bezeichnet. .
| | | , mit |
| | | | |
| |
.
.
Gesucht ist bei den folgenden Beispielen die Stammfunktion von
bei
.
Beispiel 14 - 1:
.
.
0/13/2/0/1 .
Beispiel 14 - 101
.
.
0/13/2/0/2 .
Beispiel 14 - 102
.
.
0/13/2/0/3 Mit Maxima läßt sich die Stammfunktion bestimmen .
mittels . .
Mit Maple gelingt dies mittels (Achtung:
Palette benutzen !) oder über .
0/13/2/1
14.2.2 Das bestimmte Integral als Flächeninhalt
0/13/2/1/0
Beispiel 14 - 103:
Für die Funktion
soll die Fläche zwischen 1 und 2 berechnet werden. .
0/13/2/1/1
0/13/2/1/2 .
Näherungsweise läßt sich diese Fläche als Untersumme sowie als Obersumme bestimmen. Existiert
nun der Grenzwert .
.
so bezeichnet man ihn als das bestimmte Integral der Funktion
.
in den Grenzen von
bis . .
.
Es wird durch das Symbol
gekennzeichnet. .
0/13/2/2
14.2.3 Unbestimmtes Integral und Flächenfunktion
0/13/2/2/0
Hält man bei dem bestimmten Integral die untere Grenze fest und macht die obere Grenze
variabel, so hängt der Integralwert nur noch von der oberen Grenze ab: 0/13/2/2/1
EndIsUnit
0/13/2/2/2
.
-
1.
- Die Funktion
wird als unbestimmtes Integral von
bezeichnet, da die obere Grenze unbestimmt ist. Es repräsentiert den Flächeninhalt
zwischen der Funktion
und der t-Achse im Intervall
in Abhängigkeit von der oberen Grenze .
-
2.
- Zu jeder stetigen Funktion
gibt es unendlich viele unbestimmte Integrale, die sich in ihrer unteren Grenze voneinander
unterscheiden.
-
3.
- Die Differenz zweier unbestimmter Integrale
und
ist eine Konstante.
0/13/2/3
14.2.4 Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung
0/13/2/3/0
Vergrößert man die obere Grenze x im Integral
um
, so wächst der
Flächeninhalt um :
.
0/13/2/3/1
0/13/2/3/2 .
Zwischen den Flächeninhalten besteht also die Beziehung .
.
, .
.
und nach Division durch :
.
.
. .
.
Bildet man den Grenzübergang :
.
.
, .
.
so wird mit
.
.
und mit : .
.
und
damit .
.
.
Dies führt zum Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung:
Jedes unbestimmte Integral
ist eine Stammfunktion zu :
.
.
0/13/2/3/3 .
Beispiel 14 - 103
Gegeben sei die Funktion
-
1.
- Bestimmen Sie
-
2.
- Berechnen Sie
.
-
1.
-
.
-
2.
-
.
.
0/13/2/3/4
0/13/2/4
14.2.5 Grundintegrale
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| | | (gilt für ) | | | |
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| Â | Â | Â | Â | Â | Â |
| | | | | |
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| Â | Â | Â | Â | Â | Â |
| | | | | |
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| Â | Â | Â | Â | Â | Â |
| | | | | |
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| Â | Â | Â | Â | Â | Â |
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| Â | Â | Â | Â | Â | Â |
| (für )
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| Â | Â | Â | Â | Â | Â |
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