0

0/4

5 Reihen, Grenzwert und Stetigkeit

0/4/0

0/4/1

5.1 Reelle Zahlenfolgen (geordnete Menge diskreter Zahlen)

0/4/1/0

5.1.1 Definitionen

an = a0a1a2 bezeichnet man als Folge .

an ist die Zuordnungsvorschrift.

Meist beginnen Folgen mit a0 als erstem Folgeglied.

Beispiel 5 - 1:

an =1 2,1 4,1 6,1 8,an = 1 2n

an =0,1 2,2 3,3 4,an = 1 -1 n

aber auch:

Alle Glieder dieser Folge sind kleiner als 1. Mit zunehmenden Index werden die Glieder der Folge größer und unterscheiden sich immer weniger von 1.

0/4/1/1

5.1.2 Folgen am Beispiel von Zinsen

0/4/1/1/0

In der Finanzwelt spricht man von

Am Ende eines Jahres wird bei einer jährlichen Zinsperiode und dem Zinssatz p bzw. der Zinsrate r aus der Kapitalanlage ein neues Kapital festgestellt:
K1 = K0 (1 + p 100) = K0 (1 + r).
Läßt man diese Kapitalanlage nun zum gleichen Zinssatz eine weitere Periode angelegt, so entsteht aus diesem Kapital durch Zinsen ein neuer Wert:
K2 = K1 (1 + r) = K0 (1 + r) (1 + r) = K0 (1 + r)2.
Nach n Zinsperioden entsteht aus dem Kapital der Wert: Kn = K0 (1 + r)n.

0/4/1/1/1 .
Beispiel 5 - 30
Verzinsungsperioden

.

Antwort:

.
0/4/1/1/2 Berechnet man für ein Kapital die Zinsen über das ganze erste Jahr und bildet das Verhältnis der beiden Werte KapitalamEnde KapitalzuAnfang, kann hiermit ein effektiver Zinssatz berechnet werden.
Die effektive Zinsrate R bei einer Zinsrate r und n Perioden ist
R = (1 + r n)n - 1.
Achtung: Gesetzliche Festlegungen können auch die Hinzurechnung von Kosten und Gebühren verlangen. Dann entstehen andere Ergebnisse. Die augenblickliche Preisangabenverordnung PAngV (ISMA) gibt eine Berechnung für den effektiven Zinssatz ieff für eine Laufzeit t, Anfangskapital K0 und Endkapital Kt vor:
ieff = (Kt K0)1 t - 1

0/4/1/2

5.1.3 arithmetische Reihen

Bei arithmetischen Reihen ist die Differenz d zwischen zwei Folgegliedern konstant:
an+1 = an + d
Zur Bildung einer Summe addiert man zunächst das größte zum kleinsten Glied, dann das zweitgrößte zum zweitkleinsten Glied usw. Diese Teilsummen sind gleich. Im Fall der ersten n natürlichen Zahlen erhält man so als Teilsumme = n+1 2 , was zum Ergebnis 1 + 2 + 3 + 4 + ..n = n(n+1) 2 führt.

0/4/1/3

5.1.4 geometrische Reihen

Man kann sich die Entstehung geometrischer Reihen so vorstellen, daß ausgehend von zwei Werten a und k eine Summe gebildet wird (ausgehend von a wird n-mal mit k multipliziert):
sn = a + ak + ak2 + ak3 + ak4 + akn-2 + akn-1.
Die Summe kann man durch einen Trick ermitteln: man multipliziert beide Seiten mit k:
ksn = ak + ak2 + ak3 + ak4 + ak5 + ... + akn-1 + akn.
Subtrahiert man beide Gleichungen, erhält man
sn - ksn = a - akn oder sn(1 - k) = a(1 - kn) oder sn(k - 1) = a(kn - 1) . .
Damit wird sn = a + ak + ak2 + ak3 + ak4 + ak5 + ... + akn-1 = a kn-1 k-1 .

0/4/1/4

5.1.5 Grenzwert einer Folge

0/4/1/4/0

Gibt es eine natürliche Zahl n, sodass für n
|an - g| < ε gilt↯ Konvergenz.

lim nan = g

0/4/1/4/1 .
Beispiel 5 - 31
Beispiele für die Folgen:

.
Sind die Folgen konvergent ↯

.
0/4/1/4/2

0/4/2

5.2 Grenzwerte von Funktionen

0/4/2/0

5.2.1 Grenzwert einer Funktion f(x)

lim xx0+f(x)

+: Annäherung von rechts
-: Annäherung von links

0/4/2/1

5.2.2 Grenzwert für x x0

0/4/2/1/0 .
Beispiel 5 - 32
f(x) = x2

Annäherung von rechts: .
lim x2+x2 = 4 .
.






xn2, 12, 012, 001





f(xn)4, 414, 04044, 004






.
lim x2-x2 = 4 .
.





xn1, 91, 991, 999





f(xn)3, 613, 96013, 996001






.

Funktionswert für x = 2 ist definiert.

.
0/4/2/1/1

Dies führt zum Grenzwertbegriff:
Eine Funktion y = f(x) sei in einer Umgebung von x0 definiert. Guilt dann für jede im Definitionsbereich der Funktion liegende und gegen die Stelle x0 konvergierende Zahlenfolge < xn > stets .
lim nf(xn) = g,
so heißt g der Grenzwert von y = f(x) an der Stelle x0.
0/4/2/1/2 .
Beispiel 5 - 33
Für die Funktion y = f(x) soll gelten: .
y = f(x) ist 0 für x < 0 und 1 für x 0
Gibt es einen Grenzwert ↯ .
.

lim x0+1 = 1
lim x0-0 = 0

Da der linksseitige Grenzwert mit dem rechtsseitigen Grenzwert nicht übereinstimmt, besitzt die Funktion keinen Grenzwert.

.
0/4/2/1/3

0/4/2/1/4 .
Beispiel 5 - 34
Die Funktion (x2 - 4x) (x - 4) an der Stelle x = 4:

.

ist zwar an x=4 nicht definiert, besitzt aber Grenzwert. .
lim x4(x2 - 4x) (x - 4) = lim x4(x(x - 4)) (x - 4) = lim x4x = 4
.

.
0/4/2/1/5

0/4/2/2

5.2.3 Grenzwert für x

.
lim xf x = g .
.
Beispiel 5 - 35: .
lim x 2x-1 x = lim x2 -1 x = 2 .

0/4/2/3

5.2.4 Rechenregeln für Grenzwerte

1.
lim xx0C f(x) = C lim xx0f(x), wobei C = konstant.
2.
lim xx0[f(x) ± g(x)] = lim xx0f(x) ± lim xx0g(x)
3.
lim xx0[f(x) g(x)] = lim xx0f(x) lim xx0g(x)
4.
lim xx0f(x)n = lim xx0f(x)n
5.
lim xx0 f(x) n = lim xx0f(x) n
6.
lim xx0af(x) = alim xx0f(x)
7.
lim xx0[log a(f(x))] = log a lim xx0f(x)

Beispiel 5 - 36:

lim x0(x2-2x+5) cos x = lim x0(x2-2x+5) lim x0(cos x) =5 1

0/4/3

5.3 Stetigkeit einer Funktion

0/4/3/0

5.3.1 Definition

0/4/3/0/0

Eine Funktion ist in einer gewissen Umgebung von x0 stetig, wenn der Grenzwert vorhanden ist und mit Funktionswert übereinstimmt. lim xx0f(x) = f(x0)

Beispiel 5 - 37:
y = x2 ist in der Umgebung x = 2 stetig.

0/4/3/0/1 .
Beispiel 5 - 35
Für y = f(x) soll gelten: .
y = -1 für x < 0
y = 0 für x = 0
y = 1 für x > 0
Ist y = f(x) stetig für x = 0


PIC .

Abbildung 2: Geradengleichung

.
linksseitiger Grenzwert: g1 = lim x0-f(x) = lim x0-(-1) = -1
rechtsseitiger Grenzwert: g2 = lim x0+f(x) = lim x0+(1) = 1
Funktion in der Umgebung von x0 nicht stetig.

.

.
0/4/3/0/2

.
0/4/3/0/3 .
Beispiel 5 - 36
f(x) = (x2-1) (x+1) .

Definitionslücke bei x0 = -1 .
(Weder stetig noch unstetig) .
lim x-1x2-1 x+1 = lim x-1(x+1)(x-1) x+1 = lim x-1(x - 1) = -2 .

g(x)

x2-1 x+1 = x - 1fürx - 1 -2 fürx = -1
x- 1
Behebung einer Definitionslücke. .
Zeichnen: .
plot((x2 - 1)x + 1,thickness = 3); (Maple) .
bzw plot2d([(x2 - 1)(x + 1)], [x,-10, 10]); (Maxima) .

PIC .

Abbildung 3: Definitionslücke

.
0/4/3/0/4