0

0/6

7 Gebrochenrationale Funktionen

0/6/0

7.1 Nullstellen und Polstellen

0/6/0/4

7.1.5 Partialbruchzerlegung

Ziel der Partialbruchzerlegung ist eine Vereinfachung gebrochenratiohaler Funktionen, um sie beispielsweise besser integrieren zu können. Vorgehen:

Beispiel 7 - 1:
y = x + 1 (x3 - 5x2 + 8x - 4), mit x1 = 1 und x2,3 = 2 .
.

y = (x + 1 (x - 1)(x - 2)2 = .
= A (x - 1) + B (x - 2) + C (x - 2)2 .
= A(x - 2)2 + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1) (x - 1)(x - 2)2 . .
.
Daraus folgt .
(x + 1) = A(x - 2)2 + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1) .
.
Diese Beziehungen müssen für beliebige x erfüllt sein. .
1. Koeffizientenvergleich: .
x + 1 = Ax2 - 4Ax + 4A + Bx2 - 3Bx + 2B + Cx - C .
x2 0 = A + B .
x1 1 = -4A - 3B + C .
x0 1 = 4A + 2B - C .
oder .
2. geschickte Wahl von x, damit man Nullstellen erhält:

x = 1 2 = A
x = 2 3 = C
x = 0 1 = 4A + 2B - C = 4 2 + 2B - 3
B = -2
y = x + 1(x3 - 5x2 + 8x - 4)= 2 (x - 1) + - 2 (x - 2) + 3 (x - 2)2
.