0

0/12

13 Differentialrechnung

0/12/4

13.4 Bestimmen von Grenzwerten nach L’Hospital

0/12/4/1

13.4.2 Beispiele

0/12/4/1/0 .
Beispiel 13 - 96

lim x0ex-1 x =0 0

.

lim x0ex-1 x =0 0
L’Hospital:
lim x0ex-1 x = lim x0ex 1 =1

.
0/12/4/1/1

0/12/4/1/2 .
Beispiel 13 - 97
lim x ln x ex = .

.

lim x ln x ex =
L’Hospital:
lim xlnx ex = lim x1 x ex= lim x 1 xex= 1 =0

.
0/12/4/1/3

0/12/4/1/4 .
Beispiel 13 - 98
lim x0ex-e-x-2x x-sin x = 0 0 .

.

lim x0ex-e-x-2x x-sin x =0 0
L’Hospital:
lim x0ex-e-x-2x x-sin x = lim x0ex+e-x-2 1-cos x

Bemerkung: e-x =e-x -x=- e-x
lim x0ex+e-x-2 1-cos x =ex-e-x sin(x) = 0 0
L’Hospital:
lim x0ex+e-x-2 1-cos x =0 0
lim x0ex+e-x cos x =1+1 1
=2

.
0/12/4/1/5 .
Andere unbestimmte Ausdrücke 0 -1000 .
.
Bei solchen Ausdrücken hilft Umformung auf 0 0 oder  und nachfolgende Anwendung der Regel von LHospital

0/12/4/1/6 .
Beispiel 13 - 99
lim x01 x - 1 sin x = -

.

lim x01 x - 1 sin x = -

auf Hauptnenner bringen:

lim x0 sin x-x xsin x =0 0
lim x0sin x-x xsin x = lim x0 cos x-1 sin x+xcos x=0 0
lim x0 -sin x cos x+cos x+x- sin x =0 2=0
.
0/12/4/1/7 .
Beispiel 13 - 100
lim x1x 1 x-1 = 1

.

lim x1x 1 x-1 = 1

Rückblick: a = eln a .
.
In unserem Fall ist .
.
a = x 1 x-1 .
.
x 1 x-1 = eln(x 1 x-1 ) .
.
Also suchen wir den Grenzwert .
.
lim x1eln(x 1 x-1 ) .
.
Dafür bestimmen wir zuerst den Grenzwert .
.
lim x1ln(x 1 x-1 ) .
.
Durch Anwenden der Logarithmusregel .
.
ln ab = b ln a .
.
ergibt sich

lim x1 1 x-1 ln x= lim x1 ln x x-1=0 0
lim x1 ln x x-1 = lim x11 x 1 = lim x11 x=1

Somit ist .
.
lim x1eln( 1 x-1) = e1 = e .
.

.
0/12/4/1/8 .