0

0/5

6 Arithmetische Funktionen

0/5/0

6.1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

0/5/0/3

6.1.4 Polynomfunktionen höheren Grades

0/5/0/3/0

Abspaltung von Linearfaktoren
f(x) = (x - x1) Linearfaktor f1(x) reduziertes Polynom

0/5/0/3/1 .
Beispiel 6 - 39
y = x3 - 2x2 - 5x + 6

.

Finden der ersten Nullstelle x1 = 1

x3- 2x2- 5x + 6 : (x - 1) =x2 - x - 6
x3 - x2
- x2- 5x
- x2 + x
- 6x + 6
- 6x + 6
-

x3 - 2x2 - 5x + 6 = (x2 - x - 6) (x - 1)

Finden weiterer Nullstellen, abspalten weiterer Linearfaktoren

x2,3 = 1 2 ±1+24 4 = 1 2 ±5 2
x2 = 3
x3 = -2
x3 - 2x2 - 5x + 6 = (x - 1) (x - 3) (x + 2)

.
0/5/0/3/2 Bei doppelten Nullstellen wird analog verfahren.
f(x) = an (x - x1) (x - x2) (x - xk) Linearfaktoren f(x)
f ist vom Grade n - k
k gibt die Anzahl reeller Nullstellen an.

0/5/0/3/3 .
Beispiel 6 - 40
y = 3x3 + 3x2 - 3x - 3

.

Finden der ersten Nullstelle x1 = 1

3x3 + 3x2- 3x- 3 : (x - 1) =3x2 + 6x + 3
3x3 - 3x2
6x2- 3x
- 6x2 + 6x
- 6x + 6
3x- 3
3x- 4
--

x3 - 2x2 - 5x + 6 = (x2 - x - 6) (x - 1)

Finden weiterer Nullstellen, abspalten weiterer Linearfaktoren

Division von 3x2 + 6x + 3 durch 3 ergibt x2 + 2x + 1 x2 = -1
x3 = -1
y = 3x3 + 3x2 - 3x - 3 = 3(x - 1) (x + 1)2

.
Weitere Beispiele: .
x3 - x2 + 4x - 4 ergibt mit x1 = 1 (x2 + 4)(x - 1). Der erste Term hat eine komplexe Nullstelle. .
y = 2x2 + 7x - 22 = 3(x + 1)2(x - 1) .
y = x4 - 13x2 + 36 = (x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3) .
Eine Polynomfunktion 3. Grades besitze bei x1 = -5 eine doppelte und bei x2 = 8 eine einfache Nullstelle und schneidet die x-Achse bei y(0) = 100. Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion ! y = a(x + 5)2(x - 8) y(0) = 100 = a(5 - 0)2(0 - 8) = -200 a
a = -0, 5

.
0/5/0/3/4