0
0/19
0/19/3
0/19/3/0
0/19/3/1
0/19/3/1/0
Eine Ebene in Punkt-Richtungsform kann man wie folgt darstellen: .
.
oder in Komponentenschreibweise: .
.
0/19/3/1/1 .
Beispiel 20 - 209
Ebenendarstellung in Punkt-Richtungsform .
0/19/3/2
0/19/3/2/0
Eine Ebene in Drei-Punkte-Form läßt sich recht einfach in eine Punkt-Richtungsform bringen, indem
man aus jeweils zwei Punkten einen Richtungsvektor bildet:
. oder
in Komponentenschreibweise: .
.
0/19/3/2/1 .
Beispiel 20 - 211
Ebenendarstellung in Punkt-Richtungsform .
mit
erhält man .
0/19/3/3
0/19/3/3/0
Ist
der Ortsvektor des laufenden Punkts P der Ebene, so liegt der Vektor
in der Ebene und steht somit senkrecht auf den Normalenvektor
. Das
heißt, das Skalarprodukt verschwindet:
.
0/19/3/3/1 .
Beispiel 20 - 213
Normalenvektor-Darstellung .
0/19/3/4
0/19/3/4/0
.
0/19/3/4/1 .
Beispiel 20 - 215
Umwandlung einer Normalenvektor-Darstellung in Punkt-Richtungsform .
Gegeben sei ein Ortsvektor eines Punkts der Ebene .
.
.
.
.
.
Richtungsvektor
Den Vektor
kann man über
das Kreuzprodukt bestimmen:
.
0/19/3/5
0/19/3/5/0
Prinzip: Der Abstand d eines Punkts Q zu einer Ebene ist bestimmbar durch die Projektion des Vektors
auf den
Normalenvektor
der Ebene.
0/19/3/5/1 .
Beispiel 20 - 216
Projektion eines Punkts auf den Normalenvektor .
, .
da . .
Damit wird .
.
0/19/3/5/3 .
Beispiel 20 - 217
Gegeben sei ein Ortsvektor eines Punkts der Ebene .
Bestimmen Sie den Abstand des Punktes
. .
. .
0/19/3/6
0/19/3/6/0
Geraden können zu Ebenen folgende Lagen haben
ad 1.) .
Ist eine Gerade parallel zu einer Ebene E, so ist dessen Richtungsvektor senkrecht zu dem
Normalenvektor der Ebene (Skalarprodukt = 0).
Danach bestimmt man den Abstand eines Punkts der Geraden zur Ebene durch Projektion von
auf
. .
.
Der Abstand beträgt .
.
0/19/3/6/1 .
Beispiel 20 - 218
Abstand Gerade-Ebene .
Gegeben sei eine Gerade mit dem Ortsvektor .
sowie eine Ebene dem Ortsvektor
.
Wie liegen die Gerade und die Ebene zueinander ? .
0/19/3/7
| Für x: | |||||
| Für y: | |||||
| Für z: | |||||
| nach III | ||||
| nach II | ||||
| :-5 | ||||
| -2I | ||||
| -2II | ||||
| +5II, :5 | ||||
| +3III | ||||
| -2II | ||||
Lösung: ;
;
.
Der Schnittpunkt kann über die Ebenengleichung oder über die Geradengleichung bestimmt
werden (dient als Probe !) und liegt bei: .
. .
Der Ortsvektor
des Schnittpunkts muss sowohl die Geradengleichung als auch die Ebenengleichun erfüllen: .
.
. .
Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite und Auflösen nach
ergibt den Wert für den Schnittpunkt: .
.
Beispiel 20 - 220
bzw.
.
.
0/19/3/8 .
Beispiel 20 - 221
Schnittpunkt Gerade - Ebene bei Darstellung in Normalform. .
Gegeben sei eine Ebene mit dem Ortsvektor .
sowie eine Gerade mit dem Ortsvektor .
Bestimmen Sie Schnittpunkt und Schnittwinkel. .
Schnittwinkel:
0/19/3/10
0/19/3/10/0
Zwei Ebenen und können folgende Lagen zueinander haben:
Fall 1: Die Ebenen sind parallel zueinander .
Eine Nachprüfung kann durch Bilden des Kreuzprodukts der Normalenvektoren erfolgen. .
Den Abstand der Ebenen zueinander bestimmt man einfach, indem man den Abstand irgendeines
Ortsvektors der Ebene 2 zur Ebene 1 bildet: .
.
0/19/3/10/1 .
Beispiel 20 - 222
zwei parallel zueinander stehende Ebenen .
0/19/3/10/3 .
Beispiel 20 - 223
zwei parallel zueinander stehende Ebenen: .
Gegeben seien zwei Ebenen mit den Ortsvektoren .
sowie den Normalenvektoren
Bestimmen Sie die Lage der Ebenen zueinander. .
Alternativ führt das folgende Prinzip zu einer einfach zu bestimmenden Lösung: Der Richtungsvektor der Geraden
ist senkrecht zu
und . .
. .
Ein Ortsvektor
muss die beiden Ebenengleichungen erfüllen: .
und
.
bzw. ausmultipliziert: .
und .
. .
.
Der Schnittwinkel errechnet sich wiederum über das Skalarprodukt:
. .
.
0/19/3/10/7 .
Beispiel 20 - 225
Schnittgerade Ebene - Ebene bei Darstellung in Normalenform. .
Gegeben sei eine Ebene mit dem Ortsvektor .
sowie eine Gerade mit dem Ortsvektor .
Bestimmen Sie die Schnittgerade
.
.
Einen Ortsvektor
erhalten wir aus den beiden Ebenengleichungen: .
.
.
und .
. .
.
Wahl von :
.
.
.
.
Auflösen ergibt
und . .
Daraus folgt die Geradengleichung .
.
.
Der Schnittwinkel errechnet sich wiederum über das Skalarprodukt:
.
. .
Schnittwinkel:
.
0/19/3/11
Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .