0
0/10
11 Periodische Funktionen
0/10/0
Trigonometrische Funktionen sind periodische Funktionen. .
0/10/1
11.1 Trigonometrische Funktionen
0/10/1/0
11.1.1 - und
-Funktion
0/10/1/0/0
0/10/1/0/1
.
.
.
.
.
Sinussatz bei allgemeinen ebenen Dreiecken: .
.
Kosinussatz bei allgemeinen ebenen Dreiecken: .
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.
Achtung bei Bogenmaß !!! .
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0/10/1/0/2
0/10/1/0/3 .
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Merkhilfe: .
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Drehsinn von :
Gegen den Uhrzeigersinn 0/10/1/0/4
0/10/1/0/5
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| Periode | | | |
| Symmetrie | ungerade | | gerade |
| Nullstellen | | | |
| relative Min. | | | |
| relative Max. | | | |
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0/10/1/1
11.1.2 - und
-Funktion
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| Periode | | | |
| Symmetrie | ungerade | | ungerade |
| Nullstellen | | | |
| Pole | | | |
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0/10/1/2
11.1.3 Wichtige Beziehungen
0/10/1/2/0
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0/10/1/2/1
0/10/1/2/2
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Additionstheoreme
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| Beispiel 11 - 1: |
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ebenso: .
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0/10/2
11.2 Anwendungen in der Schwingungslehre
0/10/2/0
0/10/2/1
11.2.1 Harmonische Schwingungen
0/10/2/1/0
| (siehe Bild) | | a - | Amplitude |
| | | b - | Veränderung der Periode |
| | | c - | Verschiebung entlang der -Achse |
| |
0/10/2/1/1
0/10/2/1/2 .
(Die Cosinusfunktion ist analog zur Sinusfunktion, da
)
0/10/2/2
11.2.2 Anwendungen in der Mechanik
0/10/2/2/0
.
Masse-Feder-Pendel .
.
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| : | max. Ausdehnung, Amplitude |
| : | Kreisfrequenz |
| : | Phase |
| : | Frequenz |
| : | Schwingungsdauer |
| |
.
0/10/2/2/1 .
Beispiel 11 - 62
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| Frequenz | : | |
| Amplitude | : | |
| Phase | : | |
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0/10/2/2/2
0/10/2/3
11.2.3 Zeigerdiagramme
0/10/2/3/0
0/10/2/3/1
0/10/2/3/2 .
Beispiel 11 - 63:
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0/10/2/3/3
0/10/2/3/4 .
0/10/2/4
11.2.4 Überlagerung gleichfrequenter Schwingungen (Superposition)
0/10/2/4/0
Zwei Schwingungen mit gleicher Frequenz, aber ggf. unterschiedlicher Amplitude und Phase können als eine
Schwingung
zusammengefasst werden: .
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0/10/2/4/1
0/10/2/4/2 .
0/10/2/4/3 .
Beispiel 11 - 63
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| zur Vereinfachung: | | |
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| | + | |
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| | | |
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| |
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0/10/2/4/4
0/10/2/4/5 .
Beispiel 11 - 64
Stellen Sie die Harmonischen Schwingungen
und
durch eine
Sinusfunktion vom Typ
dar. .
.
.
.
und ,
,
mit
. .
.
. .
.
0/10/2/4/6 Anwendung: 0/10/2/4/7
0/10/2/4/8 .
0/10/2/4/9 .
Beispiel 11 - 65
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0/10/2/4/10
0/10/2/5
11.2.5 Lissajous-Figuren
0/10/2/5/0
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0/10/2/5/1
0/10/2/5/2 .
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Beispiel 11 - 66:
Befehle zum Zeichnen von Lissajous-Figuren: .
Maple:
.
Maxima:
0/10/3
11.3 Arkus-Funktionen
0/10/3/0
11.3.1 Umkehrung trigonometrischer Funktionen
0/10/3/0/0
Die Arkus-Funktionen stellen die Umkehrung trigonometrischer Funktionen dar.
0/10/3/0/1
0/10/3/0/2 .
Von periodischen Funktionen kann nur dann eine Umkehrfunktion gebildet werden, wenn man sich auf
einen Teilbereich, den Hauptzweig beschränkt.
0/10/3/1
11.3.2 Arkussinusfunktion
0/10/3/2
11.3.3 Arkuscosinusfunktion
0/10/3/3
11.3.4 Arkustangensfunktion
0/10/3/3/0
0/10/3/3/1
0/10/3/3/2 Zeichnen .
mit Maple:
.
.
mit Maxima: ;
0/10/3/4
11.3.5 Trigonometrische (goniometrische) Gleichungen
0/10/3/4/0
Trigonometrische (goniometrische) Gleichungen
- haben i.d.R. unendlich viele Lösungen
- Vereinfachungen kann man u.U. über trigonometrische Beziehungen und Faktorisierung
erzielen
0/10/3/4/1 .
Beispiel 11 - 66
Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung .
.
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| |
.
Lösungen ergeben sich, wenn einer der Faktoren Null ist.
-
1.
-
2.
.
.
0/10/3/4/2 .
Beispiel 11 - 67
Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung .
.
.
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| | | |
| | | |
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| |
. ,
.
.
.
.
0/10/3/4/3 .
0/10/3/5
11.3.6 Übungen
Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .