0

0/1

2 Gleichungen

0/1/3

2.3 Betragsgleichungen

0/1/3/0

0/1/3/0/0

Betragsgleichungen kann man durch Fallunterscheidungen unterteilen in mehrere Bereiche.

Fall I: Was zwischen den Betragsstrichen steht, ist größergleich Null oder
Fall II: Was zwischen den Betragsstrichen steht, ist kleiner Null.

|x| =

x für x 0 -xfür x < 0

Man betrachtet also bei einer Betragsfunktion f(x) = |g(x)| eigentlich 2 Funktionen: .
Einmal f1(x) = -g(x) und eine zweite Funktion f2(x) = g(x), .
wobei jeweils nur der positive Wertebereich betrachtet wird. .
Die Ursprungsfunktion f(x) setzt sich aus beiden Funktionen f1(x) und f2(x) .
abschnittsweise zusammen. .
Beispiel 2 - 1: :
0/1/3/0/1


PIC .

Abbildung 1: Betragsgleichung f(x) = |x|

0/1/3/0/2

Beispiel 2 - 2: :
0/1/3/0/3


PIC .

Abbildung 2: Betragsgleichung f(x) = |x2 - 1|

0/1/3/0/4

0/1/3/1

2.3.1 Vorgehen bei stetigen Komponenten

0/1/3/1/0

Sind die Argumente der Betragsfunktionen stetig, bestimmt man einfach die Nullstellen und unterteilt in Intervalle. Das Vorzeichen überprüft man durch Einsetzen eines beliebigen x-Werts im betreffenden Intervall. Das Betragszeichen kann entsprechend dieser Vorzeichenausprägung im jeweiligen Intervall aufgelöst werden. (Die Fallunterscheidung kann durchaus mühsam werden.) .
Beispiel 2 - 3: : .
0/1/3/1/1


PIC .

Abbildung 3: Unterteilung eines Polynoms mit den Nullstellen 5,3,2,0 und -1

0/1/3/1/2

0/1/3/1/3 .
Beispiel 2 - 12
|2x - 1| = -x + 1
.

Intervall-Unterteilung: .

Intervall 1 2



2x - 1 0 > 0
x 1 2 > 1 2



|2x - 1| - 2x + 1 2x - 1



Gleichung: - 2x + 1 = -x + 1 2x - 1 = -x + 1
- x = 0 3x = 2
x1 = 0 x2 = 2 3
.
.
L = 0, 2 3 .
.
(Hinweis: Setzt man die Intervallgrenzen so, daß 0 in das rechte Intervall zu liegen käme, würde x = 0 als Lösung aus dem intervall herausfallen. x = 0 ist aber eine zulässige Lösung.) .
.
0/1/3/1/4

Hat man mehrere Intervalle, bietet sich ein Tabellen-Schema zum systematischen Lösen an: .
0/1/3/1/5 .
Beispiel 2 - 13
|3x - 12|-|x + 7| = 25 .

.

Intervall 1 2 3




xx < -7 - 7 x < -4x 4




|x + 7|- x - 7x + 7x + 7
|3x - 12|- 3x + 12- 3x + 123x - 12




|3x - 12|-|x + 7|- 4x + 5- 2x + 194x - 5




zusammen: - 2x = 6- 4x = 202x = 44
x1 = -3x = -5x = 22
.
.
L = -5, 22 .
.

.
0/1/3/1/6

0/1/3/2

2.3.2 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .