0

0/9

10 Logarithmusfunktionen

0/9/1

10.1 Grundbegriffe, Rechenregeln

0/9/1/0

10.1.1 Die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion

0/9/1/0/0

r = ax mit (r > 0,a > 0,a1) x = log a(r) .
1000 = 103 log 101000 = 3 .
0, 001 = 10x log 100, 001 = x = -3 .
0/9/1/0/1


PIC .

Abbildung 1: Logarithmusfunktion

0/9/1/0/2 .
.
Rechenregeln für Logarithmusfunktionen : .
log a(u v) = log au + log av .
log a(u v) = log au - log av .
log auv = v log au .
alog ax = x .
eln x = x .

spezielle Logarithmen: .
log er = ln r (natürlicher Logarithmus, Logarithmus naturalis) .
log 10r = lg r (Zehnerlogarithmus, dekadischer Logarithmus) .
lg e 0, 4343 .
ln 10 2, 3026 .
log 2r =  lb r (binärer Logarithmus) .

0/9/1/1

10.1.2 Basiswechsel von Logarithmen

0/9/1/1/0 .
Beispiel 10 - 54
Sie sollen mit dem Taschenrechner berechnen: x = log 3123, Ihr Taschenrechner kann aber nur natürliche Logarithmen ( ln) bestimmen. Sie können wie folgt vorgehen: .
3x = 123 , logarithmieren: .
ln 3x = ln123 oder .
x ln 3 = ln123 .
x = 1 ln 3 ln 123. .
Allgemein führt dies zur Frage des Basiswechsels: .
Gegeben sei ein Logarithmus log sd mit d > 0,s > 0,s1 mit irgendeinem Wert. .
Dieser Logarithmus soll in einen Term r umgewandelt werden, in dem später nur noch Logarithmen der Basis d (d steht für destination, frei wählbar und größer Nulls s für source, frei wählbar und größer Null) vorkommen sollen: .
log dc = r .
.

Definition des Logarithmus anwenden: dr = c .
Zur Basis s logarithmieren: .
log sdr = log sc .
r log sd = log sc , nach r auflösen: .
r = log sc log sd. .
Mit der Definition (s.o). log dc = r wird daraus: .
log dc = log sc log sd. .
Hat man den Logarithmus von c zur Basis s, so kann man ihn umrechnen zur Basis d, indem man durch den Logarithmus von d zur Basis s dividiert: .

log dc = 1 log sd log sc. .
.
0/9/1/1/1

0/9/1/1/2 .
Beispiel 10 - 55
Gegeben sei ln 4, 765 = 1, 5613 und lg e = 0, 4343.
Wie groß ist lg 4, 765 =? .

lg 4, 765 = lg e ln 4, 765 = 0, 4343 1, 15613 0, 678 .
10x = ey .
lg 10x = lg ey .
x = y lg e .
.

.
0/9/1/1/3