0

0/9

10 Logarithmusfunktionen

0/9/0

0/9/1

10.1 Grundbegriffe, Rechenregeln

0/9/1/0

10.1.1 Die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion

0/9/1/0/0

r = ax mit (r > 0,a > 0,a1) x = log a(r) .
1000 = 103 log 101000 = 3 .
0, 001 = 10x log 100, 001 = x = -3 .
0/9/1/0/1


PIC .

Abbildung 1: Logarithmusfunktion

0/9/1/0/2 .
.
Rechenregeln für Logarithmusfunktionen : .
log a(u v) = log au + log av .
log a(u v) = log au - log av .
log auv = v log au .
alog ax = x .
eln x = x .

spezielle Logarithmen: .
log er = ln r (natürlicher Logarithmus, Logarithmus naturalis) .
log 10r = lg r (Zehnerlogarithmus, dekadischer Logarithmus) .
lg e 0, 4343 .
ln 10 2, 3026 .
log 2r =  lb r (binärer Logarithmus) .

0/9/1/1

10.1.2 Basiswechsel von Logarithmen

0/9/1/1/0 .
Beispiel 10 - 54
Sie sollen mit dem Taschenrechner berechnen: x = log 3123, Ihr Taschenrechner kann aber nur natürliche Logarithmen ( ln) bestimmen. Sie können wie folgt vorgehen: .
3x = 123 , logarithmieren: .
ln 3x = ln123 oder .
x ln 3 = ln123 .
x = 1 ln 3 ln 123. .
Allgemein führt dies zur Frage des Basiswechsels: .
Gegeben sei ein Logarithmus log sd mit d > 0,s > 0,s1 mit irgendeinem Wert. .
Dieser Logarithmus soll in einen Term r umgewandelt werden, in dem später nur noch Logarithmen der Basis d (d steht für destination, frei wählbar und größer Nulls s für source, frei wählbar und größer Null) vorkommen sollen: .
log dc = r .
.

Definition des Logarithmus anwenden: dr = c .
Zur Basis s logarithmieren: .
log sdr = log sc .
r log sd = log sc , nach r auflösen: .
r = log sc log sd. .
Mit der Definition (s.o). log dc = r wird daraus: .
log dc = log sc log sd. .
Hat man den Logarithmus von c zur Basis s, so kann man ihn umrechnen zur Basis d, indem man durch den Logarithmus von d zur Basis s dividiert: .

log dc = 1 log sd log sc. .
.
0/9/1/1/1

0/9/1/1/2 .
Beispiel 10 - 55
Gegeben sei ln 4, 765 = 1, 5613 und lg e = 0, 4343.
Wie groß ist lg 4, 765 =? .

lg 4, 765 = lg e ln 4, 765 = 0, 4343 1, 15613 0, 678 .
10x = ey .
lg 10x = lg ey .
x = y lg e .
.

.
0/9/1/1/3

0/9/2

10.2 Transzendente Gleichungen

0/9/2/0

10.2.1 Definition

Transzendente Gleichungen sind Gleichungen, die mindestens einen nicht-algebraischen Ausdruck enthalten, wie etwa lg(x),sin(x),ex oder 5x. 0/9/2/1

10.2.2 Exponentialgleichungen

0/9/2/1/0

Exponentialgleichungen enthalten Exponentialausdrücke.
Gelingt es, den Exponentialausdruck zu isolieren, kann man durch anschließendes Logarithmieren beider Seiten den Exponentialausdruck umformen (Logarithmenregeln beachten !!). Sofern im Logarithmus auf der anderen Seite die unabhängige Variable herausgelöst werden kann, ist die Gleichung relativ einfach lösbar. .
0/9/2/1/1 .
Beispiel 10 - 56
2x2-1 = 8

.

2x2-1 = 8 | Logarithmieren
ln(2(x2-1)) = ln(8) | umformen
(x2 - 1) ln(2) = ln(8)
x2 - 1 = ln(8) ln(2) = 3 ln(2) ln(2) .
x2 = 4 .
x1,2 = ±2. .

.
0/9/2/1/2 .
0/9/2/1/3 .
Beispiel 10 - 57
2x + 4 2-x - 5 = 0

.

Man sollte erkennen, daß die beiden Exponentialformen ineninander überführbar sind: .
2x + 4 2x - 5 = 0 .
Ensprechend kann man substituieren:z = 2x .
z + 4 z - 5 = 0 .
z2 + 4 - 5z = 0 .
z1,2 = 5 2 ±25 4 - 4 = 5 2 ±3 2 .
z1 = 4, z2 = 1 .
Rücksubstitution: .
z1 = 2x = 4 ln2x = ln4 = ln22 .
x ln2 = 2 ln2 x1 = 2 .

z2 = 2x = 1 ln2x = ln1 = 0 .
x ln2 = 0 x2 = 0

.
0/9/2/1/4 .

0/9/2/2

10.2.3 Logarithmusgleichungen

1.
Logarithmusgleichungen mit einem Logarithmus log aT = S (T,S: Terme) Lösungsmethode: man erxponentiert beige Seiten der Gleichung (Regeln beachten !)
Beispiel 10 - 58:
log 2(x2 - 1) = 3 .
Definitionsbereich: D = {x |abs(x) > 1} .
Exponentieren: x2 - 1 = 23 | + 1 .
x2 = 9 .
x1,2 = ±3 .
.
Beispiel 10 - 58
log3(x2 + 2) = 3

.

x2 + 2 = 33
x2 = 27 - 2 = 25 x 1,2 = ±5.

.

2.
Gleichungen mit zwei Logarithmen log aT = log bS (T,S: Terme)

0/9/2/3 .
Beispiel 10 - 59
log a(x + 3) = log a(2x + 1) .
Definitionsbereich: D = {x |x > -1} .

.

log a(x + 3) = log a(2x + 1) .
x + 3 = 2x + 1 |- 1 - x .
2 = x L = {2} .

.
Weiteres Beispiel: .
log a(x + 1) = log a(2x + 4) .
Definitionsbereich: D = {x |x > -1} .

log a(x + 1) = log a(2x + 4) |a... Exponentieren .
x + 1 = 2x + 4 |- 4 - x .
- 3 = x .
L = {}, da - 3D .

.
0/9/2/4 .
Beispiel 10 - 60
Lösen Sie die Gleichung .
4 lg x - 3 lg 2x = 2, 5 - lg 5x - lg 4 .

Die Logarithmen haben alle die gleiche Basis (anderenfalls Basistransformation). .
Vorfaktoren in den Exponenten bringen: .
lg x4 - lg(2x)3 - 2, 5 + lg 5x + lg 4 = 0 .
positive und negative Summanden gruppieren: .
lg x4 + lg 5x + lg 4 - lg(2x)3 - 2, 5 = 0 .
Zusammenfassen : .
lg(4 5x x4) - lg(2x)3 = 2, 5 .
lg 4 5x x4 8x3 = 2, 5 .
lg 5x2 2 = 2, 5 .
Auflösen nach x: .
lg 5x2 2 = lg 5 + 2 lg x - lg2 = 2, 5 .
lg x = 0.5(2.5 + lg 2 - lg 5) = 1, 051 .
x = 11.2 .

.
0/9/2/5

0/9/2/6 .
Beispiel 10 - 61
Ein Container voller Gulaschsuppe wird auf einem LKW (Umgebungstemperatur TL = 20 °C) zum Kunden transportiert und habe zum Zeitpunkt t0 = 0 die Temperatur T0 = 100 °C.
Die Temperatur des Containers folgt dem Abkühlungsgesetz nach Newton: .
T(t) = (T0 - TL) e-kt + T L (k ist eine Konstante). .
Nach zehn Minuten Fahrt ist der Container um 10 °C abgekühlt.

1.
Wie groß ist die Konstante k ?
2.
Wie lange darf der Fahrer höchstens unterwegs sein, wenn in den Lieferbedingungen vereinbart wurde, dass die Temperatur des Containers mindestens 75 °C ist ? y-Skala (logplot() ).

Lösung :

1.
1000 - 100 = (1000 - 200) e-k 10min + 200
700 = 800 e-k10min
78 = e - k * 10min

ln(7 8) = -k 10min
k = ln(7 8)10min = 0, 01335min

2.
750 = 800 e-0,01335mint + 200

ln(55 80)0, 01335 t[min] = 28, 06min.

.
0/9/2/7 0/9/2/8

10.2.4 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .