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0/17
18 Vektoralgebra
0/17/2
18.3 Vektorrechnung in der Ebene
0/17/2/0
Vektoren in der Ebene können als Komponenten in x- und y-Richtung beschrieben werden. .
0/17/2/1 .
Beispiel 18 - 167
Vektorkomponenten
.
.
0/17/2/2
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.
- Addition:
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.
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Beispiel 18 - 168
.
(komponentenweise darstellen)
.
- Subtraktion: .
.
.
Beispiel 18 - 169
Vektorsubtraktion graphisch und rechnerisch: Bilden Sie die Differenz
.
für
und
.
.
Graphisch: Richtung 2. Vektor umkehren und Addition.
. Komponentenbetrachtung:
. .
.
- Beträge von Vektoren .
.
Beispiel 18 - 170
Beträge von Vektoren
Wie groß ist der Betrag des Vektors mit den Komponenten
und
?
.
Phytagoras:
| = x2 + y2
.
- Gleichheit von Vektoren .
Zwei Vektoren sind gleich, wenn ihre Komponenten gleich sind .
.
Beispiel 18 - 171
Mit den Vektoren ,
und
soll der
Vektor
gebildet werden. .
Welchen Betrag hat der Vektor
?
.
. .
.
Beispiel 18 - 172:
Parameterdarstellung von Geraden .
Eine Gerade ist ausreichend beschrieben durch einen darauf befindlichen Punkt
und der Richtung der Geraden. Hat man die Ortsvektoren der beiden Punkte
und
, kann
man willkürlich einen davon auswählen. .
oder
dienen
als Ortsvektor. .
Die Richtung der Geraden kann man ausdrücken als Differenz der Vektoren
.
(Richtungsvektor) (
oder .
(entgegengesetzte Richtung) .
Parameterdarstellung einer Geraden durch
und : .
.
Die Punkt-Steigungsform wird zu: .
0/17/2/3 .
Beispiel 18 - 172
Gegeben sei eine Gerade
durch den Punkt
und der Steigung .
.
Wie lautet eine Geradengleichung in Parameterform ? .
.
Der Punkt
sei
.
. .
.
0/17/2/4 .
Anmerkung: .
Jeder Aufpunkt auf der Geraden ist zulässig. Der Richtungsvektor kann mit jeder Zahl
multipliziert
sein, da
ein frei wählbarer Parameter ist. .
Allgemeinere Vorgehensweise: Falls die Gleichung in der Form
vorliegt, ersetzt man eine der vorkommenden Variablen (z.B. x) durch den Parameter
. .
Dann ist die x-Komponente durch
gegeben, die y-Komponente erhält man durch Auflösen nach y. .
0/17/2/5 .
Beispiel 18 - 173
Umformen der Geradengleichung
in vektorieller Parameterdarstellung: .
. . .
. .
.
0/17/2/6
Überführung von der Parameterdarstellung in eine Geradengleichung . Hierzu stellt man je
Komponente eine Gleichungszeile auf und eliminiert bei dem aufgestellten Gleichungssystem den
Parameter .
.
0/17/2/7 .
Beispiel 18 - 174
Gegeben sei eine Gerade in Parameterdarstellung:
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| |
Formen Sie diese Darstellung in eine Achsenabschnittsform um.
.
Lösung über Elimination des Parameters
:
.
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0/17/2/8