0

0/6

7 Gebrochenrationale Funktionen

0/6/1

7.2 Interpolationspolynome

0/6/1/0

7.2.1 Interpolationspolynome nach Newton

0/6/1/0/0

Fragestellung: n-Messpaare liegen vor. Gesucht ist nun ein Interpolationspolynom , das die Werte möglichst exakt beschreibt. .

i 0 1 2
x i - 1 1 2
yi 0 2 4

.
.
1. Möglichkeit .
y0 = a0 + a1x0 + a2x02
y1 = a0 + a1x1 + a2x12
y2 = a0 + a1x2 + a2x22

.
.
-

Bei vielen Messwerten wird das Ermitteln der Koeffizienten aufwendig. Besser ist dann das Arbeiten mit Linearfaktoren. Dies leistet das Verfahren der Polynom-Interpolation nach Newton

y = c0 + c1(x - x0) + c2(x - x0)(x - x1) + …+ cn(x - x0)(x - x1)(x - xn)


gegeben: Wertepaare (x0; y0)(x1; y1)(xn; yn)

1.
Betrachtung von nur (x0; y0)
Es reicht das Polynom von Grad 0
p0(x) = c0 = y0
2.
Hinzunehmen von Punkt (x1; y1)
p1(x) = c0 + c1(x - x0)
3.
Hinzunehmen von Punkt (x2; y2)
p2(x) = c0 + c1(x - x0) + c2(x - x0)(x - x1)
4.
n-Stützstellen
p(x) = c0 + c1(x - x0) + c2(x - x0)(x - x1) + …+ cn(x - x0)(x - x1)(x - xn)
= i=0nc i j=0i-1(x - x j)

Bestimmung der Koeffizienten

p(x0) = c0 = y0
p(x1) = c0 + c1(x1 - x0) = y1
p(x2) = c0 + c1(x2 - x0) + c2(x2 - x0)(x2 - x1) = y2

c0 = y0
c1 = y1 - c0 x1 - x0 = y1 - y0 x1 - x0
c2(x2 - x0)(x2 - x1) = y2 - c0 - c1(x2 - x0)

c2   = y 2 y 1 x 2 x 1 γ 12 y 1 y 0 x 1 x 0 γ 01 x 2 x 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVCI8FfYJH8YrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaadaqaaqaaaOqaaabaaaaaaaaape Gaeyypa0ZaaSaaaeaapaWaaGraaeaapeWaauIhaeaadaWcaaWdaeaa ieGapeGaa8xEa8aadaWgaaWcbaWdbiaaikdaa8aabeaak8qacqGHsi slcaWF5bWdamaaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaaGcbaWdbiaa=Hha paWaaSbaaSqaa8qacaaIYaaapaqabaGcpeGaeyOeI0Iaa8hEa8aada WgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaaaaaaaaqaa8qacaWFZoWdamaaBaaa meaapeGaaGymaiaaikdaa8aabeaaaOGaay5n+dWdbiabgkHiTmaaye aabaWaauIhaeaadaWcaaWdaeaapeGaa8xEa8aadaWgaaWcbaWdbiaa igdaa8aabeaak8qacqGHsislcaWF5bWdamaaBaaaleaapeGaaGimaa WdaeqaaaGcbaWdbiaa=HhapaWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqabaGc peGaeyOeI0Iaa8hEa8aadaWgaaWcbaWdbiaaicdaa8aabeaaaaaaaa WdbeaacaWFZoWdamaaBaaameaapeGaaGimaiaaigdaa8aabeaaaOWd biaawEJ=aaqaaiaa=HhapaWaaSbaaSqaa8qacaaIYaaapaqabaGcpe GaeyOeI0Iaa8hEa8aadaWgaaWcbaWdbiaaicdaa8aabeaaaaaaaa@5D41@

Rekursionsformel:

ci = γ0i
γi,i = f(xi)
γi,k = γi+1,k - γi,k-1 xk - xi

Beispiel 7 - 1:


c0 = γ00 = f(x0)
i = 0,k = 1 c1 = γ01 = γ1,1 - γ0,0 x1 - x0 = y1 - y0 x1 - x0


i = 0,k = 2 c2 = γ02 = γ1,2 - γ0,1 x2 - x1 = γ2,2 - γ1,1 x2 - x1 -γ1,1 - γ0,0 x1 - x0 x2 - x0








= y2 - y1 x2 - x1 -y1 - y0 x1 - x0 x2 - x0

Rechenschema:

x0 y0


γ01 = y1-y0 x1-x0
x1 y1
γ02 = γ12-γ01 x2-x0


γ12 = y2-y1 x2-x1
γ03 = γ13-γ02 x3-x0
x2 y2
γ13 = γ23-γ12 x3-x1


γ23 = y3-y2 x3-x2
x3 y3