0

0/12

13 Differentialrechnung

0/12/2

13.2 Ableitungsregeln

0/12/2/0

0/12/2/1

13.2.1 Faktorregel

Die Ableitungsregeln können können wahlweise eingesetzt werden und schließen sich nicht gegenseitig aus.

y =c f(x) =g(x)
y = lim Δx0(x + Δx) - g(x) Δx = lim Δx0c f(x + Δx) - c f(x) Δx
=c lim Δx0f(x + Δx) - f(x) Δx =c f(x)

.
.
Beispiel:
y =3 ex y =3 ex
y =4 sin x y =4 cos x
.
0/12/2/2
13.2.2 Summenregel
y =f1(x) + f2(x) + + fn(x)
y =f 1(x) + f 2(x) + + f n(x)

Beispiel 13 - 1: .

y =4x7 + 3 cos x - 5ex + ln x
y =28x6 - 3 sin x - 5ex + 1 x
s(t) =at2 2 + v0 t + S0
s(t) =v(t) =a t + v 0
v(t) = tanh(t) + v0
v(t) = 1 cosh 2(t) =1 - tanh 2t

0/12/2/3

13.2.3 Produktregel

0/12/2/3/0

y =u(x) v(x)
y =u(x) v(x) + u(x) v(x)
(u v) =u v + u v
ddx(u v w) =u v w + u v w + u v w
.
.
.
0/12/2/3/1 .
Beispiel 13 - 74
Beispiel 1:y = (4x3 - 3x) u (2 ex - sin x) v
Beispiel 2: y = (arctan x) u ln xv
Beispiel 3: y = (5x3) u sin xv ex w

.

Beispiel 1: y = (4x3 - 3x) u (2 ex - sin x) v
y = (12x2 - 3)(2 ex - sin x) + (4x3 - 3x)(2 ex - cos x)
Beispiel 2: y = (arctan x) u ln xv
y = 1 1 + x2 ln x + arctan x 1 x
Beispiel 3:y = (5x3) u sin xv ex w
y = 15x2 sin x ex + 5x3 cos x ex + 5x3 sin x ex

.
0/12/2/3/2

0/12/2/4

13.2.4 Quotientenregel
y =u(x) v(x) =uv
y =u(x) v(x) - u(x) v(x) v2(x) =u v - u v v2


.
Beispiel 13 - 75:
y = x3 - 4x + 5 2x2 - 4x + 1 =u v
y =(3x2 - 4)u(2x2 - 4x + 1)v-(x3 - 4x + 5)u(4x - 4)v (2x2 - 4x + 1)2 v2
.

0/12/2/5

13.2.5 Kettenregel

0/12/2/5/0

Beispiel 13 - 76:
y = sin(3x + 4)

y =f(x)Substitution u=u(x) y =f(u)
u =u(x)Innere Funktion
y =f(u)Äußere Funktion
y =f(u) =f(u(x)) =f(x)
y =dy dx =dy du du dx
u =3x + 4dudx =3
F(u) = sin(u)dydu = cos(u)
y =dy du du dx
= cos(u) 3
=3 cos(3x + 4)
.
.
dydx = lim Δx0Δy Δx = lim Δx0 dy du du dx
= lim Δx0 Δy Δu lim Δx0 Δu Δx
=ΔyΔu Δu Δx

.

0/12/2/5/1 .
Beispiel 13 - 75
y = (3x - 8)5

.

y = (3x - 8)5
äußere Funktion: y = u5
innere Funktion: u = 3x - 8

dydu =5u4
dudx =3
y =dy du du dx =5 u4 3 =15(3x - 8)4

.
0/12/2/5/2 .
0/12/2/5/3 .
Beispiel 13 - 76
1 ln x

.

1 ln x
äußere Funktion: y = F(u) = 1 u
innere Funktion: u = ln(x)

dydu =- 1 u2
dudx =1x
y =dy du du dx =- 1 u2 1 x =- 1 1 x (ln x)2
y =y(x) =y(v(x)) =y(v(u(x)))

.
0/12/2/5/4

0/12/2/5/5 .
Beispiel 13 - 77
y = ln[sin(2x - 3)]

.

y = ln[sin(2x - 3)]
1. Substitution: u = (2x - 3)
2. Substitution: v = sin(u)

y =dy dv dv dx =dy dv dv du du dx
dudx =d(2x - 3) dx =2
dvdu =d(sin(u)) du = cos(u)
dydv =d(ln(v)) dv =1 v
y =1v cos(u) 2 = 1 sin(u) cos(u) 2
=2 cot(u) =2 cot(2x - 3)

.
.
Weiteres Beispiel: ( 1ln(x)) = ( -1 x (ln(x))2)
.
0/12/2/5/6 .

0/12/2/6

13.2.6 Logarithmische Ableitung

0/12/2/6/0

Vorgehensweise :

1.
Logarithmieren beider Seiten
2.
Ableiten (z. B. mit Hilfe der Kettenregel)

Beispiel 13 - 78:

y =xx | Logarithmieren beider Seiten
ln y = ln(xx)
ln y =x ln(x) = ln f(x)
u =f(x)
dudx =f(x)
ddx(ln f(x)) =dfdu du dx =1u f(x)
= 1f(x) f(x) = ln x + x 1 x =1
f(x) =(ln x + 1) f(x) =xx (ln x + 1)
.

0/12/2/6/1 .
Beispiel 13 - 78

f(x) = y = xsin x .

ln f(x) = ln(xsin x)
ln f(x) = sin x ln(x)
u =f(x)äußere Funktion
F(u) = ln(u)innere Funktion
d ln(u) du du dx = cos x ln x + (sin x) 1 x
1f(x) f(x) = cos x ln x + (sin x) 1 x
f(x) =(cos x ln x + (sin x) 1 x) f(x)
=(cos x ln x + (sin x) 1 x) xsin x

.
0/12/2/6/2 .
Beispiel 13 - 79
y = u v .

.

y = u v (Produktregel)

f(x) =u(x) v(x)
ln f(x) = ln(u(x) v(x)) = ln u(x) - ln v(x)
f(x) 1 f(x) = 1u(x) u(x) - 1 v(x) v(x)
=u(x) v(x) - u(x) v(x) u(x) v(x)
f(x) = 1 u(x) u(x) - 1 v(x) v(x) =u(x) v(x) - u(x) v(x) u(x) v(x) u(x) v(x)
= 1u(x) u(x) - 1 v(x) v(x) =u(x) v(x) - u(x) v(x) u(x) v(x) u(x) v(x)

.
0/12/2/6/3

0/12/2/7

13.2.7 Ableitung der Umkehrfunktion

0/12/2/7/0

Gegeben sei eine Funktion y = f(x), von der die Ableitung y = f(x) sowie die Umkehrfunktion y = f-1(x) = g(x) gebildet werden kann. .
Falls die Ableitung der Umkehrfunktion y = f(x) nun nicht mit den bisherigen Verfahren gebildet werden kann, läßt sich die Umkehrfunktion y = f-1(x) = g(x) evtl. doch ableiten:
0/12/2/7/1


PIC .

Abbildung 1: Ableitung der Umkehrfunktion

0/12/2/7/2 .
Das Prinzip: .

Funktionsgleichung nach x auflösen: x = f-1(y) = g(y)
Anders ausgedrückt: f(x) = f(g(y)) = f(f-1(y)) = y

innere Funkion g(y) =u
äußere Funkion f(u)
Kettenregel: dydy =d(f(g(y))) dy
1 =dfdu du dy =f(x) g(y)
g(y) = 1 f(x)
.
.
Die Schritte zur Ableitung der Umkehrfunktion g(x) :
1.
Ersetzen der Variablen x durch g(y) und ableiten
2.
Auf beiden Seiten x und y vertauschen

Beispiel 13 - 80:
Gegeben sei die Umkehrfunktion von y = ex: x = ln y .
sowie die Ableitung von y = ex: y = ex . .
Gesucht ist die Ableitung y = d ln x dx : .
Schritt 1: .
x = g(y) = ln y .
g(y) = 1 f(x) = 1 ex = 1 y .
Schritt 2: Vertauschen von x und y:
g(x) = d dx(ln x) = 1 x .
.
0/12/2/7/3 .
Beispiel 13 - 80

f(x) = arcsin(x) =y

.

f(x) = arcsin(x) =y
g(y) = sin(x)
(arcsin x) =f(y) = 1 g(x) = 1 (sin x)
= ddx arcsin(x) = 1 1 - x2

.
0/12/2/7/4

0/12/2/8

13.2.8 Implizite Ableitung

0/12/2/8/0

Ist eine Gleichung in impliziter Darstellung f(x,y) gegeben, läßt sich die Ableitung bilden, indem man alle Terme ableitet (Kettenregel beachten !) .
0/12/2/8/1 .
Beispiel 13 - 81
Zu bilden sei die Ableitung der Funktion f(x,y) = 3y4 + 2x2 + 10x - 5y = 0 .

12y4 dy dx + 4x + 10 - 5 dy dx = 0 .
.
Auflösen nach y: .
(12y4 - 5) dy dx = -4x - 10 .
.
dy dx = - 4x - 10 12y4 - 5 .

.
0/12/2/8/2

0/12/2/9

13.2.9 Differential einer Funktion

0/12/2/9/0

0/12/2/9/1


PIC .

Abbildung 2: Differential

0/12/2/9/2 .

Fragestellung: Wie groß wird der Fehler, wenn anstelle der Tangentensteigung die Sekantensteigung für ein Δx (z.B. von 0.1) verwendet wird ? .
.
Differential dy = df = f(x 0) .
Zuwachs der Ordinate der Kurventangente an x0
bei Änderung der Abszisse x um dx .
Δy - dy : Ordinatenabweichung .
Die Ableitung einer Funktion kann als Quotient zweier Differentiale aufgefasst werden. y = f(x) = dy dx = lim Δx0Δy Δx

Beispiel 13 - 82: .
Gesucht ist Steigung der Sekante, also die Ordinatenänderung Δy für eine Änderung von Δx = 0, 1 an x = 1. .
.

Für y =x2 + ex-1in P = 1 2
Für Δx =0, 1
Δy =f(x + Δx) - f(x)
=f(1 + 0, 1) - f(1)
2, 315 - 2 0, 315

Damit ist die Steigung der Sekante im Punkt P = 1 2 ungefähr 3, 15. .
Steigung der Kurventangente: .
f(x) =2x + ex-1
f(1) =3
.
Differenz der Steigungen: ms - mt 3, 15 - 3 = 0, 15 .
Der relative Fehler ist dann F = Steigungsdifferenz / Steigung 0, 15 3 5%

0/12/2/10

13.2.10 Höhere Ableitungen

0/12/2/10/0

1.
y = f(x)
2.
y = f(x) = d dx(f(x))
3.
y = f(x) = d dx(f(x))
4.
5.
n. y(n) = f(n)(x) = d dx(f(n-1)(x)) = dny dxn .
.
.
dny dxn : Differentialqutient n-ter Ordnung

.
Beispiel 13 - 83: .

d3 dx3(ex) =ex
.

0/12/2/10/1 .
Beispiel 13 - 82

y =4x3 + x cos x

.

y =4x3 + x cos x
y =12x2 + cos x - x sin x
y =24x - sin x - (sin x + x cos x)
y =24 - cos x - cos x - cos xAbleitung bei Parameterdarstellung: später + x sin x

.
0/12/2/10/2

0/12/2/11

13.2.11 Übungen

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