0

0/7

8 Potenz- und Wurzelfunktionen

0/7/0

0/7/1

8.1 Potenzen

0/7/1/0

8.1.1 Potenzbegriff

z.B. y = f(x) = xn(n ) = x x x xxn-mal Ist n gerade f(x) ist eine gerade Potenzfunktion .
Ist n ungerade f(x) ist eine ungerade Potenzfunktion .

Beispiele für Potenzen:

100 =102
10 =101
1 =100
0, 1 =10-1
0, 01 =10-2
pico :10-12
nano :10-9
mikro :10-6
milli :10-3
kilo :103
mega :106
giga :109

0/7/2

8.2 Wurzelfunktionen

0/7/2/0

8.2.1 Umkehrbarkeit

0/7/2/0/0

Quadtratische Funktionen sind nicht umkehrbar, solange D = (- < x < )

0/7/2/0/1


PICPIC

Abbildung 2: Umkehrbarkeit für x 0 y = x

0/7/2/0/2

Jede Potenzfunktion mit geradem Exponent ist im Intervall x 0 umkehrbar.
Die Umkehrfunktionen der auf das Intervall x 0 beschränkten Funktionen heißen Wurzelfunktionen : y = xn = x1 n
Beispiel 8 - 1: sqrt()
liefert den Wert der Quadratwurzel. ’sqrt(4)’; ergibt 2.

Beispiel 8 - 2: n-te Wurzel Gesucht ist die n-te Wurzel einer reellen Zahl: xn.
Umgesetzt in den Maple-Befehl ’surd(x,n)’ erhält man das Ergebnis. Zahlenwerte: 273 . ’surd(27,3)’ liefert: 3

Beispiel 8 - 3: solve bei Maxima / isolate bei Maple
unterstützt bei der Bildung von Umkehrfunktionen:
isolate(y = sqrt(x),x)
isolate(y = x-1 2 ,x)
.
Maxima: solve(y=sqrt(x),x); .

0/7/2/1

8.2.2 Wurzelgleichungen

1.
Wurzelgleichungen mit einer Wurzel:
Lösungsmethode: isolierung der Wurzel und Potenzieren
i.d.R. nicht äquivalente Umforungen, daher Lösungen ausprobieren.

Beispiel 8 - 4:
x + 7 =x + 1D = {x |x -7}
x + 7 =x + 1|quadrieren
x + 7 =x2 + 2x + 1|- x - 7
0 =x2 + x - 6
x1,2 =-1 2 ±1 4 + 6
x1 = 2 x2 = -3


Probe:
2 + 7 =2 + 1 9 = 3x1 = 2
-3 + 7 =4- 3 + 1 = -2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             -<msub - - - --  f
L = {2}

.
Beispiel 8 - 50
Lösen Sie die Gleichung
x + 5 - x + 1 = 0

.

x + 5 = x - 1
x + 5 = x2 - 2x + 1
x2 - 3x = 4 ergibt 4, -1. .
-1 ist nicht zulässig. .
.
.
Weit. Beispiel: x - 4 x - 9 = 0 .
Ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist:x1 = 4,x2 = 9 .
Weit. Beispiel: x + 4 + x - 1 = 0 .
x + 4 = x2 - 2x + 1 .
x2 - 3x - 3 = 0 .
x1,2 = 3 2 ±(3 2)2 + 3 = 3 2 ±1 221 .

.

2.
Wurzelgleichungen mit zwei Wurzeln
Methode:
(a)
Isolieren der Wurzel
(b)
Quadrieren der Gleichung
(c)
Isolieren der zweiten Wurzel
(d)
Quadrieren (potenzieren) der Wurzel

Beispiel 8 - 51:

3 + x + 3 =3x + 6 + 2D = {x |x -2}
3 + x + 3 =3x + 6 + 2|- 2
1 + x + 3 =3x + 6|Quadrieren
12 + 2x + 3 + (x + 3) =3x + 6|- 4 - x
2x + 3 =2x + 2| : 2
x + 3 =x + 1|Quadrieren
x + 3 =x2 + 2x + 1|- x - 3
0 =x2 + x - 2
x1 = -2 x2 = 1


Probe:

3 + -2 + 3 =43 (-2) + 6 + 2 =2
3 + 1 + 3 =5 =3 + 6 + 2 =5
L = {1}

0/7/3

8.3 Potenzfunktionen

0/7/3/0

8.3.1 Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten

y = f(x) = xm n = xmn   x > 0,m ,n .
.
y = x-2 = 1 x2 .
.
Beispiel 8 - 52: Geladenes Teilchen im elektrischen Feld .
1 2mν2 kinetische Energie = e U potentielle Energie .
ν = 2eU m .

0/7/3/1

8.3.2 Potenzgleichungen

0/7/3/1/0

Lösungsmethode:

0/7/3/1/1 .
Beispiel 8 - 51
x2 3 + 4 = x
.

x2 3 + 4 =x|- 4
x2 3 =x - 4|Zur 3. Potenz erheben
(x2 3 )3 = x2 =(x - 4)3 = x3 - 12x2 + 48x - 64|- x2
0 =(x - 4)3 = x3 - 13x2 + 48x - 64
x1 = 8

.

PIC .

Abbildung 3: y = xa

.
0/7/3/1/2

0/7/3/1/3 .
Beispiel 8 - 52
Einarbeitungszeit
Bei der Herstellung neuer Produkte nähert sich der Arbeitsaufwand nach einer Einarbeitungszeit dem projektierten Arbeitsaufwand. Der Einarbeitungsprozess wird durch die allgemeine Funktion
t = b + c x-0.2 beschrieben.

t = c x-0,2 .
t : Arbeitsaufwand in min/Stück, konkret: t = 30x-0,2 .
c : Konstante/Parameter .
x : Stückzahl .
.
Angenommener projektiver Aufwand sei nun 18 min/Stück. .
Nach welcher Stückzahl ist dieser Aufwand erreicht bzw. unterschritten? .
.

18 = 30 x-0,2 .
x-0,2 = 18 30 .
x1 5 = 30 18 .
x = 30 18 5 13 Stück .

.
0/7/3/1/4