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0/14
15 Reelle Matrizen
0/14/4
15.4 Gauß’scher Algorithmus
0/14/4/0
15.4.1 Darstellung in Matrixform
0/14/4/0/0
| | | | | | | umbilden in Matrix: | |
| | | | | | | 1. Spalte: , | 2. Spalte: |
| | | | | | | 3. Spalte: , | 4. Spalte: Konstante |
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.
.
Das lineare Gleichungssystem kann geschrieben werden als
. .
Koeffizienten:
Absolutglieder (Konstanten):
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| | | | mit | und |
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.
Entsprechend verfolgt jetzt der Gaußsche Algorithmus das Ziel, über äquivalente Umformungen die
Matrix
in ein gestaffeltes System (Dreiecksform) zu bringen durch die Schritte:
-
1.
- Vertauschen von Zeilen
-
2.
- Multiplikation mit einem Faktor
-
3.
- Addition eines Vielfachen einer anderen Zeile
0/14/4/0/1 .
Beispiel 15 - 136
Lösen eines Gleichungssytems mit Excel : .
.
.
.
.
0/14/4/0/2
0/14/4/0/3 .
Beispiel 15 - 137
| | | | | | | umbilden in Matrix: | |
| | | | | | | 1. Spalte: , | 2. Spalte: |
| | | | | | | 3. Spalte: , | 4. Spalte: Konstante |
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.
.
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. .
Aus Zeile 2 folgt:
. Aus Zeile 1 folgt:
. (alternativ Gauß-Jordan: Später !)
.
0/14/4/0/4
0/14/4/1
15.4.2 Lösungsschritte des Gauß’schen Algorithmus
Die Lösung eines linearen Gleichungssystems
erfolgt durch Umformung in zwei, ggf. drei Schritten:
I. Vorwärtselimination mit
Ia. eventueller Pivotisierung (d.h. Vertauschen von Zeilen, bis die Diagonalelemente
)
II. Rückwärtselimination
I. Vorwärtselimination
-
1.
- Eliminationsschritt: ()
| subtrahiere | -fache der 1.Zeile von 2.Zeile |
| ⋮ | -fache der 1.Zeile von 3.Zeile |
| ⋮ | ⋮ |
| |
Durch den ersten Eliminationsschritt entstehen in der 1. Spalte der Matrix Nullen, außer
sind
alle .
-
2.
- Eliminationsschritt: ()
| subtrahiere | -fache der 2.Zeile von 3.Zeile |
| ⋮ | -fache der 2.Zeile von 4.Zeile |
| ⋮ | ⋮ |
| |
-
3.
- Solange wiederholen, bis die Dreiecksform vorliegt. (Die Koeffizienten der Matrix
in Dreiecksform werden ab hier der Übersichtlichkeit halber mit Koeffizienten
bzw.
bezeichnet.)
Ia. Pivotisierung
-
1.
- Das Gauß-Verfahren versagt, falls das Diagonalelement oder Pivotelement (engl. für
Dreh- und Angelpunkt)
eines Eliminationsschrittes gleich Null ist,
(Abbruch des Verfahrens bei Division durch Null).
-
2.
- Pivotsuche: Ist ein Diagonalelement ,
so vertauscht man die Pivot-Zeile k vor Ausführung des k-ten Eliminationsschrittes mit
derjenigen Zeile ,
die den betragsmäßig größten Koeffizienten für
besitzt:
-
3.
- Neue Pivotzeile ,
neues Pivotelement .
II. Rückwärtselimination
Aus der Dreiecksform werden die Lösungen
durch schrittweises Rückwärtseinsetzen gewonnen:
-
1.
- Zuerst die unterste Zeile nach
auflösen.
-
2.
- Die anderen Elemente
des Lösungsvektors
bestimmt man dann rekursiv mit der Gleichung
,
.
Sei eine
-Matrix, dann lautet das
Gleichungssystem mit
dem unbekannten Vektor :
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| |
erhält man aus
der letzten Zeile:
Der Wert für
wird in die vorletzte Zeile
eingesetzt, diese nach
aufgelöst:
.
.
Das gleiche Schema wird auf die darüberliegenden Zeilen angewandt, bis alle Werte von
bestimmt sind.
0/14/4/2
15.4.3 Gauß-Jordan-Verfahren
0/14/4/2/0
Alternativ zum beschriebenen Gauß-Verfahren kann man auch die Koeffizientenmatrix noch weiter umformen, bis man
eine Einheitsmatrix
erhält. Damit können die Lösungen direkt abgelesen werden.
oder
Dies ist auch als Gauß-Jordan-Verfahren bekannt.
0/14/4/2/1 .
Beispiel 15 - 138
Alternative Lösung des obigen Beispiels mit Gauß-Jordan: .
| | | | | | | umbilden in Matrix: | |
| | | | | | | 1. Spalte: , | 2. Spalte: |
| | | | | | | 3. Spalte: , | 4. Spalte: Absolutglied |
| |
.
(Anm.: Man kann das Absolutglied zuerst auch auf die linke Seite der Gleichung bringen, man muß
nur beim Ablesen darauf achten.) .
| | | | PS |
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. .
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0/14/4/2/2
0/14/4/2/3 .
Beispiel 15 - 139
Zu lösen ist das Gleichungssystem .
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0/14/4/2/4
Beispiele zum Gauß’schen Verfahren
0/14/4/2/5 .
Beispiel 15 - 140
Tragwerke
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| | | | | nach |
| | | | | nach |
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Pivotisieren:
.
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0/14/4/2/6
0/14/4/2/7 .
Beispiel 15 - 141
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Die
Gleichung hat unendlich viele Lösungen
wird
zum Parameter und ist frei wählbar.
Auflösen durch Rückwärtseinsetzen:
.
.
.
.
0/14/4/2/8
0/14/4/2/9 .
Beispiel 15 - 142
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| . |
| oder . |
| . |
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Das
Gleichungssystem ist nicht lösbar.
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0/14/4/2/10
Ein Gleichungssystem hat
| eine oder |
| keine oder
|
| unendlich viele |
Lösungen. .
Ist das Gleichungssystem homogen (Alle Absolutglieder sind Null,
)
so hat es entweder genau eine Lösung (die Triviallösung
) oder
unendlich viele Lösungen (darunter auch die Triviallösung).
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