0
0/1
0/1/0
0/1/1
0/1/1/0
0/1/1/0/0
Definition Term : Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der aus
besteht.
Will man die Äquivalenz von Termen ausdrücken, so verwendet man das Gleichheitszeichen.
Zwei Terme
und sind
äquivalent
.
.
Gleichungen ermöglichen u.a. die Beschreibung quantitativer Beziehungen in Natur, Technik, Wirt- .
schaft etc.
Die Umformung von textlicher Beschreibung in Gleichungen ist häufig ein schwierigerer, aber meist .
lohnender Schritt.
0/1/1/0/1 .
Beispiel 2 - 1
Den Umfang eines Kreises berechnet man, indem man das Produkt aus dem Verhältnis von Umfang
.
eines beliebigen Kreises zu seinem Durchmesser und dem Kreisradius mit 2 multipliziert.
.
0/1/1/1
0/1/1/1/0
Beispiel 2 - 2:
Lösungsmengen
.
0/1/1/1/1 .
Beispiel 2 - 2
Sogar in der Weltliteratur haben Bestimmungsgleichungen ihren Platz gefunden. Der Nobelpreisträ- .
ger Thomas Mann zum Beispiel, der sich sonst von allem Mathematischen so fern wie nur möglich .
hielt, hat in seinem Buch Joseph und seine Brüder ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten .
verwendet, um die besonderen Fähigkeiten seines jungen Helden zu demonstrieren [RiessingerL1]
. .
Es geht dabei um die biblische Josephsgeschichte, und wie Sie vielleicht wissen, wird der so junge .
wie arrogante Joseph von seinen Brüdern an einen vorbeiziehenden Reisenden verkauft. .
Dieser Reisende stellt seine Neuerwerbung nun auf die Probe: .
„Gesetzt aber, ich habe ein Stück Acker, das ist dreimal so groß wie das Feld meines Nachbarn .
Dagantakala, dieser aber kauft ein Joch Landes zu seinem hinzu, und nun ist meines nur noch .
doppelt so groß: Wieviel Joch haben beide Äcker?“
„Zusammen?“fragte Joseph und rechnete ...
„Nein, jeder für sich.“ .
Joseph löst seine Aufgabe, die nichts weiter ist als ein kleines Gleichungssystem mit zwei .
Unbekannten, und auf die Frage, wie er so schnell die Lösung finden konnte, läßt Thomas Mann ihn
antworten: .
„Man muß das Unbekannte nur fest ins Auge fassen, dann fallen die Hüllen, und es wird bekannt.“ .
Vermutlich hat Thomas Mann, der von Mathematik leider gar nichts verstand, jemanden gebeten, .
das Beispiel für ihn zu rechnen, denn die Erklärung des Lösungsverfahrens ist doch reichlich
unbefrie- .
digend und läßt darauf schließen, daß er nicht so recht wußte, wie man systematisch auf die Lösung
.
kommt [RiessingerL1] . .
(Das Lösen von Gleichungssystemen kommt im Kapitel „Reelle Matrizen“).
.
0/1/1/1/2 .
Bestimmungsgleichungen können unterteilt werden in
Beispiel 2 - 3:
Algebraische Gleichungen .
.
.
.
Beispiel 2 - 4:
Transzendente Gleichungen .
.
.
.
.
Ein weiterer Typ von Gleichungen sind die
Auf der rechten Seite stehen Ausdrücke der unabhängigen Variablen (meist mit
bezeichnet), auf der linken Seite steht die abhängige Variable (meist mit
bezeichnet). .
0/1/1/2
Algebraische Rechenoperationen:
In algebraischen Termen werden nur algebraische Rechenoperationen durchgeführt. .
.
.
| mit | = | Koeffizienten (beliebige Werte, auch transzendent) |
| = | Grad | |
Fundamentalsatz der Algebra : .
Jede algebraische Gleichung von Grad
hat genaun
(reelle oder komplexe) Lösungen. .
0/1/1/3
Äquivalenz kann alternativ so formuliert werden: Definitionsmenge und Lösungsmenge äquivalen- .
ter Terme stimmen überein.
Elementare Äquivalenzumformungen :
| = | = | . | ||||
| = | . | ||
| = | . | ||
| = | = | |||||||
| = | = | |||||||
| Substituiere mit: | |||||
| Rücksubstitution: | |||||
.
.
Beispiel 2 - 5
.
| (mit ) | |||
.
Beispiel 2 - 6
. .
| 1. Ansatz (schlecht): | |||
| mit | |||
| Keine Äquivalenzumformung!! | |||
0/1/2
0/1/2/0
0/1/2/0/0
Lineare Gleichungen haben Sie bereits unter dem Begriff der Geradengleichung in der Schule .
kennengelernt:
0/1/2/0/1 .
Beispiel 2 - 7
. .
| Lösung: |
0/1/2/1
0/1/2/1/0
0/1/2/1/1 .
Beispiel 2 - 8
.
| oft auch | quadratische Ergänzung | |||
| Lösung: | ||||
Ist die Diskriminante
0/1/2/1/3 .
Beispiel 2 - 9
.
0/1/2/2
0/1/2/2/0
0/1/2/2/1
0/1/2/2/2
Lösungen für Gleichungen 3. Grades können über die Cardanischen Formeln ermittelt werden .
(s. Formelsammlung). Kann man eine Lösung ermitteln, kommt man mit der Polynomdivision meist
.
mit weniger Aufwand zum Ziel.
0/1/2/3
0/1/2/3/0
Bi-quadratische Gleichungen lassen sich durch Substitution auf quadratische Gleichungen zurück- .
führen, die man dann auf bekannte Weise lösen kann. .
| Substituiere: | |||
Substituiere:
0/1/2/4
0/1/2/4/0
Wurzelgleichungen kann man u.U. lösen, indem man die Wurzel isoliert und über Quadratur beider
Seiten der Gleichung Lösungen bestimmt (Achtung: Dies ist eine Nicht-Äquivalenz-Umformung ! Es
entstehen weitere "Lösungen". Deshalb: Probe nicht vergessen !)
0/1/2/4/1 .
Beispiel 2 - 11
.
| und | |||||
0/1/2/5
Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .
0/1/3
0/1/3/0
0/1/3/0/0
Betragsgleichungen kann man durch Fallunterscheidungen unterteilen in mehrere Bereiche.
Fall I: Was zwischen den Betragsstrichen steht, ist größergleich Null oder
Fall II: Was zwischen den Betragsstrichen steht, ist kleiner Null.
Man betrachtet also bei einer Betragsfunktion
eigentlich 2 Funktionen: .
Einmal und eine
zweite Funktion ,
.
wobei jeweils nur der positive ertebereich
betrachtet wird. .
Die Ursprungsfunktion setzt
sich aus beiden Funktionen
und .
abschnittsweise zusammen. .
Beispiel 2 - 12:
:
0/1/3/0/1
0/1/3/0/2
Beispiel 2 - 13:
:
0/1/3/0/3
0/1/3/0/4
0/1/3/1
0/1/3/1/0
Sind die Argumente der Betragsfunktionen stetig, bestimmt man einfach die Nullstellen und unterteilt
in Intervalle. Das Vorzeichen überprüft man durch Einsetzen eines beliebigen x-Werts im
betreffenden Intervall. Das Betragszeichen kann entsprechend dieser Vorzeichenausprägung im
jeweiligen Intervall aufgelöst werden. (Die Fallunterscheidung kann durchaus mühsam werden.) .
Beispiel 2 - 14:
: .
0/1/3/1/1
0/1/3/1/2
0/1/3/1/3 .
Beispiel 2 - 12
.
| Intervall | 1 | 2 |
| Gleichung: | ||
Hat man mehrere Intervalle, bietet sich ein Tabellen-Schema zum systematischen Lösen an: .
0/1/3/1/5 .
Beispiel 2 - 13
.
| Intervall | 1 | 2 | 3 |
| zusammen: | |||
0/1/3/2
Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .
0/1/4
0/1/4/0
Während bei Gleichungen zwei Terme mit dem Gleichheitszeichen verknüpft werden, werden mit .
Ungleichungen Größenvergleiche formuliert und untersucht. Jede Ungleichung besteht aus zwei .
Termen, die durch eines der Vergleichszeichen .
(Kleinerzeichen), .
(Kleinergleichzeichen), .
(Größergleichzeichen) oder .
(Größerzeichen) verbunden sind. .
0/1/4/1
Die Regeln der Äquivalenzumformungen bei Gleichungen gelten bei Ungleichungen nur mit
wesentlichen Einschränkungen. .
| Aus | wird | ||
| Aus | wird | ||
| Aus | wird | ||
| Aus | wird | ||
0/1/4/2
0/1/4/2/0
Meist hilft der folgende Weg: Man bringt alle Glieder auf eine Seite und ersetzt zunächst das
Relationszeichen durch das Gleichheitszeichen. Ist diese neue Funktion stetig, bestimmt man einfach
die Nullstellen der Gleichung und unterteilt entsprechend in diese Intervalle. Nun setzt man dann
-analog zu Betragsgleichungen- im jeweiligen Intervall einen geeigneten x-Wert ein: Ist
die Relation für diesen x-Wert erfüllt, so ist dieses Intervall Teil der Lösungsmenge. .
Weist die Funktion Unstetigkeitsstellen auf, muss man an diesen Stellen jeweils in weitere Invervalle
unterteilen und je Intervall die Betrachtung anstellen. .
0/1/4/2/1 .
Beispiel 2 - 14
oder .
.
.
0/1/4/3
0/1/4/3/0
Durch Fallunterscheidung wird wie bei den Betragsgleichungen in Bereiche unterteilt. Der weitere
Lösungsweg geht wie oben beschrieben. .
0/1/4/3/1 .
Beispiel 2 - 15
.
| Int. | 1 | 2 |
| Gl. | ||
Jetzt: Betrachtung der Intervalle .
.
| 1. | Einsetzen von z.B. erfüllt Relation. . | |
| 2. | Einsetzen von z.B. erfüllt Relation nicht. . | |
| 3. | Einsetzen von z.B. erfüllt Relation nicht. . | |
| 4. | Einsetzen von z.B. erfüllt Relation. . | |
.
0/1/4/3/2
0/1/4/3/3 .
Beispiel 2 - 16
.
| Int. | 1 | 2 | 3 |
| x+3 | <0 | <0 | >0 |
| x+4 | <0 | >0 | >0 |
| Gl. | |||
| erfüllt im | |||
| ganzen Intervall | |||
, .
, .
, .
.
alternativ mit Maple: .
solve(abs(x+3)-abs(x+4)<9,x) .
0/1/4/3/5 .
Beispiel 2 - 17
Stellen Sie die Ungleichung
in eine Betragsgleichung um .
0/1/4/3/7 .
Beispiel 2 - 18
.
Intervall II:
.
.
.
.
setzen:
.
.
.
Wie vor Intervalle untersuchen: .
.
Zeichnung mit Maple: .
.
0/1/4/4
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