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20 Anwendungen

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20.3 Vektorielle Darstellung der Ebene

0/19/3/3

20.3.3 Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor (Normalenvektordarstellung)

0/19/3/3/0

Ist r der Ortsvektor des laufenden Punkts P der Ebene, so liegt der Vektor P1P = r -r1 in der Ebene und steht somit senkrecht auf den Normalenvektor n. Das heißt, das Skalarprodukt verschwindet:
n (r -r1 ) = 0 .
0/19/3/3/1 .
Beispiel 20 - 213
Normalenvektor-Darstellung .

oder ausgeschrieben: .
nx(x - x1) + ny(y - y1) + nz(z - z1) = 0. .
Dies ist gleichbedeutend mit der Koordinatendarstellung einer Ebene: .
ax + by + cz + d = 0 .
Den Normalenvektor erhält man einfach über das Kreuzprodukt zweier nicht kollinearer Richtungsvektoren: .

#n =

#a ×

                                                                                          #
                                                                                          b .

Hierbei sind: .
x,y,z: Koordinaten des laufenden Punkts in der Ebene .
x1,y1,z1: Koordinaten des vorgegebenen Punkts der Ebene .
nx,ny,nz Vektorkomponenten des Normalenvektors

#n .
.
0/19/3/3/2 .
0/19/3/3/3 .
Beispiel 20 - 214
Umwandlung in eine Normalenvektor-Darstellung .
Gegeben sei eine Ebene .

#
r (P) = 3 5 1 +λ -5 -6 7 +μ -1 -5 0 .

Ein Normalenvektor ist z.B.

#
n =

                                      #
                                      a ×

                                                                                                                                    #
                                                                                                                                    b .
.

#n = x y z -5-67 -1-50 = 0 + 35 -7 + 0 25 - 6 = 35-7 19 .
n (r -r1) = 0 .
.
35-7 19 rx - 3 ry - 5 rz - 1 = 0.
.
Umwandlung in Achsenabschnittsform: .
35(rx - 3) - 7(ry - 5) + 19(rz - 1) = 0 .
35rx - 7ry + 19rz = 105 - 35 + 19 = 99 .

.
0/19/3/3/4 .