0

0/19

20 Anwendungen

0/19/2

20.2 Abstände/Schnittpunkte von Geraden

0/19/2/6

20.2.4 2 Geraden g1 und g2 sind windschief

Vorbemerkung: 0/19/2/6/0

Analog zur Beschreibung von Geraden durch einen Ortsvektor und einen Richtungsvektor kann man Ebenen durch einen Ortsvektor und zwei Richtungsvektoren beschreiben. (Die zwei Richtungsvektoren dürfen natürlich nicht kollinear sein.) .
0/19/2/6/1


PIC .

Abbildung 1: Zwei windschiefe Geraden

0/19/2/6/2

Sind beide Geraden windschief, so schneiden sie sich weder (s.o.), noch sind sie kollinear (s.o.) .

Grundidee zu Bestimmung des (kleinsten) Abstands zueinander: Man bildet einen Spat aus den Richtungsvektoren, indem man einmal die eine Gerade solange parallel verschiebt, bis sie die andere Gerade schneidet und umgekehrt. .

0/19/2/6/3


PIC .

Abbildung 2: Zwei parallele Ebenen, erzeugt aus zwei windschiefen Geraden

0/19/2/6/4 .
Von dem entstandenen Spat bestimmt man das Volumen und teilt durch die Fläche des Parallelogramms.

Vorgehensweise:


E1 und E2 sind parallel zueinander .

Volumen des Spats: [a1 a2 (r2 -r1 )]
Fläche Parallelogramm: |a1 ×a2 |
Abstand: d =|[a1 a2 (r2 -r1 )]| |a1 ×a2 |
.

0/19/2/6/5 .
Beispiel 20 - 205
Gegeben seien die Geraden:

g1:

#
x

= 1 2 0 +λ1 1 1 1
g2:

#
x

= 3 0 2 +λ2 2 0 1


Wie groß ist der Abstand der beiden Geraden ? .
Prüfen auf Schnittpunkte und Winkel: λ2: .
.
λ1λ1c




1- 22tauschen mit II
10- 2tauschen mit I
1- 12




10- 2
1- 22 - I
1- 12 - I




10- 2
0- 24
0- 14
.
.
Das GLS ist nicht lösbar, es gibt keinen Schnittpunkt. .

Prüfen auf Kollinearität: .
.

#a1 ×

#a2  = xyz 2 11 2 0 1 = 1 - 0 2 - 1 0 - 2 = 1 1 -2

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   #0  . .
.
|

#
a1  ×

#
a2  | = 12 + 12 + (-2)2 = 6.
.
Abstand: d = |[#a1

         #a2  (

                                                                                                      #r2  -

                                                                                                                                                                                                     #r1  )]| |

          #a
           1  ×

                                                                                                         #a
                                                                                                          2  | .

|[

#
a1

#
a2  (

                                                                                       #
                                                                                       r2  -

                                                                                                                                                                                     #
                                                                                                                                                                                     r1  )]| = 1-22 1 1 1 2 0 1 = |2-4+0-4-0+2| = 4. .
.
d = 4 6. .

.
0/19/2/6/6