0

0/1

2 Gleichungen

0/1/0

0/1/1

2.1 Terme und Gleichungen, Äquivalenzumformungen

0/1/1/0

2.1.1 Äquivalenz

0/1/1/0/0

Definition Term : Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der aus

besteht.
Will man die Äquivalenz von Termen ausdrücken, so verwendet man das Gleichheitszeichen.
Zwei Terme T1 und T2 sind äquivalent T1 = T2 .
.
Gleichungen ermöglichen u.a. die Beschreibung quantitativer Beziehungen in Natur, Technik, Wirt- .
schaft etc.
Die Umformung von textlicher Beschreibung in Gleichungen ist häufig ein schwierigerer, aber meist .
lohnender Schritt.
0/1/1/0/1 .
Beispiel 2 - 1
Den Umfang eines Kreises berechnet man, indem man das Produkt aus dem Verhältnis von Umfang .
eines beliebigen Kreises zu seinem Durchmesser und dem Kreisradius mit 2 multipliziert.

.

Umfang: U .
Durchmesser: d .
Radius: r .
u d = π .
U = 2π r .

.
0/1/1/0/2

0/1/1/1

2.1.2 Typen von Gleichungen

0/1/1/1/0

Beispiel 2 - 2: Lösungsmengen

.
0/1/1/1/1 .
Beispiel 2 - 2
Sogar in der Weltliteratur haben Bestimmungsgleichungen ihren Platz gefunden. Der Nobelpreisträ- .
ger Thomas Mann zum Beispiel, der sich sonst von allem Mathematischen so fern wie nur möglich .
hielt, hat in seinem Buch Joseph und seine Brüder ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten .
verwendet, um die besonderen Fähigkeiten seines jungen Helden zu demonstrieren [RiessingerL1] . .
Es geht dabei um die biblische Josephsgeschichte, und wie Sie vielleicht wissen, wird der so junge .
wie arrogante Joseph von seinen Brüdern an einen vorbeiziehenden Reisenden verkauft. .
Dieser Reisende stellt seine Neuerwerbung nun auf die Probe: .
„Gesetzt aber, ich habe ein Stück Acker, das ist dreimal so groß wie das Feld meines Nachbarn .
Dagantakala, dieser aber kauft ein Joch Landes zu seinem hinzu, und nun ist meines nur noch .
doppelt so groß: Wieviel Joch haben beide Äcker?“
„Zusammen?“fragte Joseph und rechnete ...
„Nein, jeder für sich.“ .

Joseph löst seine Aufgabe, die nichts weiter ist als ein kleines Gleichungssystem mit zwei .
Unbekannten, und auf die Frage, wie er so schnell die Lösung finden konnte, läßt Thomas Mann ihn antworten: .
„Man muß das Unbekannte nur fest ins Auge fassen, dann fallen die Hüllen, und es wird bekannt.“ .
Vermutlich hat Thomas Mann, der von Mathematik leider gar nichts verstand, jemanden gebeten, .
das Beispiel für ihn zu rechnen, denn die Erklärung des Lösungsverfahrens ist doch reichlich unbefrie- .
digend und läßt darauf schließen, daß er nicht so recht wußte, wie man systematisch auf die Lösung .
kommt [RiessingerL1] . .

R =3D
R =2(D + 1)

(Das Lösen von Gleichungssystemen kommt im Kapitel „Reelle Matrizen“).

.
0/1/1/1/2 .

Bestimmungsgleichungen können unterteilt werden in

.
Ein weiterer Typ von Gleichungen sind die

Auf der rechten Seite stehen Ausdrücke der unabhängigen Variablen (meist mit x bezeichnet), auf der linken Seite steht die abhängige Variable (meist mit y bezeichnet). .

0/1/1/2

2.1.3 Algebraische Terme

Algebraische Rechenoperationen:

In algebraischen Termen werden nur algebraische Rechenoperationen durchgeführt. .
an xn + a n-1 xn-1 + a n-2 xn-2 + a 2 x2 + a 1 x1 + a 0 = 0 .
.

ai mit i {0n}=Koeffizienten (beliebige Werte, auch transzendent)
n=Grad

Fundamentalsatz der Algebra : .
Jede algebraische Gleichung von Grad n hat genaun n (reelle oder komplexe) Lösungen. .

0/1/1/3

2.1.4 Äquivalenzumformungen

Äquivalenz kann alternativ so formuliert werden: Definitionsmenge und Lösungsmenge äquivalen- .
ter Terme stimmen überein.

Elementare Äquivalenzumformungen :

1.
Vertauschen der Seite einer Gleichung
x = 3 3 = x .
x < 3 3 < x
.
2.
Termaddition/Subtraktion
x + 3=7|- 3 .
x=4.
3.
Term-Multiplikation/Division

Achtung ! Term darf nicht Null sein!! Sonst ist die Ursprungsgleichung nicht mehr erkennbar.
.
Beispiel 2 - 3
x=3| 4 x 4=3 4
x=3| (x - 1) =0 x (x - 1)=3 (x - 1)f
.
Alle Nullstellen des Faktors, mit dem wir multiplizieren, kommen als scheinbare Lösungen hinzu. Mit einer Probe kann man sie wieeder "herausfiltern".

.

4.
Substitution
.
Beispiel 2 - 4
x2 - 6 = 3 .
x2 - 6 =3 Substituiere mit: y = x2
y - 6 =3
y =9 Rücksubstitution:
x2 =9|Wurzel ziehen
x1,2 =± 3

.
.
Beispiel 2 - 5
5 4 = 5+x x .

5 4 =5+x x | x (mit x0)
5x 4 =5 + x| 4
5x =20 + 4x|- 4x
x =20

.

.
Beispiel 2 - 6
(x - 1)2 (x + 2) = 4 (x + 2)

. .

(x - 1)2 (x + 2) =4 (x + 2)
1. Ansatz (schlecht):
(x + 2) =0
(x - 1)2 (x + 2) =4 (x + 2)| : (x + 2) mit x - 2
(x - 1)2 =4|Wurzel ziehen
(x - 1) =2 Keine Äquivalenzumformung!!
x =3
.
(besser:)
(x - 1)2 (x + 2) = 4 (x + 2)
(x2 - 2x + 1) (x + 2) = 4 (x + 2)
x3 - 2x2 + x + 2x2 - 4x + 2 = 4x + 8
x3 - 7x - 6 = 0 3 Lösungen
Beispielsweise mit Hilfe der Cardanoschen Formel oder durch Erraten: x1 = -1
Polynomdivision: (x3 - 7x - 6) : (x + 1) = x2 - x - 6
x2,3 = 1 2 ±1 4 + 6 = 1 2 ±25 4 = 1 2 ±5 2
L = {-2; -1; 3}
.

0/1/2

2.2 Algebraische Gleichungen

0/1/2/0

2.2.1 Lineare Gleichungen

0/1/2/0/0

Lineare Gleichungen haben Sie bereits unter dem Begriff der Geradengleichung in der Schule .
kennengelernt:
0/1/2/0/1 .
Beispiel 2 - 7

a x + b =0

. .

a x + b =0
Lösung:x =-b a

.
0/1/2/0/2

0/1/2/1

2.2.2 Quadratische Gleichungen

0/1/2/1/0

0/1/2/1/1 .
Beispiel 2 - 8
a x2 + b x + c = 0 .

a x2 + b x + c =0
x2 + b a x + c a =0
oft auch x2 + p x + q =0|quadratische Ergänzung
x2 + p x + (p 2)2 =- q + (p 2)2
(x + p 2)2 = p2 4 - q DiskriminanteD
(x + p 2) =±p2 4 - q
Lösung:x =-p 2 ±p2 4 - q

.
0/1/2/1/2

Ist die Diskriminante D = (p 2)2 - q

0/1/2/1/3 .
Beispiel 2 - 9

.

.
0/1/2/1/4

0/1/2/2

2.2.3 Gleichungen 3. Grades

0/1/2/2/0

0/1/2/2/1


PIC .

Abbildung 1: Kubische Funktion y = x3

0/1/2/2/2

Lösungen für Gleichungen 3. Grades können über die Cardanischen Formeln ermittelt werden .
(s. Formelsammlung). Kann man eine Lösung ermitteln, kommt man mit der Polynomdivision meist .
mit weniger Aufwand zum Ziel.

0/1/2/3

2.2.4 Bi-quadratische Gleichungen

0/1/2/3/0

Bi-quadratische Gleichungen lassen sich durch Substitution auf quadratische Gleichungen zurück- .
führen, die man dann auf bekannte Weise lösen kann. .

ax4 + bx2 + c =0
Substituiere:y =x2
ay2 + by + c =0

0/1/2/3/1 .
Beispiel 2 - 10

x4 - 10x2 + 9 = 0
Substituiere: z = x2
z2 - 10z + 9 = 0

x4 - 10x2 + 9 = 0
Substituiere: z = x2
z2 - 10z + 9 = 0 z 1,25 ± 4
Rücksubstitution: x2 = z
x2 = z 1 = 9 x1,2 = ±3
x2 = z 2 = 1 x3,4 = ±1
L = {-3,-1, 1, 3} .
.
0/1/2/3/2

0/1/2/4

2.2.5 Wurzelgleichungen

0/1/2/4/0

Wurzelgleichungen kann man u.U. lösen, indem man die Wurzel isoliert und über Quadratur beider Seiten der Gleichung Lösungen bestimmt (Achtung: Dies ist eine Nicht-Äquivalenz-Umformung ! Es entstehen weitere "Lösungen". Deshalb: Probe nicht vergessen !)
0/1/2/4/1 .
Beispiel 2 - 11
2x - 3 + 5 - 3x = 0 .

2x - 3 + 5 - 3x =0 |2x - 3 0
2x - 3 =3x - 5 |(Quadrieren)2
2x - 3 =(3x - 5)2 =9x2 - 30x + 25
- 9x2 + 32x - 28 =0 | : (-9)
x2 -32 9 x + 28 9 =0 |p - q - Formel
x1,2 =16 9 ± 4 81 =16 9 ±2 9
x1 = 2 und                                                                                                                                                                                                          <msub><mrow>x< //mrow><mrow >2</mrow></msub >=/ /<mfrac><mrow >1/4</mrow> 
                                                                                                                                                                                                         /      <mrow >9</mrow></mfrac>

Durch das Quadrieren haben wir 2 Lösungen erhalten, von denen eine nicht korrekt ist, da
2 14 9 - 3 + 5 - 3 14 9 = 0 .
.
1 9 1 3 + 15 3 -/3  1 14 /9  3 1 3 = 0 .
.
2 3 = 0 .
.

.
0/1/2/4/2

0/1/2/5

2.2.6 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/1/3

2.3 Betragsgleichungen

0/1/3/0

0/1/3/0/0

Betragsgleichungen kann man durch Fallunterscheidungen unterteilen in mehrere Bereiche.

Fall I: Was zwischen den Betragsstrichen steht, ist größergleich Null oder
Fall II: Was zwischen den Betragsstrichen steht, ist kleiner Null.

|x| =

x für x 0 -xfür x < 0

Man betrachtet also bei einer Betragsfunktion f(x) = |g(x)| eigentlich 2 Funktionen: .
Einmal f1(x) = -g(x) und eine zweite Funktion f2(x) = g(x), .
wobei jeweils nur der positive Wertebereich betrachtet wird. .
Die Ursprungsfunktion f(x) setzt sich aus beiden Funktionen f1(x) und f2(x) .
abschnittsweise zusammen. .
Beispiel 2 - 12: :
0/1/3/0/1


PIC .

Abbildung 2: Betragsgleichung f(x) = |x|

0/1/3/0/2

Beispiel 2 - 13: :
0/1/3/0/3


PIC .

Abbildung 3: Betragsgleichung f(x) = |x2 - 1|

0/1/3/0/4

0/1/3/1

2.3.1 Vorgehen bei stetigen Komponenten

0/1/3/1/0

Sind die Argumente der Betragsfunktionen stetig, bestimmt man einfach die Nullstellen und unterteilt in Intervalle. Das Vorzeichen überprüft man durch Einsetzen eines beliebigen x-Werts im betreffenden Intervall. Das Betragszeichen kann entsprechend dieser Vorzeichenausprägung im jeweiligen Intervall aufgelöst werden. (Die Fallunterscheidung kann durchaus mühsam werden.) .
Beispiel 2 - 14: : .
0/1/3/1/1


PIC .

Abbildung 4: Unterteilung eines Polynoms mit den Nullstellen 5,3,2,0 und -1

0/1/3/1/2

0/1/3/1/3 .
Beispiel 2 - 12
|2x - 1| = -x + 1
.

Intervall-Unterteilung: .

Intervall 1 2



2x - 1 0 > 0
x 1 2 > 1 2



|2x - 1| - 2x + 1 2x - 1



Gleichung: - 2x + 1 = -x + 1 2x - 1 = -x + 1
- x = 0 3x = 2
x1 = 0 x2 = 2 3
.
.
L = 0, 2 3 .
.
(Hinweis: Setzt man die Intervallgrenzen so, daß 0 in das rechte Intervall zu liegen käme, würde x = 0 als Lösung aus dem intervall herausfallen. x = 0 ist aber eine zulässige Lösung.) .
.
0/1/3/1/4

Hat man mehrere Intervalle, bietet sich ein Tabellen-Schema zum systematischen Lösen an: .
0/1/3/1/5 .
Beispiel 2 - 13
|3x - 12|-|x + 7| = 25 .

.

Intervall 1 2 3




xx < -7 - 7 x < -4x 4




|x + 7|- x - 7x + 7x + 7
|3x - 12|- 3x + 12- 3x + 123x - 12




|3x - 12|-|x + 7|- 4x + 5- 2x + 194x - 5




zusammen: - 2x = 6- 4x = 202x = 44
x1 = -3x = -5x = 22
.
.
L = -5, 22 .
.

.
0/1/3/1/6

0/1/3/2

2.3.2 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/1/4

2.4 Ungleichungen

0/1/4/0

Während bei Gleichungen zwei Terme mit dem Gleichheitszeichen verknüpft werden, werden mit .
Ungleichungen Größenvergleiche formuliert und untersucht. Jede Ungleichung besteht aus zwei .
Termen, die durch eines der Vergleichszeichen .
< (Kleinerzeichen), .
(Kleinergleichzeichen), .
(Größergleichzeichen) oder .
> (Größerzeichen) verbunden sind. .
0/1/4/1

2.4.1 Äquivalenzumformungen

Die Regeln der Äquivalenzumformungen bei Gleichungen gelten bei Ungleichungen nur mit wesentlichen Einschränkungen. .

0/1/4/2

2.4.2 Bestimmen der Lösungen

0/1/4/2/0

Meist hilft der folgende Weg: Man bringt alle Glieder auf eine Seite und ersetzt zunächst das Relationszeichen durch das Gleichheitszeichen. Ist diese neue Funktion stetig, bestimmt man einfach die Nullstellen der Gleichung und unterteilt entsprechend in diese Intervalle. Nun setzt man dann -analog zu Betragsgleichungen- im jeweiligen Intervall einen geeigneten x-Wert ein: Ist die Relation für diesen x-Wert erfüllt, so ist dieses Intervall Teil der Lösungsmenge. .
Weist die Funktion Unstetigkeitsstellen auf, muss man an diesen Stellen jeweils in weitere Invervalle unterteilen und je Intervall die Betrachtung anstellen. .
0/1/4/2/1 .
Beispiel 2 - 14
(x - 5) (x - 3) (x - 2) x (x - 1) 0 oder .
x5 - 11 * x4 + 41 * x3 - 61 * x2 + 30 * x 0 .


PIC .

Abbildung 5: x5 - 11 * x4 + 41 * x3 - 61 * x2 + 30 * x

.

Die Nullstellen sind: 5, 3, 2, 0,-1. .
Wählt man nun für x = 6, 4, 2.5, 1,-0.5,-2, so erkennt man schnell die Intervalle: .
- 1 x 0 .
2 x 3 .
5 x. .

.
0/1/4/2/2

0/1/4/3

2.4.3 Betragsungleichungen

0/1/4/3/0

Durch Fallunterscheidung wird wie bei den Betragsgleichungen in Bereiche unterteilt. Der weitere Lösungsweg geht wie oben beschrieben. .
0/1/4/3/1 .
Beispiel 2 - 15
|2x - 1| > x .

Zunächst: Betrachtung der Gleichung |2x - 1| = x .
Untervallunterteilung (Zahlenstrahl !): x = 1 2 .
Fallunterscheidungen:

Int. 1 2



x < 1 2x 1 2



2x - 1 < 0 0



Gl. - 2x + 1 = x2x - 1 = x
3x = 1
x = 1 3x = 1




Jetzt: Betrachtung der Intervalle .
.




1.x < 1 3Einsetzen von z.B. x = 0 erfüllt Relation. .



2. 1 3 < x < 1 2Einsetzen von z.B. x = 0, 4 erfüllt Relation nicht. .



3. 1 2 x < 1Einsetzen von z.B. x = 0, 7 erfüllt Relation nicht. .



4. x > 1Einsetzen von z.B. 2 erfüllt Relation. .



.
.
L1 = {x |x < 1 3}, .
L2 = {x |x > 1}, .
L = L1 L2 = {x |x < 1 3,x > 1} .
Zeichnen mit Maple: .
.
plot([abs(2*x-1),x],x=-10..10,y=-1..20) .
.
oder Maxima: .
.
plot2d([abs(2*x-1),x],[x,-5,5]); .
.

.
0/1/4/3/2

0/1/4/3/3 .
Beispiel 2 - 16
|x + 3| + |x + 4| < 9 .

Fallunterscheidungen:

Int. 1 2 3
x < -4 - 4 x < -3x -3




x+3 <0 <0 >0
x+4 <0 >0 >0




Gl. - (x + 3) - (x + 4) < 9- (x + 3) + (x + 4) < 9(x + 3) + (x + 4) < 9
- x - 3 - x - 4 < 9- x - 3 + x + 4 < 9x + 3 + x + 4 < 9
- 2x - 7 < 91 < 92x + 7 < 9
x > -8 erfüllt im x < 1
ganzen Intervall

L1 = {x |- 8 < x < -4}, .
L2 = {x |- 4 x < -3}, .
L3 = {x |- 3 x <}, .
L = L1 L2 L3 = {x |- 8 < x < 1}} .

alternativ mit Maple: .
solve(abs(x+3)-abs(x+4)<9,x) .

.
0/1/4/3/4

0/1/4/3/5 .
Beispiel 2 - 17
Stellen Sie die Ungleichung 0 < x < 10 in eine Betragsgleichung um .

- a < x + b < a .
.
Links und rechts muss der gleiche Betrag, aber mit unterschiedlichen Vorzeichen stehen .
- 5 < x - 5 < 5 .
|x - 5| < 5 .
.
0/1/4/3/6

0/1/4/3/7 .
Beispiel 2 - 18
(x + 1)2 |x| .

Betragszeichenauflösung: .
.
Intervall I: x 0 .
(x + 1)2 x .
x2 + 2x + 1 x x2 + x + 1 0 L =

Intervall II: x < 0 .
(x + 1)2 < -x .
x2 + 2x + 1 < -x .
x2 + 3x + 1 0 .
= 0 setzen: .
x1 = -3 2 -1 25 .
x2 = -3 2 + 1 25 .
Wie vor Intervalle untersuchen: .
L = x|-3 2 -1 25 x -3 2 + 1 25 .
Zeichnung mit Maple: .


PIC .

Abbildung 6: Betragsungleichung (x + 1)2 |x|

plot([(x + 1)2,abs(x)],x = -5..5,y = -0..10) .

.
0/1/4/3/8

0/1/4/4

2.4.4 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .