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12 Hyperbel- und Areafunktionen
0/11/1
12.1 Hyperbelfunktionen
0/11/1/0
12.1.1 Hyperbelsinus und - cosinus
0/11/1/0/0
Die Begriffe Hyperbelfunktion , Hyperbelsinus sowie Hyperbelcosinus leiten sich aus der
Beziehung .
ab, die
ähnlich zu .
ist. .
0/11/1/0/1 .
Beispiel 12 - 68
.
.
.
.
.
.
.
0/11/1/0/2
.
.
.
.
.
Additionstheoreme : .
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Technische Anwendung: Die Kettenlinie .
0/11/1/0/3 .
Beispiel 12 - 69
Kettenlinien werden durch eine Funktion
beschrieben. .
Zwei Masten sind 40 m voneinander entfernt. Eine Leitung (=’Kette’) zwischen diesen zwei
Befestigungen hat in der Mitte einen Abstand von 10 m zum Erdboden. Wie hoch sind die Masten ?. .
.
.
Herleitung (für Interessierte): Die Masse eines kleinen Teilstücks der Länge
, das in
x- und y-Richtung (mit noch unbekannten Beträgen) ausgedehnt ist, beträgt nach Phytagoras (mit
als
Gewicht pro Länge):
. .
.
Differentiell ausgedrückt:
. .
.
Die (feste, aber noch unbekannte) Länge erhält man über
. .
Die Energie pro Teilstückchen
ist
.
.
Damit wird für die Gesamtenergie
. , die es
zu minimieren gilt. Hierzu subtrahiert man auf beiden Seiten einen Wert für eine Länge
:
.
.
.
Für diese Energie sucht man nun ein Minimum, was folgende Gleichung ergibt:
. .
.
Diese (Differential-) gleichungen werden gelöst durch folgende Funktion:
. .
.
ist
der Krümmungsradius am Scheitelpunkt und gleichzeitig der Vergrößerungsfaktor.
.
Im symmetrischen Fall (gleich hohe Aufhängepunkte) lautet die Gleichung
.
Durch geeignete Wahl der Ausgangsbedingungen kann man
eliminieren.
.
zur Aufgabe: .
1. Scheitelpunkt mit
.
2. Aufhängepunkte : .
.
.
0/11/1/0/4 .
0/11/1/0/5
0/11/1/0/6 .
Beispiel 12 - 70:
Fall
mit Luftwiderstand .
| | | | Reibungskraft, mit const. |
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0/11/1/0/7
0/11/1/0/8 .