0

0/10

11 Periodische Funktionen

0/10/3

11.3 Arkus-Funktionen

0/10/3/0

11.3.1 Umkehrung trigonometrischer Funktionen

0/10/3/0/0

Die Arkus-Funktionen stellen die Umkehrung trigonometrischer Funktionen dar.
0/10/3/0/1


PIC .

Abbildung 1: periodische Funktion

0/10/3/0/2 .
Von periodischen Funktionen kann nur dann eine Umkehrfunktion gebildet werden, wenn man sich auf einen Teilbereich, den Hauptzweig beschränkt.

0/10/3/1

11.3.2 Arkussinusfunktion


sin xzwischen -π 2 x π 2 streng monoton wachsend
PIC PIC

Abbildung 3: Funktion und Umkehrfunktion von y = sin(x)

0/10/3/2

11.3.3 Arkuscosinusfunktion


cos xzwischen 0 x π streng monoton fallend
PIC PIC
y = cos(x) y = arccos(x)

Abbildung 4: Funktion und Umkehrfunktion von y = cos(x)

0/10/3/3

11.3.4 Arkustangensfunktion

0/10/3/3/0

0/10/3/3/1


PIC .

Abbildung 5: Arkustangensfunktion

0/10/3/3/2 Zeichnen .
mit Maple: plot([(tan(x), (arctan(x))],x = -2π..2π,y = -5..5, .
tickmarks = [spacing(π 2 ),default],thickness = 3); .
mit Maxima: plot2d([tan(x),atan(x)], [x,-10, 10], [y,-10, 10]);

0/10/3/4

11.3.5 Trigonometrische (goniometrische) Gleichungen

0/10/3/4/0

Trigonometrische (goniometrische) Gleichungen

0/10/3/4/1 .
Beispiel 11 - 66
Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung cos x + sin 2x = 0. .
.

cos x + sin 2x =0
cos x + 2 sin x cos x =0
cos x(1 + 2 sin x) =0
.
Lösungen ergeben sich, wenn einer der Faktoren Null ist.
1.
cos x = 0

PIC .

Abbildung 6: cos(x) = 0

x1,2 = π 2 + k π

2.
1 + 2 sin x = 0
sin x = -1 2

PIC .

Abbildung 7: sin(x) = -0, 5

x3 = (2k -1 6)π
x4 = (7 6 + 2k)π

.


PIC .

Abbildung 8: cos(x) = 0


PIC .

Abbildung 9: sin(x) = -0, 5

.
0/10/3/4/2 .
Beispiel 11 - 67
Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung cos x + 1 2 sin x = 0. .
.

cos x + 1 2 sin x =0
cos x =-1 2 sin x
cos 2x =1 4 sin 2x
1 - sin 2x =1 4 sin 2x
5 4 sin 2x =1
sin x =±4 5
.
x1k = arcsin 4 5 + 2k π, x2k = arcsin -4 5 + 2k π. .
.

.
0/10/3/4/3 .

0/10/3/5

11.3.6 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .