0

0/2

3 Funktionen und Kurven, Darstellung

0/2/0

0/2/1

3.1 Einleitung

0/2/1/0

0/2/1/1

3.1.1 Definition

Eine Funktion ist eine Vorschrift, die jedem Element x aus einer Menge D genau ein Element y aus einer Menge W zuordnet. .

x:unabhängige Variable
y: abhängige Variable

0/2/2

3.2 Darstellungsformen

0/2/2/0

3.2.1 Wertetabelle
x50100200




f(x)23, 97, 9

0/2/2/1

3.2.2 graphische Darstellung

.









0/2/2/2

3.2.3 analytische Darstellung

.









0/2/2/3

3.2.4 Parameterdarstellung

x = x(t) = v0 t .
y = y(t) = g 2 t2 .
.
Parameterdarstellungen können unter Umständen durch Festlegung einer unabhängigen Variablen (z.B. x) in eine Funktionsdarstellung umgeformt werden, indem man den Parameter (hier t) eliminiert. Hierbei geht allerdings Information verloren (wann befindet sich ein Gegenstand wo ?).

Beispiel 3 - 1: Auflösung .
t = x v0
y = g 2 x2 v02 .

0/2/3

3.3 Algemeine Eigenschaften von Funktionen

0/2/3/0

3.3.1 Nullstellen

für x = x0 wird der Funktionswert f(x) = 0
0/2/3/1

3.3.2 Symmetrieverhalten

0/2/3/1/0

gerade Symmetrie oder y-Achsensymmetrie: f(-x) = f(x) für jedes x D

0/2/3/1/1


PIC .

Abbildung 1: Gerade Symmetrie y = x2

0/2/3/1/2 ungerade Symmetrie oder Ursprungssymmetrie: f(-x) = -f(x) für jedes x D

0/2/3/1/3


PIC .

Abbildung 2: Ungerade Symmetrie y = x3

0/2/3/1/4 .
0/2/3/1/5 .
Beispiel 3 - 19
y = 8x5

.

- 8x5 = 8(-x)5 = -8x5

.
0/2/3/1/6

0/2/3/2

3.3.3 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/2/3/3

3.3.4 Monotonie für x1 < x2

Monotonie kann in vier Fälle unterteilt werden. Eine Funktion f(x) heißt .

monoton wachsend, wennf(x1) f(x2)
strengmonoton wachsend, wennf(x1) <f(x2)
monoton fallend, wenn f(x1) f(x2)
strengmonoton fallend, wenn f(x1) >f(x2)

0/2/3/4

3.3.5 Periodizität

0/2/3/4/0

Eine Funktion f(x) heißt periodisch , wenn zu jedem x D auch x + p zum Definitionsbereich gehört und f(x) = f(x + p) gilt.

Beispiel 3 - 20:

sin(x) = sin(x + k π 2)

0/2/3/4/1


PICPIC

Abbildung 1: Periodische Funktion y = sin(x)

0/2/3/4/2

0/2/3/5

3.3.6 Umkehrfunktion

0/2/3/5/0

Eine Funktion f(x) ist umkehrbar, wenn aus x1x2 stets f(x1)f(x2) folgt.
Bestimmung der Umkehrfunktion :

1.
Vertauschen der Variablenbeziehung.
2.
Auflösen nach der abhängigen Variablen.

0/2/3/5/1 .
Beispiel 3 - 20

y =2x + 1

.

y =2x + 1
x =2y + 1
2y =1 - x
y =1-x 2

.
0/2/3/5/2 .
Beispiel 3 - 21

y =x2

.

y =x2
nicht umkehrbar
Sei (x1)(-x1) f(x1)f(-x1)
f(x1) = f(-x1) = (x1)2

.
0/2/3/5/3 Einschränkung des Definitionsbereichs auf + oder - macht f(x) = x2 umkehrbar, denn dann ergibt sich durch Vertauschen der Variablen y = x.

0/2/3/5/4


PIC .

Abbildung 2: Umkehrfunktion

0/2/3/5/5

Wichtig:

0/2/3/6

3.3.7 Übersicht: Bestandteile einer Kurvendiskussion

0/2/4

3.4 Lineare Transformationen

0/2/4/0

3.4.1 Koordinatentransformation

0/2/4/0/0

je nach Problemstellung läßt sich eine Lösung mit Hilfe einer Koordinatentransformation besser erarbeiten.
0/2/4/0/1 .
Beispiel 3 - 22
(x - 1)2 + (y - 2)2 = 4

.

u=x - 1 v =y - 2
Transformationsgleichungen
.
.
Bestimmung der Lage der x-Achse: Setze y = 0, und man erhält v = -2. .
Bestimmung der Lage der y-Achse: Setze x = 0, und man erhält u = -1. .

PIC .

Abbildung 4: Koordinatentransformation

.
0/2/4/0/2

y = f(x) .
mit x = u + a und y = v + b wird daraus v + b = f(u + a)

0/2/4/0/3 .
Beispiel 3 - 23
y = x2 + 2x + 3 .

y = x2 + 2x + 3

y =x2 + 2x + 3
=(x2 + 2x + 1) + 2
=(x + 1)2 + 2
y - 2 =(x + 1)2 v = y - 2u = x + 1v = u2

PIC .

Abbildung 5: Koordinatentransformation

.
.

.
0/2/4/0/4

0/2/5

3.5 Polarkoordinaten

0/2/5/0

3.5.1 Polarkoordinaten im Zweidimensionalen

0/2/5/0/0

0/2/5/0/1


PIC .

Abbildung 6: Polarkoordinaten

0/2/5/0/2

. .

Abstandskoordinater
Winkelkoordinate φ
.

Umrechnung zwischen Polarkoordinaten
x = r cos φ .
y = r sin φ .
r = x2 + y2 .
tan φ = y x .

0/2/5/0/3 .
Beispiel 3 - 24
Zahlenbeispiel .

Wie lautet die Polarkoordinatendarstellung des Punkts P1 = (2,-5) ? .

Der Punkt P1 = (2,-5) hat den Abstand vom Ursprung r = 22 + 52 = 29 5, 36. .
Er liegt im 3. Quadranten, tan(φ) = -5 2 φ = arctan(-5 2 ) -1, 19 -68° .

.
0/2/5/0/4

0/2/5/0/5 .
Beispiel 3 - 25
Zahlenbeispiel .

Gegeben ist ein Punkt P2 mit r = 5 und φ = 5π 4 Wie lautet die Darstellung des Punkts in kartesischen Koordinaten ? .

Der Punkt P2 liegt im 3. Quadranten und hat die x-Koordinate x = 5 cos 5π 4 = -5 1 2 -3.54 und die y-Koordinate y = 5 sin 5π 4 = -5 1 2 -3.54

.
0/2/5/0/6

0/2/5/0/7 .
Beispiel 3 - 26
Archimedische Spirale .


PIC .

Abbildung 7: Archimedische Spirale

r(φ) = 2 φ

φ0π 6 2π 6 3π 6 4π 6 5π 6 π








.
Darstellung: .
r =2φ ist umkehrbar.
x = r cos φ =2φ cos φ
y = r sin φ =2φ sin φ

Nach Elimination von φ ist die Funktion nicht mehr umkehrbar !

.

r(φ) = 2 φ .

φ0π 6 2π 6 3π 6 4π 6 5π 6 π








r 0 1, 052, 093, 144, 195, 246, 28
.
Maple: .
plot([t*cos(t), t*sin(t), t=0..15])
.
0/2/5/0/8

0/2/5/1

3.5.2 Polarkoordinaten im Dreidimensionalen

0/2/5/2

3.5.3 Zylinderkoordinaten

0/2/5/2/0

Bei den Zylinderkoordinaten werden die x- und y-Koordinaten wie Polarkoordinaten behandelt. Zusätzlich kommt eine dritte Dimension z hinzu: .
0/2/5/2/1


PIC .

Abbildung 8: Zylinderkoordinaten

0/2/5/2/2 .

Abstandskoordinater
Winkelkoordinate φ
.
.
Umrechnung zwischen Zylinderkoordinaten und kartesischen Koordinaten .
x = r cos φ
y = r sin φ
z = z
r = x2 + y2
tan φ = y x
.

0/2/5/3

3.5.4 Kugelkoordinaten

0/2/5/3/0

Bei den Kugelkoordinaten wird ein Punkt durch einen Abstand und zwei Winkel beschrieben. .
0/2/5/3/1


PIC .

Abbildung 9: Kugelkoordinaten

0/2/5/3/2 .

Abstandskoordinater
Azimuth φ (Winkel zur x-Achse)
Poldistanz ϑ (Winkel zur z-Achse)
.

Der Winkel φ überstreicht den Bereich zwischen 0 φ 2π. Deshalb kann man jeden Punkt beschreiben, wenn 0 ϑ π. .

0/2/5/3/3 .
Beispiel 3 - 27
Umrechnung zwischen Kugelkoordinaten und kartesischen Koordinaten .

Abstandskoordinate r
Winkelkoordinate φ
x = r sin ϑ cos φ
y = r sin ϑ sin φ
z = r cos ϑ
r = x2 + y2 + z2
.
.
Hat man die Werte y,y,z, lassen sich die anderen Werte einfach über die Beziehungen ermitteln: .

.

r = x2 + y2 + z2 .
ϑ = arccos( z x2 + y2 + z2) .
tan φ = y x .
.
0/2/5/3/4

0/2/5/4

3.5.5 Kugelkoordinaten in der Geographie

0/2/5/4/0

Im World Geographic System (WGS84) -Standard werden Kugelkoordinaten eingesetzt. Allerdings sind die Winkel (angegeben in Grad) anders festgelegt. .
0/2/5/4/1


PIC .

Abbildung 10: Das WGS-Koordinatensystem

0/2/5/4/2

Breitenkoordinate (latitude) φ
Längenkoordinate (longitude)λ
. .
Die Breitenkoordinate φ = 0 liegt auf dem Äquator, die Längenkoordinate λ = 0 geht durch Greenwich (Meridian des Flamsteed House des Royal Greenwich Observatory in London). .
Demzufolge überstreicht die Latitude φ den Bereich zwischen 90o S(üd) φ 90o N(ord). .
Die Longitude λ überstreicht den Bereich zwischen - 180o W(est) φ 180o E(st). .
Bei einem Erdumfang von 40.000 km errechnet sich der Erdradius zu ca. 6366 km, der Äquatorradius liegt bei 6378 km. .
Koordinaten von Pirmasens: 49 °12’ 44” N und 07 °36’ 12” E .

Umrechnungen: .

1 Breitengrad 111 km
1 Breitenminute 1,852 km oder 1 nautische Meile
1 Breitensekunde ca. 30 m
1 Längengrad am Äquator111 km
1 Längengrad in Pirmasensca. 72 km

0/2/5/4/3 .
Beispiel 3 - 28
Zahlenbeispiel .

Der Flughafen Frankfurt-Hahn liegt auf 49 °56,92’ N und 07°15,83’ E .
Der Flugplatz Pirmasens liegt auf 49 °12,57’ N und 07°24,04’ E .
Wie weit sind die beiden Orte voneinander entfernt ? .
(Nehmen Sie an, daß Längen- und Breitengrade rechtwinklig zueinander stehen) .
.

1 Breitenminute = 1,852 km .
1 Längenminute = 1,852* sin(90 °- Breite) .
Δlat = 8, 21 cos(φ) = 8, 21 0, 656 6, 2km .
Δlong = 44, 35nm 81, 9km .
Abstand d = x2 + x2 82km. .

.
0/2/5/4/4

0/2/5/4/5 .
Beispiel 3 - 29
Der Sextant .
Es gibt immer einen Punkt auf der Erde, über dem die Sonne senkrecht steht, dem (Sonnen-)Bildpunkt. Dieser wird für die jeweilige Zeit im ’nautischen Jahrbuch’ veröffentlicht. (Natürlich kann man ihn auch selbst berechnen.) .


PIC .

Abbildung 11: Peilung mit dem Sextanten

.

Der Winkel β = π 2 - α im Bogenmass mal Erdradius (ca. 6400 km) gibt den Abstand des Beobachters vom Bildpunkt an. .
oder für Seemänner: .
Der Winkel β = 90°α umgerechnet in Bogenminuten gibt den Abstand des Beobachters vom Bildpunkt in nm an. .
Der Sonnenbildpunkt bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 0,25 Seemeile pro Sekunde auf der Erdoberfläche (2π pro Tag!). .
Kenne ich die Koordinaten des Sonnenbildpunktes zum Zeitpunkt der Messung und die Himmelrichtung, kann ich daraus meine Position bestimmen. .

(Lehrbücher: Abstand in sm = 60 * arccos(sin BG * sin BB + cos BG * cos BB * cos(LB-LG)) .
BB = Breite Bildpunkt .
LB = Länge Bildpunkt .
BG = Breite geschätzte Position .
LG = Länge geschätzte Position .

.
0/2/5/4/6