0

0/18

19 Vektorrechnung im 3-dimensionalen

0/18/0

0/18/0/0 .
Beispiel 19 - 180
Darstellung von Vektoren im Dreidimensionalen .


PIC .

Abbildung 1: Dreidimensionale Darstellung

#e x = 1 0 0 .
Der Ortsvektor des Punktes P = (3; -2; 1) lautet .

#
r (P) =

#
OP = 3

                                                                                                 #
                                                                                                 e x-2

                                                                                                                                                                                                  #
                                                                                                                                                                                                  e y+1

                                                                                                                                                                                                                                                                                                  #
                                                                                                                                                                                                                                                                                                  e z = 3 -2 1 .
|

#r (P)| = 32 + (-2)2 + 12 = 14 3, 7. .

.
0/18/0/1

Komponentendarstellung: .

p = px py pz .
Betrag des Vektors:
|p| = px 2 + py 2 + pz 2
.

Feststellung der Gleichheit von Vektoren: .

p1 -p2 =0
bzw. komponentenweise:
p1x -p2x =0
p1y -p2y =0
p1z -p2z =0

0/18/1

19.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

0/18/1/0

λ a =λ ax ay az = λ ax λ ay λ az
.
0/18/1/1 .
Beispiel 19 - 181
Eine Masse von m = 5 kg erfahre durch eine Kraft

 #
F eine Beschleunigung

#a = 2 -1 4 m s2. .
Bestimmen Sie den Vektor der Kraft

#
F . .

Mit

#F = m

                   #a erhält man .

 #
F = 5kg 2 -1 4 m s2 = 10-5 20 kgm s2 = 10-5 20 N.

.
0/18/1/2 Unter der Normierung von Vektoren versteht man die Bildung eines Einheitsvektors in Richtung des vorhandenen Vektors: a|a | .
0/18/1/3 .
Beispiel 19 - 182
Normierung des Vektors .

 #
a = 2 -1 2
.

|

#a | = 22 + 12 + 22 = 9 = 3.

 #
ea =

#a |

#a | = 2 3 -1 3 2 3 .
Der neue Vektor hat den Betrag 1.

.
0/18/1/4 .
0/18/1/5 .
Beispiel 19 - 183
Welcher Punkt liegt in der Mitte der Punkte P1 = (-4; 3; 2) und P2 = (1; 0; 4) ?


PIC .

Abbildung 2: Punktbestimmung

.

Der Punkt

#P1Q ist parallel zum Vektor

#
P1P2  , jedoch nur von halber Länge:

 #
P1Q = 1 2

                     #
                    P1P2  . .
Der Ortsvektor zum Punkt Q kann konstruiert werden als: .

#r (Q) =

#r (P1)+

                                                                                                   #
                                                                                                   P1Q =

                                                                                                                                                                                                   #r (P 1)+1 2

                                                                                                                                                                                                                                                                                                       #
                                                                                                                                                                                                                                                                                                       P1P2  .

#r (P1) = -4 3 2 .

 #
P1P2 = 5 -3 2 .
Damit erhält man .

#r (Q) =

#r (P1)+

                                                                                                   #
                                                                                                   P1Q =

                                                                                                                                                                                                   #r (P 1)+1 2

                                                                                                                                                                                                                                                                                                       #
                                                                                                                                                                                                                                                                                                       P1P2  = -4 3 2 + 2, 5 -1, 5 1 = -1, 5 1, 5 3 .

.
0/18/1/6 .

0/18/2

19.2 Skalarprodukt

0/18/2/0

a b = |a||b| cos φ .

Kommutativgesetz:a b =b a
Distributivgesetz: a (b + c) =a b + a c
Orthogonalität: a b =0

ab = ax ay az bx by bz = axbx+ayby+azbz.
0/18/2/1 .
Beispiel 19 - 184
Skalarprodukt (I)
Wie groß ist der Winkel φ zwischen den beiden Vektoren

#a = 5 -2 3 und

#
b = 1 2 4 ?

.

cos φ = #a

                     #b |

#
a ||

                      #
                      b | = 5 1 + (-2) 2 + 3 4 52 + 22 + 32 12 + 22 + 42

cos φ = 5 - 4 + 12 38 21 = 13 38 21 0, 46

φ arccos 0, 46 1, 09 62

.
0/18/2/2

0/18/2/3 .
Beispiel 19 - 185
Skalarprodukt (II) .
Wie groß ist der Winkel φ zwischen den beiden Vektoren

#a = 2 1 5 und

#
b = 3 4 -2 ?

.

#a

         #b = 6+4-10 = 0. .

#a steht senkrecht auf

#
b . .

.
0/18/2/4

0/18/3

19.3 Richtungswinkel eines Vektors

0/18/3/0

Die Richtungswinkel eines Vektors zu einer der Achsen erhält man analog über das Skalarprodukt:
.
cos α = a ex |a||ex | = ax ay az 1 0 0 |a| .
.
cos β = a ey |a||ey | .
.
cos γ = a ez |a||ez | .

0/18/3/1 .
Beispiel 19 - 186
Wie groß ist der Winkel β zwischen dem Vektor a und der y-Achse .

#a = 2 -1 -2 ? .

β = arccos 2 -1 -2 0 1 0 9 = arccos -1 3 1, 90 109

.
0/18/3/2 .
Projektion eines Vektors auf einen anderen Vektor: .
0/18/3/3 .
Beispiel 19 - 187
Beispiel: Kraft

#F = 4 2 6 N entlang eines Wegs mit der Richtung

#r = 2 -1 2

.


PIC .

Abbildung 3: Projektion

#F

#s = 2 -1 2 = 4 2 6 N 2 -1 2 = (8-2+12)N = 18N

 #
Fs = (

#
F

                                                                                          #
                                                                                          r  |

                                           #r  |2 )

                                                                                                                                                                                       #s = 18N 9 2 -1 2 N = 4 -2 4 N. .

.
0/18/3/4 .
Analog mit den Vektoren a und b: .
|ba | = |b| cos φ .
.
a b = |a||b| cos φba .
.
ba = |b| cos φ = b a |a | .
.
Durch Projektion des Vektors b auf a entsteht der Vektor .
.
ba = a b |a |2 a .

0/18/4

19.4 Vektorprodukt

0/18/4/0

c = a ×b
Es gilt:

1.
c a, c b
2.
|c| = |a||b| sin α
3.
a,b,c bilden ein rechtshändisches System

0/18/4/1 .
Beispiel 19 - 188

#
c =

#
a ×

                                                                                          #
                                                                                          b . .

.


PIC .

Abbildung 4: Rechtssystem

bzw. mit x,y, z dargestellt:

#c =

                      #a ×

                                                                                                                    #b . .

.
0/18/4/2 .

F = q (v ×B)
.
Der Betrag des Kreuzproduktes entspricht der Fläche des aufgespannten Parallelogramms .
Rechengesetze für das Kreuzprodukt bzw. Vektorprodukt :

Zwei von Null verschiedene Vektoren sind kollinear, wenn das Vektorprodukt verschwindet. .
Zur Berechnung des Vektorprodukts: a×b = exeyez axayaz bx bybz .

Anwendungsmöglichkeit: Fläche eines aufgespannten Parallelogramms .
0/18/4/3 .
Beispiel 19 - 189
Fläche eines Parallelogramms .
a = 1 -5 2 b = 2 0 3 .
.

gesucht: Fläche des aufgespannten Parallelogramms .
.


PIC .

Abbildung 5: Fläche eines Parallelogramms

.
a×b = ex ey ez ex ey 1 - 5 2 1 - 5 2 0 3 2 0 =.
.
= ex (-15) + ey 4 + ez 0 -ex 0 -ey 3 + ez 10 = .
.
= -15ex + ey + 10ez = .
.
.
= -15 1 10 .
.
.
A = |a ×b| = 152 + 1 + 100 18

.
0/18/4/4

0/18/4/5 .
Beispiel 19 - 190
gesucht: Fläche eines Parallelogramms a = 1 2 8 b = 4 3 5 .
.

.

a×b = xyz 1 2 8 12 4 3 5 4 3 = 10 - 24 32 - 5 3 - 8
= - 14 27 - 5
.
.
A = 142 + 272 + 52 = 950 30, 8.

.
0/18/4/6 Anwendungen Die Lorentzkraft .
FL = q (v ×B)

q: Ladung
v: Geschwindigkeit
B: Magnetfeld

0/18/4/7 .
Beispiel 19 - 191
Wie groß ist die Kraft (Lorentzkraft) auf ein geladenes Teilchen ? .

#v

= 2000 2000 0 m s
B = 0 0 0, 1 vs m2
q =1, 6 10-19c

.

#Fl

=q2000 2000 0 × 0 0 0, 1 m s vs m2 x y z 20002000 0 0 0 0, 1 = 200 -200 0
=q 200 -200 0 v m

.
0/18/4/8

Das Drehmoment 0/18/4/9 .
Beispiel 19 - 192
Gegeben: eine Scheibe mit Drehachse z

#r = 0 1 0 ,

 #
F = -1 0 0 . Wie groß ist das Drehmoment, und in welche Richtung zeigt es ?

.


PIC .

Abbildung 6: Drehmoment

.

#M =

#r ×

                                                                                          #F = x yz 0 1 0 -100 .

 #
M =

#
r ×

                                                                                          #
                                                                                          F = 0 0 1 .

.
0/18/4/10

0/18/4/11 .
Beispiel 19 - 193
Drehmoment an einer Garnrolle

.


PIC .

Abbildung 7: Drehmoment an einer Garnrolle

.
Achtung ! Drehpunkt ist Berührpunkt mit Unterlage .

.
0/18/4/12

Die Coriolislkraft ist definiert als F = 2m (v ×ω). .
0/18/4/13 .
Beispiel 19 - 194
An einem Ort von 45°geographischer Breite fällt ein 10 kg schwerer Gegenstand mit 100 m/s auf die Erdoberfläche. Wie groß ist die Coriolis-Kraft beim Auftreffen auf die Erde ?

.


PIC .

Abbildung 8: Corioliskraft

.
Fc = 2m|ω ×v| = 2mωvsin(π + φ) = 2mωvsin(φ); .
ω = 2π 84600s und R = 6370000m .
Fc = 2 10km 2 86400s 102ms-1 2 2 = 0, 104N.

.
0/18/4/14

Anwendungsbeispiel : Ermittlung des Abstands eines Punkts von einer Geraden .
Das Prinzip: .

0/18/4/15 .
Beispiel 19 - 195
Abstand Punkt zu einer Geraden .


PIC .

Abbildung 9: Abstand Punkt - Gerade

.
(Vektoren zum Ursprung einzeichnen !). .

.
0/18/4/16 .
Daraus lässt sich der Abstand h errechnen: h = A |a| = |a×b| |a|

0/18/4/17 .
Beispiel 19 - 196
Gegeben ist der Vektor

#
a = 1 -5 2 und der der Ortsvektor

#
b = 2 0 3 , Bestimmen Sie den Abstand des Punkts

#
b von

#
a . .

#
a ×

          #
          b = -15 - 0 4 - 3 0 + 10 = -15 1 10 .
A = |

#a ×

 #
 b | 18
|a| = 29 5, 4. .
d = A |a| 3, 33. .
Achtung: wird eine Gerade mit einem Ortsvektor

#
0 verwendet, muß der Bezug zu anderem Ursprung berücksichtigt werden, s. vk9031. .

.
0/18/4/18

0/18/5

19.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt)

0/18/5/0

0/18/5/0/0

[abc] = a (b ×c)

[abc] = axayaz bx bybz cx cycz =[bca] =[cab]
.
Zum Vergleich - Das Volumen eines Quaders:
A h =A a cos φ
=|a||b ×c| cos φ

Das Spatprodukt entspricht dem Volumen des aufgespannten Spats, .
0/18/5/0/1 .
Beispiel 19 - 197
Gesucht ist das Volumen des von den Vektoren .

#a = 2 0 5

#
b = -1 5 -2

                                                                                             #c = 2 1 2


aufgespannten Spats. .

.


PIC .

Abbildung 10: Spatprodukt

.

[

#a

#
 b

                                                                                         #c ]

= 2 0 5 -1 5 -2 2 1 2 =20 + 0 - 5 - (50 - 4 + 0) =- 31
.
0/18/5/0/2

0/18/5/0/3 .
Beispiel 19 - 198
Lage von Vektoren zu einer Ebene .
gegeben:

#a = 1 4 2

       #b = 0 -1 3

                                                                                                     # c = 2 5 13


Liegen die Vektoren in einer Ebene ?

.

Diese Frage ist gleichwertig mit der Feststellung, ob das Volumen des aufgespannten Spats Null ist (vorausgesetzt, die Grundfläche ist verschieden von Null): .
[

#a

#
b

                                                                                      #c ] = 1 4 2 0 -1 3 2 5 13 = -13+24+0+4-15-0 = 0.
Die Vektoren liegen in einer Ebene.

.
0/18/5/0/4

0/18/5/1

19.5.1 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .