0

0/10

11 Periodische Funktionen

0/10/1

11.1 Trigonometrische Funktionen

0/10/1/0

11.1.1 sin- und cos-Funktion

0/10/1/0/0


PIC .

Abbildung 1: Trigonometrische Beziehungen

0/10/1/0/1

sin α = Gegenkathete Hypothenuse .
cos α = Ankathete Hypothenuse .
tan α = Gegenkathete Ankathete = sin α cos α .
cot α = Ankathete Gegenkathete = cos α sin α .
.
Sinussatz bei allgemeinen ebenen Dreiecken: .
a sin α = b sin β = c sin γ .
Kosinussatz bei allgemeinen ebenen Dreiecken: .
a2 = b2 + c2 - 2bc cos α .
b2 = c2 + a2 - 2ca cos β .
c2 = a2 + b2 - 2ab cos γ .

Achtung bei Bogenmaß !!! .
.

0/10/1/0/2


PIC .

Abbildung 2: Das Bogenmaß

0/10/1/0/3 .

x α = 2π 360α = x 2π 360 .

Merkhilfe: .
.

α =030456090






x 0π 6 π 4 π 3 π 2
sin α1 201 211 221 231 24
cos α1 241 231 221 211 20



Drehsinn von α: Gegen den Uhrzeigersinn 0/10/1/0/4

PIC .

Abbildung 3: Drehsinn

0/10/1/0/5

.

y = sin xy = cos x




D- < x < - < x <
W- 1 y 1- 1 y 1
Periode 2π2π
Symmetrie ungerade gerade
Nullstellen xk = k πxk = π 2 + k π
relative Min. xk = 3 2π + k 2πxk = π + k 2π
relative Max. xk = π 2 + k 2πxk = k 2π
.
.
.

0/10/1/1

11.1.2 tan- und cot-Funktion

.

y = tan xy = cot x




Dx \x = π 2 + k πx \x = k π
W- < y < - < y <
Periode ππ
Symmetrie ungerade ungerade
Nullstellen xk = k πxk = π 2 + k π
Pole xk = π 2 + k πxk = k π
.
.
.
0/10/1/2
11.1.3 Wichtige Beziehungen

0/10/1/2/0

.

sin(α + n 2π) = sin α
sin(-α) =- sin α
cos(α + n 2π) = cos α
cos(-α) = cos α
cos(α) = sin(α + π 2 )
sin(α) = cos(α -π 2 )
.
0/10/1/2/1

PIC .

Abbildung 4: Einheitskreis

0/10/1/2/2

.
cos 2α + sin 2α = 1

Additionstheoreme

.

sin(x1 ± x2) = sin x1 cos x2 ± cos x1 sin x2
cos(x1 ± x2) = cos x1 cos x2 sin x1 sin x2
tan(x1 ± x2) = (tan x1 ± tan x2) (1 tan x1 tan x2)
Beispiel 11 - 1:
sin 2α =2 sin α cos α
cos 2α = cos 2α - sin 2α
1 2[1 - cos(2α)] =1 2[1 - cos 2α + sin2α]
=1 2[sin 2α + sin2α]
= sin 2α
.
ebenso: .
sin 2α = 1 2(1 - cos 2α) .
cos 2α = 1 2(1 + cos 2α) .
cos 2α = 2 cos 2α - 1 = 1 - 2 sin 2α = cos 2α - sin 2α