0

0/15

16 Determinanten

0/15/0

16.1 Einstieg

0/15/0/0

16.1.1 zweireihige Determinanten

0/15/0/0/0

2 × 2 Gleichungssysteme A x = c können wie folgt umgeformt werden:

a11x1 + a12x2 =c1 a22
a21x1 + a22x2 =c2 (-a12)

a11a22 x1 +a12a22 x2= c1 a22 -a12a21 x1-a12a22 x2=-c2 a12
+


a11a22 x1 - a12a21 x1 = c1 a22 - c2 a12
(a11a22 - a12a21)x1 = c1 a22 - c2 a12
x1 = c1 a22 - c2 a12 a11a22 - a12a21 , analog:
x2 = c2 a11 - c1 a21 a11a22 - a12a21 Beide Nenner sind gleich.
.
Bildet man aus der Koeffizientenmatrix .

A = a11a12 a21 a22 den Wert D = a11 a22 - a21 a12,
.
hat man die Koeffizientendeterminante der Matrix A bestimmt.
Da die Koeffizientenmatrix eine 2x2-Matrix ist, spricht man von einer 2-reihigen Koeffizientendeterminanten oder Koeffizientendeterminanten 2. Ordnung.

Ist der Wert der Determinanten D = 0, so hat das Gleichungssystem keine (bzw. bei einem homogenen Gleichungssystem unendlich viele) Lösung(en). .
Determinanten lassen sich nur für quadratische Matrizen (d.h. die Matrix hat genau so viele Zeilen wie Spalten) angeben. .

Rechenregel zur Bestimmung einer 2x2-Determinanten: .

D = det A = a11 a12 × a 21 a22 = |A| = |aik|
.

Die Determinante erhält man, indem man das Produkt der Hauptdiagonal-Elemente bildet und davon das Produkt der Nebendiagonal-Elemente subtrahiert:

det A = det a11a12 a21 a22 = a11a22-a21a12
.
Beispiel 16 - 1:

det A = 5 3 -10 -6 = -30+30 = 0.

0/15/0/0/1 .
Beispiel 16 - 143

1.
det A = 3 5 -2 -4 =
2.
det A = 10 0 1 =
3.
det A = 5 3 -10 -6 =

.
.

1.
det A = 3 5 -2 -4 = 3-4-(-2)5 = -12-(-10) = -2
2.
det A = 10 0 1 = 10-00 = 1
3.
det A = 5 3 -10 -6 = 5(-6)-(-10)3 = 0

.
0/15/0/0/2

0/15/0/1

16.1.2 allgemeine Rechenregeln für Determinanten

Die hier aufgeführten Rechenregeln gelten auch für Determinanten höherer Ordnung:

1.
Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man Zeilen und Spalten vertauscht
2.
Beim Vertauschen zweier Zeilen (bzw. Spalten) ändert sich das Vorzeichen
3.
Multlipliziert man eine Zeile (bzw Spalte) mit λ, dann multipliziert sich die Determinante
mit λ
4.
Eine Determinante besitzt den Wert 0, wenn
(a)
alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) Null sind
(b)
Zwei Zeilen (oder Spalten) gleich sind
(c)
Zwei Zeilen (oder Spalten) zueinander proportional sind
(d)
Eine Zeile (oder Spalte) als Linearkombination der übrigen Zeilen (oder Spalten) darstellbar ist.
5.
Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) das Vielfache einer anderen Zeile (oder Spalte) addiert.
6.
det(A B) = det A det B
7.
Dreiecksmatrizen

A = a11a12a13 0 a22a23 0 0 a33
.

haben als Determinante das Produkt der Hauptdiagonalen
det A = a11 a22 a33 = ia ii

Beispiel 16 - 144:

1.
Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man Zeilen und Spalten vertauscht: .

det AT = det A

det A = 8 5-3 2 = 16+15 = 31 .
.
det AT = 8-3 5 2 = 16+15 = 31
.

2.
Beim Vertauschen zweier Zeilen (bzw. Spalten) ändert sich das Vorzeichen: .

det A = 7 3 4 -1 = -7-12 = -19

det A = 4-1 7 3 = 12+7 = 19 .

3.
Multlipliziert man eine Zeile (bzw Spalte) mit λ, dann multipliziert sich die Determinante
mit λ : .
det A = 2 52 5 -3 2 = 20+30 = 50 = 225 = 2 5 5-3 2
.
.
(Achtung! Nicht verwechseln mit der (Skalar-)Multiplikation bei Matrizen/Vektoren!)
4.
Eine Determinante besitzt den Wert 0, wenn
(a)
alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) Null sind
(b)
Zwei Zeilen (oder Spalten) gleich sind
(c)
Zwei Zeilen (oder Spalten) zueinander proportional sind
(d)
Eine Zeile (oder Spalte) als Linearkombination der übrigen Zeilen (oder Spalten) darstellbar ist: .
det A = 15 0 0 = 0 det B = 43 4 3 = 0 det C = 42 8 4 = 0
.
5.
Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) das Vielfache einer anderen Zeile (oder Spalte) addiert: .

det A = -65 1 4 = -24-5 = -29

Addition des 6-fachen von Zeile II zu Zeile I:

det A = 029 1 4 = 0-29 = -29
.

6.

det(A B) = det A det B .

A = 1 4 5 -2 B = -2-3 4 1


det A det B = (-22) (10) = -220

det(AB) = 14 1 -18 -17 = -220
.
7.
Dreiecksmatrizen haben als Determinante das Produkt der Hauptdiagonalen

det A = a11 a22 a33 = ia ii : .

det A = 5-4 0-3 = 5(-3)-0(-4) = 5(-3) = -15

.