0
0/2
0/2/0
0/2/1
0/2/1/0
0/2/1/1
Eine Funktion ist eine Vorschrift, die jedem Element x aus einer Menge
genau ein Element
y aus einer Menge
zuordnet. .
| x: | unabhängige Variable |
| y: | abhängige Variable |
0/2/2
0/2/2/0
0/2/2/1
.
0/2/2/2
.
0/2/2/3
.
.
.
Parameterdarstellungen können unter Umständen durch Festlegung einer unabhängigen Variablen
(z.B. )
in eine Funktionsdarstellung umgeformt werden, indem man den Parameter (hier
)
eliminiert. Hierbei geht allerdings Information verloren (wann befindet sich ein Gegenstand wo
?).
Beispiel 3 - 1:
Auflösung .
.
0/2/3
0/2/3/0
für wird der
Funktionswert
0/2/3/1
0/2/3/1/0
gerade Symmetrie oder -Achsensymmetrie:
0/2/3/1/1
0/2/3/1/2 ungerade Symmetrie oder Ursprungssymmetrie:
0/2/3/1/3
0/2/3/1/4 .
0/2/3/1/5 .
Beispiel 3 - 19
.
0/2/3/2
Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .
0/2/3/3
Monotonie kann in vier Fälle unterteilt werden. Eine Funktion
heißt .
| monoton wachsend, wenn | ||||
| streng | monoton wachsend, wenn | |||
| monoton fallend, wenn | ||||
| streng | monoton fallend, wenn | |||
0/2/3/4
0/2/3/4/0
Eine Funktion heißt
periodisch , wenn zu jedem
auch zum
efinitionsbereich
gehört und
gilt.
Beispiel 3 - 20:
0/2/3/4/1
0/2/3/4/2
0/2/3/5
0/2/3/5/0
Eine Funktion ist
umkehrbar, wenn aus
stets
folgt.
Bestimmung der Umkehrfunktion :
0/2/3/5/1 .
Beispiel 3 - 20
.
.
| nicht umkehrbar | |||
| Sei | |||
0/2/3/5/5
Wichtig:
0/2/3/6
0/2/4
0/2/4/0
0/2/4/0/0
je nach Problemstellung läßt sich eine Lösung mit Hilfe einer Koordinatentransformation besser
erarbeiten.
0/2/4/0/1 .
Beispiel 3 - 22
.
.
0/2/4/0/2
.
mit und
wird
daraus
0/2/4/0/3 .
Beispiel 3 - 23
.
0/2/5
0/2/5/0
0/2/5/0/0
0/2/5/0/1
0/2/5/0/2
. .
| Abstandskoordinate | |
| Winkelkoordinate | |
Umrechnung zwischen Polarkoordinaten
.
.
.
.
0/2/5/0/3 .
Beispiel 3 - 24
Zahlenbeispiel .
Wie lautet die Polarkoordinatendarstellung des Punkts
? .
0/2/5/0/5 .
Beispiel 3 - 25
Zahlenbeispiel .
Gegeben ist ein Punkt
mit
und
Wie lautet die Darstellung des Punkts in kartesischen Koordinaten ? .
0/2/5/0/7 .
Beispiel 3 - 26
Archimedische Spirale .
| ist umkehrbar. | ||||
.
.
| 0 | |||||||
0/2/5/1
0/2/5/2
0/2/5/2/0
Bei den Zylinderkoordinaten werden die x- und y-Koordinaten wie Polarkoordinaten behandelt.
Zusätzlich kommt eine dritte Dimension z hinzu: .
0/2/5/2/1
0/2/5/2/2 .
| Abstandskoordinate | |
| Winkelkoordinate | |
0/2/5/3
0/2/5/3/0
Bei den Kugelkoordinaten wird ein Punkt durch einen Abstand und zwei Winkel beschrieben. .
0/2/5/3/1
0/2/5/3/2 .
| Abstandskoordinate | |
| Azimuth | (Winkel zur x-Achse) |
| Poldistanz | (Winkel zur z-Achse) |
Der Winkel überstreicht den
Bereich zwischen . Deshalb kann man
jeden Punkt beschreiben, wenn .
.
0/2/5/3/3 .
Beispiel 3 - 27
Umrechnung zwischen Kugelkoordinaten und kartesischen Koordinaten .
| Abstandskoordinate | |
| Winkelkoordinate | |
.
0/2/5/4
0/2/5/4/0
Im World Geographic System (WGS84) -Standard werden Kugelkoordinaten eingesetzt. Allerdings
sind die Winkel (angegeben in Grad) anders festgelegt. .
0/2/5/4/1
0/2/5/4/2
| Breitenkoordinate (latitude) | |
| Längenkoordinate (longitude) | |
Umrechnungen: .
| 1 Breitengrad | 111 km |
| 1 Breitenminute | 1,852 km oder 1 nautische Meile |
| 1 Breitensekunde | ca. 30 m |
| 1 Längengrad am Äquator | 111 km |
| 1 Längengrad in Pirmasens | ca. 72 km |
0/2/5/4/3 .
Beispiel 3 - 28
Zahlenbeispiel .
Der Flughafen Frankfurt-Hahn liegt auf 49 °56,92’ N und 07°15,83’ E .
Der Flugplatz Pirmasens liegt auf 49 °12,57’ N und 07°24,04’ E .
Wie weit sind die beiden Orte voneinander entfernt ? .
(Nehmen Sie an, daß Längen- und Breitengrade rechtwinklig zueinander stehen) .
.
0/2/5/4/5 .
Beispiel 3 - 29
Der Sextant .
Es gibt immer einen Punkt auf der Erde, über dem die Sonne senkrecht steht, dem (Sonnen-)Bildpunkt.
Dieser wird für die jeweilige Zeit im ’nautischen Jahrbuch’ veröffentlicht. (Natürlich kann man ihn
auch selbst berechnen.) .
.
(Lehrbücher: Abstand in sm = 60 * arccos(sin BG * sin BB + cos BG * cos BB * cos(LB-LG)) .
BB = Breite Bildpunkt .
LB = Länge Bildpunkt .
BG = Breite geschätzte Position .
LG = Länge geschätzte Position .