0

0/12

13 Differentialrechnung

0/12/3

13.3 Anwendung der Differentialrechnung

0/12/3/7

13.3.7 Extremwertaufgaben

0/12/3/7/0

Extremwertaufgaben können u.U. helfen, Optima herauszufinden. .
gegeben: Zielfunktion .
gesucht: Minimum, Maximum. .
0/12/3/7/1 .
Beispiel 13 - 92
Gegeben sei die Funktion f(x) = 5 - 2x2. Ein Rechteck werde durch die x- und y-Achsen sowie einen Punkt der Funktion f(x) begrenzt.


PIC .

Abbildung 1: f(x) = 5 - 2x2

1.
Zeigen Sie, daß es einen Punkt von f(x) gibt, für den die Fläche des eingeschlossenen Rechtecks maximal wird.
2.
Welchen Wert hat x ?
3.
Wie groß ist die Fläche ?

Lösung :

1.
,
2.
A = x f(x) = 5x - 2x3 .
dA dx = 5 - 6x2 = 0
x1,2 = ±56, nur x1 = 56 macht Sinn. .
d2A dx2 = -12x < 0, also Maximum für x > 0.
3.
A = 5x1 - 2x13 = 5 56 - 2125216 3, 04

.
0/12/3/7/2

0/12/3/7/3 .
Beispiel 13 - 93
Aus einem Baumstamm mit kreisförmigem Querschnitt soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt so herausgeschnitten werden, daß sein Widerstandsmoment W = b h2 6 (Breite b, Dicke h) möglichst groß wird. .


PIC .

Abbildung 2: Baumstamm

Wie groß ist h bzw .b ? .

Mit dem Durchmesser 2R gilt: .
b2 + h2 = (2R)2 = 4R2 h2 = 4R2 - b2 .
.
Das Widerstandsmoment wird damit ausgedrückt: .
.
W(b) = 1 6bh2 = 1 6b(4R2 - b2) = 1 6(4R2b - b3) (für 0.
.
dW db = 1 6(4R2 - 3b2) , d2W db2 = -b .
.

dW db = 0 ergibt: .
.
1 6(4R2 - 3b2) = 0 b 1,2 = ±2 33R. .
.
(Der negative Wert scheidet aus). Maximum: .
d2W db2 (b1 = 2 33R) = -2 33R < 0 .
.
Wmax = W(2 33R) = 8 273R3. .
.
Das Ganze ließe sich auch durch die Balkendicke h ausdrücken, ist aber wesentlich aufwendiger: .
.
W(h) = 1 64R2 - h2 h2 = 1 64R2 h2 - h6.

.
0/12/3/7/4

0/12/3/7/5 .
Beispiel 13 - 94
Gegeben ist eine Lampe mit der Lichtstärke L.


PIC .

Abbildung 3: Lampe am Tisch

In Punkt P gilt für die Helligkeit:
B = L r-2 sin α
gesucht ist die maximale Ausleuchtung des Tischrandes.
Wie hoch muss die Lampe aufgehängt werden?
.

Lösungsweg: Drücke alle Terme in h aus!
r = R2 + h2
sin α = h r = h R2 +h2
B = L r-2 h R2 +h2
= L h R2 +h23 2

B(h) = 0

B = L (R2 + h2)3 2 - 2h2(R2 + h2)1 2 3 2 (R2 + h2)3

= L(R2 + h2) - 2h2 3 2 (R2 + h2)5 2

= L (R2 + h2)3 2 - 3Lh2 (R2 + h2)5 2

L (R2 + h2)5 2 (R2 + h2)5 2 = 3Lh2 (R2 + h2)5 2

R2 + h2 = 3h2

R2 = 2h2

h = R 2

B = -3 2 2L 2h (R2 + h2)5 2 -12Lh(R2 + h2)5 2 - 6Lh2 5 2(R2 + h2)3 2 2h (R2 + h2)5 2

= - 6Lh (R2 + h2)5 2 - 12Lh (R2 + h2)5 2 + 30Lh3 (R2 + h2)7 2

= - 18Lh (R2 + h2)5 2 + 30Lh3 (R2 + h2)7 2


B(h = R 2) = - 18LR 2 (3 2R2)5 2 + 30LR3 2 2 (3 2R2)7 2

= L - 18 R 3 2R2 + 30 2 R2 2 2 2 (3 2R2)7 2 < 0, da

- 9 3 + 15 2 < 0

d.h. h = R 2 ist ein Maximum.

.
0/12/3/7/6