0

0/5

6 Arithmetische Funktionen

0/5/0

6.1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

0/5/0/0

6.1.1 Grad von Polynomfunktionen

f(x) = anxn + a n-1xn-1 + a n-2xn-2 + + a 1x1 + a 0
n: Grad des Polynoms. 0/5/0/1

6.1.2 Polynome vom Grad 1: lineare Funktionen

. .
Beispiel 6 - 38: Gesamtmengen
x sei die Menge eines Weinvorrats, m sei dessen Alkoholgehalt. Dann ergibt sich hieraus die Gesamtmenge an Alkohol zu y = x m.
Häufig wird das Hundertfache des Gehalts als Prozentwert angegeben.

0/5/0/2

6.1.3 Polynome vom Grad 2: quadratische Funktionen

0/5/0/2/0

Allgemeine Form: .
y = a2x2 + a 1x + a0 .
a2 gibt an, ob die Funktion nach unten (konkav) oder nach oben (konvex) geöffnet ist: .
.
.
.
Die Scheitelpunktform (x0,y0) erhält man durch quadratische Ergänzung:
y - y0 = a(x - x0)2 .
Die Produktform erhält man durch Abspaltung der Nullstellen:
0/5/0/2/1 .
Beispiel 6 - 38
Das Polynom y = 2x2 - 8x + 6 .

Produktform: .
Das Polynom y = 2x2 - 8x + 6 hat die Nullstellen x1 = 1,x2 = 3. .
(Ausprobieren durch Ausmultiplizieren !) .
Mit dem Vorfaktor 2 kann man die Gleichung umschreiben zu: .
y = 2x2 - 8x + 6 = 2(x - 1)(x - 3) .
.
Quadratische Ergänzung: .
y = 2x2 - 8x + 6 = (2x2 - 8x + 8) + (6 - 8) = 2 (x2 - 4x + 4) + (6 - 8) = 2 (x- 2)2 + (-2).
y + 2 = 2 (x - 2)2 .
Scheitelpunkt: (2,-2)

.
0/5/0/2/2

0/5/0/3

6.1.4 Polynomfunktionen höheren Grades

0/5/0/3/0

Abspaltung von Linearfaktoren
f(x) = (x - x1) Linearfaktor f1(x) reduziertes Polynom

0/5/0/3/1 .
Beispiel 6 - 39
y = x3 - 2x2 - 5x + 6

.

Finden der ersten Nullstelle x1 = 1

x3- 2x2- 5x + 6 : (x - 1) =x2 - x - 6
x3 - x2
- x2- 5x
- x2 + x
- 6x + 6
- 6x + 6
-

x3 - 2x2 - 5x + 6 = (x2 - x - 6) (x - 1)

Finden weiterer Nullstellen, abspalten weiterer Linearfaktoren

x2,3 = 1 2 ±1+24 4 = 1 2 ±5 2
x2 = 3
x3 = -2
x3 - 2x2 - 5x + 6 = (x - 1) (x - 3) (x + 2)

.
0/5/0/3/2 Bei doppelten Nullstellen wird analog verfahren.
f(x) = an (x - x1) (x - x2) (x - xk) Linearfaktoren f(x)
f ist vom Grade n - k
k gibt die Anzahl reeller Nullstellen an.

0/5/0/3/3 .
Beispiel 6 - 40
y = 3x3 + 3x2 - 3x - 3

.

Finden der ersten Nullstelle x1 = 1

3x3 + 3x2- 3x- 3 : (x - 1) =3x2 + 6x + 3
3x3 - 3x2
6x2- 3x
- 6x2 + 6x
- 6x + 6
3x- 3
3x- 4
--

x3 - 2x2 - 5x + 6 = (x2 - x - 6) (x - 1)

Finden weiterer Nullstellen, abspalten weiterer Linearfaktoren

Division von 3x2 + 6x + 3 durch 3 ergibt x2 + 2x + 1 x2 = -1
x3 = -1
y = 3x3 + 3x2 - 3x - 3 = 3(x - 1) (x + 1)2

.
Weitere Beispiele: .
x3 - x2 + 4x - 4 ergibt mit x1 = 1 (x2 + 4)(x - 1). Der erste Term hat eine komplexe Nullstelle. .
y = 2x2 + 7x - 22 = 3(x + 1)2(x - 1) .
y = x4 - 13x2 + 36 = (x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3) .
Eine Polynomfunktion 3. Grades besitze bei x1 = -5 eine doppelte und bei x2 = 8 eine einfache Nullstelle und schneidet die x-Achse bei y(0) = 100. Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion ! y = a(x + 5)2(x - 8) y(0) = 100 = a(5 - 0)2(0 - 8) = -200 a
a = -0, 5

.
0/5/0/3/4

0/5/0/4

6.1.5 Horner-Schema

0/5/0/4/0

Das Horner-Schema ist ein elegantes Schema zur Berechnung von Funktionswerten.
0/5/0/4/1 .
Beispiel 6 - 41
Zu bestimmen ist f(2) für die Funktion
f(x) = 3x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1

.

f(x) = 3x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1
= (3x3 + 2x2 - 5x + 1) x - 1
= ((3x2 + 2x - 5) x + 1) x - 1
= (((3x + 2)x - 5) x + 1) x - 1



PIC .

Abbildung 3: Horner-Schema

.
0/5/0/4/2

Vorgehen:

Ist x0 eine Nullstelle, dann stehen in der unteren Zeile die Koeffizienten des reduzierten Polynoms. Dies soll am Beispiel eines Polynoms dritten Grades verdeutlicht werden: .
f(x) x - x0 = a3x3 + a 2x2 + a 1x + a0 x - x0 = b2x2 + b 1x + b0 + r(x) .

f(x0) = a3x03 + a 2x02 + a 1x0 + a0 .
a3 a2 a1 a0 x0 b2x0 b1x0 b0 a3 = b2b1 = a2 + b2x0b0 = a1 + b1x0p(x0) = a0 + b0 .
Für die Koeffizienten gilt: .
a3 = b2 .
b1 = a2 + b2x0 = a2 + a3x0 .
b0 = a1 + b1x0 = a1 + a2x0 + a3x02. .
Die Restfunktion r(x) ist echt gebrochen: .
r(x) = a0 + a1x0 + a2x02 + a 3x03 x - x0 = f(x0) x - x0 .
Im Zähler tritt genau der Funktionswert von f(x) an der Stelle x0 auf. Die Restfunktion r(x) verschwindet an der Nullstelle x0. Damit wird .
f(x) x - x0 = a0 + a1x + a2x2 + a 3x3 x - x0 = b2x2 + b 1x + b0 1.reduziertesPolynomvonf(x).

0/5/0/4/3 .
Beispiel 6 - 42
Zu bestimmen ist f(1) für die Funktion
f(x) = 3x3 + 3x2 - 3x - 3
mit dem Horner-Schema. Daraus sind ggf. die Koeffizienten des reduzierten Polynoms zu bestimmen. .


PIC .

Abbildung 4: Horner-Schema: Bestimmung des reduzierten Polynoms

.
0/5/0/4/4

0/5/0/4/5 .
Beispiel 6 - 43
Bestimmen Sie die Koeffizienten des reduzierten Polynoms für x1 = 1 mit dem Horner-Schema. y = x3 - 2x2 - 5x + 6

.

y = x3 - 2x2 - 5x + 6 = (x - 1)(x - 3)(x + 2)

.
0/5/0/4/6

0/5/0/5

6.1.6 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .