0

0/11

12 Hyperbel- und Areafunktionen

0/11/0

0/11/1

12.1 Hyperbelfunktionen

0/11/1/0

12.1.1 Hyperbelsinus und - cosinus

0/11/1/0/0

Die Begriffe Hyperbelfunktion , Hyperbelsinus sowie Hyperbelcosinus leiten sich aus der Beziehung .
cosh2(x) - sinh2(x) = 1 ab, die ähnlich zu .
sin2(x) + cos2(x) = 1 ist. .
0/11/1/0/1 .
Beispiel 12 - 68
cosh2λ - sinh2λ = .
.

cosh2λ - sinh2λ = .
(1 2)2 (eλ + e-λ)2 - (1 2)2 (eλ - e-λ)2 = .
= 1 4 e2λ + 1 4 e-2λ + 1 2 eλ e-λ- .
-1 4 e2λ -1 4 e-2λ + 1 2 eλ e-λ = 1 2 + 1 2 = 1 .
.
0/11/1/0/2

sinh x = (ex - e-x) 2 .
cosh x = (ex + e-x) 2 .


PIC .

Abbildung 1: sinh und cosh

.

tanh x = sinh x cosh x .
coth x = cosh x sinh x .


PIC .

Abbildung 2: tanh und coth

Additionstheoreme : .

sinh(x1 ± x2) = sinh x1 cosh x2 ± cosh x1 sinh x2
cosh(x1 ± x2) = cosh x1 cosh x2 ± sinh x1 sinh x2
tanh(x1 ± x2) = (tanh x1 ± tanh x2) (1 ± tanh x1 tanh x2)


cosh 2x - sinh 2x =1
sinh 2x =2 sinh x cosh x
cosh 2x = sinh 2x + cosh 2x
cosh x + sinh x =ex
cosh x - sinh x =e-x

Technische Anwendung: Die Kettenlinie .
0/11/1/0/3 .
Beispiel 12 - 69
Kettenlinien werden durch eine Funktion y = a cosh(xa) beschrieben. .
Zwei Masten sind 40 m voneinander entfernt. Eine Leitung (=’Kette’) zwischen diesen zwei Befestigungen hat in der Mitte einen Abstand von 10 m zum Erdboden. Wie hoch sind die Masten ?. .


PIC .

Abbildung 3: Kettenlinie

.
.

Herleitung (für Interessierte): Die Masse eines kleinen Teilstücks der Länge Δm , das in x- und y-Richtung (mit noch unbekannten Beträgen) ausgedehnt ist, beträgt nach Phytagoras (mit μ als Gewicht pro Länge): .
Δm = μ Δm = μ (Δx)2 + (Δy)2 = μ 1 + (Δy)2 (Δx)2 Δx. .
Differentiell ausgedrückt: .
dm = μ 1 + (dy)2 (dx)2 dx = μ 1 + y 2 dx. .
Die (feste, aber noch unbekannte) Länge erhält man über .
L =x1x21 + y 2 dx .
Die Energie pro Teilstückchen Δl ist ΔE = μ g y Δl. .
Damit wird für die Gesamtenergie .
E = μ g x1x2y 1 + y 2 dx, die es zu minimieren gilt. Hierzu subtrahiert man auf beiden Seiten einen Wert für eine Länge y0: .
E - μ l g y0 = μ g x1x2 1 + y 2 (y - y 0)dx. .
Für diese Energie sucht man nun ein Minimum, was folgende Gleichung ergibt: .
(y - y0) y - y2 = 1. .
Diese (Differential-) gleichungen werden gelöst durch folgende Funktion: .
y = a cosh(x - x0 a + y0). .
a ist der Krümmungsradius am Scheitelpunkt und gleichzeitig der Vergrößerungsfaktor. .
Im symmetrischen Fall (gleich hohe Aufhängepunkte) lautet die Gleichung y = a cosh(xa + y0). .
Durch geeignete Wahl der Ausgangsbedingungen kann man y0 eliminieren. .

zur Aufgabe: .
y(x) = a cosh x a
1. Scheitelpunkt mit y(x = 0) = 10m = a cosh 0 a = a .
a = 10m
2. Aufhängepunkte : .
y(x = 20m) = a cosh 20m a = 10m cosh 20m 10m 10 3, 7 37m .

.
0/11/1/0/4 .
0/11/1/0/5


PIC .

Abbildung 4: Kettenlinie

0/11/1/0/6 .

Beispiel 12 - 70: Freier Fall mit Luftwiderstand .

R =k v2Reibungskraft, mit k const.
G =m g
V E =mg k
v(t) =ve tanh(mg(v e t)
.

0/11/1/0/7


PIC .

Abbildung 5: Fall mit Luftwiderstand

0/11/1/0/8 .

0/11/1/1

12.1.2 Areafunktionen

0/11/1/1/0

Die Areafunktion ist die Umkehrfunktion einer Hyperbelfunktion. .

y = arsinh(x) = ln(x + x2 + 1)
y = arcosh(x) = ln(x + x2 - 1)
y = artanh(x) =1 2 ln (1 + x) (1 - x)
y = arcoth(x) =1 2 ln (x + 1) (x - 1)
.

0/11/1/1/1


PICPIC

Abbildung 5: Areafunktionen

0/11/1/1/2

0/11/1/1/3 .
Beispiel 12 - 70
Bitte vereinfachen Sie: tanh(arcoth(x))

.

tanh(x) = 1 coth x
tanh(arcoth(x)) = 1 coth (arcoth (x)) =1x

.
0/11/1/1/4 .
0/11/1/1/5 .
Beispiel 12 - 71
Bitte vereinfachen Sie: eartanh(x)

.

eartanh(x) =e1 2 ln 1 + x 1 - x =eln 1 + x1 - x
=1 + x1 - x , da eln z = z

.
0/11/1/1/6 .

0/11/1/1/7 .
Beispiel 12 - 72

Bilden Sie die Umkehrfunktion von cosh(x) .

x = 1 2(ey + e-y)ausmultiplizieren .
0 = ey - 2x + e-y ey .
0 = e2y - 2x ey + 1 quadrat. Ergänzung: x2 addieren und subtrahieren .
0 = (ey - x)2 + 1 - x2 isolieren, Wurzel .
ey - x = ±x2 - 1 ey isolieren .
ey = x ±x2 - 1 logarithmieren .
y = ln(x + x2 - 1) achtung mit minus ! .

.
0/11/1/1/8 .
0/11/1/1/9 .
Beispiel 12 - 73

Bilden Sie die Umkehrfunktion zu :

y = 4 + 4 arsinh(x - 1 + 2) .
.

arsinh(x - 1 + 2) = y - 4 4 .

Variablentausch:

arsinh(y - 1 + 2) =x - 4 4| sinh
y - 1 + 2 = sinh x - 4 4|- 2
y - 1 = sinh x - 4 4 - 2|quadrieren
y - 1 = sinh x - 4 4 - 2 2| + 1
y = sinh x - 4 4 - 2 2 + 1

.
0/11/1/1/10 .