0

0/14

15 Reelle Matrizen

0/14/1

15.1 Einstieg: Lineare Gleichungssysteme

0/14/1/2

15.1.3 Lösen von Gleichungssystemen über äquivalente Umformungen

0/14/1/2/0

Bei einem linearen Gleichungssystem bleibt die Lösungsmenge bei Anwendung der folgenden Operationen unverändert erhalten (Äquivalente Umformungen eines linearen Gleichungssystems):

1.
Zwei Zeilen können miteinander vertauscht werden.
2.
Jede Gleichung kann mit einer von Null verschiedenen Zahl multipliziert werden.
3.
Zu jeder Gleichung darf ein Vielfaches einer anderen Gleichung addiert werden.

.

0/14/1/2/1 .
Beispiel 15 - 130

Zeilen- Opera-
summe tion
- x + y + z =01
x- 3y- 2z =51+I
5x + y + 4z =313+ 5I

.

Lösungsansatz: Bringe Gleichungssystem auf Dreiecksform

.

- x + y + z =01
0 - 2y- z =52
0 + 6y + 9z =318/3
- x + y + z =01
0 - 2y- z =52
0 + 2y + 3z =16+II
- x + y + z =01
0 - 2y- z =52
0 0 + 2z =68

z = 3

-2y - 3 = 5 y = -4

-x - 4 + 3 = 0 x = -1

.
0/14/1/2/2 .
Gauß’scher Algorithmus : Bringe das Gleichungssystem durch geeignete äquivalente Umformungen in Dreiecksform. Die letzte Zeile enthält die Lösung für eine Variable. Diese Lösung wird in der zweitletzten Zeile zur Bestimmung der zweiten Variablen verwendet usw. .