0
0/6
7 Gebrochenrationale Funktionen
0/6/0
7.1 Nullstellen und Polstellen
0/6/0/4
7.1.5 Partialbruchzerlegung
Ziel der Partialbruchzerlegung ist eine Vereinfachung gebrochenratiohaler Funktionen, um sie
beispielsweise besser integrieren zu können. Vorgehen:
- Bestimmung reeller Nullstellen des Nenners.
- Jeder Nullstelle wird ein Partialbruch zugeordnet.
-
(einfache Nullstelle) .
-
(zweifache Nullstelle) .
-
(dreifache Nullstelle) .
-
-
(-fache
Nullstelle) .
- Liegen weitere nicht-reelle Nullstellen des Nenners vor (z.B.)
,
so gehört dazu ein Partialbruch mit dem Zähler
etc. .
- Die echt gebrochen rationale Funktion ist die Summe der Partialbrüche.
Die Konstanten ,
…kann man durch Koeffizientenvergleich oder durch geschickte Wahl von Nullstellen etc.
bestimmen.
Beispiel 7 - 1:
, mit
und
.
.
.
.
. .
.
Daraus folgt .
.
.
Diese Beziehungen müssen für beliebige
erfüllt sein. .
1. Koeffizientenvergleich: .
.
.
.
.
oder .
2. geschickte Wahl von x, damit man Nullstellen erhält:
| | |
| | | |
| | | |
| | | |
| |
| | | = | |
| |
.