0

0/8

9 Exponentialfunktionen

0/8/0

0/8/1

9.1 Grundbegriffe, Rechenregeln

0/8/1/0

9.1.1 Einleitung

Verallgemeinerung des Begriffs Potenz .
an: a bezeichnet man als Basis und n als Potenz bzw. Exponenten .
Rechenregeln für Exponenten : .

.
Funktionen vom Typ y = ax mit a > 0,a1 heißen Exponentialfunktionen . .
.
Tipp: Mit maple können Sie solche Terme über den Befehl combine zusammenfassen. .

0 < a < 1 1 < a



D - < x < - < x <



W 0 < y < 0 < y <



Monotonie streng monoton fallend streng monoton wachsend



Asymptote y = 0 (für x )y = 0 (für x -)
.
.
e = lim n1 + 1 n n = 2, 718 .
y = ex heißt e-Funktion .

0/8/2

9.2 Spezielle Anwendungen

0/8/2/0

9.2.1 Abklingfunktion

0/8/2/0/0

y = a e-λt oder y = a e-t τ .
τ :  Zeitkonstante .

0/8/2/0/1


PIC .

Abbildung 1: Abklingfunktion

0/8/2/0/2 (Bei elektrischen Schaltungen mit Kondensatoren C, Widerstand R ist τ = R C.) .

0/8/2/0/3 .
Beispiel 9 - 53
Radioaktiver Zerfall
n(t) = n0 e-λt .


PIC .

Abbildung 2: Radioaktiver Zerfall

.

Halbwertszeit: n(t1 2 = n0 1 2 = n0 e-λt1 2 .
ln(1 2) = -λt1 2 .
ln(2) = λt1 2 .
t1 2 = ln(2) λ .

Beispiele für Halbwertszeiten: .
Te128 Tellur ca. 7 1024 (7 Quadrillionen) Jahre .
Sr90 Strontium 28,64 Jahre .
Co60 Cobalt 5,3 Jahre .

Die Anzahl der Zerfälle eines Stoffes wird in Bequerel, Bq (1/s) angegeben. .
Die Einheit für die effektive Dosis (z.B. für beruflich strahlenexponierte Personen) ist Sievert bzw. Millisievert (mSv). .
Der Grenzwert der effektiven Dosis für beruflich strahlenexponierte Personen beträgt in allen europäischen Ländern 20 mSv pro Kalenderjahr (in den USA 50 mSv/Jahr). .
Der Dosiskonversionsfaktor dient zur Umrechnung von Bq nach Sv: .
Sr90 2.8 * 10-8 Sv/Bq 28,6 Jahre. .
(Das heißt, radioaktiv zerfallendes Sr90, das mit einer Aktivität von 14, 2 105Bq strahlt, unterschreitet in den USA bereits heute die Grenzwerte, bei uns erst in ca. 29 Jahren.) .
.
0/8/2/0/4

0/8/2/1

9.2.2 Sättigungsfunktion

0/8/2/1/0


PIC .

Abbildung 3: Sättigungsfunktion

0/8/2/1/1

0/8/2/2

9.2.3 Aperiodische Schwingungsvorgänge

0/8/2/2/0

Wird die Dämpfung (Reibung) an einem schwingungsfähigen Gebilde so groß, daß es nicht mehr in der Lage ist zu schwingen, sondern sich asymptotisch einer Gleichgewichtsbedingung nähert, spricht man von einem Kriechfall .
Der Übergang wird als aperiodischer Grenzfall bezeichnet und kann dargestellt werden als: .
y = (a + b t) e-λt (mit λ > 0,t 0). .
Beispiel 9 - 54: Aperiodische Schwingung mit y = (2 + 3 t) e-3t 0/8/2/2/1


PIC .

Abbildung 4: Aperiodische Schwingung

0/8/2/2/2

0/8/2/3

9.2.4 Gauß-Funktionen

0/8/2/3/0

Die Gauß-Funktion ist von der Form y = e-x2, .
allgemein: y = a e-b(x-x0)2. .
0/8/2/3/1


PIC .

Abbildung 5: Gauß-Funktion

0/8/2/3/2 .
Häufig wird die Gauß-Funktion bei statistischen Betrachtungen eingesetzt. Die Verteilungsdichte wird beschrieben als: .
.
f(x) = 1 σ2π e-1 2 x - μ σ2 . .
.
Bei dieser Schreibweise lassen sich einige Kenngrößen gut angeben: .
Die Standardabweichung σ beschreibt die Breite der Normalverteilung und hängt mit der Halbwertsbreite zusammen. Berücksichtigt man die tabellierten Werte der Verteilungsfunktion, gilt näherungsweise folgende Aussage: .