0
0/6
7
Gebrochenrationale Funktionen
0/6/0
7.1 Nullstellen
und Polstellen
0/6/0/4
7.1.5
Partialbruchzerlegung
Ziel der Partialbruchzerlegung
ist eine Vereinfachung gebrochenratiohaler Funktionen, um sie
beispielsweise besser integrieren zu können. Vorgehen:
- Bestimmung reeller Nullstellen des Nenners.
- Jeder Nullstelle wird ein Partialbruch zugeordnet.
-
(einfache Nullstelle)
.
-
(zweifache Nullstelle)
.
-
(dreifache Nullstelle)
.
-
-
(-fache
Nullstelle)
.
- Liegen weitere nicht-reelle Nullstellen des Nenners
vor (z.B.)
,
so gehört dazu ein Partialbruch mit dem Zähler
etc. .
- Die echt gebrochen rationale Funktion ist die Summe
der Partialbrüche.
Die Konstanten
,
…kann man durch Koeffizientenvergleich oder durch geschickte Wahl von
Nullstellen etc. bestimmen.
Beispiel 7 - 1:
,
mit
und
.
.
.
.
. .
.
Daraus folgt .
.
.
Diese Beziehungen müssen für beliebige
erfüllt sein. .
1. Koeffizientenvergleich: .
.
.
.
.
oder .
2. geschickte Wahl von x, damit man Nullstellen erhält:
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= |
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