0

0/12

13 Differentialrechnung

0/12/3

13.3 Anwendung der Differentialrechnung

0/12/3/3

13.3.3 Kurvendiskussion/relative Extremwerte

0/12/3/3/0

gegeben: stetige/ableitbare Funktion .
0/12/3/3/1


PIC .

Abbildung 1: Relative und absolute Maxima und Minima

0/12/3/3/2 .

Extrema: Waagrechte Tangenten .

relatives Maximum:y = 0y < 0
relatives Minimum: y = 0y > 0
.
.
Hinreichende Bedingung: verschiedenartige Monotoniebögen

Beispiel 13 - 1: .

y = x3
y = 3x2 y(0) = 0
y = 6x y(0) = 0
y = 6 y(0) = 6
0/12/3/3/3

PIC .

Abbildung 2: Wendepunkt

0/12/3/3/4 .
kein Minimum, kein Maximum, sondern Wendepunkt .

Beispiel 13 - 2: .
y = x4
0/12/3/3/5


PIC .

Abbildung 3: Extremum

0/12/3/3/6 .

y = 4x3y(0) = 0
y = 12x2 y(0) = 0
y = 24x y(0) = 0
y(4) = 24 y(4)(0) = 24

Extrema liegen vor, wenn die 1.Ableitung Null ist und die erste höhere Ableitung, die von Null verschieden ist, von gerader Ordnung ist. f(x 0) = 0 .
Maxima:fk(x 0) = 0für 1 k nund fn(x 0) < 0|n gerade
Minima: fk(x 0) = 0für 1 k nund fn(x 0) > 0|n gerade
.