0

0/13

14 Einführung in die Integralrechnung

0/13/4

14.4 Integrationsmethoden

0/13/4/0

14.4.1 Integration durch Substitution

0/13/4/0/0

Versucht man, das Integral x cos(x2)dx zu lösen, gelingt dies durch die Substitution mit einer Hilfsvariablen u = x2. .
u = x2 du dx = 2x dx = du 2x. .
Ersetzt man nun x2 und dx im Integral durch u bzw. du, so erhält man ein elementar lösbares Integral: .
x cos(x2)dx =x cos u du 2x = 1 2 cos udu = 1 2 sin u + C. .
Rücksubstitution ergibt: .
x cos(x2)dx = 1 2 sin(x2) + C. .
Generelle Vorgehensweise:

1.
Aufstellung der Substitutionsgleichungen .
u = g(x), du dx = g(x),dx = du g(x)
2.
Durchführung der Substitution durch Einsetzen .
f(x)dx =φ(u)du.
3.
Integration .
φ(u)du = Φ + C.
4.
Rücksubstitution (s.o.)

0/13/4/0/1 .
Beispiel 14 - 114
(2x - 3)6dx .

u = 2x - 3 .
.
dudx = 2,     dx = du 2 .

u6du 2 = 1 14u7 + C = 1 14(2x - 3)7 + C .
.

.
0/13/4/0/2 .
Beispiel 14 - 115
e4x+2dx .
u = 4x + 2 .
.
dudx = 4,     dx = du 4 .

eudu 4 = 1 4eu + C = 1 4e4x+2 + C .
.

.
0/13/4/0/3 .
Beispiel 14 - 116

sin x cos xdx .

u = sin x .
.
dudx = cos x .
dx = du cos x .

u cos x du cos x =udu = 1 2u2 + C = 1 2 sin 2x + C .
.

.
0/13/4/0/4 .
Beispiel 14 - 117
r2 - x2dx .
x = r sin u .
.
xr = sin u .
u = arcsin(xr) .
dx = r cos udu .
r2 - x2 = r cos u .
r2 - x2dx =r2 cos 2udu .
= r21 2(1 + cos(2u))du .
= 1 2r2[ 1du +(cos(2u))du] .
.
Substitution: 2u = v .
dv du = 2 .
du = dv 2: .
.

12r2[ 1du +(cos(2u)du] .
.
= 1 2r2[u + cos vdv 2 ] .
.
= 1 2r2[u + 1 2 sin v] .
.
= 1 2r2[arcsin(x) + 1 2 sin(2arcsin(x))] .
.

.
0/13/4/0/5 .
Beispiel 14 - 118
x 4-x2dx .
x = 2 sin u .
.
dx = 2 cos udu .
2 sin u 4 - 4 sin 2 u 2 cos udu .
.
=2 sin u 2 cos u 21 - sin 2 u du .
.
=2 sin u cos u cos udu .
.
= 2 sin udu .
= -2 cos u + C .

= -21 - sin 2 u + C .
.
= -21 - (x2 )2 + C .

.
0/13/4/0/6

0/13/4/1

14.4.2 Partielle Integration

0/13/4/1/0

Beim Integral f(x) wird f(x) in ein Produkt aus

zerlegt, d.h. f(x) dx =u(x) v(x) dx

Beispiel 14 - 119: .
xu(x) ex v(x) dx

Dieses Integral lässt sich wie folgt darstellen: .
f(x) dx =u(x) v(x) dx = u(x) v(x) -u(x) v(x) dx

Das Verfahren ist hilfreich, wenn die Stammfunktion von v(x) v(x) einfach zu bestimmen ist. Dann ist das Integral u(x) v(x) dx elementar lösbar.

Erklärung:
u(x) v(x) dx= ?u(x) v(x) -u(x) v(x) dx .
Nach der Produktregel für Ableitungen ist .
[u(x) v(x)] = u(x) v(x) + u(x) v(x) u(x) v(x) = [u(x) v(x)]- u(x) v(x) .
Das ganze integriert ergibt .
u(x) v(x) dx =[u(x) v(x)] dx -u(x) v(x) dx .
Aus der Beziehung zwischen Differential- und Integralrechnung
F(x) dx = F(x) .
folgt .
u(x) v(x) dx = u(x) v(x) -u(x) v(x) dx .
Analog: .
u(x) v(x) dx = u(x) v(x) -u(x) v(x) dx

Vorgehensweise

1.
Bestimmen von u(x) und v(x)
2.
Berechnen von u(x) und v(x)
3.
u(x),u(x),v(x),v(x) in .
u(x) v(x) dx = u(x) v(x) -u(x) v(x) dx .
einsetzen und ausrechnen.

Beispiel 14 - 120: .
x ex dx .
Schritte: .

1.
u(x)=x
v(x) =ex
2.
u(x)=1
v(x) =ex
3.
u(x),u(x),v(x),v(x) in .
u(x) v(x) dx = u(x) v(x) -u(x) v(x) dx .
einsetzen und ausrechnen.
x ex dx = x ex -ex dx = x ex - ex + C = ex(x - 1) + C .

0/13/4/1/1 .
Beispiel 14 - 119
x cos x dx

.

.
0/13/4/1/2

0/13/4/1/3 .
Beispiel 14 - 120
sin x x2 dx
(Achtung: Zweimalige partielle Integration erforderlich!) .
(Attention: Two partial integrations required!)

.

Teil 1:

Teil 2:

.
0/13/4/1/4

Regel zum Auffinden von u und v (die ALPES-Formel , aufgestellt durch meinen Studierenden Thaifa Alae): .
Sind beispielweise zwei Ausdrücke in der Prioritätsliste

1.
A: arcsin(),arccos(),arctan()
2.
L: ln()
3.
P: Polynome
4.
E: exp()
5.
S: sin(),cos(),tan()

zu finden, so wird derjenige Term, der in der Liste weiter unterhalb steht, zu u und derjenige Term, der in der Liste weiter oberhalb steht, zu v.

0/13/4/2

14.4.3 Integration durch Partialbruchzerlegung

0/13/4/2/0

Durch Zerlegung eines Polynoms in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion lassen sich die Summanden über die bereits eingeführten Integrationsmethoden integrieren. .

0/13/4/2/1 .
Beispiel 14 - 121
Zur Integration der unecht gebrochenrationalen Funktion .
.
f(x)dx =2x3 - 14x2 + 14x + 30 x2 - 4 dx .
.
wird die Funktion zunächst zerlegt in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion (z.B. mittels des Horner-Schemas) und anschließend die echt gebrochenrationale Funktion mittels Partialbruchzerlegung weiter zerlegt. .

f(x) = 2x3 - 14x2 + 14x + 30 x2 - 4 = 2x - 14 + 22x - 26 x2 - 4 . .
.
r(x) = 22x - 26 x2 - 4 . .
.
Partialbrüche für die Nullstellen des Nenners: .
.
x1 = 2 (einfache Nullstelle) A x - 2. .
.
x2 = -2(einfache Nullstelle) B x + 2. .
.
r(x) = 22x - 26 x2 - 4 = 22x - 26 (x - 2)(x + 2) = = A x - 2 + B x + 2. .
.
22x - 26 = A(x + 2) + B(x - 2) .
.
x = 2 18 = 4A A = 4, 5 .
.
x = -2 -70 = -4B B = 17, 5 .
.
.
= 22x - 26 (x - 2)(x + 2) = = 4, 5 x - 2 + 17, 5 x + 2. .
.
.
2x3 - 14x2 + 14x + 30 x2 - 4 dx .
.
=(2x - 14)dx + 22x - 26 (x - 2)(x + 2) .
.
= x2 - 14x + C 1 +( 4, 5x - 2 + 17, 5 x + 2)dx .
.
= x2 - 14x + 4, 5 ln |x - 2| + 17, 5 ln |x + 2| + C 2 .
.

.
0/13/4/2/2

0/13/4/3

14.4.4 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .