0

0/14

15 Reelle Matrizen

0/14/3

15.3 Rechenoperationen mit Matrizen

0/14/3/0

15.3.1 Addition

0/14/3/0/0

C = A + B cik = aik + bik
0/14/3/0/1 .
Beispiel 15 - 132
A = 15 - 3 40 8 +B = 5 13 - 1 4 7 .

.

C = A+B = 66 0 3 4 15 .

.
0/14/3/0/2 .
Beispiel 15 - 133:           -- -
-C -=- -A -+  <msup><mrow>B< /mrow><mrow >T</mrow></msup >  .
Diese Operation ist nicht definiert .

0/14/3/1

15.3.2 Multiplikation mit einem Skalar

0/14/3/1/0

λ A = λ (aik) = (λ aik) für alle i,k.
0/14/3/1/1 .
Beispiel 15 - 133
A = 1 - 53 4 1 0 ,λ = 4B = λ A = .

.

A = 1 - 53 4 1 0 ,λ = 4B = λA = 41 - 53 4 1 0 = 4 - 2012 16 4 0

.
0/14/3/1/2

kommutativ:A + B =B + A
λ A =A λ
assoziativ: A + (B + C) =(A + B) + C
λ (μ A) =(λ μ) A
distributiv: (λ + μ)A =λA + μA
λ(A + B) =λA + λB

0/14/3/1/3 .
Beispiel 15 - 134
A = 13 2 4 ,C = 02 1 3 .
.
B = 3 A + CT =

.
.

B = 3A+CT = 3 9 6 12 01 2 3 = 310 8 15 . .

.
0/14/3/1/4

0/14/3/2

15.3.3 Multiplikation von Matrizen

0/14/3/2/0

A = 15 2 3 und B = 412 1 0 3

C = A B
.

Die Ergebnismatrix hat 3 Spalten und 2 Zeilen

C = c11c12c13 c21 c22c23
.

c11 = a11 b11 + a12 b21 = 1 4 + 5 1 = 9

Falk-Schema für die Multiplikation von Matrizen : .
.

A = 15 2 3 C


B = 412 1 0 3
.





a11a12c11c12c13





a21 a22c21c22c23










b11b12b13





b21b22b23





.
.
C = A B .
cik =ai1 b1k + ai2 b2k + + ain bnk
= j=1na ij bjk
.


Beispiel 15 - 135:
A = 14 2 4 0 - 3 B = 1 10 - 2 3 5 0 14 .
.
C = A B .
.
- -- -- -- -- --
-C  =  B ⋅ --A .
.







142- 71528






40- 341- 12












110






- 235






014







.


Multiplikation ist nur zulässig, wenn Spaltenanzahl A = Zeilenanzahl B .

0/14/3/2/1 .
Beispiel 15 - 135
A = 1 - 53 4 1 0 ,B = 10 1 0 12 .
.
A B = .

.

AB = - 16 5 0 .

.
0/14/3/2/2

Rechengesetze für die Matrixmultiplkikation:

Assoziativität:A (B C) =(A B) C
Distributivität:A (B + C) =A B + A C
(A + B) C =A C + B C
(A B)T =BT AT
A E =E A = A

Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ

Man kann jedoch bei Gleichungen mit Matrizen entweder auf beiden Seiten von links oder auf beiden Seiten von rechts mit einer Matrix multiplizieren (vorausgesetzt natürlich, die Anzahl Spalten bzw. Zeilen sind dazu passend): .

(B C) =(E F)
A (B C) =A (E F)
(B C) A =(E F) A

0/14/3/3

15.3.4 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .