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0/19

20 Anwendungen

0/19/3

20.3 Vektorielle Darstellung der Ebene

0/19/3/5

20.3.5 Abstand eines Punktes von einer Ebene

0/19/3/5/0

Prinzip: Der Abstand d eines Punkts Q zu einer Ebene ist bestimmbar durch die Projektion des Vektors rd = rQ -r1 auf den Normalenvektor n der Ebene.

0/19/3/5/1 .
Beispiel 20 - 216
Projektion eines Punkts auf den Normalenvektor .


PIC .

Abbildung 1: Projektion eines Punkts auf den Normalenvektor

.
0/19/3/5/2 .

d = |rdn | = |rd | cos φ = |rd n| |n| , .
da |rd ||n| cos φ = rd n. .

Damit wird d = |n (Q -P1 )| |n| . .

0/19/3/5/3 .
Beispiel 20 - 217
Gegeben sei ein Ortsvektor eines Punkts der Ebene .

#r1 = 1 2 3 und der Normalenvektor

#
n = -8 8 0 . .
Bestimmen Sie den Abstand des Punktes

#
Q = 2 6 8 von der Ebene. .

Normalengleichung n (r -r1) = 0 .

d = |n (Q -P1)| |n| . .

d = -8 80 2 - 1 6 - 28 - 3 |82 + 82| = -8 80 145 |82 + 82| = - 8 1 + 8 4 8 2 = 3 2. .

.
0/19/3/5/4 .