0

0/13

14 Einführung in die Integralrechnung

0/13/4

14.4 Integrationsmethoden

0/13/4/0

14.4.1 Integration durch Substitution

0/13/4/0/0

Versucht man, das Integral x cos(x2)dx zu lösen, gelingt dies durch die Substitution mit einer Hilfsvariablen u = x2. .
u = x2 du dx = 2x dx = du 2x. .
Ersetzt man nun x2 und dx im Integral durch u bzw. du, so erhält man ein elementar lösbares Integral: .
x cos(x2)dx =x cos u du 2x = 1 2 cos udu = 1 2 sin u + C. .
Rücksubstitution ergibt: .
x cos(x2)dx = 1 2 sin(x2) + C. .
Generelle Vorgehensweise:

1.
Aufstellung der Substitutionsgleichungen .
u = g(x), du dx = g(x),dx = du g(x)
2.
Durchführung der Substitution durch Einsetzen .
f(x)dx =φ(u)du.
3.
Integration .
φ(u)du = Φ + C.
4.
Rücksubstitution (s.o.)

0/13/4/0/1 .
Beispiel 14 - 114
(2x - 3)6dx .

u = 2x - 3 .
.
dudx = 2,     dx = du 2 .

u6du 2 = 1 14u7 + C = 1 14(2x - 3)7 + C .
.

.
0/13/4/0/2 .
Beispiel 14 - 115
e4x+2dx .
u = 4x + 2 .
.
dudx = 4,     dx = du 4 .

eudu 4 = 1 4eu + C = 1 4e4x+2 + C .
.

.
0/13/4/0/3 .
Beispiel 14 - 116

sin x cos xdx .

u = sin x .
.
dudx = cos x .
dx = du cos x .

u cos x du cos x =udu = 1 2u2 + C = 1 2 sin 2x + C .
.

.
0/13/4/0/4 .
Beispiel 14 - 117
r2 - x2dx .
x = r sin u .
.
xr = sin u .
u = arcsin(xr) .
dx = r cos udu .
r2 - x2 = r cos u .
r2 - x2dx =r2 cos 2udu .
= r21 2(1 + cos(2u))du .
= 1 2r2[ 1du +(cos(2u))du] .
.
Substitution: 2u = v .
dv du = 2 .
du = dv 2: .
.

12r2[ 1du +(cos(2u)du] .
.
= 1 2r2[u + cos vdv 2 ] .
.
= 1 2r2[u + 1 2 sin v] .
.
= 1 2r2[arcsin(x) + 1 2 sin(2arcsin(x))] .
.

.
0/13/4/0/5 .
Beispiel 14 - 118
x 4-x2dx .
x = 2 sin u .
.
dx = 2 cos udu .
2 sin u 4 - 4 sin 2 u 2 cos udu .
.
=2 sin u 2 cos u 21 - sin 2 u du .
.
=2 sin u cos u cos udu .
.
= 2 sin udu .
= -2 cos u + C .

= -21 - sin 2 u + C .
.
= -21 - (x2 )2 + C .

.
0/13/4/0/6