0
0/13
0/13/5
0/13/5/0
0/13/5/0/0
Für einen Körper im Gleichgewicht gilt: .
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0/13/5/0/1
0/13/5/0/2 .
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.
.
.
Erweiterung auf mehrere Massen:
.
Als Summenformel:
.
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0/13/5/0/3 .
Beispiel 14 - 122
Vier Container mit 15, 30, 45 und 15 Tonnen und jeweils 10 m Länge (Schwerpunkt
in der Mitte) sollen entsprechend der Abbildung in ein Flugzeug eingeladen werden. .
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Die Ladezone beginnt 10 m vom Bug entfernt. Der Hersteller schreibt vor, daß der Schwerpunkt
m vom Bug entfernt sein
muss mit einer Toleranz von
m. Wird durch die gezeigte Ladereihenfolge diese Vorschrift eingeladen ? .
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Gesamtschwerpunkt .
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.
. .
Hat man ebene Flächen, deren Begrenzung über eine Funktion angegeben ist, macht man einen
Übergang von der diskreten Addition zur Integration: .
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0/13/5/0/7 .
Beispiel 14 - 124
Gegeben sei ein Dreieck, das durch die x-Achse, y-Achse und die Funktion
begrenzt ist: .
Zu bestimmen ist zunächst die x-Koordinate des Schwerpunkts: .
.
.
.
Hierzu zerteilen wir das Dreieck (willkürlich) in lauter senkrechte kleine Stäbchen mit der Fläche
. .
Hiermit sind die Integralgrenzen vorgegeben zwischen 0 und b. .
.
.
.
.
.
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Dies ist natürlich das gleiche Ergebnis wie vor. .
0/13/5/0/10 .
Beispiel 14 - 126
Zu bestimmen sei die x-Koordinate des Schwerpunkts der Fläche, die durch die x-Achse, y-Achse und die
Funktion
begrenzt ist.
.
.
.
0/13/5/0/12 .
Beispiel 14 - 127
Berechnung des Schwerpunkts eines Viertelkreises: .
Bleibt man hier in der Darstellung kartesischer Koordinaten, wird die Berechnung wesentlich
aufwendiger, wie das Beispiel für die y-Koordinate zeigt: .
.
.
.
.
.
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Eine alternative Berechnung geht wie folgt: Wir zerteilen den Kreisbogen (willkürlich) in lauter kleine
Kreissegmente .
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Hier sind die Integralgrenzen einfach angebbar, sie liegen zwischen
und
. .
Haben wir die Schwerpunkte der einzelnen kreissegmente, können wir den Schwerpunkt des
Viertelkreises daraus bestimmen. .
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Der Schwerpunkt eines einzelnen Stückchens liegt bei
bzw.
. Damit erhält man einen Ausdruck für den Schwerpunkt eines Viertelkreisbogens: .
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Analog : .
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0/13/5/0/13 Entsprechend ist der Schwerpunkt eines Halbkreisbogens: .
, und aus
Symmetriegründen: .
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Bildet man nun die Summe eines Viertelkreises aus diesen Viertelkreisbögen, so ist der Schwerpunkt
.
Weitere Beispiele finden sich in [HibbelerL1] . .
Ist der Gegenstand nun kein ebenes, sondern ein dreidimensionales Gebilde, muss ein Ausdruck für
das jeweilige Massenelement (z.B. Stäbchen) bezüglich x gebildet werden, unter Umständen kann
auch hier eine Integration notwendig werden. Dann spricht man von Mehrfachintegralen. .
Analog können auch die Massenträgheitsmomente
gebildet werden: Für jedes Masseteilchen dm wird das Produkt des Abstandsquadrats zur jeweiligen
Drehachse gebildet und damit das bestimmte Integral für alle Massenteilchen bestimmt. Auf
mathematischer Seite ändert sich hier nichts. .
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