0

0/19

20 Anwendungen

0/19/3

20.3 Vektorielle Darstellung der Ebene

0/19/3/0

0/19/3/1

20.3.1 Punkt-Richtungsform

0/19/3/1/0

Eine Ebene in Punkt-Richtungsform kann man wie folgt darstellen: .
r = r(λ,μ) = r1 + λa + μb .
oder in Komponentenschreibweise: .
.
0/19/3/1/1 .
Beispiel 20 - 209
Ebenendarstellung in Punkt-Richtungsform .


PIC .

Abbildung 1: Ebene: Punkt-Richtungsform

.
x y z = x1 y1 z1 +λ ax ay az +μ bx by bz = + x1 + λax + μbx y1 + λay + μby z1 + λaz + μbz .

Dabei bedeuten: .
x,y,z: Koordinaten des laufenden Punkts in der Ebene .
x1,y1,z1: Koordinaten des vorgegebenen Punkts in der Ebene (Ortsvektor) .
ax,ay,az und bx,by,bz : Skalare Vektorkomponenten der beiden nicht kollinearen Richtungsvektoren

#a und

#b der Ebene (

#a ×

#
b

                                                                                          #
                                                                                          0  ) .
λ,μ voneinander unabhängige Parameter. .
.
0/19/3/1/2 .
0/19/3/1/3 .
Beispiel 20 - 210
Ebenendarstellung in Punkt-Richtungsform .
Die Ebene E verläuft durch den Punkt P1 = (3; 5; 1), .
mit den Richtungsvektoren

#
a = 2 5 1 und

#
b = 5 1 3 . .
Die zugehörige Ebenendarstellung in Punkt-Richtungsform lautet dann: .

#
 r (λ; μ) =

                 #
                 r1  +λ

                                                                                                                 #
                                                                                                                 a +μ

                                                                                                                                                                                                                 #
                                                                                                                                                                                                                 b = 3 5 1 +λ 2 5 1 +μ 5 1 3

= 5 + 2λ + 5μ 5 + 5λ + μ 1 + λ + 3μ .

.
0/19/3/1/4 .

0/19/3/2

20.3.2 Drei-Punkte-Form

0/19/3/2/0

Eine Ebene in Drei-Punkte-Form läßt sich recht einfach in eine Punkt-Richtungsform bringen, indem man aus jeweils zwei Punkten einen Richtungsvektor bildet:
r(P) = r1 + λP1P2 + μP1P3 . oder in Komponentenschreibweise: .
.
0/19/3/2/1 .
Beispiel 20 - 211
Ebenendarstellung in Punkt-Richtungsform .
mit

 #
P1  =

#
r1  = x1 y1 z1 ,

 #
P2 = x2 y2 z2 und

 #
P3 = x3 y3 z3 .
erhält man .

#r (P) = x1 y1 z1 +λ x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 +μ x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1 = + x1 + λ(x2 - x1) + μ(x2 - x1) y1 + λ(y2 - y1) + μ(y3 - y1) z1 + λ(z2 - z1) + μ(z3 - z1) .

.
0/19/3/2/2 .
0/19/3/2/3 .
Beispiel 20 - 212
Umwandlung der Ebenendarstellung: Drei-Punkte-Form in eine Parameterdarstellung .
Gegeben sind die drei Punkte mit den Ortsvektoren

#r
1 = 1 5 0 ,

 #
r2 = -2 -1 8 und

#r3 = 2 0 1 .
Die Parameterdarstellung der Ebene lautet dann .

#
r (P) = x1 y1 z1 +λ x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 +μ x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1 = .
1 5 0 +λ -2 - 1 -1 - 5 8 - 0 +μ 2 - 1 0 - 5 1 - 0 .
= 1 5 0 +λ -3 -6 8 +μ 1 -5 1 .

.
0/19/3/2/4 .

0/19/3/3

20.3.3 Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor (Normalenvektordarstellung)

0/19/3/3/0

Ist r der Ortsvektor des laufenden Punkts P der Ebene, so liegt der Vektor P1P = r -r1 in der Ebene und steht somit senkrecht auf den Normalenvektor n. Das heißt, das Skalarprodukt verschwindet:
n (r -r1 ) = 0 .
0/19/3/3/1 .
Beispiel 20 - 213
Normalenvektor-Darstellung .

oder ausgeschrieben: .
nx(x - x1) + ny(y - y1) + nz(z - z1) = 0. .
Dies ist gleichbedeutend mit der Koordinatendarstellung einer Ebene: .
ax + by + cz + d = 0 .
Den Normalenvektor erhält man einfach über das Kreuzprodukt zweier nicht kollinearer Richtungsvektoren: .

 #
n =

#
a ×

                                                                                          #
                                                                                          b .

Hierbei sind: .
x,y,z: Koordinaten des laufenden Punkts in der Ebene .
x1,y1,z1: Koordinaten des vorgegebenen Punkts der Ebene .
nx,ny,nz Vektorkomponenten des Normalenvektors

#n .
.
0/19/3/3/2 .
0/19/3/3/3 .
Beispiel 20 - 214
Umwandlung in eine Normalenvektor-Darstellung .
Gegeben sei eine Ebene .

#r (P) = 3 5 1 +λ -5 -6 7 +μ -1 -5 0 .

Ein Normalenvektor ist z.B.

#n =

                                      #a ×

                                                                                                                                    #b .
.

 #
n = x y z -5-67 -1-50 = 0 + 35 -7 + 0 25 - 6 = 35-7 19 .
n (r -r1) = 0 .
.
35-7 19 rx - 3 ry - 5 rz - 1 = 0.
.
Umwandlung in Achsenabschnittsform: .
35(rx - 3) - 7(ry - 5) + 19(rz - 1) = 0 .
35rx - 7ry + 19rz = 105 - 35 + 19 = 99 .

.
0/19/3/3/4 .

0/19/3/4

20.3.4 Umwandlung einer Normalendarstellung in eine Drei-Punkte-Form

0/19/3/4/0

.
0/19/3/4/1 .
Beispiel 20 - 215
Umwandlung einer Normalenvektor-Darstellung in Punkt-Richtungsform .
Gegeben sei ein Ortsvektor eines Punkts der Ebene .

#r1 = 3 5 1 und der Normalenvektor

#
n = 35-7 19 . .

Zunächst versucht man einen weiteren Punkt der Ebene zu bestimmen, indem man versuchsweise x und y vorgibt und z über die Gleichung der Ebene bestimmt. Damit erhält man einen Richtungsvektor

#a =

             #r
              4  -

                                                                                                           #r
                                                                                                            1  . .
Beispiel:

#r4  = 0 0 z .
.
Eingesetzt in die Normalengleichung bzw. Achsenabschnittsform n (r -r1) = 0 erhält man: .

35(0 - 3) - 7(0 - 5) + 19(z - 1) = 0 .
- 105 + 35 + 19(z - 1) = 0 .
z - 1 = 70 19 .
z = 89 19 .
.

#r4 = 0 0 89 19 .
Richtungsvektor

#a =

             #r4  -

                                                                                                           #r1  = 0 - 3 0 - 5 89 19 - 1 = -3 -5 70 19 .. .
Den Vektor

#
b kann man über das Kreuzprodukt bestimmen:

#
b =

                         #
                         a ×

                                                                                                                        #
                                                                                                                        n .

.
0/19/3/4/2 .

0/19/3/5

20.3.5 Abstand eines Punktes von einer Ebene

0/19/3/5/0

Prinzip: Der Abstand d eines Punkts Q zu einer Ebene ist bestimmbar durch die Projektion des Vektors rd = rQ -r1 auf den Normalenvektor n der Ebene.

0/19/3/5/1 .
Beispiel 20 - 216
Projektion eines Punkts auf den Normalenvektor .


PIC .

Abbildung 2: Projektion eines Punkts auf den Normalenvektor

.
0/19/3/5/2 .

d = |rdn | = |rd | cos φ = |rd n| |n| , .
da |rd ||n| cos φ = rd n. .

Damit wird d = |n (Q -P1 )| |n| . .

0/19/3/5/3 .
Beispiel 20 - 217
Gegeben sei ein Ortsvektor eines Punkts der Ebene .

#r1 = 1 2 3 und der Normalenvektor

#
n = -8 8 0 . .
Bestimmen Sie den Abstand des Punktes

#
Q = 2 6 8 von der Ebene. .

Normalengleichung n (r -r1) = 0 .

d = |n (Q -P1)| |n| . .

d = -8 80 2 - 1 6 - 28 - 3 |82 + 82| = -8 80 145 |82 + 82| = - 8 1 + 8 4 8 2 = 3 2. .

.
0/19/3/5/4 .

0/19/3/6

20.3.6 Abstand einer (parallelen) Geraden von einer Ebene

0/19/3/6/0

Geraden können zu Ebenen folgende Lagen haben

1.
g und E sind parallel zueinander
2.
g liegt in der Ebene E
3.
g und E schneiden sich in einem Punkt

ad 1.) .
Ist eine Gerade parallel zu einer Ebene E, so ist dessen Richtungsvektor senkrecht zu dem Normalenvektor der Ebene (Skalarprodukt = 0).
Danach bestimmt man den Abstand eines Punkts der Geraden zur Ebene durch Projektion von (r1 -r0 ) auf n. .
.
Der Abstand beträgt d = |n (r1 -r0 )| |n| . .
0/19/3/6/1 .
Beispiel 20 - 218
Abstand Gerade-Ebene .
Gegeben sei eine Gerade mit dem Ortsvektor .

 #
r1 = 0 1 -1 und dem Richtungsvektor

#
a = -1 -4 2 . .
sowie eine Ebene dem Ortsvektor

#P0  = 1 5 2 und dem Normalenvektor

#
n = 2 1 3 . .
.
Wie liegen die Gerade und die Ebene zueinander ? .

na = 2 1 3 -1 -4 2 = -2-4+6 = 0. .
.
Ebene und Gerade verlaufen also parallel. .
.
d = |n (r1 -P0)| |n| . .
.
n(r1-P0) = 2 1 3 0 - 1 1 - 5 1 - 2 = 2 1 3 -1 -4 -1 = -2-4-9 = -15. .
.
|

#n | = 22 + 12 + 32 = 14.
.
d = -15 14. .

.
0/19/3/6/2 .
ad 2.) .
Ist der Abstand d=0, so liegt die Gerade auf der Ebene. .

0/19/3/7

20.3.7 Schnittpunkt/Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene

1.
Die Ebene liegt in Parameterdarstellung vor .
Zu lösen ist dann das Gleichungssystem .
E = r1 + λ1a1 + λ2a2 = r2 + μb .
Beispiel 20 - 219
Schnittpunkt Gerade - Ebene bei Darstellung in Punkt-Richtungsform. .
Gegeben sei eine Ebene mit dem Ortsvektor .

#
r1  = 3 4 1 , den Richtungsvektoren

#a1  = 1 2 0 und

 #
a2  = 2 -1 -5 .
sowie eine Gerade mit dem Ortsvektor .

#r2  = 2 1 5 und dem Richtungsvektor

#
b = 3 -4 0 . .
Bestimmen Sie den Schnittpunkt. .

Zu lösen ist das Gleichungssystem 3 4 1 +λ1 1 2 0 +λ2 2 -1 -5 = 2 1 5 +μ 3 -4 0 . .

Für x:λ1 + 2λ2- 3μ =- 1
Für y: 2λ1- λ2 + 4μ =- 3
Für z: - 5λ2 =4

λ1λ2μc
12- 3- 1
2- 14- 3nach III
0- 504 nach II





12- 3- 1
0- 504 :-5
2- 14- 3 -2I





12- 3- 1 -2II
010-4 5
0- 510- 1+5II, :5





10- 3-5+8 5 +3III
010-4 5
001-1 2





1006-15 10 -2II
010-4 5
001-1 2





.

Lösung: λ1 = -9 10; λ2 = -4 5; μ = -1 2 .
Der Schnittpunkt kann über die Ebenengleichung oder über die Geradengleichung bestimmt werden (dient als Probe !) und liegt bei: .
3 4 1 -9 10 1 2 0 -4 5 2 -1 -5 = 2 1 5 -1 2 3 -4 0 = 3 -9+16 10 4 -18-8 10 1 + 40 10 = 3 -5 2 3 1 + 4 = 1 2 3 5 . .

.
.

2.
Die Ebene liegt in Normalendarstellung vor

Der Ortsvektor rs des Schnittpunkts muss sowohl die Geradengleichung als auch die Ebenengleichun erfüllen: .
rs = r1 + λs a .
n (rs -r0 ) = 0. .
Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite und Auflösen nach λS ergibt den Wert für den Schnittpunkt: .

.
Beispiel 20 - 220

n (r1 + λsa -r0) = 0 .

#n (

#r1  -

                                                                                              #r0  )+λs(

                                                                                                                                                                                                 #n

                                                                                                                                                                                                                                                                                              #a ) = 0 .
λs = n (r0 -r1) n a . .
Oben eingesetzt, erhält man: .
rs = r1 + λs a = rs = r1 + n (r0 -r1) n a a .


PIC .

Abbildung 3: Schnittwinkel Gerade - Ebene

.
.
Damit ergibt sich: rs = r1 + (n (r0 -r1 ) n a ) a.
Der Schittwinkel φ = 90o - α berechnet sich über das Skalarprodukt: .

cos(90o - α) = sin α = n a |n||a| bzw. α = arcsin |n a| |n||a| . .

0/19/3/8 .
Beispiel 20 - 221
Schnittpunkt Gerade - Ebene bei Darstellung in Normalform. .
Gegeben sei eine Ebene mit dem Ortsvektor .

#P
 0 = 3 4 1 und dem Normalenvektor

#n = 2 -1 1 .
sowie eine Gerade mit dem Ortsvektor .

#P
 1 = 2 1 5 und dem Richtungsvektor

#a = 3 -4 0 . .
Bestimmen Sie Schnittpunkt und Schnittwinkel. .

rs = r1+n (r0 -r1) n a a = 2 1 5 + 2 -1 1 1 3 -4 2 -1 1 3 -4 0 3 -4 0 = 2 1 5 +2-3-4 6+4 3 -4 0 = 2 1 5 -1, 5 -2 0 = 0, 5 3 5 .

Schnittwinkel: φ = arcsin

#
n

                     #
                     a  |

#n  ||

                      #a  | = arcsin 2 -1 1 3 -4 0 4+1+19+16+0
= arcsin 6+4+0 625 = arcsin 10 65 0.3 π 55o

.
0/19/3/9 .

0/19/3/10

20.3.8 Lage zwischen zwei Ebenen

0/19/3/10/0

Zwei Ebenen E1 und E2 können folgende Lagen zueinander haben:

1.
Sie sind parallel zueinander Die beiden Ebenen sind parallel zueinander, wenn ihre Normalenvektoren parallel sind (Vektorprodukt = 0) .
Dann entspricht der Abstand der Projektion eines Punkts der Ebene E2 auf den Normalenvektor der Ebene E1. .
2.
Sie fallen zusammen (s. o., nur ist der Abstand der Ebenen Null.)
3.
Sie schneiden sich längs einer Geraden

Fall 1: Die Ebenen sind parallel zueinander .
Eine Nachprüfung kann durch Bilden des Kreuzprodukts der Normalenvektoren erfolgen. .
Den Abstand der Ebenen zueinander bestimmt man einfach, indem man den Abstand irgendeines Ortsvektors der Ebene 2 zur Ebene 1 bildet: .
.
0/19/3/10/1 .
Beispiel 20 - 222
zwei parallel zueinander stehende Ebenen .


PIC .

Abbildung 4: zwei parallel zueinander stehende Ebenen

.

.
0/19/3/10/2 .
Dann bestimmt sich der Abstand zu d = |n1 (r2 -r1 )| |n1 | .

0/19/3/10/3 .
Beispiel 20 - 223
zwei parallel zueinander stehende Ebenen: .
Gegeben seien zwei Ebenen mit den Ortsvektoren .

 #
P1 = 7 3 -4 und

 #
P2 = -1 0 8 .
sowie den Normalenvektoren

#n
 1  = -1 4 2 und

#n2  = -2 8 4 . .
Bestimmen Sie die Lage der Ebenen zueinander. .

Bestimmung der Richtungen zueinander über das Kreuzprodukt .
.
n1×n2 = x yz -142 -284 = 16 - 16 -4 - (-4) -8 - (-8) = 0 0 0 . .
.
Ebene und Gerade verlaufen also parallel. .
.
d = |n1 (r2 -r1)| |n1| . .
.
n1(r2-r1) = -1 4 2 -1 - 7 0 - 3 8 + 4 = -1 4 2 -8 -3 12 = 8-12+24 = 20. .
.
|

#n1  | = (-1)2 + 42 + 22 = 21.
d = 20 21 4, 36. .

.
0/19/3/10/4 Fall 2: Die Ebenen fallen zusammen .
Dann sind sie parallel und haben den Abstand d = 0. .
.
Die Rechnung erfolgt analog wie oben. .
.
In allen anderen Fällen tritt .
Fall 3 ein: Die Ebenen schneiden sich längs einer Geraden .
0/19/3/10/5 .
Beispiel 20 - 224
Schnittgerade zweier Ebenen .


PIC .

Abbildung 5: Schnittgerade zweier Ebenen

.
0/19/3/10/6 .
Liegen die Ebenengleichungen in der Form .
E1 = r1 + λ1a1 + μ1b1 .
bzw. E2 = r2 + λ2a2 + μ2b2 vor, .
so erhält man durch Gleichsetzen unendlich viele Lösungen (3 Gleichungen, 4 Unbekannte), die alle auf einer Geraden liegen (Die Rechnung kann etwas aufwendiger werden !): .
g1 = g2 .
r1 + λ1a1 + μ1b1 = r2 + λ2a2 + μ2b2 . .
.

Alternativ führt das folgende Prinzip zu einer einfach zu bestimmenden Lösung: Der Richtungsvektor der Geraden ist senkrecht zu n1 und n2 . .
a = n1 ×n2 . .
Ein Ortsvektor r0 muss die beiden Ebenengleichungen erfüllen: .
n1 (r0 -r1 ) = 0 und n2 (r0 -r2 ) = 0 .
bzw. ausmultipliziert: .
n1x(x0 - x1) + n1y(y0 - y1) + n1z(z0 - z1) = 0 und .
n2x(x0 - x2) + n2y(y0 - y2) + n2z(z0 - z2) = 0. .
.
Der Schnittwinkel errechnet sich wiederum über das Skalarprodukt:
φ = arccos n1 n2 |n1 ||n2 |. .
.
0/19/3/10/7 .
Beispiel 20 - 225
Schnittgerade Ebene - Ebene bei Darstellung in Normalenform. .
Gegeben sei eine Ebene mit dem Ortsvektor .

#r1 = 1 0 1 , dem Normalenvektor

#
n1  = 1 5 -3 .
sowie eine Gerade mit dem Ortsvektor .

#r2 = 0 3 0 und dem Normalenvektor

#
n2  = 2 1 2 . .
Bestimmen Sie die Schnittgerade

#r (λ) =

                                #r 0+λ

                                                                                                                                 #a . .

.
man erhält

#
a =

         #
         n 1×

                                                                                                        #
                                                                                                        n 2 = 1 5 -3 ×2 1 2 = 10 + 3 -6 - 2 1 - 10 = 13-8 -9 . .
.
Die Ebenen sind nicht parallel, da

#n 1×

                             #n 2

                                                                                                                           #0  . .

Einen Ortsvektor r0 erhalten wir aus den beiden Ebenengleichungen: .
.
n1(r0-r1) 1 5 -3 x0 - 1 y0 - 0 z0 - 1 = x0-1+5y0-3(z0-1) = 0.
und .
n2(r0-r2) = 2 1 2 x0 - 0 y0 - 3 z0 - 0 = 2x0+y0-3+2z0 = 0. .
.
Wahl von x0 = 0: .
.
5y0-3z0=-2 y0 +2z0= 3 .
.

Auflösen ergibt y0 = 5 13 und z0 = 17 13. .
Daraus folgt die Geradengleichung .
.

#
r (λ) =

#
r 0+λ

                                                                                                #
                                                                                                a = 0 5 13 17 13 +λ 13-8 -9 = 13λ 5 13 - 8λ 17 13 - 0λ . .
.
Der Schnittwinkel errechnet sich wiederum über das Skalarprodukt:
.
φ = arccos n1 n2 |n1||n2|. .

Schnittwinkel: φ = arccos 1 5 -3 2 1 2 12 +52 +(-3)222 +12 +22
.
= arccos 2+5-6 359 = arccos 1 353 arccos 0, 056 1, 51 87o

.
0/19/3/10/8 .

0/19/3/11

20.3.9 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .