0

0/11

12 Hyperbel- und Areafunktionen

0/11/1

12.1 Hyperbelfunktionen

0/11/1/1

12.1.2 Areafunktionen

0/11/1/1/0

Die Areafunktion ist die Umkehrfunktion einer Hyperbelfunktion. .

y = arsinh(x) = ln(x + x2 + 1)
y = arcosh(x) = ln(x + x2 - 1)
y = artanh(x) =1 2 ln (1 + x) (1 - x)
y = arcoth(x) =1 2 ln (x + 1) (x - 1)
.

0/11/1/1/1


PICPIC

Abbildung 5: Areafunktionen

0/11/1/1/2

0/11/1/1/3 .
Beispiel 12 - 70
Bitte vereinfachen Sie: tanh(arcoth(x))

.

tanh(x) = 1 coth x
tanh(arcoth(x)) = 1 coth (arcoth (x)) =1x

.
0/11/1/1/4 .
0/11/1/1/5 .
Beispiel 12 - 71
Bitte vereinfachen Sie: eartanh(x)

.

eartanh(x) =e1 2 ln 1 + x 1 - x =eln 1 + x1 - x
=1 + x1 - x , da eln z = z

.
0/11/1/1/6 .

0/11/1/1/7 .
Beispiel 12 - 72

Bilden Sie die Umkehrfunktion von cosh(x) .

x = 1 2(ey + e-y)ausmultiplizieren .
0 = ey - 2x + e-y ey .
0 = e2y - 2x ey + 1 quadrat. Ergänzung: x2 addieren und subtrahieren .
0 = (ey - x)2 + 1 - x2 isolieren, Wurzel .
ey - x = ±x2 - 1 ey isolieren .
ey = x ±x2 - 1 logarithmieren .
y = ln(x + x2 - 1) achtung mit minus ! .

.
0/11/1/1/8 .
0/11/1/1/9 .
Beispiel 12 - 73

Bilden Sie die Umkehrfunktion zu :

y = 4 + 4 arsinh(x - 1 + 2) .
.

arsinh(x - 1 + 2) = y - 4 4 .

Variablentausch:

arsinh(y - 1 + 2) =x - 4 4| sinh
y - 1 + 2 = sinh x - 4 4|- 2
y - 1 = sinh x - 4 4 - 2|quadrieren
y - 1 = sinh x - 4 4 - 2 2| + 1
y = sinh x - 4 4 - 2 2 + 1

.
0/11/1/1/10 .