0
0/15
16 Determinanten
0/15/1
16.2 Determinanten von Matrizen höherer Ordnung
0/15/1/2
16.2.3 Determinanten höherer Ordnung
0/15/1/2/0
Für (quadratische!) -Matrizen
können Determinanten n-ter Ordnung entsprechend angegeben werden:
.
Die o.a. Rechenregeln für Determinanten gelten entsprechend.
Die Determinante kann man nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz einer
-Matrix
durch Entwickeln nach einer Zeile oder Spalte berechnen: .
.
oder
. .
.
Die sind die algebraischen
Komplemente von
in :
Vorgehen bei der Bestimmung einer n-reihigen Determinante:
-
1.
- Man versucht, mit Hilfe elementarer Umformungen zunächst die Elemente einer Zeile
(oder Spalte) bis auf eines (oder wenigen) auf Null zu bringen.
-
2.
- Durch Entwicklung nach diesen Elementen erhält man eine (n-1)-reihige
Unterdeterminante.
-
3.
- Dies wird solange wiederholt, bis man z.B. 3-reihige Determinanten nach der Regel von
Sarrus bestimmen kann. .
0/15/1/2/1 .
Beispiel 16 - 147
.
.
.
.
Zuerst das Doppelte von Zeile 4 zur Zeile 1 addieren: .
.
.
.
Dann enthät die Zeile 1 nur ein Element, nach dem entwickelt wird: .
.
.
.
0/15/1/2/2 .
0/15/1/2/3 .
Beispiel 16 - 148
.
.
Zur vierten Spalte addieren wir das Doppelte der zweiten Spalte : .
.
.
.
Zur zweiten Spalte addieren wir die erste Spalte : .
.
.
.
Die erste Zeile hat nur noch einen von Null verschiedenen Wert in Spalte 1. Deshalb entwickeln wir
nach der 1. Zeile: .
.
.
.
Von der vierten Zeile subtrahieren wir die erste Zeile: .
.
.
.
In der zweiten Spalte ist nur noch das erste Element verschieden von Null, daher entwickeln wir nach
der 2. Spalte: .
.
.
0/15/1/2/4 .