0

0/16

17 Anwendungen

0/16/0

17.1 Anwendungen in der Ökologie, Eigenwerte und Eigenvektoren

0/16/0/0

17.1.1 Markov-Ketten und Übergangsmatrizen

0/16/0/0/0

Beispiel 17 - 1: Sie wohnen auf einer recht einsamen Insel. Auf dieser Insel gibt es nur einen Getränkeanbieter mit zwei Getränkesorten T und K. Der Anbieter hat festgestellt, daß pro Jahr 15 % der T-Konsumenten zu K und 4 % von K zu T wechseln. .
Das Konsumentenverhalten kann man graphisch so darstellen: .
0/16/0/0/1


PIC .

Abbildung 1: Wechselverhalten der Getränkekonsumenten

0/16/0/0/2 .
Bezeichnet man den Absatz des Getränks K bzw. T in diesem Jahr mit ki und im Folgejahr mit ki+1 bzw. ti und ti+1, kann man die Gleichungen aufstellen: .
ki+1 =0.85 ki+0.04 ti ti+1 =0.15 ki+0.96 ti .
.
Geht man über zur Matrixschreibweise, ergibt sich der Getränke-(Spalten-)vektor im Folgejahr als Produkt der Übergangsmatrix M mit dem Getränke-(Spalten-)vektor des Vorjahres: .
.

 #
Gi+1 = ki+1 ti+1 = 0.850.04 0.15 0.96 ki ti .
.
.

 #
Gi+1 = M

#
Gi  . .

Für einen Anfangs-Absatz von .
.

 #
G0 = k0 k0 = 2000 3000 .
.
Fässern erhält man im Folgejahr einen Verkauf von .
.

#G
 1 = k1 t1 = 0.850.04 0.15 0.96 2000 3000 = 1820 3180 .
.
Fässern. .
.
Im Folgejahr (gleiches Wechselverhalten vorausgesetzt) ergibt sich ein Verkauf von .
.

 #
G2 = k2 t2 = 0.850.04 0.15 0.96 1820 3180 = 1674 3326 .
.
Fässern. .
.

Interpretiert man den jährlichen Verkauf von Getränkefässern als Beobachtung und die Wechselraten als (feste) ’Wahrscheinlichkeiten’, so können wir bei bekannten Verkaufszahlen eines Jahres auf die Verkaufszahlen im Folgejahr schließen. .
Derartige Prognosemodelle, die mit der Verkettung von Wahrscheinlichkeiten operieren, nennt man Markoff’sche Ketten : Jede Beobachtung ist nur von einer oder von einer beschränkten Anzahl vorhergehender Beobachtungen abhängig. .

0/16/0/1

17.1.2 Leslie-Diagramme und Leslie-Matrizen

0/16/0/1/0

In Analogie zu obigem Getränkebeispiel soll die Populationsentwicklung einer Schwalbenherde betrachtet werden. Bekannt seien die (jährliche) Existenzwahrscheinlichkeit von Küken (K) L11 = 0.75 (im Folgejahr sind nur noch drei Viertel übrig) sowie Erwachsener (E) von L22 = 0.6. Jährlich wird die Hälfte der Küken erwachsen (L21 = 0.5), und jährlich gebären die erwachsenen Schwalben 1.3-fachen Nachwuchs (L12 = 1.3). .
Im Leslie-Diagramm werden die Übergangswahrscheinlichkeiten an den Pfeilen eingetragen. Ist eine Übergangswahrscheinlichkeit Null, so kann der Pfeil weggelassen werden. .
0/16/0/1/1


PIC .

Abbildung 2: Leslie-Diagramm

0/16/0/1/2 Nun seien in einem Bestand 30 Erwachsene und 60 Küken. Wie groß ist der Bestand nach einem bzw. 2 Jahren ? .
Derartige Übergangsmatrizen (sie sind analog zu oben) werden in der theoretischen Ökologie zur Beschreibung von Populationen genutzt und wurden von P. H. Leslie formuliert. Hat man Daten über n Altersklassen, dann ist die Leslie-Matrix vomn Typ nxn. .
In unserem Beispiel lautet sie: .

L = L11L12 L21 L22 = 0.751.3 0.5 0.6 . .
.

 #
Si+1 = ki+1 ei+1 = L

                                                                                              #
                                                                                              Si  .

#Si+1 = 0.751.3 0.5 0.6 ki e i = 0.751.3 0.5 0.6 60 30 = 84 48 . .

Für das Folgejahr ist die Population: .
.

 #
Si+2 = ki+2 ei+2 = LL

                                                                                                 #
                                                                                                Si  = 125.4 70.8 125 71 .
.

0/16/0/2

17.1.3 Eigenwerte und Eigenvektoren

Gegeben sei folgende Leslie-Matrix: .
.
L = 1.520.08 0 . .
.
Für einen Populationsvektor .

 #
Si = 10 10 .
ergibt sich im Folgejahr .

#S
 i+1 = 250.8 .
.
Für einen anderen Populationsvektor .

 #
Si = 20 1 .
.
ergibt sich im Folgejahr .

.

#Si+1 = 321.6 = 1.620 1 .
.
Das heißt, der Populationsvektor kann aus dem ursprünglichen Vektor durch Multiplikation .
mit 1.6 erzeugt werden. Wenn das Produkt einer Matrix L mit einem Vektor

#
s das Gleiche ergibt wie die Multiplikation des Vektors

#
s mit einer Zahl λ, nennen wir diesen Vektor Eigenvektor . Die Zahl λ bezeichnet man als Eigenwert . .
Wie findet man die Eigenwerte und Eigenvektoren ? .
Wir gehen von folgendem Ansatz aus: L

#
 s = λ

                                     #
                                     s .
Ergänzt um die Einheitsmatrix E .
L

#s = λE

   #s .
L

#
s -λE

 #
  s = 0.
(L -λ E)

#s = 0.
Diese Gleichung ist für von Null verschiedene Vektoren

#
s dann erfüllt, wenn .

det L - λ E = 0

det(L-λE) = det 1.5 - λ 2 0.08 0 - λ = (1.5-λ)(-λ)-0.082 = λ2-1.5λ-0.16 = 0. .
.
Lösungen sind λ1 = 1.6 und λ2 = -0.1. .
Die Eigenvektoren erhält man nun, indem man das Gleichungssystem .
L

#s = λ

 #s jeweils für die Werte von λ1 und λ2 löst. .
Für λ1 = 1.6 ergibt sich: .

#
s = 20 1 .
.
.

Für λ2 = -0.1 erhält man unendlich viele Lösungen: 0.8 s1 = s2 .
Sind nun die Populationsgrößen Eigenvektoren der Leslie-Matrizen, so kann man die Folgepopulationen einfach durch (ggf. mehrfache) Multiplikation des Eigenwerts mit dem Vektor bestimmen: .

#si+n = λn

#si  . .

0/16/1

17.2 Mischungen

0/16/1/0

17.2.1 Bestimmung von Zutatenmengen

0/16/1/0/0

Stellt man ein Gemisch her aus .
der Menge x1 von der Komponente A1, .
der Menge x2 von der Komponente A2, .
.............. .
der Menge xk von der Komponente Ak, .
spricht man von einem Mischungsverhältnis x1 : x2 : x3 : .... : xk wenn man zuvor erst alle Zahlen x1,x2,x3,....,xk mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert, sodaß sie alle ganzzahlig werden, und anschließend alle durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividiert. .
Beispiel 17 - 2: Eine Lösung habe die Komponenten A, B und C in den Mengen 15 ml, 30 ml und 45 ml. In ganzen Zahlen (multipliziert mit 100/ml): 15, 30 und 45. Dividiert durch den ggT 15 ergibt ein Mischungsverhältnis 1 : 2 : 3. .
.
Hat man nun verschiedene Lösungen bzw. Pulver mit verschiedenen Konzentrationen der Wirkstoffe, so stellt man zunächst die Summengleichung und danach die Bilanzgleichung je Wirkstoff auf. .
Beispiel 17 - 3: Gegeben seien drei Standardlösungen mit den Konzentrationen der Wirkstoffe A und B. Herauskommen soll eine Lösung der Menge L, bei denen die Konzentrationen vorgegeben sind: .
.






mol/lL1L2L3L .





A A1A2A3A .
B B1B2B3B .





.
.
.
Mit diesen Vorgaben erhält man drei Gleichungen: .
.
Gesamtmengengleichung:x1+x2+x3 =L .





Bilanzgleichung für A: A1 x1+A2 x2+A3 x3 =A L .
Bilanzgleichung für B: B1 x1+B2 x2+B3 x3 =B L .





.
.

Dieses Gleichungssystem kann man z.B. mit dem Gauß-Verfahren lösen. .
(Ein zuzugegebendes Lösungsmittel hat die Konzentration Null.) .
0/16/1/0/1 .
Beispiel 17 - 158
Gegeben sind vier Lösungen:
Die Lösung L1 mit einem Wirkstoffgehalt A von 6gl, einem Wirkstoffgehalt B von 7gl und einem Wirkstoffgehalt C von 0, 3gl,
die Lösung L2 mit einem Wirkstoffgehalt A von 7gl, einem Wirkstoffgehalt B von 8gl und einem Wirkstoffgehalt V von 0, 5gl,
die Lösung L3 mit einem Wirkstoffgehalt A von 8gl, einem Wirkstoffgehalt B von 9gl und einem Wirkstoffgehalt C von 0, 6gl und
die Lösung L4 mit einem Wirkstoffgehalt A von 8gl, einem Wirkstoffgehalt B von 10, 4gl und einem Wirkstoffgehalt C von 0, 78gl,

Welche Mengen der vier Lösungen muss man einer Mischung zugeben, damit man 700ml mit einem Wirkstoffgehalt A von 7, 5gl, Wirkstoffgehalt B von 9gl und einem Wirkstoffgehalt C von 0, 6gl erhält ? .
.

Lösung :
.
Die Gesamt-Mengenbilanz lautet: .
L1 + L2 + L3 + L4 = L = 700 .
Wirkstoffgehalt A : .
6 L1 + 7 L2 + 8 L3 + 8 L4 = 7, 5 700 .
Wirkstoffgehalt B: .
7 L1 + 8 L2 + 9 L3 + 10, 4 L4 = 9 700 .
Wirkstoffgehalt C: .
0, 3 L1 + 0, 5 L2 + 0, 6 L3 + 0, 78 L4 = 0, 6 700 .
Mit Maxima : .
m : matrix([1, 1, 1, 1], [6, 7, 8, 8], [7, 8, 9, 10.4], [0.3, 0.5, 0.6, 0.78]); .
m : matrix([1, 1, 1, 1], [6, 7, 8, 8], [7, 8, 9, 10.4], [0.3, 0.5, 0.6, 0.78]); .
linsolve_by_lu(m,xcol); .
ergibt: .
[ 99.99999999999997 149.9999999999999 200.0000000000001 249.9999999999999 ,false].

Mit Maple : .
restart; .
eq1 := l1 + l2 + l3 + l4 = 700 .
eq2 := 6 * l1 + 7 * l2 + 8 * l3 + 8 * l4 = 7.5 * 700 .
eq3 := 7 * wl + 8 * l2 + 9 * l3 + 10, 4 * l4 = 9 * 700 .
eq4 := 0.3 * l1 + 0.5 * l2 + 0.6 * l3 + 0.78 * l4 = 0.6 * 700 .
solve({eq1,eq2,eq3,eq4},{l1,l2,l3,l4}) .
und man erhält: .
l1 = 100.l2 = 150.l3 = 200.l4 = 250.. .

.
0/16/1/0/2 .
.
Bei der Aufstellung solcher Ansätze ist zu beachten, daß man bei n Wirkstofffen n + 1 Lösungen (Bilanzgleichungen) benötigt. Es können hierbei Gleichungssysteme entstehen, die nicht lösbar oder unsinnig (z.B. negative Mengen) sind.

0/16/2

17.3 Produktionsprozesse

0/16/2/0

17.3.1 Matrizen zur Beschreibung von Produktionsprozessen

0/16/2/0/0

Nehmen wir an, daß in einer Fabrik n verschiedene Rohstoffe r r1,r2,...,rn eingesetzt werden. Aus diesen Rohstoffen enstehen k Zwischenprodukte e e1,e2,e3,....,en. .
Dann kann die Herstellung in Matrixdarstellung beschrieben werden als .
r = A e. .
Kennt man nun den Bedarf der einzelnen Endprodukte, so kann man über diese Gleichung den Rohstoffbedarf ermitteln. Kenn man umgekehrt den Rohstoffbestand, so kann man mittels der Inversen A-1 den Endproduktbestand bestimmen: .
e = A-1 r. .
Sind mehrere Fertigungsstrassen im Werk, so entspricht dies einfach einer Multiplikation der Produktionsmatrizen. .
0/16/2/0/1 .
Beispiel 17 - 159
In einem Pharmaziebetrieb werden vier Rohstoffe r1, r2, r3 und r4 zu drei Zwischenprodukten z1, z2 und z3 verarbeitet. Aus diesen Zwischenprodukten entstehen in einem weiteren Prozess die drei Endprodukte p1, p2 und p3.
Die Mengenverbräuche sind gegeben durch die Gleichungen

r1=z1 +z3
r2 =2z1+z2+z3
r3 = +z2+z3
r4 =z1+z2+2z3
und
z1=p1+2p2+p3
z2 =2p1+3p2+p3
z3 =4p1+2p2+2p3
. .
Gesucht ist der Rohstoffbedarf, wenn 100 Einheiten von p1, 80 Einheiten von p2 und 60 Einheiten von p3 hergestellt werden sollen. .
Lösung :
.
Schreibt man die beiden Gleichungssysteme in der Form
r = A z und
z = B p
mit den Matrizen .
.
A = 101 2 1 1 011 1 1 2 und B = 121 2 3 1 422 , .
.
so gilt für die Gesamtproduktion
r = A (B p) = (A B) p. .
.
p = 100 80 60 . .
.

A B = 543 8 9 5 6 5311 9 6 . .
.
Damit wird der Rohstoffverbrauch .
.
r = 543 8 9 5 6 5311 9 6 100 80 60 = 1000 1820 1180 2180

.
0/16/2/0/2

0/16/2/1

17.3.2 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/16/3

17.4 lineare Un-Gleichungssysteme

0/16/3/0

17.4.1 Lineare Optimierung

0/16/3/0/0

Unter dem Begriff Lineare Optimierung (oder auch Linearer Programmierung) versteht man die Maximierung (Minimierung) einer linearen Funktion unter Nebenbedingungen in Ungleichheitsform.
Beispiel (s. Sydsaeter, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler) :
Ein Bäcker hat 150 kg Mehl, 22 kg Zucker und 27,5 kg Butter zur Verfügung, um zwei Arten von Kuchen zu backen. Nehmen Sie an, daß für die Produktion eines Dutzends Kuchen der Sorte A bzw. B folgende Zutaten benötigt werden: .
.





SorteMehlZuckerButter




A 3 1.0 1
B 6 0.5 1




.
.
Die Erlöse: Ein Dutzend verkaufter Kuchen A ergibt 20 , ein Dutzend verkaufter Kuchen B ergibt 30 .
Wieviele Dutzend Kuchen der Sorten A (entspricht x1) und B (entspricht x2) maximieren nun den Erlös ?
Die Zielfunktion lautet:
max z = 20x1 + 30x2
mit den Nebenbedingungen
3x 1+6.0x2 150.0
x1+0.5x2 22.0
x1+x2 27.5
.
und den Nicht-Negativitätsbedingungen x1 0 und x2 0.

Graphisch: .

0/16/3/0/1


PIC .

Abbildung 3: Lösungsraum der Ungleichung

0/16/3/0/2 .

Um die Ungleichungen besser verarbeiten zu können, werden Schlupfvariablen y1 0, y2 0 und y3 0 eingeführt:

(I1)y1+3x1+6.0x2 =150.0
(II1)y2+x1+0.5x2 =22.0
(III1)y3+x1+x2 =27.5
.
Die Schlupfvariable y1 sagt z.B. aus, wieviel kg Mehl nicht verbraucht wurde.
Das Gleichungssystem hat 3 Zeilen und 5 Variablen. Entsprechend sind 2 Variablen frei wählbar.
Das Prinzip des Simplex-Verfahrens besteht darin, ausgehend von einem Eckpunkt (einer Basislösung) zu einem weiteren Eckpunkt (ebenso eine Basislösung) und damit zu immer größeren Werten von z zu gelangen, bis ein weiteres Anwachsen nicht mehr möglich ist.

Die entsprechenden Schritte in diesem Beispiel sind:

1.
Erste zulässige Basislösung:
x1 = 0, x2 = 0, y1 = 150, y2 = 22, y3 = 27.5 ergibt z = 0.
2.
Verbesserung durch zunächst Festhalten von x1 = 0 und Vergrößerung von x2 , da Zielfunktion dadurch am stärksten steigt:
Hierbei entstehen die Folgefragen:
a) Um wieviel kann x2 von 0 aus erhöht werden ?
b) Welche der Variablen y1, y2 oder y3 sollen wir auf 0 setzen ?
Mit dem Versuch y1 = 0 folgt aus (I1), daß x2 = 25.
Mit dem Versuch y2 = 0 folgt aus (II1), daß x2 = 44.
Mit dem Versuch y3 = 0 folgt aus (III1), daß x2 = 27.5. .
Damit ist der kritische Punkt in Gleichung (I), denn mit x2 > 25 wird y1 < 0. x2 hat damit als Obergrenze den Wert 25.
Wir setzen also x2 = 25 und damit y1 = 0.
3.
Neue Werte:
x1 = 0, x2 = 25, y1 = 0, y2 = 9.5, y3 = 2.5 ergibt z = 750.
4.
Umschreiben des Gleichungssystems, sodaß die Variablen, die nicht gleich Null gesetzt sind, durch die anderen Variablen ersetzt werden: .
(I2)x2 =25.0-1 2x1-1 6y1
(II2)y2 =9.5-3 4x1+ 1 12y1
(III2)y3 =2.5-1 2x1-1 6y1
.
z = 20x1 + 30x2 = 20x1 + 30 (25 -1 2x1 -1 6y1)
z = 750 + 5x1 - 5y1
5.
weitere Erhöhung von z durch Vergrößern von x1 (mit y1 wäre das kontraproduktiv; Deshalb y1 = 0):

a) Um wieviel kann x1 von 0 aus erhöht werden ?
b) Welche der Variablen x2, y2 oder y3 sollen wir auf 0 setzen ?
Mit dem Versuch x2 = 0 folgt aus (I2), daß x1 = 50.
Mit dem Versuch y2 = 0 folgt aus (II2), daß x1 = 38 3 .
Mit dem Versuch y3 = 0 folgt aus (III2), daß x1 = 5. .
Damit ist der kritische Punkt durch Gleichung (III2) gegeben, und x1 hat damit als Obergrenze den Wert 5.

6.
Neue Werte:
x1 = 5, x2 = 22.5, y1 = 0, y2 = 5.75, y3 = 0 ergibt z = 775.
7.
Umschreiben des Gleichungssystems, sodaß die Variablen, die nicht gleich Null gesetzt sind, durch die anderen Variablen ersetzt werden: .
(I3)x1 =5.0+1 3y1-2y3
(II3)x2 =22.5-1 3y1+y3
(III3)y3 =5.75-1 6y1+3 2y3
z =775-10 3 y1-10y3

8.
Der Versuch, eine weitere Erhöhung von z durch Vergrößern von y1 oder y2 von Null aus zu erreichen, führt nicht zum Ziel. Ergebnis:
x1 = 5, x2 = 22.5, z = 775.

Lösung mit Maxima: .
load(simplex); .

u1 : x >= 0; .
u2 : y >= 0; .
u3 : 3 * x + 6 * y <= 150; .
u4 : x + 0.5 * y <= 22; .
u5 : x + y <= 27.5; .
ZF : 20 * x + 30 * y; .
NB : [u1,u2,u3,u4,u5]; .

maximize_lp(ZF,NB),numer; .

ergiibt: (%o24)[775.0, [y = 22.5,x = 5.0]] Lösung mit Maple:

with(simplex) :
cnsts := {3 * x + 6 * y <= 150,x + 0.5 * y <= 22,x + y <= 27.5} :
obj := -x + y + 2 * z :
maximize(obj,cnsts {0 <= x, 0 <= y, 0 <= z}) oder:
maximize(obj,cnsts,NONNEGATIV E) oder:
maximize(obj,cnsts)
.

0/16/3/0/3 .
Beispiel 17 - 160
Lösen Sie mit dem Simplex-Verfahren das Optimierungsproblem:
max z = 3x1 + 4x2
3x1 + 2x2 6
x1 + 4x2 4

Lösung : .
Wir führen die Schlupfvariablen y1 und y2 ein und erhalten:
A 1 :y1+3x1+2x2 =6 B1 :y2+ x1 +4x2 =4 ,
mit x1,x2,y1,y2 0. .
Erste Basislösung:
x1 = 0,x2 = 0,y1 = 6,y2 = 4 z = 3x1 + 4x2 = 0.
z steigt stärker, wenn wir zunächst x2 erhöhen.
Für x1 = 0,y1 = 0 folgt aus A1, dass x2 = 3 (nicht zulässig wg. B1).
Für x1 = 0,y2 = 0 folgt aus B1, dass x2 = 1 (’kritischer Punkt’).
Daher: nächste Lösung aus B1:
y2 = 0,x2 = 1,x1 = 0,y1 = 4, z = 4.
Ausdrücken der von Null verschiedenen Variablen:
B2 :x2 =1-1 4x1-1 4y2 A2 :y1 =4-5 2x1+1 2y2 , .
was z = 3x1 + 4x2 = 3x1 + 4 - x1 - y2 = 4 + 2x1 - y2 ergibt.
Wir erhöhen x1 y2 = 0 .
Für y2 = 0 folgt aus A2, dass x1 = 4 (schlecht).
Für y2 = 0 folgt aus B2, dass x1 = 8 5 . .
Daher: nächste Lösung:
y2 = 0, und aus A2 folgt: x2 = 3 5,x1 = 8 5,y1 = 0,y2 = 0 z = 36 5 . .
Ausdrücken der von Null verschiedenen Variablen:
x1 = 8 5 -2 5y1 + 1 5y2 x2 = 3 5 + 1 10y1- 3 10y2 z =36 5 -4 5y1 -3 5y2 .
Durch Vergrößern von y1 oder y2 wird z kleiner. Daher:
x1 = 8 5,x2 = 3 5,z = 36 5 fertig.

.
0/16/3/0/4