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17 Anwendungen

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17.4 lineare Un-Gleichungssysteme

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17.4.1 Lineare Optimierung

0/16/3/0/3 .
Beispiel 17 - 160
Lösen Sie mit dem Simplex-Verfahren das Optimierungsproblem:
max z = 3x1 + 4x2
3x1 + 2x2 6
x1 + 4x2 4

Lösung : .
Wir führen die Schlupfvariablen y1 und y2 ein und erhalten:
A 1 :y1+3x1+2x2 =6 B1 :y2+ x1 +4x2 =4 ,
mit x1,x2,y1,y2 0. .
Erste Basislösung:
x1 = 0,x2 = 0,y1 = 6,y2 = 4 z = 3x1 + 4x2 = 0.
z steigt stärker, wenn wir zunächst x2 erhöhen.
Für x1 = 0,y1 = 0 folgt aus A1, dass x2 = 3 (nicht zulässig wg. B1).
Für x1 = 0,y2 = 0 folgt aus B1, dass x2 = 1 (’kritischer Punkt’).
Daher: nächste Lösung aus B1:
y2 = 0,x2 = 1,x1 = 0,y1 = 4, z = 4.
Ausdrücken der von Null verschiedenen Variablen:
B2 :x2 =1-1 4x1-1 4y2 A2 :y1 =4-5 2x1+1 2y2 , .
was z = 3x1 + 4x2 = 3x1 + 4 - x1 - y2 = 4 + 2x1 - y2 ergibt.
Wir erhöhen x1 y2 = 0 .
Für y2 = 0 folgt aus A2, dass x1 = 4 (schlecht).
Für y2 = 0 folgt aus B2, dass x1 = 8 5 . .
Daher: nächste Lösung:
y2 = 0, und aus A2 folgt: x2 = 3 5,x1 = 8 5,y1 = 0,y2 = 0 z = 36 5 . .
Ausdrücken der von Null verschiedenen Variablen:
x1 = 8 5 -2 5y1 + 1 5y2 x2 = 3 5 + 1 10y1- 3 10y2 z =36 5 -4 5y1 -3 5y2 .
Durch Vergrößern von y1 oder y2 wird z kleiner. Daher:
x1 = 8 5,x2 = 3 5,z = 36 5 fertig.

.