0
0/14
15 Reelle Matrizen
0/14/4
15.4 Gauß’scher Algorithmus
0/14/4/2
15.4.3 Gauß-Jordan-Verfahren
0/14/4/2/0
Alternativ zum beschriebenen Gauß-Verfahren kann man auch die Koeffizientenmatrix noch weiter umformen, bis man
eine Einheitsmatrix
erhält. Damit können die Lösungen direkt abgelesen werden.
oder
Dies ist auch als Gauß-Jordan-Verfahren bekannt.
0/14/4/2/1 .
Beispiel 15 - 138
Alternative Lösung des obigen Beispiels mit Gauß-Jordan: .
| | | | | | | umbilden in Matrix: | |
| | | | | | | 1. Spalte: , | 2. Spalte: |
| | | | | | | 3. Spalte: , | 4. Spalte: Absolutglied |
| |
.
(Anm.: Man kann das Absolutglied zuerst auch auf die linke Seite der Gleichung bringen, man muß
nur beim Ablesen darauf achten.) .
| | | | PS |
| | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
|
|
|
|
|
|
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
|
|
|
|
|
|
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
|
|
|
|
|
|
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
|
|
|
|
|
|
| |
. .
.
0/14/4/2/2
0/14/4/2/3 .
Beispiel 15 - 139
Zu lösen ist das Gleichungssystem .
| | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| |
.
| | | | |
| | | | | |
| | | | | |
|
|
|
|
|
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
|
|
|
|
|
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
|
|
|
|
|
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
|
|
|
|
|
| |
. . .
.
0/14/4/2/4
Beispiele zum Gauß’schen Verfahren
0/14/4/2/5 .
Beispiel 15 - 140
Tragwerke
| | | | |
| | | | | nach |
| | | | | nach |
| | | | | |
| |
.
Pivotisieren:
.
| | | | |
|
|
|
|
|
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
|
|
|
|
|
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
|
|
|
|
|
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
|
|
|
|
|
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
|
|
|
|
|
| |
.
.
0/14/4/2/6
0/14/4/2/7 .
Beispiel 15 - 141
.
.
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| |
| | | | | |
| | | | |
| | | | |
| |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| |
Die
Gleichung hat unendlich viele Lösungen
wird
zum Parameter und ist frei wählbar.
Auflösen durch Rückwärtseinsetzen:
.
.
.
.
0/14/4/2/8
0/14/4/2/9 .
Beispiel 15 - 142
| | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| |
.
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| |
| | | | | | |
| | | | | |
| | | | | | |
| . |
| oder . |
| . |
| | | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| |
| |
Das
Gleichungssystem ist nicht lösbar.
.
0/14/4/2/10
Ein Gleichungssystem hat
| eine oder |
| keine oder
|
| unendlich viele |
Lösungen. .
Ist das Gleichungssystem homogen (Alle Absolutglieder sind Null,
)
so hat es entweder genau eine Lösung (die Triviallösung
) oder
unendlich viele Lösungen (darunter auch die Triviallösung).
|