0

0/17

18 Vektoralgebra

0/17/0

18.1 Grundbegriffe

0/17/0/0

In der Technik arbeitet man häufig mit den Begriffen Skalaren und Vektoren . .
Unter Skalaren versteht man ungerichtete Größen (Beträge) aus den Paaren Maßzahl und Einheit (wie z.B. Temperatur, Leistung, Energie). .
Will man den Größen eine Richtung zuordnen, verwendet man dazu Vektoren . Sie weisen neben dem Betrag (Maßzahl, Einheit) zusätzlich eine Richtung auf (wie z.B. eine Kraft oder ein elektrisches Feld). Der Ursprung von Vektoren damit zunächst nicht festgelegt. .
Man unterteilt in:

1.
freie Vektoren: beliebig verschiebbar.
2.
Linienflüchtige Vektoren: beliebig verschiebbar entlang der Wirkungslinie.
3.
gebundene Vektoren: Ursprung an einem festen Punkt.

Achtung ! Wenn man in der Informatik von Vektoren spricht, meint man damit eine geordnete Menge von Daten (Arrays). .

0/17/0/1 .
Beispiel 18 - 161
a) Temperaturverteilung in einem Raum .
b) Windgeschwindigkeiten .
c) Kräfte und Drehmomente an einem Körper .

.

Temperatur als Skalarfeld .
Wind als Vektorfeld .
Kräfte als linienflüchtige Vektoren .

.
0/17/0/2

Folgende grundlegende Eigenschaften beschreiben spezielle Vektoren: .

Nullvektor: Betrag Null, keine Richtung angebbar .
Einheitsvektor: (Einsvektor) Betrag 1 = |e|
Ortsvektor 0P:führt vom Ursprung 0 zum Punkt P. .
Gleichheit von Vektoren: Betrag und Richtung sind gleich. .
Parallel: gleiche Richtung .
Antiparallel: entgegengesetzt, Gegenvektor, inverser Vektor .
kollinear: antiparallel oder parallel

0/17/0/3 .
Beispiel 18 - 162
Fahrstuhl

.

Kraft nach oben: F .
Kraft nach unten: G = m*g .

.
0/17/0/4

a = 0 F = -G .

0/17/1

18.2 Vektoroperationen

0/17/1/0

0/17/1/1 .
Beispiel 18 - 163
Vektoraddition : a + b .


PIC .

Abbildung 1: Kräfteparallelogramm

.

(Evtl. auf Richtungsänderung bei Rollen einghehen )

.
0/17/1/2

0/17/1/3 .
Beispiel 18 - 164
Vektorsubtraktion
a -b

.


PIC .

Abbildung 2: Vektorsubtraktion

.

.
0/17/1/4

0/17/1/5 .
Beispiel 18 - 165
Parallelogrammregel

.


PIC .

Abbildung 3: Parallelogrammregel

.

.
0/17/1/6

0/17/2

18.3 Vektorrechnung in der Ebene

0/17/2/0

Vektoren in der Ebene können als Komponenten in x- und y-Richtung beschrieben werden. .
0/17/2/1 .
Beispiel 18 - 167
Vektorkomponenten

.


PIC .

Abbildung 5: Vektorkomponenten

.
0/17/2/2

a =ax + ay =ax ex + ay ey
a = ax ay
.

Beispiel 18 - 172: Parameterdarstellung von Geraden .
Eine Gerade ist ausreichend beschrieben durch einen darauf befindlichen Punkt und der Richtung der Geraden. Hat man die Ortsvektoren der beiden Punkte P1 und P2, kann man willkürlich einen davon auswählen. .
P1 oder P1 dienen als Ortsvektor. .
Die Richtung der Geraden kann man ausdrücken als Differenz der Vektoren P2 - P1 .
(Richtungsvektor) (P2 -P1 ) oder .
(P1 -P2 ) (entgegengesetzte Richtung) .
Parameterdarstellung einer Geraden durch P1 und P2: .
G = P1 + λ (P2 -P1 ) .
Die Punkt-Steigungsform wird zu: .
y = mx+b r = 0 b +λ1m

0/17/2/3 .
Beispiel 18 - 172
Gegeben sei eine Gerade

#
g durch den Punkt P1 = 1 2 und der Steigung m = 3. .
Wie lautet eine Geradengleichung in Parameterform ? .
.

Der Punkt P2 sei 2 5 .
.

 #
P2 -

 #
P1  = 2 5 -1 2 = 1 3

#G = 1 2 +λ1 3 .

.
0/17/2/4 .
Anmerkung: .
Jeder Aufpunkt auf der Geraden ist zulässig. Der Richtungsvektor kann mit jeder Zahl 0 multipliziert sein, da λ ein frei wählbarer Parameter ist. .
Allgemeinere Vorgehensweise: Falls die Gleichung in der Form ax + by + c = 0 vorliegt, ersetzt man eine der vorkommenden Variablen (z.B. x) durch den Parameter λ. .
Dann ist die x-Komponente durch λ gegeben, die y-Komponente erhält man durch Auflösen nach y. .
0/17/2/5 .
Beispiel 18 - 173
Umformen der Geradengleichung 3x + y - 5 = 0 in vektorieller Parameterdarstellung: .
x = λ .
.
y = -3λ + 5 .
.
x y = 0 5 +λ 1 -3 .

.
0/17/2/6

Überführung von der Parameterdarstellung in eine Geradengleichung . Hierzu stellt man je Komponente eine Gleichungszeile auf und eliminiert bei dem aufgestellten Gleichungssystem den Parameter λ. .
0/17/2/7 .
Beispiel 18 - 174
Gegeben sei eine Gerade in Parameterdarstellung:

#G

= x y = 0 5 +λ 1 -3

Formen Sie diese Darstellung in eine Achsenabschnittsform um.

.

Lösung über Elimination des Parameters λ: .

x =λ
y =5 - 3λ
y =5 - 3x
x y = 1 2 +λ 1 -3

x =1 + λ λ =x - 1
y =2 - 3λ y =2 - 3(x - 1)
y =2 - 3x + 3 = -3x + 5
.
0/17/2/8

0/17/3

18.4 Skalarprodukt

0/17/3/0 .
Beispiel 18 - 175
Kraft, die entlang eines Wegs wirkt .


PIC .

Abbildung 8: Kraftwirkung

.

.
0/17/3/1

.

F S =|F||S| cos α
F S =Fx Sx + Fy Sy
.
Fasst man den Vektor F als Matrix mit einer Zeile (Zeilenvektor) und S als Matrix mit einer Spalte (Spaltenvektor) auf, so kann man das Skalarprodukt als klassische Matrixmultipikation nach dem Falk’schen Schema behandeln: F S = FT S. 0/17/3/2 .
Beispiel 18 - 176
Zahlenbeispiel:

 #
F

= 3 2

                                                                                                                                                                                             #
                                                                                                                                                                                             S

= -1 5 .

.

Die Berechnung erfolgt durch komponentenweise Multiplikation:

 #
F

#
S = (-3+10) = 7
α = arccos 2 1326


PIC .

Abbildung 9: Falk’sches Schema

.
0/17/3/3

Mittels des Skalarprodukts lassen sich Winkel zwischen Vektoren bestimmen. .
a b = |a||b| cos α .
oder cos α = a b |a | |b .
oder α = arccos( a b|a | |b |). .
Für a b > 0 gilt: α < 90°, spitzer Winkel .
Für a b = 0 gilt: α = 90°, rechter Winkel .
Für a b < 0 gilt: α > 90°, stumpfer Winkel .

0/17/3/4 .
Beispiel 18 - 177
Gegeben sind die Vektoren

#F

= 1 1

                                                                                                                                                                                             #S

= -1 1

Bestimmen Sie den Winkel zwischen diesen Vektoren über das Skalarprodukt.

.

#F

            #S

= - 1 + 1 =0
|

#
F |

= 12 + 12 =2 =|

 |

#
F

           #
           S

= 0 =2 2 cos α cos α = 0

                                                                                                          #
                                                                                                          F

                                                                                                                                                                                                          #
                                                                                                                                                                                                          S


.
0/17/3/5 .
Beispiel 18 - 178
Welchen Winkel schließt der Vektor

#a = 2 1 mit der x- bzw. der y-Achse ein ? .

Für den zweiten Vektor gilt:

#e x = 1 0 bzw.

#e y = 0 y . .

#a

#e x = 2 1 1 0 = 2.

 #
a

#
e y = 2 1 0 1 = 1.

|

#
a | = 22 + 12 = 5, |

#
e x| = |

#
 e y| = 1. .
Damit wird cos α = #
a

                 #
                 e x |

#
a ||

                  #
                  e x = 2 5
oder

α = arccos( #
a

         #
         e x |

#
a ||

          #
          e x|) = arccos( 2 5) 0, 46 27°.
und cos β = #a

          #e y |

#
a ||

           #
           e y = 1 5
oder α = arccos( #
a

              #
              e y |

#
a ||

               #
               e y|) = arccos( 1 5) 1, 099 63° .

.
0/17/3/6

0/17/4

18.5 Hesse’sche Normalform

0/17/4/0

0/17/4/0/0

Mit Hilfe des Skalarprodukts kann man recht leicht Geradendarstellungen in eine Hesse’sche Normalform vornehmen: .
.
0/17/4/0/1 .
Beispiel 18 - 179
Hesse’sche Normalform in der Darstellung n1 x + n2 y - p = 0. .
Mit

#
n = n1 n2 und |

#n | = 1 .


PIC .

Abbildung 10: Hesse’sche Normalfom

.

#n

#OX = |

                                                                                          #n |

                                                                                                                                                                                       #OX cos γ, mit |P| |OX| = cos γ .
|OX| cos γ = |P| .

#n

#OX =

                                                                                         #P .

 #
n

#
OX -

                                                                                        #
                                                                                       P = 0.
Dies führt zu n1 x + n2 y - p = 0.

.
0/17/4/0/2 .

0/17/4/1

18.5.1 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .