0

0/14

15 Reelle Matrizen

0/14/4

15.4 Gauß’scher Algorithmus

0/14/4/2

15.4.3 Gauß-Jordan-Verfahren

0/14/4/2/0

Alternativ zum beschriebenen Gauß-Verfahren kann man auch die Koeffizientenmatrix noch weiter umformen, bis man eine Einheitsmatrix E erhält. Damit können die Lösungen direkt abgelesen werden.

A x = c
A-1 A x = A-1 c oder
x = A-1 c
Dies ist auch als Gauß-Jordan-Verfahren bekannt.
0/14/4/2/1 .
Beispiel 15 - 138
Alternative Lösung des obigen Beispiels mit Gauß-Jordan: .

- x + y + z =0 umbilden in Matrix:
x - 3y- 2z =5 1. Spalte: x,2. Spalte: y
5x + y + 4z =3 3. Spalte: z,4. Spalte: Absolutglied

.
(Anm.: Man kann das Absolutglied zuerst auch auf die linke Seite der Gleichung bringen, man muß nur beim Ablesen darauf achten.) .
xyzc PS
1- 1- 10- 1
1- 3- 251- I
514313- 5 I






1- 1- 10- 1- II2
0- 2- 152
069318 + 3 II






100- 10
010- 4- 3
00618246






100- 10
010- 4- 3
00134







.
x = -1,y = -4,z = 3 .

.
0/14/4/2/2

0/14/4/2/3 .
Beispiel 15 - 139
Zu lösen ist das Gleichungssystem .

- x + y- z =- 2
+ y- 2z =- 4
- z =- 15

.

- 11- 1- 2- III
01- 2- 4- 2 III
00- 1- 15





- 11013- II
01- 2- 4 + 2 III
00- 1- 15





1- 10- 1- II
01026
00- 1- 15 (-1)





10013
0 1 0 26
00115






.
.
x = 13,y = 25,z = 15 .

.
0/14/4/2/4

Beispiele zum Gauß’schen Verfahren
0/14/4/2/5 .
Beispiel 15 - 140
Tragwerke

FAFBMAc
0 1 20F cos αnach II
1 1 20F sin αnach I
0 k 21k 2 F sin α

.
Pivotisieren:

.

FAFBMAc





1 1 20F sin α- II
0 1 20F cos α
0 k 21k 2 F sin αk





1 00F (sin α - cos α)
0 1 20F cos α
0 1 21 k1 2 F sin α- II





1 00F (sin α - cos α)
0 1 20F cos α2
0 01 kF (1 2 sin α - cos α) k





1 00F (sin α - cos α)
0 102 F cos α
0 01F k (1 2 sin α - cos α)






.
FA = F (sin α - cos α)
FB = 2 F cos α
MA = F k (1 2 sin α - cos α)

.
0/14/4/2/6

0/14/4/2/7 .
Beispiel 15 - 141

1 1 -2 1-1-2 2 3 -4 x y z = 0 0 0

11- 20
1- 1- 20
23- 40

.
.

11- 20
1- 1- 20- I
23- 40- 2I
11- 20
0- 200
0100 + II 2
11- 20
0- 200
0000 + II 2

Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen
z wird zum Parameter und ist frei wählbar.
Auflösen durch Rückwärtseinsetzen:
II y = 0 .
I x + 0 - 2λ = 0 .
x = 2λ .

.
0/14/4/2/8

0/14/4/2/9 .
Beispiel 15 - 142

- x1 + 2x2 + x3 =6
x1 + x2 + x3 =- 2
2x1 - 4x2- 2x3 =- 6


.

- 121 6
1 + 11 - 2 + I
2- 4- 2 - 6 + 2I
- 121 6
032 4
0 00 - 6
.
oder .
.
- x1 + 2x2 + x3 =6
03x2 + 2x3 =4
000 =- 6

Das Gleichungssystem ist nicht lösbar.


.
0/14/4/2/10

Ein Gleichungssystem hat

eine oder keine oder unendlich viele
Lösungen. .


Ist das Gleichungssystem homogen (Alle Absolutglieder sind Null, c = 0) so hat es entweder genau eine Lösung (die Triviallösung x = 0) oder unendlich viele Lösungen (darunter auch die Triviallösung).