0/0

1 Einleitung

0/0/0

1.1 Motivation und Hilfsmittel

0/0/0/0

1.1.1 Zielsetzung

Die Lehrveranstaltung ’Mathematik - eine Einführung’ soll Sie in die Lage versetzen, in den späte- .
ren Lehrveranstaltungen Ihres Fachgebiets über das notwendige Rüstzeug zu verfügen. Neben der .
Vermittlung der notwendigen Theorie wird besonders großer Wert auf praktische Übungen gelegt. .

Diese vorliegende blended-Learning-Einheit soll Ihnen mit Theorie-und Übungsteilen den Stoff ver- .
mitteln. .

Eine Vielzahl der skizzierten Beispiele (Gitterlinien zum Ausfüllen) wird Ihnen in der Präsenz- .
Veranstaltung aufgezeigt. .

Mit Hilfe von Übungen und Tutorien und der Tests über das Internet sollen Sie optimal auf Ihre .
bevorstehende Klausur vorbereitet werden. .

0/0/0/1

1.1.2 Literatur und weitere Hilfsmittel

Sie sollten sich auf jeden Fall eine Formelsammlung zulegen, sei es [PapulaF1] oder [StoeckerF1] oder .
Vergleichbares. .
Zum weiteren Lesen und Nachschlagen empfehle ich Ihnen die Werke von Papula [PapulaL1] und .
[PapulaL2] . Auch die Werke von [HoffmannL1] , [HofmannL2] und [WestermannL1] sind hilfreich. .
Diese Werke sind auch als e-books unserer Bibliothek erhältlich. .
Zum Üben empfehle ich ihnen (neben den Aufgaben auf der Lernplattform) die Übungsaufgaben in .
den obengenannten Lehrbüchern sowie als Ergänzung die Klausurensammlung von [PapulaU1] und .
[TurturU1] . .

Ich wünsche Ihnen viel Erfolg der Erarbeitung dieser Themen.
0/0/0/2

1.1.3 Übungen

... und zu Beginn gleich eine Einstiegsübung (Hierzu benötigen Sie einen Account in OLAT): .
zu den Übungen .

0/1

2 Gleichungen

0/1/0

0/1/1

2.1 Terme und Gleichungen, Äquivalenzumformungen

0/1/1/0

2.1.1 Äquivalenz

0/1/1/0/0

Definition Term : Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der aus

Zahlen
Variablen
Rechenzeichen
evtl. anderen mathematischen Symbolen

besteht.
Will man die Äquivalenz von Termen ausdrücken, so verwendet man das Gleichheitszeichen.
Zwei Terme $T_{1}$ und $T_{2}$ sind äquivalent $\Leftrightarrow$ $T_{1} = T_{2}$ .
.
Gleichungen ermöglichen u.a. die Beschreibung quantitativer Beziehungen in Natur, Technik, Wirt- .
schaft etc.
Die Umformung von textlicher Beschreibung in Gleichungen ist häufig ein schwierigerer, aber meist .
lohnender Schritt.
0/1/1/0/1 .
Beispiel 2 - 1
Den Umfang eines Kreises berechnet man, indem man das Produkt aus dem Verhältnis von Umfang .
eines beliebigen Kreises zu seinem Durchmesser und dem Kreisradius mit 2 multipliziert.

Umfang: U .
Durchmesser: d .
Radius: r .

\frac{u}{d} = π

U = 2 π \cdot r

.
0/1/1/0/2

0/1/1/1

2.1.2 Typen von Gleichungen

0/1/1/1/0

Identische Gleichungen
bleiben erhalten beim Einsetzen beliebiger Werte.
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ .
.
Bestimmungsgleichungen
(Bestimme die Werte aller Variablen, für die die Gleichung erfüllt ist.) Die Lösungsmenge hat
- eine
- mehrere
- keine Lösungen.

Beispiel 2 - 2: Lösungsmengen

x+2=3
Lösung = 1
Lösungsmenge $L = {1}$
x+13=x+13
Lösungsmenge $L = ℝ$
x+2=x+3
Lösungsmenge $L = {\emptyset}$

.
0/1/1/1/1 .
Beispiel 2 - 2
Sogar in der Weltliteratur haben Bestimmungsgleichungen ihren Platz gefunden. Der Nobelpreisträ- .
ger Thomas Mann zum Beispiel, der sich sonst von allem Mathematischen so fern wie nur möglich .
hielt, hat in seinem Buch Joseph und seine Brüder ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten .
verwendet, um die besonderen Fähigkeiten seines jungen Helden zu demonstrieren [RiessingerL1] . .
Es geht dabei um die biblische Josephsgeschichte, und wie Sie vielleicht wissen, wird der so junge .
wie arrogante Joseph von seinen Brüdern an einen vorbeiziehenden Reisenden verkauft. .
Dieser Reisende stellt seine Neuerwerbung nun auf die Probe: .
„Gesetzt aber, ich habe ein Stück Acker, das ist dreimal so groß wie das Feld meines Nachbarn .
Dagantakala, dieser aber kauft ein Joch Landes zu seinem hinzu, und nun ist meines nur noch .
doppelt so groß: Wieviel Joch haben beide Äcker?“
„Zusammen?“fragte Joseph und rechnete ...
„Nein, jeder für sich.“ .

Joseph löst seine Aufgabe, die nichts weiter ist als ein kleines Gleichungssystem mit zwei .
Unbekannten, und auf die Frage, wie er so schnell die Lösung finden konnte, läßt Thomas Mann ihn antworten: .
„Man muß das Unbekannte nur fest ins Auge fassen, dann fallen die Hüllen, und es wird bekannt.“ .
Vermutlich hat Thomas Mann, der von Mathematik leider gar nichts verstand, jemanden gebeten, .
das Beispiel für ihn zu rechnen, denn die Erklärung des Lösungsverfahrens ist doch reichlich unbefrie- .
digend und läßt darauf schließen, daß er nicht so recht wußte, wie man systematisch auf die Lösung .
kommt [RiessingerL1] . .

$R$	$=$	$3 D$
$R$	$=$	$2 (D + 1)$

(Das Lösen von Gleichungssystemen kommt im Kapitel „Reelle Matrizen“).

.
0/1/1/1/2 .

Bestimmungsgleichungen können unterteilt werden in

algebraische Gleichungen wie z.B.
- ganzrationale Gleichungen
- gebrochenrationale Gleichungen
- irrationale Gleichungen
Beispiel 2 - 3: Algebraische Gleichungen .
$2 x^{2} + x = 0$ .
$\frac{2 x + 4}{x - 1} = 2$ .
$\sqrt{3 x^{2} - 2 x} = x - 12$ .
transzendente Gleichungen wie z.B.
- Exponentialgleichungen
- Logarithmische Gleichungen
- Trigonometrische Gleichungen
Beispiel 2 - 4: Transzendente Gleichungen .
$2 e^{2 x} = 4$ .
$l n x = 10$ .
$s i n x = 1$ .

.
Ein weiterer Typ von Gleichungen sind die

Funktionsgleichungen .
Dis ist die am häufigsten angewendete Darstellungsart. Eine Funktionsgleichung enthält zwei .
oder mehr Variable, die durch die Gleichung einander zugeordnet werden. .
Beispiel 2 - 5: Funktionsgleichungen
- $y = \frac{1}{2} x^{2} + 1$
- $y = 2 x^{3} + x - 4$
- $y = s i n x$

Auf der rechten Seite stehen Ausdrücke der unabhängigen Variablen (meist mit $x$ bezeichnet), auf der linken Seite steht die abhängige Variable (meist mit $y$ bezeichnet). .

0/1/1/2

2.1.3 Algebraische Terme

Algebraische Rechenoperationen:

addieren, subtrahieren
multiplizieren, dividieren
potenzieren, radizieren

In algebraischen Termen werden nur algebraische Rechenoperationen durchgeführt. .
$a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + a_{n - 2} \cdot x^{n - 2} + \dots a_{2} \cdot x^{2} + a_{1} \cdot x^{1} + a_{0} = 0$ .
.

$a_{i}$ mit $i \in {0 \dots n}$	=	Koeffizienten (beliebige Werte, auch transzendent)
$n$	=	Grad

Grad 1: lineare Gleichungen
Grad 2: quadratische Gleichungen
Grad 3: Kubische Gleichungen

Fundamentalsatz der Algebra : .
Jede algebraische Gleichung von Grad $n$ hat genaun $n$ (reelle oder komplexe) Lösungen. .

0/1/1/3

2.1.4 Äquivalenzumformungen

Äquivalenz kann alternativ so formuliert werden: Definitionsmenge und Lösungsmenge äquivalen- .
ter Terme stimmen überein.

Elementare Äquivalenzumformungen :

1.

Vertauschen der Seite einer Gleichung

$x$	=	$3$	$\Leftrightarrow$	$3$	=	$x$ .
$☈ x$	$<$	$3$	$\Leftrightarrow$	$3$	$<$	$x ☈$

2.

Termaddition/Subtraktion


$x + 3$	=	$7$	$\| - 3$ .
$x$	=	$4$	.

3.

Term-Multiplikation/Division

Achtung ! Term darf nicht Null sein!! Sonst ist die Ursprungsgleichung nicht mehr erkennbar.
.
Beispiel 2 - 3

$x$	=	$3$	$\| \cdot 4$	$\Rightarrow$	$x \cdot 4$	=	$3 \cdot 4$	$✓$
$x$	=	$3$	$\| \cdot \underset{= 0}{\underset{︸}{(x - 1)}}$	$⇏$	$x \cdot (x - 1)$	=	$3 \cdot (x - 1)$	$f$

.
Alle Nullstellen des Faktors, mit dem wir multiplizieren, kommen als scheinbare Lösungen hinzu. Mit einer Probe kann man sie wieeder "herausfiltern".

4.

Substitution
.
Beispiel 2 - 4

x^{2} - 6 = 3

	$x^{2} - 6$	$=$	$3$	Substituiere mit:	$y = x^{2}$
$\Rightarrow$	$y - 6$	$=$	$3$
	$y$	$=$	$9$	Rücksubstitution:
$\Rightarrow$	$x^{2}$	$=$	$9$	$\| \sqrt{Wurzel ziehen}$
	$x_{1, 2}$	$=$	$\pm 3$

.
.
Beispiel 2 - 5
$\frac{5}{4} = \frac{5 + x}{x}$ .

$\frac{5}{4}$	$=$	$\frac{5 + x}{x}$	$\| \cdot x$ (mit $x \neq 0$ )
$\frac{5 x}{4}$	$=$	$5 + x$	$\| \cdot 4$
$5 x$	$=$	$20 + 4 x$	$\| - 4 x$
$x$	$=$	$20$

.
Beispiel 2 - 6
${(x - 1)}^{2} \cdot (x + 2) = 4 \cdot (x + 2)$

. .

${(x - 1)}^{2} \cdot (x + 2)$	$=$	$4 \cdot (x + 2)$
1. Ansatz (schlecht):
$(x + 2)$	$=$	$0$
${(x - 1)}^{2} \cdot (x + 2)$	$=$	$4 \cdot (x + 2)$	$\| : (x + 2)$ mit $x \neq - 2$
${(x - 1)}^{2}$	$=$	$4$	$\| \sqrt{Wurzel ziehen}$
$(x - 1)$	$=$	$2$	$☈$ Keine Äquivalenzumformung!!
$x$	$=$	$3$

.
(besser:)

{(x - 1)}^{2} \cdot (x + 2) = 4 \cdot (x + 2)

(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 2) = 4 \cdot (x + 2)

x^{3} - 2 x^{2} + x + 2 x^{2} - 4 x + 2 = 4 x + 8

x^{3} - 7 x - 6 = 0 \Rightarrow

3 Lösungen
Beispielsweise mit Hilfe der Cardanoschen Formel oder durch Erraten:

x_{1} = - 1

Polynomdivision:

(x^{3} - 7 x - 6) : (x + 1) = x^{2} - x - 6

x_{2, 3} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 6} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{1}{2} \pm \frac{5}{2}

L = {- 2; - 1; 3}

0/1/2

2.2 Algebraische Gleichungen

0/1/2/0

2.2.1 Lineare Gleichungen

0/1/2/0/0

Lineare Gleichungen haben Sie bereits unter dem Begriff der Geradengleichung in der Schule .
kennengelernt:
0/1/2/0/1 .
Beispiel 2 - 7

$a \cdot x + b$	$=$	$0$

. .

	$a \cdot x + b$	$=$	$0$

Lösung:	$x$	$=$	$- \frac{b}{a}$

.
0/1/2/0/2

0/1/2/1

2.2.2 Quadratische Gleichungen

0/1/2/1/0

0/1/2/1/1 .
Beispiel 2 - 8
$a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0$ .

	$a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$	$=$	$0$

	$x^{2} + \frac{b}{a} \cdot x + \frac{c}{a}$	$=$	$0$

oft auch	$x^{2} + p \cdot x + q$	$=$	$0$	$\|$ quadratische Ergänzung

	$x^{2} + p \cdot x + {(\frac{p}{2})}^{2}$	$=$	$- q + {(\frac{p}{2})}^{2}$

	${(x + \frac{p}{2})}^{2}$	$=$	$\underset{D i s k r i m i n a n t e D}{\underset{︸}{\frac{p^{2}}{4} - q}}$

	$(x + \frac{p}{2})$	$=$	$\pm \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - q}$

Lösung:	$x$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - q}$

.
0/1/2/1/2

Ist die Diskriminante $D = {(\frac{p}{2})}^{2} - q$

$D > 0$ : Die Gleichung hat zwei verschiedene reelle Lösungen
$D = 0$ : Die Gleichung hat eine(doppelte) reelle Lösung
$D < 0$ : Die Gleichung hat keine reelle Lösung

0/1/2/1/3 .
Beispiel 2 - 9

$- 2 x^{2} - 4 x + 6 = 0$
$3 x^{2} + 9 x + \frac{27}{4} = 0$
$x^{2} - 4 x + 13 = 0$

$- 2 x^{2} - 4 x + 6 = 0 | : (- 2)$ .
$x^{2} + 2 x - 3 = 0$ .
$D = 4 > 0 \Rightarrow$ Zwei verschiedene reelle Lösungen .
$x_{1, 2} = - 1 \pm \sqrt{4} = - 1 \pm 2$ .
$x_{1} = - 3, x_{2} = 1 \Rightarrow L = {- 3, 1}$
$3 x^{2} + 9 x + \frac{27}{4} | : (3)$ $x^{2} + 3 x + \frac{9}{4} = 0$ .
$D = 0 \Rightarrow$ Eine (doppelte) reelle Lösung .
$x_{1, 2} = - 1, 5 \pm 0 \Rightarrow L = {- 1, 5}$
$x^{2} - 4 x + 13 = 0$ $D = - 0 < 0 \Rightarrow$ Keine reellen Lösungen .

.
0/1/2/1/4

0/1/2/2

2.2.3 Gleichungen 3. Grades

0/1/2/2/0

0/1/2/2/1

Abbildung 1: Kubische Funktion

y = x^{3}

0/1/2/2/2

Lösungen für Gleichungen 3. Grades können über die Cardanischen Formeln ermittelt werden .
(s. Formelsammlung). Kann man eine Lösung ermitteln, kommt man mit der Polynomdivision meist .
mit weniger Aufwand zum Ziel.

0/1/2/3

2.2.4 Bi-quadratische Gleichungen

0/1/2/3/0

Bi-quadratische Gleichungen lassen sich durch Substitution auf quadratische Gleichungen zurück- .
führen, die man dann auf bekannte Weise lösen kann. .

	$a x^{4} + b x^{2} + c$	$=$	$0$
Substituiere:	$y$	$=$	$x^{2}$
	$a y^{2} + b y + c$	$=$	$0$

0/1/2/3/1 .
Beispiel 2 - 10

$x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$
Substituiere: $z = x^{2}$
$z^{2} - 10 z + 9 = 0$

x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0

Substituiere:

z = x^{2}

z^{2} - 10 z + 9 = 0 \Rightarrow z_{1, 2} 5 \pm 4

Rücksubstitution:

x^{2} = z

x^{2} = z_{1} = 9 \Rightarrow x_{1, 2} = \pm 3

x^{2} = z_{2} = 1 \Rightarrow x_{3, 4} = \pm 1

L = {- 3, - 1, 1, 3}

.
0/1/2/3/2

0/1/2/4

2.2.5 Wurzelgleichungen

0/1/2/4/0

Wurzelgleichungen kann man u.U. lösen, indem man die Wurzel isoliert und über Quadratur beider Seiten der Gleichung Lösungen bestimmt (Achtung: Dies ist eine Nicht-Äquivalenz-Umformung ! Es entstehen weitere "Lösungen". Deshalb: Probe nicht vergessen !)
0/1/2/4/1 .
Beispiel 2 - 11
$\sqrt{2 x - 3} + 5 - 3 x = 0$ .

	$\sqrt{2 x - 3} + 5 - 3 x$	$=$	$0$		$\|$ $2 x - 3 \geq 0$
	$\sqrt{2 x - 3}$	$=$	$3 x - 5$		$\| {(Quadrieren)}^{2}$
$\Rightarrow$	$2 x - 3$	$=$	${(3 x - 5)}^{2}$	$=$	$9 x^{2} - 30 x + 25$
$\Rightarrow$	$- 9 x^{2} + 32 x - 28$	$=$	$0$		$\| : (- 9)$
	$x^{2} - \frac{32}{9} x + \frac{28}{9}$	$=$	$0$		$\| p - q - F o r m e l$
	$x_{1, 2}$	$=$	$\frac{16}{9} \pm \sqrt{\frac{4}{81}}$	$=$	$\frac{16}{9} \pm \frac{2}{9}$
$\Rightarrow$	$x_{1} = 2$	und	$<msub><mrow>x< //mrow><mrow >2</mrow></msub >=/ /<mfrac><mrow >1/4</mrow> / <mrow >9</mrow></mfrac>$

Durch das Quadrieren haben wir 2 Lösungen erhalten, von denen eine nicht korrekt ist, da

\sqrt{2 \cdot \frac{14}{9} - 3} + 5 - 3 \cdot \frac{14}{9} = 0

.
.

\underset{\frac{1}{3}}{\underset{︸}{\sqrt{\frac{1}{9}}}} + \frac{15}{3} -

1 ⋅ 14

3︸ 1 3 = 0 .
.

☈ \frac{2}{3} = 0 ☈

.
.

.
0/1/2/4/2

0/1/2/5

2.2.6 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/1/3

2.3 Betragsgleichungen

0/1/3/0

0/1/3/0/0

Betragsgleichungen kann man durch Fallunterscheidungen unterteilen in mehrere Bereiche.

Fall I: Was zwischen den Betragsstrichen steht, ist größergleich Null oder
Fall II: Was zwischen den Betragsstrichen steht, ist kleiner Null.

$| x | = \{$

x für x ≥ 0 -xfür x < 0

Man betrachtet also bei einer Betragsfunktion $f (x) = | g (x) |$ eigentlich 2 Funktionen: .
Einmal $f_{1} (x) = - g (x)$ und eine zweite Funktion $f_{2} (x) = g (x)$ , .
wobei jeweils nur der positive $W$ ertebereich betrachtet wird. .
Die Ursprungsfunktion $f (x)$ setzt sich aus beiden Funktionen $f_{1} (x)$ und $f_{2} (x)$ .
abschnittsweise zusammen. .
Beispiel 2 - 12: :
0/1/3/0/1

Abbildung 2: Betragsgleichung

f (x) = | x |

0/1/3/0/2

Beispiel 2 - 13: :
0/1/3/0/3

Abbildung 3: Betragsgleichung

f (x) = | x^{2} - 1 |

0/1/3/0/4

0/1/3/1

2.3.1 Vorgehen bei stetigen Komponenten

0/1/3/1/0

Sind die Argumente der Betragsfunktionen stetig, bestimmt man einfach die Nullstellen und unterteilt in Intervalle. Das Vorzeichen überprüft man durch Einsetzen eines beliebigen x-Werts im betreffenden Intervall. Das Betragszeichen kann entsprechend dieser Vorzeichenausprägung im jeweiligen Intervall aufgelöst werden. (Die Fallunterscheidung kann durchaus mühsam werden.) .
Beispiel 2 - 14: : .
0/1/3/1/1

Abbildung 4: Unterteilung eines Polynoms mit den Nullstellen 5,3,2,0 und -1

0/1/3/1/2

0/1/3/1/3 .
Beispiel 2 - 12
$| 2 x - 1 | = - x + 1$
.

Intervall-Unterteilung: .

Intervall	1	2

$2 x - 1$	$\leq 0$	$> 0$
$x$	$\leq \frac{1}{2}$	$> \frac{1}{2}$

$\| 2 x - 1 \|$	$- 2 x + 1$	$2 x - 1$

Gleichung:	$- 2 x + 1 = - x + 1$	$2 x - 1 = - x + 1$
	$- x = 0$	$3 x = 2$
	$\Rightarrow$ $x_{1} = 0$	$\Rightarrow$ $x_{2} = \frac{2}{3}$

.
.

\Rightarrow L = \{0, \frac{2}{3}\}

.
.
(Hinweis: Setzt man die Intervallgrenzen so, daß

0

in das rechte Intervall zu liegen käme, würde

x = 0

als Lösung aus dem intervall herausfallen.

x = 0

ist aber eine zulässige Lösung.) .

.
0/1/3/1/4

Hat man mehrere Intervalle, bietet sich ein Tabellen-Schema zum systematischen Lösen an: .
0/1/3/1/5 .
Beispiel 2 - 13
$| 3 x - 12 | - | x + 7 | = 25$ .

Intervall	1	2	3

$x$	$x < - 7$	$- 7 \leq x < - 4$	$x \geq 4$

$\| x + 7 \|$	$- x - 7$	$x + 7$	$x + 7$
$\| 3 x - 12 \|$	$- 3 x + 12$	$- 3 x + 12$	$3 x - 12$

$\| 3 x - 12 \| - \| x + 7 \|$	$- 4 x + 5$	$- 2 x + 19$	$4 x - 5$

zusammen:	$- 2 x = 6$	$- 4 x = 20$	$2 x = 44$
	$x_{1} = - 3$	$x = - 5$	$x = 22$
	$☈$	$✓$	$✓$

.
.

\Rightarrow L = \{- 5, 22\}

.
.

.
0/1/3/1/6

0/1/3/2

2.3.2 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/1/4

2.4 Ungleichungen

0/1/4/0

Während bei Gleichungen zwei Terme mit dem Gleichheitszeichen verknüpft werden, werden mit .
Ungleichungen Größenvergleiche formuliert und untersucht. Jede Ungleichung besteht aus zwei .
Termen, die durch eines der Vergleichszeichen .
$<$ (Kleinerzeichen), .
$\leq$ (Kleinergleichzeichen), .
$\geq$ (Größergleichzeichen) oder .
$>$ (Größerzeichen) verbunden sind. .
0/1/4/1

2.4.1 Äquivalenzumformungen

Die Regeln der Äquivalenzumformungen bei Gleichungen gelten bei Ungleichungen nur mit wesentlichen Einschränkungen. .

Addition, Subtraktion
Multiplikation, Division mit positiven Werten
Multiplikation mit negativen Werten:

Aus $<$ wird $>$
Aus $>$ wird $<$
Aus $\leq$ wird $\geq$
Aus $\geq$ wird $\leq$

0/1/4/2

2.4.2 Bestimmen der Lösungen

0/1/4/2/0

Meist hilft der folgende Weg: Man bringt alle Glieder auf eine Seite und ersetzt zunächst das Relationszeichen durch das Gleichheitszeichen. Ist diese neue Funktion stetig, bestimmt man einfach die Nullstellen der Gleichung und unterteilt entsprechend in diese Intervalle. Nun setzt man dann -analog zu Betragsgleichungen- im jeweiligen Intervall einen geeigneten x-Wert ein: Ist die Relation für diesen x-Wert erfüllt, so ist dieses Intervall Teil der Lösungsmenge. .
Weist die Funktion Unstetigkeitsstellen auf, muss man an diesen Stellen jeweils in weitere Invervalle unterteilen und je Intervall die Betrachtung anstellen. .
0/1/4/2/1 .
Beispiel 2 - 14
$(x - 5) \cdot (x - 3) \cdot (x - 2) \cdot x \cdot (x - 1) \geq 0$ oder .
$x^{5} - 11 * x^{4} + 41 * x^{3} - 61 * x^{2} + 30 * x \geq 0$ .

Abbildung 5:

x^{5} - 11 * x^{4} + 41 * x^{3} - 61 * x^{2} + 30 * x

Die Nullstellen sind:

5, 3, 2, 0, - 1

. .
Wählt man nun für

x = 6, 4, 2.5, 1, - 0.5, - 2

, so erkennt man schnell die Intervalle: .

- 1 \leq x \leq 0

2 \leq x \leq 3

5 \leq x

. .

.
0/1/4/2/2

0/1/4/3

2.4.3 Betragsungleichungen

0/1/4/3/0

Durch Fallunterscheidung wird wie bei den Betragsgleichungen in Bereiche unterteilt. Der weitere Lösungsweg geht wie oben beschrieben. .
0/1/4/3/1 .
Beispiel 2 - 15
$| 2 x - 1 | > x$ .

Zunächst: Betrachtung der Gleichung

| 2 x - 1 | = x

.
Untervallunterteilung (Zahlenstrahl !):

x = \frac{1}{2}

.
Fallunterscheidungen:

Int.	1	2

	$x < \frac{1}{2}$	$x \geq \frac{1}{2}$

$2 x - 1$	$< 0$	$\geq 0$

Gl.	$- 2 x + 1 = x$	$2 x - 1 = x$
	$3 x = 1$
	$x = \frac{1}{3}$	$x = 1$

Jetzt: Betrachtung der Intervalle .
.


1.	$x < \frac{1}{3}$	Einsetzen von z.B. $x = 0$ erfüllt Relation. .

2.	$\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$	Einsetzen von z.B. $x = 0, 4$ erfüllt Relation nicht. .

3.	$\frac{1}{2} \leq x < 1$	Einsetzen von z.B. $x = 0, 7$ erfüllt Relation nicht. .

4.	$x > 1$	Einsetzen von z.B. $2$ erfüllt Relation. .

.
.

L_{1} = {x \in ℝ | x < \frac{1}{3}}

, .

L_{2} = {x \in ℝ | x > 1}

, .

L = L_{1} \cup L_{2} = {x \in ℝ | x < \frac{1}{3}, x > 1}

.
Zeichnen mit Maple: .
.
plot([abs(2*x-1),x],x=-10..10,y=-1..20) .
.
oder Maxima: .
.
plot2d([abs(2*x-1),x],[x,-5,5]); .
.

.
0/1/4/3/2

0/1/4/3/3 .
Beispiel 2 - 16
$| x + 3 | + | x + 4 | < 9$ .

Fallunterscheidungen:

Int.	1	2	3
	$x < - 4$	$- 4 \leq x < - 3$	$x \geq - 3$

x+3	<0	<0	>0
x+4	<0	>0	>0

Gl.	$- (x + 3) - (x + 4) < 9$	$- (x + 3) + (x + 4) < 9$	$(x + 3) + (x + 4) < 9$
	$- x - 3 - x - 4 < 9$	$- x - 3 + x + 4 < 9$	$x + 3 + x + 4 < 9$
	$- 2 x - 7 < 9$	$1 < 9$	$2 x + 7 < 9$
	$x > - 8$	erfüllt im	$x < 1$
		ganzen Intervall

$L_{1} = {x \in ℝ | - 8 < x < - 4}$ , .
$L_{2} = {x \in ℝ | - 4 \leq x < - 3}$ , .
$L_{3} = {x \in ℝ | - 3 \leq x <}$ , .
$L = L_{1} \cup L_{2} \cup L_{3} = {x \in ℝ | - 8 < x < 1}}$ .

alternativ mit Maple: .
solve(abs(x+3)-abs(x+4)<9,x) .

.
0/1/4/3/4

0/1/4/3/5 .
Beispiel 2 - 17
Stellen Sie die Ungleichung $0 < x < 10$ in eine Betragsgleichung um .

- a < x + b < a

.
.
Links und rechts muss der gleiche Betrag, aber mit unterschiedlichen Vorzeichen stehen .

- 5 < x - 5 < 5

\Rightarrow | x - 5 | < 5

.
0/1/4/3/6

0/1/4/3/7 .
Beispiel 2 - 18
${(x + 1)}^{2} \leq | x |$ .

Betragszeichenauflösung: .
.
Intervall I:

x \geq 0

{(x + 1)}^{2} \leq x

x^{2} + 2 x + 1 \leq x

x^{2} + x + 1 \leq 0 \Rightarrow L = \emptyset

Intervall II: $x < 0$ .
${(x + 1)}^{2} < - x$ .
$x^{2} + 2 x + 1 < - x$ .
$x^{2} + 3 x + 1 \leq 0$ .
$= 0$ setzen: .
$x_{1} = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{5}$ .
$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{5}$ .
Wie vor Intervalle untersuchen: .
$\Rightarrow L = \{x | - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{5} \leq x \leq - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{5}\}$ .
Zeichnung mit Maple: .

Abbildung 6: Betragsungleichung

{(x + 1)}^{2} \leq | x |

$p l o t ([{(x + 1)}^{2}, a b s (x)], x = - 5 . . 5, y = - 0 . . 10)$ .

.
0/1/4/3/8

0/1/4/4

2.4.4 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/2

3 Funktionen und Kurven, Darstellung

0/2/0

0/2/1

3.1 Einleitung

0/2/1/0

0/2/1/1

3.1.1 Definition

Eine Funktion ist eine Vorschrift, die jedem Element x aus einer Menge $D$ genau ein Element y aus einer Menge $W$ zuordnet. .

x:	unabhängige Variable

y:	abhängige Variable

0/2/2

3.2 Darstellungsformen

0/2/2/0

3.2.1 Wertetabelle

$x$	$50$	$100$	$200$

$f (x)$	$2$	$3, 9$	$7, 9$

0/2/2/1

3.2.2 graphische Darstellung

.

0/2/2/2

3.2.3 analytische Darstellung

.

0/2/2/3

3.2.4 Parameterdarstellung

$x = x (t) = v_{0} \cdot t$ .
$y = y (t) = \frac{g}{2} \cdot t^{2}$ .
.
Parameterdarstellungen können unter Umständen durch Festlegung einer unabhängigen Variablen (z.B. $x$ ) in eine Funktionsdarstellung umgeformt werden, indem man den Parameter (hier $t$ ) eliminiert. Hierbei geht allerdings Information verloren (wann befindet sich ein Gegenstand wo ?).

Beispiel 3 - 1: Auflösung .
$t = \frac{x}{v_{0}}$
$y = \frac{g}{2} \cdot \frac{x^{2}}{{v_{0}}^{2}}$ .

0/2/3

3.3 Algemeine Eigenschaften von Funktionen

0/2/3/0

3.3.1 Nullstellen

für $x = x_{0}$ wird der Funktionswert $f (x) = 0$
0/2/3/1

3.3.2 Symmetrieverhalten

0/2/3/1/0

gerade Symmetrie oder $y$ -Achsensymmetrie: $f (- x) = f (x) für jedes x \in D$

0/2/3/1/1

Abbildung 7: Gerade Symmetrie

y = x^{2}

0/2/3/1/2 ungerade Symmetrie oder Ursprungssymmetrie: $f (- x) = - f (x) für jedes x \in D$

0/2/3/1/3

Abbildung 8: Ungerade Symmetrie

y = x^{3}

0/2/3/1/4 .
0/2/3/1/5 .
Beispiel 3 - 19
$y = 8 x^{5}$

$- 8 x^{5} = 8 {(- x)}^{5} = - 8 x^{5}$

.
0/2/3/1/6

0/2/3/2

3.3.3 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/2/3/3

3.3.4 Monotonie für $x_{1} < x_{2}$

Monotonie kann in vier Fälle unterteilt werden. Eine Funktion $f (x)$ heißt .

	monoton wachsend, wenn	$f (x_{1})$	$\leq$	$f (x_{2})$
streng	monoton wachsend, wenn	$f (x_{1})$	$<$	$f (x_{2})$
	monoton fallend, wenn	$f (x_{1})$	$\geq$	$f (x_{2})$
streng	monoton fallend, wenn	$f (x_{1})$	$>$	$f (x_{2})$

0/2/3/4

3.3.5 Periodizität

0/2/3/4/0

Eine Funktion $f (x)$ heißt periodisch , wenn zu jedem $x \in D$ auch $x + p$ zum $D$ efinitionsbereich gehört und $f (x) = f (x + p)$ gilt.

Beispiel 3 - 20:

$sin (x)$	$=$	$sin (x + k \cdot π \cdot 2)$

0/2/3/4/1

Abbildung 1: Periodische Funktion

y = sin (x)

0/2/3/4/2

0/2/3/5

3.3.6 Umkehrfunktion

0/2/3/5/0

Eine Funktion $f (x)$ ist umkehrbar, wenn aus $x_{1} \neq x_{2}$ stets $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ folgt.
Bestimmung der Umkehrfunktion :

1.: Vertauschen der Variablenbeziehung.
2.: Auflösen nach der abhängigen Variablen.

0/2/3/5/1 .
Beispiel 3 - 20

	$y$	$=$	$2 x + 1$

	$y$	$=$	$2 x + 1$
$↺$	$x$	$=$	$2 y + 1$
	$2 y$	$=$	$1 - x$
	$y$	$=$	$\frac{1 - x}{2}$

.
0/2/3/5/2 .
Beispiel 3 - 21

	$y$	$=$	$x^{2}$

	$y$	$=$	$x^{2}$
$☈$	nicht umkehrbar
Sei	$(x_{1}) \neq (- x_{1})$	$⇏$	$f (x_{1}) \neq f (- x_{1})$
		$\Rightarrow$	$f (x_{1}) = f (- x_{1}) = {(x_{1})}^{2}$

.
0/2/3/5/3 Einschränkung des

D

efinitionsbereichs auf

ℝ^{+}

oder

ℝ^{-}

macht

f (x) = x^{2}

umkehrbar, denn dann ergibt sich durch Vertauschen der Variablen

y = \sqrt{x}

.

0/2/3/5/4

Abbildung 2: Umkehrfunktion

0/2/3/5/5

Wichtig:

Jede streng monoton wachsende/fallende Funktion ist umkehrbar.
$D$ efinitionsbereich und $W$ ertebereich werden vertauscht.
Zeichnerisch lösbar durch Spiegelung an der Geraden $y = x$

.

Abbildung 3: Spiegelung an der Winkelhalbierenden

0/2/3/6

3.3.7 Übersicht: Bestandteile einer Kurvendiskussion

$D$ efinitionsbereich $✓$ $∕ D$ efinitionslücken
Symmetrie $✓$
Nullstellen $✓$
Pole, sekrechte Asymptoten
Ableitungen (i.d.R. bis zur 3. Abl)
relative Extremwerte (Minima, Maxima)
Wendepunkte, Sattelpunkte
Verhalten für $x \to \pm \infty$
$W$ ertebereich $✓$
Zeichnen der Funktion $✓$

0/2/4

3.4 Lineare Transformationen

0/2/4/0

3.4.1 Koordinatentransformation

0/2/4/0/0

je nach Problemstellung läßt sich eine Lösung mit Hilfe einer Koordinatentransformation besser erarbeiten.
0/2/4/0/1 .
Beispiel 3 - 22
${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$

$\}$

u=x - 1 v =y - 2

Transformationsgleichungen
.
.
Bestimmung der Lage der x-Achse: Setze y = 0, und man erhält v = -2. .
Bestimmung der Lage der y-Achse: Setze x = 0, und man erhält u = -1. .

Abbildung 4: Koordinatentransformation

.
0/2/4/0/2

$y = f (x)$ .
mit $x = u + a$ und $y = v + b$ wird daraus $v + b = f (u + a)$

0/2/4/0/3 .
Beispiel 3 - 23
$y = x^{2} + 2 x + 3$ .

y = x^{2} + 2 x + 3

$y$	$=$	$x^{2} + 2 x + 3$

	$=$	$(x^{2} + 2 x + 1) + 2$

	$=$	${(x + 1)}^{2} + 2$

$y - 2$	$=$	${(x + 1)}^{2}$	$\to_{v = y - 2}^{u = x + 1}$	$v = u^{2}$

Abbildung 5: Koordinatentransformation

.
.

.
0/2/4/0/4

0/2/5

3.5 Polarkoordinaten

0/2/5/0

3.5.1 Polarkoordinaten im Zweidimensionalen

0/2/5/0/0

0/2/5/0/1

Abbildung 6: Polarkoordinaten

0/2/5/0/2

. .

Abstandskoordinate	$r$
Winkelkoordinate	$φ$

Umrechnung zwischen Polarkoordinaten
$x = r \cdot cos φ$ .
$y = r \cdot sin φ$ .
$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .
$tan φ = \frac{y}{x}$ .

0/2/5/0/3 .
Beispiel 3 - 24
Zahlenbeispiel .

Wie lautet die Polarkoordinatendarstellung des Punkts $P_{1} = (2, - 5)$ ? .

Der Punkt

P_{1} = (2, - 5)

hat den Abstand vom Ursprung

r = \sqrt{2^{2} + 5^{2}} = \sqrt{29} \approx 5, 36

. .
Er liegt im 3. Quadranten,

t a n (φ) = \frac{- 5}{2} \Rightarrow φ = arctan (\frac{- 5}{2}) \approx - 1, 19 \approx - 68 °

.
0/2/5/0/4

0/2/5/0/5 .
Beispiel 3 - 25
Zahlenbeispiel .

Gegeben ist ein Punkt $P_{2}$ mit $r = 5$ und $φ = \frac{5 π}{4}$ Wie lautet die Darstellung des Punkts in kartesischen Koordinaten ? .

Der Punkt

P_{2}

liegt im 3. Quadranten und hat die x-Koordinate

x = 5 \cdot cos \frac{5 π}{4} = - 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \approx - 3.54

und die y-Koordinate

y = 5 \cdot sin \frac{5 π}{4} = - 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \approx - 3.54

.
0/2/5/0/6

0/2/5/0/7 .
Beispiel 3 - 26
Archimedische Spirale .

Abbildung 7: Archimedische Spirale

$r (φ) = 2 \cdot φ$

$φ$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{2 π}{6}$	$\frac{3 π}{6}$	$\frac{4 π}{6}$	$\frac{5 π}{6}$	$π$

.
Darstellung: .

$r$	$=$	$2 φ$ ist umkehrbar.
$x$	$=$	$r \cdot cos φ$	$=$	$2 φ \cdot cos φ$
$y$	$=$	$r \cdot sin φ$	$=$	$2 φ \cdot sin φ$

\to

Nach Elimination von

φ

ist die Funktion nicht mehr umkehrbar !

$r (φ) = 2 \cdot φ$ .

$φ$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{2 π}{6}$	$\frac{3 π}{6}$	$\frac{4 π}{6}$	$\frac{5 π}{6}$	$π$

$r$	0	$1, 05$	$2, 09$	$3, 14$	$4, 19$	$5, 24$	$6, 28$

.
Maple: .
plot([t*cos(t), t*sin(t), t=0..15])

.
0/2/5/0/8

0/2/5/1

3.5.2 Polarkoordinaten im Dreidimensionalen

0/2/5/2

3.5.3 Zylinderkoordinaten

0/2/5/2/0

Bei den Zylinderkoordinaten werden die x- und y-Koordinaten wie Polarkoordinaten behandelt. Zusätzlich kommt eine dritte Dimension z hinzu: .
0/2/5/2/1

Abbildung 8: Zylinderkoordinaten

0/2/5/2/2 .

Abstandskoordinate	$r$
Winkelkoordinate	$φ$

.
.
Umrechnung zwischen Zylinderkoordinaten und kartesischen Koordinaten .

x = r \cdot cos φ

y = r \cdot sin φ

z = z

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

tan φ = \frac{y}{x}

0/2/5/3

3.5.4 Kugelkoordinaten

0/2/5/3/0

Bei den Kugelkoordinaten wird ein Punkt durch einen Abstand und zwei Winkel beschrieben. .
0/2/5/3/1

Abbildung 9: Kugelkoordinaten

0/2/5/3/2 .

Abstandskoordinate	$r$
Azimuth	$φ$ (Winkel zur x-Achse)
Poldistanz	$ϑ$ (Winkel zur z-Achse)

Der Winkel $φ$ überstreicht den Bereich zwischen $0 \leq φ \leq 2 π$ . Deshalb kann man jeden Punkt beschreiben, wenn $0 \leq ϑ \leq π$ . .

0/2/5/3/3 .
Beispiel 3 - 27
Umrechnung zwischen Kugelkoordinaten und kartesischen Koordinaten .

Abstandskoordinate	$r$
Winkelkoordinate	$φ$
$x = r \cdot sin ϑ \cdot cos φ$
$y = r \cdot sin ϑ \cdot sin φ$
$z = r \cdot cos ϑ$
$r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

.
.
Hat man die Werte

y, y, z

, lassen sich die anderen Werte einfach über die Beziehungen ermitteln: .

r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

ϑ = a r c c o s (\frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}})

tan φ = \frac{y}{x}

.
0/2/5/3/4

0/2/5/4

3.5.5 Kugelkoordinaten in der Geographie

0/2/5/4/0

Im World Geographic System (WGS84) -Standard werden Kugelkoordinaten eingesetzt. Allerdings sind die Winkel (angegeben in Grad) anders festgelegt. .
0/2/5/4/1

Abbildung 10: Das WGS-Koordinatensystem

0/2/5/4/2

Breitenkoordinate (latitude)	$φ$
Längenkoordinate (longitude)	$λ$

. .
Die Breitenkoordinate

φ = 0

liegt auf dem Äquator, die Längenkoordinate

λ = 0

geht durch Greenwich (Meridian des Flamsteed House des Royal Greenwich Observatory in London). .
Demzufolge überstreicht die Latitude

φ

den Bereich zwischen

9 0^{o}

S(üd)

\leq φ \leq 9 0^{o}

N(ord). .
Die Longitude

λ

überstreicht den Bereich zwischen

- 18 0^{o}

W(est)

\leq φ \leq 18 0^{o}

E(st). .
Bei einem Erdumfang von 40.000 km errechnet sich der Erdradius zu ca. 6366 km, der Äquatorradius liegt bei 6378 km. .
Koordinaten von Pirmasens: 49 °12’ 44” N und 07 °36’ 12” E .

Umrechnungen: .

1 Breitengrad	111 km
1 Breitenminute	1,852 km oder 1 nautische Meile
1 Breitensekunde	ca. 30 m
1 Längengrad am Äquator	111 km
1 Längengrad in Pirmasens	ca. 72 km

0/2/5/4/3 .
Beispiel 3 - 28
Zahlenbeispiel .

Der Flughafen Frankfurt-Hahn liegt auf 49 °56,92’ N und 07°15,83’ E .
Der Flugplatz Pirmasens liegt auf 49 °12,57’ N und 07°24,04’ E .
Wie weit sind die beiden Orte voneinander entfernt ? .
(Nehmen Sie an, daß Längen- und Breitengrade rechtwinklig zueinander stehen) .
.

1 Breitenminute = 1,852 km .
1 Längenminute = 1,852* sin(90 °- Breite) .

Δ l a t = 8, 21 \cdot cos (φ) = 8, 21 \cdot 0, 656 \approx 6, 2 k m

Δ l o n g = 44, 35 n m \approx 81, 9 k m

.
Abstand

d = \sqrt{x^{2} + x^{2}} \approx 82 k m

. .

.
0/2/5/4/4

0/2/5/4/5 .
Beispiel 3 - 29
Der Sextant .
Es gibt immer einen Punkt auf der Erde, über dem die Sonne senkrecht steht, dem (Sonnen-)Bildpunkt. Dieser wird für die jeweilige Zeit im ’nautischen Jahrbuch’ veröffentlicht. (Natürlich kann man ihn auch selbst berechnen.) .

Abbildung 11: Peilung mit dem Sextanten

Der Winkel

β = \frac{π}{2} - α

im Bogenmass mal Erdradius (ca. 6400 km) gibt den Abstand des Beobachters vom Bildpunkt an. .
oder für Seemänner: .
Der Winkel

β = 90 ° α

umgerechnet in Bogenminuten gibt den Abstand des Beobachters vom Bildpunkt in nm an. .
Der Sonnenbildpunkt bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 0,25 Seemeile pro Sekunde auf der Erdoberfläche (

2 π

pro Tag!). .
Kenne ich die Koordinaten des Sonnenbildpunktes zum Zeitpunkt der Messung und die Himmelrichtung, kann ich daraus meine Position bestimmen. .

(Lehrbücher: Abstand in sm = 60 * arccos(sin BG * sin BB + cos BG * cos BB * cos(LB-LG)) .
BB = Breite Bildpunkt .
LB = Länge Bildpunkt .
BG = Breite geschätzte Position .
LG = Länge geschätzte Position .

.
0/2/5/4/6

0/3

4 Computer Algebra Systems

0/3/0

0/3/1

4.1 Übersicht

Computer Algebra Systems sind Hilfsmittel, um schnell

Werte berechnen zu lassen
- z.B. $x^{4} + \sqrt{x}$ an der Stelle x = 0.5; f : x ^4 + sqrt(x), x = 0.5;
Gleichungen zu lösen:
- eg : x ^2 - 2 x = sqrt(x);
- solve(eg, x);
- uneq : x ^2 - 4 x $>$ abs(x);
- to_poly_solve(uneq, x);
sich einen Überblick über Funktionen zu verschaffen (Skizze):
- wxplot2d([x^2], [x, -2, 2]);
- wxplot2d([lhs(eq)],[x, 0, 4]);
- wxplot2d([lhs(eq),rhs(eq)], [x, 0, 4]);
Gleichungen zu vereinfachen: ratsimp(x ^4*x ^5);
Gleichungen ausmultiplizieren: expand((5 * x + 4) ^2); ergibt 25 x ^2 + 40 x + 16

Gebräuchliche CAS-Systeme sind z. B.

Maple
Mathematica
Mupad oder
SCILAB (Open Source).

Besonders empfehlenswert ist neuerdings auch Maxima (Open Source). Die Dokumentation hierzu finden Sie hier im Materialordner unter ’Anleitungen’. .
Bei den obigen Beispielen wurde Maxima (mit der Oberfläche wxMaxima ) eingesetzt.

0/3/2

4.2 Beispiel Maxima

0/3/2/0

0/3/2/1

4.2.1 Erster Einstieg

Nach dem Aufruf von wxMaxima erhält man einen leeren Bildschirm mit einer Menüleiste. Gibt man etwas Auswertbares ein, zum Beispiel 2+5 und schließt mit STRG + ENTER ab, wird die Eingabe (%i1) wiederholt und das Ergebnis (%io1) schwarz angezeigt. Mehrere Eingaben in einer Zeile müssen mit jeweils einem Semikolon getrennt werden. Das aktuelle Ergebnis kann mit % weiterverwendet werden. Die Eingaben der einzelnen Bereiche können nachträglich verändert werden. Durch erneutes Drücken der Tasten STRG + ENTER wird das Ergebnis neu berechnet.

0/3/2/2

4.2.2 Auswertung der Eingaben, Kontextmenü

Schließt man eine Eingabe mit STRG + ENTER ab, wird das Ergebnis unterhalb angezeigt. Alle Ergebnisse werden durchnummeriert mit i1, i2 bzw. o1, o2 usw. Dadurch kann auf einzelne Ergebnisse zugegriffen werden. Mit % kann das letzte berechnete Ergebnis weiterverwendet werden. Durch den Befehl ’float’ können Brüche in eine Fließkommazahl umgewandelt werden.

Einige ausgewählte Toolbox-Optionen:


%	man greift auf das letzte Ergebnis zu

$	Ergebnis wird nicht ausgegeben, nur intern berechnet

F1	Hilfe zu den jeweiligen Eingaben

Alternativ zur Eingabe von Befehlen, kann auch die Menüleiste zur Eingabe von Aufgaben dienen.

0/3/2/3

4.2.3 Auswertung von Summenformeln und Produktformeln

Häufig werden umfangreichere Summen durch Summationszeichen ausgedrückt.
Beispiel 4 - 1: Vereinbarung einer Summenformel
Es soll für die Variable $s$ die Summe der Zahlen von 1 bis 5 bestimmt werden, wenn eine Formel
$s = \sum_{i = 1}^{5} i$ angegeben wurde. $i$ ist hierbei die ’ Laufvariable ’. Unterhalb des $Σ$ -Zeichens steht hierbei die Vereinbarung der Laufvariablen und die Untergrenze, oberhalb des $Σ$ -Zeichens steht die Obergrenze.
Von Hand ausgerechnet bedeutet dies:
$s = \sum_{i = 1}^{5} i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ . .
(Vorschlag von Gauss: Addiere $(1 + 5) + 3 + (2 + 4) = 15$ ). .
.
Eine Formel $s = \sum_{i = 2}^{4} i^{2}$ ergäbe: $2^{2} + 3^{2} + 4^{2} = 29$ .
Maxima stellt hierfür den Befehl ’sum(i^2, i, 2, 4);’ zur Verfügung. .

Beispiel 4 - 2: Vereinbarung einer Produktformel
Auch für Produkte gibt es eine solche Vereinbarung:
$p = \prod_{k = 1}^{4} 1 ∕ k = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{24}$ .
In Maxima wird hierfür eingegeben: ’product(1/k, k, 1, 4);’ und man erhält: $\frac{1}{24}$ .

0/3/2/4

4.2.4 Primfaktorzerlegung, GGT, KGV

Für eine ganze Zahl oder Bruchzahl n ergibt ’factor(n)’ eine Primfaktorenzerlegung .
Beispiel 4 - 3: ’factor(120);’ ergibt ${(2)}^{3} (3) (5)$ .
Beispiel 4 - 4: ’factor(-125/1764);’ ergibt $\frac{5^{3}}{2^{2} 3^{2} 7^{2}}$ . .

Für zwei Zahlen ergibt gcd(zahl1, zahl2) den größten gemeinsamen Teiler ( GGT ).
Beispiel 4 - 5: ’gcd( 540, 210);’ ergibt: 30.

Für zwei Zahlen ergibt ’lcm( ,);’ das kleinste gemeinsame Vielfache ( KGV ).
Beispiel 4 - 6: ’lcm( 540, 210);’ liefert: 3780.

0/3/2/5

4.2.5 Lösen von Gleichungssystemen

Auch das Lösen von Gleichungssystemen kann von Maxima vorgenommen werden.
Beispiel 4 - 7: Lösen eines LGS

eq1 : a + b + c = 6;
eq2 : a * b + c = 5;
eq3 : a + b * c = 7;
s: solve([eq1, eq2, eq3], [a, b, c]);

Die Lösung der Variablen werden nacheinander in einer eckigen Klammer angezeigt.

0/3/2/6

4.2.6 Darstellung von Matrizen

Matrizen können ebenfalls mit Maxima bearbeitet werden. Die Darstellung erfolgt mit dem Befehl ’matrix()’.
Beispiel 4 - 8: Darstellung einer Matrix
Die Eingabe von ’m:matrix([7,8][4,6])’ stellt die Matrix $m = (\begin{matrix} 7 & 8 \\ 4 & 6 \end{matrix})$ dar. Um eine inverse Matrix zu bilden verwendet man den Befehl ’invert()’, um die Determinante zu bilden den Befehl ’determinant()’ und zur Multiplikation zweier Matrizen wird der Punkt ’.’ genutzt.

0/3/2/7

4.2.7 Differenzieren und Integrieren

Differenzieren ist mit der Funktion ’diff()’ möglich.
Beispiel 4 - 9: Differenzieren

diff(x^2,x);
diff(sin(x),x);
diff(%e^(3 * x + 1 / x), x);

Zur Integralbildung dient der Befehl ’integrate()’.
Beispiel 4 - 10: Integration

Unbestimmte Integrale
- integrate(x^2,x);
- integrate(cos(2 + 9 * x), x)
Bestimmte Integrale
- integrate(x^2, x, -1, 1); Berechnet die Fläche von -1 bis 1.
- integrate(sin(x), x, 0, %pi); Berechnet die Fläche zwischen 0 und $π$ .

0/3/2/8

4.2.8 Zeichnen von Graphen

Mit Hilfe des Befehls wxplot2d() lassen sich elegant Zeichnungen von Funktionen erstellen. Beispiele:

wxplot2d([x^2], [x, -10 ,10])$
zeichnet die Funktion $x^{2}$ zwischen x = -10 ..10
wxplot2d([x^2], [x, -4 ,4])$
zeichnet die Funktion $x^{2}$ zwischen x = -4 ..4
wxplot2d([x^2], [x, -4, 4], [y, 0, 10])$
zeichnet die Funktion $x^{2}$ zwischen x = -4 ..4 und y = 0 ..10
wxplot2d([cos(x), sin(x)], [x, 0, 2*%pi])$
zeichnet die Kurven $s i n (x)$ und $c o s (x)$ in das gleiche Bild

0/4

5 Reihen, Grenzwert und Stetigkeit

0/4/0

0/4/1

5.1 Reelle Zahlenfolgen (geordnete Menge diskreter Zahlen)

0/4/1/0

5.1.1 Definitionen

$⟨ a_{n} ⟩ = a_{0} a_{1} a_{2} \dots$ bezeichnet man als Folge .

$a_{n}$ ist die Zuordnungsvorschrift.

Meist beginnen Folgen mit $a_{0}$ als erstem Folgeglied.

Beispiel 5 - 1:

$⟨ a_{n} ⟩$	$=$	$\frac{1}{2}$ ,	$\frac{1}{4}$ ,	$\frac{1}{6}$ ,	$\frac{1}{8}$ ,	$\dots$	$a_{n} = \frac{1}{2 n}$

$⟨ a_{n} ⟩$	$=$	$0$ ,	$\frac{1}{2}$ ,	$\frac{2}{3}$ ,	$\frac{3}{4}$ ,	$\dots$	$a_{n} = 1 - \frac{1}{n}$

aber auch:

$a_{n} = f (a_{n - 1})$ (rekursive Definition)

durch Tabellen .
.


n	$1$	$2$	$3$	$. .$	$10$	$. .$	$100$	$. .$	$1000$

$a_{n}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	$. .$	$0, 9$	$. .$	$0, 99$	$. .$	$0, 999$

Zahlengerade
in einem Funktionsgraphen
plot(1-1/x, sample=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],style=point, adaptive=false,symbol=circle)
.

Abbildung 12: Funktionsgraph

Alle Glieder dieser Folge sind kleiner als 1. Mit zunehmenden Index werden die Glieder der Folge größer und unterscheiden sich immer weniger von 1.

0/4/1/1

5.1.2 Folgen am Beispiel von Zinsen

0/4/1/1/0

In der Finanzwelt spricht man von

Kapital oder Kapitalanlage $K_{0}$
Das ist der geliehene oder verliehene Geldbetrag
Zinssatz p
Das ist der Wert, der zum Ende einer Periode den Zins festlegt. Er wird in Prozent als $\frac{1}{100}$ ausgedrückt. Alternativ kann er auch als Zinsrate r (als Bruchteil) angegeben werden.
Beispiel 5 - 2: Der Zinssatz p von 10 % entspricht einer Zinsrate r von 0,1, also $\frac{p}{100}$ .
Zinsperiode
Die Zinsperiode legt die Zeit fest, ’zu der die Zinsen zu bezahlen sind’.

Am Ende eines Jahres wird bei einer jährlichen Zinsperiode und dem Zinssatz p bzw. der Zinsrate r aus der Kapitalanlage ein neues Kapital festgestellt:
$K_{1} = K_{0} \cdot (1 + \frac{p}{100}) = K_{0} \cdot (1 + r)$ .
Läßt man diese Kapitalanlage nun zum gleichen Zinssatz eine weitere Periode angelegt, so entsteht aus diesem Kapital durch Zinsen ein neuer Wert:
$K_{2} = K_{1} \cdot (1 + r) = K_{0} \cdot (1 + r) \cdot (1 + r) = K_{0} \cdot {(1 + r)}^{2}$ .
Nach n Zinsperioden entsteht aus dem Kapital der Wert: $K_{n} = K_{0} \cdot {(1 + r)}^{n}$ .

0/4/1/1/1 .
Beispiel 5 - 30
Verzinsungsperioden

Ein Kapital von 5 000.- wird auf 5 Jahre angelegt und mit 4 % jährlich verzinst. Wieviel Kapital steht nach dieser Zeit zur Verfügung ?
Nun wird mit der Bank halbjährliche Berechnung vereinbart. Die Periode sowie die Zinsrate halbiert sich damit. Dann entsteht welches Kapital ?

Antwort:

$K_{4} = 5000 \cdot {(1, 04)}^{5} \approx$ 6083,26 .
$K_{8 ∕ 2} = 5000 \cdot {(1, 02)}^{10} \approx$ 6094.97 .

.
0/4/1/1/2 Berechnet man für ein Kapital die Zinsen über das ganze erste Jahr und bildet das Verhältnis der beiden Werte

\frac{K a p i t a l a m E n d e}{K a p i t a l z u A n f a n g}

, kann hiermit ein effektiver Zinssatz berechnet werden.
Die effektive Zinsrate R bei einer Zinsrate r und n Perioden ist

R = {(1 + \frac{r}{n})}^{n} - 1

.
Achtung: Gesetzliche Festlegungen können auch die Hinzurechnung von Kosten und Gebühren verlangen. Dann entstehen andere Ergebnisse. Die augenblickliche Preisangabenverordnung PAngV (ISMA) gibt eine Berechnung für den effektiven Zinssatz

i_{e f f}

für eine Laufzeit

t

, Anfangskapital

K_{0}

und Endkapital

K_{t}

vor:

i_{e f f} = {(\frac{K_{t}}{K_{0}})}^{\frac{1}{t}} - 1

0/4/1/2

5.1.3 arithmetische Reihen

Bei arithmetischen Reihen ist die Differenz d zwischen zwei Folgegliedern konstant:
$a_{n + 1} = a_{n} + d$
Zur Bildung einer Summe addiert man zunächst das größte zum kleinsten Glied, dann das zweitgrößte zum zweitkleinsten Glied usw. Diese Teilsummen sind gleich. Im Fall der ersten n natürlichen Zahlen erhält man so als Teilsumme $= \frac{n + 1}{2}$ , was zum Ergebnis $1 + 2 + 3 + 4 + . . n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$ führt.

0/4/1/3

5.1.4 geometrische Reihen

Man kann sich die Entstehung geometrischer Reihen so vorstellen, daß ausgehend von zwei Werten a und k eine Summe gebildet wird (ausgehend von a wird n-mal mit k multipliziert):
$s_{n} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} + a k^{n - 2} + a k^{n - 1}$ .
Die Summe kann man durch einen Trick ermitteln: man multipliziert beide Seiten mit k:
$k s_{n} = a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} + a k^{5} + . . . + a k^{n - 1} + a k^{n}$ .
Subtrahiert man beide Gleichungen, erhält man
$s_{n} - k s_{n} = a - a k^{n}$ oder $s_{n} (1 - k) = a (1 - k^{n})$ oder $s_{n} (k - 1) = a (k^{n} - 1)$ . .
Damit wird $s_{n} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} + a k^{5} + . . . + a k^{n - 1} = a \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1}$ .

0/4/1/4

5.1.5 Grenzwert einer Folge

0/4/1/4/0

Gibt es eine natürliche Zahl $n$ , sodass für $n$
$| a_{n} - g | < ε$ gilt? $\to$ Konvergenz.

$lim_{n \to \infty} a_{n} = g$

0/4/1/4/1 .
Beispiel 5 - 31
Beispiele für die Folgen:

$< a_{n} > = \frac{1}{n} \to 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} . . .$
$< a_{n} > = 1 - \frac{1}{n} \to 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4} . . .$
$lim_{n \to \infty} 1 - \frac{1}{n}$
$lim_{n \to \infty} n^{2}$

.
Sind die Folgen konvergent ?

$< a_{n} > = \frac{1}{n} \to 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} . . .$
$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ (Nullfolge)
$< a_{n} > = 1 - \frac{1}{n} \to 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4} . . .$
$lim_{n \to \infty} < 1 - \frac{1}{n} > = 1$ Konvergent
$lim_{n \to \infty} n^{2} \to \infty$ Divergent

.
0/4/1/4/2

0/4/2

5.2 Grenzwerte von Funktionen

0/4/2/0

5.2.1 Grenzwert einer Funktion $f (x)$

$lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$

$+$ : Annäherung von rechts
$-$ : Annäherung von links

0/4/2/1

5.2.2 Grenzwert für $x \to x_{0}$

0/4/2/1/0 .
Beispiel 5 - 32
$f (x) = x^{2}$

Annäherung von rechts: .

lim_{x \to 2^{+}} x^{2} = 4

.
.


$x_{n}$	$2, 1$	$2, 01$	$2, 001$	$\dots$

$f (x_{n})$	$4, 41$	$4, 0404$	$4, 004$	$\dots$

lim_{x \to 2^{-}} x^{2} = 4

.
.


$x_{n}$	$1, 9$	$1, 99$	$1, 999$	$\dots$

$f (x_{n})$	$3, 61$	$3, 9601$	$3, 996001$	$\dots$

$\to$ Funktionswert für $x = 2$ ist definiert.

.
0/4/2/1/1

Dies führt zum Grenzwertbegriff:
Eine Funktion $y = f (x)$ sei in einer Umgebung von $x_{0}$ definiert. Guilt dann für jede im Definitionsbereich der Funktion liegende und gegen die Stelle $x_{0}$ konvergierende Zahlenfolge $< x_{n} >$ stets .
$lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = g$ ,
so heißt $g$ der Grenzwert von $y = f (x)$ an der Stelle $x_{0}$ .
0/4/2/1/2 .
Beispiel 5 - 33
Für die Funktion $y = f (x)$ soll gelten: .
$y = f (x)$ ist $0$ für $x < 0$ und $1$ für $x \geq 0$
Gibt es einen Grenzwert ? .
.

lim_{x \to 0^{+}} 1 = 1

lim_{x \to 0^{-}} 0 = 0

Da der linksseitige Grenzwert mit dem rechtsseitigen Grenzwert nicht übereinstimmt, besitzt die Funktion keinen Grenzwert.

.
0/4/2/1/3

0/4/2/1/4 .
Beispiel 5 - 34
Die Funktion $\frac{(x^{2} - 4 x)}{(x - 4)}$ an der Stelle x = 4:

ist zwar an x=4 nicht definiert, besitzt aber Grenzwert. .

lim_{x \to 4} \frac{(x^{2} - 4 x)}{(x - 4)} = lim_{x \to 4} \frac{(x (x - 4))}{(x - 4)} = lim_{x \to 4} x = 4

.
0/4/2/1/5

0/4/2/2

5.2.3 Grenzwert für $x \to \infty$

.
$lim_{x \to \infty} f (x) = g$ .
.
Beispiel 5 - 35: .
$lim_{x \to \infty} (\frac{2 x - 1}{x}) = lim_{x \to \infty} (2 - \frac{1}{x}) = 2$ .

0/4/2/3

5.2.4 Rechenregeln für Grenzwerte

1.: $lim_{x \to x_{0}} C \cdot f (x) = C \cdot lim_{x \to x_{0}} f (x)$ , wobei $C$ = konstant.
2.: $lim_{x \to x_{0}} [f (x) \pm g (x)] = lim_{x \to x_{0}} f (x) \pm lim_{x \to x_{0}} g (x)$
3.: $lim_{x \to x_{0}} [f (x) \cdot g (x)] = lim_{x \to x_{0}} f (x) \cdot lim_{x \to x_{0}} g (x)$
4.: $lim_{x \to x_{0}} \sqrt[n]{f (x)} = \sqrt[n]{lim_{x \to x_{0}} f (x)}$
5.: $lim_{x \to x_{0}} {(f (x))}^{n} = {(lim_{x \to x_{0}} f (x))}^{n}$
6.: $lim_{x \to x_{0}} a^{f (x)} = a^{lim_{x \to x_{0}} f (x)}$
7.: $lim_{x \to x_{0}} [{log}_{a} (f (x))] = {log}_{a} (lim_{x \to x_{0}} f (x))$

Beispiel 5 - 36:

$lim_{x \to 0} \frac{(x^{2} - 2 x + 5)}{cos x}$	$=$	$\frac{lim_{x \to 0} (x^{2} - 2 x + 5)}{lim_{x \to 0} (cos x)}$	$=$	$\frac{5}{1}$

0/4/3

5.3 Stetigkeit einer Funktion

0/4/3/0

5.3.1 Definition

0/4/3/0/0

Eine Funktion ist in einer gewissen Umgebung von $x_{0}$ stetig, wenn der Grenzwert vorhanden ist und mit Funktionswert übereinstimmt. $lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$

Beispiel 5 - 37:
$y = x^{2}$ ist in der Umgebung $x = 2$ stetig.

0/4/3/0/1 .
Beispiel 5 - 35
Für $y = f (x)$ soll gelten: .
$y = - 1$ für $x < 0$
$y = 0$ für $x = 0$
$y = 1$ für $x > 0$
Ist $y = f (x)$ stetig für $x = 0$ ?

Abbildung 13: Geradengleichung

.
linksseitiger Grenzwert: $g_{1} = lim_{x \to 0^{-}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} (- 1) = - 1$
rechtsseitiger Grenzwert: $g_{2} = lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 0^{+}} (1) = 1$
$\Rightarrow$ Funktion in der Umgebung von $x_{0}$ nicht stetig.

.
0/4/3/0/2

.
0/4/3/0/3 .
Beispiel 5 - 36
$f (x) = \frac{(x^{2} - 1)}{(x + 1)}$ .

Definitionslücke bei

x_{0} = - 1

.
(Weder stetig noch unstetig) .

lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1} = lim_{x \to - 1} (x - 1) = - 2

$g (x) \{\}$

x2-1 x+1 = x - 1fürx≠ - 1 -2 fürx = -1

x- 1

\to

Behebung einer Definitionslücke. .
Zeichnen: .

p l o t ((x^{2} - 1) ∕ x + 1, t h i c k n e s s = 3)

; (Maple) .
bzw

p l o t 2 d ([(x^{2} - 1) ∕ (x + 1)], [x, - 10, 10])

; (Maxima) .

Abbildung 14: Definitionslücke

.
0/4/3/0/4

0/5

6 Arithmetische Funktionen

0/5/0

6.1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

0/5/0/0

6.1.1 Grad von Polynomfunktionen

$f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0}$
$n$ : Grad des Polynoms. 0/5/0/1

6.1.2 Polynome vom Grad 1: lineare Funktionen

Punkt-Steigungs-Form: $y = m x + b$
Funktionen mit b = 0 haben eine besonders häufige Verwendung: Sie drücken Proportionalität aus: $y = m x$ . .

.

Abbildung 15: Geradengleichung

$m = \frac{(y - y_{1})}{(x - x_{1})}$
Zwei-Punkte-Form:
$\frac{(y_{2} - y_{1})}{(x_{2} - x_{1})} = m = \frac{(y - y_{1})}{(x - x_{1})}$
Achsenabschnittsform:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
Hesse’sche Normalform
Die Hesse’sche Normalform $n_{x} \cdot x + n_{y} \cdot y - p = 0$ .
.
Beispiel 6 - 37
Hessesche Normalform .
.
= nx ny .
.
$|$ | = 1 .

P: Abstand zum Ursprung .

.

Abbildung 16: Hessesche Normalform

.
$\frac{P}{|}$ | = cosγ .
.
|⋅cosγ = P .
⋅ = |⋅cosγ .
$n_{x} x + n_{y} y - p = 0$ .
$\sqrt{n_{x}^{2} + n_{y}^{2}} = 1$ .

.

. .
Beispiel 6 - 38: Gesamtmengen
x sei die Menge eines Weinvorrats, m sei dessen Alkoholgehalt. Dann ergibt sich hieraus die Gesamtmenge an Alkohol zu $y = x \cdot m$ .
Häufig wird das Hundertfache des Gehalts als Prozentwert angegeben.

0/5/0/2

6.1.3 Polynome vom Grad 2: quadratische Funktionen

0/5/0/2/0

Allgemeine Form: .
$y = a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ .
$a_{2}$ gibt an, ob die Funktion nach unten (konkav) oder nach oben (konvex) geöffnet ist: .
.
.
.
Die Scheitelpunktform $(x_{0}, y_{0})$ erhält man durch quadratische Ergänzung:
$y - y_{0} = a {(x - x_{0})}^{2}$ .
Die Produktform erhält man durch Abspaltung der Nullstellen:
0/5/0/2/1 .
Beispiel 6 - 38
Das Polynom $y = 2 x^{2} - 8 x + 6$ .

Produktform: .
Das Polynom

y = 2 x^{2} - 8 x + 6

hat die Nullstellen

x_{1} = 1, x_{2} = 3

. .
(Ausprobieren durch Ausmultiplizieren !) .
Mit dem Vorfaktor 2 kann man die Gleichung umschreiben zu: .

y = 2 x^{2} - 8 x + 6 = 2 (x - 1) (x - 3)

.
.
Quadratische Ergänzung: .

y = 2 x^{2} - 8 x + 6 = (2 x^{2} - 8 x + 8) + (6 - 8) = 2 \cdot (x^{2} - 4 x + 4) + (6 - 8) = 2 \cdot {(x - 2)}^{2} + (- 2)

y + 2 = 2 \cdot {(x - 2)}^{2}

.
Scheitelpunkt: (2,-2)

.
0/5/0/2/2

0/5/0/3

6.1.4 Polynomfunktionen höheren Grades

0/5/0/3/0

Abspaltung von Linearfaktoren
$f (x) = \underset{Linearfaktor}{\underset{︸}{(x - x_{1})}} \cdot \underset{reduziertes Polynom}{\underset{︸}{f_{1} (x)}}$

0/5/0/3/1 .
Beispiel 6 - 39
$y = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$

\to

Finden der ersten Nullstelle

x_{1} = 1

$x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 5 x$	$+ 6$	$: (x - 1)$	$=$	$x^{2} - x - 6$
$x^{3}$	$- x^{2}$
	$- x^{2}$	$- 5 x$
	$- x^{2}$	$+ x$
		$- 6 x$	$+ 6$
		$- 6 x$	$+ 6$
			$-$

\Rightarrow x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = (x^{2} - x - 6) \cdot (x - 1)

\to

Finden weiterer Nullstellen, abspalten weiterer Linearfaktoren

x_{2, 3} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1 + 24}{4}} = \frac{1}{2} \pm \frac{5}{2}

x_{2} = 3

x_{3} = - 2

\Rightarrow x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = (x - 1) \cdot (x - 3) \cdot (x + 2)

.
0/5/0/3/2 Bei doppelten Nullstellen wird analog verfahren.

f (x) = a_{n} \underset{L i n e a r f a k t o r e n}{\underset{︸}{\cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) \cdot \dots \cdot (x - x_{k})}} \cdot f^{⋆} (x)

f^{⋆}

ist vom Grade

n - k

k

gibt die Anzahl reeller Nullstellen an.

0/5/0/3/3 .
Beispiel 6 - 40
$y = 3 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 3$

\to

Finden der ersten Nullstelle

x_{1} = 1

$3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 3 x$	$- 3$	$: (x - 1)$	$=$	$3 x^{2} + 6 x + 3$
$3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$
	$6 x^{2}$	$- 3 x$
	$- 6 x^{2}$	$+ 6 x$
		$- 6 x$	$+ 6$
		$3 x$	$- 3$
		$3 x$	$- 4$
		$-$	$-$

\Rightarrow x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = (x^{2} - x - 6) \cdot (x - 1)

\to

Finden weiterer Nullstellen, abspalten weiterer Linearfaktoren

Division von

3 x^{2} + 6 x + 3

durch 3 ergibt

x^{2} + 2 x + 1

x_{2} = - 1

x_{3} = - 1

\Rightarrow y = 3 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 3 = 3 (x - 1) \cdot {(x + 1)}^{2}

.
Weitere Beispiele: .

x^{3} - x^{2} + 4 x - 4

ergibt mit

x_{1} = 1 \Rightarrow (x^{2} + 4) (x - 1)

. Der erste Term hat eine komplexe Nullstelle. .

y = 2 x^{2} + 7 x - 22 = 3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)

y = x^{4} - 13 x^{2} + 36 = (x - 2) (x + 2) (x - 3) (x + 3)

.
Eine Polynomfunktion 3. Grades besitze bei

x_{1} = - 5

eine doppelte und bei

x_{2} = 8

eine einfache Nullstelle und schneidet die x-Achse bei

y (0) = 100

. Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion !

y = a {(x + 5)}^{2} (x - 8)

y (0) = 100 = a {(5 - 0)}^{2} (0 - 8) = - 200 \cdot a

a = - 0, 5

.
0/5/0/3/4

0/5/0/4

6.1.5 Horner-Schema

0/5/0/4/0

Das Horner-Schema ist ein elegantes Schema zur Berechnung von Funktionswerten.
0/5/0/4/1 .
Beispiel 6 - 41
Zu bestimmen ist $f (2)$ für die Funktion
$f (x) = 3 x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} + x - 1$

f (x) = 3 x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} + x - 1

= (3 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 1) \cdot x - 1

= ((3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot x + 1) \cdot x - 1

= (((3 x + 2) x - 5) \cdot x + 1) \cdot x - 1

Abbildung 17: Horner-Schema

.
0/5/0/4/2

Vorgehen:

Lückenloses Aufschreiben der Koeffizienten in 1. Zeile.
1. Koeffizient herunterholen.
mit Argument multiplizieren und in 2. Spalte.
mit 2. Koeffizient addieren etc.
$\to$ Das Ergebnis steht rechts unten

Ist $x_{0}$ eine Nullstelle, dann stehen in der unteren Zeile die Koeffizienten des reduzierten Polynoms. Dies soll am Beispiel eines Polynoms dritten Grades verdeutlicht werden: .
$\frac{f (x)}{x - x_{0}} = \frac{a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}}{x - x_{0}} = b_{2} x^{2} + b_{1} x + b_{0} + r (x)$ .

$f (x_{0}) = a_{3} x_{0}^{3} + a_{2} x_{0}^{2} + a_{1} x_{0} + a_{0}$ .
$\begin{matrix} a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} \\ x_{0} & b_{2} x_{0} & b_{1} x_{0} & b_{0} \\ a_{3} = b_{2} & b_{1} = a_{2} + b_{2} x_{0} & b_{0} = a_{1} + b_{1} x_{0} & p (x_{0}) = a_{0} + b_{0} \end{matrix}$ .
Für die Koeffizienten gilt: .
$a_{3} = b_{2}$ .
$b_{1} = a_{2} + b_{2} x_{0} = a_{2} + a_{3} x_{0}$ .
$b_{0} = a_{1} + b_{1} x_{0} = a_{1} + a_{2} x_{0} + a_{3} x_{0}^{2}$ . .
Die Restfunktion $r (x)$ ist echt gebrochen: .
$r (x) = \frac{a_{0} + a_{1} x_{0} + a_{2} x_{0}^{2} + a_{3} x_{0}^{3}}{x - x_{0}} = \frac{f (x_{0})}{x - x_{0}}$ .
Im Zähler tritt genau der Funktionswert von $f (x)$ an der Stelle $x_{0}$ auf. Die Restfunktion $r (x)$ verschwindet an der Nullstelle $x_{0}$ . Damit wird .
$\frac{f (x)}{x - x_{0}} = \frac{a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3}}{x - x_{0}} = \underset{1 . r e d u z i e r t e s P o l y n o m v o n f (x)}{\underset{︸}{b_{2} x^{2} + b_{1} x + b_{0}}}$ .

0/5/0/4/3 .
Beispiel 6 - 42
Zu bestimmen ist $f (1)$ für die Funktion
$f (x) = 3 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 3$
mit dem Horner-Schema. Daraus sind ggf. die Koeffizienten des reduzierten Polynoms zu bestimmen. .

Abbildung 18: Horner-Schema: Bestimmung des reduzierten Polynoms

.
0/5/0/4/4

0/5/0/4/5 .
Beispiel 6 - 43
Bestimmen Sie die Koeffizienten des reduzierten Polynoms für $x_{1} = 1$ mit dem Horner-Schema. $y = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$

y = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = (x - 1) (x - 3) (x + 2)

.
0/5/0/4/6

0/5/0/5

6.1.6 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/6

7 Gebrochenrationale Funktionen

0/6/0

7.1 Nullstellen und Polstellen

0/6/0/0

7.1.1 echt und unecht gebrochen rationale Funktionen

0/6/0/0/0

$y = \frac{g (x)}{h (x)} = \frac{a_{m} x^{m} + \dots a_{1} x^{1} + a_{0}}{b_{n} x^{n} + \dots b_{1} x^{1} + b_{0}}$

$n$	$>$	$m$	Echt gebrochen rational
$n$	$\leq$	$m$	Unecht gebrochen rational

Schritte: .

1.: Zerlegen von Zähler und Nenner in Linearfaktoren (beseitigen von $D$ efinitionslücken)
2.: Linearfaktoren Zähler $\to$ Nullstellen.
3.: Linearfaktoren Nenner $\to$ Polstellen.

Ermitteln ( $^{″} {Errraten}^{″}$ ) einer ersten Lösung
Polynomdivision ( $^{″} {Horner-Schema}^{″}$ )

Reduktion des Polynom-Grades.
Auflösung für Polynome $\leq$ 3. Grades.

Kürzung gemeinsamer Faktoren in Zähler und Nenner.

0/6/0/0/1 .
Beispiel 7 - 44
$y = \frac{(2 x^{3} + 2 x^{2} - 32 x + 40)}{(x^{3} + 2 x^{2} - 13 x + 10)}$ .
.

y = \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 32 x + 40}{x^{3} + 2 x^{2} - 13 x + 10} = \frac{2 {(x - 2)}^{2} \cdot (x + 5)}{(x - 1) (x - 2) (x + 5)} = \frac{2 (x - 2)}{(x - 1)}

.
.
Zähler

2 x^{3} + 2 x^{2} - 32 x + 40 = 0

x_{1} = 2

: .

\begin{matrix} 2 & 2 & - 32 & 40 \\ 2 & 4 & 12 & - 40 \\ 2 & 6 & - 20 & 0 \end{matrix}

2 x^{2} + 6 x - 20

x_{2} = 2

: .

\begin{matrix} 2 & 6 & - 20 \\ 2 & 4 & 20 \\ 2 & 10 & 0 \end{matrix}

2 (x + 5) = 0

x_{3} = - 5

: .

Nenner: $x^{3} + 2 x^{2} - 13 x + 10 = 0$ , $x_{1} = 1$ : .
$\begin{matrix} 1 & 2 & - 13 & 10 \\ 1 & 1 & 3 & 10 \\ 1 & 3 & - 10 & 0 \end{matrix}$ .
$x^{2} + 3 x - 10 = 0$ , $x_{2} = 2, x_{3} = - 5$ .

$\Rightarrow$ Beseitigung der Definitionslücken ( $x = 2, - 5$ ) .
.
$y = \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 32 x + 40}{x^{3} + 2 x^{2} - 13 x + 10} = \frac{2 {(x - 2)}^{2} (2 + 5)}{(x - 1) (x - 2) (x + 5)}$ $= \frac{2 (x - 2)}{(x - 1)}$ .
.
Maple: $c o n v e r t (\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 32 x + 40}{x^{3} + 2 x^{2} - 13 x + 10}, p a r f r a c)$ .
Maxima: partfrac (1/(1+x)^2 - 2/(1+x) + 2/(2+x), x); .

.
0/6/0/0/2

0/6/0/1

7.1.2 Nullstellen

0/6/0/1/0

Ein Polynom vom Grad $n$ hat $n$ (komplexe) Nullstellen ( Fundamentalsatz der Algebra )

0/6/0/1/1 .
Beispiel 7 - 45
Fall 1: $x^{2} - 4 = 0 \Rightarrow x_{1, 2} = \pm 2$ .
Fall 2: $x^{2} + 4 = 0 \Rightarrow x_{1, 2} = \sqrt{- 4} \Rightarrow$ keine reelle Lösung .

.
0/6/0/1/2

Linearfaktorzerlegung; Die Nullstellen des Zählers sind (nach Kürzen) die Nullstellen des Polynoms.

0/6/0/1/3 .
Beispiel 7 - 46
$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

Zähler:

x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x_{1, 2} = \pm 1

.
Nenner hat keine rellen Nullstellen .

\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = \frac{(x - 1) (x + 1)}{x^{2} + 1}

.
Maple:

p l o t (\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}, x = - 5 . . 5)

Abbildung 19:

y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}

.
0/6/0/1/4

0/6/0/2

7.1.3 Definitionslücken

behebbar, wenn Zähler und Nenner eine Nullstelle der gleichen Ordnung aufweisen.
Ist die Ordnung der Nullstelle des Zählers größer als die des Nenners, weist der Bruch Nullstellen (sowie möglicherweise behebbare Definitionslücken) auf.
Ist die Ordnung der Nullstelle des Nenners größer als die des Zählers , weist der Bruch nicht behebbare Definitionslücken ( Pole sowie möglicherweise weitere, auch behebbare Definitionslücken) auf. .

0/6/0/3

7.1.4 Asymptotisches Verhalten

0/6/0/3/0 .
Beispiel 7 - 47
Beispiele für Polstellen: .
.

y = \frac{1}{x}

: Vorzeichenwechsel, kein Grenzwert ! .

y = \frac{1}{x^{2}}

: kein Vorzeichenwechsel .

y = \frac{x}{x^{2} - 4}

: je ein Vorzeichen-wechsel .

Abbildung 20: Polstellen von

y = \frac{x}{x^{2} - 4}

$lim_{x \to x_{0}} \frac{2 (x - 2)}{x - 1}$

.
0/6/0/3/1

(vgl.Rechenregeln für Grenzwerte)

$lim_{x \to x_{0}} [f (x) \pm g (x)] = lim_{x \to x_{0}} f (x) \pm lim_{x \to x_{0}} g (x)$

$lim_{x \to x_{0}} [f (x) \cdot g (x)] = lim_{x \to x_{0}} f (x) \cdot lim_{x \to x_{0}} g (x)$

$lim_{x \to x_{0}} [\frac{f (x)}{g (x)}] = \frac{lim_{x \to x_{0}} f (x)}{lim_{x \to x_{0}} g (x)}$

Bestimmung der Asymptoten

echt gebrochen rational $lim_{x \to \infty} f (x) = 0$
unecht gebrochen rational: Aufteilung in ganzrationale Funktion und echt gebrochen rationale Funktion.

0/6/0/3/2 .
Beispiel 7 - 48
$y = \frac{2 x^{3} - 14 x^{2} + 14 x + 30}{x^{2} - 4}$ .

Nullstelle=x=7, Faktor 2 ausklammerbar: .

y = \frac{2 x^{3} - 14 x^{2} + 14 x + 30}{x^{2} - 4}

\begin{matrix} 2 x^{3} & - 14 x^{2} & + 14 x & + 30 & : x + 4 = 2 x - 14 \\ 2 x^{3} & - 8 x \\ - 14 x^{2} & + 22 x & + 30 \\ - 14 x^{2} & + 56 \\ - 22 x & - 26 \end{matrix}

y = \frac{2 x^{3} - 14 x^{2} + 14 x + 30}{x^{2} - 4} =

= \underset{ganzrationale Funktion}{\underset{︸}{2 x - 14}} + \underset{echtgebrochen rationale Fkt.}{\underset{︸}{\frac{22 x - 26}{x^{2} - 4}}}

.
plot((x pow 2 -2x)/(x-2),x=-5..5)
plot((1/x),x=-5..5)
.
Weiteres Beispiel: .

y = \frac{2 x^{3} - x^{2} - 4 x - 3}{x^{2} - x - 2} =

= \underset{ganzrationale Funktion}{\underset{︸}{2 x + 1}} + \underset{echtgebrochen rationale Fkt.}{\underset{︸}{\frac{x - 1}{x^{2} - x - 2}}} =

= 2 x + 1 + \frac{2}{3 (x + 1)} + \frac{1}{3 (x - 2)}

Weit. Beispiel: .
$\frac{0, 5 x^{3} - 1, 5 x + 1}{x^{2} + 3 x + 2} = \frac{0, 5 {(x - 1)}^{2} (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{0, 5 {(x - 1)}^{2}}{(x + 1)}$ .

$0, 5 x^{2} - x + 0, 5 : x + 1 = 0, 5 x - 1, 5 + \frac{2}{(x + 1)}$ .

.
0/6/0/3/3

0/6/0/4

7.1.5 Partialbruchzerlegung

Ziel der Partialbruchzerlegung ist eine Vereinfachung gebrochenratiohaler Funktionen, um sie beispielsweise besser integrieren zu können. Vorgehen:

Bestimmung reeller Nullstellen des Nenners.
Jeder Nullstelle wird ein Partialbruch zugeordnet.
- $x_{1}$ (einfache Nullstelle) $\to \frac{A_{1}}{(x - x_{1})}$ .
- $x_{1}$ (zweifache Nullstelle) $\to \frac{A_{1}}{(x - x_{1})} + \frac{A_{2}}{{(x - x_{1})}^{2}}$ .
- $x_{1}$ (dreifache Nullstelle) $\to \frac{A_{1}}{(x - x_{1})} + \frac{A_{2}}{{(x - x_{1})}^{2}} + \frac{A_{3}}{{(x - x_{1})}^{3}}$ .
- $⋮$
- $x_{1}$ ( $n$ -fache Nullstelle) $\to \frac{A_{1}}{(x - x_{1})} + \frac{A_{2}}{{(x - x_{1})}^{2}} + \dots \frac{A_{n}}{{(x - x_{1})}^{n}}$ .
Liegen weitere nicht-reelle Nullstellen des Nenners vor (z.B.) $(x^{2} + 1)$ , so gehört dazu ein Partialbruch mit dem Zähler $A x + B$ etc. .
Die echt gebrochen rationale Funktion ist die Summe der Partialbrüche.
Die Konstanten $A_{1}, A_{2}$ , …kann man durch Koeffizientenvergleich oder durch geschickte Wahl von Nullstellen etc. bestimmen.

Beispiel 7 - 49:
$y = \frac{x + 1}{(x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4)}$ , mit $x_{1} = 1$ und $x_{2, 3} = 2$ .
.

$y = (x + 1 (x - 1) {(x - 2)}^{2} =$ .
$= \frac{A}{(x - 1)} + \frac{B}{(x - 2)} + \frac{C}{{(x - 2)}^{2}}$ .
$= \frac{A {(x - 2)}^{2} + B (x - 1) (x - 2) + C (x - 1)}{(x - 1) {(x - 2)}^{2}}$ . .
.
Daraus folgt .
$(x + 1) = A {(x - 2)}^{2} + B (x - 1) (x - 2) + C (x - 1)$ .
.
Diese Beziehungen müssen für beliebige $x$ erfüllt sein. .
1. Koeffizientenvergleich: .
$x + 1 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C x - C$ .
$x^{2} \Rightarrow 0 = A + B$ .
$x^{1} \Rightarrow 1 = - 4 A - 3 B + C$ .
$x^{0} \Rightarrow 1 = 4 A + 2 B - C$ .
oder .
2. geschickte Wahl von x, damit man Nullstellen erhält:

$x = 1$	$\Rightarrow$	$2 = A$
$x = 2$	$\Rightarrow$	$3 = C$
$x = 0$	$\Rightarrow$	$1 = 4 A + 2 B - C = 4 \cdot 2 + 2 B - 3$
		$B = - 2$

$y$	$=$	$\frac{x + 1}{(x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4)}$	=	$\frac{2}{(x - 1)} + \frac{- 2}{(x - 2)} + \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

0/6/0/5

7.1.6 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/6/1

7.2 Interpolationspolynome

0/6/1/0

7.2.1 Interpolationspolynome nach Newton

0/6/1/0/0

Fragestellung: $n$ -Messpaare liegen vor. Gesucht ist nun ein Interpolationspolynom , das die Werte möglichst exakt beschreibt. .

$i$	$0$	$1$	$2$
$x_{i}$	$- 1$	$1$	$2$
$y_{i}$	$0$	$2$	$4$

.
.
1. Möglichkeit .

$y_{0}$	$=$	$a_{0} + a_{1} x_{0} + a_{2} x_{0}^{2}$
$y_{1}$	$=$	$a_{0} + a_{1} x_{1} + a_{2} x_{1}^{2}$
$y_{2}$	$=$	$a_{0} + a_{1} x_{2} + a_{2} x_{2}^{2}$

.
.
-

Bei vielen Messwerten wird das Ermitteln der Koeffizienten aufwendig. Besser ist dann das Arbeiten mit Linearfaktoren. Dies leistet das Verfahren der Polynom-Interpolation nach Newton

y = c_{0} + c_{1} (x - x_{0}) + c_{2} (x - x_{0}) (x - x_{1})

+ …+

c_{n} (x - x_{0}) (x - x_{1})

…

(x - x_{n})

gegeben: Wertepaare

(x_{0}; y_{0}) (x_{1}; y_{1})

…

(x_{n}; y_{n})

1.: Betrachtung von nur $(x_{0}; y_{0})$
$\Rightarrow$ Es reicht das Polynom von Grad 0
$p_{0} (x) = c_{0} = y_{0}$
2.: Hinzunehmen von Punkt $(x_{1}; y_{1})$
$p_{1} (x) = c_{0} + c_{1} (x - x_{0})$
3.: Hinzunehmen von Punkt $(x_{2}; y_{2})$
$p_{2} (x) = c_{0} + c_{1} (x - x_{0}) + c_{2} (x - x_{0}) (x - x_{1})$
4.: $n$ -Stützstellen
$p (x) = c_{0} + c_{1} (x - x_{0}) + c_{2} (x - x_{0}) (x - x_{1})$ + …+ $c_{n} (x - x_{0}) (x - x_{1})$ … $(x - x_{n})$
$= \sum_{i = 0}^{n} c_{i} \prod_{j = 0}^{i - 1} (x - x_{j})$

Bestimmung der Koeffizienten

$p (x_{0})$	$=$	$c_{0}$	$=$	$y_{0}$
$p (x_{1})$	$=$	$c_{0} + c_{1} (x_{1} - x_{0})$	$=$	$y_{1}$
$p (x_{2})$	$=$	$c_{0} + c_{1} (x_{2} - x_{0}) + c_{2} (x_{2} - x_{0}) (x_{2} - x_{1})$	$=$	$y_{2}$

$c_{0}$	$=$	$y_{0}$
$c_{1}$	$=$	$\frac{y_{1} - c_{0}}{x_{1} - x_{0}}$	$=$	$\frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}}$
$c_{2} (x_{2} - x_{0}) (x_{2} - x_{1})$	$=$	$y_{2} - c_{0} - c_{1} (x_{2} - x_{0})$
$\Rightarrow$
$c_{2}$	$=$ $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} γ_{12} - \overset{γ_{01}}{\frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}}} x_{2} - x_{0}$

Rekursionsformel:

$c_{i}$	$=$	$γ_{0 i}$
$γ_{i, i}$	$=$	$f (x_{i})$
$γ_{i, k}$	$=$	$\frac{γ_{i + 1, k} - γ_{i, k - 1}}{x_{k} - x_{i}}$

Beispiel 7 - 50:

	$c_{0}$	$=$	$γ_{00}$	$=$	$f (x_{0})$
$i = 0, k = 1$	$c_{1}$	$=$	$γ_{01}$	$=$	$\frac{γ_{1, 1} - γ_{0, 0}}{x_{1} - x_{0}}$	$=$	$\frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}}$

$i = 0, k = 2$	$c_{2}$	$=$	$γ_{02}$	$=$	$\frac{γ_{1, 2} - γ_{0, 1}}{x_{2} - x_{1}}$	$=$	$\frac{\frac{γ_{2, 2} - γ_{1, 1}}{x_{2} - x_{1}} - \frac{γ_{1, 1} - γ_{0, 0}}{x_{1} - x_{0}}}{x_{2} - x_{0}}$

						$=$	$\frac{\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} - \frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}}}{x_{2} - x_{0}}$

Rechenschema:

$x_{0}$	$y_{0}$
		$γ_{01} = \frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}}$
$x_{1}$	$y_{1}$		$γ_{02} = \frac{γ_{12} - γ_{01}}{x_{2} - x_{0}}$
		$γ_{12} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$		$γ_{03} = \frac{γ_{13} - γ_{02}}{x_{3} - x_{0}}$
$x_{2}$	$y_{2}$		$γ_{13} = \frac{γ_{23} - γ_{12}}{x_{3} - x_{1}}$
		$γ_{23} = \frac{y_{3} - y_{2}}{x_{3} - x_{2}}$
$x_{3}$	$y_{3}$

0/6/1/0/1 .
Beispiel 7 - 49
.


$i$	$0$	$1$	$2$

$x_{i}$	$- 1$	$1$	$2$

$y_{i}$	$0$	$2$	$4$


$x_{i}$	$y_{i}$
$- 1$	0 c0
		$γ_{01} = \frac{2 - 0}{2} =$ 1 c1
$1$	$2$		$γ_{02} = \frac{2 - 1}{3} =$ 1 3 c3
		$γ_{12} = \frac{4 - 2}{1}$
$2$	$4$

p (x) = 0 + 1 \cdot (x + 1) + \frac{1}{3} (x + 1) (x - 1) = \frac{x^{2}}{3} + x + \frac{2}{3}

Weitere Stützstelle

(x_{3}, y_{3}) = (3, 5)


$x_{i}$	$y_{i}$
$- 1$	0
		1
$1$	$2$		1 3
		$2$		$\frac{- \frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{3 - (- 1)} = \frac{- 5}{24}$
$2$	$4$		$- \frac{1}{2}$
		$1$
$3$	$5$

\frac{1 - 2}{3 - 1} = - \frac{1}{2}

p (x) = 0 + 1 (x - (- 1)) + \frac{1}{3} (x - (- 1)) (x - 1) + - \frac{5}{24} (x - (- 1)) (x - 1) (x - 2)

p (x) = - \frac{5}{24} x^{3} - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{29}{24} x + \frac{11}{24}

.
Maple: newton.mws.mw

.
0/6/1/0/2

0/7

8 Potenz- und Wurzelfunktionen

0/7/0

0/7/1

8.1 Potenzen

0/7/1/0

8.1.1 Potenzbegriff

$z.B. y = f (x) = x^{n} (n \in ℕ)$ $= \underset{n -mal}{\underset{︸}{x \cdot x \cdot x \cdot x … x}}$ Ist $n$ gerade $\Rightarrow$ $f (x)$ ist eine gerade Potenzfunktion .
Ist $n$ ungerade $\Rightarrow$ $f (x)$ ist eine ungerade Potenzfunktion .

Beispiele für Potenzen:

$100$	$=$	$1 0^{2}$
$10$	$=$	$1 0^{1}$
$1$	$=$	$1 0^{0}$
$0, 1$	$=$	$1 0^{- 1}$
$0, 01$	$=$	$1 0^{- 2}$

pico	$:$	$1 0^{- 12}$
nano	$:$	$1 0^{- 9}$
mikro	$:$	$1 0^{- 6}$
milli	$:$	$1 0^{- 3}$

kilo	$:$	$1 0^{3}$
mega	$:$	$1 0^{6}$
giga	$:$	$1 0^{9}$

0/7/2

8.2 Wurzelfunktionen

0/7/2/0

8.2.1 Umkehrbarkeit

0/7/2/0/0

Quadtratische Funktionen sind nicht umkehrbar, solange $D = (- \infty < x < \infty)$

0/7/2/0/1

Abbildung 2: Umkehrbarkeit für

x \geq 0 \to

y = \sqrt{x}

0/7/2/0/2

$\Rightarrow$ Jede Potenzfunktion mit geradem Exponent ist im Intervall $x \geq 0$ umkehrbar.
Die Umkehrfunktionen der auf das Intervall $x \geq 0$ beschränkten Funktionen heißen Wurzelfunktionen : $y = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$
Beispiel 8 - 50: sqrt()
liefert den Wert der Quadratwurzel. ’sqrt(4)’; ergibt 2.

Beispiel 8 - 51: n-te Wurzel Gesucht ist die n-te Wurzel einer reellen Zahl: $\sqrt[n]{x}$ .
Umgesetzt in den Maple-Befehl ’surd(x,n)’ erhält man das Ergebnis. Zahlenwerte: $\sqrt[3]{27}$ . ’surd(27,3)’ liefert: 3

Beispiel 8 - 52: solve bei Maxima / isolate bei Maple
unterstützt bei der Bildung von Umkehrfunktionen:
$i s o l a t e (y = s q r t (x), x)$
$i s o l a t e (y = x^{- \frac{1}{2}}, x)$
.
Maxima: solve(y=sqrt(x),x); .

0/7/2/1

8.2.2 Wurzelgleichungen

1.

Wurzelgleichungen mit einer Wurzel:
Lösungsmethode: isolierung der Wurzel und Potenzieren

☈

i.d.R. nicht äquivalente Umforungen, daher Lösungen ausprobieren.

Beispiel 8 - 53:

$\sqrt{x + 7}$	$=$	$x + 1$	$D = {x \in ℝ \| x \geq - 7}$
$\sqrt{x + 7}$	$=$	$x + 1$	$\| q u a d r i e r e n$
$x + 7$	$=$	$x^{2} + 2 x + 1$	$\| - x - 7$
$0$	$=$	$x^{2} + x - 6$
$x_{1, 2}$	$=$	$- \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 6}$
$x_{1} = 2$		$x_{2} = - 3$

Probe:

$\sqrt{2 + 7}$	$=$	$2 + 1$	$\Rightarrow$	$\sqrt{9} = 3$	$x_{1} = 2$	$✓$
$\sqrt{- 3 + 7}$	$=$	$\sqrt{4}$	$\neq$	$- 3 + 1 = - 2$		$f$
$L = {2}$

.
Beispiel 8 - 50
Lösen Sie die Gleichung
$\sqrt{x + 5} - x + 1 = 0$

$\sqrt{x + 5} = x - 1$
$x + 5 = x^{2} - 2 x + 1$
$x^{2} - 3 x = 4$ ergibt 4, -1. .
-1 ist nicht zulässig. .
.
.
Weit. Beispiel: $\sqrt{x - 4} \cdot \sqrt{x - 9} = 0$ .
Ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist: $x_{1} = 4, x_{2} = 9$ .
Weit. Beispiel: $\sqrt{x + 4} + x - 1 = 0$ .
$x + 4 = x^{2} - 2 x + 1$ .
$x^{2} - 3 x - 3 = 0$ .
$x_{1, 2} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} + 3} = \frac{3}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{21}$ .

2.

Wurzelgleichungen mit zwei Wurzeln
Methode:

(a): Isolieren der Wurzel
(b): Quadrieren der Gleichung
(c): Isolieren der zweiten Wurzel
(d): Quadrieren (potenzieren) der Wurzel

Beispiel 8 - 51:

$3 + \sqrt{x + 3}$	$=$	$\sqrt{3 x + 6} + 2$	$D = {x \in ℝ \| x \geq - 2}$
$3 + \sqrt{x + 3}$	$=$	$\sqrt{3 x + 6} + 2$	$\| - 2$
$1 + \sqrt{x + 3}$	$=$	$\sqrt{3 x + 6}$	$\|$ Quadrieren
$1^{2} + 2 \sqrt{x + 3} + (x + 3)$	$=$	$3 x + 6$	$\| - 4 - x$
$2 \sqrt{x + 3}$	$=$	$2 x + 2$	$\| : 2$
$\sqrt{x + 3}$	$=$	$x + 1$	$\|$ Quadrieren
$x + 3$	$=$	$x^{2} + 2 x + 1$	$\| - x - 3$
$0$	$=$	$x^{2} + x - 2$
$x_{1} = - 2$		$x_{2} = 1$

Probe:

$3 + \sqrt{- 2 + 3}$	$=$	$4$	$\neq$	$\sqrt{3 \cdot (- 2) + 6} + 2$	$=$	$2$
$3 + \sqrt{1 + 3}$	$=$	$5$	$=$	$\sqrt{3 + 6} + 2$	$=$	$5$
$L = {1}$

0/7/3

8.3 Potenzfunktionen

0/7/3/0

8.3.1 Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten

$y = f (x) = x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ $x > 0, m \in ℤ, n \in ℕ$ .
.
$y = x^{- 2} = \frac{1}{x^{2}}$ .
.
Beispiel 8 - 52: Geladenes Teilchen im elektrischen Feld .
$\underset{kinetische Energie}{\underset{︸}{\frac{1}{2} m ν^{2}}} = \underset{potentielle Energie}{\underset{︸}{e \cdot U}}$ .
$\to ν = \sqrt{2 \frac{e \cdot U}{m}}$ .

0/7/3/1

8.3.2 Potenzgleichungen

0/7/3/1/0

Lösungsmethode:

Isolation
geeignetes Potenzieren

0/7/3/1/1 .
Beispiel 8 - 51
$x^{\frac{2}{3}} + 4 = x$
.

$x^{\frac{2}{3}} + 4$	$=$	$x$	$\| - 4$
$x^{\frac{2}{3}}$	$=$	$x - 4$	$\|$ Zur 3. Potenz erheben
${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = x^{2}$	$=$	${(x - 4)}^{3} = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$	$\| - x^{2}$
$0$	$=$	${(x - 4)}^{3} = x^{3} - 13 x^{2} + 48 x - 64$
$\Rightarrow$	$x_{1} = 8$

Abbildung 3:

y = x^{a}

.
0/7/3/1/2

0/7/3/1/3 .
Beispiel 8 - 52
Einarbeitungszeit
Bei der Herstellung neuer Produkte nähert sich der Arbeitsaufwand nach einer Einarbeitungszeit dem projektierten Arbeitsaufwand. Der Einarbeitungsprozess wird durch die allgemeine Funktion
$t = b + c \cdot x^{- 0.2}$ beschrieben.

$t = c \cdot x^{- 0, 2}$ .
$t :$ Arbeitsaufwand in min/Stück, konkret: $t = 30 x^{- 0, 2}$ .
$c :$ Konstante/Parameter .
$x :$ Stückzahl .
.
Angenommener projektiver Aufwand sei nun 18 min/Stück. .
Nach welcher Stückzahl ist dieser Aufwand erreicht bzw. unterschritten? .
.

18 = 30 \cdot x^{- 0, 2}

x^{- 0, 2} = \frac{18}{30}

x^{\frac{1}{5}} = \frac{30}{18}

x = {(\frac{30}{18})}^{5} \approx 13 Stück

.
0/7/3/1/4

0/8

9 Exponentialfunktionen

0/8/0

0/8/1

9.1 Grundbegriffe, Rechenregeln

0/8/1/0

9.1.1 Einleitung

Verallgemeinerung des Begriffs Potenz .
$a^{n}$ : $a$ bezeichnet man als Basis und $n$ als Potenz bzw. Exponenten .
Rechenregeln für Exponenten : .

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{(m + n)}$
$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{(m - n)}$
${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n} = a^{n \cdot m} = {(a^{n})}^{m}$

.
Funktionen vom Typ $y = a^{x}$ mit $a > 0, a \neq 1$ heißen Exponentialfunktionen . .
.
Tipp: Mit maple können Sie solche Terme über den Befehl combine zusammenfassen. .

	$0 < a < 1$	$1 < a$

$D$	$- \infty < x < \infty$	$- \infty < x < \infty$

$W$	$0 < y < \infty$	$0 < y < \infty$

Monotonie	streng monoton fallend	streng monoton wachsend

Asymptote	$y = 0$ (für $x \to \infty$ )	$y = 0$ (für $x \to - \infty$ )

.
.

e = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = 2, 718 …

y = e^{x} heißt e -Funktion

0/8/2

9.2 Spezielle Anwendungen

0/8/2/0

9.2.1 Abklingfunktion

0/8/2/0/0

$y = a \cdot e^{- λ \cdot t} oder y = a \cdot e^{- \frac{t}{τ}}$ .
$τ : Zeitkonstante$ .

0/8/2/0/1

Abbildung 4: Abklingfunktion

0/8/2/0/2 (Bei elektrischen Schaltungen mit Kondensatoren $C$ , Widerstand $R$ ist $τ = R \cdot C$ .) .

0/8/2/0/3 .
Beispiel 9 - 53
Radioaktiver Zerfall
$n (t) = n_{0} \cdot e^{- λ t}$ .

Abbildung 5: Radioaktiver Zerfall

Halbwertszeit:

n (t_{\frac{1}{2}} = n_{0} \cdot \frac{1}{2} = n_{0} \cdot e^{- λ t_{\frac{1}{2}}}

l n (\frac{1}{2}) = - λ t_{\frac{1}{2}}

l n (2) = λ t_{\frac{1}{2}}

t_{\frac{1}{2}} = \frac{l n (2)}{λ}

Beispiele für Halbwertszeiten: .

T e_{128}

Tellur ca.

7 \cdot 1 0^{24}

(7 Quadrillionen) Jahre .

S r_{90}

Strontium 28,64 Jahre .

C o_{60}

Cobalt 5,3 Jahre .

Die Anzahl der Zerfälle eines Stoffes wird in Bequerel, Bq (1/s) angegeben. .
Die Einheit für die effektive Dosis (z.B. für beruflich strahlenexponierte Personen) ist Sievert bzw. Millisievert (mSv). .
Der Grenzwert der effektiven Dosis für beruflich strahlenexponierte Personen beträgt in allen europäischen Ländern 20 mSv pro Kalenderjahr (in den USA 50 mSv/Jahr). .
Der Dosiskonversionsfaktor dient zur Umrechnung von Bq nach Sv: .
$S r_{90}$ 2.8 * 10-8 Sv/Bq 28,6 Jahre. .
(Das heißt, radioaktiv zerfallendes $S r_{90}$ , das mit einer Aktivität von $14, 2 \cdot 1 0^{5} B q$ strahlt, unterschreitet in den USA bereits heute die Grenzwerte, bei uns erst in ca. 29 Jahren.) .
.
0/8/2/0/4

0/8/2/1

9.2.2 Sättigungsfunktion

0/8/2/1/0

Abbildung 6: Sättigungsfunktion

0/8/2/1/1

0/8/2/2

9.2.3 Aperiodische Schwingungsvorgänge

0/8/2/2/0

Wird die Dämpfung (Reibung) an einem schwingungsfähigen Gebilde so groß, daß es nicht mehr in der Lage ist zu schwingen, sondern sich asymptotisch einer Gleichgewichtsbedingung nähert, spricht man von einem Kriechfall .
Der Übergang wird als aperiodischer Grenzfall bezeichnet und kann dargestellt werden als: .
$y = (a + b \cdot t) \cdot e^{- λ t}$ (mit $λ > 0, t \geq 0$ ). .
Beispiel 9 - 54: Aperiodische Schwingung mit $y = (2 + 3 \cdot t) \cdot e^{- 3 t}$ 0/8/2/2/1

Abbildung 7: Aperiodische Schwingung

0/8/2/2/2

0/8/2/3

9.2.4 Gauß-Funktionen

0/8/2/3/0

Die Gauß-Funktion ist von der Form $y = e^{- x^{2}}$ , .
allgemein: $y = a \cdot e^{- b {(x - x_{0})}^{2}}$ . .
0/8/2/3/1

Abbildung 8: Gauß-Funktion

0/8/2/3/2 .
Häufig wird die Gauß-Funktion bei statistischen Betrachtungen eingesetzt. Die Verteilungsdichte wird beschrieben als: .
.
$f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$ . .
.
Bei dieser Schreibweise lassen sich einige Kenngrößen gut angeben: .
Die Standardabweichung $σ$ beschreibt die Breite der Normalverteilung und hängt mit der Halbwertsbreite zusammen. Berücksichtigt man die tabellierten Werte der Verteilungsfunktion, gilt näherungsweise folgende Aussage: .

68,27 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens $σ$ vom Mittelwert,
95,45 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens $2 σ$ vom Mittelwert,
99,73 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens $3 σ$ vom Mittelwert.

0/9

10 Logarithmusfunktionen

0/9/0

0/9/1

10.1 Grundbegriffe, Rechenregeln

0/9/1/0

10.1.1 Die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion

0/9/1/0/0

$r = a^{x} mit (r > 0, a > 0, a \neq 1)$ $\Leftrightarrow x = {log}_{a} (r)$ .
$1000 = 1 0^{3} \Leftrightarrow {log}_{10} 1000 = 3$ .
$0, 001 = 1 0^{x} \Leftrightarrow {log}_{10} 0, 001 = x = - 3$ .
0/9/1/0/1

Abbildung 9: Logarithmusfunktion

0/9/1/0/2 .
.
Rechenregeln für Logarithmusfunktionen : .
${log}_{a} (u \cdot v) = {log}_{a} u + {log}_{a} v$ .
${log}_{a} (\frac{u}{v}) = {log}_{a} u - {log}_{a} v$ .
${log}_{a} u^{v} = v \cdot {log}_{a} u$ .
$a^{{log}_{a} x} = x$ .
$e^{ln x} = x$ .

spezielle Logarithmen: .
${log}_{e} r = ln r$ (natürlicher Logarithmus, Logarithmus naturalis) .
${log}_{10} r = lg r$ (Zehnerlogarithmus, dekadischer Logarithmus) .
$lg e \approx 0, 4343$ .
$ln 10 \approx 2, 3026$ .
${log}_{2} r = l b r$ (binärer Logarithmus) .

0/9/1/1

10.1.2 Basiswechsel von Logarithmen

0/9/1/1/0 .
Beispiel 10 - 54
Sie sollen mit dem Taschenrechner berechnen: $x = {log}_{3} 123$ , Ihr Taschenrechner kann aber nur natürliche Logarithmen ( $ln$ ) bestimmen. Sie können wie folgt vorgehen: .
$3^{x} = 123$ , logarithmieren: .
$ln 3^{x} = l n 123$ oder .
$x \cdot ln 3 = l n 123$ .
$x = \frac{1}{ln 3} \cdot ln 123$ . .
Allgemein führt dies zur Frage des Basiswechsels: .
Gegeben sei ein Logarithmus ${log}_{s} d$ mit $d > 0, s > 0, s \neq 1$ mit irgendeinem Wert. .
Dieser Logarithmus soll in einen Term r umgewandelt werden, in dem später nur noch Logarithmen der Basis d (d steht für destination, frei wählbar und größer Nulls s für source, frei wählbar und größer Null) vorkommen sollen: .
${log}_{d} c = r$ .
.

Definition des Logarithmus anwenden:

d^{r} = c

.
Zur Basis s logarithmieren: .

{log}_{s} d^{r} = {log}_{s} c

r \cdot {log}_{s} d = {log}_{s} c

, nach r auflösen: .

r = \frac{{log}_{s} c}{{log}_{s} d}

. .
Mit der Definition (s.o).

{log}_{d} c = r

wird daraus: .

{log}_{d} c = \frac{{log}_{s} c}{{log}_{s} d}

. .

Hat man den Logarithmus von c zur Basis s, so kann man ihn umrechnen zur Basis d, indem man durch den Logarithmus von d zur Basis s dividiert: .

${log}_{d} c = \frac{1}{{log}_{s} d} \cdot {log}_{s} c$ . .
.
0/9/1/1/1

0/9/1/1/2 .
Beispiel 10 - 55
Gegeben sei $ln 4, 765 = 1, 5613$ und $lg e = 0, 4343$ .
Wie groß ist $lg 4, 765 = ?$ .

lg 4, 765 = lg e \cdot ln 4, 765 = 0, 4343 \cdot 1, 15613 \approx 0, 678

1 0^{x} = e^{y}

lg 1 0^{x} = lg e^{y}

x = y lg e

.
.

.
0/9/1/1/3

0/9/2

10.2 Transzendente Gleichungen

0/9/2/0

10.2.1 Definition

Transzendente Gleichungen sind Gleichungen, die mindestens einen nicht-algebraischen Ausdruck enthalten, wie etwa $l g (x), s i n (x), e^{x}$ oder $5^{x}$ . 0/9/2/1

10.2.2 Exponentialgleichungen

0/9/2/1/0

Exponentialgleichungen enthalten Exponentialausdrücke.
Gelingt es, den Exponentialausdruck zu isolieren, kann man durch anschließendes Logarithmieren beider Seiten den Exponentialausdruck umformen (Logarithmenregeln beachten !!). Sofern im Logarithmus auf der anderen Seite die unabhängige Variable herausgelöst werden kann, ist die Gleichung relativ einfach lösbar. .
0/9/2/1/1 .
Beispiel 10 - 56
$2^{x^{2} - 1} = 8$

2^{x^{2} - 1} = 8

| Logarithmieren

l n (2^{(x^{2} - 1)}) = l n (8)

| umformen

(x^{2} - 1) \cdot l n (2) = l n (8)

x^{2} - 1 = \frac{l n (8)}{l n (2)} = \frac{3 \cdot l n (2)}{l n (2)}

x^{2} = 4

x_{1, 2} = \pm 2

. .

.
0/9/2/1/2 .
0/9/2/1/3 .
Beispiel 10 - 57

2^{x} + 4 \cdot 2^{- x} - 5 = 0

Man sollte erkennen, daß die beiden Exponentialformen ineninander überführbar sind: .

2^{x} + \frac{4}{2^{x}} - 5 = 0

.
Ensprechend kann man substituieren:

z = 2^{x}

z + \frac{4}{z} - 5 = 0

z^{2} + 4 - 5 z = 0

z_{1, 2} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} - 4} = \frac{5}{2} \pm \frac{3}{2}

z_{1} = 4

z_{2} = 1

.
Rücksubstitution: .

z_{1} = 2^{x} = 4 \Rightarrow l n 2^{x} = l n 4 = l n 2^{2}

x \cdot l n 2 = 2 \cdot l n 2 \Rightarrow x_{1} = 2

$z_{2} = 2^{x} = 1 \Rightarrow l n 2^{x} = l n 1 = 0$ .
$x \cdot l n 2 = 0 \Rightarrow x_{2} = 0$

.
0/9/2/1/4 .

0/9/2/2

10.2.3 Logarithmusgleichungen

1.

Logarithmusgleichungen mit einem Logarithmus

{log}_{a} T = S (T, S : Terme)

Lösungsmethode: man erxponentiert beige Seiten der Gleichung (Regeln beachten !)
Beispiel 10 - 58:

{log}_{2} (x^{2} - 1) = 3

.
Definitionsbereich:

D = {x \in ℝ | a b s (x) > 1}

.
Exponentieren:

x^{2} - 1 = 2^{3}

| + 1

x^{2} = 9

\Rightarrow x_{1, 2} = \pm 3

.
.
Beispiel 10 - 58

l o g_{3} (x^{2} + 2) = 3

x^{2} + 2 = 3^{3}

x^{2} = 27 - 2 = 25 \Rightarrow x_{1, 2} = \pm 5

2.

Gleichungen mit zwei Logarithmen

{log}_{a} T = {log}_{b} S (T, S : Terme)

0/9/2/3 .
Beispiel 10 - 59
${log}_{a} (x + 3) = {log}_{a} (2 x + 1)$ .
Definitionsbereich: $D = {x \in ℝ | x > - 1}$ .

{log}_{a} (x + 3) = {log}_{a} (2 x + 1)

x + 3 = 2 x + 1

| - 1 - x

2 = x

\Rightarrow L = {2}

.
Weiteres Beispiel: .
${log}_{a} (x + 1) = {log}_{a} (2 x + 4)$ .
Definitionsbereich: $D = {x \in ℝ | x > - 1}$ .

${log}_{a} (x + 1) = {log}_{a} (2 x + 4)$ $| a^{. . .}$ Exponentieren .
$x + 1 = 2 x + 4$ $| - 4 - x$ .
$- 3 = x$ .
$L = {\emptyset}$ , da $- 3 \notin D$ .

.
0/9/2/4 .
Beispiel 10 - 60
Lösen Sie die Gleichung .

4 lg x - 3 lg 2 x = 2, 5 - lg 5 x - lg 4

Die Logarithmen haben alle die gleiche Basis (anderenfalls Basistransformation). .
Vorfaktoren in den Exponenten bringen: .

lg x^{4} - lg {(2 x)}^{3} - 2, 5 + lg 5 x + lg 4 = 0

.
positive und negative Summanden gruppieren: .

lg x^{4} + lg 5 x + lg 4 - lg {(2 x)}^{3} - 2, 5 = 0

.
Zusammenfassen : .

lg (4 \cdot 5 x \cdot x^{4}) - lg {(2 x)}^{3} = 2, 5

lg \frac{4 \cdot 5 x \cdot x^{4}}{8 x^{3}} = 2, 5

lg \frac{5 x^{2}}{2} = 2, 5

.
Auflösen nach x: .

lg \frac{5 x^{2}}{2} = lg 5 + 2 lg x - l g 2 = 2, 5

lg x = 0.5 (2.5 + lg 2 - lg 5) = 1, 051

x = 11.2

.
0/9/2/5

0/9/2/6 .
Beispiel 10 - 61
Ein Container voller Gulaschsuppe wird auf einem LKW (Umgebungstemperatur $T_{L} = 20$ °C) zum Kunden transportiert und habe zum Zeitpunkt $t_{0} = 0$ die Temperatur $T_{0} = 100$ °C.
Die Temperatur des Containers folgt dem Abkühlungsgesetz nach Newton: .
$T (t) = (T_{0} - T_{L}) \cdot e^{- k t} + T_{L}$ (k ist eine Konstante). .
Nach zehn Minuten Fahrt ist der Container um 10 °C abgekühlt.

1.: Wie groß ist die Konstante k ?
2.: Wie lange darf der Fahrer höchstens unterwegs sein, wenn in den Lieferbedingungen vereinbart wurde, dass die Temperatur des Containers mindestens 75 °C ist ? y-Skala (logplot() ).

Lösung :

1.: $10 0^{0} - 1 0^{0} = (10 0^{0} - 2 0^{0}) \cdot e - k \cdot 10 m i n + 2 0^{0}$
$7 0^{0} = 8 0^{0} \cdot e^{- k \cdot 10 m i n}$
$7 ∕ 8 = e - k * 10 m i n$

$l n (\frac{7}{8}) = - k \cdot 10 m i n$
$k = l n (\frac{7}{8}) ∕ 10 m i n = 0, 01335 ∕ m i n$
2.: $7 5^{0} = 8 0^{0} \cdot e^{- 0, 01335 ∕ m i n \cdot t} + 2 0^{0}$

$l n (\frac{55}{80}) ∕ 0, 01335 \cdot t [m i n] = 28, 06 m i n .$

.
0/9/2/7 0/9/2/8

10.2.4 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/10

11 Periodische Funktionen

0/10/0

Trigonometrische Funktionen sind periodische Funktionen. .
0/10/1

11.1 Trigonometrische Funktionen

0/10/1/0

11.1.1 $sin$ - und $cos$ -Funktion

0/10/1/0/0

Abbildung 10: Trigonometrische Beziehungen

0/10/1/0/1

$sin α = \frac{Gegenkathete}{Hypothenuse}$ .
$cos α = \frac{Ankathete}{Hypothenuse}$ .
$tan α = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{sin α}{cos α}$ .
$cot α = \frac{Ankathete}{Gegenkathete} = \frac{cos α}{sin α}$ .
.
Sinussatz bei allgemeinen ebenen Dreiecken: .
$\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}$ .
Kosinussatz bei allgemeinen ebenen Dreiecken: .
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α$ .
$b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2 c a cos β$ .
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos γ$ .

$☈$ Achtung bei Bogenmaß !!! .
.

0/10/1/0/2

Abbildung 11: Das Bogenmaß

0/10/1/0/3 .

$\frac{x}{α} = \frac{2 π}{36 0^{\circ}} \to α = \frac{x}{2 π} \cdot 36 0^{\circ}$ .

Merkhilfe: .
.

$α =$	$0$	$30$	$45$	$60$	$90$

$x$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$
$sin α$	$\frac{1}{2} \sqrt{0}$	$\frac{1}{2} \sqrt{1}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$	$\frac{1}{2} \sqrt{4}$
$cos α$	$\frac{1}{2} \sqrt{4}$	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2} \sqrt{1}$	$\frac{1}{2} \sqrt{0}$

Drehsinn von

α

: Gegen den Uhrzeigersinn 0/10/1/0/4

Abbildung 12: Drehsinn

0/10/1/0/5

	$y = sin x$	$y = cos x$

$D$	$- \infty < x < \infty$	$- \infty < x < \infty$
$W$	$- 1 \leq y \leq 1$	$- 1 \leq y \leq 1$
Periode	$2 π$	$2 π$
Symmetrie	ungerade	gerade
Nullstellen	$x_{k} = k \cdot π$	$x_{k} = \frac{π}{2} + k \cdot π$
relative Min.	$x_{k} = \frac{3}{2} π + k \cdot 2 π$	$x_{k} = π + k \cdot 2 π$
relative Max.	$x_{k} = \frac{π}{2} + k \cdot 2 π$	$x_{k} = k \cdot 2 π$

.
.
.

0/10/1/1

11.1.2 $tan$ - und $cot$ -Funktion

	$y = tan x$	$y = cot x$

$D$	$x \in ℝ \ x = \frac{π}{2} + k \cdot π$	$x \in ℝ \ x = k \cdot π$
$W$	$- \infty < y < \infty$	$- \infty < y < \infty$
Periode	$π$	$π$
Symmetrie	ungerade	ungerade
Nullstellen	$x_{k} = k \cdot π$	$x_{k} = \frac{π}{2} + k \cdot π$
Pole	$x_{k} = \frac{π}{2} + k \cdot π$	$x_{k} = k \cdot π$

.
.
.
0/10/1/2

11.1.3 Wichtige Beziehungen

0/10/1/2/0

$sin (α + n \cdot 2 π)$	$=$	$sin α$
$sin (- α)$	$=$	$- sin α$

$cos (α + n \cdot 2 π)$	$=$	$cos α$
$cos (- α)$	$=$	$cos α$

$cos (α)$	$=$	$sin (α + \frac{π}{2})$
$sin (α)$	$=$	$cos (α - \frac{π}{2})$

.
0/10/1/2/1

Abbildung 13: Einheitskreis

0/10/1/2/2

.
${cos}^{2} α + {sin}^{2} α = 1$

Additionstheoreme

$sin (x_{1} \pm x_{2})$	$=$	$sin x_{1} \cdot cos x_{2} \pm cos x_{1} \cdot sin x_{2}$
$cos (x_{1} \pm x_{2})$	$=$	$cos x_{1} \cdot cos x_{2} \mp sin x_{1} \cdot sin x_{2}$
$tan (x_{1} \pm x_{2})$	$=$	$\frac{(tan x_{1} \pm tan x_{2})}{(1 \mp tan x_{1} \cdot tan x_{2})}$
Beispiel 11 - 62:
$sin 2 α$	$=$	$2 \cdot sin α \cdot cos α$
$cos 2 α$	$=$	${cos}^{2} α - {sin}^{2} α$
$\frac{1}{2} [1 - c o s (2 α)]$	$=$	$\frac{1}{2} [1 - {cos}^{2} α + s i n^{2} α]$
	$=$	$\frac{1}{2} [{sin}^{2} α + s i n^{2} α]$
	$=$	${sin}^{2} α$

.
ebenso: .

{sin}^{2} α = \frac{1}{2} (1 - cos 2 α)

{cos}^{2} α = \frac{1}{2} (1 + cos 2 α)

cos 2 α = 2 {cos}^{2} α - 1 = 1 - 2 {sin}^{2} α = {cos}^{2} α - {sin}^{2} α

0/10/2

11.2 Anwendungen in der Schwingungslehre

0/10/2/0

0/10/2/1

11.2.1 Harmonische Schwingungen

0/10/2/1/0

$y = a \cdot sin (x)$ (siehe Bild)	\| a -	Amplitude
$y = a \cdot sin (b \cdot x)$	\| b -	Veränderung der Periode
$y = a \cdot sin (b \cdot x + c)$	\| c -	Verschiebung entlang der $x$ -Achse $^{″} {Phase}^{″}$

0/10/2/1/1

Abbildung 14: Harmonische Schwingung

0/10/2/1/2 .

(Die Cosinusfunktion ist analog zur Sinusfunktion, da $cos (x) = sin (x + \frac{π}{2})$ )

0/10/2/2

11.2.2 Anwendungen in der Mechanik

0/10/2/2/0

.
Masse-Feder-Pendel .
$y = A \cdot sin (ω t + φ)$ .
.

$A$	:	max. Ausdehnung, Amplitude
$ω$	:	Kreisfrequenz $ω = 2 π \cdot f = \frac{2 π}{T}$
$φ$	:	Phase
$f$	:	Frequenz
$T$	:	Schwingungsdauer

.
0/10/2/2/1 .
Beispiel 11 - 62

$y$	$=$	$5 c m \cdot sin (\overset{ω}{\overset{︷}{2 s^{- 1}}} \cdot t + \frac{π}{2})$

Frequenz	:	$f = \frac{ω}{2 π} = \frac{2 s^{- 1}}{2 π} \approx 0, 32 s^{- 1}$
Amplitude	:	$5 c m$
Phase	:	$(2 s^{- 1} \cdot t + \frac{π}{2}) = 0$
	$\to$	$t = - \frac{π}{4} \cdot s$

.
0/10/2/2/2

0/10/2/3

11.2.3 Zeigerdiagramme

0/10/2/3/0

$y = a \cdot sin (ω t + φ)$ 0/10/2/3/1

Abbildung 15:

y = a \cdot sin (ω t + φ)

0/10/2/3/2 .
Beispiel 11 - 63:

$y_{1}$	$=$	$3 \cdot cos (5 t)$
$y_{2}$	$=$	$3 \cdot cos (5 t + π)$
$y_{3}$	$=$	$3 \cdot cos (5 t + \frac{π}{3})$

0/10/2/3/3

Abbildung 16: Darstellung im Zeigerdiagramm

(t = 0)

0/10/2/3/4 .

0/10/2/4

11.2.4 Überlagerung gleichfrequenter Schwingungen (Superposition)

0/10/2/4/0

Zwei Schwingungen mit gleicher Frequenz, aber ggf. unterschiedlicher Amplitude und Phase können als eine Schwingung $y = y_{1} + y_{2} = a \cdot s i n (ω t + φ)$ zusammengefasst werden: .

$y_{1}$	$=$	$A_{1} \cdot sin (ω t + φ_{1})$
$y_{2}$	$=$	$A_{2} \cdot sin (ω t + φ_{2})$

0/10/2/4/1

Abbildung 17: Paralellogramm

0/10/2/4/2 .

0/10/2/4/3 .
Beispiel 11 - 63

$y$	$=$	$y_{1} + y_{2}$
zur Vereinfachung: $ω t$	$=$	$0$
$x_{1}$	$=$	$A_{1} \cdot cos (φ_{1})$
$y_{1}$	$=$	$A_{1} \cdot sin (φ_{1})$
$x_{2}$	$=$	$A_{2} \cdot cos (φ_{2})$
$y_{2}$	$=$	$A_{2} \cdot sin (φ_{2})$
$\Rightarrow$

$A^{2}$	$=$	$(x^{2} + y^{2}) = {(x_{1} + x_{2})}^{2} + {(y_{1} + y_{2})}^{2}$
	$=$	${(A_{1} \cdot cos φ_{1} + A_{2} \cdot cos φ_{2})}^{2} + {(A_{1} \cdot sin φ_{1} + A_{2} \cdot sin φ_{2})}^{2}$
	$=$	$A_{1}^{2} {cos}^{2} φ_{1} + 2 A_{1} A_{2} cos φ_{1} cos φ_{2} + A_{2}^{2} {cos}^{2} φ_{2}$
	+	$A_{1}^{2} {sin}^{2} φ_{1} + 2 A_{1} A_{2} sin φ_{1} sin φ_{2} + A_{2}^{2} {sin}^{2} φ_{2}$

	$=$	$A_{1}^{2} (\underset{1}{\underset{︸}{{cos}^{2} φ_{1} + {sin}^{2} φ_{1}}}) + A_{2}^{2} (\underset{1}{\underset{︸}{{cos}^{2} φ_{2} + {sin}^{2} φ_{2}}}) + 2 A_{1} A_{2} (\underset{cos (φ_{1} - φ_{2}) = cos (φ_{2} - φ_{1})}{\underset{︸}{cos φ_{1} cos φ_{2} + sin φ_{1} sin φ_{2}}})$

	$=$	$A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} cos (φ_{1} - φ_{2})$
$\Rightarrow$
$A$	$=$	$\sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} cos (φ_{1} - φ_{2})}$

Phase: tan φ = \frac{y}{x} = \frac{y_{1} + y_{2}}{x_{1} + x_{2}} = \frac{A_{1} \cdot sin φ_{1} + A_{2} \cdot sin φ_{2}}{A_{1} \cdot cos φ_{1} + A_{2} \cdot cos φ_{2}}

.
0/10/2/4/4

0/10/2/4/5 .
Beispiel 11 - 64

Stellen Sie die Harmonischen Schwingungen
$y_{1} = 3 \cdot c o s (ω t - \frac{π}{4})$ und $y_{2} = - 3 \cdot s i n (ω t - \frac{π}{6})$ durch eine Sinusfunktion vom Typ $y = A \cdot s i n (ω t + ϕ)$ dar. .

$y_{1} = 3 \cdot c o s (ω t - \frac{π}{4}) = 3 \cdot s i n (ω t + \frac{π}{4})$ .
$y_{2} = - 3 \cdot s i n (ω t - \frac{π}{6}) = 3 \cdot s i n (ω t + \frac{5 π}{6})$ .

$y = A \cdot s i n (ω t + ϕ)$ .
und $A_{1} = A_{2} = 3$ , $φ_{1} = \frac{π}{4}$ , $φ_{2} = \frac{5 π}{6}$ mit $A = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + A_{1} A_{2} cos (φ_{1} - φ_{2})} = \sqrt{9 + 9 + 9 \cdot cos ((\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) π)} = \sqrt{18 + 9 \cdot cos ((\frac{3}{12} - \frac{2}{12}) π)} = \sqrt{18 + 9 \cdot cos (\frac{1}{12} π)} \approx \sqrt{18 + 9 \cdot 0, 991} \approx \sqrt{26, 9} \approx 5, 188$ . .
$tan φ = \frac{y_{1} + y_{2}}{x_{1} + x_{2}} = \frac{A_{1} \cdot sin φ_{1} + A_{2} \cdot sin φ_{2}}{A_{1} \cdot cos φ_{1} + A_{2} \cdot cos φ_{2}} = \frac{sin \frac{π}{4} + sin \frac{5 π}{6}}{cos \frac{π}{4} + cos \frac{5 π}{6}} \approx - 7.595$ .
$φ \approx arctan - 7.595 \approx - 1, 44 \approx 82 °$ . .

.
0/10/2/4/6 Anwendung: 0/10/2/4/7

Abbildung 18: Überlagerung von Schwingungen

0/10/2/4/8 .
0/10/2/4/9 .
Beispiel 11 - 65

$y_{1}$	$=$	$4 c m \cdot sin (2 s^{- 1} \cdot t)$
$y_{2}$	$=$	$3 c m \cdot cos (2 s^{- 1} \cdot t - \frac{π}{6})$

$y_{1}$	$=$	$4 c m \cdot sin (2 s^{- 1} \cdot t)$
$y_{2}$	$=$	$3 c m \cdot cos (2 s^{- 1} \cdot t - \frac{π}{6})$
	$=$	$3 c m \cdot sin (2 s^{- 1} \cdot t + \frac{π}{3})$
$φ_{1} - φ_{2}$	$=$	$\frac{π}{3}$
$A$	$=$	$\sqrt{4^{2} c m^{2} + 3^{2} c m^{2} + 2 \cdot 4 \cdot 3 c m^{2} \cdot cos \frac{π}{3}}$	$=$	$6, 08 c m$
$tan φ$	$=$	$\frac{4 c m \cdot 0 + 3 c m \cdot sin \frac{π}{3}}{4 c m \cdot cos 0 + 3 c m \cdot cos \frac{π}{3}}$	$=$	$\frac{2, 59 c m}{5, 5 c m}$	$=$	$0, 47$
$\Rightarrow$
$φ$	$\approx$	$25, 3^{\circ}$	$\approx$	$0, 44$

.
0/10/2/4/10

0/10/2/5

11.2.5 Lissajous-Figuren

0/10/2/5/0

	$x$	$=$	$a \cdot sin ω t$
	$y$	$=$	$b \cdot cos ω t$
	$\frac{x}{a}$	$=$	$sin ω t$
	$\frac{y}{b}$	$=$	$cos ω t$
$\Rightarrow$	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$	$=$	$1$

0/10/2/5/1

Abbildung 19: Lissajous-Figuren

0/10/2/5/2 .
.
Beispiel 11 - 66: Befehle zum Zeichnen von Lissajous-Figuren: .
Maple: $p l o t ([s i n (2 * x), c o s (x), x = - P i . . P i])$ .
Maxima: $p l o t 2 d ([p a r a m e t r i c, s i n (t), c o s (t), [t, - 8 * % p i, 8 * % p i], [n t i c k s, 2000]])$

0/10/3

11.3 Arkus-Funktionen

0/10/3/0

11.3.1 Umkehrung trigonometrischer Funktionen

0/10/3/0/0

Die Arkus-Funktionen stellen die Umkehrung trigonometrischer Funktionen dar.
0/10/3/0/1

Abbildung 20: periodische Funktion

0/10/3/0/2 .
Von periodischen Funktionen kann nur dann eine Umkehrfunktion gebildet werden, wenn man sich auf einen Teilbereich, den Hauptzweig beschränkt.

0/10/3/1

11.3.2 Arkussinusfunktion

$sin x$	zwischen $- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}$ streng monoton wachsend

Abbildung 3: Funktion und Umkehrfunktion von

y = sin (x)

0/10/3/2

11.3.3 Arkuscosinusfunktion

$cos x$	zwischen $0 \leq x \leq π$ streng monoton fallend


$y = cos (x)$	$y = arccos (x)$

Abbildung 4: Funktion und Umkehrfunktion von

y = cos (x)

0/10/3/3

11.3.4 Arkustangensfunktion

0/10/3/3/0

0/10/3/3/1

Abbildung 5: Arkustangensfunktion

0/10/3/3/2 Zeichnen .
mit Maple: $p l o t ([(t a n (x), (a r c t a n (x))], x = - 2 π . . 2 π, y = - 5 . . 5,$ .
$t i c k m a r k s = [s p a c i n g (\frac{π}{2}), d e f a u l t], t h i c k n e s s = 3);$ .
mit Maxima: $p l o t 2 d ([t a n (x), a t a n (x)], [x, - 10, 10], [y, - 10, 10])$ ;

0/10/3/4

11.3.5 Trigonometrische (goniometrische) Gleichungen

0/10/3/4/0

Trigonometrische (goniometrische) Gleichungen

haben i.d.R. unendlich viele Lösungen
Vereinfachungen kann man u.U. über trigonometrische Beziehungen und Faktorisierung erzielen

0/10/3/4/1 .
Beispiel 11 - 66
Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung $cos x + sin 2 x = 0$ . .
.

$cos x + sin 2 x$	$=$	$0$
$cos x + 2 sin x cos x$	$=$	$0$
$cos x (1 + 2 sin x)$	$=$	$0$

\Rightarrow

Lösungen ergeben sich, wenn einer der Faktoren Null ist.

1.: $cos x = 0$
.

Abbildung 6: $cos (x) = 0$

$x_{1, 2} = \frac{π}{2} + k \cdot π$
2.: $1 + 2 sin x = 0$
$\Rightarrow sin x = - \frac{1}{2}$
.

Abbildung 7: $sin (x) = - 0, 5$

$x_{3} = (2 k - \frac{1}{6}) π$
$x_{4} = (\frac{7}{6} + 2 k) π$

Abbildung 8:

cos (x) = 0

Abbildung 9:

sin (x) = - 0, 5

.
0/10/3/4/2 .
Beispiel 11 - 67
Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung $cos x + \frac{1}{2} sin x = 0$ . .
.

$cos x + \frac{1}{2} sin x$	$=$	$0$
$cos x$	$=$	$- \frac{1}{2} sin x$
${cos}^{2} x$	$=$	$\frac{1}{4} {sin}^{2} x$
$1 - {sin}^{2} x$	$=$	$\frac{1}{4} {sin}^{2} x$
$\frac{5}{4} {sin}^{2} x$	$=$	$1$
$sin x$	$=$	$\pm \sqrt{\frac{4}{5}}$

\Rightarrow x_{1 k} = arcsin \sqrt{\frac{4}{5}} + 2 k \cdot π

x_{2 k} = arcsin - \sqrt{\frac{4}{5}} + 2 k \cdot π

. .
.

.
0/10/3/4/3 .

0/10/3/5

11.3.6 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/11

12 Hyperbel- und Areafunktionen

0/11/0

0/11/1

12.1 Hyperbelfunktionen

0/11/1/0

12.1.1 Hyperbelsinus und - cosinus

0/11/1/0/0

Die Begriffe Hyperbelfunktion , Hyperbelsinus sowie Hyperbelcosinus leiten sich aus der Beziehung .
$c o s h^{2} (x) - s i n h^{2} (x) = 1$ ab, die ähnlich zu .
$s i n^{2} (x) + c o s^{2} (x) = 1$ ist. .
0/11/1/0/1 .
Beispiel 12 - 68
$c o s h^{2} λ - s i n h^{2} λ =$ .
.

c o s h^{2} λ - s i n h^{2} λ =

{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot {(e^{λ} + e^{- λ})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot {(e^{λ} - e^{- λ})}^{2} =

= \frac{1}{4} \cdot e^{2 λ} + \frac{1}{4} \cdot e^{- 2 λ} + \frac{1}{2} \cdot e^{λ} \cdot e^{- λ} -

- \frac{1}{4} \cdot e^{2 λ} - \frac{1}{4} \cdot e^{- 2 λ} + \frac{1}{2} \cdot e^{λ} \cdot e^{- λ} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

.
0/11/1/0/2

$sinh x = \frac{(e^{x} - e^{- x})}{2}$ .
$cosh x = \frac{(e^{x} + e^{- x})}{2}$ .

Abbildung 10: sinh und cosh

$tanh x = \frac{sinh x}{cosh x}$ .
$coth x = \frac{cosh x}{sinh x}$ .

Abbildung 11: tanh und coth

Additionstheoreme : .

$sinh (x_{1} \pm x_{2})$	$=$	$sinh x_{1} \cdot cosh x_{2} \pm cosh x_{1} \cdot sinh x_{2}$
$cosh (x_{1} \pm x_{2})$	$=$	$cosh x_{1} \cdot cosh x_{2} \pm sinh x_{1} \cdot sinh x_{2}$
$tanh (x_{1} \pm x_{2})$	$=$	$\frac{(tanh x_{1} \pm tanh x_{2})}{(1 \pm tanh x_{1} tanh x_{2})}$

\Rightarrow

${cosh}^{2} x - {sinh}^{2} x$	$=$	$1$
$sinh 2 x$	$=$	$2 sinh x cosh x$
$cosh 2 x$	$=$	${sinh}^{2} x + {cosh}^{2} x$
$cosh x + sinh x$	$=$	$e^{x}$
$cosh x - sinh x$	$=$	$e^{- x}$

Technische Anwendung: Die Kettenlinie .
0/11/1/0/3 .
Beispiel 12 - 69
Kettenlinien werden durch eine Funktion $y = a cosh (\frac{x}{a})$ beschrieben. .
Zwei Masten sind 40 m voneinander entfernt. Eine Leitung (=’Kette’) zwischen diesen zwei Befestigungen hat in der Mitte einen Abstand von 10 m zum Erdboden. Wie hoch sind die Masten ?. .

Abbildung 12: Kettenlinie

.
.

Herleitung (für Interessierte): Die Masse eines kleinen Teilstücks der Länge

Δ m

, das in x- und y-Richtung (mit noch unbekannten Beträgen) ausgedehnt ist, beträgt nach Phytagoras (mit

μ

als Gewicht pro Länge): .

Δ m = μ \cdot Δ m = μ \cdot \sqrt{{(Δ x)}^{2} + {(Δ y)}^{2}} = μ \cdot \sqrt{1 + \frac{{(Δ y)}^{2}}{{(Δ x)}^{2}}} \cdot Δ x

. .
Differentiell ausgedrückt: .

d m = μ \cdot \sqrt{1 + \frac{{(d y)}^{2}}{{(d x)}^{2}}} \cdot d x = μ \cdot \sqrt{1 + {y^{'}}^{2}} \cdot d x

. .
Die (feste, aber noch unbekannte) Länge erhält man über .

L = \int_{x_{1}}^{x_{2}} \sqrt{1 + {y^{'}}^{2}} \cdot d x

.
Die Energie pro Teilstückchen

Δ l

ist

Δ E = μ \cdot g \cdot y \cdot Δ l

. .
Damit wird für die Gesamtenergie .

E = μ \cdot g \cdot \int_{x_{1}}^{x_{2}} y \cdot \sqrt{1 + {y^{'}}^{2}} \cdot d x

, die es zu minimieren gilt. Hierzu subtrahiert man auf beiden Seiten einen Wert für eine Länge

y_{0}

: .

E - μ \cdot l \cdot g \cdot y_{0} = μ \cdot g \cdot \int_{x_{1}}^{x_{2}} \cdot \sqrt{1 + {y^{'}}^{2}} \cdot (y - y_{0}) d x

. .
Für diese Energie sucht man nun ein Minimum, was folgende Gleichung ergibt: .

(y - y_{0}) \cdot y^{″} - {y^{'}}^{2} = 1

. .
Diese (Differential-) gleichungen werden gelöst durch folgende Funktion: .

y = a cosh (\frac{x - x_{0}}{a} + y_{0})

. .

a

ist der Krümmungsradius am Scheitelpunkt und gleichzeitig der Vergrößerungsfaktor. .
Im symmetrischen Fall (gleich hohe Aufhängepunkte) lautet die Gleichung

y = a cosh (\frac{x}{a} + y_{0}) .

.
Durch geeignete Wahl der Ausgangsbedingungen kann man

y_{0}

eliminieren. .

zur Aufgabe: .
$y (x) = a \cdot cosh \frac{x}{a}$
1. Scheitelpunkt mit $y (x = 0) = 10 m = a \cdot cosh \frac{0}{a} = a$ .
$\Rightarrow a = 10 m$
2. Aufhängepunkte : .
$y (x = 20 m) = a \cdot cosh \frac{20 m}{a} = 10 m \cdot cosh \frac{20 m}{10 m} \approx 10 \cdot 3, 7 \approx 37 m$ .

.
0/11/1/0/4 .
0/11/1/0/5

Abbildung 13: Kettenlinie

0/11/1/0/6 .

Beispiel 12 - 70: $^{″} {Freier}^{″}$ Fall mit Luftwiderstand .

$R$	$=$	$k \cdot v^{2}$	Reibungskraft, mit $k \approx$ const.
$G$	$=$	$m \cdot g$
$V_{E}$	$=$	$\sqrt{\frac{m g}{k}}$
$v (t)$	$=$	$v_{e} \cdot tanh (\frac{m g}{(v_{e}} \cdot t)$

0/11/1/0/7

Abbildung 14: Fall mit Luftwiderstand

0/11/1/0/8 .

0/11/1/1

12.1.2 Areafunktionen

0/11/1/1/0

Die Areafunktion ist die Umkehrfunktion einer Hyperbelfunktion. .

$y$	$=$	$arsinh (x)$	$=$	$ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$
$y$	$=$	$arcosh (x)$	$=$	$ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})$
$y$	$=$	$artanh (x)$	$=$	$\frac{1}{2} ln \frac{(1 + x)}{(1 - x)}$
$y$	$=$	$arcoth (x)$	$=$	$\frac{1}{2} ln \frac{(x + 1)}{(x - 1)}$

0/11/1/1/1

Abbildung 5: Areafunktionen

0/11/1/1/2

0/11/1/1/3 .
Beispiel 12 - 70
Bitte vereinfachen Sie: $tanh (arcoth (x))$

$tanh (x)$	$=$	$\frac{1}{coth x}$
$tanh (arcoth (x))$	$=$	$\frac{1}{coth (arcoth (x))}$	$=$	$\frac{1}{x}$

.
0/11/1/1/4 .
0/11/1/1/5 .
Beispiel 12 - 71
Bitte vereinfachen Sie:

e^{artanh (x)}

$e^{artanh (x)}$	$=$	$e^{\frac{1}{2} ln \frac{1 + x}{1 - x}}$	$=$	$e^{ln \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$		, da $e^{ln z} = z$

.
0/11/1/1/6 .

0/11/1/1/7 .
Beispiel 12 - 72

Bilden Sie die Umkehrfunktion von $c o s h (x)$ .

$x = \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y})$	ausmultiplizieren .
$0 = e^{y} - 2 x + e^{- y}$	$\cdot e^{y}$ .
$0 = e^{2 y} - 2 x \cdot e^{y} + 1$	quadrat. Ergänzung: $x^{2}$ addieren und subtrahieren .
$0 = {(e^{y} - x)}^{2} + 1 - x^{2}$	isolieren, Wurzel .
$e^{y} - x = \pm \sqrt{x^{2} - 1}$	$e^{y}$ isolieren .
$e^{y} = x \pm \sqrt{x^{2} - 1}$	logarithmieren .
$y = ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})$	achtung mit minus ! .

.
0/11/1/1/8 .
0/11/1/1/9 .
Beispiel 12 - 73

Bilden Sie die Umkehrfunktion zu :

$y = 4 + 4 \cdot arsinh (\sqrt{x - 1} + 2)$ .
.

arsinh (\sqrt{x - 1} + 2) = \frac{y - 4}{4}

Variablentausch:

$arsinh (\sqrt{y - 1} + 2)$	$=$	$\frac{x - 4}{4}$	$\| sinh$
$\sqrt{y - 1} + 2$	$=$	$sinh \frac{x - 4}{4}$	$\| - 2$
$\sqrt{y - 1}$	$=$	$sinh \frac{x - 4}{4} - 2$	$\| quadrieren$
$y - 1$	$=$	${(sinh \frac{x - 4}{4} - 2)}^{2}$	$\| + 1$
$y$	$=$	${(sinh \frac{x - 4}{4} - 2)}^{2} + 1$

.
0/11/1/1/10 .

0/12

13 Differentialrechnung

0/12/0

0/12/1

13.1 Differenzierbarkeit einer Funktion

0/12/1/0

0/12/1/1

13.1.1 Tangentenproblem

0/12/1/1/0

Beispiel: .

$y$	$=$	$f (x)$	$=$	$x^{2}$		$x$	$=$	$0, 5$	:	Steigung

0/12/1/1/1

Abbildung 6: Tangentenproblem

0/12/1/1/2 .
Gesucht ist zunächst die Steigung der Sekante $m_{s}$ :

$m_{s}$	$=$	$tan ε$	$=$	$\frac{Δ y}{Δ x}$
	$=$	$\frac{({(0, 5 + Δ x)}^{2} - 0, 25)}{Δ x}$	$=$	$\frac{(0, 25 + Δ x + Δ x^{2} - 0, 25)}{Δ x}$
	$=$	$\frac{(Δ x \cdot (1 + Δ x))}{Δ x}$	$=$	$1 + Δ x$

Für die Tangentensteigung gilt: .

$Δ x \to 0$	$m_{t}$	$=$	$tan α$	$=$	$lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$
		$=$	$lim_{Δ x \to 0} (1 + Δ x)$	$=$	$1$

.
.
Der Grenzwert existiert und ist links und rechts gleich. .

\Rightarrow

Funktion ist an der Stelle

x = 0, 5

differenzierbar. .

Den angegebenen Grenzwert bezeichnet man als Ableitung : .

$m_{t}$	$=$	$tan α$	$=$	$lim_{Δ x \to 0} \frac{(f (x_{0} + Δ x) - f (x))}{Δ x}$

.
Sie wird häufig wie folgt symbolisiert: .

$y^{'} (x_{0}),$		$f^{'} (x_{0}),$		$\underset{Differentialquotient}{\underset{︸}{{\frac{d y}{d x}\|}_{x = x_{0}}}}$

Differenzierbarkeit -auch innerhalb des Definitionsbereichs- ist nicht von vornherein gegeben; Beispielsweise ist die Funktion .
$y = | x | = \{$

x für x ≥ 0 -x für x < 0

nicht überall ableitbar: An der Stelle x = 0 besitzt sie keine eindeutig bestimmte Tangente: .

0/12/1/1/3

Abbildung 7: Differenzierbarkeit von

y = | x |

0/12/1/1/4 .
Die Funktion $y = | x |$ ist an der Stelle $x = 0$ nicht differenzierbar

0/12/1/2

13.1.2 Potenzregel

für $n \in ℕ$ gilt: .
$\frac{d}{d x} (x^{n}) = lim_{x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{x \to 0} \frac{(x + Δ x^{)} n - x^{n}}{Δ x}$ .
.
${(a + b)}^{n} = a^{n} + (\binom{n}{1}) a^{n - 1} b + (\binom{n}{2}) a^{n - 2} b^{2} + \dots + b^{n}$ .
.
$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x)}{Δ x} = \frac{(x + Δ x^{)} n - x^{n}}{Δ x}$ .
.

$\frac{Δ y}{Δ x} =$ n
/<msup><mrow>x/</mrow><mrow ></mrow></msup > + n 1 xn-1(Δx) + n 2 xn-2(Δx)2 + … + (Δx)n - Δx .
.
$= (\binom{n}{1}) x^{n - 1} + (\binom{n}{2}) x^{n - 2} (Δ x) + \dots + {(Δ x)}^{n - 1}$ .
.
$\frac{d}{d x} (x^{n}) = lim_{x \to 0} ((\binom{n}{1}) x^{n - 1} + (\binom{n}{2}) x^{n - 2} (Δ x) + \dots + {(Δ x)}^{n - 1})$ .
.
$\frac{d}{d x} (x^{n}) = (\binom{n}{1}) \cdot x^{n - 1} = n \cdot x^{n - 1}$

0/12/1/3

13.1.3 Ableitung elementarer Funktionen


Funktionsgruppe	Funktion $f (x)$	Ableitung $f^{'} (x)$

Elementare Funktionen	$c$	$0$

	$x$	$1$

	$a \cdot x + b$	$a$

	$x^{2}$	$2 \cdot x$

	$x^{3}$	$3 \cdot x^{2}$

	$x^{n}$	$n \cdot x^{n - 1}$

	$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x^{2}}$

	$\frac{1}{x^{n}}$	$- \frac{n}{x^{n + 1}}$

	$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}$

	$\sqrt[n]{x}$	$\frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n - 1}}}$

Exponentialfunktionen	$e^{x}$	$e^{x}$

	$a^{x}$	$a^{x} \cdot ln (a)$

Logarithmusfunktionen	$ln (x)$	$\frac{1}{x}$

	${log}_{a} (x)$	$\frac{1}{ln (a) \cdot a^{x}}$


Funktionsgruppe	Funktion $f (x)$	Ableitung $f^{'} (x)$

Sinusfunktionen	$sin (x)$	$cos (x)$

	$cos (x)$	$- sin (x)$

	$tan (x)$	$\frac{1}{{cos}^{2} (x)} = 1 + {tan}^{2} (x)$

	$cot (x)$	$\frac{1}{{sin}^{2} (x)} = 1 - {cot}^{2} (x)$

Arcusfunktionen	$arcsin (x)$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

	arccos x	$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

	arctan x	$\frac{1}{1 + x^{2}}$

	arccot x	$- \frac{1}{1 + x^{2}}$

Hyperbelfunktionen	sinh x	$cosh x$

	cosh x	$sinh x$

	tanh x	$\frac{1}{{cosh}^{2} x}$

	coth x	$\frac{- 1}{{sinh}^{2} (x)}$

Areafunktionen	arsinh x	$\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

	arcosh x	$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

	artanh x	$\frac{1}{1 - x^{2}}$

	arcoth x	$\frac{1}{1 - x^{2}}$

0/12/2

13.2 Ableitungsregeln

0/12/2/0

0/12/2/1

13.2.1 Faktorregel

Die Ableitungsregeln können können wahlweise eingesetzt werden und schließen sich nicht gegenseitig aus.

$y$	$=$	$c \cdot f (x)$	$=$	$g (x)$
$y^{'}$	$=$	$lim_{Δ x \to 0} \frac{(x + Δ x) - g (x)}{Δ x}$	$=$	$lim_{Δ x \to 0} \frac{c \cdot f (x + Δ x) - c \cdot f (x)}{Δ x}$

	$=$	$c \cdot lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$	$=$	$c \cdot f^{'} (x)$

.
.
Beispiel:

$y$	$=$	$3 \cdot e^{x}$	$\Rightarrow$	$y^{'}$	$=$	$3 \cdot e^{x}$
$y$	$=$	$4 \cdot sin x$	$\Rightarrow$	$y^{'}$	$=$	$4 \cdot cos x$

.
0/12/2/2

13.2.2 Summenregel

$y$	$=$	$f_{1} (x) + f_{2} (x) + \dots + f_{n} (x)$
$y^{'}$	$=$	$f_{1}^{'} (x) + f_{2}^{'} (x) + \dots + f_{n}^{'} (x)$

Beispiel 13 - 1: .

	$y$	$=$	$4 x^{7} + 3 \cdot cos x - 5 e^{x} + ln x$
$\Rightarrow$	$y^{'}$	$=$	$28 x^{6} - 3 sin x - 5 e^{x} + \frac{1}{x}$

	$s (t)$	$=$	$\frac{a t^{2}}{2} + v_{0} \cdot t + S_{0}$
$\Rightarrow$	$s^{'} (t)$	$=$	$v (t)$	$=$	$a \cdot t + v_{0}$

	$v (t)$	$=$	$tanh (t) + v_{0}$
$\Rightarrow$	$v^{'} (t)$	$=$	$\frac{1}{{cosh}^{2} (t)}$	$=$	$1 - {tanh}^{2} t$

0/12/2/3

13.2.3 Produktregel

0/12/2/3/0

$y$	$=$	$u (x) \cdot v (x)$
$y^{'}$	$=$	$u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)$
${(u \cdot v)}^{'}$	$=$	$u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$
$\frac{d}{d x} (u \cdot v \cdot w)$	$=$	$u^{'} \cdot v \cdot w + u \cdot v^{'} \cdot w + u \cdot v \cdot w^{'}$

.
.
.
0/12/2/3/1 .
Beispiel 13 - 74

Beispiel 1:	$y$	$=$	$\underset{u}{\underset{︸}{(4 x^{3} - 3 x)}} \underset{v}{\underset{︸}{(2 \cdot e^{x} - sin x)}}$
Beispiel 2:	$y$	$=$	$\underset{u}{\underset{︸}{(arctan x)}} \underset{v}{\underset{︸}{ln x}}$
Beispiel 3:	$y$	$=$	$\underset{u}{\underset{︸}{(5 x^{3})}} \cdot \underset{v}{\underset{︸}{sin x}} \cdot \underset{w}{\underset{︸}{e^{x}}}$

Beispiel 1:

y = \underset{u}{\underset{︸}{(4 x^{3} - 3 x)}} \underset{v}{\underset{︸}{(2 \cdot e^{x} - sin x)}}

\Rightarrow y^{'} = (12 x^{2} - 3) (2 \cdot e^{x} - sin x) + (4 x^{3} - 3 x) (2 \cdot e^{x} - cos x)

Beispiel 2:

y = \underset{u}{\underset{︸}{(arctan x)}} \underset{v}{\underset{︸}{ln x}}

\Rightarrow y^{'} = \frac{1}{1 + x^{2}} \cdot ln x + arctan x \cdot \frac{1}{x}

Beispiel 3:

y = \underset{u}{\underset{︸}{(5 x^{3})}} \cdot \underset{v}{\underset{︸}{sin x}} \cdot \underset{w}{\underset{︸}{e^{x}}}

\Rightarrow y^{'} = 15 x^{2} \cdot sin x \cdot e^{x} + 5 x^{3} cos x \cdot e^{x} + 5 x^{3} \cdot sin x \cdot e^{x}

.
0/12/2/3/2

0/12/2/4

13.2.4 Quotientenregel

$y$	$=$	$\frac{u (x)}{v (x)}$	$=$	$\frac{u}{v}$
$y^{'}$	$=$	$\frac{u^{'} (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v^{'} (x)}{v^{2} (x)}$	$=$	$\frac{u^{'} \cdot v - u \cdot v^{'}}{v^{2}}$

.
Beispiel 13 - 75:

	$y$	$=$	$\frac{x^{3} - 4 x + 5}{2 x^{2} - 4 x + 1}$	$=$	$\frac{u}{v}$

$\Rightarrow$	$y^{'}$	$=$	$\frac{\overset{u^{'}}{\overset{︷}{(3 x^{2} - 4)}} \overset{v}{\overset{︷}{(2 x^{2} - 4 x + 1)}} - \overset{u}{\overset{︷}{(x^{3} - 4 x + 5)}} \overset{v^{'}}{\overset{︷}{(4 x - 4)}}}{\underset{v^{2}}{\underset{︸}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{2}}}}$

0/12/2/5

13.2.5 Kettenregel

0/12/2/5/0

Beispiel 13 - 76:
$y = sin (3 x + 4)$

$y$	$=$	$f (x)$	$\binom{\underset{\to}{S u b s t i t u t i o n}}{u = u (x)}$	$y$	$=$	$f (u)$

$u$	$=$	$u (x)$	Innere Funktion
$y$	$=$	$f (u)$	Äußere Funktion

$y$	$=$	$f (u)$	$=$	$f (u (x))$	$=$	$f (x)$
$y^{'}$	$=$	$\frac{d y}{d x}$	$=$	$\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

$u$	$=$	$3 x + 4$	$\frac{d u}{d x}$	$=$	$3$
$F (u)$	$=$	$sin (u)$	$\frac{d y}{d u}$	$=$	$cos (u)$
$y^{'}$	$=$	$\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$
	$=$	$cos (u) \cdot 3$
	$=$	$3 cos (3 x + 4)$

.
.

$\frac{d y}{d x}$	$=$	$lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$	$=$	$lim_{Δ x \to 0} (\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x})$
	$=$	$lim_{Δ x \to 0} (\frac{Δ y}{Δ u}) \cdot lim_{Δ x \to 0} (\frac{Δ u}{Δ x})$
	$=$	$\frac{Δ y}{Δ u} \cdot \frac{Δ u}{Δ x}$

0/12/2/5/1 .
Beispiel 13 - 75
$y = {(3 x - 8)}^{5}$

y = {(3 x - 8)}^{5}

äußere Funktion:

y = u^{5}

innere Funktion:

u = 3 x - 8

$\frac{d y}{d u}$	$=$	$5 u^{4}$
$\frac{d u}{d x}$	$=$	$3$

$y^{'}$	$=$	$\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$	$=$	$5 \cdot u^{4} \cdot 3$	$=$	$15 {(3 x - 8)}^{4}$

.
0/12/2/5/2 .
0/12/2/5/3 .
Beispiel 13 - 76

{(\frac{1}{ln x})}^{'}

{(\frac{1}{ln x})}^{'}

äußere Funktion:

y = F (u) = \frac{1}{u}

innere Funktion:

u = ln (x)

$\frac{d y}{d u}$	$=$	$- \frac{1}{u^{2}}$
$\frac{d u}{d x}$	$=$	$\frac{1}{x}$
$y^{'}$	$=$	$\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$	$=$	$- \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{x}$	$=$	$\frac{- 1 \cdot \frac{1}{x}}{{(ln x)}^{2}}$

$y$	$=$	$y (x)$	$=$	$y (v (x))$	$=$	$y (v (u (x)))$

.
0/12/2/5/4

0/12/2/5/5 .
Beispiel 13 - 77
$y = ln [sin (2 x - 3)]$

y = ln [sin (2 x - 3)]

1. Substitution:

u = (2 x - 3)

2. Substitution:

v = sin (u)

$y^{'}$	$=$	$\frac{d y}{d v} \cdot \frac{d v}{d x}$	$=$	$\frac{d y}{d v} \cdot \frac{d v}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

$\frac{d u}{d x}$	$=$	$\frac{d (2 x - 3)}{d x}$	$=$	$2$
$\frac{d v}{d u}$	$=$	$\frac{d (sin (u))}{d u}$	$=$	$cos (u)$
$\frac{d y}{d v}$	$=$	$\frac{d (ln (v))}{d v}$	$=$	$\frac{1}{v}$

$y^{'}$	$=$	$\frac{1}{v} \cdot cos (u) \cdot 2$	$=$	$\frac{1}{sin (u)} \cdot cos (u) \cdot 2$
	$=$	$2 \cdot cot (u)$	$=$	$2 cot (2 x - 3)$

.
.
Weiteres Beispiel:

{(\frac{1}{l n (x)})}^{'} = (\frac{- \frac{1}{x}}{{(l n (x))}^{2}})

.
0/12/2/5/6 .

0/12/2/6

13.2.6 Logarithmische Ableitung

0/12/2/6/0

Vorgehensweise :

1.: Logarithmieren beider Seiten
2.: Ableiten (z. B. mit Hilfe der Kettenregel)

Beispiel 13 - 78:

$y$	$=$	$x^{x}$		\| Logarithmieren beider Seiten
$ln y$	$=$	$ln (x^{x})$
$ln y$	$=$	$x \cdot ln (x)$	$=$	$ln f (x)$

$u$	$=$	$f (x)$
$\frac{d u}{d x}$	$=$	$f^{'} (x)$

$\frac{d}{d x} (ln f (x))$	$=$	$\frac{d f}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$	$=$	$\frac{1}{u} \cdot f^{'} (x)$
	$=$	$\frac{1}{f (x)} \cdot f^{'} (x)$	$=$	$ln x + \underset{= 1}{\underset{︸}{x \cdot \frac{1}{x}}}$

$f^{'} (x)$	$=$	$(ln x + 1) \cdot f (x)$	$=$	$x^{x} \cdot (ln x + 1)$

0/12/2/6/1 .
Beispiel 13 - 78

$f (x) = y = x^{sin x}$ .

$ln f (x)$	$=$	$ln (x^{sin x})$
$ln f (x)$	$=$	$sin x \cdot ln (x)$
$u$	$=$	$f (x)$	äußere Funktion
$F (u)$	$=$	$ln (u)$	innere Funktion

$\frac{d ln (u)}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$	$=$	$cos x \cdot ln x + (sin x) \cdot \frac{1}{x}$
$\frac{1}{f (x)} \cdot f^{'} (x)$	$=$	$cos x \cdot ln x + (sin x) \cdot \frac{1}{x}$
$f^{'} (x)$	$=$	$(cos x \cdot ln x + (sin x) \cdot \frac{1}{x}) \cdot f (x)$
	$=$	$(cos x \cdot ln x + (sin x) \cdot \frac{1}{x}) \cdot x^{sin x}$

.
0/12/2/6/2 .
Beispiel 13 - 79

y = \frac{u}{v}

y = \frac{u}{v}

(Produktregel)

$f (x)$	$=$	$\frac{u (x)}{v (x)}$
$ln f (x)$	$=$	$ln (\frac{u (x)}{v (x)})$	$=$	$ln u (x) - ln v (x)$

$f^{'} (x) \cdot \frac{1}{f (x)}$	$=$	$\frac{1}{u (x)} \cdot u^{'} (x) - \frac{1}{v (x)} \cdot v^{'} (x)$
	$=$	$\frac{u^{'} (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v^{'} (x)}{u (x) \cdot v (x)}$
$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{1}{u (x)} \cdot u^{'} (x) - \frac{1}{v (x)} \cdot v^{'} (x)$	$=$	$\frac{u^{'} (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v^{'} (x)}{u (x) \cdot v (x)} \cdot \frac{u (x)}{v (x)}$
	$=$	$\frac{1}{u (x)} \cdot u^{'} (x) - \frac{1}{v (x)} \cdot v^{'} (x)$	$=$	$\frac{u^{'} (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v^{'} (x)}{u (x) \cdot v (x)} \cdot \frac{u (x)}{v (x)}$

.
0/12/2/6/3

0/12/2/7

13.2.7 Ableitung der Umkehrfunktion

0/12/2/7/0

Gegeben sei eine Funktion $y = f (x)$ , von der die Ableitung $y^{'} = f^{'} (x)$ sowie die Umkehrfunktion $y = f^{- 1} (x) = g (x)$ gebildet werden kann. .
Falls die Ableitung der Umkehrfunktion $y^{'} = f^{'} (x)$ nun nicht mit den bisherigen Verfahren gebildet werden kann, läßt sich die Umkehrfunktion $y = f^{- 1} (x) = g (x)$ evtl. doch ableiten:
0/12/2/7/1

Abbildung 8: Ableitung der Umkehrfunktion

0/12/2/7/2 .
Das Prinzip: .

Funktionsgleichung nach x auflösen: $x = f^{- 1} (y) = g (y)$
Anders ausgedrückt: $f (x) = f (g (y)) = f (f^{- 1} (y)) = y$

innere Funkion		$g (y)$	$=$	$u$
äußere Funkion		$f (u)$
Kettenregel:		$\frac{d y}{d y}$	$=$	$\frac{d (f (g (y)))}{d y}$
$1$	$=$	$\frac{d f}{d u} \cdot \frac{d u}{d y}$	$=$	$f^{'} (x) \cdot g^{'} (y)$
	$\Rightarrow$	$g^{'} (y)$	$=$	$\frac{1}{f^{'} (x)}$

.
.
Die Schritte zur Ableitung der Umkehrfunktion

g (x) :

1.: Ersetzen der Variablen $x$ durch $g (y)$ und ableiten
2.: Auf beiden Seiten $x$ und $y$ vertauschen

Beispiel 13 - 80:
Gegeben sei die Umkehrfunktion von $y = e^{x}$ : $x = ln y$ .
sowie die Ableitung von $y = e^{x}$ : $y^{'} = e^{x}$ . .
Gesucht ist die Ableitung $y^{'} = \frac{d ln x}{d x}$ : .
Schritt 1: .
$x = g (y) = ln y$ .
$g^{'} (y) = \frac{1}{f^{'} (x)} = \frac{1}{e^{x}} = \frac{1}{y}$ .
Schritt 2: Vertauschen von $x$ und $y$ :
$g^{'} (x) = \frac{d}{d x} (ln x) = \frac{1}{x}$ .
.
0/12/2/7/3 .
Beispiel 13 - 80

$f (x)$	$=$	$arcsin (x)$	$=$	$y$

$f (x)$	$=$	$arcsin (x)$	$=$	$y$
$g (y)$	$=$	$sin (x)$
${(arcsin x)}^{'}$	$=$	$f^{'} (y)$	$=$	$\frac{1}{g^{'} (x)}$	$=$	$\frac{1}{(sin x^{)}'}$
	$=$	$\frac{d}{d x} arcsin (x)$	$=$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

.
0/12/2/7/4

0/12/2/8

13.2.8 Implizite Ableitung

0/12/2/8/0

Ist eine Gleichung in impliziter Darstellung $f (x, y)$ gegeben, läßt sich die Ableitung bilden, indem man alle Terme ableitet (Kettenregel beachten !) .
0/12/2/8/1 .
Beispiel 13 - 81
Zu bilden sei die Ableitung der Funktion $f (x, y) = 3 y^{4} + 2 x^{2} + 10 x - 5 y = 0$ .

12 y^{4} \cdot \frac{d y}{d x} + 4 x + 10 - 5 \cdot \frac{d y}{d x} = 0

.
.
Auflösen nach

y^{'}

: .

(12 y^{4} - 5) \cdot \frac{d y}{d x} = - 4 x - 10

.
.

\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x - 10}{12 y^{4} - 5}

.
0/12/2/8/2

0/12/2/9

13.2.9 Differential einer Funktion

0/12/2/9/0

0/12/2/9/1

Abbildung 9: Differential

0/12/2/9/2 .

Fragestellung: Wie groß wird der Fehler, wenn anstelle der Tangentensteigung die Sekantensteigung für ein $Δ x$ (z.B. von 0.1) verwendet wird ? .
.
Differential $d y = d f = f^{'} (x_{0}) \cdot$ .
$\to$ Zuwachs der Ordinate der Kurventangente an $x_{0}$
bei Änderung der Abszisse $x$ um $d x$ .
$Δ y - d y$ : Ordinatenabweichung .
Die Ableitung einer Funktion kann als Quotient zweier Differentiale aufgefasst werden. $y^{'} = f^{'} (x) = \frac{d y}{d x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$

Beispiel 13 - 82: .
Gesucht ist Steigung der Sekante, also die Ordinatenänderung $Δ y$ für eine Änderung von $Δ x = 0, 1$ an $x = 1$ . .
.

Für $y$	$=$	$x^{2} + e^{x - 1}$	in $P = (\binom{1}{2})$
Für $Δ x$	$=$	$0, 1$
$Δ y$	$=$	$f (x + Δ x) - f (x)$
	$=$	$f (1 + 0, 1) - f (1)$
	$\approx$	$2, 315 - 2 \approx 0, 315$

Damit ist die Steigung der Sekante im Punkt

P = (\binom{1}{2})

ungefähr

3, 15

. .
Steigung der Kurventangente: .

$f^{'} (x)$	$=$	$2 x + e^{x - 1}$
$f^{'} (1)$	$=$	$3$

.
Differenz der Steigungen:

m_{s} - m_{t} \approx 3, 15 - 3 = 0, 15

\to

Der relative Fehler ist dann

F =

Steigungsdifferenz / Steigung

\approx \frac{0, 15}{3} \approx 5 %

0/12/2/10

13.2.10 Höhere Ableitungen

0/12/2/10/0

1.: $y^{'} = f^{'} (x)$
2.: $y^{″} = f^{″} (x) = \frac{d}{d x} (f^{'} (x))$
3.: $y^{‴} = f^{‴} (x) = \frac{d}{d x} (f^{″} (x))$
4.: $⋮$
5.: n. $y^{(n)} = f^{(n)} (x) = \frac{d}{d x} (f^{(n - 1)} (x)) = \frac{d^{n} y}{d x^{n}}$ .
.
.
$\frac{d^{n} y}{d x^{n}}$ : Differentialqutient n-ter Ordnung

.
Beispiel 13 - 83: .

\frac{d^{3}}{d x^{3}} (e^{x})

=

e^{x}

0/12/2/10/1 .
Beispiel 13 - 82

$y$	$=$	$4 x^{3} + x \cdot cos x$

$y$	$=$	$4 x^{3} + x \cdot cos x$
$y^{'}$	$=$	$12 x^{2} + cos x - x \cdot sin x$
$y^{″}$	$=$	$24 x - sin x - (sin x + x \cdot cos x)$
$y^{‴}$	$=$	$24 \underset{Ableitung bei Parameterdarstellung: später}{\underset{︸}{- cos x - cos x - cos x}} + x \cdot sin x$

.
0/12/2/10/2

0/12/2/11

13.2.11 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/12/3

13.3 Anwendung der Differentialrechnung

0/12/3/0

0/12/3/1

13.3.1 Tangente und Normale

0/12/3/1/0

0/12/3/1/1

Abbildung 10: Tangente und Normale

0/12/3/1/2 .

Tangentengleichung: $\frac{y - y_{0}}{x - x_{0}} = f^{'} (x_{0}) = m_{t}$ .

Steigung der Normalen: $m_{n} = - \frac{1}{m_{t}}$ .

Normalengleichung: $\frac{y - y_{0}}{x - x_{0}} = \frac{- 1}{f^{'} (x_{0})}$ .
.
Beispiel 13 - 83: .
$y = x^{2} - 2 x + 1$ .
gesucht: Gleichung der Tangente und Normale n am Schnittpunkt mit der $y$ -Achse. .

Schnittpunkt mit der $y$ -Achse: .
$P = (\binom{0}{1})$ .
Tangentensteigung: $y^{'} = 2 x - 2$ .
$m_{t} = y^{'} (0) = - 2$ .
Tangente: $\frac{y - 1}{x - 0} = - 2$ .
$y = - 2 x + 1$ .
Normale: .
$\frac{y - 1}{x - 0} = \frac{1}{2}$ .
$y = \frac{1}{2} x + 1$ .

0/12/3/1/3 .
Beispiel 13 - 83
Zu ermitteln ist die Gleichung der Tangente, die vom Punkt $A = (0; - 1)$ aus an den Funktionsgraphen $y = ln x$ gelegt wird.

Abbildung 11: Tangenten an Funktionen

$f (x) = ln (x)$
$f^{'} (x) = \frac{1}{x}$

1.: Gerade durch $(x_{1}, y_{1}) = (0, - 1)$ :

$\frac{y - y_{1}}{x - x_{1}} = f^{'} (x_{0}) = \frac{1}{x_{0}}$

$y = \frac{x - x_{1}}{x_{0}} + y_{1} = \frac{x}{x_{0}} - 1$ , da $x_{1} = 0$ und $y_{1} = - 1$
2.: Tangente für $y = ln x$

$\frac{y - y_{0}}{x - x_{0}} = f^{'} (x_{0}) = \frac{1}{x_{0}}$

$y = \frac{x - x_{0}}{x_{0}} + y_{0} = \frac{x}{x_{0}} + y_{0} - 1 = \frac{x}{x_{0}} + ln (x_{0}) - 1$
3.: gleichsetzen von 1. und 2.:
$\frac{x}{x_{0}} - 1 = \frac{x}{x_{0}} - 1 + ln (x_{0})$
$ln (x_{0}) = 0$
$x_{0} = 1$
$y = x - 1$

.
0/12/3/1/4

0/12/3/2

13.3.2 Charakteristische Kurvenpunkte, Monotonie

1.

Monotonie

$f^{'} (x_{0}) > 0$	Funktionskurve steigt streng monoton beim Durchgang durch $x_{0}$
$f^{'} (x_{0}) \geq 0$	Funktionskurve steigt monoton beim Durchgang durch $x_{0}$
$f^{'} (x_{0}) < 0$	Funktionskurve fällt streng monoton beim Durchgang durch $x_{0}$
$f^{'} (x_{0}) \leq 0$	Funktionskurve fällt monoton beim Durchgang durch $x_{0}$

Beispiel 13 - 84: .

Abbildung 12: Monotonie

$y$	$=$	$x^{4}$
$y^{'}$	$=$	$4 x^{3}$	$\{\binom{< 0 für x < 0}{> 0 für x > 0}$

.
Beispiel 13 - 84

$y$	$=$	$x^{3} + 2 x$

$y$	$=$	$x^{3} + 2 x$
$y^{'}$	$=$	$3 x^{2} + 2$	$> 0$

Skizze !!!

.
.
.
Beispiel 13 - 85

$y$	$=$	$\| x^{2} - 2 x + 1 \|$	$(x \geq 1)$

$y$	$=$	$\| x^{2} - 2 x + 1 \|$	$(x \geq 1)$
$y$	$=$	$x^{2} - 2 x + 1$
$y^{'}$	$=$	$2 x - 2$	$> 0$

2.

2. Ableitung, Krümmung


$f^{″} (x) > 0$	$f^{″} (x) < 0$
Linkskrümmung	Rechtskrümmung
konvex	konkav

Abbildung 6: Krümmung

Krümmung $k = \frac{f^{″} (x)}{{(1 + f^{'} {(x)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

.
Beispiel 13 - 86
Kreisgleichung, obere Hälfte

$y$	$=$	$\sqrt{r^{2} - x^{2}}$	$=$	${(r^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

$y$	$=$	$\sqrt{r^{2} - x^{2}}$	$=$	${(r^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$
$y^{'}$	$=$	$\frac{- 2 x}{2} \cdot {(r^{2} - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$	$=$	$- x {(r^{2} - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$
$y^{″}$	$=$	$- {(r^{2} - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{2} \cdot {(r^{2} - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$
	$=$	$\frac{- 1}{{(r^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- x^{2}}{{(r^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$
	$=$	$\frac{- r^{2}}{{(r^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

$\Rightarrow$
$\frac{y^{″}}{{(1 + {(y^{'})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$	$=$	$\frac{\frac{- r^{2}}{{(r^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}}{{(1 + \frac{x^{2}}{(r^{2} - x^{2})})}^{\frac{3}{2}}}$	$=$	$\frac{(\frac{- r^{2}}{{(r^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}})}{({\frac{(r^{2} - x^{2}) + x^{2}}{(r^{2} - x^{2})}}^{\frac{3}{2}})}$

	$=$	$\frac{- r^{2}}{{(r^{2})}^{\frac{3}{2}}}$	$=$	$- \frac{1}{r}$

.
Krümmung

k = - \frac{1}{r}

(Kehrwert des Radius) .
.
Allgemein gilt: Krümmungsradius

ρ = \frac{1}{| k |}

0/12/3/3

13.3.3 Kurvendiskussion/relative Extremwerte

0/12/3/3/0

gegeben: stetige/ableitbare Funktion .
0/12/3/3/1

Abbildung 7: Relative und absolute Maxima und Minima

0/12/3/3/2 .

Extrema: Waagrechte Tangenten .

relatives Maximum:	$y^{'} = 0$	$y^{″} < 0$
relatives Minimum:	$y^{'} = 0$	$y^{″} > 0$

.
.
Hinreichende Bedingung: verschiedenartige Monotoniebögen

Beispiel 13 - 87: .

$y = x^{3}$
$y^{'} = 3 x^{2}$	$y^{'} (0) = 0$
$y^{″} = 6 x$	$y^{″} (0) = 0$
$y^{‴} = 6$	$y^{‴} (0) = 6$

0/12/3/3/3

Abbildung 8: Wendepunkt

0/12/3/3/4 .
kein Minimum, kein Maximum, sondern Wendepunkt .

Beispiel 13 - 88: .
$y = x^{4}$
0/12/3/3/5

Abbildung 9: Extremum

0/12/3/3/6 .

$y^{'} = 4 x^{3}$	$y^{'} (0) = 0$
$y^{″} = 12 x^{2}$	$y^{″} (0) = 0$
$y^{‴} = 24 x$	$y^{‴} (0) = 0$
$y^{(4)} = 24$	$y^{(4)} (0) = 24$

\to

Extrema liegen vor, wenn die 1.Ableitung Null ist und die erste höhere Ableitung, die von Null verschieden ist, von gerader Ordnung ist.

f^{'} (x_{0}) = 0

Maxima:	$f^{k} (x_{0}) = 0$	für $1 \leq k \leq n$	und $f^{n} (x_{0}) < 0$	$\| n$ gerade

Minima:	$f^{k} (x_{0}) = 0$	für $1 \leq k \leq n$	und $f^{n} (x_{0}) > 0$	$\| n$ gerade

0/12/3/4

13.3.4 Wendepunkte, Sattelpunkte

0/12/3/4/0

0/12/3/4/1

Abbildung 7: Wendepunkte, Sattelpunkte

0/12/3/4/2

Ein Wendepunkt liegt vor, wenn $f^{″} (x) = 0$ und die erste höhere von Null verschiedene Ableitung von ungerader Ordnung ist. .

$f^{k} (x_{1}) = 0$	$2 \leq k \leq n$	und
$f^{k} (x_{1}) \neq 0$	, wobei $n$ ungerade ist

.
.
0/12/3/4/3 .
Beispiel 13 - 87

y = x^{5}

y = x^{5}

$y^{'} = 5 x^{4}$	$y^{'} (0) = 0$
$y^{″} = 20 x^{3}$	$y^{″} (0) = 0$
$y^{‴} = 60 x^{2}$	$y^{‴} (0) = 0$
$y^{(4)} = 120 x$	$y^{(4)} (0) = 0$
$y^{(5)} = 120$	$y^{(5)} (0) = 120$

.
0/12/3/4/4 .
Die erste von Null verschiedene Ableitung ist ungerader Ordnung

\Rightarrow

Es liegt ein Wendepunkt vor. .
0/12/3/4/5 .
Beispiel 13 - 88

y = - \frac{2}{3} x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 2

y = - \frac{2}{3} x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 2

$y^{'}$	$=$	$- 2 x^{2} + 4 x - 2$
$y^{″}$	$=$	$- 4 x + 4$
$y^{‴}$	$=$	$- 4$

$y^{'} = 0 : 0$	$=$	$- 2 x^{2} + 4 x - 2$
	$=$	$x^{2} - 2 x + 1$
	$=$	${(x - 1)}^{2}$
$\Rightarrow x_{1, 2}$	$=$	$1 \to$ horizontale Tangente

$x = 1 :$	$y^{'} = y^{″} = 0$
	$y^{‴} = - 4$	$\to$ Sattelpunkt

.
0/12/3/4/6 .

0/12/3/5

13.3.5 Kurvendiskussion

0/12/3/5/0

Folgende Merkmale werden bei einer Kurvendiskussion betrachtet: .

$D$ efinitionsbereich/Definitionslücken
Symmetrie
Nullstellen
Polstellen, senkrechte Asymptoten
Ableitungen (i.d.R. $\geq 3$ )
Extremwerte (Minima, Maxima)
Wendepunkte
Verhalten der Funktion für $x \to \pm \infty$ (Asymptoten)
$W$ ertebereich
Zeichnung

0/12/3/5/1 .
Beispiel 13 - 89
$y = \frac{- 5 x^{2} + 5}{x^{3}}$

$D =$
Symmetrie:
Nullstellen $x_{1} =$ und $x_{2} =$
Polstelle $x_{3} =$
Ableitungen:
.
.
.
.
horizontale Tangente: $y^{'} = 0$ .
.
$y^{″} (. . . . .) =$ Minimum
$y^{″} (. . . . .) =$ Maximum
Wendepunkte: .
.
.
.
Asymptote: .
.
Wertebereich .
.
.

Abbildung 8: $y = \frac{- 5 x^{2} + 5}{x^{3}}$

y = \frac{- 5 x^{2} + 5}{x^{3}}

$D = \{x \in ℝ \ x = 0\}$
ungerade Symmetrie
$y = \frac{- 5 (x^{2} - 1)}{x^{3}} = - \frac{5 (x - 1) (x + 1)}{x^{3}}$
Nullstellen $x_{1} = - 1$ und $x_{2} = 1$
Polstelle $x_{3} = 0$
Ableitungen:
$y^{'} = \frac{- 10 x \cdot x^{3} - (- 5 x^{2} + 5) 3 x^{2}}{x^{6}}$
$= \frac{- 10 x^{2} + 15 x^{2} - 15}{x^{4}}$
$= \frac{5 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$
$y^{″} = \frac{- 10 (x^{2} - 6)}{x^{5}}$
$y^{‴} = \frac{30 (x^{2} - 10)}{x^{6}}$

horizontale Tangente: $y^{'} = 0$
$x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}$
$y^{″} (\sqrt{3}) = \frac{10}{3} \sqrt{3} > 0$ Minimum
$y^{″} (- \sqrt{3}) = - \frac{10}{3} \sqrt{3} < 0$ Maximum
Wendepunkte:
$y^{″} = 0 \Rightarrow x^{2} - 6 = 0$
$x = \pm \sqrt{6}$
$y^{‴} (\sqrt{6}) = \frac{30 (6 - 10)}{6^{3}} < 0$
$y^{‴} (- \sqrt{6}) = - \frac{30 (6 - 10)}{6^{3}} > 0$
Asymptote: echt gebrochen rational $\Rightarrow x$ -Achse
$W$ ertebereich $- \infty < x < \infty$
.

Abbildung 9: $y = \frac{- 5 x^{2} + 5}{x^{3}}$

.
0/12/3/5/2 .

0/12/3/5/3 .
Beispiel 13 - 90
$y = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x + 1}$

$D =$
Symmetrie: .
.
.
Nullstellen: $x =$
Ableitungen: .
.
.
Maximum / Minimum: .
.
Wendepunkte:
Asymptote für $x \to \infty$
Zeichnung

Abbildung 10:

y = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x + 1}

y = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x + 1}

$D = \{x \in ℝ \ x = - 1\}$
unecht gebrochenrationale Funktion $y = (x^{2} - 2 x + 1) : (x + 1)$ Polynomdivision $y = x - 3 + \frac{4}{x + 1}$
Nullstellen: $x = 1$ doppelte Nullstelle
Ableitungen:
$y^{'} = 1 - 4 {(x + 1)}^{- 2}$
$y^{″} = 8 {(x + 1)}^{- 3}$
$y^{‴} = - 24 {(x + 1)}^{- 4}$
$y^{'} = 0 \Rightarrow 1 = \frac{4}{{(x + 1)}^{2}} \Rightarrow x + 1 = \pm 2$
$x_{1} = 1 und x_{2} = - 3$
$y^{″} (1) = - \frac{8}{2^{3}} = - 1 < 0 :$ Maximum
$y^{″} (- 3) = - \frac{- 8}{- 2^{3}} = 1 > 0 :$ Minimum
keine Wendepunkte
Asymptote für $x \to \infty \Rightarrow y = x - 3$ . .
Zeichnung

Abbildung 11:

y = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x + 1}

. .

.
0/12/3/5/4

.
.
0/12/3/5/5 .
Beispiel 13 - 91
$y = \frac{ln x}{x}$

$D =$
Nullstelle: $x =$
Polstelle: $x =$
Ableitungen:
$y^{'} =$
.
.
.
.
Extremwerte: $y^{'} = 0$
Wendepunkte: $y^{″} = 0$
$y^{‴} =$ .
.
Zeichnung
.

Abbildung 12: $y = \frac{ln x}{x}$

.

y = \frac{ln x}{x}

$D = \{x \in ℝ | x > 0\}$
Nullstelle: $x = 1$
Polstelle: $x = 0$
Ableitungen:
$y^{'} = \frac{1}{x^{2}} - \frac{ln x}{x^{2}}$
$y^{″} = - \frac{2}{x^{3}} - \frac{1 - 2 ln x}{x^{3}} = \frac{- 3}{x^{3}} + \frac{2 ln x}{x^{3}}$
$y^{‴} = \frac{9}{x^{4}} + \frac{+ 2 \frac{x^{3}}{x} - 3 x^{2} \cdot 2 ln x}{)}$

$= \frac{9}{x^{4}} + \frac{2 - 3 \cdot 2 ln x}{x^{4}}$

$= \frac{11 - 6 ln x}{x^{4}}$

.
Extremwerte: $y^{'} = 0 \Rightarrow \frac{1}{x^{2}} = \frac{ln x}{x^{2}}$
$für x \neq 0 \Rightarrow 1 = l n x$
$e^{1} = e^{ln x} \Rightarrow e^{1} = x$
$y^{″} (e) = \frac{- 3}{e^{3}} + \frac{2 ln e}{e^{3}} = \frac{- 1}{e^{3}} < 0 \to Maximum bei x = e$
Wendepunkte: $y^{″} = \frac{- 3}{x^{3}} + \frac{2 ln x}{x^{3}} = 0$
$2 ln x = 3$
$ln x = \frac{3}{2} \to x = e^{\frac{3}{2}}$
$y^{‴} (e^{\frac{3}{2}}) = \frac{11}{e^{6}} - \frac{6 ln e^{\frac{3}{2}}}{e^{6}}$
$= \frac{11}{e^{6}} - \frac{6 \cdot \frac{3}{2} \cdot ln e}{e^{6}}$
$= \frac{11}{e^{6}} - \frac{9}{e^{6}} \neq 0 ✓$
Zeichnung
.

Abbildung 13: $y = \frac{ln x}{x}$

.
0/12/3/5/6 .

0/12/3/6

13.3.6 Linearisierung einer Funktion; Nullstellenbestimmung nach Newton

0/12/3/6/0

0/12/3/6/1

Abbildung 14: Nullstellenbestimmung nach Newton

0/12/3/6/2 .

$\frac{y - y_{0}}{x - x_{0}} = f^{'} (x_{0})$ .
.
$\frac{0 - y_{0}}{x_{1} - x_{0}} = f^{'} (x_{0})$ .
.
$x_{1} = x_{0} - \frac{y_{0}}{f^{'} (x_{0})}$ .
.
.
Wiederholung: $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{y_{n}}{f^{'} (x_{n})}$ solange, bis Fehler $y (x_{n}) < ε$ .
.
.
Konvergenzkriterien: $|\frac{f (x) \cdot f^{″} (x)}{f^{'} {(x)}^{2}}| < 1$ .
.
Beispiel: $x^{2} + 2 - e^{x} = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 2 = e^{x}$ .
Startwert $x = 1, 5$ : Konvergenzkriterium erfüllt? .
$y = x^{2} + 2 - e^{x} \Rightarrow f (1, 5) \approx - 0, 2$ .
$y^{'} = 2 x - e^{x} \Rightarrow f^{'} (1, 5) \approx - 1, 48$ .
$y^{″} = 2 - e^{x} \Rightarrow f^{″} (1, 5) \approx - 2, 48$ .

$|\frac{f (1, 5) \cdot f^{″} (1, 5)}{f^{'} {(1, 5)}^{2}}| = | - 0, 26 | < 1$ .
.
$\Rightarrow$ Konvergenzkriterium erfüllt .


$n$	$x_{n - 1}$	$f (x_{n - 1})$	$f^{'} (x_{n - 1})$

$1$	$1, 5$	$- 0, 23$	$- 1, 48$
$2$	$1, 34$	$- 0, 027$	$- 1, 1$
$3$	$1, 32$	$- 0, 005$	..	$✓$

0/12/3/7

13.3.7 Extremwertaufgaben

0/12/3/7/0

Extremwertaufgaben können u.U. helfen, Optima herauszufinden. .
gegeben: Zielfunktion .
gesucht: Minimum, Maximum. .
0/12/3/7/1 .
Beispiel 13 - 92
Gegeben sei die Funktion $f (x) = 5 - 2 x^{2}$ . Ein Rechteck werde durch die x- und y-Achsen sowie einen Punkt der Funktion $f (x)$ begrenzt.

Abbildung 15:

f (x) = 5 - 2 x^{2}

1.: Zeigen Sie, daß es einen Punkt von $f (x)$ gibt, für den die Fläche des eingeschlossenen Rechtecks maximal wird.
2.: Welchen Wert hat x ?
3.: Wie groß ist die Fläche ?

Lösung :

1.: ,
2.: $A = x \cdot f (x) = 5 x - 2 x^{3}$ .
$\frac{d A}{d x} = 5 - 6 x^{2} = 0$
$x_{1, 2} = \pm \sqrt{5 ∕ 6}$ , nur $x_{1} = \sqrt{5 ∕ 6}$ macht Sinn. .
$\frac{d^{2} A}{d x^{2}} = - 12 x < 0$ , also Maximum für $x > 0$ .
3.: $A = 5 x_{1} - 2 x_{1}^{3} = 5 \cdot \sqrt{5 ∕ 6} - 2 \sqrt{125 ∕ 216} \approx 3, 04$

.
0/12/3/7/2

0/12/3/7/3 .
Beispiel 13 - 93
Aus einem Baumstamm mit kreisförmigem Querschnitt soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt so herausgeschnitten werden, daß sein Widerstandsmoment $W = \frac{b \cdot h^{2}}{6}$ (Breite b, Dicke h) möglichst groß wird. .

Abbildung 16: Baumstamm

Wie groß ist h bzw .b ? .

Mit dem Durchmesser 2R gilt: .
$b^{2} + h^{2} = {(2 R)}^{2} = 4 R^{2} \Rightarrow h^{2} = 4 R^{2} - b^{2}$ .
.
Das Widerstandsmoment wird damit ausgedrückt: .
.
$W (b) = \frac{1}{6} b h^{2} = \frac{1}{6} b (4 R^{2} - b^{2}) = \frac{1}{6} (4 R^{2} b - b^{3})$ (für 0.
.
$\frac{d W}{d b} = \frac{1}{6} (4 R^{2} - 3 b^{2})$ , $\frac{d^{2} W}{d b^{2}} = - b$ .
.

$\frac{d W}{d b} = 0$ ergibt: .
.
$\frac{1}{6} (4 R^{2} - 3 b^{2}) = 0 \Rightarrow b_{1, 2} = \pm \frac{2}{3} \sqrt{3} R$ . .
.
(Der negative Wert scheidet aus). Maximum: .
$\frac{d^{2} W}{d b^{2}} (b_{1} = \frac{2}{3} \sqrt{3} R) = - \frac{2}{3} \sqrt{3} R < 0$ .
.
$W_{m a x} = W (\frac{2}{3} \sqrt{3} R) = \frac{8}{27} \sqrt{3} R^{3}$ . .
.
Das Ganze ließe sich auch durch die Balkendicke h ausdrücken, ist aber wesentlich aufwendiger: .
.
$W (h) = \frac{1}{6} \sqrt{4 R^{2} - h^{2}} \cdot h^{2} = \frac{1}{6} \sqrt{4 R^{2} h^{2} - h^{6}}$ .

.
0/12/3/7/4

0/12/3/7/5 .
Beispiel 13 - 94
Gegeben ist eine Lampe mit der Lichtstärke $L$ .

Abbildung 17: Lampe am Tisch

In Punkt $P$ gilt für die Helligkeit:
$B = L \cdot r^{- 2} \cdot sin α$
gesucht ist die maximale Ausleuchtung des Tischrandes.
Wie hoch muss die Lampe aufgehängt werden?
.

Lösungsweg: Drücke alle Terme in

h

aus!

r = \sqrt{R^{2} + h^{2}}

sin α = \frac{h}{r} = \frac{h}{\sqrt{R^{2} + h^{2}}}

\Rightarrow B = L \cdot r^{- 2} \cdot \frac{h}{\sqrt{R^{2} + h^{2}}}

= L \cdot \frac{h}{{\sqrt{R^{2} + h^{2}}}^{\frac{3}{2}}}

B^{'} (h) = 0

B^{'} = L \cdot \frac{{(R^{2} + h^{2})}^{\frac{3}{2}} - 2 h^{2} (R^{2} + h^{2}) \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{2})}{{(R^{2} + h^{2})}^{3}}

= L \frac{(R^{2} + h^{2}) - 2 h^{2} \cdot \frac{3}{2}}{{(R^{2} + h^{2})}^{\frac{5}{2}}}

= \frac{L}{{(R^{2} + h^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 L h^{2}}{{(R^{2} + h^{2})}^{\frac{5}{2}}}

\Rightarrow \frac{L \cdot {(R^{2} + h^{2})}^{\frac{5}{2}}}{{(R^{2} + h^{2})}^{\frac{5}{2}}} = \frac{3 L h^{2}}{{(R^{2} + h^{2})}^{\frac{5}{2}}}

$R^{2} + h^{2} = 3 h^{2}$

$R^{2} = 2 h^{2}$

$h = \frac{R}{\sqrt{2}}$

$B^{″} = \frac{- \frac{3}{2} \cdot 2 L \cdot 2 h}{{(R^{2} + h^{2})}^{\frac{5}{2}}} - \frac{12 L h {(R^{2} + h^{2})}^{\frac{5}{2}} - 6 L h^{2} \cdot \frac{5}{2} {(R^{2} + h^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 h}{{(R^{2} + h^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

$= \frac{- 6 L h}{{(R^{2} + h^{2})}^{\frac{5}{2}}} - \frac{12 L h}{{(R^{2} + h^{2})}^{\frac{5}{2}}} + \frac{30 L h^{3}}{{(R^{2} + h^{2})}^{\frac{7}{2}}}$

$= - \frac{18 L h}{{(R^{2} + h^{2})}^{\frac{5}{2}}} + \frac{30 L h^{3}}{{(R^{2} + h^{2})}^{\frac{7}{2}}}$

$B^{″} (h = \frac{R}{\sqrt{2}}) = - \frac{18 L R}{\sqrt{2} \cdot {(\frac{3}{2} R^{2})}^{\frac{5}{2}}} + \frac{30 L R^{3}}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot {(\frac{3}{2} R^{2})}^{\frac{7}{2}}}$

$= L \cdot \frac{- 18 \cdot R \cdot \frac{3}{2} R^{2} + \frac{30}{2} \cdot \frac{R^{2}}{\sqrt{2}}}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot {(\frac{3}{2} R^{2})}^{\frac{7}{2}}} < 0, da$

$- 9 \cdot 3 + \frac{15}{\sqrt{2}} < 0$

d.h. $h = \frac{R}{\sqrt{2}}$ ist ein Maximum.

.
0/12/3/7/6

0/12/3/8

13.3.8 Ableitung einer in der Parameterform dargestellten Funktion (Kurve)

0/12/3/8/0

Sind die Koordinaten x und y durch einen Parameterausdruck gegeben, so wird nach diesem Parameter abgeleitet. .
0/12/3/8/1 .
Beispiel 13 - 95
$x = x (φ) = r (φ) \cdot c o s (φ)$ .
$y = y (φ) = r (φ) \cdot s i n (φ)$ .
.

\frac{d x}{d φ} = \frac{d r (φ)}{d φ} \cdot c o s (φ) + r (φ) \cdot \frac{d c o s (φ)}{d φ} = \frac{d r (φ)}{d φ} \cdot c o s (φ) + r (φ) \cdot s i n (φ)

.
.

\frac{d y}{d φ} = \frac{d r (φ)}{d φ} \cdot s i n (φ) + r (φ) \cdot \frac{d s i n (φ)}{d φ} = \frac{d r (φ)}{d φ} \cdot s i n (φ) - r (φ) \cdot c o s (φ)

.
0/12/3/8/2

0/12/3/9

13.3.9 Diffusion, Arzneimittelverabreichung

0/12/3/9/0

Das Modell des pharmakokinetischen Grundversuchs [Langguth] ( Kompartiment-Modell ) ist vergleichbar mit dem Modell der Diffusion in der Physik. Es geht aus von Kompartimenten, d.h. pharmakokinetisch einheitlichen Räumen. (In der Sprache der Physik sind dies homogenene Bereiche.) .
Je größer der Konzentrationsunterschied ist, umsomehr versucht $C_{0}$ , kleiner zu werden. (Dies ist eine vereinfachende Modell-Annahme !) .
Beispiel: auf der linken Seite ist eine Konzentration $C_{0}$ , rechts ist $C_{1} = 0$ (hierhin ’verdünnt’ sich der Wirkstoff zunächst). 0/12/3/9/1

Abbildung 18: Diffusion

0/12/3/9/2 .
Dies kann man beschreiben durch .
Konzentrationsänderungsrate $= - k \cdot$ Konzentrationsunterschied (k ist eine Konstante, die -versuchsabhängige- Diffusionskonstante) oder .
$\frac{d C_{0}}{d t} = - k_{e} \cdot C_{0}$ oder: .
$\frac{d C_{0}}{C_{0}} = - k_{e} \cdot d t$ Eine Lösung der (Differential-)Gleichung (s. Mathematik II)ist: $C_{0} (t) = C_{0} (0) \cdot e^{- k_{10} t}$ .
Zu Beginn ist $C_{0} (0) = \frac{D}{V}$ , also die Dosis verteilt auf das Volumen. .
0/12/3/9/3

Abbildung 19: Diffusionsverlauf

0/12/3/9/4 .
0/12/3/9/5

Abbildung 20: Diffusionsverlauf, logarithmische Darstellung

0/12/3/9/6 .
Erweiterung: .
Das Zwei-Kompartiment-Modell .
Der Arzneistoff wird in einer ersten Phase injiziert und verteilt sich schnell im gut durchbluteten Gewebe und verteilt sich zwischen den Komparimenten [Wiskowski] . .
0/12/3/9/7

Abbildung 21: Zwei-Kompartiment-Modell

0/12/3/9/8 .
Im peripheren Kompartiment kommt es dabei zu einem Anstieg, der nach Erreichung eines Maximums zu einem Abfall und zur Entleerung führt. .
Das Zeitverhalten lässt sich durch zwei gekoppelte Differentialgleichungen beschreiben, die man durch folgende Überlegungen bekommt: .
Die Konzentration $C_{1}$ im zentralen Kompartiment vermindert sich proportional zur zur momentanen Konzentration durch Elimination mit der Eliminationskonstanten $k_{e} : - k_{e} C_{1}$ . .
Des weiteren ändert sich $C_{1}$ durch den Abfluss in das periphere Kompartiment, was formal ebenfalls einer Elimination entspricht: $- k_{12} C_{1}$ . .
Umgekehrt fließt das Pharmakon aus dem peripheren in das zentrale Kompartiment zurück. Dieser Rückfluss ist proportional zur Konzentration $C_{2}$ , wird aber positiv gerechnet, da er die Konzentration im zentralen Kompartiment erhöht: $+ k_{21} C_{2}$ . .
Insgesamt ergibt sich .
$\frac{d C_{1}}{d t} = - (k_{e} + k_{12}) \cdot C_{1} + k_{21} C_{2}$ .
Im peripheren Kompartiment hat man, bis auf die Elimination, die gleiche Bilanz, nur dass die Vorzeichen umgekehrt gewählt werden müssen, da jeder Verlust des peripheren Kompartiments ein Gewinn des zentralen Kompartiments, und umgekehrt, ist: .
$\frac{d C_{2}}{d t} = k_{12} \cdot C_{1} - k_{21} C_{2}$ .
Auflösen lässt sich dieses Differentialgleichungssystem (s. Mathematik II), in dem man für $C_{1}$ und $C_{2}$ den Ansatz .
$C_{1} = A_{1} \cdot e^{- k_{α} \cdot t} + B_{1} \cdot e^{- k_{β} \cdot t}$ und .
$C_{2} = A_{2} \cdot e^{- k_{α} \cdot t} + B_{2} \cdot e^{- k_{β} \cdot t}$ wählt. .
Zu Beginn ist $C_{1} (0) = \frac{D}{V}$ (also die Dosis verteilt auf das Volumen) und $C_{2} (0) = 0$ . .
Mit den Hilfsgrößen .
$S = k_{1} + k_{12} + k_{21}$ und .
$Q = 4 \cdot k_{e} \cdot k_{12}$ wird .
$k_{α} = \frac{1}{2} (S + \sqrt{S^{2} - Q})$ und .
$k_{β} = \frac{1}{2} (S - \sqrt{S^{2} - Q})$ . .

Qualitativ sieht die Lösung so aus (für $e^{- 0.4 t} - e^{- 0.5 t}$ ) .
0/12/3/9/9

Abbildung 22: Verlauf im Zwei-Kompartiment-Modell

0/12/3/9/10 .
0/12/3/9/11

Abbildung 23: Verlauf im Zwei-Kompartiment-Modell, logarithmisch

0/12/3/9/12 .

0/12/4

13.4 Bestimmen von Grenzwerten nach L’Hospital

0/12/4/0

13.4.1 Regel von L’Hospital

Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von L’Hospital : .
$\begin{matrix} lim_{x \to x_{0}} (\frac{f (x)}{g (x)}) \\ o d e r \\ lim_{x \to \infty} (\frac{f (x)}{g (x)}) \end{matrix}\} = \underset{unbestimmte Ausdrücke}{\underset{︸}{\frac{0}{0} oder \frac{\infty}{\infty}}} \Rightarrow Anwendung der Regel von L^{'} H o s p i t a l$
Regel von $L^{'} H o s p i t a l$ :
Wenn $lim_{x \to x_{0}} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{0}{0} oder \frac{\infty}{\infty}$ .
.
dann ist .
.
$lim_{x \to x_{0}} (\frac{f (x)}{g (x)}) = lim_{x \to x_{0}} (\frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)})$ .
.
Dasselbe gilt für .
.
$lim_{x \to \infty} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{0}{0} oder \frac{\infty}{\infty}$ .
.
$\Rightarrow lim_{x \to \infty} (\frac{f (x)}{g (x)}) = lim_{x \to \infty} (\frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)})$ .
.

Bemerkung: .
Die Regel von $L^{'} H o s p i t a l$ kann nur angewendet werden, wenn
$sowohl lim f^{'} (x) als auch lim g^{'} (x) exsitieren.$ .

0/12/4/1

13.4.2 Beispiele

0/12/4/1/0 .
Beispiel 13 - 96

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x}$	=	$\frac{0}{0}$

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x}$	=	$\frac{0}{0}$
L’Hospital:
$lim_{x \to 0} \frac{{(e^{x} - 1)}^{'}}{{(x)}^{'}}$	=	$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{1}$	=	$1$

.
0/12/4/1/1

0/12/4/1/2 .
Beispiel 13 - 97
$lim_{x \to \infty} \frac{ln x}{e^{x}} = \frac{\infty}{\infty}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{ln x}{e^{x}}$	=	$\frac{\infty}{\infty}$
L’Hospital:
$lim_{x \to \infty} \frac{{(l n x)}^{'}}{{(e^{x})}^{'}}$	=	$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$	=	$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \cdot e^{x}}$	=	$\frac{1}{\infty}$	=	$0$

.
0/12/4/1/3

0/12/4/1/4 .
Beispiel 13 - 98
$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} - 2 x}{x - sin x} = \frac{0}{0}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} - 2 x}{x - sin x}$	=	$\frac{0}{0}$
L’Hospital:
$lim_{x \to 0} \frac{{(e^{x} - e^{- x} - 2 x)}^{'}}{{(x - sin x)}^{'}}$	=	$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{1 - cos x}$

Bemerkung: ${(e^{- x})}^{'}$	=	$e^{- x} \cdot {(- x)}^{'}$	=	$- e^{- x}$

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{1 - cos x}$	=	$\frac{e^{x} - e^{- x}}{s i n (x)} = \frac{0}{0}$
L’Hospital:
$lim_{x \to 0} \frac{{(e^{x} + e^{- x} - 2)}^{'}}{{(1 - cos x)}^{'}}$	=	$\frac{0}{0}$
$lim_{x \to 0} \frac{(e^{x} + e^{- x})}{cos x}$	=	$\frac{1 + 1}{1}$
	=	$2$

.
0/12/4/1/5 .
Andere unbestimmte Ausdrücke

0 \cdot \infty; \infty - \infty; 1^{\infty}; 0^{0}; \infty^{0}

.
.
Bei solchen Ausdrücken hilft Umformung auf

\frac{0}{0} oder \frac{\infty}{\infty}

und nachfolgende Anwendung der Regel von

L^{'} H o s p i t a l

0/12/4/1/6 .
Beispiel 13 - 99
$lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{sin x}) = \infty - \infty$

lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{sin x}) = \infty - \infty

auf Hauptnenner bringen:

$lim_{x \to 0} \frac{sin x - x}{x \cdot sin x}$	=	$\frac{0}{0}$
$lim_{x \to 0} \frac{{(sin x - x)}^{'}}{{(x \cdot sin x)}^{'}}$	=	$lim_{x \to 0} \frac{cos x - 1}{sin x + x \cdot cos x}$	=	$\frac{0}{0}$
$lim_{x \to 0} \frac{- sin x}{cos x + cos x + x \cdot (- sin x)}$	=	$\frac{0}{2}$	=	0

.
0/12/4/1/7 .
Beispiel 13 - 100

lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{x - 1}} = 1^{\infty}

lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{x - 1}} = 1^{\infty}

Rückblick:

a = e^{ln a}

.
.
In unserem Fall ist .
.

a = x^{\frac{1}{x - 1}}

.
.

\Rightarrow x^{\frac{1}{x - 1}} = e^{ln (x^{\frac{1}{x - 1}})}

.
.
Also suchen wir den Grenzwert .
.

lim_{x \to 1} e^{ln (x^{\frac{1}{x - 1}})}

.
.
Dafür bestimmen wir zuerst den Grenzwert .
.

lim_{x \to 1} ln (x^{\frac{1}{x - 1}})

.
.
Durch Anwenden der Logarithmusregel .
.

ln a^{b} = b \cdot ln a

.
.
ergibt sich

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \cdot ln x$	=	$lim_{x \to 1} \frac{ln x}{x - 1}$	=	$\frac{0}{0}$
$lim_{x \to 1} \frac{{(ln x)}^{'}}{{(x - 1)}^{'}}$	=	$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}$	=	$lim_{x \to 1} \frac{1}{x}$	=	1

Somit ist .
.

lim_{x \to 1} e^{ln (\frac{1}{x - 1})} = e^{1} = e

.
.

.
0/12/4/1/8 .

0/13

14 Einführung in die Integralrechnung

0/13/0

0/13/1

14.1 Stammfunktionen

0/13/1/0

14.1.1 Ableitung und Stammfunktion

$y = f (x)$

$\underset{�?}{\underset{\to}{Differentiation}}$
$?$

$y^{'} = f^{'} (x)$
Beispiel 14 - 1: .

$y^{'}$ = $f (x) = 1$
$y$ = $x$

.
$\begin{matrix} y & = & x + 1 \\ y & = & x + 10 \\ y & = & x - 1 \end{matrix}\} y = x + c$

Eine Funktion $F (x)$ heißt Stammfunktion zu $f (x)$ , wenn $F^{'} (x) = f (x)$ gilt. .
Ist $F (x)$ eine Stammfunktion zu $f (x)$ , so ist auch $F (x) + C$ eine Stammfunktion zu $f (x)$ . .
$C$ ist dabei eine beliebige reelle Konstante. .
Es gibt zu jeder stetigen Funktion $f (x)$ unendlich viele Stammfunktionen. .
Die Differenz zweier Stammfunktionen zu einer stetigen Funktion $f (x)$ ergibt eine Konstante: .
$F_{1} (x) - F_{2} (x) = c o n s t$ . .
Beispiel 14 - 2: .

$f (x)$	=	$cos x$
$F (x)$	=	$sin x + C$

.
Beispiel 14 - 3: .

$F^{'} (x)$	=	$f (x)$	=	$e^{x} + \frac{1}{1 + x^{2}}$
		$F (x)$	=	$e^{x} + arctan x + C$

0/13/2

14.2 Integration

0/13/2/0

14.2.1 Definition des Integrationsbegriffs

0/13/2/0/0

$y = f (x)$

\underset{�?}{\underset{\to}{Differentiation}}

Integration

y^{'} = f^{'} (x)

.
Das Aufsuchen sämtlicher Stammfunktionen

F (x)

zu einer vorgegebenen Funktion

y = f (x)

wird als Integration bezeichnet. .

$f (x)$	$\to_{}^{Integration}$	$F (x)$	, mit $F^{'} (x) = f (x)$
$F (x)$	$=$	$\int f (x) d x$

.
.

Gesucht ist bei den folgenden Beispielen die Stammfunktion von $f (x)$ bei $\int f (x) d x$ .
Beispiel 14 - 4: .

$\int 2 x d x$	$=$	$x^{2} + C$

.
0/13/2/0/1 .
Beispiel 14 - 101

\int sin x d x =

\int sin x d x = - cos x + C

.
0/13/2/0/2 .
Beispiel 14 - 102

\int x^{2} d x =

\int x^{2} d x = \frac{1}{3} \cdot x^{3} + C

.
0/13/2/0/3 Mit Maxima läßt sich die Stammfunktion bestimmen .
mittels

i n t e g r a t e (s i n (x), x);

. .
Mit Maple gelingt dies mittels

\int s i n (x) d x

(Achtung: Palette benutzen !) oder über

i n t (s i n (x), x)

0/13/2/1

14.2.2 Das bestimmte Integral als Flächeninhalt

0/13/2/1/0

Beispiel 14 - 103: Für die Funktion $y = x^{2}$ soll die Fläche zwischen 1 und 2 berechnet werden. .
0/13/2/1/1

Abbildung 24: Flächenbestimmung unter einer Kurve

0/13/2/1/2 .

Näherungsweise läßt sich diese Fläche als Untersumme sowie als Obersumme bestimmen. Existiert nun der Grenzwert .
$lim_{x \to 0} \sum_{k = 1}^{n} f (x_{k}) Δ x_{k},$ .
so bezeichnet man ihn als das bestimmte Integral der Funktion $f (x)$ .
in den Grenzen von $x = a$ bis $x = b$ . .
.
Es wird durch das Symbol $\int_{a}^{b} f (x) d x$ gekennzeichnet. .

0/13/2/2

14.2.3 Unbestimmtes Integral und Flächenfunktion

0/13/2/2/0

Hält man bei dem bestimmten Integral die untere Grenze fest und macht die obere Grenze variabel, so hängt der Integralwert nur noch von der oberen Grenze ab: 0/13/2/2/1 EndIsUnit

Abbildung 25: Flächenfunktion

0/13/2/2/2 $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ .

1.: Die Funktion $F (x)$ wird als unbestimmtes Integral von $f (t)$ bezeichnet, da die obere Grenze unbestimmt ist. Es repräsentiert den Flächeninhalt zwischen der Funktion $y = f (t)$ und der t-Achse im Intervall $a \leq t \leq x$ in Abhängigkeit von der oberen Grenze $x$ .
2.: Zu jeder stetigen Funktion $f (t)$ gibt es unendlich viele unbestimmte Integrale, die sich in ihrer unteren Grenze voneinander unterscheiden.
3.: Die Differenz zweier unbestimmter Integrale $F_{1} (x)$ und $F_{2} (x)$ ist eine Konstante.

0/13/2/3

14.2.4 Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

0/13/2/3/0

Vergrößert man die obere Grenze x im Integral $F (x) = \int_{a}^{x} f (x) d x$ um $Δ x$ , so wächst der Flächeninhalt um $Δ F = F (x + Δ x) - F (x)$ : .
0/13/2/3/1

Abbildung 26: Variation der oberen Integrationsgrenze

0/13/2/3/2 .
Zwischen den Flächeninhalten besteht also die Beziehung .
.
$f (x) \cdot Δ x \leq Δ F \leq f (x + Δ x) \cdot Δ x$ , .
.
und nach Division durch $Δ x$ : .
.
$f (x) \leq \frac{Δ F}{Δ x} \leq f (x + Δ x)$ . .
.
Bildet man den Grenzübergang $Δ x \to 0$ : .
.

$lim_{Δ x \to 0} f (x) \leq lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ F}{Δ x} \leq lim_{Δ x \to 0} f (x + Δ x)$ , .
.
so wird mit $lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ F}{Δ x} = F^{'} (x)$ .
.
und mit $lim_{Δ x \to 0} f (x) = lim_{Δ x \to 0} f (x + Δ x) = f (x)$ : .
.
$f (x) \leq F^{'} (x) \leq f (x)$ und damit $F^{'} (x) = f (x)$ . .
.
Dies führt zum Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung:
Jedes unbestimmte Integral $F (x) = \int_{a}^{x} f (x) d x$ ist eine Stammfunktion zu $f (x)$ : .
$F (x) = \int_{a}^{x} f (x) d x \Rightarrow F^{'} (x) = f (x)$ .
0/13/2/3/3 .
Beispiel 14 - 103
Gegeben sei die Funktion $f (x) = e^{(x + \frac{1}{x})}$

1.: Bestimmen Sie $f^{'} (x)$
2.: Berechnen Sie $\int f^{'} (x) d x$

1.: $f^{'} (x) = e^{(x + \frac{1}{x})} \cdot (1 - \frac{1}{x^{2}}) = e^{(x + \frac{1}{x})} - \frac{e^{(x + \frac{1}{x})}}{x^{2}}$ .
2.: $\int f^{'} (x) d x = e^{(x + \frac{1}{x})} + C$ .

.
0/13/2/3/4

0/13/2/4

14.2.5 Grundintegrale

\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x = a r s i n h x + C = ln | x + \sqrt{x^{2} + 1} | + C

\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x = a r c o s h x + C = ln | x + \sqrt{x^{2} - 1} | + C

(für

| x | > 1

)

\int \frac{1}{1 - x^{2}} d x = \{\begin{matrix} a r t a n h x + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot ln (\frac{1 + x}{1 - x}) + C_{1} f ü r | x | < 1 \\ a r c o t h x + C_{2} = \frac{1}{2} \cdot ln (\frac{1 + x}{x - 1}) + C_{2} f ü r | x | > 1 \end{matrix}\}


$\int x^{n} d x$	$=$	$\frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$	$\int \frac{1}{x} d x$	$=$	$ln \| x \| + C$
		(gilt für $n \neq - 1$ )

$\int e^{x} d x$	$=$	$e^{x} + C$	$\int a^{x} d x$	$=$	$a^{x} \cdot \frac{1}{ln a} + C$


$\int sin x d x$	$=$	$- cos x + C$	$\int cos x d x$	$=$	$sin x + C$

$\int \frac{1}{{cos}^{2} x} d x$	$=$	$tan x + C$	$\int \frac{1}{{sin}^{2} x} d x$	$=$	$- cot x + C$


$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$	$=$	$\{\begin{matrix} arcsin x + C_{1} \\ - arccos x + C_{2} \end{matrix}$	$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$	$=$	$\{\begin{matrix} arctan x + C_{1} \\ - a r c c o t x + C_{2} \end{matrix}$


$\int sinh x d x$	$=$	$cosh x + C$	$\int cosh x d x$	$=$	$sinh x + C$

$\int \frac{1}{{cosh}^{2} x} d x$	$=$	$tanh x + C$	$\int \frac{1}{{sinh}^{2} x} d x$	$=$	$- coth x + C$

0/13/3

14.3 elementare Integrationsregeln

0/13/3/0

14.3.1 Faktorregel

0/13/3/0/0

Ein konstanter Faktor darf vor das Integral geschrieben werden: .
$\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x$ .

Beispiel 14 - 104: .
$\int 4 x^{3} d x = 4 \cdot \int x^{3} d x = \frac{4}{4} x^{4} + C$ .
0/13/3/0/1 .
Beispiel 14 - 104
$\int \frac{2}{x} d x =$ .

\int \frac{2}{x} d x = 2 \cdot \int \frac{1}{x} d x = 2 \cdot ln | x | + C

.
0/13/3/0/2 .
Beispiel 14 - 105

\int 3 \cdot 3^{x} d x =

\int 3 \cdot 3^{x} d x = 3 \cdot \int 3^{x} d x = 3 \cdot 3^{x} \cdot \frac{1}{ln | 3 |} + C

.
0/13/3/0/3

0/13/3/0/4 .
Beispiel 14 - 106
$\int 4^{x + 2} d x =$

\int 4^{x + 2} d x = 4^{2} \cdot \int 4^{x} d x = 4^{2} \cdot \frac{4^{x}}{ln | 4 |} + C

.
0/13/3/0/5 .
Beispiel 14 - 107

\int 2 \cdot cos x d x =

\int 2 \cdot cos x d x = 2 \cdot \int cos x d x = 2 \cdot sin x + C

.
0/13/3/0/6 .
Beispiel 14 - 108

\int \frac{- 2}{{cos}^{2} x} d x =

\int \frac{- 2}{{cos}^{2} x} d x = - 2 \cdot \int \frac{1}{{cos}^{2} x} d x = - 2 \cdot tan x + C

.
0/13/3/0/7

0/13/3/0/8 .
Beispiel 14 - 109
$\int \frac{- 3}{{sin}^{2} x} d x =$

\int \frac{- 3}{{sin}^{2} x} d x = 3 \cdot \int \frac{- 1}{{sin}^{2} x} d x = 3 \cdot cot x + C

.
0/13/3/0/9

0/13/3/1

14.3.2 Summenregel

0/13/3/1/0

Eine endliche Summe von Funktionen darf gliedweise integriert werden: .
$\int f_{1} (x) + f_{2} (x) + . . . . + f_{n} (x) d x = \int f_{1} (x) d x + \int f_{2} (x) + \dots + f_{n} (x) d x$ .
bzw. .
$\int \sum_{i = 1}^{n} f_{i} (x) d x = \sum_{i = 1}^{n} \int f_{i} (x) d x$ .

Beispiel 14 - 110: .
$\int (x^{2} + 2 x + 1) d x = \int x^{2} d x + \int 2 x d x + \int 1 d x = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + x + C$ .
0/13/3/1/1 .
Beispiel 14 - 110
$\int (2 x - \frac{1}{x}) d x =$

\int (2 x - \frac{1}{x}) d x = \int 2 x d x - \int \frac{1}{x} d x = x^{2} - ln | x | + C

.
0/13/3/1/2 .
Beispiel 14 - 111

\int (e^{x} + 2^{x + 2}) d x =

\int (e^{x} + 2^{x + 2}) d x = \int e^{x} d x + \int 2^{x} \cdot 2^{2} d x = e^{x} + 2^{2} \cdot 2^{x} \cdot \frac{1}{ln | 2 |} + C

.
0/13/3/1/3 .
Beispiel 14 - 112

\int (sin x + cos x) d x =

\int (sin x + cos x) d x = \int sin x d x + \int cos x d x = - cos x + sin x + C

.
0/13/3/1/4 .
Beispiel 14 - 113

\int (\frac{5}{{cos}^{2} x} - \frac{5}{{sin}^{2} x} + x^{2}) d x = \int \frac{5}{{cos}^{2} x} d x - \int \frac{5}{{sin}^{2} x} d x + \int x^{2} d x

\int (\frac{5}{{cos}^{2} x} - \frac{5}{{sin}^{2} x} + x^{2}) d x = \int \frac{5}{{cos}^{2} x} d x - \int \frac{5}{{sin}^{2} x} d x + \int x^{2} d x

= 5 \cdot \int \frac{1}{{cos}^{2} x} d x - 5 \cdot \int \frac{1}{{sin}^{2} x} d x + \int x^{2} d x = 5 \cdot tan x + 5 \cdot cot x + \frac{1}{3} x^{3} + C

.
0/13/3/1/5

0/13/3/2

14.3.3 Vertauschungsregel

Das Vertauschen von Integrationsgrenzen bewirkt einen Vorzeichenwechsel des Integrals:
$\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x$

0/13/3/3

14.3.4 Zusammenfallen der Integrationsgrenzen

Fallen die Integrationsgrenzen zusammen, so ist der Integralwert gleich Null: .
$\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$ .

0/13/3/4

14.3.5 Zerlegen des Integrationsintervalls in Teilintervalle

Für jede Stelle c aus dem Integrationsintervall $a \leq c \leq b$ gilt : .
$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ .

0/13/4

14.4 Integrationsmethoden

0/13/4/0

14.4.1 Integration durch Substitution

0/13/4/0/0

Versucht man, das Integral $\int x \cdot cos (x^{2}) d x$ zu lösen, gelingt dies durch die Substitution mit einer Hilfsvariablen $u = x^{2}$ . .
$u = x^{2} \Rightarrow \frac{d u}{d x} = 2 x \Rightarrow d x = \frac{d u}{2 x}$ . .
Ersetzt man nun $x^{2}$ und $d x$ im Integral durch $u$ bzw. $d u$ , so erhält man ein elementar lösbares Integral: .
$\int x \cdot cos (x^{2}) d x = \int x \cdot cos u \cdot \frac{d u}{2 x} = \frac{1}{2} \cdot \int cos u d u = \frac{1}{2} \cdot sin u + C$ . .
Rücksubstitution ergibt: .
$\int x \cdot cos (x^{2}) d x = \frac{1}{2} \cdot sin (x^{2}) + C$ . .
Generelle Vorgehensweise:

1.: Aufstellung der Substitutionsgleichungen .
$u = g (x), \frac{d u}{d x} = g^{'} (x), d x = \frac{d u}{g^{'} (x)}$
2.: Durchführung der Substitution durch Einsetzen .
$\int f (x) d x = \int φ (u) d u$ .
3.: Integration .
$\int φ (u) d u = Φ + C$ .
4.: Rücksubstitution (s.o.)

0/13/4/0/1 .
Beispiel 14 - 114
$\int {(2 x - 3)}^{6} d x$ .

u = 2 x - 3

.
.

\frac{d u}{d x} = 2

d x = \frac{d u}{2}

$\int u^{6} \frac{d u}{2} = \frac{1}{14} u^{7} + C = \frac{1}{14} {(2 x - 3)}^{7} + C$ .
.

.
0/13/4/0/2 .
Beispiel 14 - 115

\int e^{4 x + 2} d x

u = 4 x + 2

.
.

\frac{d u}{d x} = 4

d x = \frac{d u}{4}

$\int e^{u} \frac{d u}{4} = \frac{1}{4} e^{u} + C = \frac{1}{4} e^{4 x + 2} + C$ .
.

.
0/13/4/0/3 .
Beispiel 14 - 116

$\int sin x \cdot cos x d x$ .

u = sin x

.
.

\frac{d u}{d x} = cos x

d x = \frac{d u}{cos x}

$\int u \cdot cos x \frac{d u}{cos x} = \int u d u = \frac{1}{2} u^{2} + C = \frac{1}{2} {sin}^{2} x + C$ .
.

.
0/13/4/0/4 .
Beispiel 14 - 117

\int \sqrt{r^{2} - x^{2}} d x

x = r \cdot sin u

.
.

\frac{x}{r} = sin u

u = a r c s i n (\frac{x}{r})

d x = r \cdot cos u d u

\sqrt{r^{2} - x^{2}} = r \cdot cos u

\int \sqrt{r^{2} - x^{2}} d x = \int r^{2} {cos}^{2} u d u

= r^{2} \int \frac{1}{2} (1 + cos (2 u)) d u

= \frac{1}{2} r^{2} [\int 1 d u + \int (cos (2 u)) d u]

.
.
Substitution:

2 u = v

\frac{d v}{d u} = 2

d u = \frac{d v}{2}

: .
.

$\frac{1}{2} r^{2} [\int 1 d u + \int (cos (2 u) d u]$ .
.
$= \frac{1}{2} r^{2} [u + \int cos v \frac{d v}{2}]$ .
.
$= \frac{1}{2} r^{2} [u + \frac{1}{2} sin v]$ .
.
$= \frac{1}{2} r^{2} [a r c s i n (x) + \frac{1}{2} sin (2 a r c s i n (x))]$ .
.

.
0/13/4/0/5 .
Beispiel 14 - 118

\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x

x = 2 \cdot sin u

.
.

d x = 2 \cdot cos u d u

\int \frac{2 sin u}{\sqrt{4 - 4 {sin}^{2} u}} \cdot 2 cos u d u

.
.

= \int \frac{2 sin u \cdot 2 cos u}{2 \sqrt{1 - {sin}^{2} u}} d u

.
.

= \int \frac{2 sin u \cdot cos u}{cos u} d u

.
.

= \int 2 sin u d u

= - 2 cos u + C

$= - 2 \sqrt{1 - {sin}^{2} u} + C$ .
.
$= - 2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} + C$ .

.
0/13/4/0/6

0/13/4/1

14.4.2 Partielle Integration

0/13/4/1/0

Beim Integral $\int f (x)$ wird $f (x)$ in ein Produkt aus

einer Funktion $u (x)$ und
der Ableitung $v^{'} (x)$ einer Funktion $v (x)$

zerlegt, d.h. $\int f (x) d x = \int u (x) \cdot v^{'} (x) d x$

Beispiel 14 - 119: .
$\int \overset{\overset{u (x)}{↑}}{x} \cdot \overset{v^{'} (x)}{\overset{↑}{e^{x}}} d x$

Dieses Integral lässt sich wie folgt darstellen: .
$\int f (x) d x = \int u (x) \cdot v^{'} (x) d x = u (x) \cdot v (x) - \int u^{'} (x) \cdot v (x) d x$

Das Verfahren ist hilfreich, wenn die Stammfunktion von $v^{'} (x) \Rightarrow v (x)$ einfach zu bestimmen ist. Dann ist das Integral $\int u^{'} (x) \cdot v (x) d x$ elementar lösbar.

Erklärung:
$\int u (x) \cdot v^{'} (x) d x \overset{?}{=} u (x) \cdot v (x) - \int u^{'} (x) \cdot v (x) d x$ .
Nach der Produktregel für Ableitungen ist .
${[u (x) \cdot v (x)]}^{'} = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)$ $\Rightarrow u (x) \cdot v^{'} (x) = {[u (x) \cdot v (x)]}^{'} - u^{'} (x) \cdot v (x)$ .
Das ganze integriert ergibt .
$\Rightarrow \int u (x) \cdot v^{'} (x) d x = \int {[u (x) \cdot v (x)]}^{'} d x - \int u^{'} (x) \cdot v (x) d x$ .
Aus der Beziehung zwischen Differential- und Integralrechnung
$\int F^{'} (x) d x = F (x)$ .
folgt .
$\int u (x) \cdot v^{'} (x) d x = u (x) \cdot v (x) - \int u^{'} (x) \cdot v (x) d x$ .
Analog: .
$\int u^{'} (x) \cdot v (x) d x = u (x) \cdot v (x) - \int u (x) \cdot v^{'} (x) d x$

Vorgehensweise

1.: Bestimmen von $u (x)$ und $v^{'} (x)$
2.: Berechnen von $u^{'} (x)$ und $v (x)$
3.: $u (x), u^{'} (x), v (x), v^{'} (x)$ in .
$\int u (x) \cdot v^{'} (x) d x = u (x) \cdot v (x) - \int u^{'} (x) \cdot v (x) d x$ .
einsetzen und ausrechnen.

Beispiel 14 - 120: .
$\int x \cdot e^{x} d x$ .
Schritte: .

1.

$u (x)$	=	$x$
$v^{'} (x)$	=	$e^{x}$

2.

$u^{'} (x)$	=	$1$
$v (x)$	=	$e^{x}$

3.

u (x), u^{'} (x), v (x), v^{'} (x)

in .

\int u (x) \cdot v^{'} (x) d x = u (x) \cdot v (x) - \int u^{'} (x) \cdot v (x) d x

.
einsetzen und ausrechnen.

\int x \cdot e^{x} d x = x \cdot e^{x} - \int e^{x} d x = x \cdot e^{x} - e^{x} + C = e^{x} (x - 1) + C

0/13/4/1/1 .
Beispiel 14 - 119
$\int x \cdot cos x d x$

.

$u (x)$ = $x$
$v^{'} (x)$ = $cos x$
.

$u^{'} (x)$ = $1$
$v (x)$ = $sin x$
.
$u (x), u^{'} (x), v (x), v^{'} (x)$ in .
$\int u (x) \cdot v^{'} (x) d x = u (x) \cdot v (x) - \int u^{'} (x) \cdot v (x) d x$
einsetzen und ausrechnen.
$\int x \cdot cos x d x = x \cdot sin x - \int sin x d x = x \cdot sin x + cos x + C$

.
0/13/4/1/2

0/13/4/1/3 .
Beispiel 14 - 120
$\int sin x \cdot x^{2} d x$
(Achtung: Zweimalige partielle Integration erforderlich!) .
(Attention: Two partial integrations required!)

Teil 1:

. .

$u (x)$ = $x^{2}$
$v^{'} (x)$ = $sin x$
. .

$u^{'} (x)$ = $2 x$
$v (x)$ = $- cos x$
. .
$u (x), u^{'} (x), v (x), v^{'} (x)$ in .
$\int u (x) \cdot v^{'} (x) d x = u (x) \cdot v (x) - \int u^{'} (x) \cdot v (x) d x$
einsetzen und ausrechnen.
$\int x^{2} \cdot sin x d x = x^{2} \cdot (- cos x) - \int 2 x (- cos x) d x$ $= x^{2} \cdot (- cos x) + 2 \cdot \int x \cdot cos x d x$ .
Wir müssen nun nochmals die Methode der partiellen Integration anwenden, um .
$2 \cdot \int x \cdot cos x d x$ auszurechnen.Dies erfolgt in

Teil 2:

. .

$u (x)$ = $x$
$v^{'} (x)$ = $cos x$
. .

$u^{'} (x)$ = $1$
$v (x)$ = $sin x$
. .
$u (x), u^{'} (x), v (x), v^{'} (x)$ in .
$\int u (x) \cdot v^{'} (x) d x = u (x) \cdot v (x) - \int u^{'} (x) \cdot v (x) d x$ .
$2 \cdot \int x \cdot cos x d x = 2 \cdot (x \cdot sin x - \int sin x d x)$ .
$= 2 \cdot (x \cdot sin x) - 2 \cdot \int s i n x d x$ .
$= 2 \cdot (x \cdot sin x) - 2 \cdot (- cos x + C_{1})$ .
$= 2 \cdot (x \cdot sin x) + 2 \cdot cos x + C$ .
$= 2 \cdot (x \cdot sin x + cos x) + C$ .
Die unterschiedlichen Bezeichner für die Integrationskonstanten $(C = 2 \cdot C_{1})$ sind irrelevant, da eine Konstante multipliziert mit einem beliebigen (ebenfalls konstanten) Faktor ebenso eine Konstante ergibt. .
$\Rightarrow \overset{Teil 1}{\overset{︷}{\int sin x \cdot x^{2} d x = x^{2} \cdot (- cos x)}} + \underset{Teil 2}{\underset{︸}{2 \cdot (x \cdot sin x + cos x) + C}}$

.
0/13/4/1/4

Regel zum Auffinden von $u$ und $v^{'}$ (die ALPES-Formel , aufgestellt durch meinen Studierenden Thaifa Alae): .
Sind beispielweise zwei Ausdrücke in der Prioritätsliste

1.: A: $a r c s i n (), a r c c o s (), a r c t a n ()$
2.: L: $l n ()$
3.: P: $P o l y n o m e$
4.: E: $e x p ()$
5.: S: $s i n (), c o s (), t a n ()$

zu finden, so wird derjenige Term, der in der Liste weiter unterhalb steht, zu $u$ und derjenige Term, der in der Liste weiter oberhalb steht, zu $v^{'}$ .

0/13/4/2

14.4.3 Integration durch Partialbruchzerlegung

0/13/4/2/0

Durch Zerlegung eines Polynoms in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion lassen sich die Summanden über die bereits eingeführten Integrationsmethoden integrieren. .

0/13/4/2/1 .
Beispiel 14 - 121
Zur Integration der unecht gebrochenrationalen Funktion .
.
$\int f (x) d x = \int \frac{2 x^{3} - 14 x^{2} + 14 x + 30}{x^{2} - 4} d x$ .
.
wird die Funktion zunächst zerlegt in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion (z.B. mittels des Horner-Schemas) und anschließend die echt gebrochenrationale Funktion mittels Partialbruchzerlegung weiter zerlegt. .

f (x) = \frac{2 x^{3} - 14 x^{2} + 14 x + 30}{x^{2} - 4} = 2 x - 14 + \frac{22 x - 26}{x^{2} - 4}

. .
.

r (x) = \frac{22 x - 26}{x^{2} - 4}

. .
.
Partialbrüche für die Nullstellen des Nenners: .
.

x_{1} = 2

(einfache Nullstelle)

\to \frac{A}{x - 2}

. .
.

x_{2} = - 2

(einfache Nullstelle)

\to \frac{B}{x + 2}

. .
.

r (x) = \frac{22 x - 26}{x^{2} - 4}

= \frac{22 x - 26}{(x - 2) (x + 2)} =

= \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}

. .
.

22 x - 26 = A (x + 2) + B (x - 2)

.
.

x = 2 \Rightarrow 18 = 4 A \Rightarrow A = 4, 5

.
.

x = - 2 \Rightarrow - 70 = - 4 B \Rightarrow B = 17, 5

.
.
.

= \frac{22 x - 26}{(x - 2) (x + 2)} =

= \frac{4, 5}{x - 2} + \frac{17, 5}{x + 2}

. .
.
.

\int \frac{2 x^{3} - 14 x^{2} + 14 x + 30}{x^{2} - 4} d x

.
.

= \int (2 x - 14) d x + \int \frac{22 x - 26}{(x - 2) (x + 2)}

.
.

= x^{2} - 14 x + C_{1} + \int (\frac{4, 5}{x - 2} + \frac{17, 5}{x + 2}) d x

.
.

= x^{2} - 14 x + 4, 5 \cdot ln | x - 2 | + 17, 5 \cdot ln | x + 2 | + C_{2}

.
.

.
0/13/4/2/2

0/13/4/3

14.4.4 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/13/5

14.5 Beispiele

0/13/5/0

14.5.1 Bestimmung des Flächenschwerpunkts

0/13/5/0/0

Für einen Körper im Gleichgewicht gilt: .
$r_{1} \cdot m_{1} \cdot g = r_{2} \cdot m_{2} \cdot g$ .
0/13/5/0/1

Abbildung 27: Schwerpunktsbestimmung

0/13/5/0/2 .

$(x_{s} - x_{1}) \cdot m_{1} = (x_{2} - x_{s}) \cdot m_{2}$ .
$x_{s} m_{1} - x_{1} m_{1} = x_{2} m_{2} - x_{s} m_{2}$ .
$x_{s} \cdot (m_{1} + m_{2}) = x_{1} m_{1} + x_{2} m_{2}$ .
$x_{s} = \frac{x_{1} m_{1} + x_{2} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ .
Erweiterung auf mehrere Massen: $x_{s} = \frac{x_{1} m_{1} + x_{2} m_{2} + x_{3} m_{3} + . . . + x_{k} m_{k}}{m_{1} + m_{2} + m_{3} + . . . + m_{k}}$ .
Als Summenformel: $x_{s} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot m_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} m_{i}}$ .
.
0/13/5/0/3 .
Beispiel 14 - 122
Vier Container mit 15, 30, 45 und 15 Tonnen und jeweils 10 m Länge (Schwerpunkt in der Mitte) sollen entsprechend der Abbildung in ein Flugzeug eingeladen werden. .

Abbildung 28: Beladung eines Flugzeugs

.
Die Ladezone beginnt 10 m vom Bug entfernt. Der Hersteller schreibt vor, daß der Schwerpunkt $30$ m vom Bug entfernt sein muss mit einer Toleranz von $30 \pm 1$ m. Wird durch die gezeigte Ladereihenfolge diese Vorschrift eingeladen ? .
.

Mit

x_{s} = \frac{m_{1} \cdot x_{1} + m_{2} \cdot x_{2} + m_{3} \cdot x_{3} + m_{4} \cdot x_{4}}{m_{1} + m_{2} + m_{3} + m_{4}} m

wird der Schwerpunkt .
.

x_{s} = \frac{15 \cdot 15 + 30 \cdot 25 + 45 \cdot 35 + 15 \cdot 45}{15 + 30 + 45 + 15} m \approx 30, 7 m .

. .
Das Flugzeug ist also richtig beladen. .

.
0/13/5/0/4 .
Die Masse von Flächen mit gleicher Dichte

σ

bestimmt sich einfach über

m = A \cdot σ

. Die Flächen können gedanklich in Teilflächen zerlegt werden. Kennt man die Einzelschwerpunkte, so kann man den Gesamtschwerpunkt analog berechnen: 0/13/5/0/5 .
Beispiel 14 - 123
Zu bestimmen sei der Schwerpunkt einer Treppe in x- und y-Richtung. Die Einzelschwerpunkte liegen jeweils mittig. .

Abbildung 29: Schwerpunkt einer Treppe

Gesamtschwerpunkt .
$x_{s} = \frac{σ \cdot A_{1} \cdot x_{1} + σ \cdot A_{2} \cdot x_{2} + σ \cdot A_{3} \cdot x_{3} + σ \cdot A_{4} \cdot x_{4} + σ \cdot A_{5} \cdot x_{5}}{σ \cdot A_{1} + σ \cdot A_{2} + σ \cdot A_{3} + σ \cdot A_{4} + σ \cdot A_{5}}$ .

$y_{s} = \frac{σ \cdot A_{1} \cdot y_{1} + σ \cdot A_{2} \cdot y_{2} + σ \cdot A_{3} \cdot y_{3} + σ \cdot A_{4} \cdot y_{4} + σ \cdot A_{5} \cdot y_{5}}{σ \cdot A_{1} + σ \cdot A_{2} + σ \cdot A_{3} + σ \cdot A_{4} + σ \cdot A_{5}}$ .
.

x_{s} = \frac{5 \cdot 0, 5 + 4 \cdot 1, 5 + 3 \cdot 2, 5 + 2 \cdot 3, 5 + 1 \cdot 4, 5}{5 + 4 + 3 + 2 + 1}

.
.

x_{s} = \frac{2, 5 + 6 + 7, 5 + 7 + 4, 5}{5 + 4 + 3 + 2 + 1} = \frac{27, 5}{15} \approx 1, 833

. .

$y_{s} = \frac{5 \cdot 2, 5 + 4 \cdot 2 + 3 \cdot 1, 5 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0, 5}{5 + 4 + 3 + 2 + 1}$ .
.
$y_{s} = \frac{12, 5 + 8 + 4, 5 + 2 + 0, 5}{15} = \frac{27, 5}{15} \approx 1, 833$ . .

.
0/13/5/0/6 .

Hat man ebene Flächen, deren Begrenzung über eine Funktion angegeben ist, macht man einen Übergang von der diskreten Addition zur Integration: .
.
$x_{s} = \frac{\int x d m}{\int d m} = \frac{\int x d A}{\int d A}$ .
.
.

0/13/5/0/7 .
Beispiel 14 - 124
Gegeben sei ein Dreieck, das durch die x-Achse, y-Achse und die Funktion $y = h - \frac{h}{b} \cdot x$ begrenzt ist: .

Abbildung 30: Schwerpunkt eines Dreiecks

Zu bestimmen ist zunächst die x-Koordinate des Schwerpunkts: .

$x_{s} = \frac{\int x d A}{\int d A}$ .
.
.
Hierzu zerteilen wir das Dreieck (willkürlich) in lauter senkrechte kleine Stäbchen mit der Fläche $d A = y \cdot d x$ . .
Hiermit sind die Integralgrenzen vorgegeben zwischen 0 und b. .
.

Mit

y = h - \frac{h}{b} x

wird daraus:

d A = y \cdot d x

= (h - \frac{h}{b} \cdot x) d x

, .
eingesetzt in die Integraldarstellung der Schwerpunktsformel: .

x_{s} = \frac{\int_{0}^{b} x \cdot (h - \frac{h}{b} \cdot x) d x}{\int_{0}^{b} (h - \frac{h}{b} \cdot x) d x}

$= \frac{{\frac{1}{2} \cdot h x^{2} - \frac{1 h}{3 b} \cdot x^{3}|}_{0}^{b}}{{h x - \frac{h x^{2}}{2 b}|}_{0}^{b}}$ .
.
$= \frac{\frac{1}{2} \cdot b h^{2} - \frac{1}{3} b^{2} h}{h b - \frac{1}{2} h b}$ $= \frac{\frac{1}{6} \cdot b h^{2}}{\frac{1}{2} h b}$ $= \frac{h}{3}$

.
0/13/5/0/8 .
Beispiel 14 - 125
Alternative Berechnung: Wir zerteilen das Dreieck (willkürlich) in lauter waagrechte kleine Stäbchen mit der Fläche

d A = x \cdot d y

. .
Hiermit sind die Integralgrenzen vorgegeben zwischen 0 und h. .
Der Schwerpunkt eines einzelnen Stäbchens liegt bei

\tilde{x} = \frac{x}{2}

. Damit erhält man einen Ausdruck für den Schwerpunkt des Dreiecks: .

x_{s} = \frac{\int \tilde{x} d A}{\int d A} = \frac{\int \frac{x}{2} d A}{\int d A}

.
.
.
.

Abbildung 31: Schwerpunkt eines Dreiecks

Mit

x = b - \frac{b}{h} \cdot y

wird daraus:

d A = x \cdot d y

= (b - \frac{b}{h} \cdot y) d y

, .
eingesetzt in die Integraldarstellung der Schwerpunktsformel: .
.

x_{s} = \frac{\int_{0}^{h} \frac{x}{2} \cdot (\frac{b}{h} \cdot y + b) d y}{\int_{0}^{b} (\frac{- b}{h} \cdot y + b) d y}

$= \frac{\int_{0}^{h} \frac{1}{2} \cdot (\frac{- b}{h} y + b) \cdot (\frac{- b}{h} y + b) d y}{\int_{0}^{b} (\frac{- b}{h} \cdot y + b) d y}$ $= \frac{\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{h} (\frac{b^{2}}{h^{2}} y^{2} - \frac{2 b^{2}}{h} \cdot y + b^{2}) d y}{{(\frac{- b y^{2}}{2 h} + b y)|}_{0}^{h}}$

$= \frac{{\frac{1}{2} (\frac{b^{2} y^{3}}{3 h^{2}} - \frac{b^{2} y^{2}}{h} + b^{2} y)|}_{0}^{h}}{{(\frac{b h}{2} - b h)|}_{0}^{h}}$

$= \frac{\frac{1}{2} (- \frac{b^{2} h}{3} - b^{2} h + b^{2} h)}{- \frac{b h}{2}}$ $= \frac{\frac{b h^{2}}{3}}{- b h}$ $= \frac{- b^{2} h}{3 b h}$ $= - \frac{b}{3}$ .
.
Dies ist natürlich das gleiche Ergebnis wie vor. .

.
0/13/5/0/9

0/13/5/0/10 .
Beispiel 14 - 126
Zu bestimmen sei die x-Koordinate des Schwerpunkts der Fläche, die durch die x-Achse, y-Achse und die Funktion $y = 1 - x^{2}$ begrenzt ist.

Abbildung 32: Schwerpunkt einer Fläche

x_{s} = \frac{\int x d m}{\int d m} = \frac{\int_{0}^{1} x \cdot y d A}{\int_{0}^{1} d A}

x_{s} = \frac{\int_{0}^{1} x \cdot (1 - x^{2}) d x}{\int_{0}^{1} (1 - x^{2}) d x} = \frac{\int_{0}^{1} x d x - \int_{0}^{1} x^{3} d x}{\int_{0}^{1} 1 d x - \int_{0}^{1} x^{2} d x}

.
.

$x_{s} = \frac{{\frac{1}{2} x^{2}|}_{0}^{1} - {\frac{1}{4} x^{4}|}_{0}^{1}}{{x|}_{0}^{1} - {\frac{1}{3} x^{3}|}_{0}^{1}}$ .
.

$x_{s} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{8}$

.
0/13/5/0/11

0/13/5/0/12 .
Beispiel 14 - 127
Berechnung des Schwerpunkts eines Viertelkreises: .
Bleibt man hier in der Darstellung kartesischer Koordinaten, wird die Berechnung wesentlich aufwendiger, wie das Beispiel für die y-Koordinate zeigt: .

Abbildung 33: Schwerpunkt eines Viertelkreises

$x^{2} + y^{2} = R^{2}$ .
$\Rightarrow d A = x d y$ .
$\Rightarrow d A = \sqrt{r^{2} - y^{2}} d y$ .

$y_{s} = \frac{\int_{0}^{R} ỹ d A}{\int_{0}^{R} d A} = \frac{\int_{0}^{R} y \cdot \sqrt{R^{2} - y^{2}} d y}{\int_{0}^{R} \sqrt{R^{2} - y^{2}} d y} = \frac{{- \frac{1}{3} {(R^{2} - y^{2})}^{\frac{3}{2}}|}_{0}^{R}}{{\frac{1}{2} [y \sqrt{R^{2} - y^{2}} + R^{2} a r c s i n (\frac{y}{R})]|}_{0}^{R}}$ .
.
Eine alternative Berechnung geht wie folgt: Wir zerteilen den Kreisbogen (willkürlich) in lauter kleine Kreissegmente $d L = R \cdot d φ$ . .
Hier sind die Integralgrenzen einfach angebbar, sie liegen zwischen $0$ und $\frac{π}{2}$ . .
Haben wir die Schwerpunkte der einzelnen kreissegmente, können wir den Schwerpunkt des Viertelkreises daraus bestimmen. .

Abbildung 34: Schwerpunkt eines Viertelkreises

.
Der Schwerpunkt eines einzelnen Stückchens liegt bei $\tilde{x} = R \cdot cos φ$ bzw. $ỹ = R \cdot sin φ$ . Damit erhält man einen Ausdruck für den Schwerpunkt eines Viertelkreisbogens: .
.

$x_{s} = \frac{\int_{L} \tilde{x} d L}{\int_{L} d L} = \frac{\int_{0}^{\frac{π}{2}} R \cdot cos φ \cdot R d φ}{\int_{0}^{\frac{π}{2}} R d φ} = \frac{{R^{2} sin φ|}_{0}^{\frac{π}{2}}}{{R \cdot φ|}_{0}^{\frac{π}{2}}} = \frac{2 R}{π}$

Analog $y_{s}$ : .
$y_{s} = \frac{\int_{L} ỹ d L}{\int_{L} d L} = \frac{\int_{0}^{\frac{π}{2}} R \cdot sin φ \cdot R d φ}{\int_{0}^{\frac{π}{2}} R d φ} = \frac{{- R^{2} cos φ|}_{0}^{\frac{π}{2}}}{{R \cdot φ|}_{0}^{\frac{π}{2}}} = \frac{2 R}{π}$

.
0/13/5/0/13 Entsprechend ist der Schwerpunkt eines Halbkreisbogens: .
$x_{s} = \frac{2 R}{π}$ , und aus Symmetriegründen: $y_{s} = 0$ . .
Bildet man nun die Summe eines Viertelkreises aus diesen Viertelkreisbögen, so ist der Schwerpunkt $x_{s} = \frac{4 R}{3 π}$ . Weitere Beispiele finden sich in [HibbelerL1] . .
Ist der Gegenstand nun kein ebenes, sondern ein dreidimensionales Gebilde, muss ein Ausdruck für das jeweilige Massenelement (z.B. Stäbchen) bezüglich x gebildet werden, unter Umständen kann auch hier eine Integration notwendig werden. Dann spricht man von Mehrfachintegralen. .

Analog können auch die Massenträgheitsmomente $J = \int_{m} r^{2} d m$ gebildet werden: Für jedes Masseteilchen dm wird das Produkt des Abstandsquadrats zur jeweiligen Drehachse gebildet und damit das bestimmte Integral für alle Massenteilchen bestimmt. Auf mathematischer Seite ändert sich hier nichts. .

0/14

15 Reelle Matrizen

0/14/0

0/14/1

15.1 Einstieg: Lineare Gleichungssysteme

0/14/1/0

15.1.1 gängige Methoden

In diesem Kapitel werden die Methoden

Gaußsches Verfahren
Gauß-Jordan-Verfahren
Cramer’sche Regel

zur Lösung von Gleichungssystemen einschließlich der Hintergründe behandelt. BeginIsUnit 0/14/1/1

15.1.2 Einige Beispiele zum Einstieg

0/14/1/1/0

Beispiel 15 - 1:
In der Klasse 7c sind 31 Schüler. Die Zahl der Mädchen ist um 3 kleiner als die Zahl der Jungen. Wie viele Jungen und Mädchen sind in der Klasse ?

$M$ : Mädchen		$J$ : Jungen
$M + J$	$=$	$31$
$M + 3$	$=$	$J$

Beispiel 15 - 2:
Drei Zahnräder eines Getriebes haben zusammen 80 Zähne. Bei 10 Umdrehungen des ersten Rades drehen sich das zweite 18 und das dritte 45 mal. Wie viel Zähne hat jedes Rad ?

$A + B + C$	$=$	$80$
$\frac{A}{18}$	$=$	$\frac{B}{10}$
$\frac{A}{45}$	$=$	$\frac{C}{10}$

Beispiel 15 - 3: Balken in einem Lager
Ein Balken (Länge $k$ ) wird in einem festen Lager links eingespannt und rechts von einem Seil in einem Winkel von 45 o gehalten. Eine Kraft F wirkt unter dem Winkel $α$ auf die Mitte des Balkens. 0/14/1/1/1

Abbildung 35: Eingespannter Balken

0/14/1/1/2

Fragestellung der Technischen Mechanik ist bei diesem Beispiel die Bestimmung der Kräfte $F_{A}, F_{B}$ und des Moments $M_{A}$ in Abhängigkeit vom Winkel $α$ der angreifenden Kraft F (’Drehachse’ links): .
0/14/1/1/3

Abbildung 36: Kräfte an einem Balken

0/14/1/1/4 .
$\begin{matrix} x - R i c h t u n g : & 0 \cdot F_{A} & + & \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot F_{B} & + & 0 \cdot M_{A} & = & F \cdot cos α \\ y - R i c h t u n g : & F_{A} & + & \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot F_{B} & + & 0 \cdot M_{A} & = & F \cdot sin α \\ D r e h m o m e n t M : & 0 \cdot F_{A} & + & \frac{k}{\sqrt{2}} \cdot F_{B} & + & M_{A} & = & \frac{k}{2} \cdot F \cdot sin α \end{matrix}$ .
.
$\Rightarrow$ 3 Gleichungen, 3 Unbekannte .

Beispiel 15 - 4: Verschnittkreuz
Gegeben sind die zwei (zu bestimmenden) Mengen $x_{1}$ und $x_{2}$ eines Weins mit dem Säuregehalt $G_{1} = 3, 8 g ∕ l$ und $G_{2} = 9 g ∕ l$ , die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge $M$ und einem Gesamtsäuregehalt $G = 6 g ∕ l$ .
Die Gleichungen dieses Systems lauten dann:

$x_{1}$	+	$x_{2}$	=	$M$
$G_{1} \cdot x_{1}$	+	$G_{2} \cdot x_{2}$	=	$G \cdot M$

Nun multipliziert man die erste Gleichung mit

G_{2}

: .

$G_{2} \cdot x_{1}$	+	$G_{2} \cdot x_{2}$	=	$G_{2} \cdot M$
$G_{1} \cdot x_{1}$	+	$G_{2} \cdot x_{2}$	=	$G \cdot M$

Subtraktion der zweiten von der ersten Zeile ergibt: .

$(G_{2} - G_{1}) \cdot x_{1}$	+		=	$(G_{2} - G) \cdot M$

und damit

x_{1} = (G_{2} - G) \cdot \frac{M}{G_{2} - G_{1}}

oder

x_{1} \prod G_{2} - G

Die gleichen Schritte werden nach der Multiplikation der ersten Gleichung mit

G_{1}

analog durchgeführt:

$G_{1} \cdot x_{1}$	+	$G_{1} \cdot x_{2}$	=	$G_{1} \cdot M$
$G_{1} \cdot x_{1}$	+	$G_{2} \cdot x_{2}$	=	$G \cdot M$

Subtraktion der zweiten von der ersten Zeile ergibt:. .

	+	$(G_{2} - G_{1}) \cdot x_{2}$	=	$(G - G_{1}) \cdot M$

und damit

x_{2} = (G - G_{1}) \cdot \frac{M}{G_{2} - G_{1}}

oder

x_{2} \prod G - G_{1}

.
Kennt man die gesuchte Gesamtmenge nicht, kann man für das Verhältnis von

x_{1}

x_{2}

angeben:

\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{G_{2} - G}{G - G_{1}} = \frac{(9.0 - 6.0) g ∕ l}{(6.0 - 3.8) g ∕ l} = \frac{3.0}{2.2} \approx 1.36

Zum besseren Behalten dieser Gleichungen werden die Werte in einem (Verschnitt-)Kreuz aufgetragen: .
.


$G_{1}$		$x_{1} \prod (G_{2} - G)$
	$G$
$G_{2}$		$x_{2} \prod (G - G_{1})$

.
.
Mit Zahlen: .
.


$3.8$		$3.0$
	$6.0$
$9.0$		$2.2$

.
.
Hat man nun eine vorgegebene Menge

x_{1} = 630 l

, so kann man die Menge des Weins

x_{2}

einfach bestimmen zu:

\frac{630}{x_{2}} = \frac{3.0}{2.2}

und

x_{2} = \frac{630 \cdot 2.2}{3.0} l = 462 l

.
Lösung des Beispiels mit Maple:
restart; eq1 := x1+x2 = M;
eq2 := 3.8*x1+9*x2 = 6.0*M;
solve({eq1, eq2}, {x1, x2,M}) ergibt:
x1 + x2 = M
3.8 x1 + 9 x2 = 6.0 M
{M = 2.363636364*x2, x1 = 1.363636364*x2, x2 = x2}.
Also:

x_{2}

ist frei wählbar, daraus ergibt sich

x_{1}

und daraus wiederum die Gesamtmenge.

0/14/1/1/5 .
Beispiel 15 - 128
Gegeben sind die drei (zu bestimmenden) Mengen $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ eines Weins mit dem Alkoholgehalt $A_{1} = 8$ Vol %, $A_{2} = 12$ Vol % und $A_{3} = 15$ Vol % , die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge $M$ und einem Gesamt-Alkoholgehalt $A = 12$ Vol %.
( $1.267 l$ Alkohol entspricht $1 k g$ ; auf der linken und rechten Seite steht aber die gleiche Einheit. Deshalb kann sie weggelassen werden.)
Gleichzeitig haben die Weine Säuregehalte von $S_{1} = 3 g ∕ l$ , $S_{2} = 9 g ∕ l$ und $S_{3} = 5 g ∕ l$ ,die zusammengemischt den Ziel-Gesamtsäuregehalt $G = 6 g ∕ l$ haben sollen. .

Die Gleichungen dieses Systems lauten:

$x_{1}$	+	$x_{2}$	+	$x_{3}$	=	$M$
$A_{1} \cdot x_{1}$	+	$A_{2} \cdot x_{2}$	+	$A_{3} \cdot x_{3}$	=	$A \cdot M$
$S_{1} \cdot x_{1}$	+	$S_{2} \cdot x_{2}$	+	$S_{3} \cdot x_{3}$	=	$S \cdot M$

,
in Zahlen:

$x_{1}$	+	$x_{2}$	+	$x_{3}$	=	$M$
$0.08 \cdot x_{1}$	+	$0.12 \cdot x_{2}$	+	$0.15 \cdot x_{3}$	=	$0.12 \cdot M$
$0.10 \cdot x_{1}$	+	$0.01 \cdot x_{2}$	+	$0.12 \cdot x_{3}$	=	$0.09 \cdot M$

,
Lösung mit Maxima: .

e q 1 : x 1 + x 2 + x 3 = M;

e q 2 : 0.08 * x 1 + 0.12 * x 2 + 0.15 * x 3 = 0.12 * M

e q 3 : 0.03 * x 1 + 0.09 * x 2 + 0.05 * x 3 = 0.06 * M

a l g s y s ([e q 1, e q 2, e q 3], [x 1, x 2, x 3, M])

.
ergibt :

[[x 1 = % r 1, x 2 = \frac{13 % r 1}{9}, x 3 = \frac{4 % r 1}{3}, M = \frac{34 % r 1}{9}]]

Lösung mit Maple: restart; eq1 := x1+x2+x3 = M;
eq2 := 0.08*x1+0.12*x2+0.15*x3 = 0.12*M;
eq3 := 0.03*x1+0.09*x2+0.05*x3 = 0.06*M;
solve({eq1, eq2,eq3}, {x1, x2,x3,M})
ergibt :
${M = \frac{34}{9} \cdot x_{1}$ ;
$x_{1} = x_{1}$ ;
$x_{2} = \frac{13}{9} \cdot x_{1}$ ;
$x_{3} = \frac{4}{3} \cdot x_{1}}$ ;
Die Lösung sagt gleichzeitig, dass man für die Zielzusammensetzung alle drei Weine benötigt. .

.
0/14/1/1/6

0/14/1/1/7 .
Beispiel 15 - 129
Gegeben sind die drei (zu bestimmenden) Mengen $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ eines Weins mit dem Alkoholgehalt $A_{1} = 8$ Vol %, $A_{2} = 12$ Vol % und $A_{3} = 13, 5$ Vol % , die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge $M$ und einem Gesamt-Alkoholgehalt $A = 11$ Vol %.
Gleichzeitig haben die Weine Säuregehalte von $S_{1} = 3, 8 g ∕ l$ , $S_{2} = 9 g ∕ l$ und $S_{3} = 7 g ∕ l$ ,die zusammengemischt den Ziel-Gesamtsäuregehalt $G = 6 g ∕ l$ haben sollen. .

Die Gleichungen dieses Systems lauten:

$x_{1}$	+	$x_{2}$	+	$x_{3}$	=	$M$
$A_{1} \cdot x_{1}$	+	$A_{2} \cdot x_{2}$	+	$A_{3} \cdot x_{3}$	=	$A \cdot M$
$S_{1} \cdot x_{1}$	+	$S_{2} \cdot x_{2}$	+	$S_{3} \cdot x_{3}$	=	$S \cdot M$

,
in Zahlen:

$x_{1}$	+	$x_{2}$	+	$x_{3}$	=	$M$
$8 \cdot x_{1}$	+	$12 \cdot x_{2}$	+	$13.5 \cdot x_{3}$	=	$11.0 \cdot M$
$3.8 \cdot x_{1}$	+	$9.0 \cdot x_{2}$	+	$7.0 \cdot x_{3}$	=	$6.0 \cdot M$

,
Lösung mit Maxima: .

e q 1 : x 1 + x 2 + x 3 = M

e q 2 : 8 * x 1 + 12 * x 2 + 13.5 * x 3 = 11.0 * M

e q 3 : 3.8 * x 1 + 9 * x 2 + 7 * x 3 = 6.0 * M

a l g s y s ([e q 1, e q 2, e q 3], [x 1, x 2, x 3, M])

.
ergibt :

[[x 1 = % r 2, x 2 = \frac{5 % r 2}{13}, x 3 = \frac{68 % r 2}{65}, M = \frac{158 % r 2}{65}]]

Lösung mit Maple: restart; eq1 := x1+x2+x3 = M;
eq2 := 8*x1+12*x2+13.5*x3 = 11.0*M;
eq3 := 3.8*x1+9*x2+7*x3 = 6.0*M;
solve({eq1, eq2,eq3}, {x1, x2,x3,M})

Gäbe man als Ziel-Alkoholgehalt nun beisipielsweise $12 %$ vor, erhielte man negative Mengenwerte. Diese negativen Werte der Lösung sagen aus, daß für diese Zielsetzung keine entsprechende Mischung möglich ist. .

.
0/14/1/1/8 Die Systematik von linearen Gleichungssytemen kann diese Ergebnisse erklären.

0/14/1/2

15.1.3 Lösen von Gleichungssystemen über äquivalente Umformungen

0/14/1/2/0

Bei einem linearen Gleichungssystem bleibt die Lösungsmenge bei Anwendung der folgenden Operationen unverändert erhalten (Äquivalente Umformungen eines linearen Gleichungssystems):

1.: Zwei Zeilen können miteinander vertauscht werden.
2.: Jede Gleichung kann mit einer von Null verschiedenen Zahl multipliziert werden.
3.: Zu jeder Gleichung darf ein Vielfaches einer anderen Gleichung addiert werden.

0/14/1/2/1 .
Beispiel 15 - 130

					Zeilen-	Opera-
					summe	tion
$- x$	$+ y$	$+ z$	$=$	$0$	$1$
$x$	$- 3 y$	$- 2 z$	$=$	$5$	$1$	+I
$5 x$	$+ y$	$+ 4 z$	$=$	$3$	$13$	+ 5I

.

Lösungsansatz: Bringe Gleichungssystem auf Dreiecksform

$- x$	$+ y$	$+ z$	$=$	$0$	$1$
$0$	$- 2 y$	$- z$	$=$	$5$	$2$
$0$	$+ 6 y$	$+ 9 z$	$=$	$3$	$18$	/3

$- x$	$+ y$	$+ z$	$=$	$0$	$1$
$0$	$- 2 y$	$- z$	$=$	$5$	$2$
$0$	$+ 2 y$	$+ 3 z$	$=$	$1$	$6$	+II

$- x$	$+ y$	$+ z$	$=$	$0$	$1$
$0$	$- 2 y$	$- z$	$=$	$5$	$2$
$0$	$0$	$+ 2 z$	$=$	$6$	$8$

\Rightarrow z = 3

\Rightarrow - 2 y - 3 = 5 \Rightarrow y = - 4

\Rightarrow - x - 4 + 3 = 0 \Rightarrow x = - 1

.
0/14/1/2/2 .
Gauß’scher Algorithmus : Bringe das Gleichungssystem durch geeignete äquivalente Umformungen in Dreiecksform. Die letzte Zeile enthält die Lösung für eine Variable. Diese Lösung wird in der zweitletzten Zeile zur Bestimmung der zweiten Variablen verwendet usw. .

0/14/1/3

15.1.4 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/14/1/4

15.1.5 Definition einer reellen Matrix

Matrix : .

	rechteckiges Schema mit
$m$	Zeilen
$n$	Spalten
$a_{i k}$ :	Matrixelemente

A= $(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & … & a_{m n} \end{matrix})$
.

i wird als Zeilenindex
k wird als Spaltenindex bezeichnet.

Schreibweisen: $A, A_{(m, n)}, a_{i k}, {(a_{i k})}_{m, n}$

Sonderfälle:

$m = n$ : n-reihige quadratische Matrix oder auch Matrix n-ter Ordnung .
Nullmatrix $0$ : Matrix, deren Elemente sämtlich verschwinden .

Spaltenmatrix: $(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})$
.

Zeilenmatrix: $(\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & … & a_{n} \end{matrix})$ .

0/14/1/5

15.1.6 Transponierte einer Matrix

0/14/1/5/0

Vertauschen von Zeilen und Spalten ergibt die Transponierte einer Matrix : .
.
$a_{i k}^{T} = a_{k i}$ .
.
Beispiel:
$A = (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \\ 0 & - 8 \end{matrix}) \Rightarrow A^{T} = (\begin{matrix} 1 & 4 & 0 \\ 3 & 2 & - 8 \end{matrix})$ .
.
0/14/1/5/1 .
Beispiel 15 - 131
$B = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 2 & 5 \\ 7 & 6 & 0 \end{matrix}) B^{T} =$ .
.

$B = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 2 & 5 \\ 7 & 6 & 0 \end{matrix}) \Rightarrow B^{T} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 7 \\ 1 & - 2 & 6 \\ 1 & 5 & 0 \end{matrix})$

.
0/14/1/5/2 .

$(\begin{matrix} ⋆ & ⋆ & ⋆ \\ ⋆ & ⋆ & ⋆ \\ ⋆ & ⋆ & ⋆ \\ ↗ & ↖ \end{matrix})$
.
.
$↗$ = Nebendiagonale
$↖$ = Hauptdiagonale

0/14/1/6

15.1.7 Gleichheit von Matrizen

Zwei Matrizen $A, B$ sind gleich, wenn
$a_{i k} = b_{i k}$ für alle $i, k$ ,
also wenn alle ihre Elemente gleich sind.

0/14/2

15.2 Spezielle quadratische Matrizen

0/14/2/0

0/14/2/1

15.2.1 Diagonalmatrix

$a_{i k} = 0$ für $i \neq k$

$(\begin{matrix} a_{11} & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & a_{n n} \end{matrix})$
.

Sind alle $a_{i i} = 1$ , so nennt man diese Matrix Einheitsmatrix

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = E$ .

0/14/2/2

15.2.2 Dreiecksmatrix

alle Elemente oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonalen verschwinden

Untere Dreiecksmatrix: $a_{i k} = 0$ für $k > i$
Obere Dreiecksmatrix: $a_{i k} = 0$ für $k < i$

Beispiel 15 - 132: Untere Dreieicksmatrix:
$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 5 \end{matrix})$
.

0/14/2/3

15.2.3 Symmetrische Matrix

$a_{i k} = a_{k i}$ $A^{T} = A$ .
Beispiel:

$(\begin{matrix} 1 & 4 & - 2 \\ 4 & 5 & 0 \\ - 2 & 0 & 8 \end{matrix})$ .

0/14/2/4

15.2.4 Schiefsymmetrische Matrix

$a_{i k} = - a_{k i}$ $\Rightarrow a_{i i} = 0$ .
Beispiel: .
$(\begin{matrix} 0 & 4 & 3 \\ - 4 & 0 & - 5 \\ - 3 & 5 & 0 \end{matrix})$ .

0/14/3

15.3 Rechenoperationen mit Matrizen

0/14/3/0

15.3.1 Addition

0/14/3/0/0

$C = A + B \Rightarrow c_{i k} = a_{i k} + b_{i k}$
0/14/3/0/1 .
Beispiel 15 - 132
$A = (\begin{matrix} 1 & 5 & - 3 \\ 4 & 0 & 8 \end{matrix}) + B = (\begin{matrix} 5 & 1 & 3 \\ - 1 & 4 & 7 \end{matrix})$ .

\Rightarrow C = A + B = (\begin{matrix} 6 & 6 & 0 \\ 3 & 4 & 15 \end{matrix})

.
0/14/3/0/2 .
Beispiel 15 - 133:

-C -=- -A -+ --<msup><mrow>B< -/mrow><mrow >T</mrow></msup >

.
Diese Operation ist nicht definiert .

0/14/3/1

15.3.2 Multiplikation mit einem Skalar

0/14/3/1/0

$λ \cdot A = λ \cdot (a_{i k}) = (λ \cdot a_{i k})$ für alle $i, k$ .
0/14/3/1/1 .
Beispiel 15 - 133
$A = (\begin{matrix} 1 & - 5 & 3 \\ 4 & 1 & 0 \end{matrix}), λ = 4 B = λ \cdot A =$ .

A = (\begin{matrix} 1 & - 5 & 3 \\ 4 & 1 & 0 \end{matrix}), λ = 4 B = λ \cdot A = 4 \cdot (\begin{matrix} 1 & - 5 & 3 \\ 4 & 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 & - 20 & 12 \\ 16 & 4 & 0 \end{matrix})

.
0/14/3/1/2

kommutativ:	$A + B$	$=$	$B + A$
	$λ \cdot A$	$=$	$A \cdot λ$
assoziativ:	$A + (B + C)$	$=$	$(A + B) + C$
	$λ \cdot (μ \cdot A)$	$=$	$(λ \cdot μ) \cdot A$
distributiv:	$(λ + μ) A$	$=$	$λ A + μ A$
	$λ (A + B)$	$=$	$λ A + λ B$

0/14/3/1/3 .
Beispiel 15 - 134
$A = (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix}), C = (\begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix})$ .
.
$B = 3 \cdot A + C^{T} =$

.
.

B = 3 \cdot A + C^{T} = (\begin{matrix} 3 & 9 \\ 6 & 12 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 & 10 \\ 8 & 15 \end{matrix})

. .

.
0/14/3/1/4

0/14/3/2

15.3.3 Multiplikation von Matrizen

0/14/3/2/0

$A = (\begin{matrix} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{matrix})$ und $B = (\begin{matrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{matrix})$

$C = A \cdot B$
.

Die Ergebnismatrix hat 3 Spalten und 2 Zeilen

$C = (\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \end{matrix})$
.

$c_{11} = a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} = 1 \cdot 4 + 5 \cdot 1 = 9$

Falk-Schema für die Multiplikation von Matrizen : .
.

$A = (\begin{matrix} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{matrix})$	$C$

	$B = (\begin{matrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{matrix})$


$a_{11}$	$a_{12}$	$c_{11}$	$c_{12}$	$c_{13}$

$a_{21}$	$a_{22}$	$c_{21}$	$c_{22}$	$c_{23}$


		$b_{11}$	$b_{12}$	$b_{13}$

		$b_{21}$	$b_{22}$	$b_{23}$

.
.

C = A \cdot B

$c_{i k}$	$=$	$a_{i 1} \cdot b_{1 k} + a_{i 2} \cdot b_{2 k} + \dots + a_{i n} \cdot b_{n k}$
	$=$	$\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} \cdot b_{j k}$

Beispiel 15 - 135:
$A = (\begin{matrix} 1 & 4 & 2 \\ 4 & 0 & - 3 \end{matrix}) B = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ - 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 4 \end{matrix})$ .
.
$C = A \cdot B$ .
.
- -- -- -- -- --
-C = B ⋅ --A .
.


$1$	$4$	$2$	$- 7$	$15$	$28$

$4$	$0$	$- 3$	$4$	$1$	$- 12$


			$1$	$1$	$0$

			$- 2$	$3$	$5$

			$0$	$1$	$4$

Multiplikation ist nur zulässig, wenn $Spaltenanzahl A = Zeilenanzahl B$ .

0/14/3/2/1 .
Beispiel 15 - 135
$A = (\begin{matrix} 1 & - 5 & 3 \\ 4 & 1 & 0 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix})$ .
.
$A \cdot B =$ .

A \cdot B = (\begin{matrix} - 1 & 6 \\ 5 & 0 \end{matrix})

.
0/14/3/2/2

Rechengesetze für die Matrixmultiplkikation:

Assoziativität:	$A \cdot (B \cdot C)$	$=$	$(A \cdot B) \cdot C$
Distributivität:	$A \cdot (B + C)$	$=$	$A \cdot B + A \cdot C$
	$(A + B) \cdot C$	$=$	$A \cdot C + B \cdot C$
	${(A \cdot B)}^{T}$	$=$	$B^{T} \cdot A^{T}$
	$A \cdot E$	$=$	$E \cdot A = A$

Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ

Man kann jedoch bei Gleichungen mit Matrizen entweder auf beiden Seiten von links oder auf beiden Seiten von rechts mit einer Matrix multiplizieren (vorausgesetzt natürlich, die Anzahl Spalten bzw. Zeilen sind dazu passend): .

	$(B \cdot C)$	$=$	$(E \cdot F)$
$\to$	$A \cdot (B \cdot C)$	$=$	$A \cdot (E \cdot F)$
$\to$	$(B \cdot C) \cdot A$	$=$	$(E \cdot F) \cdot A$

0/14/3/3

15.3.4 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/14/4

15.4 Gauß’scher Algorithmus

0/14/4/0

15.4.1 Darstellung in Matrixform

0/14/4/0/0

$- x$	$+ y$	$+ z$	$=$	$0$			umbilden in Matrix:
$x$	$- 3 y$	$- 2 z$	$=$	$5$	$\Rightarrow$	1. Spalte: $x$ ,	2. Spalte: $y$
$5 x$	$+ y$	$+ 4 z$	$=$	$3$		3. Spalte: $z$ ,	4. Spalte: Konstante

$\Rightarrow$

$- 1$	$+ 1$	$+ 1$	$0$
$1$	$- 3$	$- 2$	$5$
$5$	$1$	$4$	$3$

.
Das lineare Gleichungssystem kann geschrieben werden als $A \cdot \vec{x} = \vec{c}$ . .
Koeffizienten: $a_{i k}$
Absolutglieder (Konstanten): $c_{i}$

$A \cdot \vec{x} = \vec{c} \Rightarrow$

$a_{11} \cdot x_{1}$	$+ a_{12} \cdot x_{2}$	$+ a_{13} \cdot x_{3}$	$+ \dots$	$+ a_{1 n} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{1}$
$a_{21} \cdot x_{1}$	$+ a_{22} \cdot x_{2}$	$+ a_{23} \cdot x_{3}$	$+ \dots$	$+ a_{2 n} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{2}$
$a_{31} \cdot x_{1}$	$+ a_{32} \cdot x_{2}$	$+ a_{33} \cdot x_{3}$	$+ \dots$	$+ a_{3 n} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{3}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$ $⋮$ $⋮$	$⋮$		$⋮$

$\Rightarrow$	$A \cdot \vec{x}$	$=$	$\vec{c}$	mit $\vec{x} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \end{matrix})$	und $\vec{c} = (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \\ ⋮ \end{matrix})$

Entsprechend verfolgt jetzt der Gaußsche Algorithmus das Ziel, über äquivalente Umformungen die Matrix $A$ in ein gestaffeltes System (Dreiecksform) zu bringen durch die Schritte:

1.: Vertauschen von Zeilen
2.: Multiplikation mit einem Faktor $\neq 0$
3.: Addition eines Vielfachen einer anderen Zeile

0/14/4/0/1 .
Beispiel 15 - 136
Lösen eines Gleichungssytems mit Excel : .

Abbildung 37: Gleichungssystem als Excel-Tabelle

.
.

.
0/14/4/0/2

0/14/4/0/3 .
Beispiel 15 - 137

$- x$	$+ y$	$+ z$	$=$	$0$			umbilden in Matrix:
$x$	$- 3 y$	$- 2 z$	$=$	$5$	$\Rightarrow$	1. Spalte: $x$ ,	2. Spalte: $y$
$5 x$	$+ y$	$+ 4 z$	$=$	$3$		3. Spalte: $z$ ,	4. Spalte: Konstante

$1$	$- 1$	$- 1$	$0$	$\cdot - 1$
$1$	$- 3$	$- 2$	$5$
$5$	$1$	$4$	$3$

$1$	$- 1$	$- 1$	$0$
$1$	$- 3$	$- 2$	$5$	$- I$
$5$	$1$	$4$	$3$	$- 5 \cdot I$

$1$	$- 1$	$- 1$	$0$
$0$	$- 2$	$- 1$	$5$	$- I$
$0$	$6$	$9$	$3$	$+ 3 \cdot I I$

$1$	$- 1$	$- 1$	$0$
$0$	$- 2$	$- 1$	$5$	$- 2 I$
$0$	$0$	$6$	$18$	$∕ 3$

$1$	$- 1$	$- 1$	$0$
$0$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{- 5}{2}$
$0$	$0$	$1$	$3$

\Rightarrow z = 3

.
Aus Zeile 2 folgt:

y + \frac{3}{1} = - \frac{5}{2} \Rightarrow y = - 4

.
Aus Zeile 1 folgt:

x + 4 - 3 = 0 \Rightarrow x = - 1

.
(alternativ Gauß-Jordan: Später !)

.
0/14/4/0/4

0/14/4/1

15.4.2 Lösungsschritte des Gauß’schen Algorithmus

Die Lösung eines linearen Gleichungssystems $A \cdot \vec{x} = \vec{c}$ erfolgt durch Umformung in zwei, ggf. drei Schritten:
I. Vorwärtselimination mit
Ia. eventueller Pivotisierung (d.h. Vertauschen von Zeilen, bis die Diagonalelemente $\neq 0$ )
II. Rückwärtselimination

I. Vorwärtselimination

1.

Eliminationsschritt: (

a_{11} \neq 0

)

subtrahiere	$a_{21} ∕ a_{11}$ -fache der 1.Zeile von 2.Zeile
⋮	$a_{31} ∕ a_{11}$ -fache der 1.Zeile von 3.Zeile
⋮	⋮

Durch den ersten Eliminationsschritt entstehen in der 1. Spalte der Matrix Nullen, außer

a_{1} 1

sind alle

a_{i} 1 = 0

2.

Eliminationsschritt: (

a_{22} \neq 0

)

subtrahiere	$a_{32} ∕ a_{22}$ -fache der 2.Zeile von 3.Zeile
⋮	$a_{42} ∕ a_{22}$ -fache der 2.Zeile von 4.Zeile
⋮	⋮

3.

Solange wiederholen, bis die Dreiecksform vorliegt. (Die Koeffizienten der Matrix in Dreiecksform werden ab hier der Übersichtlichkeit halber mit Koeffizienten

{a^{'}}_{i k}

bzw.

{c^{'}}_{i}

bezeichnet.)

Ia. Pivotisierung

1.: Das Gauß-Verfahren versagt, falls das Diagonalelement oder Pivotelement (engl. für Dreh- und Angelpunkt) $a_{k k}$ eines Eliminationsschrittes gleich Null ist, $a_{k k} = 0$ (Abbruch des Verfahrens bei Division durch Null).
2.: Pivotsuche: Ist ein Diagonalelement $a_{k k} = 0$ , so vertauscht man die Pivot-Zeile k vor Ausführung des k-ten Eliminationsschrittes mit derjenigen Zeile $m > k$ , die den betragsmäßig größten Koeffizienten für $x_{k}$ besitzt:
3.: Neue Pivotzeile $m$ , neues Pivotelement $a_{m k}$ .

II. Rückwärtselimination
Aus der Dreiecksform werden die Lösungen $x_{i}$ durch schrittweises Rückwärtseinsetzen gewonnen:

1.: Zuerst die unterste Zeile nach $x_{n}$ auflösen.
2.: Die anderen Elemente $x_{i}, i = n - 1, \dots, 1$ des Lösungsvektors $x$ bestimmt man dann rekursiv mit der Gleichung $x_{n} =$ $\frac{{c^{'}}_{n}}{{a^{'}}_{n n}}$ , $x_{i} = \frac{{c^{'}}_{i}}{{a^{'}}_{i i}} - \sum_{k = i + 1}^{n} x_{k} \cdot \frac{{a^{'}}_{i k}}{{a^{'}}_{i i}}, i = n - 1, \dots, 1$

.
Sei $A$ eine $4 x 4$ -Matrix, dann lautet das Gleichungssystem $A \cdot \vec{x} = \vec{c}$ mit dem unbekannten Vektor $\vec{x} = {(x_{-} 1, x_{2}, \dots x_{n})}^{T}$ :

$a_{11} x_{1}$	$+$	$a_{12} x_{2}$	$+$	$a_{13} x_{3}$	$+$	$a_{14} x_{4}$	$=$	$c_{1}$
		$a_{22} x_{2}$	$+$	$a_{23} x_{3}$	$+$	$a_{24} x_{4}$	$=$	$c_{2}$
				$a_{33} x_{3}$	$+$	$a_{34} x_{4}$	$=$	$c_{3}$
						$a_{44} x_{4}$	$=$	$c_{4}$

x_{4}

erhält man aus der letzten Zeile:

x_{4} = \frac{c_{4}}{a_{44}}

Der Wert für

x_{4}

wird in die vorletzte Zeile eingesetzt, diese nach

x_{3}

aufgelöst:

x_{3} = \frac{c_{3} - a_{34} x_{4}}{a_{33}}

.
.
Das gleiche Schema wird auf die darüberliegenden Zeilen angewandt, bis alle Werte von

\vec{x}

bestimmt sind.

0/14/4/2

15.4.3 Gauß-Jordan-Verfahren

0/14/4/2/0

Alternativ zum beschriebenen Gauß-Verfahren kann man auch die Koeffizientenmatrix noch weiter umformen, bis man eine Einheitsmatrix $E$ erhält. Damit können die Lösungen direkt abgelesen werden.

$A \cdot \vec{x} = \vec{c}$
$A^{- 1} \cdot A \cdot \vec{x} = A^{- 1} \cdot \vec{c}$ oder
$\vec{x} = A^{- 1} \cdot \vec{c}$
Dies ist auch als Gauß-Jordan-Verfahren bekannt.
0/14/4/2/1 .
Beispiel 15 - 138
Alternative Lösung des obigen Beispiels mit Gauß-Jordan: .

$- x$	$+ y$	$+ z$	$=$	$0$			umbilden in Matrix:
$x$	$- 3 y$	$- 2 z$	$=$	$5$	$\Rightarrow$	1. Spalte: $x$ ,	2. Spalte: $y$
$5 x$	$+ y$	$+ 4 z$	$=$	$3$		3. Spalte: $z$ ,	4. Spalte: Absolutglied

.
(Anm.: Man kann das Absolutglied zuerst auch auf die linke Seite der Gleichung bringen, man muß nur beim Ablesen darauf achten.) .

$x$	$y$	$z$	$c$	PS
$1$	$- 1$	$- 1$	$0$	$- 1$
$1$	$- 3$	$- 2$	$5$	$1$	$- I$
$5$	$1$	$4$	$3$	$13$	$- 5 \cdot I$

$1$	$- 1$	$- 1$	$0$	$- 1$	$- I I ∕ 2$
$0$	$- 2$	$- 1$	$5$	$2$
$0$	$6$	$9$	$3$	$18$	$+ 3 \cdot I I$

$1$	$0$	$0$	$- 1$	$0$
$0$	$1$	$0$	$- 4$	$- 3$
$0$	$0$	$6$	$18$	$24$	$∕ 6$

$1$	$0$	$0$	$- 1$	$0$
$0$	$1$	$0$	$- 4$	$- 3$
$0$	$0$	$1$	$3$	$4$

\Rightarrow x = - 1, y = - 4, z = 3

.
0/14/4/2/2

0/14/4/2/3 .
Beispiel 15 - 139
Zu lösen ist das Gleichungssystem .

$- x$	$+ y$	$- z$	$=$	$- 2$
	$+ y$	$- 2 z$	$=$	$- 4$
		$- z$	$=$	$- 15$

$- 1$	$1$	$- 1$	$- 2$	$- I I I$
$0$	$1$	$- 2$	$- 4$	$- 2 \cdot I I I$
$0$	$0$	$- 1$	$- 15$

$- 1$	$1$	$0$	$13$	$- I I$
$0$	$1$	$- 2$	$- 4$	$+ 2 \cdot I I I$
$0$	$0$	$- 1$	$- 15$

$1$	$- 1$	$0$	$- 1$	$- I I$
$0$	$1$	$0$	$26$
$0$	$0$	$- 1$	$- 15$	$\cdot (- 1)$

$1$	$0$	$0$	$13$
$0$	$1$	$0$	$26$
$0$	$0$	$1$	$15$

.
.

\Rightarrow x = 13, y = 25, z = 15

.
0/14/4/2/4

Beispiele zum Gauß’schen Verfahren
0/14/4/2/5 .
Beispiel 15 - 140
Tragwerke

$F_{A}$	$F_{B}$	$M_{A}$	$c$
$0$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$0$	$F cos α$	nach $I I$
$1$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$0$	$F sin α$	nach $I$
$0$	$\frac{k}{\sqrt{2}}$	$1$	$\frac{k}{2} \cdot F sin α$

.
Pivotisieren:

$F_{A}$	$F_{B}$	$M_{A}$	$c$

$1$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$0$	$F sin α$	$- I I$
$0$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$0$	$F cos α$
$0$	$\frac{k}{\sqrt{2}}$	$1$	$\frac{k}{2} \cdot F sin α$	$∕ k$

$1$	$0$	$0$	$F \cdot (sin α - cos α)$
$0$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$0$	$F cos α$
$0$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{k}$	$\frac{1}{2} \cdot F sin α$	$- I I$

$1$	$0$	$0$	$F \cdot (sin α - cos α)$
$0$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$0$	$F cos α$	$\cdot \sqrt{2}$
$0$	$0$	$\frac{1}{k}$	$F \cdot (\frac{1}{2} \cdot sin α - cos α)$	$\cdot k$

$1$	$0$	$0$	$F \cdot (sin α - cos α)$
$0$	$1$	$0$	$\sqrt{2} \cdot F cos α$
$0$	$0$	$1$	$F \cdot k \cdot (\frac{1}{2} \cdot sin α - cos α)$

$\Rightarrow$ .
$F_{A} = F \cdot (sin α - cos α)$
$F_{B} = \sqrt{2} \cdot F \cdot cos α$
$M_{A} = F \cdot k \cdot (\frac{1}{2} \cdot sin α - cos α)$

.
0/14/4/2/6

0/14/4/2/7 .
Beispiel 15 - 141

(\begin{matrix} 1 & 1 & - 2 \\ 1 & - 1 & - 2 \\ 2 & 3 & - 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

$1$	$1$	$- 2$	$0$
$1$	$- 1$	$- 2$	$0$
$2$	$3$	$- 4$	$0$

.
.

$1$	$1$	$- 2$	$0$
$1$	$- 1$	$- 2$	$0$	$- I$
$2$	$3$	$- 4$	$0$	$- 2 I$

$1$	$1$	$- 2$	$0$
$0$	$- 2$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$	$0$	$+ \frac{I I}{2}$

$1$	$1$	$- 2$	$0$
$0$	$- 2$	$0$	$0$
$0$	$0$	$0$	$0$	$+ \frac{I I}{2}$

$\Rightarrow$ Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen
$z$ wird zum Parameter und ist frei wählbar.
Auflösen durch Rückwärtseinsetzen:
$I I \Rightarrow y = 0$ .
$I \Rightarrow x + 0 - 2 λ = 0$ .
$\Rightarrow x = 2 λ$ .

.
0/14/4/2/8

0/14/4/2/9 .
Beispiel 15 - 142

$- x_{1}$	$+ 2 x_{2}$	$+ x_{3}$	$=$	$6$
$x_{1}$	$+ x_{2}$	$+ x_{3}$	$=$	$- 2$
$2 x_{1}$	$- 4 x_{2}$	$- 2 x_{3}$	$=$	$- 6$

$- 1$	$2$	$1$		$6$
$1$	$+ 1$	$1$		$- 2$	$+ I$
$2$	$- 4$	$- 2$		$- 6$	$+ 2 I$

$- 1$	$2$	$1$		$6$
$0$	$3$	$2$		$4$
$0$	$0$	$0$		$- 6$	$☈$
.
oder .
.
$- x_{1}$	$+ 2 x_{2}$	$+ x_{3}$	$=$	$6$
$0$	$3 x_{2}$	$+ 2 x_{3}$	$=$	$4$
$0$	$0$	$0$	$=$	$- 6$	$☈$

\to

Das Gleichungssystem ist nicht lösbar.

.
0/14/4/2/10

Ein Gleichungssystem hat

$\}$

eine oder keine oder unendlich viele

Lösungen. .

Ist das Gleichungssystem homogen (Alle Absolutglieder sind Null,

\vec{c} = \vec{0}

) so hat es entweder genau eine Lösung (die Triviallösung

\vec{x} = \vec{0}

) oder unendlich viele Lösungen (darunter auch die Triviallösung).

0/15

16 Determinanten

0/15/0

16.1 Einstieg

0/15/0/0

16.1.1 zweireihige Determinanten

0/15/0/0/0

$2 \times 2$ Gleichungssysteme $A \cdot \vec{x} = \vec{c}$ können wie folgt umgeformt werden:

$a_{11} x_{1}$	$+ a_{12} x_{2}$	$=$	$c_{1}$	$\cdot a_{22}$
$a_{21} x_{1}$	$+ a_{22} x_{2}$	$=$	$c_{2}$	$\cdot (- a_{12})$

\}

a11a22 ⋅ x1 +a12a22 ⋅ x2= c1 ⋅ a22 -a12a21 ⋅ x1-a12a22 ⋅ x2=-c2 ⋅ a12

\Rightarrow

a_{11} a_{22} \cdot x_{1} - a_{12} a_{21} \cdot x_{1} = c_{1} \cdot a_{22} - c_{2} \cdot a_{12}

(a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}) x_{1} = c_{1} \cdot a_{22} - c_{2} \cdot a_{12}

\Rightarrow x_{1} = \frac{c_{1} \cdot a_{22} - c_{2} \cdot a_{12}}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}

, analog:

\Rightarrow x_{2} = \frac{c_{2} \cdot a_{11} - c_{1} \cdot a_{21}}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}} \Rightarrow

Beide Nenner sind gleich.
.
Bildet man aus der Koeffizientenmatrix .

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})$ den Wert $D = a_{11} \cdot a_{22} - a_{21} \cdot a_{12}$ ,
.
hat man die Koeffizientendeterminante der Matrix $A$ bestimmt.
Da die Koeffizientenmatrix eine $2 x 2$ -Matrix ist, spricht man von einer 2-reihigen Koeffizientendeterminanten oder Koeffizientendeterminanten 2. Ordnung.

Ist der Wert der Determinanten $D = 0$ , so hat das Gleichungssystem keine (bzw. bei einem homogenen Gleichungssystem unendlich viele) Lösung(en). .
Determinanten lassen sich nur für quadratische Matrizen (d.h. die Matrix hat genau so viele Zeilen wie Spalten) angeben. .

Rechenregel zur Bestimmung einer $2 x 2$ -Determinanten: .

$D = det A = |\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ \times \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}| = | A | = | a_{i k} |$
.

Die Determinante erhält man, indem man das Produkt der Hauptdiagonal-Elemente bildet und davon das Produkt der Nebendiagonal-Elemente subtrahiert:

$det A = det (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) = a_{11} \cdot a_{22} - a_{21} \cdot a_{12}$
.
Beispiel 16 - 143:

$det A = |\begin{matrix} 5 & 3 \\ - 10 & - 6 \end{matrix}| = - 30 + 30 = 0$ .

0/15/0/0/1 .
Beispiel 16 - 143

1.: $det A = |\begin{matrix} 3 & 5 \\ - 2 & - 4 \end{matrix}| =$
2.: $det A = |\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}| =$
3.: $det A = |\begin{matrix} 5 & 3 \\ - 10 & - 6 \end{matrix}| =$

.
.

1.: $det A = |\begin{matrix} 3 & 5 \\ - 2 & - 4 \end{matrix}| = 3 \cdot - 4 - (- 2) \cdot 5 = - 12 - (- 10) = - 2$
2.: $det A = |\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}| = 1 \cdot 0 - 0 \cdot 0 = 1$
3.: $det A = |\begin{matrix} 5 & 3 \\ - 10 & - 6 \end{matrix}| = 5 \cdot (- 6) - (- 10) \cdot 3 = 0$

.
0/15/0/0/2

0/15/0/1

16.1.2 allgemeine Rechenregeln für Determinanten

Die hier aufgeführten Rechenregeln gelten auch für Determinanten höherer Ordnung:

1.

Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man Zeilen und Spalten vertauscht

2.

Beim Vertauschen zweier Zeilen (bzw. Spalten) ändert sich das Vorzeichen

3.

Multlipliziert man eine Zeile (bzw Spalte) mit

λ

, dann multipliziert sich die Determinante
mit

λ

4.

Eine Determinante besitzt den Wert

0

, wenn

(a): alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) Null sind
(b): Zwei Zeilen (oder Spalten) gleich sind
(c): Zwei Zeilen (oder Spalten) zueinander proportional sind
(d): Eine Zeile (oder Spalte) als Linearkombination der übrigen Zeilen (oder Spalten) darstellbar ist.

5.

Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) das Vielfache einer anderen Zeile (oder Spalte) addiert.

6.

det (A \cdot B) = det A \cdot det B

7.

Dreiecksmatrizen

$A_{△} = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots \\ 0 & a_{22} & a_{23} & \dots \\ 0 & 0 & a_{33} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix})$
.

haben als Determinante das Produkt der Hauptdiagonalen
$det A_{△} = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} \cdot \dots = \prod^{i} a_{i i}$

Beispiel 16 - 144:

1.

Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man Zeilen und Spalten vertauscht: .

$det A^{T} = det A$

$det A = |\begin{matrix} 8 & 5 \\ - 3 & 2 \end{matrix}| = 16 + 15 = 31$ .
.
$det A^{T} = |\begin{matrix} 8 & - 3 \\ 5 & 2 \end{matrix}| = 16 + 15 = 31$
.

2.

Beim Vertauschen zweier Zeilen (bzw. Spalten) ändert sich das Vorzeichen: .

$det A = |\begin{matrix} 7 & 3 \\ 4 & - 1 \end{matrix}| = - 7 - 12 = - 19$

$det A^{'} = |\begin{matrix} 4 & - 1 \\ 7 & 3 \end{matrix}| = 12 + 7 = 19$ .

3.

Multlipliziert man eine Zeile (bzw Spalte) mit

λ

, dann multipliziert sich die Determinante
mit

λ

: .

det A = |\begin{matrix} 2 \cdot 5 & 2 \cdot 5 \\ - 3 & 2 \end{matrix}| = 20 + 30 = 50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot |\begin{matrix} 5 & 5 \\ - 3 & 2 \end{matrix}|

.
.

☈

(Achtung! Nicht verwechseln mit der (Skalar-)Multiplikation bei Matrizen/Vektoren!)

4.

Eine Determinante besitzt den Wert

0

, wenn

(a): alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) Null sind
(b): Zwei Zeilen (oder Spalten) gleich sind
(c): Zwei Zeilen (oder Spalten) zueinander proportional sind
(d): Eine Zeile (oder Spalte) als Linearkombination der übrigen Zeilen (oder Spalten) darstellbar ist: .

$det A = \|\begin{matrix} 1 & 5 \\ 0 & 0 \end{matrix}\| = 0$		$det B = \|\begin{matrix} 4 & 3 \\ 4 & 3 \end{matrix}\| = 0$		$det C = \|\begin{matrix} 4 & 2 \\ 8 & 4 \end{matrix}\| = 0$

5.

Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) das Vielfache einer anderen Zeile (oder Spalte) addiert: .

$det A = |\begin{matrix} - 6 & 5 \\ 1 & 4 \end{matrix}| = - 24 - 5 = - 29$

Addition des 6-fachen von Zeile II zu Zeile I:

$det A = |\begin{matrix} 0 & 29 \\ 1 & 4 \end{matrix}| = 0 - 29 = - 29$
.

6.

$det (A \cdot B) = det A \cdot det B$ .

$A = (\begin{matrix} 1 & 4 \\ 5 & - 2 \end{matrix})$		$B = (\begin{matrix} - 2 & - 3 \\ 4 & 1 \end{matrix})$

det A \cdot det B = (- 22) \cdot (10) = - 220

det (A \cdot B) = |\begin{matrix} 14 & 1 \\ - 18 & - 17 \end{matrix}| = - 220

7.

Dreiecksmatrizen haben als Determinante das Produkt der Hauptdiagonalen

$det A_{△} = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} \cdot \dots = \prod^{i} a_{i i}$ : .

$det A = |\begin{matrix} 5 & - 4 \\ 0 & - 3 \end{matrix}| = 5 \cdot (- 3) - 0 \cdot (- 4) = 5 \cdot (- 3) = - 15$

0/15/1

16.2 Determinanten von Matrizen höherer Ordnung

0/15/1/0

16.2.1 Dreireihige Determinanten

0/15/1/0/0

Beispiel 16 - 145:
Gegeben sei ein $3 \times 3$ Gleichungssystem $A \cdot \vec{x} = \vec{c}$ ,
ausgeschrieben:

$a_{11} x_{1}$	$+ a_{12} x_{2}$	$+ a_{13} x_{3}$	$=$	$c_{1}$
$a_{21} x_{1}$	$+ a_{22} x_{2}$	$+ a_{23} x_{3}$	$=$	$c_{2}$
$a_{31} x_{1}$	$+ a_{32} x_{2}$	$+ a_{33} x_{3}$	$=$	$c_{3}$

Bildet man aus der Koeffizientenmatrix .

A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix})

.
den Term

$D$	$=$	$a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}$	$+$	$a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}$	$+$	$a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}$	$-$
	$-$	$a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31}$	$-$	$a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32}$	$-$	$a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}$	,

.
.
hat man die Koeffizientendeterminante der Matrix

A

bestimmt.
Ist der Wert der Determinanten

D = 0

, so hat das Gleichungssystem keine (oder unendlich viele) Lösung(en).
Schreibweisen:

$D = det A = |\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}| = | A | = | a_{i k} |$
.

Man spricht hier von dreireihigen Determinanten oder Determinanten 3. Ordnung.

Als Merkregel für die Bestimmung der dreireihigen Determinante von $A$ kann man die Regel von Sarrus verwenden, indem man das Produkt der Hauptdiagonalen addiert und das Produkt der Nebendiagonalen subtrahiert:
( $↗$ = Nebendiagonale, $↖$ = Hauptdiagonale)

$D = det A = |\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} =$
.

$=$		$a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}$	$+ a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}$	$+ a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} -$
	$-$	$a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31}$	$- a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32}$	$- a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}$

0/15/1/0/1 .
Beispiel 16 - 144
Die dreireihige Determinante von $A$ : .
$det A = |\begin{matrix} 1 & - 2 & 7 \\ 0 & 3 & 2 \\ 5 & - 1 & 4 \end{matrix}|$ .
.

det A = |\begin{matrix} 1 & - 2 & 7 \\ 0 & 3 & 2 \\ 5 & - 1 & 4 \end{matrix}|

$= 1 \cdot 3 \cdot 4 + (- 2) \cdot 2 \cdot 5 + 7 \cdot 0 \cdot (- 1) -$
$- 7 \cdot 3 \cdot 5 - 1 \cdot 2 \cdot (- 1) - (- 2) \cdot 0 \cdot 4 =$
$= 12 - 20 - 105 + 2 = - 111$

.
0/15/1/0/2

0/15/1/0/3 .
Beispiel 16 - 145

$det A = |\begin{matrix} 4 & 2 & 1 \\ 10 & 5 & 0 \\ - 6 & - 3 & 1 \end{matrix}|$ =
.

det A = |\begin{matrix} 4 & 2 & 1 \\ 10 & 5 & 0 \\ - 6 & - 3 & 1 \end{matrix}| = 20 + 0 - 30 + 30 - 0 - 20 = 0

.
.
Man hätte sofort auch erkennen können: Spalte 1 ist das Zweifache von Spalte 2. .

.
0/15/1/0/4

0/15/1/1

16.2.2 Laplace’scher Entwicklungssatz

0/15/1/1/0

Der Laplace’scher Entwicklungssatz ermöglicht die Berechnung der Determinante von Matrizen mit mehr als $3 * 3$ Elementen.
Streicht man bei einer Determinante $D$ die i-te Zeile und k-te Spalte, so heißt die verbliebene Determinante Unterdeterminante. Sie wird durch das Symbol $D_{i k}$ gekennzeichnet. Die mit dem Vorzeichenfaktor ${(- 1)}^{i + k}$ versehene Unterdeterminante $D_{i k}$ wird als algebraisches Komplement $A_{i k}$ bezeichnet.
$A_{i k} = {(- 1)}^{i + k} \cdot D_{i k}$

Man kann sich das Vorzeichen entsprechend einem Schachbrettmuster vorstellen:


$+$	$-$	$+$

$-$	$+$	$-$

$+$	$-$	$+$

Die Determinante von

A

läßt sich auch über die algebraischen Komplemente

A_{n k}

ermitteln:

$det A = |\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}|$
.

$=$		$a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}$	$-$
	$-$	$a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} - a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} - a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}$	$=$

$=$	$a_{11} \cdot (\underset{︸}{a_{22} \cdot a_{33} - a_{23} \cdot a_{32}})$	$- a_{12} \cdot (\underset{︸}{a_{21} \cdot a_{33} - a_{23} \cdot a_{31}})$	$+ a_{13} \cdot (\underset{︸}{a_{21} \cdot a_{32} - a_{22} \cdot a_{31}})$
	$D_{11}$	$D_{12}$	$D_{13}$

$D_{11} = |\begin{matrix} ⋮ & . . . & . . . \\ ⋮ & a_{22} & a_{23} \\ ⋮ & a_{32} & a_{33} \end{matrix}| = |\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}| = a_{22} \cdot a_{33} - a_{23} \cdot a_{32}$ .

$D_{12} = |\begin{matrix} . . & ⋮ & . . . \\ a_{21} & ⋮ & a_{23} \\ a_{31} & ⋮ & a_{33} \end{matrix}| = |\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}|$ $= a_{21} \cdot a_{33} - a_{23} \cdot a_{31}$ .

$D_{13} = |\begin{matrix} . . & . . . & ⋮ \\ a_{21} & a_{22} & ⋮ \\ a_{31} & a_{32} & ⋮ \end{matrix}| = |\begin{matrix} a_{21} & a_{21} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}|$ $= a_{21} \cdot a_{32} - a_{22} \cdot a_{31}$ .
.

Damit kann man die Determinante $D$ in der Form
$D = a_{11} D_{11} - a_{12} D_{12} + a_{13} D_{13}$ .
bzw. .
$D = a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} D_{13} = \sum_{k = 1}^{3} a_{1 k} \cdot A_{1 k}$
schreiben. .
.
Allgemein kann man nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz die Determinante einer $3 x 3$ -Matrix durch Entwickeln nach einer Zeile oder Spalte berechnen: .
$D = \sum_{k = 1}^{3} a_{i k} \cdot A_{i k}$ oder .
$D = \sum_{i = 1}^{3} a_{i k} \cdot A_{i k}$ . .
.
Die $A_{i k}$ sind die algebraischen Komplemente von $a_{i k}$ in $D$ : $A_{i k} = {(- 1)}^{i + k} \cdot D_{i k}$ .

0/15/1/1/1 .
Beispiel 16 - 146
$det A = |\begin{matrix} 1 & 4 & 6 \\ 5 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 7 \end{matrix}|$ .
.
.

$A_{11} = |\begin{matrix} - 2 & 3 \\ 1 & 7 \end{matrix}| = - 14 - 3 = - 17$ .
.
.
$A_{21} = - |\begin{matrix} 4 & 6 \\ 1 & 7 \end{matrix}| = - (28 - 6) = - 22$ .
.
$det A = - 17 - 5 * 22 = - 127$

.
0/15/1/1/2

0/15/1/2

16.2.3 Determinanten höherer Ordnung

0/15/1/2/0

Für (quadratische!) $n x n$ -Matrizen können Determinanten n-ter Ordnung entsprechend angegeben werden:

$D = det A = |\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & … & a_{n n} \end{matrix}|$

.

Die o.a. Rechenregeln für Determinanten gelten entsprechend.

Die Determinante kann man nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz einer $n x n$ -Matrix durch Entwickeln nach einer Zeile oder Spalte berechnen: .
.
$D = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} \cdot A_{i k}$ oder $D = \sum_{i = 1}^{n} a_{i k} \cdot A_{i k}$ . .
.
Die $A_{i k}$ sind die algebraischen Komplemente von $a_{i k}$ in $D$ : $A_{i k} = {(- 1)}^{i + k} \cdot D_{i k}$

Vorgehen bei der Bestimmung einer n-reihigen Determinante:

1.: Man versucht, mit Hilfe elementarer Umformungen zunächst die Elemente einer Zeile (oder Spalte) bis auf eines (oder wenigen) auf Null zu bringen.
2.: Durch Entwicklung nach diesen Elementen erhält man eine (n-1)-reihige Unterdeterminante.
3.: Dies wird solange wiederholt, bis man z.B. 3-reihige Determinanten nach der Regel von Sarrus bestimmen kann. .

0/15/1/2/1 .
Beispiel 16 - 147

$det A = |\begin{matrix} 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & - 3 & 2 \\ 0 & - 1 & 2 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & 0 \end{matrix}| =$ .
.

det A = |\begin{matrix} 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & - 3 & 2 \\ 0 & - 1 & 2 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & 0 \end{matrix}|

.
.
Zuerst das Doppelte von Zeile 4 zur Zeile 1 addieren: .
.

|\begin{matrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & - 3 & 2 \\ 0 & - 1 & 2 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & 0 \end{matrix}|

.
.
Dann enthät die Zeile 1 nur ein Element, nach dem entwickelt wird: .
.

det A = 4 \cdot |\begin{matrix} 1 & - 3 & 2 \\ - 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 0 & 0 \end{matrix}| = 4 \cdot 7 = 28

.
0/15/1/2/2 .

0/15/1/2/3 .
Beispiel 16 - 148
$det A = |\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & - 1 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & - 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & - 2 & 1 & 2 & 2 \end{matrix}| =$
.
.

Zur vierten Spalte addieren wir das Doppelte der zweiten Spalte : .
.

det A = |\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & - 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 4 & 3 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 & 2 \end{matrix}|

.
.
Zur zweiten Spalte addieren wir die erste Spalte : .
.

det A = |\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 0 & - 3 & 1 \\ 1 & 3 & 0 & 4 & 3 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 & 2 \end{matrix}|

.
.
Die erste Zeile hat nur noch einen von Null verschiedenen Wert in Spalte 1. Deshalb entwickeln wir nach der 1. Zeile: .
.

det A = - 1 \cdot |\begin{matrix} 2 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & - 3 & 1 \\ 3 & 0 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & - 2 & 2 \end{matrix}| =

.
.
Von der vierten Zeile subtrahieren wir die erste Zeile: .
.

det A = - 1 \cdot |\begin{matrix} 2 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & - 3 & 1 \\ 3 & 0 & 4 & 3 \\ - 4 & 0 & - 5 & - 2 \end{matrix}|

.
.
In der zweiten Spalte ist nur noch das erste Element verschieden von Null, daher entwickeln wir nach der 2. Spalte: .

det A = - 1 \cdot - 1 \cdot |\begin{matrix} 1 & - 3 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \\ - 4 & - 5 & - 2 \end{matrix}| = - 8 + 36 - 15 + 16 + 15 - 18 = 26

.
0/15/1/2/4 .

0/15/1/3

16.2.4 Lösbarkeit von Gleichungssystemen

0/15/1/3/0

Bei der Lösbarkeit von Gleichungssystemen gibt es die drei Fälle:
Ein Gleichungssystem hat

$\}$

eine oder keine oder unendlich viele

Lösungen. .
.
Mit Hilfe des Rangs einer Matrix (s.u.) läßt sich eine Angabe über die Lösbarkeit machen:

0/15/1/3/1

PICT

Abbildung 8: Lösbarkeit eines LGS anhand des Rangs

0/15/1/3/2

.
.

Neben dem Rang $R g ()$ einer Matrix ist es hilfreich zu wissen, was eine

reguläre
singuläre
inverse
orthogonale

Matrix ist.

0/15/1/4

16.2.5 Reguläre Matrix

Eine n-reihige, quadratische Matrix $A$ heißt regulär, wenn ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert besitzt. Anderenfalls heißt sie singulär. .
Beispiel 16 - 149:
Die Matrix .
$A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ - 1 & 4 & 1 \\ - 2 & 1 & 2 \end{matrix})$
.

ist regulär, da ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert (21) besitzt.

Die Matrix .

$A = (\begin{matrix} - 4 & 2 \\ 6 & - 3 \end{matrix})$
.

ist singulär, da ihre Determinante den Wert Null besitzt.

0/15/1/5

16.2.6 Inverse Matrix

Wie bereits gezeigt, sind Matrixprodukte nicht kommutativ. Man kann jedoch auf beiden Seiten einer Gleichung eine Multiplikation mit der gleichen Matrix durchführen (Rechts- oder Links-Multiplikation).
Hat man speziell eine Matrixgleichung mit einer einreihigen, quadratischen Matrix $A$ $A X = E$ ( $E$ : Einheitsmatrix), so heißt $X$ die zu $A$ inverse Matrix und wird durch das Symbol $A^{- 1}$ dargestellt.

Nicht alle Matrizen sind invertierbar. .
Beispiel 16 - 149
$A = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix})$ .
.
Die Matrix $A$ müßte erfüllen: $A \cdot A^{- 1} = E$
.

$A \cdot A^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) = E = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) =$ $(\begin{matrix} a_{11} + a_{21} & a_{12} + a_{22} \\ 2 a_{11} + 2 a_{21} & 2 a_{12} + 2 a_{22} \end{matrix})$ .
.
Gleichheit der Matrizen würde bedeuten: .
.
$1 = a_{11} + a_{21}$ .
$0 = 2 a_{11} + 2 a_{21} ☈$ .
Hätten wir die Determinante zur Lösung des Gleichungssystems verwendet, stünde im Nenner Null. .

.

Eine quadratische Matrix hat (wenn überhaupt) genau eine Inverse.
Besitzt eine Matrix $A$ eine inverse MAtrix $A^{- 1}$ , so heißt $A$ invertierbar. Die (ebenso n-rehige) Matrix $A^{- 1}$ wird auch Umkehrmatrix , Kehrmatrix oder Inverse von $A$ bezeichnet.
Es gilt: $A \cdot A^{- 1} = A^{- 1} \cdot A = E$ , .
d.h. $A$ und $A^{- 1}$ sind kommutativ.

Berechnung der inversen Matrix unter Verwendung von Unterdeterminanten
Für eine reguläre n-reihige (quadratische) Matrix $A$ kann man mit Hilfe von Unterdeterminanten die Inverse $A^{- 1}$ wie folgt berechnen:

$A^{- 1} = \frac{1}{det A} \cdot (\begin{matrix} A_{11} & A_{21} & … & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & … & A_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{1 n} & A_{2 n} & … & A_{n n} \end{matrix})$ .
.

$☈$ Man beachte die Reihenfolge der Indizes !

$A_{k i} = A_{i k}^{T}$ $A_{i k}$ ist das algebraische Komplement, also die mit dem Vorzeichenfaktor ${(- 1)}^{i + k}$ versehene Unterdeterminante $D_{i k}$ : $A_{i k} = {(- 1)}^{i + k} \cdot D_{i k}$

Nachteil des Verfahrens ist der hohe Rechenaufwand bei größeren Matrizen.

Stattdessen wird eine Matrix häufig nach dem Gaußschen Algorithmus (Gauß-Jordan-Verfahren) invertiert. Hierbei bildet man aus einer Matrix $A$ und einer n-reihigen Einheitmatrix eine erweiterte Matrix

$(A | E) = (\underset{A}{\underset{︸}{\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & … & a_{m n} \end{matrix}}} \underset{E}{\underset{︸}{\begin{matrix} 1 & 0 & … & 0 \\ 0 & 1 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & … & 1 \end{matrix}}})$ .

Mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen wird diese Matrix so umgeformt, daß auf der linken Seite die Einheitsmatrix steht. Auf der rechten Seite steht dann die Inverse:

$(\underset{E}{\underset{︸}{\begin{matrix} 1 & 0 & … & 0 \\ 0 & 1 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & … & 1 \end{matrix}}} \underset{B = A^{- 1}}{\underset{︸}{\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & … & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & … & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{m 1} & b_{m 2} & … & b_{m n} \end{matrix}}}) = (E | A^{- 1})$ .
.
0/15/1/6 .
Beispiel 16 - 150

$A = (\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ - 8 & 4 & 1 \\ - 2 & 1 & 0 \end{matrix})$ . .
.
.
$()$

=.
.
.

(\underset{A}{\underset{︸}{\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ - 8 & 4 & 1 \\ - 2 & 1 & 0 \end{matrix}}}| \underset{E}{\underset{︸}{\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}}}) \begin{matrix} t a u s c h e n \\ t a u s c h e n \end{matrix}

$(\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ - 2 & 1 & 0 \\ - 8 & 4 & 1 \end{matrix}| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) \begin{matrix} - 4 \cdot I I \end{matrix}$ .
.
$(\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 4 \end{matrix}) \begin{matrix} + I I I \end{matrix}$ .
.

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}| \begin{matrix} 1 & 1 & - 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 4 \end{matrix}) \begin{matrix} + 2 \cdot I \end{matrix}$ .
.
Dies führt zu: .
.
$(|$

100 0 1 0 001

︸E

11-4 22-7 01-4

︸A-1 =

EA-1

.
.
Die inverse Matrix

A^{- 1}

lautet damit: .
.

A^{- 1} = ()

11-4 22-7 01-4

.
0/15/1/7

0/15/1/8

16.2.7 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/15/1/9

16.2.8 Orthogonale Matrix

0/15/1/9/0

Ensteht aus dem Produkt einer n-reihigen Matrix $A$ und ihrer Transponierten $A^{- 1}$ eine Einheitsmatrix
$A \cdot A^{T} = E$ ,
so heißt die Matrix $A$ orthogonal.
Es gilt: .
$det (A \cdot A^{T}) = det (A) \cdot \underset{det A}{\underset{︸}{(det (A^{T}))}} = {(det A)}^{2} = det E = 1$ . .
.
Damit ist
$det A = 1$ oder $det A = - 1$ .
Dann gilt auch:
$A \cdot A^{- 1} = A^{- 1} \cdot A = E$ .
Multipliziert man nun auf beiden Seiten von links mit der inversen Matrix $A^{- 1}$ , so erhält man:
$A^{- 1} \cdot (A \cdot A^{T}) = A^{- 1} \cdot E$ und weiter

$A^{- 1} \cdot (A \cdot A^{T}) = \underset{E}{\underset{︸}{(A^{- 1} \cdot A)}} \cdot A^{T} = E \cdot A^{T} = A^{T}$
$A^{- 1} \cdot E = A^{- 1}$
Damit ist $A^{T} = A^{- 1}$ .
.
Das heißt, eine Orthogonale Matrix geht bei der Transposition in ihre inverse über. Dann gilt auch:
$A \cdot A^{T} = A^{T} \cdot A = E$ .

Eigenschaften einer orthogonalen Matrix

1.: Die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren einer orthogonalen Matrix $A$ bilden ein orthonormiertes System, stellen also zueinander orthogonale Einheitsvektoren dar (daher auch ihr Name)
2.: Die Determinante einer orthogonalen Matrix $A$ besitzt den Wert $+ 1$ oder $- 1$ :
$det A = \pm 1$
Eine orthogonale Matrix ist daher stets regulär (der Umkehrschluß darf daraus nicht gezogen werden).
3.: Bei einer orthogonalen Matrix $A$ sind die Transponierte $A^{T}$ und die Inverse $A^{- 1}$ identisch: .
$A^{T} = A^{- 1}$ .

Beispiel für eine orthogonale Matrix: 0/15/1/9/1 .
Beispiel 16 - 151
$A = (\begin{matrix} \frac{1}{2} \sqrt{2} & 0 & - \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ \frac{1}{2} \sqrt{2} & 0 & \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix})$ .
.
Mit $A^{T} = A^{- 1}$ muss gelten: .
.
$A \cdot A^{T} = E$ .

A \cdot A^{T} = (\begin{matrix} \frac{1}{2} \sqrt{2} & 0 & - \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ \frac{1}{2} \sqrt{2} & 0 & \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} \frac{1}{2} \sqrt{2} & \frac{1}{2} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ - \frac{1}{2} \sqrt{2} & \frac{1}{2} \sqrt{2} & 0 \end{matrix}) =

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = E

.
0/15/1/9/2

0/15/1/10

16.2.9 Rang einer Matrix

0/15/1/10/0

Zunächst wird der Begriff der Unterdeterminante auf nicht quadratische Matrizen ausgedehnt, indem man einfach eine oder mehrere Zeilen oder Spalten streicht, bis man eine quadratische pxp-Matrix erhält, von der dann die Unter-Determinante p-ter Ordnung gebildet werden kann.

Beispiel 16 - 152:

$A = (\begin{matrix} 2 & 1 & - 4 \\ 0 & 8 & 3 \end{matrix})$
.

hat die Unterdeterminanten .
.
$|\begin{matrix} 1 & - 4 \\ 8 & 3 \end{matrix}| = 35$ , $|\begin{matrix} 2 & - 4 \\ 0 & 3 \end{matrix}| = 6$ und $|\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 8 \end{matrix}| = 16$ ,
.

aber auch sechs einreihige Unterdeterminanten:

$|3| = 3$ , $|8| = 8$ , $|0| = 0$ , $|- 4| = - 4$ , $|1| = 1$ , $|2| = 2$ .

Bildet man nun von einer Matrix alle möglichen Unterdeterminanten und betrachtet beginnend von der höchsten Ordnung deren Werte, so ergibt die Ordnung der ersten Determinante, die verschieden von Null ist, den Rang dieser Matrix.

$\Rightarrow$ Der Rang einer Matrix ist die höchste Ordnung aller von Null verschiedenen Unterdeterminanten von A.

Bestimmung des Rangs einer Matrix $A_{m n}$ :
Ist $m \leq n$ , vertauscht man einfach m und n.
Der Rang der Matrix ist höchstens n.

1.: man beginnt mit der höchsten Ordnung m
2.: man bildet die Unterdeterminanten der Ordnung m
3.: Ist eine dieser Unterdeterminanten verschieden von Null ?
Wenn ja, $\Rightarrow r g (A_{m n}) = m \Rightarrow$ Ende
4.: anderenfalls reduziert man $m$ um 1 und geht zu Schritt 2

.
Alternativ: .
Man formt die Matrix um in Richtung Dreiecksgestalt. Die Anzahl der Nicht-Nullzeilen gibt den Rang der Matrix an. .
.
Der Rang einer Matrix $A$ ändert sich bei den folgenden Umformungen nicht:

1.: Vertauschen zweier Zeilen (oder Spalten)
2.: Multiplikation oder Division einer Zeile oder Spalte mit einer beliebigen, von Null verschiedenen Zahl
3.: Addition eines Vielfachen einer anderen Zeile oder Spalte zu einer Zeile bzw. Spalte.

0/15/1/10/1 .
Beispiel 16 - 152
Rang der Matrix .
$A_{23} = (\begin{matrix} 7 & 4 & 9 \\ 7 & 3 & 0 \end{matrix})$ .
.

A_{23} = (\begin{matrix} 7 & 4 & 9 \\ 7 & 3 & 0 \end{matrix}) \Rightarrow m = 2

n = 3

.

Wegen m = 2 ist

R g (A) \leq 2

.

Prüfen, ob

R g A = 2

: Finde eine Unterdeterminante

U

mit

d e t U \neq 0

det (\begin{matrix} 4 & 9 \\ 3 & 0 \end{matrix}) = 4 \cdot 0 - 9 \cdot 3 = - 27 \neq 0

\Rightarrow R g (A) = 2

.
.
Alternativ: .

A_{23} = (\begin{matrix} 7 & 4 & 9 \\ 7 & 3 & 0 \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} 7 & 4 & 9 \\ 0 & - 1 & - 9 \end{matrix})

\Rightarrow R g (A) = 2

.
0/15/1/10/2

0/15/1/10/3 .
Beispiel 16 - 153
Rang der Matrix .

$A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & - 1 & 1 & 3 \\ 1 & - 2 & 0 & 3 \end{matrix})$ .
.

Erster Versuch: Streichen der ersten Spalte: .
.

|\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 3 \\ - 2 & 0 & 3 \end{matrix}| = 0

.

Zweiter Versuch: Streichen der zweiten Spalte: .

$|\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \end{matrix}| = 0$ .

Dritter Versuch: Streichen der dritten Spalte: .
$|\begin{matrix} 1 & 10 \\ 2 & - 13 \\ 1 & - 2 & 3 \end{matrix}| = 0$ .

Vierter Versuch: Streichen der vierten Spalte: .
$|\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 0 \end{matrix}| = 0$ .

Der Rang kann höchstens noch zwei sein. Erste Zeile und erste und beide Spalte streichen ergibt .
.
$|\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 3 \end{matrix}| = 3 \neq 0$ .

Der Rang ist also $r g = 2$ . .
.
Alternativ: .
.
$(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & - 1 & 1 & 3 \\ 1 & - 2 & 0 & 3 \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & - 1 & 3 \\ 0 & - 3 & - 1 & 3 \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & - 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})$ .
.
$r g (A) = 2$

.
0/15/1/10/4 Man kann zeigen: .
Für jede Matrix

A

ist die maximale Anzahl unabhängiger Zeilenvektoren gleich der Anzahl unabhängiger Spaltenvektoren. Diese maximale Anzahl heißt Rang einer Matrix

r g (A)

0/15/1/11

16.2.10 Anwendungen auf Lineare Gleichungssysteme

Wie bereits gezeigt, kann das lineare Gleichungssystem geschrieben werden als $A \cdot \vec{x} = \vec{c}$ mit den Koeffizienten $a_{i k}$ und den Absolutgliedern (Konstanten): $c_{i}$ .
$A \cdot \vec{x} = \vec{c} \Rightarrow$

$a_{11} \cdot x_{1}$	$+ a_{12} \cdot x_{2}$	$+ a_{13} \cdot x_{3}$	$\dots$	$+ a_{1 n} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{1}$
$a_{21} \cdot x_{1}$	$+ a_{22} \cdot x_{2}$	$+ a_{23} \cdot x_{3}$	$\dots$	$+ a_{2 n} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{2}$
$a_{31} \cdot x_{1}$	$+ a_{32} \cdot x_{2}$	$+ a_{33} \cdot x_{3}$	$\dots$	$+ a_{3 n} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{3}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$ $⋮$ $⋮$	$⋮$		$⋮$

$\Rightarrow$	$A \cdot \vec{x}$	$=$	$\vec{c}$	mit $\vec{x} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \end{matrix})$	und $\vec{c} = (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \\ ⋮ \end{matrix})$

.
.
Das lineare Gleichungssystem heißt homogen, wenn

\vec{c} =

ist, d.h. wenn alle Absolutglieder verschwinden:

A \cdot \vec{x} = \vec{0}

.
Ist mindestens ein Absolutglied von Null verschieden, so ist das Gleichungssystem inhomogen. .
Für

n = m

hat man ein quadratisches Gleichungssystem vor sich.

0/15/1/12

16.2.11 Lösungsverhalten eines linearen (m,n)-Gleichungssystems

0/15/1/12/0

Das Lösungsverhalten eines linearen (m,n)-Gleichungssystems wird durch die Homogenität/Inhomogenität des Gleichungssystems entscheidend geprägt:

1.: Inhomogenes lineares Gleichungssystem $A \cdot \vec{x} = \vec{c}$
Das System besitzt entweder genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen oder überhaupt keine Lösung.
2.: Homogenes lineares Gleichungssystem $A \cdot \vec{x} = \vec{0}$
Das System besitzt entweder genau eine Lösung, nämlich die triviale Lösung $\vec{x} = 0$ , oder unendlich viele Lösungen (darunter die triviale Lösung).

Ein gegebenes Gleichungssystem

$a_{11} \cdot x_{1}$	$+ a_{12} \cdot x_{2}$	$+ a_{13} \cdot x_{3}$	$\dots$	$+ a_{1 n} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{1}$
$a_{21} \cdot x_{1}$	$+ a_{22} \cdot x_{2}$	$+ a_{23} \cdot x_{3}$	$\dots$	$+ a_{2 n} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{2}$
$a_{31} \cdot x_{1}$	$+ a_{32} \cdot x_{2}$	$+ a_{33} \cdot x_{3}$	$\dots$	$+ a_{3 n} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{3}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$ $⋮$ $⋮$	$⋮$		$⋮$

kann man durch äquivalente Umformungen in ein gestaffeltes Gleichungssystem der Form

$a_{11}^{*} \cdot x_{1}$	$+ a_{12}^{*} \cdot x_{2}$	$+ \dots$	$+ a_{1 r}^{*} \cdot x_{r}$	$\dots$	$+ a_{1 n}^{*} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{1}^{*}$
	$+ a_{22}^{*} \cdot x_{2}$	$+ \dots$	$+ a_{2 r}^{*} \cdot x_{r}$	$\dots$	$+ a_{2 n}^{*} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{2}^{*}$
		$⋮$	$⋮$		$⋮$		$⋮$
			$+ a_{r r}^{*} \cdot x_{r}$	$\dots$	$+ a_{r n}^{*} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{r}^{*}$
					$0$	$=$	$c_{r + 1}^{*}$
					$0$	$=$	$c_{r + 2}^{*}$
					$⋮$		$⋮$
					$0$	$=$	$c_{m}^{*}$

überführen.

0/15/1/12/1

Abbildung 9: eine / unendlich viele / keine Lösungen

0/15/1/12/2

.
In Matrixschreibweise :
$A \cdot \vec{x} = \vec{c}$ wird durch äquivalente Umformungen in $A^{*} \cdot \vec{x^{*}} = \vec{c^{*}}$ überführt.
$\binom{A}{(A | \vec{c})}\} \to_{Z e i l e n u m f o r m u n g e n}^{e l e m e n t a r e} \{\binom{A^{*}}{(A^{*} | \vec{c^{*}})}$

.

Damit das Gleichungssystem lösbar ist, muss die erweiterte Koeffizientenmatrix $(A^{*} | \vec{c^{*}})$ die spezielle Form

$(A^{*} | \vec{c^{*}}) = (\underset{A^{*}}{\underset{︸}{\begin{matrix} a_{11}^{*} & ^{*} a_{12} & … & a_{1 r}^{*} & … & a_{1 n}^{*} \\ 0 & ^{*} a_{22} & … & a_{2 r}^{*} & … & a_{2 n}^{*} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & … & a_{r r}^{*} & … & a_{r n}^{*} \\ 0 & 0 & … & 0 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & … & 0 & … & 0 \end{matrix}}} \underset{\vec{c^{*}}}{\underset{︸}{\begin{matrix} c_{1}^{*} \\ c_{2}^{*} \\ ⋮ \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}}})$ .
.
annehmen.
Sowohl die Matrizen $a^{*}$ als auch $(A^{*} | \vec{c^{*}})$ sind von trapezförmiger Gestalt und enthalten in den letzten (m-r) Zeilen nur Nullen. Sie stimmen daher mit ihrem Rang überein:

$R g (A^{*}) = R g (A^{*} | c^{*}) = r$ .

Da die erweiterten Matrizen $(A | c)$ und $(A^{*} | c^{*})$ durch äquivalente Umformungen / elementare Zeilenumformungen ineinander übergegangen sind, sind die korrespondierenden Matrizen ebenso ranggleich.

Dann gilt jedoch:

Ein lineares (m,n)-System $A \cdot \vec{c} = \vec{c}$ ist nur dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatric $A$ mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix $(A | c)$ übereinstimmt:

$R g (A) = R g (A | c) = r$ ( $r \leq m; r \leq n)$

Fallunterscheidungen

1.

Fall:

r = n

Das gestaffelte System

A^{\cdot} \vec{x} = \vec{c^{*}}

besitzt für r =n die quadratische Form:

$a_{11}^{*} \cdot x_{1}$	$+ a_{12}^{*} \cdot x_{2}$	$+ \dots$	$+ a_{1 n}^{*} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{1}^{*}$
	$+ a_{22}^{*} \cdot x_{2}$	$+ \dots$	$+ a_{2 n}^{*} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{2}^{*}$
			⋮		⋮
			$a_{n n}^{*} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{n}^{*}$

In Matrixschreibweise :

$(A^{*} | \vec{c^{*}}) = (\underset{A^{*}}{\underset{︸}{\begin{matrix} a_{11}^{*} & ^{*} a_{12} & … & a_{1 n}^{*} \\ 0 & ^{*} a_{22} & … & a_{2 n}^{*} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & … & a_{n n}^{*} \end{matrix}}} \underset{\vec{c_{n}^{*}}}{\underset{︸}{\begin{matrix} c_{1}^{*} \\ c_{2}^{*} \\ ⋮ \\ c_{n}^{*} \end{matrix}}})$ .
.
Nun kann man durch Rückwärtseinsetzen die Werte für $\vec{x}$ bestimmen. Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung

2.

Fall:

r < n

Das gestaffelte System

A^{*} \cdot \vec{x} = \vec{c^{*}}

hat rechteckige Gestalt für

r < n

$a_{11}^{*} \cdot x_{1}$	$+ a_{12}^{*} \cdot x_{2}$	$+ \dots$	$+ a_{1 r}^{*} \cdot x_{r}$	$\dots$	$+ a_{1 n}^{*} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{1}^{*}$
	$+ a_{22}^{*} \cdot x_{2}$	$+ \dots$	$+ a_{2 r}^{*} \cdot x_{r}$	$\dots$	$+ a_{2 n}^{*} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{2}^{*}$
			$⋮$	⋮			⋮
			$a_{r r}^{*} \cdot x_{r}$	$\dots$	$+ a_{r n}^{*} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{r}^{*}$

.
.
Damit haben wir mehr Unbekannte als Gleichungen:

n > r

. Davon sind

n - r

der Unbekannten, z.B.

x_{r + 1}, x_{r + 2}, \dots, x_{n}

frei wählbare Größen (Parameter).
Durch Rückwärtseinsetzen erhält man die unendlich vielen Lösungen des gestaffelten Systems, die dann durch die Parameter ausgedrückt werden.

Zusammenfassung: Ein Lineares Gleichungssystem ist nur lösbar, wenn Koeffzientematrix $A$ und erweiterte Matrix $(A | c)$ ranggleich sind:

$R g (A) = R g (A | c) = r$

Im Falle der Lösbarkeit besitzt das lineare Gleichungssystem die folgende Lösungsmenge:
Für $r = n$ : Genau eine Lösung
Für $r < n$ : Unendlich viele Lösungen

In einem homogenen System $A \cdot \vec{x} = \vec{0}$ ist die Lösbarkeitsbedingung $R g (A) = R g (A | c)$ stets erfüllt.

Abbildung 10: Lösbarkeit von Gleichungssystemen

0/15/1/12/3 .
Beispiel 16 - 154
Das Gleichungssystem

$3 x_{1}$	$-$	$4 x_{2}$	$=$	$2$
$- x_{1}$	$+$	$5 x_{2}$	$=$	$4$
$5 x_{1}$	$+$	$2 x_{2}$	$=$	$12$

ist nicht lösbar: Der Rang der Koeffizientenmatrix .
.

A (\begin{matrix} 3 & - 4 \\ - 1 & 5 \\ 5 & 2 \end{matrix})

beträgt 2, da z.B. die Determinante .

|\begin{matrix} - 1 & 5 \\ 5 & 2 \end{matrix}| = - 27 \neq 0

.

Die Erweiterte Koeffizientenmatrix

(A | c)

ist quadratisch und sogar regulär: .

det (A | c) = |\begin{matrix} 3 & - 4 & 2 \\ - 1 & 5 & 4 \\ 5 & 2 & 12 \end{matrix}| = - 26 \neq 0

.

Damit ist

r g (A | c) \neq r g (A)

, das Gleichungssystem ist nicht lösbar. .

.
0/15/1/12/4 .

0/15/1/12/5 .
Beispiel 16 - 155
Das Gleichungssystem

$4 x_{1}$	$-$	$x_{2}$	$-$	$x_{3}$	$=$	$6$
$x_{1}$			$+$	$2 x_{3}$	$=$	$0$
$- x_{1}$	$+$	$2 x_{2}$	$+$	$2 x_{3}$	$=$	$2$
$3 x_{1}$	$-$	$x_{2}$			$=$	$3$

hat genau eine Lösung: .

$(A | c) = (\begin{matrix} 4 & - 1 & - 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ - 1 & 2 & 2 \\ 3 & - 1 & 0 \end{matrix}| \begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) \begin{matrix} t a u s c h e n \\ t a u s c h e n \end{matrix} \Rightarrow$ .

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 4 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & 2 \\ 3 & - 1 & 0 \end{matrix}| \begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) \begin{matrix} - 4 \cdot I \\ + I \\ - 3 \cdot I \end{matrix} \Rightarrow$ .

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & - 1 & - 9 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & - 1 & - 6 \end{matrix}| \begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) \begin{matrix} + 2 \cdot I I \\ - I I \end{matrix} \Rightarrow$ .

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & - 1 & - 9 \\ 0 & 0 & - 14 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}| \begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 14 \\ - 3 \end{matrix}) \begin{matrix} ∕ 14 \\ ∕ 3 \end{matrix} \Rightarrow$ .

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & - 1 & - 9 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}| \begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) \begin{matrix} + I I I \end{matrix} \Rightarrow$ .

$\underset{A^{*}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & - 1 & - 9 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|}} \underset{c^{*}}{\underset{︸}{\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})}} = (A^{*} | c^{*})$ .
Daraus folgt: $r g (A) = r g (A^{*}) = 3, r g (A | c) = r g (A^{*} | c^{*}) = 3$ . .
Aus dem gestaffelten System kann man das Ergebnis ablesen: .
$x_{3} = - 1$ .
$- x_{-} 2 - 9 x_{3} = 6 \Rightarrow x_{2} = 3$ .
$x_{1} + 2 x_{3} = 0 \Rightarrow x_{1} = 2$ . .

.
0/15/1/12/6 .

0/15/1/12/7 .
Beispiel 16 - 156
Das Gleichungssystem

$x_{1}$	$+$	$x_{2}$	$+$	$x_{3}$	$+$	$3 x_{4}$	$=$	$0$
		$2 x_{2}$			$+$	$2 x_{4}$	$=$	$5$
$- x_{1}$	$-$	$x_{2}$	$-$	$2 x_{3}$	$-$	$2 x_{4}$	$=$	$4$
$2 x_{1}$	$+$	$4 x_{2}$	$+$	$2 x_{3}$	$+$	$8 x_{4}$	$=$	$5$

.
ist lösbar und hat unendlich viele Lösungen: .

$(A | c) = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ - 1 & - 1 & - 2 & - 2 \\ 2 & 4 & 2 & 8 \end{matrix}| \begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}) \begin{matrix} + I \\ - 2 \cdot I \end{matrix} \Rightarrow$ .

$(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{matrix}| \begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}) \begin{matrix} - I I \end{matrix} \Rightarrow$ .

$\underset{A^{*}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}|}}$ $\underset{c^{*}}{\underset{︸}{\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})}} = (A^{*} | c^{*})$ .

Daraus folgt: $r g (A) = r g (A^{*}) = 3, r g (A | c) = r g (A^{*} | c^{*}) = 3$ . .
Da $- r = 4 - 3 = 1$ , besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. .

.
0/15/1/12/8

0/15/1/13

16.2.12 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/15/1/14

16.2.13 Lösung linearer Gleichungssysteme mit der Cramer’schen Regel

0/15/1/14/0

Ein lineares (n,n)-Gleichungssystem $A \cdot \vec{x} = \vec{c}$ besitzt genau eine Lösung, wenn die Koeffizientenmatrix $A$ regulär ist. Dann existiert auch die zu $A$ inverse Matrix $A^{- 1}$ , und die Lösung läßt sich wie folgt berechnen:
Man multipliziert die Matrizengleichung $A \cdot \vec{x} = \vec{c}$ von links mit $A^{- 1}$ :
$A^{- 1} \cdot A \cdot \vec{x} = A^{- 1} \cdot \vec{c}$

$A^{- 1} \cdot \vec{c} = A^{- 1} \cdot A \cdot \vec{x} = \underset{︸}{(A^{- 1} \cdot A)} E \cdot \vec{x} = E \cdot \vec{x} = \vec{x}$

Damit wird der Lösungsvektor

$\vec{x} = A^{- 1} \cdot \vec{c} = \frac{1}{det A} \cdot (\begin{matrix} A_{11} & A_{21} & … & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & … & a_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{1 n} & A_{2 n} & … & A_{n n} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ ⋮ \\ c_{n} \end{matrix})$

$= \frac{1}{det A} \cdot (\begin{matrix} c_{1} \cdot A_{11} & + c_{2} \cdot A_{21} & + … & + c_{n} \cdot A_{n 1} \\ c_{1} \cdot A_{12} & + c_{2} \cdot A_{22} & + … & + c_{n} \cdot A_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c_{1} \cdot A_{1 n} & + c_{2} \cdot A_{2 n} & + … & + c_{n} \cdot A_{n n} \end{matrix})$ ,
.

oder in komponentenweiser Darstellung:

$x_{1} = \frac{c_{1} A_{11} + c_{2} A_{21} + \dots + c_{n} A_{n 1}}{det A}$
$x_{2} = \frac{c_{1} A_{12} + c_{2} A_{22} + \dots + c_{n} A_{n 2}}{det A}$
⋮ ⋮
$x_{n} = \frac{c_{1} A_{1 n} + c_{2} A_{2 n} + \dots + c_{n} A_{n n}}{det A}$
.

Den Zähler kann man auch schreiben als Determinante:

$D_{1} = |\begin{matrix} c_{1} & a_{12} & a_{13} & … & a_{1 n} \\ c_{2} & a_{22} & a_{23} & … & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c_{n} & a_{n 2} & a_{n 3} & … & a_{n n} \end{matrix}|$ ,
.

was sich sofort verifizieren läßt, indem man einfach diese Determinante nach den Elementen der ersten Spalte entwickelt.
Mit der Vereinbarung $D = det A$ kann man dann vereinfacht schreiben:
$x_{1} = \frac{D_{1}}{D}, x_{2} = \frac{D_{2}}{D}, x_{3} = \frac{D_{3}}{D}$ bzw. $x_{i} = \frac{D_{i}}{D}$ ,
was als Cramer’sche Regel bekannt ist.

Die Cramer’sche Regel scheint zwar einfach anwendbar, ist aber in der Regel ineffizient, insbesondere bei größeren Zahlen von m und n. .
0/15/1/14/1 .
Beispiel 16 - 157
Das Gleichungssystem

$2 x_{1}$	$+$	$x_{2}$	$+$	$3 x_{3}$	$=$	$8$
$- x_{1}$	$-$	$4 x_{2}$	$+$	$x_{3}$	$=$	$3$
$x_{1}$	$+$	$2 x_{2}$	$-$	$4 x_{3}$	$=$	$1$

.
hat genau eine Lösung, da die Koeffizientendeterminante .

det A = |\begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ - 1 & - 4 & 1 \\ 1 & 2 & - 4 \end{matrix}| = 32 + 1 - 6 + 12 - 4 - 4 = 31 \neq 0

ist. .
.

Anwendung der Cramer’schen Regel: .

det D_{1} = |\begin{matrix} 8 & 1 & 3 \\ 3 & - 4 & 1 \\ 1 & 2 & - 4 \end{matrix}| = 155

$det D_{1} = |\begin{matrix} 2 & 8 & 3 \\ - 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 4 \end{matrix}| = - 62$ .

$det D_{1} = |\begin{matrix} 2 & 1 & 8 \\ - 1 & - 4 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}| = 0$ .

Daraus folgt: .
$x_{1} = \frac{D_{1}}{D} = \frac{155}{31} = 5$ .
.
$x_{2} = \frac{D_{2}}{D} = \frac{- 62}{31} = - 2$ .
.
$x_{1} = \frac{D_{3}}{D} = 0$ . .

.
0/15/1/14/2

0/15/1/15

16.2.14 Auswirkungen von Rundungsfehlern

Die bisher aufgeführten Verfahren

Gaußsches Verfahren
Gauß-Jordan-Verfahren
Cramer’sche Regel

bergen die Gefahr von Rundungsfehlern.
Beispiel 16 - 158:
Das Gleichungssystem

$\begin{matrix} x_{1} & + & x_{2} & = & 2 \\ x_{1} & + & 1, 0001 \cdot x_{2} & = & 2, 0001 \end{matrix}$

hat $(1, 1)$ als Lösung. Lag nun beispielsweise ein Rundungsfehler vor,

$\begin{matrix} x_{1} & + & x_{2} & = & 2 \\ x_{1} & + & 1, 0001 \cdot x_{2} & = & 2 \end{matrix}$ ,

erhält man als Lösung $(2, 0)$ , was deutlich von der ersten Lösung abweicht.
Sind die Rundungseffekte noch stärker,so erhält man

$\begin{matrix} x_{1} & + & x_{2} & = & 2 \\ x_{1} & + & x_{2} & = & 2 \end{matrix}$ ,

mit unendlich vielen Lösungen $(2 - λ, λ), λ \in R$ , was nochmals deutlich von der ersten Lösung abweicht.

Wenn sehr kleine Veränderungen der Werte solch große Auswirkungen auf die Lösungen haben, spricht man von einem schlecht konditioniertem Gleichungssystem.
Bei dem Gleichungssystem
$\begin{matrix} 0, 00001 \cdot x_{1} & + & x_{2} & = & 1 \\ x_{1} & + & x_{2} & = & 2 \end{matrix}$

tritt dies beispielsweise nicht auf, das Gleichungssystem ist gut konditioniert. Ein Runden ergibt
$\begin{matrix} x_{2} & = & 1 \\ x_{1} & + & x_{2} & = & 2 \end{matrix}$ ,

und man erhält als Lösung $(1, 1)$ . Bei Anwendung des Gauß-Verfahrens erhält man jedoch
$\begin{matrix} 0, 00001 \cdot x_{1} & + & x_{2} & = & 1 \\ - 9999 \cdot x_{2} & = & - 99998 \end{matrix}$

und daraus $x_{2} = 0, 99990$ . Rundet man diesen Wert auf 1, so ergibt sich aus der ersten Gleichung
$0, 0001 \cdot x_{1} + 1 = 1 \Rightarrow x_{1} = 0$ ,

also eine Lösung $(0, 1)$ und nicht $(1, 1)$ wie erwartet. Der Fehler ließe sich durch entsprechende Umstellung vermeiden, indem man z.B. die Variablen vertauscht:

$\begin{matrix} x_{2} & + & 0, 00001 \cdot x_{1} = & 1 \\ x_{2} & + & 1 \cdot x_{1} & = & 2 \end{matrix}$

was zu den Gleichungen führt:

$\begin{matrix} x_{2} & + & 0, 00001 \cdot x_{1} = & 1 \\ 0, 9999 \cdot x_{1} & = & 1 \end{matrix}$

und daraus nach Rundung das Ergebnis $(1, 1)$ . Indem man die Diagonalelemente durch Umstellung möglichst groß macht (Pivotisieren), läßt sich dieser Effekt meist reduzieren.

0/16

17 Anwendungen

0/16/0

17.1 Anwendungen in der Ökologie, Eigenwerte und Eigenvektoren

0/16/0/0

17.1.1 Markov-Ketten und Übergangsmatrizen

0/16/0/0/0

Beispiel 17 - 159: Sie wohnen auf einer recht einsamen Insel. Auf dieser Insel gibt es nur einen Getränkeanbieter mit zwei Getränkesorten $T$ und $K$ . Der Anbieter hat festgestellt, daß pro Jahr 15 % der $T$ -Konsumenten zu $K$ und 4 % von $K$ zu $T$ wechseln. .
Das Konsumentenverhalten kann man graphisch so darstellen: .
0/16/0/0/1

Abbildung 11: Wechselverhalten der Getränkekonsumenten

0/16/0/0/2 .
Bezeichnet man den Absatz des Getränks $K$ bzw. $T$ in diesem Jahr mit $k_{i}$ und im Folgejahr mit $k_{i + 1}$ bzw. $t_{i}$ und $t_{i + 1}$ , kann man die Gleichungen aufstellen: .
$\begin{matrix} k_{i + 1} & = & 0.85 \cdot k_{i} & + & 0.04 \cdot t_{i} \\ t_{i + 1} & = & 0.15 \cdot k_{i} & + & 0.96 \cdot t_{i} \end{matrix}$ .
.
Geht man über zur Matrixschreibweise, ergibt sich der Getränke-(Spalten-)vektor im Folgejahr als Produkt der Übergangsmatrix $M$ mit dem Getränke-(Spalten-)vektor des Vorjahres: .
.
#
Gi+1 = ki+1 ti+1 = 0.850.04 0.15 0.96 ⋅ki ti .
.
.

#
Gi+1 = M⋅ #
Gi . .

Für einen Anfangs-Absatz von .
.
#
G0 = k0 k0 = 2000 3000 .
.
Fässern erhält man im Folgejahr einen Verkauf von .
.
#G
1 = k1 t1 = 0.850.04 0.15 0.96 ⋅2000 3000 = 1820 3180 .
.
Fässern. .
.
Im Folgejahr (gleiches Wechselverhalten vorausgesetzt) ergibt sich ein Verkauf von .
.
#
G2 = k2 t2 = 0.850.04 0.15 0.96 ⋅1820 3180 = 1674 3326 .
.
Fässern. .
.

Interpretiert man den jährlichen Verkauf von Getränkefässern als Beobachtung und die Wechselraten als (feste) ’Wahrscheinlichkeiten’, so können wir bei bekannten Verkaufszahlen eines Jahres auf die Verkaufszahlen im Folgejahr schließen. .
Derartige Prognosemodelle, die mit der Verkettung von Wahrscheinlichkeiten operieren, nennt man Markoff’sche Ketten : Jede Beobachtung ist nur von einer oder von einer beschränkten Anzahl vorhergehender Beobachtungen abhängig. .

0/16/0/1

17.1.2 Leslie-Diagramme und Leslie-Matrizen

0/16/0/1/0

In Analogie zu obigem Getränkebeispiel soll die Populationsentwicklung einer Schwalbenherde betrachtet werden. Bekannt seien die (jährliche) Existenzwahrscheinlichkeit von Küken (K) $L_{11} = 0.75$ (im Folgejahr sind nur noch drei Viertel übrig) sowie Erwachsener (E) von $L_{22} = 0.6$ . Jährlich wird die Hälfte der Küken erwachsen ( $L_{21} = 0.5$ ), und jährlich gebären die erwachsenen Schwalben 1.3-fachen Nachwuchs ( $L_{12} = 1.3$ ). .
Im Leslie-Diagramm werden die Übergangswahrscheinlichkeiten an den Pfeilen eingetragen. Ist eine Übergangswahrscheinlichkeit Null, so kann der Pfeil weggelassen werden. .
0/16/0/1/1

Abbildung 12: Leslie-Diagramm

0/16/0/1/2 Nun seien in einem Bestand 30 Erwachsene und 60 Küken. Wie groß ist der Bestand nach einem bzw. 2 Jahren ? .
Derartige Übergangsmatrizen (sie sind analog zu oben) werden in der theoretischen Ökologie zur Beschreibung von Populationen genutzt und wurden von P. H. Leslie formuliert. Hat man Daten über $n$ Altersklassen, dann ist die Leslie-Matrix vomn Typ $n$ x $n$ . .
In unserem Beispiel lautet sie: .

$L = (\begin{matrix} L_{11} & L_{12} \\ L_{21} & L_{22} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0.75 & 1.3 \\ 0.5 & 0.6 \end{matrix})$ . .
.

#
Si+1 = ki+1 ei+1 = L⋅ #
Si .
#Si+1 = 0.751.3 0.5 0.6 ⋅ki e i = 0.751.3 0.5 0.6 ⋅60 30 = 84 48 . .

Für das Folgejahr ist die Population: .
.

#
Si+2 = ki+2 ei+2 = L⋅L⋅ #
Si = 125.4 70.8 ≈125 71 .
.

0/16/0/2

17.1.3 Eigenwerte und Eigenvektoren

Gegeben sei folgende Leslie-Matrix: .
.
$L = (\begin{matrix} 1.5 & 2 \\ 0.08 & 0 \end{matrix})$ . .
.
Für einen Populationsvektor .
#
Si = 10 10 .
ergibt sich im Folgejahr .

#S
i+1 = 250.8 .
.
Für einen anderen Populationsvektor .

#
Si = 20 1 .
.
ergibt sich im Folgejahr .

.
#Si+1 = 321.6 = 1.6⋅20 1 .
.
Das heißt, der Populationsvektor kann aus dem ursprünglichen Vektor durch Multiplikation .
mit 1.6 erzeugt werden. Wenn das Produkt einer Matrix $L$ mit einem Vektor #
s das Gleiche ergibt wie die Multiplikation des Vektors #
s mit einer Zahl $λ$ , nennen wir diesen Vektor Eigenvektor . Die Zahl $λ$ bezeichnet man als Eigenwert . .
Wie findet man die Eigenwerte und Eigenvektoren ? .
Wir gehen von folgendem Ansatz aus: $L \cdot$ #
s = λ⋅ #
s .
Ergänzt um die Einheitsmatrix $E$ .
$L \cdot$ = λ⋅E⋅ .
$L \cdot$ #
s -λ⋅E⋅ #
s = 0.
$(L - λ \cdot E) \cdot$ = 0.
Diese Gleichung ist für von Null verschiedene Vektoren #
s dann erfüllt, wenn .

$det L - λ \cdot E = 0$

$det (L - λ \cdot E) = det (\begin{matrix} 1.5 - λ & 2 \\ 0.08 & 0 - λ \end{matrix}) = (1.5 - λ) \cdot (- λ) - 0.08 \cdot 2 = λ^{2} - 1.5 \cdot λ - 0.16 = 0$ . .
.
Lösungen sind $λ_{1} = 1.6$ und $λ_{2} = - 0.1$ . .
Die Eigenvektoren erhält man nun, indem man das Gleichungssystem .
$L \cdot$ = λ⋅ jeweils für die Werte von $λ_{1}$ und $λ_{2}$ löst. .
Für $λ_{1} = 1.6$ ergibt sich: .
#
s = 20 1 .
.
.

Für $λ_{2} = - 0.1$ erhält man unendlich viele Lösungen: $0.8 \cdot s_{1} = s_{2}$ .
Sind nun die Populationsgrößen Eigenvektoren der Leslie-Matrizen, so kann man die Folgepopulationen einfach durch (ggf. mehrfache) Multiplikation des Eigenwerts mit dem Vektor bestimmen: .
#si+n = λn⋅ #si . .

0/16/1

17.2 Mischungen

0/16/1/0

17.2.1 Bestimmung von Zutatenmengen

0/16/1/0/0

Stellt man ein Gemisch her aus .
der Menge $x_{1}$ von der Komponente $A_{1}$ , .
der Menge $x_{2}$ von der Komponente $A_{2}$ , .
.............. .
der Menge $x_{k}$ von der Komponente $A_{k}$ , .
spricht man von einem Mischungsverhältnis $x_{1} : x_{2} : x_{3} : . . . . : x_{k}$ wenn man zuvor erst alle Zahlen $x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . . ., x_{k}$ mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert, sodaß sie alle ganzzahlig werden, und anschließend alle durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividiert. .
Beispiel 17 - 160: Eine Lösung habe die Komponenten A, B und C in den Mengen 15 ml, 30 ml und 45 ml. In ganzen Zahlen (multipliziert mit 100/ml): 15, 30 und 45. Dividiert durch den ggT 15 ergibt ein Mischungsverhältnis $1 : 2 : 3$ . .
.
Hat man nun verschiedene Lösungen bzw. Pulver mit verschiedenen Konzentrationen der Wirkstoffe, so stellt man zunächst die Summengleichung und danach die Bilanzgleichung je Wirkstoff auf. .
Beispiel 17 - 161: Gegeben seien drei Standardlösungen mit den Konzentrationen der Wirkstoffe A und B. Herauskommen soll eine Lösung der Menge L, bei denen die Konzentrationen vorgegeben sind: .
.


mol/l	$L_{1}$	$L_{2}$	$L_{3}$	L .

A	$A_{1}$	$A_{2}$	$A_{3}$	A .
B	$B_{1}$	$B_{2}$	$B_{3}$	B .

.
.
.
Mit diesen Vorgaben erhält man drei Gleichungen: .
.

Gesamtmengengleichung:	$x_{1} +$	$x_{2} +$	$x_{3} =$	$L$ .

Bilanzgleichung für A:	$A_{1} \cdot x_{1} +$	$A_{2} \cdot x_{2} +$	$A_{3} \cdot x_{3} =$	$A \cdot L$ .
Bilanzgleichung für B:	$B_{1} \cdot x_{1} +$	$B_{2} \cdot x_{2} +$	$B_{3} \cdot x_{3} =$	$B \cdot L$ .

.
.

Dieses Gleichungssystem kann man z.B. mit dem Gauß-Verfahren lösen. .
(Ein zuzugegebendes Lösungsmittel hat die Konzentration Null.) .
0/16/1/0/1 .
Beispiel 17 - 158
Gegeben sind vier Lösungen:
Die Lösung $L_{1}$ mit einem Wirkstoffgehalt A von $6 g ∕ l$ , einem Wirkstoffgehalt B von $7 g ∕ l$ und einem Wirkstoffgehalt C von $0, 3 g ∕ l$ ,
die Lösung $L_{2}$ mit einem Wirkstoffgehalt A von $7 g ∕ l$ , einem Wirkstoffgehalt B von $8 g ∕ l$ und einem Wirkstoffgehalt V von $0, 5 g ∕ l$ ,
die Lösung $L_{3}$ mit einem Wirkstoffgehalt A von $8 g ∕ l$ , einem Wirkstoffgehalt B von $9 g ∕ l$ und einem Wirkstoffgehalt C von $0, 6 g ∕ l$ und
die Lösung $L_{4}$ mit einem Wirkstoffgehalt A von $8 g ∕ l$ , einem Wirkstoffgehalt B von $10, 4 g ∕ l$ und einem Wirkstoffgehalt C von $0, 78 g ∕ l$ ,

Welche Mengen der vier Lösungen muss man einer Mischung zugeben, damit man $700 m l$ mit einem Wirkstoffgehalt A von $7, 5 g ∕ l$ , Wirkstoffgehalt B von $9 g ∕ l$ und einem Wirkstoffgehalt C von $0, 6 g ∕ l$ erhält ? .
.

Lösung :
.
Die Gesamt-Mengenbilanz lautet: .

L_{1} + L_{2} + L_{3} + L_{4} = L = 700

.
Wirkstoffgehalt A : .

6 \cdot L_{1} + 7 \cdot L_{2} + 8 \cdot L_{3} + 8 \cdot L_{4} = 7, 5 \cdot 700

.
Wirkstoffgehalt B: .

7 \cdot L_{1} + 8 \cdot L_{2} + 9 \cdot L_{3} + 10, 4 \cdot L_{4} = 9 \cdot 700

.
Wirkstoffgehalt C: .

0, 3 \cdot L_{1} + 0, 5 \cdot L_{2} + 0, 6 \cdot L_{3} + 0, 78 \cdot L_{4} = 0, 6 \cdot 700

.
Mit Maxima : .

m : m a t r i x ([1, 1, 1, 1], [6, 7, 8, 8], [7, 8, 9, 10.4], [0.3, 0.5, 0.6, 0.78]);

m : m a t r i x ([1, 1, 1, 1], [6, 7, 8, 8], [7, 8, 9, 10.4], [0.3, 0.5, 0.6, 0.78]);

l i n s o l v e_b y_l u (m, x c o l);

.
ergibt: .

[(\begin{matrix} 99.99999999999997 \\ 149.9999999999999 \\ 200.0000000000001 \\ 249.9999999999999 \end{matrix}), f a l s e]

Mit Maple : .
restart; .
$e q 1 : = l 1 + l 2 + l 3 + l 4 = 700$ .
$e q 2 : = 6 * l 1 + 7 * l 2 + 8 * l 3 + 8 * l 4 = 7.5 * 700$ .
$e q 3 : = 7 * w l + 8 * l 2 + 9 * l 3 + 10, 4 * l 4 = 9 * 700$ .
$e q 4 : = 0.3 * l 1 + 0.5 * l 2 + 0.6 * l 3 + 0.78 * l 4 = 0.6 * 700$ .
$s o l v e ({e q 1, e q 2, e q 3, e q 4}, {l 1, l 2, l 3, l 4})$ .
und man erhält: .
$\{l 1 = 100 . l 2 = 150 . l 3 = 200 . l 4 = 250 .\}$ . .

.
0/16/1/0/2 .
.
Bei der Aufstellung solcher Ansätze ist zu beachten, daß man bei

n

Wirkstofffen

n + 1

Lösungen (Bilanzgleichungen) benötigt. Es können hierbei Gleichungssysteme entstehen, die nicht lösbar oder unsinnig (z.B. negative Mengen) sind.

0/16/2

17.3 Produktionsprozesse

0/16/2/0

17.3.1 Matrizen zur Beschreibung von Produktionsprozessen

0/16/2/0/0

Nehmen wir an, daß in einer Fabrik n verschiedene Rohstoffe $r$ $r_{1}, r_{2}, . . ., r_{n}$ eingesetzt werden. Aus diesen Rohstoffen enstehen k Zwischenprodukte $e$ $e_{1}, e_{2}, e_{3}, . . . ., e_{n}$ . .
Dann kann die Herstellung in Matrixdarstellung beschrieben werden als .
$\vec{r} = A \cdot \vec{e}$ . .
Kennt man nun den Bedarf der einzelnen Endprodukte, so kann man über diese Gleichung den Rohstoffbedarf ermitteln. Kenn man umgekehrt den Rohstoffbestand, so kann man mittels der Inversen $A^{- 1}$ den Endproduktbestand bestimmen: .
$\vec{e} = A^{- 1} \cdot \vec{r}$ . .
Sind mehrere Fertigungsstrassen im Werk, so entspricht dies einfach einer Multiplikation der Produktionsmatrizen. .
0/16/2/0/1 .
Beispiel 17 - 159
In einem Pharmaziebetrieb werden vier Rohstoffe $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ und $r_{4}$ zu drei Zwischenprodukten $z_{1}$ , $z_{2}$ und $z_{3}$ verarbeitet. Aus diesen Zwischenprodukten entstehen in einem weiteren Prozess die drei Endprodukte $p_{1}$ , $p_{2}$ und $p_{3}$ .
Die Mengenverbräuche sind gegeben durch die Gleichungen

$r_{1}$	=	$z_{1}$			+	$z_{3}$
$r_{2}$	=	$2 z_{1}$	+	$z_{2}$	+	$z_{3}$
$r_{3}$	=		+	$z_{2}$	+	$z_{3}$
$r_{4}$	=	$z_{1}$	+	$z_{2}$	+	$2 z_{3}$

und

$z_{1}$	=	$p_{1}$	+	$2 p_{2}$	+	$p_{3}$
$z_{2}$	=	$2 p_{1}$	+	$3 p_{2}$	+	$p_{3}$
$z_{3}$	=	$4 p_{1}$	+	$2 p_{2}$	+	$2 p_{3}$

. .
Gesucht ist der Rohstoffbedarf, wenn 100 Einheiten von

p_{1}

, 80 Einheiten von

p_{2}

und 60 Einheiten von

p_{3}

hergestellt werden sollen. .

Lösung :
.
Schreibt man die beiden Gleichungssysteme in der Form

\vec{r} = A \cdot \vec{z}

und

\vec{z} = B \cdot \vec{p}

mit den Matrizen .
.

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix})

und

B = (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 2 \end{matrix})

, .
.
so gilt für die Gesamtproduktion

\vec{r} = A \cdot (B \cdot \vec{p}) = (A \cdot B) \cdot \vec{p}

. .
.

\vec{p} = (\begin{matrix} 100 \\ 80 \\ 60 \end{matrix})

. .
.

$A \cdot B = (\begin{matrix} 5 & 4 & 3 \\ 8 & 9 & 5 \\ 6 & 5 & 3 \\ 11 & 9 & 6 \end{matrix})$ . .
.
Damit wird der Rohstoffverbrauch .
.
$\vec{r} = (\begin{matrix} 5 & 4 & 3 \\ 8 & 9 & 5 \\ 6 & 5 & 3 \\ 11 & 9 & 6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 100 \\ 80 \\ 60 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1000 \\ 1820 \\ 1180 \\ 2180 \end{matrix})$

.
0/16/2/0/2

0/16/2/1

17.3.2 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/16/3

17.4 lineare Un-Gleichungssysteme

0/16/3/0

17.4.1 Lineare Optimierung

0/16/3/0/0

Unter dem Begriff Lineare Optimierung (oder auch Linearer Programmierung) versteht man die Maximierung (Minimierung) einer linearen Funktion unter Nebenbedingungen in Ungleichheitsform.
Beispiel (s. Sydsaeter, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler) :
Ein Bäcker hat 150 kg Mehl, 22 kg Zucker und 27,5 kg Butter zur Verfügung, um zwei Arten von Kuchen zu backen. Nehmen Sie an, daß für die Produktion eines Dutzends Kuchen der Sorte A bzw. B folgende Zutaten benötigt werden: .
.


Sorte	Mehl	Zucker	Butter

A	3	1.0	1
B	6	0.5	1

.
.
Die Erlöse: Ein Dutzend verkaufter Kuchen A ergibt 20 , ein Dutzend verkaufter Kuchen B ergibt 30 .
Wieviele Dutzend Kuchen der Sorten A (entspricht

x_{1}

) und B (entspricht

x_{2}

) maximieren nun den Erlös ?
Die Zielfunktion lautet:

max z = 20 x_{1} + 30 x_{2}

mit den Nebenbedingungen


$3 x_{1}$	+	$6.0 x_{2}$	$\leq$	$150.0$
$x_{1}$	+	$0.5 x_{2}$	$\leq$	$22.0$
$x_{1}$	+	$x_{2}$	$\leq$	$27.5$

.
und den Nicht-Negativitätsbedingungen

x_{1} \geq 0

und

x_{2} \geq 0

Graphisch: .

0/16/3/0/1

Abbildung 13: Lösungsraum der Ungleichung

0/16/3/0/2 .

Um die Ungleichungen besser verarbeiten zu können, werden Schlupfvariablen $y_{1} \geq 0$ , $y_{2} \geq 0$ und $y_{3} \geq 0$ eingeführt:


( $I_{1}$ )	$y_{1}$	$+$	$3 x_{1}$	$+$	$6.0 x_{2}$	$=$	$150.0$
( $I I_{1}$ )	$y_{2}$	$+$	$x_{1}$	$+$	$0.5 x_{2}$	$=$	$22.0$
( $I I I_{1}$ )	$y_{3}$	$+$	$x_{1}$	$+$	$x_{2}$	$=$	$27.5$

.
Die Schlupfvariable

y_{1}

sagt z.B. aus, wieviel kg Mehl nicht verbraucht wurde.
Das Gleichungssystem hat 3 Zeilen und 5 Variablen. Entsprechend sind 2 Variablen frei wählbar.
Das Prinzip des Simplex-Verfahrens besteht darin, ausgehend von einem Eckpunkt (einer Basislösung) zu einem weiteren Eckpunkt (ebenso eine Basislösung) und damit zu immer größeren Werten von z zu gelangen, bis ein weiteres Anwachsen nicht mehr möglich ist.

Die entsprechenden Schritte in diesem Beispiel sind:

1.

Erste zulässige Basislösung:

x_{1} = 0

x_{2} = 0

y_{1} = 150

y_{2} = 22

y_{3} = 27.5

ergibt

z = 0

2.

Verbesserung durch zunächst Festhalten von

x_{1} = 0

und Vergrößerung von

x_{2}

, da Zielfunktion dadurch am stärksten steigt:
Hierbei entstehen die Folgefragen:
a) Um wieviel kann

x_{2}

von 0 aus erhöht werden ?
b) Welche der Variablen

y_{1}

y_{2}

oder

y_{3}

sollen wir auf 0 setzen ?
Mit dem Versuch

y_{1} = 0

folgt aus (

I_{1}

), daß

x_{2} = 25

.
Mit dem Versuch

y_{2} = 0

folgt aus (

I I_{1}

), daß

x_{2} = 44

.
Mit dem Versuch

y_{3} = 0

folgt aus (

I I I_{1}

), daß

x_{2} = 27.5

. .
Damit ist der kritische Punkt in Gleichung (I), denn mit

x_{2} > 25

wird

y_{1} < 0

x_{2}

hat damit als Obergrenze den Wert 25.
Wir setzen also

x_{2} = 25

und damit

y_{1} = 0

3.

Neue Werte:

x_{1} = 0

x_{2} = 25

y_{1} = 0

y_{2} = 9.5

y_{3} = 2.5

ergibt

z = 750

4.

Umschreiben des Gleichungssystems, sodaß die Variablen, die nicht gleich Null gesetzt sind, durch die anderen Variablen ersetzt werden: .


( $I_{2}$ )	$x_{2}$	$=$	$25.0$	$-$	$\frac{1}{2} x_{1}$	$-$	$\frac{1}{6} y_{1}$
( $I I_{2}$ )	$y_{2}$	$=$	$9.5$	$-$	$\frac{3}{4} x_{1}$	$+$	$\frac{1}{12} y_{1}$
( $I I I_{2}$ )	$y_{3}$	$=$	$2.5$	$-$	$\frac{1}{2} x_{1}$	$-$	$\frac{1}{6} y_{1}$

z = 20 x_{1} + 30 x_{2} = 20 x_{1} + 30 \cdot (25 - \frac{1}{2} x_{1} - \frac{1}{6} y_{1})

z = 750 + 5 x_{1} - 5 y_{1}

5.

weitere Erhöhung von z durch Vergrößern von

x_{1}

(mit

y_{1}

wäre das kontraproduktiv; Deshalb

y_{1} = 0

a) Um wieviel kann $x_{1}$ von 0 aus erhöht werden ?
b) Welche der Variablen $x_{2}$ , $y_{2}$ oder $y_{3}$ sollen wir auf 0 setzen ?
Mit dem Versuch $x_{2} = 0$ folgt aus ( $I_{2}$ ), daß $x_{1} = 50$ .
Mit dem Versuch $y_{2} = 0$ folgt aus ( $I I_{2}$ ), daß $x_{1} = \frac{38}{3}$ .
Mit dem Versuch $y_{3} = 0$ folgt aus ( $I I I_{2}$ ), daß $x_{1} = 5$ . .
Damit ist der kritische Punkt durch Gleichung ( $I I I_{2}$ ) gegeben, und $x_{1}$ hat damit als Obergrenze den Wert 5.

6.

Neue Werte:

x_{1} = 5

x_{2} = 22.5

y_{1} = 0

y_{2} = 5.75

y_{3} = 0

ergibt

z = 775

7.

Umschreiben des Gleichungssystems, sodaß die Variablen, die nicht gleich Null gesetzt sind, durch die anderen Variablen ersetzt werden: .


( $I_{3}$ )	$x_{1}$	$=$	$5.0$	$+$	$\frac{1}{3} y_{1}$	$-$	$2 y_{3}$
( $I I_{3}$ )	$x_{2}$	$=$	$22.5$	$-$	$\frac{1}{3} y_{1}$	$+$	$y_{3}$
( $I I I_{3}$ )	$y_{3}$	$=$	$5.75$	$-$	$\frac{1}{6} y_{1}$	$+$	$\frac{3}{2} y_{3}$
	$z$	$=$	$775$	$-$	$\frac{10}{3} y_{1}$	$-$	$10 y_{3}$

8.

Der Versuch, eine weitere Erhöhung von

z

durch Vergrößern von

y_{1}

oder

y_{2}

von Null aus zu erreichen, führt nicht zum Ziel. Ergebnis:

x_{1} = 5

x_{2} = 22.5

z = 775

Lösung mit Maxima: .
$l o a d (s i m p l e x);$ .

$u 1 : x > = 0;$ .
$u 2 : y > = 0;$ .
$u 3 : 3 * x + 6 * y < = 150;$ .
$u 4 : x + 0.5 * y < = 22;$ .
$u 5 : x + y < = 27.5;$ .
$Z F : 20 * x + 30 * y;$ .
$N B : [u 1, u 2, u 3, u 4, u 5];$ .

$m a x i m i z e_l p (Z F, N B), n u m e r;$ .

ergiibt: $(% o 24) [775.0, [y = 22.5, x = 5.0]]$ Lösung mit Maple:

$w i t h (s i m p l e x) :$
$c n s t s : = {3 * x + 6 * y < = 150, x + 0.5 * y < = 22, x + y < = 27.5} :$
$o b j : = - x + y + 2 * z :$
$m a x i m i z e (o b j, c n s t s \cup {0 < = x, 0 < = y, 0 < = z})$ oder:
$m a x i m i z e (o b j, c n s t s, N O N N E G A T I V E)$ oder:
$m a x i m i z e (o b j, c n s t s)$
.

0/16/3/0/3 .
Beispiel 17 - 160
Lösen Sie mit dem Simplex-Verfahren das Optimierungsproblem:
$max z = 3 x_{1} + 4 x_{2}$
$3 x_{1} + 2 x_{2} \leq 6$
$x_{1} + 4 x_{2} \leq 4$

Lösung : .
Wir führen die Schlupfvariablen

y_{1}

und

y_{2}

ein und erhalten:

\begin{matrix} A_{1} : & y_{1} & + & 3 x_{1} & + & 2 x_{2} & = & 6 \\ B_{1} : & y_{2} & + & x_{1} & + & 4 x_{2} & = & 4 \end{matrix}

,
mit

x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2} \geq 0

. .
Erste Basislösung:

x_{1} = 0, x_{2} = 0, y_{1} = 6, y_{2} = 4 \Rightarrow z = 3 x_{1} + 4 x_{2} = 0

z

steigt stärker, wenn wir zunächst

x_{2}

erhöhen.
Für

x_{1} = 0, y_{1} = 0

folgt aus

A_{1}

, dass

x_{2} = 3

(nicht zulässig wg.

B_{1}

).
Für

x_{1} = 0, y_{2} = 0

folgt aus

B_{1}

, dass

x_{2} = 1

(’kritischer Punkt’).
Daher: nächste Lösung aus

B_{1}

y_{2} = 0, x_{2} = 1, x_{1} = 0, y_{1} = 4, \Rightarrow z = 4

.
Ausdrücken der von Null verschiedenen Variablen:

\begin{matrix} B_{2} : & x_{2} & = & 1 & - & \frac{1}{4} x_{1} & - & \frac{1}{4} y_{2} \\ A_{2} : & y_{1} & = & 4 & - & \frac{5}{2} x_{1} & + & \frac{1}{2} y_{2} \end{matrix}

, .
was

z = 3 x_{1} + 4 x_{2} = 3 x_{1} + 4 - x_{1} - y_{2} = 4 + 2 x_{1} - y_{2}

ergibt.
Wir erhöhen

x_{1} \Rightarrow y_{2} = 0

.
Für

y_{2} = 0

folgt aus

A_{2}

, dass

x_{1} = 4

(schlecht).
Für

y_{2} = 0

folgt aus

B_{2}

, dass

x_{1} = \frac{8}{5}

. .
Daher: nächste Lösung:

y_{2} = 0

, und aus

A_{2}

folgt:

x_{2} = \frac{3}{5}, x_{1} = \frac{8}{5}, y_{1} = 0, y_{2} = 0 \Rightarrow z = \frac{36}{5}

. .
Ausdrücken der von Null verschiedenen Variablen:

\begin{matrix} x_{1} & = & \frac{8}{5} & - & \frac{2}{5} y_{1} & + & \frac{1}{5} y_{2} \\ x_{2} & = & \frac{3}{5} & + & \frac{1}{10} y_{1} & - & \frac{3}{10} y_{2} \\ z & = & \frac{36}{5} & - & \frac{4}{5} y_{1} & - & \frac{3}{5} y_{2} \end{matrix}

.
Durch Vergrößern von

y_{1}

oder

y_{2}

wird z kleiner. Daher:

x_{1} = \frac{8}{5}, x_{2} = \frac{3}{5}, z = \frac{36}{5} \Rightarrow

fertig.

.
0/16/3/0/4

0/17

18 Vektoralgebra

0/17/0

18.1 Grundbegriffe

0/17/0/0

In der Technik arbeitet man häufig mit den Begriffen Skalaren und Vektoren . .
Unter Skalaren versteht man ungerichtete Größen (Beträge) aus den Paaren Maßzahl und Einheit (wie z.B. Temperatur, Leistung, Energie). .
Will man den Größen eine Richtung zuordnen, verwendet man dazu Vektoren . Sie weisen neben dem Betrag (Maßzahl, Einheit) zusätzlich eine Richtung auf (wie z.B. eine Kraft oder ein elektrisches Feld). Der Ursprung von Vektoren damit zunächst nicht festgelegt. .
Man unterteilt in:

1.: freie Vektoren: beliebig verschiebbar.
2.: Linienflüchtige Vektoren: beliebig verschiebbar entlang der Wirkungslinie.
3.: gebundene Vektoren: Ursprung an einem festen Punkt.

Achtung ! Wenn man in der Informatik von Vektoren spricht, meint man damit eine geordnete Menge von Daten (Arrays). .

0/17/0/1 .
Beispiel 18 - 161
a) Temperaturverteilung in einem Raum .
b) Windgeschwindigkeiten .
c) Kräfte und Drehmomente an einem Körper .

Temperatur als Skalarfeld .
Wind als Vektorfeld .
Kräfte als linienflüchtige Vektoren .

.
0/17/0/2

Folgende grundlegende Eigenschaften beschreiben spezielle Vektoren: .

Nullvektor:	Betrag Null, keine Richtung angebbar .
$\binom{Einheitsvektor :}{(Einsvektor)}$	Betrag $1 = \| \vec{e} \|$
Ortsvektor $\vec{0 P}$ :	führt vom Ursprung $0$ zum Punkt $P$ . .
Gleichheit von Vektoren:	Betrag und Richtung sind gleich. .
Parallel:	gleiche Richtung $↑ ↑$ .
Antiparallel:	entgegengesetzt, Gegenvektor, inverser Vektor $↑ ↓$ .
kollinear:	antiparallel oder parallel

0/17/0/3 .
Beispiel 18 - 162
Fahrstuhl

Kraft nach oben: F .
Kraft nach unten: G = m*g .

.
0/17/0/4

$\vec{a} = 0 \Rightarrow \vec{F} = - \vec{G}$ .

0/17/1

18.2 Vektoroperationen

0/17/1/0

Addidion: Durch Parallelverschiebung eines Vektors an das Ende des anderen Vektors kann man graphisch die Addition verdeutlichen. Die Summe des Vektors ist dann der Vektor, der aus dem Anfangspunkt des Vektors $\vec{a}$ und dem Endpunkt des Vektors $\vec{b}$ gebildet wird.

0/17/1/1 .
Beispiel 18 - 163
Vektoraddition : $\vec{a} + \vec{b}$ .

Abbildung 14: Kräfteparallelogramm

(Evtl. auf Richtungsänderung bei Rollen einghehen )

.
0/17/1/2

Subtraktion: Bildet man den zu $\vec{b}$ inversen Vektor $\vec{- b}$ und addiert ihn zu $\vec{a}$ , erhält man den Differenzvektor $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$ .

0/17/1/3 .
Beispiel 18 - 164
Vektorsubtraktion
$\vec{a} - \vec{b}$

Abbildung 15: Vektorsubtraktion

.
0/17/1/4

Parallelogrammregel: .
Summenvektor $\vec{d} = \vec{a} + \vec{b}$ und Differenzvektor $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$ können geometrisch als gerichtete Diagonalen eines Parallelogramms konstruiert werden: .

0/17/1/5 .
Beispiel 18 - 165
Parallelogrammregel

Abbildung 16: Parallelogrammregel

.
0/17/1/6

Kommutativgesetz:
$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar: .
$| \vec{b} | = λ \cdot | \vec{a} |$ .
Der Betrag des Vektors wird mit $λ$ multipliziert, seine Richtung bleibt erhalten. .
Beispiel 18 - 166
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
.

.

Abbildung 17: Multiplikation mit Skalar

.

.

0/17/2

18.3 Vektorrechnung in der Ebene

0/17/2/0

Vektoren in der Ebene können als Komponenten in x- und y-Richtung beschrieben werden. .
0/17/2/1 .
Beispiel 18 - 167
Vektorkomponenten

Abbildung 18: Vektorkomponenten

.
0/17/2/2

$\vec{a}$	$=$	$\vec{a_{x}} + \vec{a_{y}}$	$=$	$a_{x} \cdot \vec{e_{x}} + a_{y} \cdot \vec{e_{y}}$
$\vec{a}$	$=$	$(\binom{a_{x}}{a_{y}})$

Addition:

$\vec{a} + \vec{b}$	$=$	$\vec{a_{x}} + \vec{b_{x}} + \vec{a_{y}} + \vec{b_{y}}$
	$=$	$(\binom{a_{x} + b_{x}}{a_{y} + b_{y}})$

.
Beispiel 18 - 168

Abbildung 19: Vektoraddition

(komponentenweise darstellen)

Subtraktion: .

$\vec{a} - \vec{b}$ $=$ $(\binom{a_{x} - b_{x}}{a_{y} - b_{y}})$

.
.
Beispiel 18 - 169
Vektorsubtraktion graphisch und rechnerisch: Bilden Sie die Differenz - .
für = 7 4 und = 3 5 .
.

Graphisch: Richtung 2. Vektor umkehren und Addition. .
Komponentenbetrachtung: .
- = 4 -1 .

.
Beträge von Vektoren .
.
Beispiel 18 - 170
Beträge von Vektoren
Wie groß ist der Betrag des Vektors mit den Komponenten
$x = 4$ und $y = 3$ ?
.

.

Abbildung 20: Vektorbetraege

Phytagoras: $|$ | = x2 + y2
.
Gleichheit von Vektoren .
Zwei Vektoren sind gleich, wenn ihre Komponenten gleich sind .
.
Beispiel 18 - 171
Mit den Vektoren = 2 - 3 , = - 1 5 und = 3 2 soll der Vektor = +2 -5 gebildet werden. .
Welchen Betrag hat der Vektor ?

.

= +2 -5 = 2 - 2 - 15 - 3 + 10 - 10 = - 15 - 3 .
.
$|$ | = (-15)2 + (-3)2 ≈ 15, 3

.

Beispiel 18 - 172: Parameterdarstellung von Geraden .
Eine Gerade ist ausreichend beschrieben durch einen darauf befindlichen Punkt und der Richtung der Geraden. Hat man die Ortsvektoren der beiden Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ , kann man willkürlich einen davon auswählen. .
$\vec{P_{1}}$ oder $\vec{P_{1}}$ dienen als Ortsvektor. .
Die Richtung der Geraden kann man ausdrücken als Differenz der Vektoren $\vec{P_{2} - P_{1}}$ .
(Richtungsvektor) ( $\vec{P_{2}} - \vec{P_{1}})$ oder .
$(\vec{P_{1}} - \vec{P_{2}})$ (entgegengesetzte Richtung) .
Parameterdarstellung einer Geraden durch $P_{1}$ und $P_{2}$ : .
$\vec{G} = \vec{P_{1}} + λ \cdot (\vec{P_{2}} - \vec{P_{1}})$ .
Die Punkt-Steigungsform wird zu: .
$y = m x + b \Rightarrow \vec{r} = (\begin{matrix} 0 \\ b \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ m \end{matrix})$

0/17/2/3 .
Beispiel 18 - 172
Gegeben sei eine Gerade #
g durch den Punkt $P_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ und der Steigung $m = 3$ . .
Wie lautet eine Geradengleichung in Parameterform ? .
.

Der Punkt

P_{2}

sei

(\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix})

.
.

= 2 5 -1 2 = 1 3

= 1 2 +λ⋅1 3 .

.
0/17/2/4 .
Anmerkung: .
Jeder Aufpunkt auf der Geraden ist zulässig. Der Richtungsvektor kann mit jeder Zahl

\neq 0

multipliziert sein, da

λ

ein frei wählbarer Parameter ist. .
Allgemeinere Vorgehensweise: Falls die Gleichung in der Form

a x + b y + c = 0

vorliegt, ersetzt man eine der vorkommenden Variablen (z.B. x) durch den Parameter

λ

. .
Dann ist die x-Komponente durch

λ

gegeben, die y-Komponente erhält man durch Auflösen nach y. .
0/17/2/5 .
Beispiel 18 - 173
Umformen der Geradengleichung

3 x + y - 5 = 0

in vektorieller Parameterdarstellung: .

x = λ

.
.

y = - 3 λ + 5

.
.

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 1 \\ - 3 \end{matrix})

.
0/17/2/6

Überführung von der Parameterdarstellung in eine Geradengleichung . Hierzu stellt man je Komponente eine Gleichungszeile auf und eliminiert bei dem aufgestellten Gleichungssystem den Parameter $λ$ . .
0/17/2/7 .
Beispiel 18 - 174
Gegeben sei eine Gerade in Parameterdarstellung:

	$=$	$(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$	$=$	$(\begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 3 \end{matrix})$

Formen Sie diese Darstellung in eine Achsenabschnittsform um.

Lösung über Elimination des Parameters

λ

: .

$x$	$=$	$λ$
$y$	$=$	$5 - 3 λ$
$y$	$=$	$5 - 3 x$
$(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$	$=$	$(\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 1 \\ - 3 \end{matrix})$

$x$	$=$	$1 + λ$	$\Rightarrow$	$λ$	$=$	$x - 1$
$y$	$=$	$2 - 3 λ$		$y$	$=$	$2 - 3 (x - 1)$
$y$	$=$	$2 - 3 x + 3 = - 3 x + 5$

.
0/17/2/8

0/17/3

18.4 Skalarprodukt

0/17/3/0 .
Beispiel 18 - 175
Kraft, die entlang eines Wegs wirkt .

Abbildung 21: Kraftwirkung

.
0/17/3/1

$\vec{F} \cdot \vec{S}$	$=$	$\| \vec{F} \| \cdot \| \vec{S} \| \cdot cos α$
$\vec{F} \cdot \vec{S}$	$=$	$F_{x} \cdot S_{x} + F_{y} \cdot S_{y}$

.
Fasst man den Vektor

\vec{F}

als Matrix mit einer Zeile (Zeilenvektor) und

\vec{S}

als Matrix mit einer Spalte (Spaltenvektor) auf, so kann man das Skalarprodukt als klassische Matrixmultipikation nach dem Falk’schen Schema behandeln:

\vec{F} \cdot \vec{S} = F^{T} \cdot S

. 0/17/3/2 .
Beispiel 18 - 176
Zahlenbeispiel:

	$=$	$(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})$			$=$	$(\begin{matrix} - 1 \\ 5 \end{matrix})$ .

Die Berechnung erfolgt durch komponentenweise Multiplikation:

⋅

= (-3+10) = 7

α = arccos \frac{2}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{26}}

Abbildung 22: Falk’sches Schema

.
0/17/3/3

Mittels des Skalarprodukts lassen sich Winkel zwischen Vektoren bestimmen. .
$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos α$ .
oder $cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b}}$ .
oder $α = arccos (\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |})$ . .
Für $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ gilt: $α < 90 °$ , spitzer Winkel .
Für $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ gilt: $α = 90 °$ , rechter Winkel .
Für $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ gilt: $α > 90 °$ , stumpfer Winkel .

0/17/3/4 .
Beispiel 18 - 177
Gegeben sind die Vektoren

	$=$	$(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$			$=$	$(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})$

Bestimmen Sie den Winkel zwischen diesen Vektoren über das Skalarprodukt.

⋅	$=$	$- 1 + 1$	$=$	$0$
$\|$ \|	$=$	$\sqrt{1^{2} + 1^{2}}$	$=$	$\sqrt{2}$	$=$	$\|$ \|
⋅	$=$	$0$	$=$	$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} cos α$	$\Rightarrow$	$cos α = 0$
	$\Rightarrow$ ⊥

.
0/17/3/5 .
Beispiel 18 - 178
Welchen Winkel schließt der Vektor

= 2 1 mit der x- bzw. der y-Achse ein ? .

Für den zweiten Vektor gilt:

x = 1 0 bzw.

y = 0 y . .

⋅ x = 2 1 ⋅1 0 = 2.

#
a ⋅ #
e y = 2 1 ⋅0 1 = 1.

$|$ #
a | = 22 + 12 = 5, $|$ #
e x| = | #
e y| = 1. .
Damit wird $cos α =$ #
a ⋅ #
e x | #
a |⋅| #
e x = 2 5
oder

$α = arccos ($ #
a ⋅ #
e x | #
a |⋅| #
e x|) = arccos( 2 5) ≈ 0, 46 ≈ 27°.
und $cos β =$ ⋅ y | #
a |⋅| #
e y = 1 5
oder $α = arccos ($ #
a ⋅ #
e y | #
a |⋅| #
e y|) = arccos( 1 5) ≈ 1, 099 ≈ 63° .

.
0/17/3/6

0/17/4

18.5 Hesse’sche Normalform

0/17/4/0

0/17/4/0/0

Mit Hilfe des Skalarprodukts kann man recht leicht Geradendarstellungen in eine Hesse’sche Normalform vornehmen: .
.
0/17/4/0/1 .
Beispiel 18 - 179
Hesse’sche Normalform in der Darstellung $n_{1} \cdot x + n_{2} \cdot y - p = 0$ . .
Mit #
n = n1 n2 und $|$ | = 1 .

Abbildung 23: Hesse’sche Normalfom

.
⋅ #OX = | |⋅ #OX ⋅cos γ, mit $\frac{| P |}{| O X |} = cos γ$ .
$| O X | \cdot cos γ = | P |$ .
⋅ #OX = .
#
n ⋅ #
OX - #
P = 0.
Dies führt zu $n_{1} \cdot x + n_{2} \cdot y - p = 0$ .

.
0/17/4/0/2 .

0/17/4/1

18.5.1 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/18

19 Vektorrechnung im 3-dimensionalen

0/18/0

0/18/0/0 .
Beispiel 19 - 180
Darstellung von Vektoren im Dreidimensionalen .

Abbildung 24: Dreidimensionale Darstellung

x = 1 0 0 .
Der Ortsvektor des Punktes $P = (3; - 2; 1)$ lautet .
#
r (P) = #
OP = 3 #
e x-2 #
e y+1 #
e z = 3 -2 1 .
$|$ (P)| = 32 + (-2)2 + 12 = 14 ≈ 3, 7. .

.
0/18/0/1

Komponentendarstellung: .

$p$	$=$	$(\begin{matrix} p_{x} \\ p_{y} \\ p_{z} \end{matrix})$ .
Betrag des Vektors:
$\| p \|$	$=$	$\sqrt{p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}}$

Feststellung der Gleichheit von Vektoren: .

$\vec{p_{1}} - \vec{p_{2}}$	$=$	$\vec{0}$
bzw. komponentenweise:
$\vec{p_{1 x}} - \vec{p_{2 x}}$	$=$	$0$
$\vec{p_{1 y}} - \vec{p_{2 y}}$	$=$	$0$
$\vec{p_{1 z}} - \vec{p_{2 z}}$	$=$	$0$

0/18/1

19.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

0/18/1/0

$λ \cdot \vec{a}$	$=$	$λ \cdot (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix})$	$=$	$(\begin{matrix} λ \cdot a_{x} \\ λ \cdot a_{y} \\ λ \cdot a_{z} \end{matrix})$

.
0/18/1/1 .
Beispiel 19 - 181
Eine Masse von m = 5 kg erfahre durch eine Kraft

eine Beschleunigung

= 2 -1 4 m s2. .
Bestimmen Sie den Vektor der Kraft

. .

Mit

= m⋅

erhält man .

= 5kg 2 -1 4 m s2 = 10-5 20 kgm s2 = 10-5 20 N.

.
0/18/1/2 Unter der Normierung von Vektoren versteht man die Bildung eines Einheitsvektors in Richtung des vorhandenen Vektors:

\frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}

.
0/18/1/3 .
Beispiel 19 - 182
Normierung des Vektors .

= 2 -1 2
.

|

| = 22 + 12 + 22 = 9 = 3.

| = 2 3 -1 3 2 3 .
Der neue Vektor hat den Betrag 1.

.
0/18/1/4 .
0/18/1/5 .
Beispiel 19 - 183
Welcher Punkt liegt in der Mitte der Punkte

P_{1} = (- 4; 3; 2)

und

P_{2} = (1; 0; 4)

Abbildung 25: Punktbestimmung

Der Punkt

ist parallel zum Vektor

, jedoch nur von halber Länge:

= 1 2

. .
Der Ortsvektor zum Punkt

Q

kann konstruiert werden als: .

(Q) =

(P1)+

(P 1)+1 2

(P1) = -4 3 2 .
#
P1P2 = 5 -3 2 .
Damit erhält man .
(Q) = (P1)+ #
P1Q = (P 1)+1 2 #
P1P2 = -4 3 2 + 2, 5 -1, 5 1 = -1, 5 1, 5 3 .

.
0/18/1/6 .

0/18/2

19.2 Skalarprodukt

0/18/2/0

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos φ$ .

Kommutativgesetz:	$\vec{a} \cdot \vec{b}$	$=$	$\vec{b} \cdot \vec{a}$
Distributivgesetz:	$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c})$	$=$	$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
Orthogonalität:	$\vec{a} \cdot \vec{b}$	$=$	$0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{matrix}) = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} + a_{z} \cdot b_{z}$ .
0/18/2/1 .
Beispiel 19 - 184
Skalarprodukt (I)
Wie groß ist der Winkel $φ$ zwischen den beiden Vektoren = 5 -2 3 und #
b = 1 2 4 ?

cos φ =

⋅

|⋅|

| = 5 ⋅ 1 + (-2) ⋅ 2 + 3 ⋅ 4 52 + 22 + 32 ⋅12 + 22 + 42

$cos φ = \frac{5 - 4 + 12}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{21}} = \frac{13}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{21}} \approx 0, 46$

$φ \approx arccos 0, 46 \approx 1, 09 \approx 6 2^{\circ}$

.
0/18/2/2

0/18/2/3 .
Beispiel 19 - 185
Skalarprodukt (II) .
Wie groß ist der Winkel $φ$ zwischen den beiden Vektoren = 2 1 5 und #
b = 3 4 -2 ?

⋅

= 6+4-10 = 0. .

steht senkrecht auf

. .

.
0/18/2/4

0/18/3

19.3 Richtungswinkel eines Vektors

0/18/3/0

Die Richtungswinkel eines Vektors zu einer der Achsen erhält man analog über das Skalarprodukt:
.
$cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{e_{x}}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{e_{x}} |} = \frac{(\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}{| \vec{a} |}$ .
.
$cos β = \frac{\vec{a} \cdot \vec{e_{y}}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{e_{y}} |}$ .
.
$cos γ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{e_{z}}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{e_{z}} |}$ .

0/18/3/1 .
Beispiel 19 - 186
Wie groß ist der Winkel $β$ zwischen dem Vektor $\vec{a}$ und der y-Achse .
= 2 -1 -2 ? .

β = arccos \frac{(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})}{\sqrt{9}} = arccos \frac{- 1}{3} \approx 1, 90 \approx 10 9^{\circ}

.
0/18/3/2 .
Projektion eines Vektors auf einen anderen Vektor: .
0/18/3/3 .
Beispiel 19 - 187
Beispiel: Kraft

= 4 2 6 N entlang eines Wegs mit der Richtung

= 2 -1 2

Abbildung 26: Projektion

⋅ = 2 -1 2 = 4 2 6 N⋅ 2 -1 2 = (8-2+12)N = 18N
#
Fs = ( #
F ⋅ #
r | |2 ) = 18N 9 2 -1 2 N = 4 -2 4 N. .

.
0/18/3/4 .
Analog mit den Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

: .

| \vec{b_{a}} | = | \vec{b} | \cdot cos φ

.
.

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot \underset{\vec{b_{a}}}{\underset{︸}{| \vec{b} | \cdot cos φ}}

.
.

\vec{b_{a}} = | \vec{b} | \cdot cos φ = \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{| \vec{a} |}

.
.
Durch Projektion des Vektors

\vec{b}

auf

\vec{a}

entsteht der Vektor .
.

\vec{b_{a}} = (\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} |^{2}}) \cdot \vec{a}

0/18/4

19.4 Vektorprodukt

0/18/4/0

$\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$
Es gilt:

1.: $\vec{c} ⊥ \vec{a}$ , $\vec{c} ⊥ \vec{b}$
2.: $| \vec{c} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot sin α$
3.: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ bilden ein rechtshändisches System

0/18/4/1 .
Beispiel 19 - 188
#
c = #
a × #
b . .

Abbildung 27: Rechtssystem

bzw. mit x,y, z dargestellt: = × . .

.
0/18/4/2 .

\vec{F} = q \cdot (\vec{v} \times \vec{B})

.
Der Betrag des Kreuzproduktes entspricht der Fläche des aufgespannten Parallelogramms .
Rechengesetze für das Kreuzprodukt bzw. Vektorprodukt :

Distributivgesetz: $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$
Anikommutativgesetz: $\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$

Zwei von Null verschiedene Vektoren sind kollinear, wenn das Vektorprodukt verschwindet. .
Zur Berechnung des Vektorprodukts: $\vec{a} \times \vec{b} = |\begin{matrix} e_{x} & e_{y} & e_{z} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix}|$ .

Anwendungsmöglichkeit: Fläche eines aufgespannten Parallelogramms .
0/18/4/3 .
Beispiel 19 - 189
Fläche eines Parallelogramms .
$\vec{a} = (\begin{matrix} 1 \\ - 5 \\ 2 \end{matrix})$ $\vec{b} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})$ .
.

gesucht: Fläche des aufgespannten Parallelogramms .
.

Abbildung 28: Fläche eines Parallelogramms

.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} & \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} \\ 1 & - 5 & 2 & 1 & - 5 \\ 2 & 0 & 3 & 2 & 0 \end{matrix} =$ .
.
$= \vec{e_{x}} \cdot (- 15) + \vec{e_{y}} \cdot 4 + \vec{e_{z}} \cdot 0 - \vec{e_{x}} \cdot 0 - \vec{e_{y}} \cdot 3 + \vec{e_{z}} \cdot 10 =$ .
.
$= - 15 \vec{e_{x}} + \vec{e_{y}} + 10 \vec{e_{z}} =$ .
.
.
$= (\begin{matrix} - 15 \\ 1 \\ 10 \end{matrix})$ .
.
.
$A = | \vec{a} \times \vec{b} | = \sqrt{1 5^{2} + 1 + 100} \approx 18$

.
0/18/4/4

0/18/4/5 .
Beispiel 19 - 190
gesucht: Fläche eines Parallelogramms $\vec{a} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 8 \end{matrix}) \vec{b} = (\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 5 \end{matrix})$ .
.

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{matrix} \vec{x} & \vec{y} & \vec{z} \\ 1 & 2 & 8 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & 5 & 4 & 3 \end{matrix} = (\begin{matrix} 10 - 24 \\ 32 - 5 \\ 3 - 8 \end{matrix})$
$= (\begin{matrix} - 14 \\ 27 \\ - 5 \end{matrix})$
.
.
$A = \sqrt{1 4^{2} + 2 7^{2} + 5^{2}} = \sqrt{950} \approx 30, 8$ .

.
0/18/4/6 Anwendungen Die Lorentzkraft .

\vec{F_{L}} = q \cdot (\vec{v} \times \vec{B})

$q$ :	Ladung
$\vec{v}$ :	Geschwindigkeit
$\vec{B}$ :	Magnetfeld

0/18/4/7 .
Beispiel 19 - 191
Wie groß ist die Kraft (Lorentzkraft) auf ein geladenes Teilchen ? .

	$=$	$(\begin{matrix} 2000 \\ 2000 \\ 0 \end{matrix}) \frac{m}{s}$
$B$	$=$	$(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0, 1 \end{matrix}) \frac{v s}{m^{2}}$
$q$	$=$	$1, 6 \cdot 1 0^{- 19} c$

$=$	$q \cdot (\begin{matrix} 2000 \\ 2000 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0, 1 \end{matrix}) \frac{m}{s} \cdot \frac{v s}{m^{2}}$	$\|\begin{matrix} x & y & z \\ 2000 & 2000 & 0 \\ 0 & 0 & 0, 1 \end{matrix}\|$	$=$	$(\begin{matrix} 200 \\ - 200 \\ 0 \end{matrix})$
$=$	$q \cdot (\begin{matrix} 200 \\ - 200 \\ 0 \end{matrix}) \frac{v}{m}$

.
0/18/4/8

Das Drehmoment 0/18/4/9 .
Beispiel 19 - 192
Gegeben: eine Scheibe mit Drehachse $z$
= 0 1 0 , #
F = -1 0 0 . Wie groß ist das Drehmoment, und in welche Richtung zeigt es ?

Abbildung 29: Drehmoment

.
= × = x yz 0 1 0 -100 .
#
M = #
r × #
F = 0 0 1 .

.
0/18/4/10

0/18/4/11 .
Beispiel 19 - 193
Drehmoment an einer Garnrolle

Abbildung 30: Drehmoment an einer Garnrolle

.
Achtung ! Drehpunkt ist Berührpunkt mit Unterlage .

.
0/18/4/12

Die Coriolislkraft ist definiert als $\vec{F} = 2 m \cdot (\vec{v} \times \vec{ω})$ . .
0/18/4/13 .
Beispiel 19 - 194
An einem Ort von 45°geographischer Breite fällt ein 10 kg schwerer Gegenstand mit 100 m/s auf die Erdoberfläche. Wie groß ist die Coriolis-Kraft beim Auftreffen auf die Erde ?

Abbildung 31: Corioliskraft

.
$F_{c} = 2 m | \vec{ω} \times \vec{v} | = 2 m ω v s i n (π + φ) = 2 m ω v s i n (φ)$ ; .
$ω = \frac{2 π}{84600 s}$ und $R = 6370000 m$ .
$F_{c} = 2 \cdot 10 k m \cdot \frac{2}{86400 s} \cdot 1 0^{2} m s^{- 1} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0, 104 N$ .

.
0/18/4/14

Anwendungsbeispiel : Ermittlung des Abstands eines Punkts von einer Geraden .
Das Prinzip: .

Der Betrag eines Vektorprodukts entspricht der Fläche des aufgespannten Parallelogramms
Die Fläche ist auch Länge (Grundlinie) $\cdot$ Höhe .

0/18/4/15 .
Beispiel 19 - 195
Abstand Punkt zu einer Geraden .

Abbildung 32: Abstand Punkt - Gerade

.
(Vektoren zum Ursprung einzeichnen !). .

.
0/18/4/16 .
Daraus lässt sich der Abstand

h

errechnen:

h = \frac{A}{| \vec{a} |} = \frac{| \vec{a} \times \vec{b} |}{| \vec{a} |}

0/18/4/17 .
Beispiel 19 - 196
Gegeben ist der Vektor #
a = 1 -5 2 und der der Ortsvektor #
b = 2 0 3 , Bestimmen Sie den Abstand des Punkts #
b von #
a . .

= -15 - 0 4 - 3 0 + 10 = -15 1 10 .

A = |

|≈ 18

| a | = \sqrt{29} \approx 5, 4

. .

d = \frac{A}{| a |} \approx 3, 33

. .
Achtung: wird eine Gerade mit einem Ortsvektor

\neq

verwendet, muß der Bezug zu anderem Ursprung berücksichtigt werden, s. vk9031. .

.
0/18/4/18

0/18/5

19.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt)

0/18/5/0

0/18/5/0/0

$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$

$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$	$=$	$\|\begin{matrix} a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z} \end{matrix}\|$	$=$	$[\vec{b} \vec{c} \vec{a}]$	$=$	$[\vec{c} \vec{a} \vec{b}]$

.
Zum Vergleich - Das Volumen eines Quaders:

$A \cdot h$	$=$	$A \cdot \vec{a} \cdot cos φ$
	$=$	$\| \vec{a} \| \cdot \| \vec{b} \times \vec{c} \| \cdot cos φ$

Das Spatprodukt entspricht dem Volumen des aufgespannten Spats, .
0/18/5/0/1 .
Beispiel 19 - 197
Gesucht ist das Volumen des von den Vektoren .

= 2 0 5	= -1 5 -2	= 2 1 2

aufgespannten Spats. .

Abbildung 33: Spatprodukt

$[$ ]	$=$	$\|\begin{matrix} 2 & 0 & 5 \\ - 1 & 5 & - 2 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}\|$	$=$	$20 + 0 - 5 - (50 - 4 + 0)$	$=$	$- 31$

.
0/18/5/0/2

0/18/5/0/3 .
Beispiel 19 - 198
Lage von Vektoren zu einer Ebene .
gegeben:

= 1 4 2	= 0 -1 3	= 2 5 13

Liegen die Vektoren in einer Ebene ?

Diese Frage ist gleichwertig mit der Feststellung, ob das Volumen des aufgespannten Spats Null ist (vorausgesetzt, die Grundfläche ist verschieden von Null): .
$[$ #
b ] = 1 4 2 0 -1 3 2 5 13 = -13+24+0+4-15-0 = 0.
$\Rightarrow$ Die Vektoren liegen in einer Ebene.

.
0/18/5/0/4

0/18/5/1

19.5.1 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/19

20 Anwendungen

0/19/0

0/19/1

20.1 Vektordarstellung von Geraden

0/19/1/0

$\vec{r} (λ)$	$=$	$\vec{r_{1}} + λ \vec{a}$

Zwei-Punkte-Form

$\vec{r} (λ)$	$=$	$(\vec{r_{1}} - \vec{r_{2}}) λ + \vec{r_{1}}$
	$=$	$\vec{r_{1}} + λ \vec{a}$
$\vec{a}$	$=$	$\vec{r_{2}} - \vec{r_{1}}$

Den Abstand eines Punktes Q von einer Geraden $\vec{r} (λ) = \vec{r_{1}} + λ \vec{a}$ erhält man über die Fläche eines Parallelogramms. Diese ist zum einen bestimmbar über Grundlinie mal Höhe, zum anderen über den betrag des Kreuzprodukts. .
Man erhält somit die Höhe, indem man die Fläche des Parallelogramms über das Kreuzprodukt ermittelt und durch die Grundlinie dividiert.

$A$	$=$	$\| \vec{r_{2}} - \vec{r_{1}} \| \cdot d$	oder
$A$	$=$	$\| \vec{b} \times \vec{a} \|$
	$=$	$\| \vec{P_{1} Q} \times (\vec{r_{2}} - \vec{r_{1}}) \|$
$\Rightarrow d$	$=$	$\frac{\| \vec{P_{1} Q} \times (\vec{r_{2}} - \vec{r_{1}}) \|}{\| \vec{r_{2}} - \vec{r_{1}} \|}$
	$=$	$\frac{\| (\vec{Q} - \vec{r_{1}}) \times \vec{a} \|}{\| \vec{a} \|}$

.
.
0/19/1/1 .
Beispiel 20 - 199
Abstand Punkt - Gerade .

Abbildung 34: Abstand Punkt- Gerade

$|$ × # b | = |- × |. .

.
0/19/1/2

0/19/1/3 .
Beispiel 20 - 200
Gegeben sei eine Gerade

(λ)	$=$	+λ	$=$	$(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 2 \end{matrix})$
sowie der Punkt $Q$	$=$	$(\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ - 2 \end{matrix})$

Bestimmen Sie den Abstand des Punkts von der Gerade.

$($ - )×	$=$	$(\begin{matrix} 5 - 1 \\ 3 - 0 \\ - 2 - 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 2 \end{matrix})$	$= \|\begin{matrix} x & y & z \\ 4 & 3 & - 3 \\ 2 & 5 & 2 \end{matrix}\|$	$= (\begin{matrix} 21 \\ - 14 \\ 14 \end{matrix})$
$\| ($ - )× \|	$=$	$\sqrt{2 1^{2} + 1 4^{2} + 1 4^{2}}$	$=$	$\sqrt{833}$
$\|$ \|	$=$	$\sqrt{4 + 25 + 4}$	$=$	$\sqrt{33}$
$d$	$=$	$\frac{\sqrt{833}}{\sqrt{33}}$	$\approx$	$5, 02$

.
0/19/1/4

0/19/2

20.2 Abstände/Schnittpunkte von Geraden

0/19/2/0

Zwei Geraden können zueinander folgende Lagen haben:

2 Geraden $g_{1}$ und $g_{2}$ schneiden sich in genau einem Punkt
2 Geraden $g_{1}$ und $g_{2}$ sind parallel zueinander
2 Geraden $g_{1}$ und $g_{2}$ fallen zusammen
2 Geraden $g_{1}$ und $g_{2}$ sind windschief

Ein mögliches Vorgehen ist es, zunächst (einen) Schnittpunkt(e) durch Gleichsetzen der Geradengleichungen zu bestimmen. Dabei gibt es eine, unendlich viele oder keine Lösung.

1.: Eine Lösung: Geraden haben einen Schnittpunkt und Schnittwinkel $\neq 0$ .
2.: Unendlich viele Lösungen: Geraden fallen zusammen (Kollinearität)
3.: Keine Lösung: Entweder die Geraden sind kollinear oder windschief.

0/19/2/1

20.2.1 2 Geraden $g_{1}$ und $g_{2}$ schneiden sich in einem Punkt

0/19/2/1/0

Den Schnittpunkt zweier Geraden erhält man durch Gleichsetzen der Gleichungen. Den Schnittwinkel bestimmt man dann z.B. über das Skalarprodukt.

Schnittpunkt:	$\vec{r_{1}} + λ_{1} \vec{a_{1}}$	$=$	$\vec{r_{2}} + λ_{2} \vec{a_{2}}$
Schnittwinkel:	$cos φ$	$=$	$\frac{\vec{a_{1}} \cdot \vec{a_{2}}}{\| \vec{a_{1}} \| \cdot \| \vec{a_{2}} \|}$

.
0/19/2/1/1 .
Beispiel 20 - 201
Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden

$g_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + λ_{1} (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$	und	$g_{2} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + λ_{2} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})$

$1 + 2 λ_{1}$	$=$	$2 + λ_{2}$
$1 + λ_{1}$	$=$	$- λ_{2}$
$0 + λ_{1}$	$=$	$2 + 2 λ_{2}$

.
.
Umgeschrieben als lineares Gleichungssystem mit den Variablen

λ_{1}

und

λ_{2}

: .

$λ_{1}$	$λ_{1}$	$c$

$2$	$- 1$	$1$	Tausch mit $I I I$
$1$	$1$	$- 1$
$1$	$- 2$	$2$	Tausch mit $I$

$1$	$- 2$	$2$
$1$	$1$	$- 1$	$- I$
$2$	$- 1$	$1$	$- 2 \cdot I$

$1$	$- 2$	$2$
$0$	$3$	$- 3$	$: 3$
$0$	$3$	$- 3$	streichen

$1$	$- 2$	$2$	$+ 2 \cdot I I$
$0$	$1$	$- 1$

$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$- 1$

\Rightarrow \begin{matrix} λ_{1} = 0 \\ λ_{2} = - 1 \end{matrix}

.
.

S = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

.
.

φ = arccos

⋅

|⋅|

| = arccos 3 6⋅6 = 60∘

.
0/19/2/1/2

0/19/2/2

20.2.2 2 Geraden $g_{1}$ und $g_{2}$ fallen zusammen

0/19/2/2/0

Wenn beide Geraden zusammenfallen, müssen deren Richtungsvektoren kollinear sein. .

$\vec{a_{2}}$	$=$	$k \cdot \vec{a_{1}}$	$k \in ℝ$
$\vec{a_{1}} \times \vec{a_{2}}$	$=$	$0$

.
Das Gleichungssystem: Gleichung von Gerade 1 = zweite Gerade ( für x-, y- und z-Komponente) hat unendlich viele Lösungen.

0/19/2/2/1 .
Beispiel 20 - 202
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Geraden

$g_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) + λ_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$	und	$g_{2} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) + λ_{2} (\begin{matrix} - 2 \\ - 4 \\ - 2 \end{matrix})$

$1 + λ_{1}$	$=$	$2 - 2 λ_{2}$
$1 + 2 λ_{1}$	$=$	$3 - 4 λ_{2}$
$3 + λ_{1}$	$=$	$4 - 2 λ_{2}$

.
.
Umgeschrieben als lineares Gleichungssystem mit den Variablen

λ_{1}

und

λ_{2}

: .
.

$λ_{1}$	$λ_{1}$	$c$

$1$	$2$	$1$
$2$	$4$	$2$	$- 2 \cdot I$
$1$	$2$	$1$	$- I$

$1$	$2$	$1$
$0$	$0$	$0$	streichen
$0$	$0$	$0$	streichen

.
.
Setze

λ_{2}

als frei wählbaren Parameter. Dann wird

λ_{1} = 1 - 2 λ_{2}

. .

\Rightarrow

Das GLS hat unendlich viele Lösungen, die Geraden fallen zusammen. .

.
0/19/2/2/2

0/19/2/3

20.2.3 2 Geraden $g_{1}$ und $g_{2}$ sind parallel zueinander

Abstand zweier kollinearer Geraden - Bestimmung:

1.: Prüfen, ob beide Geraden kollinear sind, z.B: über das Kreuzprodukt. .
$\vec{a_{1}} \times \vec{a_{2}} = 0$ .
2.: Man bestimmt nun einfach den Abstand irgendeines Punkts von Gerade 2 (z.B. Ortsvektor) zur Geraden 1 .
.
Beispiel 20 - 203
Abstand paralleler Geraden .

.

Abbildung 35: Abstand paralleler Geraden

.

$A$	$=$	$d \cdot \| \vec{a_{1}} \|$
$d$	$=$	$\frac{A}{\| \vec{a_{1}} \|}$	$=$	$\frac{\| (\vec{r_{1}} - \vec{r_{2}}) \times \vec{a_{1}} \|}{\vec{\| a_{1} \|}}$

0/19/2/4 .
Beispiel 20 - 204

gegeben:	$g_{1}$ :	(λ1)	$=$	$(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) + λ_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$
	$g_{2}$ :	(λ2)	$=$	$(\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) + λ_{2} (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})$

Wie groß ist der Abstand der Geraden ? .

Abstand: .

(

)×

= 4 - 1 0 - 1 3 - 4 ×1 1 1 =.

= |\begin{matrix} x & y & z \\ 3 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}| = (\begin{matrix} - 1 + 1 \\ - 1 - 3 \\ 3 + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 4 \\ 4 \end{matrix})

.
.

d = \sqrt{\frac{4 + 16}{3}} \approx 2, 58

.
0/19/2/5

0/19/2/6

20.2.4 2 Geraden $g_{1}$ und $g_{2}$ sind windschief

Vorbemerkung: 0/19/2/6/0

Analog zur Beschreibung von Geraden durch einen Ortsvektor und einen Richtungsvektor kann man Ebenen durch einen Ortsvektor und zwei Richtungsvektoren beschreiben. (Die zwei Richtungsvektoren dürfen natürlich nicht kollinear sein.) .
0/19/2/6/1

Abbildung 36: Zwei windschiefe Geraden

0/19/2/6/2

Sind beide Geraden windschief, so schneiden sie sich weder (s.o.), noch sind sie kollinear (s.o.) .

Grundidee zu Bestimmung des (kleinsten) Abstands zueinander: Man bildet einen Spat aus den Richtungsvektoren, indem man einmal die eine Gerade solange parallel verschiebt, bis sie die andere Gerade schneidet und umgekehrt. .

0/19/2/6/3

Abbildung 37: Zwei parallele Ebenen, erzeugt aus zwei windschiefen Geraden

0/19/2/6/4 .
Von dem entstandenen Spat bestimmt man das Volumen und teilt durch die Fläche des Parallelogramms.

Vorgehensweise:

Verschiebe Gerade $g_{1}$ parallel, bis sie $g_{2}$ schneidet
$\Rightarrow$ Ebene $E_{1}$
Verschiebe Gerade $g_{2}$ parallel, bis sie $g_{1}$ schneidet
$\Rightarrow$ Ebene $E_{2}$

$E_{1}$ und $E_{2}$ sind parallel zueinander .

Volumen des Spats:			$[\vec{a_{1}} \vec{a_{2}} (\vec{r_{2}} - \vec{r_{1}})]$
Fläche Parallelogramm:			$\| \vec{a_{1}} \times \vec{a_{2}} \|$
Abstand:	$d$	$=$	$\frac{\| [\vec{a_{1}} \vec{a_{2}} (\vec{r_{2}} - \vec{r_{1}})] \|}{\| \vec{a_{1}} \times \vec{a_{2}} \|}$

0/19/2/6/5 .
Beispiel 20 - 205
Gegeben seien die Geraden:

$g_{1}$ :	$=$	$(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + λ_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$

$g_{2}$ :	$=$	$(\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + λ_{2} (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

Wie groß ist der Abstand der beiden Geraden ? .

Prüfen auf Schnittpunkte und Winkel:

λ_{2}

: .
.

$λ_{1}$	$λ_{1}$	$c$

$1$	$- 2$	$2$	tauschen mit $I I$
$1$	$0$	$- 2$	tauschen mit $I$
$1$	$- 1$	$2$

$1$	$0$	$- 2$
$1$	$- 2$	$2$	$- I$
$1$	$- 1$	$2$	$- I$

$1$	$0$	$- 2$
$0$	$- 2$	$4$	$☈$
$0$	$- 1$	$4$	$☈$

.
.
Das GLS ist nicht lösbar, es gibt keinen Schnittpunkt. .

Prüfen auf Kollinearität: .
.
#a1 × #a2 = xyz 2 11 2 0 1 = 1 - 0 2 - 1 0 - 2 = 1 1 -2 ≠ . .
.
$|$ #
a1 × #
a2 | = 12 + 12 + (-2)2 = 6.
.
Abstand: $d = | [$ #a1 #a2 ( #r2 - #r1 )]| | #a
1 × #a
2 | .

$| [$ #
a1 #
a2 ( #
r2 - #
r1 )]| = 1-22 1 1 1 2 0 1 = |2-4+0-4-0+2| = 4. .
.
$d = \frac{4}{\sqrt{6}}$ . .

.
0/19/2/6/6

0/19/2/7

20.2.5 Anwendungsbeispiele

0/19/2/7/0 .
Beispiel 20 - 206
Gegeben seien die Geraden:

$g_{1}$ :	$=$	$(\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) + λ_{1} (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})$

$g_{2}$ :	$=$	$(\begin{matrix} - 1 \\ 5 \\ 10 \end{matrix}) + λ_{2} (\begin{matrix} - 4 \\ 4 \\ 6 \end{matrix})$

Wie liegen die Geraden zueinander ? .
.

Wo liegt ggf. der Schnittpunkt?

$3 + 2 λ_{1}$	$=$	$- 1 - 4 λ_{2}$		$2 λ_{1} + 4 λ_{2}$	$=$	$- 4$
$- 1 + 4 λ_{1}$	$=$	$5 + 4 λ_{2}$	$\Rightarrow$	$4 λ_{1} - 4 λ_{2}$	$=$	$6$
$2 + 3 λ_{1}$	$=$	$10 + 6 λ_{2}$		$3 λ_{1} - 6 λ_{2}$	$=$	$8$

$λ_{1}$	$λ_{2}$	$c$
$2$	$4$	$- 4$	$\cdot \frac{1}{2}$
$4$	$- 4$	$6$	$- 4 \cdot I \cdot 2$
$3$	$- 6$	$8$	$- 3 \cdot I \cdot 2$

$1$	$2$	$- 2$
$0$	$- 12$	$14$	$\cdot - \frac{1}{2}$
$0$	$- 12$	$14$	$\cdot - \frac{1}{2}$	(kann wegbleiben)

$1$	$2$	$- 2$	$+ I I ∕ 3$
$0$	$6$	$- 7$	$\cdot \frac{1}{6}$

$1$	$2$	$- 2$
$0$	$1$	$- \frac{7}{6}$

$1$	$2$	$2$	$2 \cdot I I$
$0$	$1$	$- \frac{7}{6}$

$1$	$0$	$- \frac{6 - 7}{3}$
$0$	$1$	$- \frac{7}{6}$

.
Lösung: $λ_{1} = \frac{1}{3}$ ; $λ_{2} = - \frac{7}{6}$ $\Rightarrow$ .
.

Schnittpunkt:	$S$	$=$	$(\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) + \frac{1}{3} (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})$	$=$	$(\begin{matrix} \frac{11}{3} \\ \frac{1}{3} \\ 3 \end{matrix})$ .

.
.
.
Schnittwinkel:

φ = arccos

⋅

|⋅|

| = arccos 2 4 3 ⋅11 3 1 3 3 4+16+9⋅16+16+36 .
.

= arccos \frac{- 8 + 16 + 18}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{68}} \approx 0.3 \cdot π \approx 5 4^{o}

.
0/19/2/7/1

0/19/2/7/2 .
Beispiel 20 - 207
Gegeben seien die Geraden:

$g_{1}$ :	$=$	$(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{matrix}) + λ_{1} (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix})$

$g_{2}$ :	$=$	$(\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 9 \end{matrix}) + λ_{2} (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{matrix})$

Wie liegen die Geraden zueinander ?

Man kann zunächst beide Geradengleichungen gleichsetzen:

$1 + 2 λ_{1}$	$=$	$2 - 1 λ_{2}$
$3 + 4 λ_{1}$	$=$	$5 - 2 λ_{2}$
$5 + 6 λ_{1}$	$=$	$9 - 3 λ_{2}$

Das Gleichungssystem hat keine Lösungen. .
.
Prüfen auf Kollinearität:

a_{1} \times a_{2}

|\begin{matrix} x & y & z \\ 2 & 4 & 6 \\ - 1 & - 2 & - 3 \end{matrix}| =

(\begin{matrix} - 12 + 120 \\ - 6 + 6 \\ - 4 + 4 \end{matrix}) = ()

0 0 0

..
.
Bestimmung des Abstands der kollinearen Geraden: Man bestimmt den Abstand eines Punkts der Geraden 2 (z.B. Ortsvektor) zur Geraden

g_{1}

$d = |$ #
P2P1 × #
a1 | |a1 →|

#
P2P1 × #
a1 = x y z 1 - 15 - 39 - 5 2 4 6 = xyz 0 24 2 4 6 = 12 - 16 8 - 0 0 - 4 = -4 8 -4 .
.
$d = \frac{\sqrt{4^{2} + 8^{2} + 4^{2}}}{\sqrt{2^{2} + 4^{2} + 6^{2}}} = \frac{\sqrt{96}}{\sqrt{56}} \approx \frac{9, 7}{7, 48} \approx 1, 3$

.
0/19/2/7/3

0/19/2/7/4 .
Beispiel 20 - 208
Der Sicherheitsabstand zweier Flugzeuge sei $200 m$ . Die Flugzeuge bewegen sich längs der Geraden:

(λ1)	$=$	$(\begin{matrix} 100 \\ 200 \\ 100 \end{matrix}) m + λ_{1} (\begin{matrix} 100 \\ 100 \\ 100 \end{matrix}) m$
(λ2)	$=$	$(\begin{matrix} 300 \\ 0 \\ 300 \end{matrix}) m + λ_{2} (\begin{matrix} 200 \\ 0 \\ 100 \end{matrix}) m$

.
.
Wird der Sicherheitsabstand eingehalten? .
.

[a_{1} a_{2} (

)] = 100 100 100 200 0 100 200-200200 = -4⋅106m3 .
.

#a
1 × #a
2 = x y z 100100100200 0 100 m2 = 104 104 -2 ⋅ 104 m2.
.
$|$ #
a1 × #
a2 | = 6⋅104m2.
.

$d = \frac{4 \cdot 1 0^{6}}{\sqrt{6} \cdot 1 0^{4}} m \approx 163 m$ .

.
0/19/2/7/5

0/19/2/8

20.2.6 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/19/3

20.3 Vektorielle Darstellung der Ebene

0/19/3/0

0/19/3/1

20.3.1 Punkt-Richtungsform

0/19/3/1/0

Eine Ebene in Punkt-Richtungsform kann man wie folgt darstellen: .
$\vec{r} = \vec{r} (λ, μ) = \vec{r_{1}} + λ \vec{a} + μ \vec{b}$ .
oder in Komponentenschreibweise: .
.
0/19/3/1/1 .
Beispiel 20 - 209
Ebenendarstellung in Punkt-Richtungsform .

Abbildung 38: Ebene: Punkt-Richtungsform

.
$(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{matrix}) = + (\begin{matrix} x_{1} + λ a_{x} + μ b_{x} \\ y_{1} + λ a_{y} + μ b_{y} \\ z_{1} + λ a_{z} + μ b_{z} \end{matrix}) .$

Dabei bedeuten: .

x, y, z

: Koordinaten des laufenden Punkts in der Ebene .

x_{1}, y_{1}, z_{1}

: Koordinaten des vorgegebenen Punkts in der Ebene (Ortsvektor) .

a_{x}, a_{y}, a_{z}

und

b_{x}, b_{y}, b_{z}

: Skalare Vektorkomponenten der beiden nicht kollinearen Richtungsvektoren

und

der Ebene (

≠

) .

λ, μ

voneinander unabhängige Parameter. .
.
0/19/3/1/2 .
0/19/3/1/3 .
Beispiel 20 - 210
Ebenendarstellung in Punkt-Richtungsform .
Die Ebene

E

verläuft durch den Punkt

P_{1} = (3; 5; 1)

, .
mit den Richtungsvektoren

= 2 5 1 und

= 5 1 3 . .
Die zugehörige Ebenendarstellung in Punkt-Richtungsform lautet dann: .

(λ; μ) =

+λ

+μ

= 3 5 1 +λ 2 5 1 +μ 5 1 3

$= (\begin{matrix} 5 + 2 λ + 5 μ \\ 5 + 5 λ + μ \\ 1 + λ + 3 μ \end{matrix}) .$

.
0/19/3/1/4 .

0/19/3/2

20.3.2 Drei-Punkte-Form

0/19/3/2/0

Eine Ebene in Drei-Punkte-Form läßt sich recht einfach in eine Punkt-Richtungsform bringen, indem man aus jeweils zwei Punkten einen Richtungsvektor bildet:
$\vec{r} (P) = \vec{r_{1}} + λ \vec{P_{1} P_{2}} + μ \vec{P_{1} P_{3}}$ . oder in Komponentenschreibweise: .
.
0/19/3/2/1 .
Beispiel 20 - 211
Ebenendarstellung in Punkt-Richtungsform .
mit #
P1 = #
r1 = x1 y1 z1 , #
P2 = x2 y2 z2 und #
P3 = x3 y3 z3 .
erhält man .

(P) = x1 y1 z1 +λ x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 +μ x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1 = + x1 + λ(x2 - x1) + μ(x2 - x1) y1 + λ(y2 - y1) + μ(y3 - y1) z1 + λ(z2 - z1) + μ(z3 - z1) .

.
0/19/3/2/2 .
0/19/3/2/3 .
Beispiel 20 - 212
Umwandlung der Ebenendarstellung: Drei-Punkte-Form in eine Parameterdarstellung .
Gegeben sind die drei Punkte mit den Ortsvektoren

= 1 5 0 ,

= -2 -1 8 und

= 2 0 1 .
Die Parameterdarstellung der Ebene lautet dann .

(P) = x1 y1 z1 +λ x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 +μ x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1 = .

(\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} - 2 - 1 \\ - 1 - 5 \\ 8 - 0 \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} 2 - 1 \\ 0 - 5 \\ 1 - 0 \end{matrix})

= (\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} - 3 \\ - 6 \\ 8 \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} 1 \\ - 5 \\ 1 \end{matrix})

.
0/19/3/2/4 .

0/19/3/3

20.3.3 Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor (Normalenvektordarstellung)

0/19/3/3/0

Ist $\vec{r}$ der Ortsvektor des laufenden Punkts P der Ebene, so liegt der Vektor $\vec{P_{1} P} = \vec{r} - \vec{r_{1}}$ in der Ebene und steht somit senkrecht auf den Normalenvektor $\vec{n}$ . Das heißt, das Skalarprodukt verschwindet:
$\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{r_{1}}) = 0$ .
0/19/3/3/1 .
Beispiel 20 - 213
Normalenvektor-Darstellung .

oder ausgeschrieben: .

n_{x} (x - x_{1}) + n_{y} (y - y_{1}) + n_{z} (z - z_{1}) = 0

. .
Dies ist gleichbedeutend mit der Koordinatendarstellung einer Ebene: .

a x + b y + c z + d = 0

.
Den Normalenvektor erhält man einfach über das Kreuzprodukt zweier nicht kollinearer Richtungsvektoren: .

Hierbei sind: .

x, y, z

: Koordinaten des laufenden Punkts in der Ebene .

x_{1}, y_{1}, z_{1}

: Koordinaten des vorgegebenen Punkts der Ebene .

n_{x}, n_{y}, n_{z}

Vektorkomponenten des Normalenvektors

.
.
0/19/3/3/2 .
0/19/3/3/3 .
Beispiel 20 - 214
Umwandlung in eine Normalenvektor-Darstellung .
Gegeben sei eine Ebene .

(P) = 3 5 1 +λ -5 -6 7 +μ -1 -5 0 .

Ein Normalenvektor ist z.B.

.
.

= x y z -5-67 -1-50

= (\begin{matrix} 0 + 35 \\ - 7 + 0 \\ 25 - 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 35 \\ - 7 \\ 19 \end{matrix})

\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{r_{1}}) = 0

.
.

(\begin{matrix} 35 \\ - 7 \\ 19 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} r_{x} - 3 \\ r_{y} - 5 \\ r_{z} - 1 \end{matrix}) = 0

.
.
Umwandlung in Achsenabschnittsform: .

35 (r_{x} - 3) - 7 (r_{y} - 5) + 19 (r_{z} - 1) = 0

35 r_{x} - 7 r_{y} + 19 r_{z} = 105 - 35 + 19 = 99

.
0/19/3/3/4 .

0/19/3/4

20.3.4 Umwandlung einer Normalendarstellung in eine Drei-Punkte-Form

0/19/3/4/0

.
0/19/3/4/1 .
Beispiel 20 - 215
Umwandlung einer Normalenvektor-Darstellung in Punkt-Richtungsform .
Gegeben sei ein Ortsvektor eines Punkts der Ebene .
#r1 = 3 5 1 und der Normalenvektor #
n = 35-7 19 . .

Zunächst versucht man einen weiteren Punkt der Ebene zu bestimmen, indem man versuchsweise x und y vorgibt und z über die Gleichung der Ebene bestimmt. Damit erhält man einen Richtungsvektor

. .
Beispiel:

= 0 0 z .
.
Eingesetzt in die Normalengleichung bzw. Achsenabschnittsform

\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{r_{1}}) = 0

erhält man: .

$35 (0 - 3) - 7 (0 - 5) + 19 (z - 1) = 0$ .
$- 105 + 35 + 19 (z - 1) = 0$ .
$z - 1 = \frac{70}{19}$ .
$z = \frac{89}{19}$ .
.
#r4 = 0 0 89 19 .
Richtungsvektor = #r4 - #r1 = 0 - 3 0 - 5 89 19 - 1 = -3 -5 70 19 $.$ . .
Den Vektor #
b kann man über das Kreuzprodukt bestimmen: #
b = #
a × #
n .

.
0/19/3/4/2 .

0/19/3/5

20.3.5 Abstand eines Punktes von einer Ebene

0/19/3/5/0

Prinzip: Der Abstand d eines Punkts Q zu einer Ebene ist bestimmbar durch die Projektion des Vektors ${\vec{r}}_{d} = {\vec{r}}_{Q} - {\vec{r}}_{1}$ auf den Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene.

0/19/3/5/1 .
Beispiel 20 - 216
Projektion eines Punkts auf den Normalenvektor .

Abbildung 39: Projektion eines Punkts auf den Normalenvektor

.
0/19/3/5/2 .

$d = | \vec{r_{d n}} | = | \vec{r_{d}} | \cdot cos φ = \frac{| \vec{r_{d}} \cdot \vec{n} |}{| \vec{n} |}$ , .
da $| \vec{r_{d}} | \cdot | \vec{n} | \cdot cos φ = \vec{r_{d}} \cdot \vec{n}$ . .

Damit wird $d = \frac{| \vec{n} \cdot (\vec{Q} - \vec{P_{1}}) |}{| \vec{n} |}$ . .

0/19/3/5/3 .
Beispiel 20 - 217
Gegeben sei ein Ortsvektor eines Punkts der Ebene .
#r1 = 1 2 3 und der Normalenvektor #
n = -8 8 0 . .
Bestimmen Sie den Abstand des Punktes #
Q = 2 6 8 von der Ebene. .

Normalengleichung

\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{r_{1}}) = 0

$d = \frac{| \vec{n} \cdot (\vec{Q} - \vec{P_{1}}) |}{| \vec{n} |}$ . .

$d = \frac{|(\begin{matrix} - 8 \\ 8 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 - 1 \\ 6 - 2 8 - 3 \end{matrix})|}{| \sqrt{8^{2} + 8^{2}} |} = \frac{|(\begin{matrix} - 8 \\ 8 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 4 5 \end{matrix})|}{| \sqrt{8^{2} + 8^{2}} |} = \frac{- 8 \cdot 1 + 8 \cdot 4}{8 \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ . .

.
0/19/3/5/4 .

0/19/3/6

20.3.6 Abstand einer (parallelen) Geraden von einer Ebene

0/19/3/6/0

Geraden können zu Ebenen folgende Lagen haben

1.: g und E sind parallel zueinander
2.: g liegt in der Ebene E
3.: g und E schneiden sich in einem Punkt

ad 1.) .
Ist eine Gerade parallel zu einer Ebene E, so ist dessen Richtungsvektor senkrecht zu dem Normalenvektor der Ebene (Skalarprodukt = 0).
Danach bestimmt man den Abstand eines Punkts der Geraden zur Ebene durch Projektion von $(\vec{r_{1}} - \vec{r_{0}})$ auf $\vec{n}$ . .
.
Der Abstand beträgt $d = \frac{| \vec{n} \cdot (\vec{r_{1}} - \vec{r_{0}}) |}{| \vec{n} |}$ . .
0/19/3/6/1 .
Beispiel 20 - 218
Abstand Gerade-Ebene .
Gegeben sei eine Gerade mit dem Ortsvektor .
#
r1 = 0 1 -1 und dem Richtungsvektor #
a = -1 -4 2 . .
sowie eine Ebene dem Ortsvektor #P0 = 1 5 2 und dem Normalenvektor #
n = 2 1 3 . .
.
Wie liegen die Gerade und die Ebene zueinander ? .

\vec{n} \cdot \vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 4 \\ 2 \end{matrix}) = - 2 - 4 + 6 = 0

. .
.
Ebene und Gerade verlaufen also parallel. .
.

d = \frac{| \vec{n} \cdot (\vec{r_{1}} - \vec{P_{0}}) |}{| \vec{n} |}

. .
.

\vec{n} \cdot (\vec{r_{1}} - \vec{P_{0}}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 - 1 \\ 1 - 5 \\ 1 - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 4 \\ - 1 \end{matrix}) = - 2 - 4 - 9 = - 15

. .
.

|

| = 22 + 12 + 32 = 14.
.

d = \frac{- 15}{\sqrt{14}}

. .

.
0/19/3/6/2 .
ad 2.) .
Ist der Abstand d=0, so liegt die Gerade auf der Ebene. .

0/19/3/7

20.3.7 Schnittpunkt/Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene

1.

Die Ebene liegt in Parameterdarstellung vor .
Zu lösen ist dann das Gleichungssystem .

\vec{E} = \vec{r_{1}} + λ_{1} \vec{a_{1}} + λ_{2} \vec{a_{2}} = \vec{r_{2}} + μ \vec{b}

.
Beispiel 20 - 219
Schnittpunkt Gerade - Ebene bei Darstellung in Punkt-Richtungsform. .
Gegeben sei eine Ebene mit dem Ortsvektor .

= 3 4 1 , den Richtungsvektoren

= 1 2 0 und

= 2 -1 -5 .
sowie eine Gerade mit dem Ortsvektor .

= 2 1 5 und dem Richtungsvektor

= 3 -4 0 . .
Bestimmen Sie den Schnittpunkt. .

Zu lösen ist das Gleichungssystem

(\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) + λ_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + λ_{2} (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})

. .

Für x:	$λ_{1}$	$+ 2 λ_{2}$	$- 3 μ$	$=$	$- 1$
Für y:	$2 λ_{1}$	$- λ_{2}$	$+ 4 μ$	$=$	$- 3$
Für z:		$- 5 λ_{2}$		$=$	$4$

$λ_{1}$	$λ_{2}$	$μ$	$c$
$1$	$2$	$- 3$	$- 1$
$2$	$- 1$	$4$	$- 3$	nach III
$0$	$- 5$	$0$	$4$	nach II

$1$	$2$	$- 3$	$- 1$
$0$	$- 5$	$0$	$4$	:-5
$2$	$- 1$	$4$	$- 3$	-2I

$1$	$2$	$- 3$	$- 1$	-2II
$0$	$1$	$0$	$- \frac{4}{5}$
$0$	$- 5$	$10$	$- 1$	+5II, :5

$1$	$0$	$- 3$	$\frac{- 5 + 8}{5}$	+3III
$0$	$1$	$0$	$- \frac{4}{5}$
$0$	$0$	$1$	$- \frac{1}{2}$

$1$	$0$	$0$	$\frac{6 - 15}{10}$	-2II
$0$	$1$	$0$	$- \frac{4}{5}$
$0$	$0$	$1$	$- \frac{1}{2}$

Lösung: $λ_{1} = - \frac{9}{10}$ ; $λ_{2} = - \frac{4}{5}$ ; $μ = - \frac{1}{2}$ .
Der Schnittpunkt kann über die Ebenengleichung oder über die Geradengleichung bestimmt werden (dient als Probe !) und liegt bei: .
$(\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) - \frac{9}{10} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) - \frac{4}{5} (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) - \frac{1}{2} (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 - \frac{9 + 16}{10} \\ 4 - \frac{18 - 8}{10} \\ 1 + \frac{40}{10} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 - \frac{5}{2} \\ 3 \\ 1 + 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 3 \\ 5 \end{matrix})$ . .

.
.

2.

Die Ebene liegt in Normalendarstellung vor

Der Ortsvektor $\vec{r_{s}}$ des Schnittpunkts muss sowohl die Geradengleichung als auch die Ebenengleichun erfüllen: .
$\vec{r_{s}} = \vec{r_{1}} + λ_{s} \cdot \vec{a}$ .
$\vec{n} \cdot (\vec{r_{s}} - \vec{r_{0}}) = 0$ . .
Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite und Auflösen nach $λ_{S}$ ergibt den Wert für den Schnittpunkt: .

.
Beispiel 20 - 220

\vec{n} \cdot (\vec{r_{1}} + λ_{s} \vec{a} - \vec{r_{0}}) = 0

⋅(

)+λs(

⋅

) = 0 .

λ_{s} = \frac{\vec{n} \cdot (\vec{r_{0}} - \vec{r_{1}})}{\vec{n} \cdot \vec{a}}

. .
Oben eingesetzt, erhält man: .

\vec{r_{s}} = \vec{r_{1}} + λ_{s} \cdot \vec{a} = \vec{r_{s}} = \vec{r_{1}} + \frac{\vec{n} \cdot (\vec{r_{0}} - \vec{r_{1}})}{\vec{n} \cdot \vec{a}} \cdot \vec{a}

Abbildung 40: Schnittwinkel Gerade - Ebene

.
.
Damit ergibt sich:

\vec{r_{s}} = \vec{r_{1}} + (\frac{\vec{n} \cdot (\vec{r_{0}} - \vec{r_{1}})}{\vec{n} \cdot \vec{a}}) \cdot \vec{a}

.
Der Schittwinkel

φ = 9 0^{o} - α

berechnet sich über das Skalarprodukt: .

$cos (9 0^{o} - α) = sin α = \frac{\vec{n} \cdot \vec{a}}{| \vec{n} | \cdot | \vec{a} |}$ bzw. $α = arcsin (\frac{| \vec{n} \cdot \vec{a} |}{| \vec{n} | \cdot | \vec{a} |})$ . .

0/19/3/8 .
Beispiel 20 - 221
Schnittpunkt Gerade - Ebene bei Darstellung in Normalform. .
Gegeben sei eine Ebene mit dem Ortsvektor .
#P
0 = 3 4 1 und dem Normalenvektor = 2 -1 1 .
sowie eine Gerade mit dem Ortsvektor .
#P
1 = 2 1 5 und dem Richtungsvektor = 3 -4 0 . .
Bestimmen Sie Schnittpunkt und Schnittwinkel. .

\vec{r_{s}} = \vec{r_{1}} + \frac{\vec{n} \cdot (\vec{r_{0}} - \vec{r_{1}})}{\vec{n} \cdot \vec{a}} \cdot \vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) + \frac{(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) + \frac{2 - 3 - 4}{6 + 4} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1, 5 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0, 5 \\ 3 \\ 5 \end{matrix})

Schnittwinkel: $φ = arcsin$ #
n ⋅ #
a | |⋅| | = arcsin 2 -1 1 ⋅ 3 -4 0 4+1+1⋅9+16+0
$= arcsin \frac{6 + 4 + 0}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{25}} = arcsin \frac{10}{\sqrt{6} \cdot 5} \approx 0.3 \cdot π \approx 5 5^{o}$

.
0/19/3/9 .

0/19/3/10

20.3.8 Lage zwischen zwei Ebenen

0/19/3/10/0

Zwei Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ können folgende Lagen zueinander haben:

1.: Sie sind parallel zueinander Die beiden Ebenen sind parallel zueinander, wenn ihre Normalenvektoren parallel sind (Vektorprodukt = 0) .
Dann entspricht der Abstand der Projektion eines Punkts der Ebene $E_{2}$ auf den Normalenvektor der Ebene $E_{1}$ . .
2.: Sie fallen zusammen (s. o., nur ist der Abstand der Ebenen Null.)
3.: Sie schneiden sich längs einer Geraden

Fall 1: Die Ebenen sind parallel zueinander .
Eine Nachprüfung kann durch Bilden des Kreuzprodukts der Normalenvektoren erfolgen. .
Den Abstand der Ebenen zueinander bestimmt man einfach, indem man den Abstand irgendeines Ortsvektors der Ebene 2 zur Ebene 1 bildet: .
.
0/19/3/10/1 .
Beispiel 20 - 222
zwei parallel zueinander stehende Ebenen .

Abbildung 41: zwei parallel zueinander stehende Ebenen

.
0/19/3/10/2 .
Dann bestimmt sich der Abstand zu

d = \frac{| \vec{n_{1}} \cdot (\vec{r_{2}} - \vec{r_{1}}) |}{| \vec{n_{1}} |}

0/19/3/10/3 .
Beispiel 20 - 223
zwei parallel zueinander stehende Ebenen: .
Gegeben seien zwei Ebenen mit den Ortsvektoren .
#
P1 = 7 3 -4 und #
P2 = -1 0 8 .
sowie den Normalenvektoren #n
1 = -1 4 2 und #n2 = -2 8 4 . .
Bestimmen Sie die Lage der Ebenen zueinander. .

Bestimmung der Richtungen zueinander über das Kreuzprodukt .
.

\vec{n_{1}} \times \vec{n_{2}} = |\begin{matrix} x & y & z \\ - 1 & 4 & 2 \\ - 2 & 8 & 4 \end{matrix}| = (\begin{matrix} 16 - 16 \\ - 4 - (- 4) \\ - 8 - (- 8) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

. .
.
Ebene und Gerade verlaufen also parallel. .
.

d = \frac{| \vec{n_{1}} \cdot (\vec{r_{2}} - \vec{r_{1}}) |}{| \vec{n_{1}} |}

. .
.

\vec{n_{1}} \cdot (\vec{r_{2}} - \vec{r_{1}}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 1 - 7 \\ 0 - 3 \\ 8 + 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 8 \\ - 3 \\ 12 \end{matrix}) = 8 - 12 + 24 = 20

. .
.

|

| = (-1)2 + 42 + 22 = 21.

d = \frac{20}{\sqrt{21}} \approx 4, 36

. .

.
0/19/3/10/4 Fall 2: Die Ebenen fallen zusammen .
Dann sind sie parallel und haben den Abstand d = 0. .
.
Die Rechnung erfolgt analog wie oben. .
.
In allen anderen Fällen tritt .
Fall 3 ein: Die Ebenen schneiden sich längs einer Geraden .
0/19/3/10/5 .
Beispiel 20 - 224
Schnittgerade zweier Ebenen .

Abbildung 42: Schnittgerade zweier Ebenen

.
0/19/3/10/6 .
Liegen die Ebenengleichungen in der Form .

\vec{E_{1}} = \vec{r_{1}} + λ_{1} \vec{a_{1}} + μ_{1} \vec{b_{1}}

.
bzw.

\vec{E_{2}} = \vec{r_{2}} + λ_{2} \vec{a_{2}} + μ_{2} \vec{b_{2}}

vor, .
so erhält man durch Gleichsetzen unendlich viele Lösungen (3 Gleichungen, 4 Unbekannte), die alle auf einer Geraden liegen (Die Rechnung kann etwas aufwendiger werden !): .

\vec{g_{1}} = \vec{g_{2}}

\vec{r_{1}} + λ_{1} \vec{a_{1}} + μ_{1} \vec{b_{1}} = \vec{r_{2}} + λ_{2} \vec{a_{2}} + μ_{2} \vec{b_{2}}

. .
.

Alternativ führt das folgende Prinzip zu einer einfach zu bestimmenden Lösung: Der Richtungsvektor der Geraden ist senkrecht zu $\vec{n_{1}}$ und $\vec{n_{2}}$ . .
$\vec{a} = \vec{n_{1}} \times \vec{n_{2}}$ . .
Ein Ortsvektor $\vec{r_{0}}$ muss die beiden Ebenengleichungen erfüllen: .
$\vec{n_{1}} \cdot (\vec{r_{0}} - \vec{r_{1}}) = 0$ und $\vec{n_{2}} \cdot (\vec{r_{0}} - \vec{r_{2}}) = 0$ .
bzw. ausmultipliziert: .
$n_{1 x} (x_{0} - x_{1}) + n_{1 y} (y_{0} - y_{1}) + n_{1 z} (z_{0} - z_{1}) = 0$ und .
$n_{2 x} (x_{0} - x_{2}) + n_{2 y} (y_{0} - y_{2}) + n_{2 z} (z_{0} - z_{2}) = 0$ . .
.
Der Schnittwinkel errechnet sich wiederum über das Skalarprodukt:
$φ = arccos (\frac{\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}}{| \vec{n_{1}} | \cdot | \vec{n_{2}} |})$ . .
.
0/19/3/10/7 .
Beispiel 20 - 225
Schnittgerade Ebene - Ebene bei Darstellung in Normalenform. .
Gegeben sei eine Ebene mit dem Ortsvektor .
#r1 = 1 0 1 , dem Normalenvektor #
n1 = 1 5 -3 .
sowie eine Gerade mit dem Ortsvektor .
#r2 = 0 3 0 und dem Normalenvektor #
n2 = 2 1 2 . .
Bestimmen Sie die Schnittgerade (λ) = 0+λ . .

.
man erhält

1×

2 = 1 5 -3 ×2 1 2 = 10 + 3 -6 - 2 1 - 10 = 13-8 -9 . .
.
Die Ebenen sind nicht parallel, da

1×

2≠

. .

Einen Ortsvektor $\vec{r_{0}}$ erhalten wir aus den beiden Ebenengleichungen: .
.
$\vec{n_{1}} \cdot (\vec{r_{0}} - \vec{r_{1}}) (\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ - 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{0} - 1 \\ y_{0} - 0 \\ z_{0} - 1 \end{matrix}) = x_{0} - 1 + 5 y_{0} - 3 (z_{0} - 1) = 0$ .
und .
$\vec{n_{2}} \cdot (\vec{r_{0}} - \vec{r_{2}}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{0} - 0 \\ y_{0} - 3 \\ z_{0} - 0 \end{matrix}) = 2 x_{0} + y_{0} - 3 + 2 z_{0} = 0$ . .
.
Wahl von $x_{0} = 0$ : .
.
$\begin{matrix} 5 y_{0} & - 3 z_{0} & = & - 2 \\ y_{0} & + 2 z_{0} & = & 3 \end{matrix}$ .
.

Auflösen ergibt $y_{0} = \frac{5}{13}$ und $z_{0} = \frac{17}{13}$ . .
Daraus folgt die Geradengleichung .
.
#
r (λ) = #
r 0+λ #
a = 0 5 13 17 13 +λ 13-8 -9 = 13λ 5 13 - 8λ 17 13 - 0λ . .
.
Der Schnittwinkel errechnet sich wiederum über das Skalarprodukt:
.
$φ = arccos (\frac{\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}}{| \vec{n_{1}} | \cdot | \vec{n_{2}} |})$ . .

Schnittwinkel: $φ = arccos \frac{(\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ - 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})}{\sqrt{1^{2} + 5^{2} + {(- 3)}^{2}} \cdot \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}}$
.
$= arccos \frac{2 + 5 - 6}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{9}} = arccos \frac{1}{\sqrt{35} \cdot 3} \approx arccos 0, 056 \approx 1, 51 \approx 8 7^{o}$

.
0/19/3/10/8 .

0/19/3/11

20.3.9 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/19/4

20.4 Drehung von Vektoren

0/19/4/0

0/19/4/1

20.4.1 Drehung von Vektoren um die x-,y- oder z-Achse

0/19/4/1/0

Vektoren in $\vec{x} = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})$ -Darstellung können gedreht werden, indem man sie mit mit Drehmatrizen multipliziert: .
.
$\vec{x_{1}} = ℝ (α) \vec{x}$ . .
.
Für einen vorgegebenen Winkel $α$ wird die Drehung um die x-Achse beschrieben mit: .
.
$ℝ_{x} (α) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c o s α & - s i n α \\ 0 & s i n α & c o s α \end{matrix})$ .
.
Die Drehung um die y-Achse wird beschrieben mit: .
.
$ℝ_{y} (α) = (\begin{matrix} c o s α & 0 & s i n α \\ 0 & 1 & 0 \\ - s i n α & 0 & c o s α \end{matrix})$ .
.

Die Drehung um die z-Achse wird beschrieben mit: .
.
$ℝ_{z} (α) = (\begin{matrix} c o s α & - s i n α & 0 \\ s i n α & c o s α & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ .
0/19/4/1/1 .
Beispiel 20 - 226
Modell eines einfachen (nur bedingt praxistauglichen) Roboters .
Gegeben sei ein Zweiachsenroboter mit den Achsen $a_{1}$ und $a_{2}$ :

Abbildung 43: einfaches Robotermodell

.
Die Koordinaten der Spitze des Roboters liegen bei (1,2,4) [m]. .
Nun dreht der Roboter zunächst seine Spitze um die Achse $a_{1}$ um 45°gegen den Uhrzeigersinn und danach um seine Achse $a_{2}$ um 45°gegen den Uhrzeigersinn. Wo steht dann die Spitze ?

.
Wechsel des Bezugssytems: Neuer Ursprung (0,2,4). Bezüglich dieses Bezugspunkts hat die Spitze die Koordinaten (1,0,0). .
Drehung um Achse

a_{1}

: .

= ℝ(α)

= 1 2 0 1 2 0 1 0 - 1 20 1 2 1 0 0 = 1 2 0 - 1 2 . .
Erneuter Wechsel des Bezugssytems: Neuer Ursprung (0,0,4). Bezüglich dieses Bezugspunkts hat die (gedrehte) Spitze die Koordinaten

(\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 2 \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

. .
Drehung um Achse

a_{2}

: .

= ℝ(α)

= 1 2- 1 20 1 2 1 2 0 0 0 1 1 2 2 - 1 2 = 1 2 - 2 2 1 2 + 2 2 - 1 2 . .
Die neue Lage der Spitze ist dann nach Transformation in (0,0,0):

(\begin{matrix} \frac{1}{2} - \sqrt{2} \\ \frac{1}{2} + \sqrt{2} \\ 4 - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

. .

.
0/19/4/1/2 .

0/19/4/2

20.4.2 Drehung von Vektoren um eine allgemeine Achse

Hat man eine Drehung um den Winkel $α$ um eine beliebige Achse, die durch einen beliebigen Einheitsvektor $\vec{\hat{n}} = (\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix})$ (mit $| \vec{n} | = 1)$ vorgegeben ist, so läßt sich die Drehung beschreiben als: .
$R_{\vec{n}} (α) \cdot \vec{x} = \vec{\hat{n}} (\vec{\hat{n}} \cdot \vec{x}) + cos α (\vec{\hat{n}} \times \vec{x}) \times \vec{\hat{n}} + sin α (\vec{\hat{n}} \times \vec{x})$ . .
In Matrixdarstellung lautet die Drehmatrix .
$ℝ_{\vec{n}} (α) =$ .
.
$= (\begin{matrix} c o s α + n_{1}^{2} (1 - cos α) & n_{1} n_{2} (1 - cos α) - n_{3} sin α & n_{1} n_{3} (1 - cos α) + n_{2} sin α \\ n_{1} n_{2} (1 - cos α) + n_{3} sin α & c o s α + n_{2}^{2} (1 - cos α) & n_{2} n_{3} (1 - cos α) - n_{1} sin α \\ n_{3} n_{1} (1 - cos α) - n_{2} sin α & n_{2} n_{3} (1 - cos α) + n_{1} sin α & c o s α + n_{3}^{2} (1 - cos α) \end{matrix})$ . .
.
.
.
.

Beispiele zum weiteren Üben (Als Benutzername und Passwort dient Ihr Account für den zentralen Anmeldedienst des Rechenzentrums (E-Mail Account)der FH Kaiserslautern): .
Übungsbeispiele im Internet
.

$\vec{a} - \vec{b}$	$=$	$(\binom{a_{x} - b_{x}}{a_{y} - b_{y}})$

1 Einleitung

1.1 Motivation und Hilfsmittel

1.1.1 Zielsetzung

1.1.2 Literatur und weitere Hilfsmittel

1.1.3 Übungen

2 Gleichungen

2.1 Terme und Gleichungen, Äquivalenzumformungen

2.1.1 Äquivalenz

2.1.2 Typen von Gleichungen

2.1.3 Algebraische Terme

2.1.4 Äquivalenzumformungen

2.2 Algebraische Gleichungen

2.2.1 Lineare Gleichungen

2.2.2 Quadratische Gleichungen

2.2.3 Gleichungen 3. Grades

2.2.4 Bi-quadratische Gleichungen

2.2.5 Wurzelgleichungen

2.2.6 Übungen

2.3 Betragsgleichungen

2.3.1 Vorgehen bei stetigen Komponenten

2.3.2 Übungen

2.4 Ungleichungen

2.4.1 Äquivalenzumformungen

2.4.2 Bestimmen der Lösungen

2.4.3 Betragsungleichungen

2.4.4 Übungen

3 Funktionen und Kurven, Darstellung

3.1 Einleitung

3.1.1 Definition

3.2 Darstellungsformen

3.2.1 Wertetabelle

3.2.2 graphische Darstellung

3.2.3 analytische Darstellung

3.2.4 Parameterdarstellung

3.3 Algemeine Eigenschaften von Funktionen

3.3.1 Nullstellen

3.3.2 Symmetrieverhalten

3.3.3 Übungen

3.3.4 Monotonie für x1 < x2

3.3.5 Periodizität

3.3.6 Umkehrfunktion

3.3.7 Übersicht: Bestandteile einer Kurvendiskussion

3.4 Lineare Transformationen

3.4.1 Koordinatentransformation

3.5 Polarkoordinaten

3.5.1 Polarkoordinaten im Zweidimensionalen

3.5.2 Polarkoordinaten im Dreidimensionalen

3.5.3 Zylinderkoordinaten

3.5.4 Kugelkoordinaten

3.5.5 Kugelkoordinaten in der Geographie

4 Computer Algebra Systems

4.1 Übersicht

4.2 Beispiel Maxima

4.2.1 Erster Einstieg

4.2.2 Auswertung der Eingaben, Kontextmenü

4.2.3 Auswertung von Summenformeln und Produktformeln

4.2.4 Primfaktorzerlegung, GGT, KGV

4.2.5 Lösen von Gleichungssystemen

4.2.6 Darstellung von Matrizen

4.2.7 Differenzieren und Integrieren

4.2.8 Zeichnen von Graphen

5 Reihen, Grenzwert und Stetigkeit

5.1 Reelle Zahlenfolgen (geordnete Menge diskreter Zahlen)

5.1.1 Definitionen

5.1.2 Folgen am Beispiel von Zinsen

5.1.3 arithmetische Reihen

5.1.4 geometrische Reihen

5.1.5 Grenzwert einer Folge

5.2 Grenzwerte von Funktionen

5.2.1 Grenzwert einer Funktion f(x)

5.2.2 Grenzwert für x → x0

5.2.3 Grenzwert für x →∞

5.2.4 Rechenregeln für Grenzwerte

5.3 Stetigkeit einer Funktion

5.3.1 Definition

6 Arithmetische Funktionen

6.1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

6.1.1 Grad von Polynomfunktionen

6.1.2 Polynome vom Grad 1: lineare Funktionen

6.1.3 Polynome vom Grad 2: quadratische Funktionen

3.3.4 Monotonie für $x_{1} < x_{2}$

5.2.1 Grenzwert einer Funktion $f (x)$

5.2.2 Grenzwert für $x \to x_{0}$

5.2.3 Grenzwert für $x \to \infty$

11.1.1 $sin$ - und $cos$ -Funktion

11.1.2 $tan$ - und $cot$ -Funktion