..
. Bestimmung des Abstands der kollinearen Geraden: Man bestimmt den Abstand eines Punkts der Geraden 2 (z.B.
Ortsvektor) zur Geraden
×
|
|a1 →|
×
= x y z
1 - 15 - 39 - 5
2 4 6 = xyz
0 24 2 4 6
= 12 - 16
8 - 0
0 - 4 = -4
8 -4
.
.
. 0/19/2/7/3
0/19/2/7/4 . Beispiel 20 - 208
Der Sicherheitsabstand zweier Flugzeuge sei .
Die Flugzeuge bewegen sich längs der Geraden:
| | |
| | | |
| |
. . Wird der Sicherheitsabstand eingehalten? . .
. .
×
= x y z
100100100200 0 100
m2 = 104
104
-2 ⋅ 104
m2.
.
×
| = 6⋅104m2.
.
.
. 0/19/2/7/5
0/19/2/8
20.2.6 Übungen
Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .
0/19/3
20.3 Vektorielle Darstellung der Ebene
0/19/3/0
0/19/3/1
20.3.1 Punkt-Richtungsform
0/19/3/1/0
Eine Ebene in Punkt-Richtungsform kann man wie folgt darstellen: . .
oder in Komponentenschreibweise: . . 0/19/3/1/1 . Beispiel 20 - 209
Ebenendarstellung in Punkt-Richtungsform .
.
Dabei bedeuten: . :
Koordinaten des laufenden Punkts in der Ebene . :
Koordinaten des vorgegebenen Punkts in der Ebene (Ortsvektor) . und
: Skalare Vektorkomponenten der beiden nicht kollinearen Richtungsvektoren
und
der Ebene
( ) .
voneinander unabhängige Parameter. . . 0/19/3/1/2 . 0/19/3/1/3 . Beispiel 20 - 210
Ebenendarstellung in Punkt-Richtungsform . Die Ebene verläuft
durch den Punkt ,
. mit den Richtungsvektoren
und . .
Die zugehörige Ebenendarstellung in Punkt-Richtungsform lautet dann: .
. 0/19/3/1/4 .
0/19/3/2
20.3.2 Drei-Punkte-Form
0/19/3/2/0
Eine Ebene in Drei-Punkte-Form läßt sich recht einfach in eine Punkt-Richtungsform bringen, indem
man aus jeweils zwei Punkten einen Richtungsvektor bildet: . oder
in Komponentenschreibweise: . . 0/19/3/2/1 . Beispiel 20 - 211
Ebenendarstellung in Punkt-Richtungsform . mit =
= x1
y1
z1
,
= x2
y2
z2
und
= x3
y3
z3
.
erhält man .
. 0/19/3/2/2 . 0/19/3/2/3 . Beispiel 20 - 212
Umwandlung der Ebenendarstellung: Drei-Punkte-Form in eine Parameterdarstellung .
Gegeben sind die drei Punkte mit den Ortsvektoren
,
und
.
Die Parameterdarstellung der Ebene lautet dann .
. .
.
. 0/19/3/2/4 .
0/19/3/3
20.3.3 Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor (Normalenvektordarstellung)
0/19/3/3/0
Ist
der Ortsvektor des laufenden Punkts P der Ebene, so liegt der Vektor
in der Ebene und steht somit senkrecht auf den Normalenvektor
. Das
heißt, das Skalarprodukt verschwindet: .
0/19/3/3/1 . Beispiel 20 - 213
Normalenvektor-Darstellung . oder ausgeschrieben: . . .
Dies ist gleichbedeutend mit der Koordinatendarstellung einer Ebene: . .
Den Normalenvektor erhält man einfach über das Kreuzprodukt zweier nicht kollinearer
Richtungsvektoren: . .
Hierbei sind: . :
Koordinaten des laufenden Punkts in der Ebene . :
Koordinaten des vorgegebenen Punkts der Ebene . Vektorkomponenten
des Normalenvektors
. . 0/19/3/3/2 . 0/19/3/3/3 . Beispiel 20 - 214
Umwandlung in eine Normalenvektor-Darstellung . Gegeben sei eine Ebene . .
Ein Normalenvektor ist z.B.
. .
.
.
. .
. Umwandlung in Achsenabschnittsform: . .
.
. 0/19/3/3/4 .
0/19/3/4
20.3.4 Umwandlung einer Normalendarstellung in eine Drei-Punkte-Form
0/19/3/4/0
. 0/19/3/4/1 . Beispiel 20 - 215
Umwandlung einer Normalenvektor-Darstellung in Punkt-Richtungsform . Gegeben sei ein Ortsvektor eines Punkts der Ebene .
= 3 5
1 und der
Normalenvektor
= 35-7
19 .
.
Zunächst versucht man einen weiteren Punkt der Ebene zu bestimmen, indem man
versuchsweise x und y vorgibt und z über die Gleichung der Ebene bestimmt. Damit erhält man einen
Richtungsvektor .
. Beispiel: .
. Eingesetzt in die Normalengleichung bzw. Achsenabschnittsform
erhält
man: .
.
.
.
.
.
= 0 0
89
19
.
Richtungsvektor
=
-
= 0 - 3
0 - 5
89
19 - 1
= -3
-5
70
19
. .
Den Vektor
kann man über
das Kreuzprodukt bestimmen:
=
×
.
. 0/19/3/4/2 .
0/19/3/5
20.3.5 Abstand eines Punktes von einer Ebene
0/19/3/5/0
Prinzip: Der Abstand d eines Punkts Q zu einer Ebene ist bestimmbar durch die Projektion des Vektors
auf den
Normalenvektor
der Ebene.
0/19/3/5/1 . Beispiel 20 - 216
Projektion eines Punkts auf den Normalenvektor .
. 0/19/3/5/2 .
, .
da . .
Damit wird .
.
0/19/3/5/3 . Beispiel 20 - 217
Gegeben sei ein Ortsvektor eines Punkts der Ebene .
= 1 2
3 und der
Normalenvektor
= -8
8 0
.
. Bestimmen Sie den Abstand des Punktes
= 2 6
8
von der Ebene. .
Normalengleichung
.
. .
. .
. 0/19/3/5/4 .
0/19/3/6
20.3.6 Abstand einer (parallelen) Geraden von einer Ebene
0/19/3/6/0
Geraden können zu Ebenen folgende Lagen haben
-
1.
- g und E sind parallel zueinander
-
2.
- g liegt in der Ebene E
-
3.
- g und E schneiden sich in einem Punkt
ad 1.) . Ist eine Gerade parallel zu einer Ebene E, so ist dessen Richtungsvektor senkrecht zu dem
Normalenvektor der Ebene (Skalarprodukt = 0). Danach bestimmt man den Abstand eines Punkts der Geraden zur Ebene durch Projektion von
auf
. .
. Der Abstand beträgt .
. 0/19/3/6/1 . Beispiel 20 - 218
Abstand Gerade-Ebene . Gegeben sei eine Gerade mit dem Ortsvektor .
= 0 1
-1 und dem
Richtungsvektor
= -1
-4
2 .
. sowie eine Ebene dem Ortsvektor
= 1 5
2
und dem Normalenvektor
= 2 1
3 .
. . Wie liegen die Gerade und die Ebene zueinander ? .
.
. . Ebene und Gerade verlaufen also parallel. . . . .
. . .
. .
. . .
. 0/19/3/6/2 . ad 2.) . Ist der Abstand d=0, so liegt die Gerade auf der Ebene. .
0/19/3/7
20.3.7 Schnittpunkt/Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene
-
1.
- Die Ebene liegt in Parameterdarstellung vor .
Zu lösen ist dann das Gleichungssystem .
. Beispiel 20 - 219
Schnittpunkt Gerade - Ebene bei Darstellung in Punkt-Richtungsform. . Gegeben sei eine Ebene mit dem Ortsvektor . , den
Richtungsvektoren
und .
sowie eine Gerade mit dem Ortsvektor . und dem
Richtungsvektor .
. Bestimmen Sie den Schnittpunkt. . Zu lösen ist das Gleichungssystem
. .
| Für x: | | | | | |
| Für y: | | | | | |
| Für z: | | | | | |
| |
| | | | |
| | | | |
| | | | nach III |
| | | | nach II |
|
|
|
|
| | | | | |
| | | | :-5 |
| | | | -2I |
|
|
|
|
| | | | | -2II |
| | | | |
| | | | +5II, :5 |
|
|
|
|
| | | | | +3III |
| | | | |
| | | | |
|
|
|
|
| | | | | -2II |
| | | | |
| | | | |
|
|
|
|
| | |
.
Lösung: ;
;
.
Der Schnittpunkt kann über die Ebenengleichung oder über die Geradengleichung bestimmt
werden (dient als Probe !) und liegt bei: . . .
. .
-
2.
- Die Ebene liegt in Normalendarstellung vor
Der Ortsvektor
des Schnittpunkts muss sowohl die Geradengleichung als auch die Ebenengleichun erfüllen: .
.
. .
Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite und Auflösen nach
ergibt den Wert für den Schnittpunkt: .
. Beispiel 20 - 220
. .
.
. Oben eingesetzt, erhält man: . .
. . Damit ergibt sich: .
Der Schittwinkel
berechnet sich über das Skalarprodukt: .
bzw.
.
.
0/19/3/8 . Beispiel 20 - 221
Schnittpunkt Gerade - Ebene bei Darstellung in Normalform. . Gegeben sei eine Ebene mit dem Ortsvektor .
= 3 4
1 und dem
Normalenvektor
= 2 -1
1
. sowie eine Gerade mit dem Ortsvektor .
= 2 1
5 und dem
Richtungsvektor
= 3 -4
0 .
. Bestimmen Sie Schnittpunkt und Schnittwinkel. .
.
Schnittwinkel: ⋅
|
|⋅|
| = arcsin 2 -1
1 ⋅ 3 -4
0
4+1+1⋅9+16+0
. 0/19/3/9 .
0/19/3/10
20.3.8 Lage zwischen zwei Ebenen
0/19/3/10/0
Zwei Ebenen
und
können folgende Lagen zueinander haben:
-
1.
- Sie sind parallel zueinander Die beiden Ebenen sind parallel zueinander, wenn ihre Normalenvektoren
parallel sind (Vektorprodukt = 0) .
Dann entspricht der Abstand der Projektion eines Punkts der Ebene
auf den Normalenvektor der Ebene .
.
-
2.
- Sie fallen zusammen (s. o., nur ist der Abstand der Ebenen Null.)
-
3.
- Sie schneiden sich längs einer Geraden
Fall 1: Die Ebenen sind parallel zueinander . Eine Nachprüfung kann durch Bilden des Kreuzprodukts der Normalenvektoren erfolgen. .
Den Abstand der Ebenen zueinander bestimmt man einfach, indem man den Abstand irgendeines
Ortsvektors der Ebene 2 zur Ebene 1 bildet: . . 0/19/3/10/1 . Beispiel 20 - 222
zwei parallel zueinander stehende Ebenen . . 0/19/3/10/2 . Dann bestimmt sich der Abstand zu .
0/19/3/10/3 . Beispiel 20 - 223
zwei parallel zueinander stehende Ebenen: . Gegeben seien zwei Ebenen mit den Ortsvektoren .
= 7 3
-4 und
= -1
0 8
.
sowie den Normalenvektoren
= -1
4 2
und
= -2
8 4
. .
Bestimmen Sie die Lage der Ebenen zueinander. .
Bestimmung der Richtungen zueinander über das Kreuzprodukt . . . .
. Ebene und Gerade verlaufen also parallel. . . . .
. . .
. .
. .
. 0/19/3/10/4 Fall 2: Die Ebenen fallen zusammen . Dann sind sie parallel und haben den Abstand d = 0. . . Die Rechnung erfolgt analog wie oben. . . In allen anderen Fällen tritt . Fall 3 ein: Die Ebenen schneiden sich längs einer Geraden . 0/19/3/10/5 . Beispiel 20 - 224
Schnittgerade zweier Ebenen . . 0/19/3/10/6 . Liegen die Ebenengleichungen in der Form . .
bzw.
vor, . so erhält man durch Gleichsetzen unendlich viele Lösungen (3 Gleichungen, 4 Unbekannte), die alle
auf einer Geraden liegen (Die Rechnung kann etwas aufwendiger werden !): . .
. .
.
Alternativ führt das folgende Prinzip zu einer einfach zu bestimmenden Lösung: Der Richtungsvektor der Geraden
ist senkrecht zu
und . .
. .
Ein Ortsvektor
muss die beiden Ebenengleichungen erfüllen: . und
.
bzw. ausmultipliziert: . und .
. .
. Der Schnittwinkel errechnet sich wiederum über das Skalarprodukt: . .
. 0/19/3/10/7 . Beispiel 20 - 225
Schnittgerade Ebene - Ebene bei Darstellung in Normalenform. . Gegeben sei eine Ebene mit dem Ortsvektor .
= 1 0
1 , dem
Normalenvektor
= 1 5
-3
. sowie eine Gerade mit dem Ortsvektor .
= 0 3
0 und dem
Normalenvektor
= 2 1
2 .
. Bestimmen Sie die Schnittgerade
(λ) =
0+λ
.
.
. man erhält .
. . Die Ebenen sind nicht parallel, da .
.
Einen Ortsvektor
erhalten wir aus den beiden Ebenengleichungen: . . .
und . . .
. Wahl von :
. . .
.
Auflösen ergibt
und . .
Daraus folgt die Geradengleichung . .
(λ) =
0+λ
= 0
5
13
17
13
+λ 13-8
-9 = 13λ
5
13 - 8λ
17
13 - 0λ
. .
. Der Schnittwinkel errechnet sich wiederum über das Skalarprodukt: . . .
Schnittwinkel: .
. 0/19/3/10/8 .
0/19/3/11
20.3.9 Übungen
Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .
0/19/4
20.4 Drehung von Vektoren
0/19/4/0
0/19/4/1
20.4.1 Drehung von Vektoren um die x-,y- oder z-Achse
0/19/4/1/0
Vektoren in -Darstellung
können gedreht werden, indem man sie mit mit Drehmatrizen multipliziert: . . . .
. Für einen vorgegebenen Winkel
wird die Drehung um die x-Achse beschrieben mit: . . .
. Die Drehung um die y-Achse wird beschrieben mit: . . .
.
Die Drehung um die z-Achse wird beschrieben mit: . . .
0/19/4/1/1 . Beispiel 20 - 226
Modell eines einfachen (nur bedingt praxistauglichen) Roboters . Gegeben sei ein Zweiachsenroboter mit den Achsen
und
:
. Die Koordinaten der Spitze des Roboters liegen bei (1,2,4) [m]. . Nun dreht der Roboter zunächst seine Spitze um die Achse
um 45°gegen den Uhrzeigersinn und danach um seine Achse
um
45°gegen den Uhrzeigersinn. Wo steht dann die Spitze ? . Wechsel des Bezugssytems: Neuer Ursprung (0,2,4). Bezüglich dieses Bezugspunkts hat die Spitze die
Koordinaten (1,0,0). . Drehung um Achse :
. . .
Erneuter Wechsel des Bezugssytems: Neuer Ursprung (0,0,4). Bezüglich dieses Bezugspunkts hat die (gedrehte) Spitze
die Koordinaten .
. Drehung um Achse :
. . .
Die neue Lage der Spitze ist dann nach Transformation in (0,0,0):
. .
. 0/19/4/1/2 .
0/19/4/2
20.4.2 Drehung von Vektoren um eine allgemeine Achse
Hat man eine Drehung um den Winkel
um eine beliebige Achse, die durch einen beliebigen Einheitsvektor
(mit
vorgegeben ist, so läßt sich die Drehung beschreiben als: . . .
In Matrixdarstellung lautet die Drehmatrix . .
. . .
. . . .
Beispiele zum weiteren Üben (Als Benutzername und Passwort dient Ihr Account für den
zentralen Anmeldedienst des Rechenzentrums (E-Mail Account)der FH Kaiserslautern): .
Übungsbeispiele im Internet .
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