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17 Anwendungen

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17.1 Anwendungen in der Ökologie, Eigenwerte und Eigenvektoren

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17.1.1 Markov-Ketten und Übergangsmatrizen

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Beispiel 17 - 1: Sie wohnen auf einer recht einsamen Insel. Auf dieser Insel gibt es nur einen Getränkeanbieter mit zwei Getränkesorten T und K. Der Anbieter hat festgestellt, daß pro Jahr 15 % der T-Konsumenten zu K und 4 % von K zu T wechseln. .
Das Konsumentenverhalten kann man graphisch so darstellen: .
0/16/0/0/1


PIC .

Abbildung 1: Wechselverhalten der Getränkekonsumenten

0/16/0/0/2 .
Bezeichnet man den Absatz des Getränks K bzw. T in diesem Jahr mit ki und im Folgejahr mit ki+1 bzw. ti und ti+1, kann man die Gleichungen aufstellen: .
ki+1 =0.85 ki+0.04 ti ti+1 =0.15 ki+0.96 ti .
.
Geht man über zur Matrixschreibweise, ergibt sich der Getränke-(Spalten-)vektor im Folgejahr als Produkt der Übergangsmatrix M mit dem Getränke-(Spalten-)vektor des Vorjahres: .
.

 #
Gi+1 = ki+1 ti+1 = 0.850.04 0.15 0.96 ki ti .
.
.

 #
Gi+1 = M

#
Gi  . .

Für einen Anfangs-Absatz von .
.

 #
G0 = k0 k0 = 2000 3000 .
.
Fässern erhält man im Folgejahr einen Verkauf von .
.

#G
 1 = k1 t1 = 0.850.04 0.15 0.96 2000 3000 = 1820 3180 .
.
Fässern. .
.
Im Folgejahr (gleiches Wechselverhalten vorausgesetzt) ergibt sich ein Verkauf von .
.

 #
G2 = k2 t2 = 0.850.04 0.15 0.96 1820 3180 = 1674 3326 .
.
Fässern. .
.

Interpretiert man den jährlichen Verkauf von Getränkefässern als Beobachtung und die Wechselraten als (feste) ’Wahrscheinlichkeiten’, so können wir bei bekannten Verkaufszahlen eines Jahres auf die Verkaufszahlen im Folgejahr schließen. .
Derartige Prognosemodelle, die mit der Verkettung von Wahrscheinlichkeiten operieren, nennt man Markoff’sche Ketten : Jede Beobachtung ist nur von einer oder von einer beschränkten Anzahl vorhergehender Beobachtungen abhängig. .

0/16/0/1

17.1.2 Leslie-Diagramme und Leslie-Matrizen

0/16/0/1/0

In Analogie zu obigem Getränkebeispiel soll die Populationsentwicklung einer Schwalbenherde betrachtet werden. Bekannt seien die (jährliche) Existenzwahrscheinlichkeit von Küken (K) L11 = 0.75 (im Folgejahr sind nur noch drei Viertel übrig) sowie Erwachsener (E) von L22 = 0.6. Jährlich wird die Hälfte der Küken erwachsen (L21 = 0.5), und jährlich gebären die erwachsenen Schwalben 1.3-fachen Nachwuchs (L12 = 1.3). .
Im Leslie-Diagramm werden die Übergangswahrscheinlichkeiten an den Pfeilen eingetragen. Ist eine Übergangswahrscheinlichkeit Null, so kann der Pfeil weggelassen werden. .
0/16/0/1/1


PIC .

Abbildung 2: Leslie-Diagramm

0/16/0/1/2 Nun seien in einem Bestand 30 Erwachsene und 60 Küken. Wie groß ist der Bestand nach einem bzw. 2 Jahren ? .
Derartige Übergangsmatrizen (sie sind analog zu oben) werden in der theoretischen Ökologie zur Beschreibung von Populationen genutzt und wurden von P. H. Leslie formuliert. Hat man Daten über n Altersklassen, dann ist die Leslie-Matrix vomn Typ nxn. .
In unserem Beispiel lautet sie: .

L = L11L12 L21 L22 = 0.751.3 0.5 0.6 . .
.

 #
Si+1 = ki+1 ei+1 = L

                                                                                              #
                                                                                              Si  .

#Si+1 = 0.751.3 0.5 0.6 ki e i = 0.751.3 0.5 0.6 60 30 = 84 48 . .

Für das Folgejahr ist die Population: .
.

 #
Si+2 = ki+2 ei+2 = LL

                                                                                                 #
                                                                                                Si  = 125.4 70.8 125 71 .
.

0/16/0/2

17.1.3 Eigenwerte und Eigenvektoren

Gegeben sei folgende Leslie-Matrix: .
.
L = 1.520.08 0 . .
.
Für einen Populationsvektor .

 #
Si = 10 10 .
ergibt sich im Folgejahr .

#S
 i+1 = 250.8 .
.
Für einen anderen Populationsvektor .

 #
Si = 20 1 .
.
ergibt sich im Folgejahr .

.

#Si+1 = 321.6 = 1.620 1 .
.
Das heißt, der Populationsvektor kann aus dem ursprünglichen Vektor durch Multiplikation .
mit 1.6 erzeugt werden. Wenn das Produkt einer Matrix L mit einem Vektor

#
s das Gleiche ergibt wie die Multiplikation des Vektors

#
s mit einer Zahl λ, nennen wir diesen Vektor Eigenvektor . Die Zahl λ bezeichnet man als Eigenwert . .
Wie findet man die Eigenwerte und Eigenvektoren ? .
Wir gehen von folgendem Ansatz aus: L

#
 s = λ

                                     #
                                     s .
Ergänzt um die Einheitsmatrix E .
L

#s = λE

   #s .
L

#
s -λE

 #
  s = 0.
(L -λ E)

#s = 0.
Diese Gleichung ist für von Null verschiedene Vektoren

#
s dann erfüllt, wenn .

det L - λ E = 0

det(L-λE) = det 1.5 - λ 2 0.08 0 - λ = (1.5-λ)(-λ)-0.082 = λ2-1.5λ-0.16 = 0. .
.
Lösungen sind λ1 = 1.6 und λ2 = -0.1. .
Die Eigenvektoren erhält man nun, indem man das Gleichungssystem .
L

#s = λ

 #s jeweils für die Werte von λ1 und λ2 löst. .
Für λ1 = 1.6 ergibt sich: .

#
s = 20 1 .
.
.

Für λ2 = -0.1 erhält man unendlich viele Lösungen: 0.8 s1 = s2 .
Sind nun die Populationsgrößen Eigenvektoren der Leslie-Matrizen, so kann man die Folgepopulationen einfach durch (ggf. mehrfache) Multiplikation des Eigenwerts mit dem Vektor bestimmen: .

#si+n = λn

#si  . .