0

0/19

20 Anwendungen

0/19/2

20.2 Abstände/Schnittpunkte von Geraden

0/19/2/0

Zwei Geraden können zueinander folgende Lagen haben:


Ein mögliches Vorgehen ist es, zunächst (einen) Schnittpunkt(e) durch Gleichsetzen der Geradengleichungen zu bestimmen. Dabei gibt es eine, unendlich viele oder keine Lösung.

1.
Eine Lösung: Geraden haben einen Schnittpunkt und Schnittwinkel0.
2.
Unendlich viele Lösungen: Geraden fallen zusammen (Kollinearität)
3.
Keine Lösung: Entweder die Geraden sind kollinear oder windschief.

0/19/2/1

20.2.1 2 Geraden g1 und g2 schneiden sich in einem Punkt

0/19/2/1/0

Den Schnittpunkt zweier Geraden erhält man durch Gleichsetzen der Gleichungen. Den Schnittwinkel bestimmt man dann z.B. über das Skalarprodukt.

Schnittpunkt:r1 + λ1a1 =r2 + λ2a2
Schnittwinkel: cos φ = a1 a2 |a1 ||a2 |
.
0/19/2/1/1 .
Beispiel 20 - 201
Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden
g1 = 1 1 0 +λ1 2 1 1 undg2 = 2 0 2 +λ2 1 -1 2
.

.

1 + 2λ1 =2 + λ2
1 + λ1 =- λ2
0 + λ1 =2 + 2λ2
.
.
Umgeschrieben als lineares Gleichungssystem mit den Variablen λ1 und λ2: .
λ1λ1c




2- 11Tausch mit III
11- 1
1- 22Tausch mit I




1- 22
11- 1 - I
2- 11 - 2 I




1- 22
03- 3 : 3
03- 3 streichen




1- 22 + 2 II
01- 1




100
01- 1
.
λ1 = 0 λ2 = -1 .
.
S = 1 1 0 = 2 0 2 - 1 -1 2 = 1 1 0 .
.
φ = arccos

#a
 1

       #a
        2   |

#a1   ||

       #a2   | = arccos 3 66 = 60

.
0/19/2/1/2

0/19/2/2

20.2.2 2 Geraden g1 und g2 fallen zusammen

0/19/2/2/0

Wenn beide Geraden zusammenfallen, müssen deren Richtungsvektoren kollinear sein. .

a2 =k a1 k
a1 ×a2 =0
.
Das Gleichungssystem: Gleichung von Gerade 1 = zweite Gerade ( für x-, y- und z-Komponente) hat unendlich viele Lösungen.

0/19/2/2/1 .
Beispiel 20 - 202
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Geraden

g1 = 1 1 3 +λ1 1 2 1 undg2 = 2 3 4 +λ2 -2 -4 -2
.

.

1 + λ1 =2 - 2λ2
1 + 2λ1 =3 - 4λ2
3 + λ1 =4 - 2λ2
.
.
Umgeschrieben als lineares Gleichungssystem mit den Variablen λ1 und λ2: .
.
λ1λ1c




121
2 42 - 2 I
121- I




121
000 streichen
000 streichen
.
.
Setze λ2 als frei wählbaren Parameter. Dann wird λ1 = 1 - 2λ2. .
Das GLS hat unendlich viele Lösungen, die Geraden fallen zusammen. .
.
0/19/2/2/2

0/19/2/3

20.2.3 2 Geraden g1 und g2 sind parallel zueinander

Abstand zweier kollinearer Geraden - Bestimmung:

1.
Prüfen, ob beide Geraden kollinear sind, z.B: über das Kreuzprodukt. .
a1 ×a2 = 0 .
2.
Man bestimmt nun einfach den Abstand irgendeines Punkts von Gerade 2 (z.B. Ortsvektor) zur Geraden 1 .
.
Beispiel 20 - 203
Abstand paralleler Geraden .

PIC .

Abbildung 1: Abstand paralleler Geraden

.

A =d |a1 |
d = A|a 1 | =|(r1 -r2 ) ×a1 | |a1|
.

0/19/2/4 .
Beispiel 20 - 204

gegeben:g1:

         #r (λ1)

= 1 1 4 +λ1 1 1 1
g2:

         #
         r (λ2)

= 4 0 3 +λ2 3 3 3

Wie groß ist der Abstand der Geraden ? .

.

Abstand: .
(

#r
2  -

#r
 1  )×

                                                                                           #a
                                                                                            1  = 4 - 1 0 - 1 3 - 4 ×1 1 1 =.
= x y z 3 -1-1 1 1 1 = -1 + 1 -1 - 3 3 + 1 = 0 -4 4 .
.
d = 4+16 3 2, 58 .

.
0/19/2/5

0/19/2/6

20.2.4 2 Geraden g1 und g2 sind windschief

Vorbemerkung: 0/19/2/6/0

Analog zur Beschreibung von Geraden durch einen Ortsvektor und einen Richtungsvektor kann man Ebenen durch einen Ortsvektor und zwei Richtungsvektoren beschreiben. (Die zwei Richtungsvektoren dürfen natürlich nicht kollinear sein.) .
0/19/2/6/1


PIC .

Abbildung 2: Zwei windschiefe Geraden

0/19/2/6/2

Sind beide Geraden windschief, so schneiden sie sich weder (s.o.), noch sind sie kollinear (s.o.) .

Grundidee zu Bestimmung des (kleinsten) Abstands zueinander: Man bildet einen Spat aus den Richtungsvektoren, indem man einmal die eine Gerade solange parallel verschiebt, bis sie die andere Gerade schneidet und umgekehrt. .

0/19/2/6/3


PIC .

Abbildung 3: Zwei parallele Ebenen, erzeugt aus zwei windschiefen Geraden

0/19/2/6/4 .
Von dem entstandenen Spat bestimmt man das Volumen und teilt durch die Fläche des Parallelogramms.

Vorgehensweise:


E1 und E2 sind parallel zueinander .

Volumen des Spats: [a1 a2 (r2 -r1 )]
Fläche Parallelogramm: |a1 ×a2 |
Abstand: d =|[a1 a2 (r2 -r1 )]| |a1 ×a2 |
.

0/19/2/6/5 .
Beispiel 20 - 205
Gegeben seien die Geraden:

g1:

#
x

= 1 2 0 +λ1 1 1 1
g2:

#
x

= 3 0 2 +λ2 2 0 1


Wie groß ist der Abstand der beiden Geraden ? .
Prüfen auf Schnittpunkte und Winkel: λ2: .
.
λ1λ1c




1- 22tauschen mit II
10- 2tauschen mit I
1- 12




10- 2
1- 22 - I
1- 12 - I




10- 2
0- 24
0- 14
.
.
Das GLS ist nicht lösbar, es gibt keinen Schnittpunkt. .

Prüfen auf Kollinearität: .
.

#a1 ×

#a2  = xyz 2 11 2 0 1 = 1 - 0 2 - 1 0 - 2 = 1 1 -2

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   #0  . .
.
|

#
a1  ×

#
a2  | = 12 + 12 + (-2)2 = 6.
.
Abstand: d = |[#a1

         #a2  (

                                                                                                      #r2  -

                                                                                                                                                                                                     #r1  )]| |

          #a
           1  ×

                                                                                                         #a
                                                                                                          2  | .

|[

#
a1

#
a2  (

                                                                                       #
                                                                                       r2  -

                                                                                                                                                                                     #
                                                                                                                                                                                     r1  )]| = 1-22 1 1 1 2 0 1 = |2-4+0-4-0+2| = 4. .
.
d = 4 6. .

.
0/19/2/6/6

0/19/2/7

20.2.5 Anwendungsbeispiele

0/19/2/7/0 .
Beispiel 20 - 206
Gegeben seien die Geraden:

g1:

#x

= 3 -1 2 +λ1 2 4 3
g2:

#x

= -1 5 10 +λ2 -4 4 6


Wie liegen die Geraden zueinander ? .
.
Wo liegt ggf. der Schnittpunkt?
3 + 2λ1 =- 1 - 4λ2 2λ1 + 4λ2 =- 4
- 1 + 4λ1 =5 + 4λ2 4λ1 - 4λ2 =6
2 + 3λ1 =10 + 6λ2 3λ1 - 6λ2 =8

λ1λ2c
24- 41 2
4- 46- 4 I 2
3- 68- 3 I 2
12- 2
0- 1214-1 2
0- 1214-1 2(kann wegbleiben)
12- 2 + II3
06- 71 6
12- 2
01-7 6
1222 II
01-7 6
10-6-7 3
01-7 6


.
Lösung: λ1 = 1 3; λ2 = -7 6 .
.

Schnittpunkt:S = 3 -1 2 +1 3 2 4 3 = 11 3 1 3 3 .
.
.
.
Schnittwinkel: φ = arccos

#a1

                     #
                     a2  |

#
a1   ||

                      #
                      a2  | = arccos 2 4 3 11 3 1 3 3 4+16+916+16+36 .
.
= arccos -8+16+18 2968 0.3 π 54o

.
0/19/2/7/1

0/19/2/7/2 .
Beispiel 20 - 207
Gegeben seien die Geraden:

g1:

#
x

= 1 3 5 +λ1 2 4 6
g2:

#x

= 2 5 9 +λ2 -1 -2 -3


Wie liegen die Geraden zueinander ?

.

Man kann zunächst beide Geradengleichungen gleichsetzen:

1 + 2λ1 =2 - 1λ2
3 + 4λ1 =5 - 2λ2
5 + 6λ1 =9 - 3λ2

Das Gleichungssystem hat keine Lösungen. .
.
Prüfen auf Kollinearität: a1 × a2 .
x y z 2 4 6 -1 -2 -3 = -12 + 120 -6 + 6 -4 + 4 =
0 0 0
..
.
Bestimmung des Abstands der kollinearen Geraden: Man bestimmt den Abstand eines Punkts der Geraden 2 (z.B. Ortsvektor) zur Geraden g1

d = |

#
P2P1   ×

 #
a1   | |a1|

 #
P2P1 ×

 #
a1  = x y z 1 - 15 - 39 - 5 2 4 6 = xyz 0 24 2 4 6 = 12 - 16 8 - 0 0 - 4 = -4 8 -4 .
.
d = 42 +82 +42 22 +42 +62 = 96 56 9,7 7,48 1, 3

.
0/19/2/7/3

0/19/2/7/4 .
Beispiel 20 - 208
Der Sicherheitsabstand zweier Flugzeuge sei 200m. Die Flugzeuge bewegen sich längs der Geraden:

#r (λ1)

= 100 200 100 m+λ1 100 100 100 m

#r (λ2)

= 300 0 300 m+λ2 200 0 100 m
.
.
Wird der Sicherheitsabstand eingehalten? .
.
[a1a2(

#
r2  -

                 #
                 r1  )] = 100 100 100 200 0 100 200-200200 = -4106m3 .
.

#a
 1 ×

#a
 2  = x y z 100100100200 0 100 m2 = 104 104 -2 104 m2.
.
|

#
a1  ×

#
a2  | = 6104m2.
.

d = 4 106 6 104m 163m .

.
0/19/2/7/5

0/19/2/8

20.2.6 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .