0

0/12

13 Differentialrechnung

0/12/1

13.1 Differenzierbarkeit einer Funktion

0/12/1/1

13.1.1 Tangentenproblem

0/12/1/1/0

Beispiel: .

y =f(x) =x2x =0, 5:Steigung

0/12/1/1/1

PIC .

Abbildung 1: Tangentenproblem

0/12/1/1/2 .
Gesucht ist zunächst die Steigung der Sekante ms:

ms = tan ε =ΔyΔx
=((0, 5 + Δx)2 - 0, 25) Δx =(0, 25 + Δx + Δx2 - 0, 25) Δx
=(Δx (1 + Δx)) Δx =1 + Δx
.

Für die Tangentensteigung gilt: .

Δx 0mt = tan α = lim Δx0Δy Δx
= lim Δx0(1 + Δx) =1
.
.
Der Grenzwert existiert und ist links und rechts gleich. .
Funktion ist an der Stelle x = 0, 5 differenzierbar. .

Den angegebenen Grenzwert bezeichnet man als Ableitung : .

mt = tan α = lim Δx0(f(x0 + Δx) - f(x)) Δx
.
Sie wird häufig wie folgt symbolisiert: .
y(x 0),f(x 0), dy dxx=x0 Differentialquotient

.

Differenzierbarkeit -auch innerhalb des Definitionsbereichs- ist nicht von vornherein gegeben; Beispielsweise ist die Funktion .
y = |x| =

x für x 0 -x für x < 0
.

nicht überall ableitbar: An der Stelle x = 0 besitzt sie keine eindeutig bestimmte Tangente: .

0/12/1/1/3


PIC .

Abbildung 2: Differenzierbarkeit von y = |x|

0/12/1/1/4 .
Die Funktion y = |x| ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar