0

0/1

2 Gleichungen

0/1/1

2.1 Terme und Gleichungen, Äquivalenzumformungen

0/1/1/0

2.1.1 Äquivalenz

0/1/1/0/0

Definition Term : Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der aus

besteht.
Will man die Äquivalenz von Termen ausdrücken, so verwendet man das Gleichheitszeichen.
Zwei Terme T1 und T2 sind äquivalent T1 = T2 .
.
Gleichungen ermöglichen u.a. die Beschreibung quantitativer Beziehungen in Natur, Technik, Wirt- .
schaft etc.
Die Umformung von textlicher Beschreibung in Gleichungen ist häufig ein schwierigerer, aber meist .
lohnender Schritt.
0/1/1/0/1 .
Beispiel 2 - 1
Den Umfang eines Kreises berechnet man, indem man das Produkt aus dem Verhältnis von Umfang .
eines beliebigen Kreises zu seinem Durchmesser und dem Kreisradius mit 2 multipliziert.

.

Umfang: U .
Durchmesser: d .
Radius: r .
u d = π .
U = 2π r .

.
0/1/1/0/2

0/1/1/1

2.1.2 Typen von Gleichungen

0/1/1/1/0

Beispiel 2 - 2: Lösungsmengen

.
0/1/1/1/1 .
Beispiel 2 - 2
Sogar in der Weltliteratur haben Bestimmungsgleichungen ihren Platz gefunden. Der Nobelpreisträ- .
ger Thomas Mann zum Beispiel, der sich sonst von allem Mathematischen so fern wie nur möglich .
hielt, hat in seinem Buch Joseph und seine Brüder ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten .
verwendet, um die besonderen Fähigkeiten seines jungen Helden zu demonstrieren [RiessingerL1] . .
Es geht dabei um die biblische Josephsgeschichte, und wie Sie vielleicht wissen, wird der so junge .
wie arrogante Joseph von seinen Brüdern an einen vorbeiziehenden Reisenden verkauft. .
Dieser Reisende stellt seine Neuerwerbung nun auf die Probe: .
„Gesetzt aber, ich habe ein Stück Acker, das ist dreimal so groß wie das Feld meines Nachbarn .
Dagantakala, dieser aber kauft ein Joch Landes zu seinem hinzu, und nun ist meines nur noch .
doppelt so groß: Wieviel Joch haben beide Äcker?“
„Zusammen?“fragte Joseph und rechnete ...
„Nein, jeder für sich.“ .

Joseph löst seine Aufgabe, die nichts weiter ist als ein kleines Gleichungssystem mit zwei .
Unbekannten, und auf die Frage, wie er so schnell die Lösung finden konnte, läßt Thomas Mann ihn antworten: .
„Man muß das Unbekannte nur fest ins Auge fassen, dann fallen die Hüllen, und es wird bekannt.“ .
Vermutlich hat Thomas Mann, der von Mathematik leider gar nichts verstand, jemanden gebeten, .
das Beispiel für ihn zu rechnen, denn die Erklärung des Lösungsverfahrens ist doch reichlich unbefrie- .
digend und läßt darauf schließen, daß er nicht so recht wußte, wie man systematisch auf die Lösung .
kommt [RiessingerL1] . .

R = 3D
R = 2(D + 1)

(Das Lösen von Gleichungssystemen kommt im Kapitel „Reelle Matrizen“).

.
0/1/1/1/2 .

Bestimmungsgleichungen können unterteilt werden in

.
Ein weiterer Typ von Gleichungen sind die

Auf der rechten Seite stehen Ausdrücke der unabhängigen Variablen (meist mit x bezeichnet), auf der linken Seite steht die abhängige Variable (meist mit y bezeichnet). .

0/1/1/2

2.1.3 Algebraische Terme

Algebraische Rechenoperationen:

In algebraischen Termen werden nur algebraische Rechenoperationen durchgeführt. .
an xn + a n-1 xn-1 + a n-2 xn-2 + a 2 x2 + a 1 x1 + a 0 = 0 .
.

ai mit i {0n} = Koeffizienten (beliebige Werte, auch transzendent)
n = Grad


Fundamentalsatz der Algebra : .
Jede algebraische Gleichung von Grad n hat genau n (reelle oder komplexe) Lösungen. .

0/1/1/3

2.1.4 Äquivalenzumformungen

Äquivalenz kann alternativ so formuliert werden: Definitionsmenge und Lösungsmenge äquivalen- .
ter Terme stimmen überein.

Elementare Äquivalenzumformungen :

1.
Vertauschen der Seite einer Gleichung
x = 3 3 = x .
x < 3 3 < x

.
2.
Termaddition/Subtraktion

x + 3 = 7 |- 3 .
x = 4 .

3.
Term-Multiplikation/Division

Achtung ! Term darf nicht Null sein!! Sonst ist die Ursprungsgleichung nicht mehr erkennbar.
.
Beispiel 2 - 3
x = 3 | 4 x 4 = 3 4
x = 3 | (x - 1) =0 x (x - 1) = 3 (x - 1) f

.
Alle Nullstellen des Faktors, mit dem wir multiplizieren, kommen als scheinbare Lösungen hinzu. Mit einer Probe kann man sie wieeder "herausfiltern".

.

4.
Substitution
.
Beispiel 2 - 4
x2 - 6 = 3 .

x2 - 6 = 3 Substituiere mit: y = x2
y - 6 = 3

y = 9 Rücksubstitution:
x2 = 9 |Wurzel ziehen

x1,2 = ± 3

.
.
Beispiel 2 - 5
5 4 = 5+x x .

5 4 = 5+x x | x (mit x0)
5x 4 = 5 + x | 4
5x = 20 + 4x |- 4x
x = 20

.

.
Beispiel 2 - 6
(x - 1)2 (x + 2) = 4 (x + 2)

. .

(x - 1)2 (x + 2) = 4 (x + 2)
1. Ansatz (schlecht):
(x + 2) = 0
(x - 1)2 (x + 2) = 4 (x + 2) | : (x + 2) mit x - 2
(x - 1)2 = 4 |Wurzel ziehen
(x - 1) = 2 Keine Äquivalenzumformung!!
x = 3

.
(besser:)
(x - 1)2 (x + 2) = 4 (x + 2)
(x2 - 2x + 1) (x + 2) = 4 (x + 2)
x3 - 2x2 + x + 2x2 - 4x + 2 = 4x + 8
x3 - 7x - 6 = 0 3 Lösungen
Beispielsweise mit Hilfe der Cardanoschen Formel oder durch Erraten: x1 = -1
Polynomdivision: (x3 - 7x - 6) : (x + 1) = x2 - x - 6
x2,3 = 1 2 ±1 4 + 6 = 1 2 ±25 4 = 1 2 ±5 2
L = {-2; -1; 3}
.