0

0/6

7 Gebrochenrationale Funktionen

0/6/1

7.2 Interpolationspolynome

0/6/1/0

7.2.1 Interpolationspolynome nach Newton

0/6/1/0/0

Fragestellung: n-Messpaare liegen vor. Gesucht ist nun ein Interpolationspolynom , das die Werte möglichst exakt beschreibt. .

i012
x i- 112
yi024
.
.
1. Möglichkeit .
y0 =a0 + a1x0 + a2x02
y1 =a0 + a1x1 + a2x12
y2 =a0 + a1x2 + a2x22
.
.
-

Bei vielen Messwerten wird das Ermitteln der Koeffizienten aufwendig. Besser ist dann das Arbeiten mit Linearfaktoren. Dies leistet das Verfahren der Polynom-Interpolation nach Newton

y = c0 + c1(x - x0) + c2(x - x0)(x - x1) + …+ cn(x - x0)(x - x1)(x - xn)


gegeben: Wertepaare (x0; y0)(x1; y1)(xn; yn)

1.
Betrachtung von nur (x0; y0)
Es reicht das Polynom von Grad 0
p0(x) = c0 = y0
2.
Hinzunehmen von Punkt (x1; y1)
p1(x) = c0 + c1(x - x0)
3.
Hinzunehmen von Punkt (x2; y2)
p2(x) = c0 + c1(x - x0) + c2(x - x0)(x - x1)
4.
n-Stützstellen
p(x) = c0 + c1(x - x0) + c2(x - x0)(x - x1) + …+ cn(x - x0)(x - x1)(x - xn)
= i=0nc i j=0i-1(x - x j)

Bestimmung der Koeffizienten

p(x0) =c0 =y0
p(x1) =c0 + c1(x1 - x0) =y1
p(x2) =c0 + c1(x2 - x0) + c2(x2 - x0)(x2 - x1) =y2
c0 = y0
c1 = y1 - c0 x1 - x0 =y1 - y0 x1 - x0
c2(x2 - x0)(x2 - x1) = y2 - c0 - c1(x2 - x0)
c2 = y2-y1 x2-x1 γ12 -y1-y0 x1-x0 γ01 x2 - x0

Rekursionsformel:

ci =γ0i
γi,i =f(xi)
γi,k =γi+1,k - γi,k-1 xk - xi

Beispiel 7 - 1:

c0 =γ00 =f(x0)
i = 0,k = 1c1 =γ01 =γ1,1 - γ0,0 x1 - x0 =y1 - y0 x1 - x0
i = 0,k = 2c2 =γ02 =γ1,2 - γ0,1 x2 - x1 =γ2,2 - γ1,1 x2 - x1 -γ1,1 - γ0,0 x1 - x0 x2 - x0
=y2 - y1 x2 - x1 -y1 - y0 x1 - x0 x2 - x0

Rechenschema:

x0y0
γ01 = y1-y0 x1-x0
x1y1 γ02 = γ12-γ01 x2-x0
γ12 = y2-y1 x2-x1 γ03 = γ13-γ02 x3-x0
x2y2 γ13 = γ23-γ12 x3-x1
γ23 = y3-y2 x3-x2
x3y3

0/6/1/0/1 .
Beispiel 7 - 49
.





i012




x i- 112




yi024





.

x iyi
- 10 c0
γ01 = 2-0 2 = 1 c1
12 γ02 = 2-1 3 = 1 3 c3
γ12 = 4-2 1
24

p(x) = 0 + 1 (x + 1) + 1 3(x + 1)(x - 1) = x2 3 + x + 2 3
Weitere Stützstelle (x3,y3) = (3, 5):
x iyi
- 10
1
12 1 3
2 -1 2-1 3 3-(-1) = -5 24
24 -1 2
1
35

1 - 2 3 - 1 = -1 2

p(x) = 0 + 1(x - (-1)) + 1 3(x - (-1))(x - 1) + -5 24(x - (-1))(x - 1)(x - 2)

p(x) = -5 24x3 - 1 12x2 + 29 24x + 11 24

.
Maple: newton.mws.mw

.
0/6/1/0/2