0

0/10

11 Periodische Funktionen

0/10/0

Trigonometrische Funktionen sind periodische Funktionen. .
0/10/1

11.1 Trigonometrische Funktionen

0/10/1/0

11.1.1 sin- und cos-Funktion

0/10/1/0/0


PIC .

Abbildung 1: Trigonometrische Beziehungen

0/10/1/0/1

sin α = Gegenkathete Hypothenuse .
cos α = Ankathete Hypothenuse .
tan α = Gegenkathete Ankathete = sin α cos α .
cot α = Ankathete Gegenkathete = cos α sin α .
.
Sinussatz bei allgemeinen ebenen Dreiecken: .
a sin α = b sin β = c sin γ .
Kosinussatz bei allgemeinen ebenen Dreiecken: .
a2 = b2 + c2 - 2bc cos α .
b2 = c2 + a2 - 2ca cos β .
c2 = a2 + b2 - 2ab cos γ .

Achtung bei Bogenmaß !!! .
.

0/10/1/0/2


PIC .

Abbildung 2: Das Bogenmaß

0/10/1/0/3 .

x α = 2π 360α = x 2π 360 .

Merkhilfe: .
.

α =030456090






x 0π 6 π 4 π 3 π 2
sin α1 201 211 221 231 24
cos α1 241 231 221 211 20



Drehsinn von α: Gegen den Uhrzeigersinn 0/10/1/0/4

PIC .

Abbildung 3: Drehsinn

0/10/1/0/5

.

y = sin xy = cos x




D- < x < - < x <
W- 1 y 1- 1 y 1
Periode 2π2π
Symmetrie ungerade gerade
Nullstellen xk = k πxk = π 2 + k π
relative Min. xk = 3 2π + k 2πxk = π + k 2π
relative Max. xk = π 2 + k 2πxk = k 2π
.
.
.

0/10/1/1

11.1.2 tan- und cot-Funktion

.

y = tan xy = cot x




Dx \x = π 2 + k πx \x = k π
W- < y < - < y <
Periode ππ
Symmetrie ungerade ungerade
Nullstellen xk = k πxk = π 2 + k π
Pole xk = π 2 + k πxk = k π
.
.
.
0/10/1/2
11.1.3 Wichtige Beziehungen

0/10/1/2/0

.

sin(α + n 2π) = sin α
sin(-α) =- sin α
cos(α + n 2π) = cos α
cos(-α) = cos α
cos(α) = sin(α + π 2 )
sin(α) = cos(α -π 2 )
.
0/10/1/2/1

PIC .

Abbildung 4: Einheitskreis

0/10/1/2/2

.
cos 2α + sin 2α = 1

Additionstheoreme

.

sin(x1 ± x2) = sin x1 cos x2 ± cos x1 sin x2
cos(x1 ± x2) = cos x1 cos x2 sin x1 sin x2
tan(x1 ± x2) = (tan x1 ± tan x2) (1 tan x1 tan x2)
Beispiel 11 - 1:
sin 2α =2 sin α cos α
cos 2α = cos 2α - sin 2α
1 2[1 - cos(2α)] =1 2[1 - cos 2α + sin2α]
=1 2[sin 2α + sin2α]
= sin 2α
.
ebenso: .
sin 2α = 1 2(1 - cos 2α) .
cos 2α = 1 2(1 + cos 2α) .
cos 2α = 2 cos 2α - 1 = 1 - 2 sin 2α = cos 2α - sin 2α

0/10/2

11.2 Anwendungen in der Schwingungslehre

0/10/2/0

0/10/2/1

11.2.1 Harmonische Schwingungen

0/10/2/1/0

y = a sin(x) (siehe Bild)| a -Amplitude
y = a sin(b x) | b -Veränderung der Periode
y = a sin(b x + c) | c -Verschiebung entlang der x-Achse Phase

0/10/2/1/1


PIC .

Abbildung 5: Harmonische Schwingung

0/10/2/1/2 .

(Die Cosinusfunktion ist analog zur Sinusfunktion, da cos(x) = sin(x + π 2 ) )

0/10/2/2

11.2.2 Anwendungen in der Mechanik

0/10/2/2/0

.
Masse-Feder-Pendel .
y = A sin(ωt + φ) .
.

A: max. Ausdehnung, Amplitude
ω:Kreisfrequenz ω = 2π f = 2π T
φ: Phase
f: Frequenz
T: Schwingungsdauer

.
0/10/2/2/1 .
Beispiel 11 - 62

y =5cm sin( 2s-1 ω t + π 2 )

.

Frequenz : f = ω 2π = 2s-1 2π 0, 32s-1
Amplitude : 5cm
Phase : (2s-1 t + π 2 ) = 0
t = -π 4 s

.
0/10/2/2/2

0/10/2/3

11.2.3 Zeigerdiagramme

0/10/2/3/0

y = a sin(ωt + φ) 0/10/2/3/1


PIC .

Abbildung 6: y = a sin(ωt + φ)

0/10/2/3/2 .
Beispiel 11 - 63:

y1 =3 cos(5t)
y2 =3 cos(5t + π)
y3 =3 cos(5t + π 3 )

0/10/2/3/3


PIC .

Abbildung 7: Darstellung im Zeigerdiagramm (t = 0)

0/10/2/3/4 .

0/10/2/4

11.2.4 Überlagerung gleichfrequenter Schwingungen (Superposition)

0/10/2/4/0

Zwei Schwingungen mit gleicher Frequenz, aber ggf. unterschiedlicher Amplitude und Phase können als eine Schwingung y = y1 + y2 = a sin(ωt + φ) zusammengefasst werden: .

y1 =A1 sin(ωt + φ1)
y2 =A2 sin(ωt + φ2)
0/10/2/4/1

PIC .

Abbildung 8: Paralellogramm

0/10/2/4/2 .

0/10/2/4/3 .
Beispiel 11 - 63

y =y1 + y2
zur Vereinfachung: ωt =0
x1 =A1 cos(φ1)
y1 =A1 sin(φ1)
x2 =A2 cos(φ2)
y2 =A2 sin(φ2)

.
A2 =(x2 + y2) = (x 1 + x2)2 + (y 1 + y2)2
=(A1 cos φ1 + A2 cos φ2)2 + (A 1 sin φ1 + A2 sin φ2)2
=A12 cos 2φ 1 + 2A1A2 cos φ1 cos φ2 + A22 cos 2φ 2
+ A12 sin 2φ 1 + 2A1A2 sin φ1 sin φ2 + A22 sin 2φ 2
=A12( cos 2φ 1 + sin 2φ 1 1)+A22( cos 2φ 2 + sin 2φ 2 1)+2A1A2( cos φ1 cos φ2 + sin φ1 sin φ2 cos(φ1-φ2)=cos(φ2-φ1))
=A12 + A 22 + 2A 1A2 cos(φ1 - φ2)
A =A1 2 + A2 2 + 2A1 A2 cos (φ1 - φ2 )
Phase:  tan φ = y x = y1 + y2 x1 + x2 = A1 sin φ1 + A2 sin φ2 A1 cos φ1 + A2 cos φ2

.
0/10/2/4/4

0/10/2/4/5 .
Beispiel 11 - 64

Stellen Sie die Harmonischen Schwingungen
y1 = 3 cos(ωt -π 4 ) und y2 = -3 sin(ωt -π 6 ) durch eine Sinusfunktion vom Typ y = A sin(ωt + ϕ) dar. .

y1 = 3 cos(ωt -π 4 ) = 3 sin(ωt + π 4 ) .
y2 = -3 sin(ωt -π 6 ) = 3 sin(ωt + 5π 6 ) .

y = A sin(ωt + ϕ) .
und A1 = A2 = 3, φ1 = π 4 , φ2 = 5π 6 mit A = A1 2 + A2 2 + A1 A2 cos (φ1 - φ2 ) = 9 + 9 + 9 cos ((1 4 -1 6)π) = 18 + 9 cos (( 3 12 - 2 12)π) = 18 + 9 cos ( 1 12π) 18 + 9 0, 991 26, 9 5, 188. .
tan φ = y1 + y2 x1 + x2 = A1 sin φ1 + A2 sin φ2 A1 cos φ1 + A2 cos φ2 = sin π 4 + sin 5π 6 cos π 4 + cos 5π 6 -7.595 .
φ arctan -7.595 -1, 44 82°. .

.
0/10/2/4/6 Anwendung: 0/10/2/4/7


PIC .

Abbildung 9: Überlagerung von Schwingungen

0/10/2/4/8 .
0/10/2/4/9 .
Beispiel 11 - 65

y1 =4cm sin(2s-1 t)
y2 =3cm cos(2s-1 t -π 6 )

.

y1 =4cm sin(2s-1 t)
y2 =3cm cos(2s-1 t -π 6 )
=3cm sin(2s-1 t + π 3 )
φ1 - φ2 =π 3
A =42 cm2 + 32 cm2 + 2 4 3cm2 cos π 3 =6, 08cm
tan φ = 4cm 0 + 3cm sin π 3 4cm cos 0 + 3cm cos π 3 =2, 59cm 5, 5cm =0, 47
φ 25, 3 0, 44

.
0/10/2/4/10

0/10/2/5

11.2.5 Lissajous-Figuren

0/10/2/5/0

x =a sin ωt
y =b cos ωt
xa = sin ωt
y b = cos ωt
x2 a2 + y2 b2 =1

0/10/2/5/1


PIC .

Abbildung 10: Lissajous-Figuren

0/10/2/5/2 .
.
Beispiel 11 - 66: Befehle zum Zeichnen von Lissajous-Figuren: .
Maple: plot([sin(2 * x),cos(x),x = -Pi..Pi]) .
Maxima: plot2d([parametric,sin(t),cos(t), [t,-8 * %pi, 8 * %pi], [nticks, 2000]])

0/10/3

11.3 Arkus-Funktionen

0/10/3/0

11.3.1 Umkehrung trigonometrischer Funktionen

0/10/3/0/0

Die Arkus-Funktionen stellen die Umkehrung trigonometrischer Funktionen dar.
0/10/3/0/1


PIC .

Abbildung 11: periodische Funktion

0/10/3/0/2 .
Von periodischen Funktionen kann nur dann eine Umkehrfunktion gebildet werden, wenn man sich auf einen Teilbereich, den Hauptzweig beschränkt.

0/10/3/1

11.3.2 Arkussinusfunktion


sin xzwischen -π 2 x π 2 streng monoton wachsend
PIC PIC

Abbildung 3: Funktion und Umkehrfunktion von y = sin(x)

0/10/3/2

11.3.3 Arkuscosinusfunktion


cos xzwischen 0 x π streng monoton fallend
PIC PIC
y = cos(x) y = arccos(x)

Abbildung 4: Funktion und Umkehrfunktion von y = cos(x)

0/10/3/3

11.3.4 Arkustangensfunktion

0/10/3/3/0

0/10/3/3/1


PIC .

Abbildung 5: Arkustangensfunktion

0/10/3/3/2 Zeichnen .
mit Maple: plot([(tan(x), (arctan(x))],x = -2π..2π,y = -5..5, .
tickmarks = [spacing(π 2 ),default],thickness = 3); .
mit Maxima: plot2d([tan(x),atan(x)], [x,-10, 10], [y,-10, 10]);

0/10/3/4

11.3.5 Trigonometrische (goniometrische) Gleichungen

0/10/3/4/0

Trigonometrische (goniometrische) Gleichungen

0/10/3/4/1 .
Beispiel 11 - 66
Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung cos x + sin 2x = 0. .
.

cos x + sin 2x =0
cos x + 2 sin x cos x =0
cos x(1 + 2 sin x) =0
.
Lösungen ergeben sich, wenn einer der Faktoren Null ist.
1.
cos x = 0

PIC .

Abbildung 6: cos(x) = 0

x1,2 = π 2 + k π

2.
1 + 2 sin x = 0
sin x = -1 2

PIC .

Abbildung 7: sin(x) = -0, 5

x3 = (2k -1 6)π
x4 = (7 6 + 2k)π

.


PIC .

Abbildung 8: cos(x) = 0


PIC .

Abbildung 9: sin(x) = -0, 5

.
0/10/3/4/2 .
Beispiel 11 - 67
Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung cos x + 1 2 sin x = 0. .
.

cos x + 1 2 sin x =0
cos x =-1 2 sin x
cos 2x =1 4 sin 2x
1 - sin 2x =1 4 sin 2x
5 4 sin 2x =1
sin x =±4 5
.
x1k = arcsin 4 5 + 2k π, x2k = arcsin -4 5 + 2k π. .
.

.
0/10/3/4/3 .

0/10/3/5

11.3.6 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .