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15 Reelle Matrizen

0/14/1

15.1 Einstieg: Lineare Gleichungssysteme

0/14/1/1

15.1.2 Einige Beispiele zum Einstieg

0/14/1/1/0

Beispiel 15 - 1:
In der Klasse 7c sind 31 Schüler. Die Zahl der Mädchen ist um 3 kleiner als die Zahl der Jungen. Wie viele Jungen und Mädchen sind in der Klasse ?

M: Mädchen J: Jungen
M + J =31
M + 3 =J

Beispiel 15 - 2:
Drei Zahnräder eines Getriebes haben zusammen 80 Zähne. Bei 10 Umdrehungen des ersten Rades drehen sich das zweite 18 und das dritte 45 mal. Wie viel Zähne hat jedes Rad ?

A + B + C =80
A18 =B10
A45 =C10

Beispiel 15 - 3: Balken in einem Lager
Ein Balken (Länge k) wird in einem festen Lager links eingespannt und rechts von einem Seil in einem Winkel von 45 o gehalten. Eine Kraft F wirkt unter dem Winkel α auf die Mitte des Balkens. 0/14/1/1/1


PIC .

Abbildung 1: Eingespannter Balken

0/14/1/1/2

Fragestellung der Technischen Mechanik ist bei diesem Beispiel die Bestimmung der Kräfte FA,FB und des Moments MA in Abhängigkeit vom Winkel α der angreifenden Kraft F (’Drehachse’ links): .
0/14/1/1/3


PIC .

Abbildung 2: Kräfte an einem Balken

0/14/1/1/4 .
x - Richtung :0 FA+ 1 2 FB+0 MA = F cos α y - Richtung : FA + 1 2 FB+0 MA = F sin α DrehmomentM :0 FA+ k 2 FB+ MA =k2 F sin α .
.
3 Gleichungen, 3 Unbekannte .

Beispiel 15 - 4: Verschnittkreuz
Gegeben sind die zwei (zu bestimmenden) Mengen x1 und x2 eines Weins mit dem Säuregehalt G1 = 3, 8gl und G2 = 9gl, die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge M und einem Gesamtsäuregehalt G = 6gl.
Die Gleichungen dieses Systems lauten dann:

x1+x2=M
G1 x1+G2 x2=G M

Nun multipliziert man die erste Gleichung mit G2: .
G2 x1+G2 x2=G2 M
G1 x1+G2 x2=G M

Subtraktion der zweiten von der ersten Zeile ergibt: .
(G2 - G1) x1+=(G2 - G) M

und damit x1 = (G2 - G) M G2-G1
oder x1 G2 - G
Die gleichen Schritte werden nach der Multiplikation der ersten Gleichung mit G1 analog durchgeführt:
G1 x1+G1 x2=G1 M
G1 x1+G2 x2=G M

Subtraktion der zweiten von der ersten Zeile ergibt:. .
+(G2 - G1) x2=(G - G1) M

und damit x2 = (G - G1) M G2-G1
oder x2 G - G1.
Kennt man die gesuchte Gesamtmenge nicht, kann man für das Verhältnis von x1 zu x2 angeben:
x1 x2 = G2-G G-G1 = (9.0-6.0)gl (6.0-3.8)gl = 3.0 2.2 1.36.

Zum besseren Behalten dieser Gleichungen werden die Werte in einem (Verschnitt-)Kreuz aufgetragen: .
.




G1 x1 (G2 - G)
G
G2 x2 (G - G1)



.
.
Mit Zahlen: .
.



3.8 3.0
6.0
9.0 2.2



.
.
Hat man nun eine vorgegebene Menge x1 = 630l, so kann man die Menge des Weins x2 einfach bestimmen zu:
630 x 2 = 3.0 2.2 und x2 = 630 2.2 3.0l = 462l.
Lösung des Beispiels mit Maple:
restart; eq1 := x1+x2 = M;
eq2 := 3.8*x1+9*x2 = 6.0*M;
solve({eq1, eq2}, {x1, x2,M}) ergibt:
x1 + x2 = M
3.8 x1 + 9 x2 = 6.0 M
{M = 2.363636364*x2, x1 = 1.363636364*x2, x2 = x2}.
Also: x2 ist frei wählbar, daraus ergibt sich x1 und daraus wiederum die Gesamtmenge.

0/14/1/1/5 .
Beispiel 15 - 128
Gegeben sind die drei (zu bestimmenden) Mengen x1, x2 und x3 eines Weins mit dem Alkoholgehalt A1 = 8 Vol %, A2 = 12 Vol % und A3 = 15 Vol % , die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge M und einem Gesamt-Alkoholgehalt A = 12 Vol %.
(1.267l Alkohol entspricht 1kg; auf der linken und rechten Seite steht aber die gleiche Einheit. Deshalb kann sie weggelassen werden.)
Gleichzeitig haben die Weine Säuregehalte von S1 = 3gl, S2 = 9gl und S3 = 5gl,die zusammengemischt den Ziel-Gesamtsäuregehalt G = 6gl haben sollen. .

Die Gleichungen dieses Systems lauten:

x1+x2+x3=M
A1 x1+A2 x2+A3 x3=A M
S1 x1+S2 x2+S3 x3=S M
,
in Zahlen:
x1+x2+x3=M
0.08 x1+0.12 x2+0.15 x3=0.12 M
0.10 x1+0.01 x2+0.12 x3=0.09 M
,
Lösung mit Maxima: .
eq1 : x1 + x2 + x3 = M; .
eq2 : 0.08 * x1 + 0.12 * x2 + 0.15 * x3 = 0.12 * M .
eq3 : 0.03 * x1 + 0.09 * x2 + 0.05 * x3 = 0.06 * M .
algsys([eq1,eq2,eq3], [x1,x2,x3,M]) .
ergibt :
[[x1 = %r1,x2 = 13%r1 9 ,x3 = 4%r1 3 ,M = 34%r1 9 ]] .

Lösung mit Maple: restart; eq1 := x1+x2+x3 = M;
eq2 := 0.08*x1+0.12*x2+0.15*x3 = 0.12*M;
eq3 := 0.03*x1+0.09*x2+0.05*x3 = 0.06*M;
solve({eq1, eq2,eq3}, {x1, x2,x3,M})
ergibt :
{M = 34 9 x1 ;
x1 = x1 ;
x2 = 13 9 x1 ;
x3 = 4 3 x1};
Die Lösung sagt gleichzeitig, dass man für die Zielzusammensetzung alle drei Weine benötigt. .

.
0/14/1/1/6

0/14/1/1/7 .
Beispiel 15 - 129
Gegeben sind die drei (zu bestimmenden) Mengen x1, x2 und x3 eines Weins mit dem Alkoholgehalt A1 = 8 Vol %, A2 = 12 Vol % und A3 = 13, 5 Vol % , die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge M und einem Gesamt-Alkoholgehalt A = 11 Vol %.
Gleichzeitig haben die Weine Säuregehalte von S1 = 3, 8gl, S2 = 9gl und S3 = 7gl,die zusammengemischt den Ziel-Gesamtsäuregehalt G = 6gl haben sollen. .

Die Gleichungen dieses Systems lauten:

x1+x2+x3=M
A1 x1+A2 x2+A3 x3=A M
S1 x1+S2 x2+S3 x3=S M
,
in Zahlen:
x1+x2+x3=M
8 x1+12 x2+13.5 x3=11.0 M
3.8 x1+9.0 x2+7.0 x3=6.0 M
,
Lösung mit Maxima: .
eq1 : x1 + x2 + x3 = M .
eq2 : 8 * x1 + 12 * x2 + 13.5 * x3 = 11.0 * M .
eq3 : 3.8 * x1 + 9 * x2 + 7 * x3 = 6.0 * M .
algsys([eq1,eq2,eq3], [x1,x2,x3,M]) .
ergibt :
[[x1 = %r2,x2 = 5%r2 13 ,x3 = 68%r2 65 ,M = 158%r2 65 ]] .

Lösung mit Maple: restart; eq1 := x1+x2+x3 = M;
eq2 := 8*x1+12*x2+13.5*x3 = 11.0*M;
eq3 := 3.8*x1+9*x2+7*x3 = 6.0*M;
solve({eq1, eq2,eq3}, {x1, x2,x3,M})

Gäbe man als Ziel-Alkoholgehalt nun beisipielsweise 12% vor, erhielte man negative Mengenwerte. Diese negativen Werte der Lösung sagen aus, daß für diese Zielsetzung keine entsprechende Mischung möglich ist. .

.
0/14/1/1/8 Die Systematik von linearen Gleichungssytemen kann diese Ergebnisse erklären.