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0/14/0
0/14/1
0/14/1/0
In diesem Kapitel werden die Methoden
zur Lösung von Gleichungssystemen einschließlich der Hintergründe behandelt. BeginIsUnit 0/14/1/1
0/14/1/1/0
Beispiel 15 - 1:
In der Klasse 7c sind 31 Schüler. Die Zahl der Mädchen ist um 3 kleiner als die Zahl der Jungen.
Wie viele Jungen und Mädchen sind in der Klasse ?
| : Mädchen | : Jungen | |
Beispiel 15 - 2:
Drei Zahnräder eines Getriebes haben zusammen 80 Zähne. Bei 10 Umdrehungen des ersten
Rades drehen sich das zweite 18 und das dritte 45 mal. Wie viel Zähne hat jedes Rad
?
Beispiel 15 - 3:
Balken in einem Lager
Ein Balken (Länge )
wird in einem festen Lager links eingespannt und rechts von einem Seil in
einem Winkel von 45 o gehalten. Eine Kraft F wirkt unter dem Winkel
auf die
Mitte des Balkens. 0/14/1/1/1
0/14/1/1/2
Fragestellung der Technischen Mechanik ist bei diesem Beispiel die Bestimmung der Kräfte
und des Moments
in Abhängigkeit
vom Winkel
der angreifenden Kraft F (’Drehachse’ links): .
0/14/1/1/3
0/14/1/1/4 .
.
.
3
Gleichungen, 3 Unbekannte .
Beispiel 15 - 4:
Verschnittkreuz
Gegeben sind die zwei (zu bestimmenden) Mengen
und
eines Weins mit
dem Säuregehalt
und ,
die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge
und einem
Gesamtsäuregehalt .
Die Gleichungen dieses Systems lauten dann:
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
Zum besseren Behalten dieser Gleichungen werden die Werte in einem (Verschnitt-)Kreuz
aufgetragen: .
.
0/14/1/1/5 .
Beispiel 15 - 128
Gegeben sind die drei (zu bestimmenden) Mengen
,
und
eines Weins mit
dem Alkoholgehalt
Vol %, Vol
% und
Vol % , die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge
und einem
Gesamt-Alkoholgehalt
Vol %.
( Alkohol
entspricht ;
auf der linken und rechten Seite steht aber die gleiche Einheit. Deshalb kann sie weggelassen
werden.)
Gleichzeitig haben die Weine Säuregehalte von
,
und
,die zusammengemischt den
Ziel-Gesamtsäuregehalt
haben sollen. .
Die Gleichungen dieses Systems lauten:
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
Lösung mit Maple: restart; eq1 := x1+x2+x3 = M;
eq2 := 0.08*x1+0.12*x2+0.15*x3 = 0.12*M;
eq3 := 0.03*x1+0.09*x2+0.05*x3 = 0.06*M;
solve({eq1, eq2,eq3}, {x1, x2,x3,M})
ergibt :
;
;
;
;
Die Lösung sagt gleichzeitig, dass man für die Zielzusammensetzung alle drei Weine benötigt. .
0/14/1/1/7 .
Beispiel 15 - 129
Gegeben sind die drei (zu bestimmenden) Mengen
,
und
eines Weins mit
dem Alkoholgehalt
Vol %, Vol
% und
Vol % , die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge
und einem
Gesamt-Alkoholgehalt
Vol %.
Gleichzeitig haben die Weine Säuregehalte von
,
und
,die zusammengemischt den
Ziel-Gesamtsäuregehalt
haben sollen. .
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
Lösung mit Maple: restart; eq1 := x1+x2+x3 = M;
eq2 := 8*x1+12*x2+13.5*x3 = 11.0*M;
eq3 := 3.8*x1+9*x2+7*x3 = 6.0*M;
solve({eq1, eq2,eq3}, {x1, x2,x3,M})
Gäbe man als Ziel-Alkoholgehalt nun beisipielsweise
vor,
erhielte man negative Mengenwerte. Diese negativen Werte der Lösung sagen aus, daß für diese
Zielsetzung keine entsprechende Mischung möglich ist. .
0/14/1/2
0/14/1/2/0
Bei einem linearen Gleichungssystem bleibt die Lösungsmenge bei Anwendung der folgenden Operationen unverändert erhalten (Äquivalente Umformungen eines linearen Gleichungssystems):
.
0/14/1/2/1 .
Beispiel 15 - 130
| Zeilen- | Opera- | |||||
| summe | tion | |||||
| +I | ||||||
| + 5I | ||||||
.
| /3 | ||||||
| +II | ||||||
0/14/1/3
Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .
0/14/1/4
| rechteckiges Schema mit | |
| Zeilen | |
| Spalten | |
| : | Matrixelemente |
A=
.
i wird als Zeilenindex
k wird als Spaltenindex bezeichnet.
Schreibweisen:
Sonderfälle:
:
n-reihige quadratische Matrix oder auch Matrix n-ter Ordnung .
Nullmatrix :
Matrix, deren Elemente sämtlich verschwinden .
Spaltenmatrix:
.
Zeilenmatrix:
.
0/14/1/5
0/14/1/5/0
Vertauschen von Zeilen und Spalten ergibt die Transponierte einer Matrix : .
.
.
.
Beispiel:
.
.
0/14/1/5/1 .
Beispiel 15 - 131
.
.
.
.
=
Nebendiagonale
=
Hauptdiagonale
0/14/1/6
Zwei Matrizen
sind gleich, wenn
für
alle ,
also wenn alle ihre Elemente gleich sind.
0/14/2
0/14/2/0
0/14/2/1
für
.
Sind alle ,
so nennt man diese Matrix Einheitsmatrix
.
0/14/2/2
alle Elemente oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonalen verschwinden
Beispiel 15 - 132:
Untere Dreieicksmatrix:
.
0/14/2/3
.
Beispiel:
.
0/14/2/4
.
Beispiel: .
.
0/14/3
0/14/3/0
0/14/3/0/0
0/14/3/0/1 .
Beispiel 15 - 132
.
.
0/14/3/1
0/14/3/1/0
für
alle .
0/14/3/1/1 .
Beispiel 15 - 133
.
.
| kommutativ: | |||
| assoziativ: | |||
| distributiv: | |||
0/14/3/1/3 .
Beispiel 15 - 134
.
.
.
.
0/14/3/2
0/14/3/2/0
und
.
Die Ergebnismatrix hat 3 Spalten und 2 Zeilen
.
Falk-Schema für die Multiplikation von Matrizen : .
.
Beispiel 15 - 135:
.
.
.
.
.
.
Multiplikation ist nur zulässig, wenn
.
0/14/3/2/1 .
Beispiel 15 - 135
.
.
.
.
Rechengesetze für die Matrixmultiplkikation:
| Assoziativität: | |||
| Distributivität: | |||
Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ
Man kann jedoch bei Gleichungen mit Matrizen entweder auf beiden Seiten von links oder auf beiden
Seiten von rechts mit einer Matrix multiplizieren (vorausgesetzt natürlich, die Anzahl Spalten bzw.
Zeilen sind dazu passend): .
0/14/3/3
Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .
0/14/4
0/14/4/0
0/14/4/0/0
| umbilden in Matrix: | ||||||||
| 1. Spalte: , | 2. Spalte: | |||||||
| 3. Spalte: , | 4. Spalte: Konstante | |||||||
.
Das lineare Gleichungssystem kann geschrieben werden als
. .
Koeffizienten:
Absolutglieder (Konstanten):
| mit | und | ||||
Entsprechend verfolgt jetzt der Gaußsche Algorithmus das Ziel, über äquivalente Umformungen die Matrix in ein gestaffeltes System (Dreiecksform) zu bringen durch die Schritte:
0/14/4/0/1 .
Beispiel 15 - 136
Lösen eines Gleichungssytems mit Excel : .
.
.
.
0/14/4/0/3 .
Beispiel 15 - 137
| umbilden in Matrix: | ||||||||
| 1. Spalte: , | 2. Spalte: | |||||||
| 3. Spalte: , | 4. Spalte: Konstante | |||||||
.
0/14/4/1
Die Lösung eines linearen Gleichungssystems
erfolgt durch Umformung in zwei, ggf. drei Schritten:
I. Vorwärtselimination mit
Ia. eventueller Pivotisierung (d.h. Vertauschen von Zeilen, bis die Diagonalelemente
)
II. Rückwärtselimination
I. Vorwärtselimination
| subtrahiere | -fache der 1.Zeile von 2.Zeile |
| ⋮ | -fache der 1.Zeile von 3.Zeile |
| ⋮ | ⋮ |
| subtrahiere | -fache der 2.Zeile von 3.Zeile |
| ⋮ | -fache der 2.Zeile von 4.Zeile |
| ⋮ | ⋮ |
II. Rückwärtselimination
Aus der Dreiecksform werden die Lösungen
durch schrittweises Rückwärtseinsetzen gewonnen:
.
Sei eine
-Matrix, dann lautet das
Gleichungssystem mit
dem unbekannten Vektor :
0/14/4/2
0/14/4/2/0
Alternativ zum beschriebenen Gauß-Verfahren kann man auch die Koeffizientenmatrix noch weiter umformen, bis man
eine Einheitsmatrix
erhält. Damit können die Lösungen direkt abgelesen werden.
oder
Dies ist auch als Gauß-Jordan-Verfahren bekannt.
0/14/4/2/1 .
Beispiel 15 - 138
Alternative Lösung des obigen Beispiels mit Gauß-Jordan: .
| umbilden in Matrix: | ||||||||
| 1. Spalte: , | 2. Spalte: | |||||||
| 3. Spalte: , | 4. Spalte: Absolutglied | |||||||
| PS | |||||
0/14/4/2/3 .
Beispiel 15 - 139
Zu lösen ist das Gleichungssystem .
.
Beispiele zum Gauß’schen Verfahren
0/14/4/2/5 .
Beispiel 15 - 140
Tragwerke
| nach | ||||
| nach | ||||
.
Pivotisieren:
.
.
0/14/4/2/7 .
Beispiel 15 - 141
.
.
Die
Gleichung hat unendlich viele Lösungen
wird
zum Parameter und ist frei wählbar.
Auflösen durch Rückwärtseinsetzen:
.
.
.
0/14/4/2/9 .
Beispiel 15 - 142
.
| . | |||||
| oder . | |||||
| . | |||||
Ein Gleichungssystem hat