0
0/12
13 Differentialrechnung
0/12/1
13.1 Differenzierbarkeit einer Funktion
0/12/1/1
13.1.1 Tangentenproblem
0/12/1/1/0
Beispiel: .
| | | | | | | | | : | Steigung |
| |
0/12/1/1/1
0/12/1/1/2 .
Gesucht ist zunächst die Steigung der Sekante
:
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| | | | | | |
| | | | | | |
| |
.
Für die Tangentensteigung gilt: .
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.
.
Der Grenzwert existiert und ist links und rechts gleich. .
Funktion ist
an der Stelle
differenzierbar. .
Den angegebenen Grenzwert bezeichnet man als Ableitung : .
| | | | |
| |
.
Sie wird häufig wie folgt symbolisiert: .
| | | | |
| |
.
Differenzierbarkeit -auch innerhalb des Definitionsbereichs- ist nicht von vornherein gegeben;
Beispielsweise ist die Funktion .
| x für x ≥ 0
|
| -x für x < 0 |
.
nicht überall ableitbar: An der Stelle x = 0 besitzt sie keine eindeutig bestimmte Tangente: .
0/12/1/1/3
0/12/1/1/4 . Die Funktion
ist an der Stelle
nicht differenzierbar
|