0

0/12

13 Differentialrechnung

0/12/2

13.2 Ableitungsregeln

0/12/2/6

13.2.6 Logarithmische Ableitung

0/12/2/6/0

Vorgehensweise :

1.
Logarithmieren beider Seiten
2.
Ableiten (z. B. mit Hilfe der Kettenregel)

Beispiel 13 - 1:

y =xx | Logarithmieren beider Seiten
ln y = ln(xx)
ln y =x ln(x) = ln f(x)
u =f(x)
dudx =f(x)
ddx(ln f(x)) =dfdu du dx =1u f(x)
= 1f(x) f(x) = ln x + x 1 x =1
f(x) =(ln x + 1) f(x) =xx (ln x + 1)
.

0/12/2/6/1 .
Beispiel 13 - 78

f(x) = y = xsin x .

ln f(x) = ln(xsin x)
ln f(x) = sin x ln(x)
u =f(x)äußere Funktion
F(u) = ln(u)innere Funktion
d ln(u) du du dx = cos x ln x + (sin x) 1 x
1f(x) f(x) = cos x ln x + (sin x) 1 x
f(x) =(cos x ln x + (sin x) 1 x) f(x)
=(cos x ln x + (sin x) 1 x) xsin x

.
0/12/2/6/2 .
Beispiel 13 - 79
y = u v .

.

y = u v (Produktregel)

f(x) =u(x) v(x)
ln f(x) = ln(u(x) v(x)) = ln u(x) - ln v(x)
f(x) 1 f(x) = 1u(x) u(x) - 1 v(x) v(x)
=u(x) v(x) - u(x) v(x) u(x) v(x)
f(x) = 1 u(x) u(x) - 1 v(x) v(x) =u(x) v(x) - u(x) v(x) u(x) v(x) u(x) v(x)
= 1u(x) u(x) - 1 v(x) v(x) =u(x) v(x) - u(x) v(x) u(x) v(x) u(x) v(x)

.
0/12/2/6/3