0

0/1

2 Gleichungen

0/1/4

2.4 Ungleichungen

0/1/4/3

2.4.3 Betragsungleichungen

0/1/4/3/0

Durch Fallunterscheidung wird wie bei den Betragsgleichungen in Bereiche unterteilt. Der weitere Lösungsweg geht wie oben beschrieben. .
0/1/4/3/1 .
Beispiel 2 - 15
|2x - 1| > x .

Zunächst: Betrachtung der Gleichung |2x - 1| = x .
Untervallunterteilung (Zahlenstrahl !): x = 1 2 .
Fallunterscheidungen:

Int. 1 2



x < 1 2x 1 2



2x - 1 < 0 0



Gl. - 2x + 1 = x2x - 1 = x
3x = 1
x = 1 3x = 1




Jetzt: Betrachtung der Intervalle .
.




1.x < 1 3Einsetzen von z.B. x = 0 erfüllt Relation. .



2. 1 3 < x < 1 2Einsetzen von z.B. x = 0, 4 erfüllt Relation nicht. .



3. 1 2 x < 1Einsetzen von z.B. x = 0, 7 erfüllt Relation nicht. .



4. x > 1Einsetzen von z.B. 2 erfüllt Relation. .



.
.
L1 = {x |x < 1 3}, .
L2 = {x |x > 1}, .
L = L1 L2 = {x |x < 1 3,x > 1} .
Zeichnen mit Maple: .
.
plot([abs(2*x-1),x],x=-10..10,y=-1..20) .
.
oder Maxima: .
.
plot2d([abs(2*x-1),x],[x,-5,5]); .
.

.
0/1/4/3/2

0/1/4/3/3 .
Beispiel 2 - 16
|x + 3| + |x + 4| < 9 .

Fallunterscheidungen:

Int. 1 2 3
x < -4 - 4 x < -3x -3




x+3 <0 <0 >0
x+4 <0 >0 >0




Gl. - (x + 3) - (x + 4) < 9- (x + 3) + (x + 4) < 9(x + 3) + (x + 4) < 9
- x - 3 - x - 4 < 9- x - 3 + x + 4 < 9x + 3 + x + 4 < 9
- 2x - 7 < 91 < 92x + 7 < 9
x > -8 erfüllt im x < 1
ganzen Intervall

L1 = {x |- 8 < x < -4}, .
L2 = {x |- 4 x < -3}, .
L3 = {x |- 3 x <}, .
L = L1 L2 L3 = {x |- 8 < x < 1}} .

alternativ mit Maple: .
solve(abs(x+3)-abs(x+4)<9,x) .

.
0/1/4/3/4

0/1/4/3/5 .
Beispiel 2 - 17
Stellen Sie die Ungleichung 0 < x < 10 in eine Betragsgleichung um .

- a < x + b < a .
.
Links und rechts muss der gleiche Betrag, aber mit unterschiedlichen Vorzeichen stehen .
- 5 < x - 5 < 5 .
|x - 5| < 5 .
.
0/1/4/3/6

0/1/4/3/7 .
Beispiel 2 - 18
(x + 1)2 |x| .

Betragszeichenauflösung: .
.
Intervall I: x 0 .
(x + 1)2 x .
x2 + 2x + 1 x x2 + x + 1 0 L =

Intervall II: x < 0 .
(x + 1)2 < -x .
x2 + 2x + 1 < -x .
x2 + 3x + 1 0 .
= 0 setzen: .
x1 = -3 2 -1 25 .
x2 = -3 2 + 1 25 .
Wie vor Intervalle untersuchen: .
L = x|-3 2 -1 25 x -3 2 + 1 25 .
Zeichnung mit Maple: .


PIC .

Abbildung 1: Betragsungleichung (x + 1)2 |x|

plot([(x + 1)2,abs(x)],x = -5..5,y = -0..10) .

.
0/1/4/3/8