0
0/12
0/12/0
0/12/1
0/12/1/0
0/12/1/1
0/12/1/1/0
Beispiel: .
| : | Steigung | |||||||||
0/12/1/1/2 .
Gesucht ist zunächst die Steigung der Sekante
:
Für die Tangentensteigung gilt: .
Den angegebenen Grenzwert bezeichnet man als Ableitung : .
Differenzierbarkeit -auch innerhalb des Definitionsbereichs- ist nicht von vornherein gegeben;
Beispielsweise ist die Funktion .
nicht überall ableitbar: An der Stelle x = 0 besitzt sie keine eindeutig bestimmte Tangente: .
0/12/1/1/3
0/12/1/1/4 .
Die Funktion
ist an der Stelle
nicht differenzierbar
0/12/1/2
für
gilt: .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0/12/1/3
| Funktionsgruppe | Funktion | Ableitung |
| Elementare Funktionen | ||
| Exponentialfunktionen | ||
| Logarithmusfunktionen | ||
| Funktionsgruppe | Funktion | Ableitung |
| Sinusfunktionen | ||
| Arcusfunktionen | ||
| arccos x | ||
| arctan x | ||
| arccot x | ||
| Hyperbelfunktionen | sinh x | |
| cosh x | ||
| tanh x | ||
| coth x | ||
| Areafunktionen | arsinh x | |
| arcosh x | ||
| artanh x | ||
| arcoth x | ||
0/12/2
0/12/2/0
0/12/2/1
Die Ableitungsregeln können können wahlweise eingesetzt werden und schließen sich nicht
gegenseitig aus.
Beispiel 13 - 1:
.
0/12/2/3
0/12/2/3/0
| Beispiel 1: | ||||
| Beispiel 2: | ||||
| Beispiel 3: | ||||
.
0/12/2/4
0/12/2/5
0/12/2/5/0
Beispiel 13 - 76:
| Innere Funktion | |||
| Äußere Funktion | |||
0/12/2/5/1 .
Beispiel 13 - 75
.
.
0/12/2/5/5 .
Beispiel 13 - 77
.
0/12/2/6
0/12/2/6/0
Vorgehensweise :
Beispiel 13 - 78:
| | Logarithmieren beider Seiten | ||||
0/12/2/6/1 .
Beispiel 13 - 78
.
| äußere Funktion | |||
| innere Funktion | |||
.
0/12/2/7
0/12/2/7/0
Gegeben sei eine Funktion ,
von der die Ableitung
sowie die Umkehrfunktion
gebildet werden kann. .
Falls die Ableitung der Umkehrfunktion
nun nicht mit den bisherigen Verfahren gebildet werden kann, läßt sich die Umkehrfunktion
evtl.
doch ableiten:
0/12/2/7/1
0/12/2/7/2 .
Das Prinzip: .
Funktionsgleichung nach x auflösen:
Anders ausgedrückt:
| innere Funkion | ||||
| äußere Funkion | ||||
| Kettenregel: | ||||
Beispiel 13 - 80:
Gegeben sei die Umkehrfunktion von :
.
sowie die Ableitung von :
. .
Gesucht ist die Ableitung :
.
Schritt 1: .
.
.
Schritt 2: Vertauschen von
und :
.
.
0/12/2/7/3 .
Beispiel 13 - 80
.
0/12/2/8
0/12/2/8/0
Ist eine Gleichung in impliziter Darstellung
gegeben, läßt sich die Ableitung bilden, indem man alle Terme ableitet (Kettenregel beachten !) .
0/12/2/8/1 .
Beispiel 13 - 81
Zu bilden sei die Ableitung der Funktion
.
0/12/2/9
0/12/2/9/0
0/12/2/9/1
0/12/2/9/2 .
Fragestellung: Wie groß wird der Fehler, wenn anstelle der Tangentensteigung die Sekantensteigung für
ein
(z.B. von 0.1) verwendet wird ? .
.
Differential
.
Zuwachs der Ordinate
der Kurventangente an
bei Änderung der Abszisse
um .
:
Ordinatenabweichung .
Die Ableitung einer Funktion kann als Quotient zweier Differentiale aufgefasst werden.
Beispiel 13 - 82:
.
Gesucht ist Steigung der Sekante, also die Ordinatenänderung
für eine
Änderung von
an . .
.
| Für | in | ||
| Für | |||
0/12/2/10
0/12/2/10/0
.
Beispiel 13 - 83:
.
0/12/2/10/1 .
Beispiel 13 - 82
.
0/12/2/11
Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .
0/12/3
0/12/3/0
0/12/3/1
0/12/3/1/0
0/12/3/1/1
0/12/3/1/2 .
Tangentengleichung:
.
Steigung der Normalen:
.
Normalengleichung:
.
.
Beispiel 13 - 83:
.
.
gesucht: Gleichung der Tangente und Normale n am Schnittpunkt mit der
-Achse.
.
Schnittpunkt mit der -Achse:
.
.
Tangentensteigung:
.
.
Tangente:
.
.
Normale: .
.
.
0/12/3/1/3 .
Beispiel 13 - 83
Zu ermitteln ist die Gleichung der Tangente, die vom Punkt
aus an den
Funktionsgraphen
gelegt wird.
.
, da
und
0/12/3/2
| Funktionskurve steigt streng monoton beim Durchgang durch | |
| Funktionskurve steigt monoton beim Durchgang durch | |
| Funktionskurve fällt streng monoton beim Durchgang durch | |
| Funktionskurve fällt monoton beim Durchgang durch | |
.
.
Beispiel 13 - 84
.
.
Krümmung
.
Beispiel 13 - 86
Kreisgleichung, obere Hälfte
0/12/3/3
0/12/3/3/0
gegeben: stetige/ableitbare Funktion .
0/12/3/3/1
0/12/3/3/2 .
Extrema: Waagrechte Tangenten .
| relatives Maximum: | ||
| relatives Minimum: | ||
Beispiel 13 - 87:
.
0/12/3/3/4 .
kein Minimum, kein Maximum, sondern Wendepunkt .
Beispiel 13 - 88:
.
0/12/3/3/5
0/12/3/3/6 .
| Maxima: | für | und | gerade | |
| Minima: | für | und | gerade | |
0/12/3/4
0/12/3/4/0
0/12/3/4/1
0/12/3/4/2
Ein Wendepunkt liegt vor, wenn
und die erste höhere von Null verschiedene Ableitung von ungerader Ordnung ist. .
| und | ||
| , wobei ungerade ist | ||
.
.
| horizontale Tangente | ||
| Sattelpunkt | ||
0/12/3/5
0/12/3/5/0
Folgende Merkmale werden bei einer Kurvendiskussion betrachtet: .
0/12/3/5/1 .
Beispiel 13 - 89
.
horizontale Tangente:
0/12/3/5/3 .
Beispiel 13 - 90
.
. .
.
.
0/12/3/5/5 .
Beispiel 13 - 91
.
.
0/12/3/6
0/12/3/6/0
0/12/3/6/1
0/12/3/6/2 .
.
.
.
.
.
.
.
Wiederholung:
solange, bis Fehler
.
.
.
Konvergenzkriterien:
.
.
Beispiel: .
Startwert :
Konvergenzkriterium erfüllt? .
.
.
.
.
.
Konvergenzkriterium erfüllt .
| .. | ||||
0/12/3/7
0/12/3/7/0
Extremwertaufgaben können u.U. helfen, Optima herauszufinden. .
gegeben: Zielfunktion .
gesucht: Minimum, Maximum. .
0/12/3/7/1 .
Beispiel 13 - 92
Gegeben sei die Funktion .
Ein Rechteck werde durch die x- und y-Achsen sowie einen Punkt der Funktion
begrenzt.
.
0/12/3/7/2
0/12/3/7/3 .
Beispiel 13 - 93
Aus einem Baumstamm mit kreisförmigem Querschnitt soll ein Balken mit
rechteckigem Querschnitt so herausgeschnitten werden, daß sein Widerstandsmoment
(Breite
b, Dicke h) möglichst groß wird. .
Wie groß ist h bzw .b ? .
Mit dem Durchmesser 2R gilt: .
.
.
Das Widerstandsmoment wird damit ausgedrückt: .
.
(für
0.
.
,
.
.
ergibt:
.
.
. .
.
(Der negative Wert scheidet aus). Maximum: .
.
.
. .
.
Das Ganze ließe sich auch durch die Balkendicke h ausdrücken, ist aber wesentlich aufwendiger: .
.
.
.
0/12/3/7/4
0/12/3/7/5 .
Beispiel 13 - 94
Gegeben ist eine Lampe mit der Lichtstärke .
In Punkt
gilt für die Helligkeit:
gesucht ist die maximale Ausleuchtung des Tischrandes.
Wie hoch muss die Lampe aufgehängt werden?
.
d.h. ist
ein Maximum.
0/12/3/8
0/12/3/8/0
Sind die Koordinaten x und y durch einen Parameterausdruck gegeben, so wird nach diesem
Parameter abgeleitet. .
0/12/3/8/1 .
Beispiel 13 - 95
.
.
.
0/12/3/9
0/12/3/9/0
Das Modell des pharmakokinetischen Grundversuchs [Langguth] ( Kompartiment-Modell )
ist vergleichbar mit dem Modell der Diffusion in der Physik. Es geht aus von Kompartimenten, d.h.
pharmakokinetisch einheitlichen Räumen. (In der Sprache der Physik sind dies homogenene
Bereiche.) .
Je größer der Konzentrationsunterschied ist, umsomehr versucht
, kleiner
zu werden. (Dies ist eine vereinfachende Modell-Annahme !) .
Beispiel: auf der linken Seite ist eine Konzentration
, rechts
ist
(hierhin ’verdünnt’ sich der Wirkstoff zunächst). 0/12/3/9/1
0/12/3/9/2 .
Dies kann man beschreiben durch .
Konzentrationsänderungsrate
Konzentrationsunterschied (k ist eine Konstante, die -versuchsabhängige- Diffusionskonstante) oder .
oder: .
Eine Lösung der (Differential-)Gleichung (s. Mathematik II)ist:
.
Zu Beginn ist ,
also die Dosis verteilt auf das Volumen. .
0/12/3/9/3
0/12/3/9/4 .
0/12/3/9/5
0/12/3/9/6 .
Erweiterung: .
Das Zwei-Kompartiment-Modell .
Der Arzneistoff wird in einer ersten Phase injiziert und verteilt sich schnell im gut durchbluteten
Gewebe und verteilt sich zwischen den Komparimenten [Wiskowski] . .
0/12/3/9/7
0/12/3/9/8 .
Im peripheren Kompartiment kommt es dabei zu einem Anstieg, der nach Erreichung eines
Maximums zu einem Abfall und zur Entleerung führt. .
Das Zeitverhalten lässt sich durch zwei gekoppelte Differentialgleichungen beschreiben, die man
durch folgende Überlegungen bekommt: .
Die Konzentration im
zentralen Kompartiment vermindert sich proportional zur zur momentanen Konzentration durch Elimination mit der
Eliminationskonstanten .
.
Des weiteren ändert sich
durch den Abfluss in das periphere Kompartiment, was formal ebenfalls einer Elimination entspricht:
. .
Umgekehrt fließt das Pharmakon aus dem peripheren in das zentrale
Kompartiment zurück. Dieser Rückfluss ist proportional zur Konzentration
,
wird aber positiv gerechnet, da er die Konzentration im zentralen Kompartiment erhöht:
. .
Insgesamt ergibt sich .
.
Im peripheren Kompartiment hat man, bis auf die Elimination, die gleiche Bilanz, nur dass die
Vorzeichen umgekehrt gewählt werden müssen, da jeder Verlust des peripheren Kompartiments ein
Gewinn des zentralen Kompartiments, und umgekehrt, ist: .
.
Auflösen lässt sich dieses Differentialgleichungssystem (s. Mathematik II), in dem man für
und
den
Ansatz .
und .
wählt. .
Zu Beginn ist (also die Dosis
verteilt auf das Volumen) und .
.
Mit den Hilfsgrößen .
und .
wird .
und .
. .
Qualitativ sieht die Lösung so aus (für )
.
0/12/3/9/9
0/12/3/9/10 .
0/12/3/9/11
0/12/3/9/12 .
0/12/4
0/12/4/0
Bemerkung: .
Die Regel von
kann nur angewendet werden, wenn
.
0/12/4/1
0/12/4/1/0 .
Beispiel 13 - 96
| = | ||
.
| = | ||||
| L’Hospital: | ||||
| = | = | |||
0/12/4/1/2 .
Beispiel 13 - 97
.
.
| = | ||||||||
| L’Hospital: | ||||||||
| = | = | = | = | |||||
0/12/4/1/4 .
Beispiel 13 - 98
.
.
| = | ||||
| L’Hospital: | ||||
| = | ||||
| Bemerkung: | = | = | ||
| = | ||||
| L’Hospital: | ||||
| = | ||||
| = | ||||
| = | ||||
0/12/4/1/6 .
Beispiel 13 - 99
.
| = | ||||
| = | = | |||
| = | = | 0 | ||
.
| = | = | |||||
| = | = | = | 1 | |||