0
0/13
14 Einführung in die Integralrechnung
0/13/0
0/13/1
14.1 Stammfunktionen
0/13/1/0
14.1.1 Ableitung und Stammfunktion
-
- Beispiel 14 - 1:
.
.
Eine Funktion heißt
Stammfunktion zu ,
wenn
gilt. .
Ist eine
Stammfunktion zu ,
so ist auch eine
Stammfunktion zu .
.
ist
dabei eine beliebige reelle Konstante. .
Es gibt zu jeder stetigen Funktion
unendlich viele Stammfunktionen. .
Die Differenz zweier Stammfunktionen zu einer stetigen Funktion
ergibt
eine Konstante: .
. .
Beispiel 14 - 2:
.
| | | = | |
| | | | = | |
| |
.
Beispiel 14 - 3:
.
| = | | = | |
| | | | = | |
| |
.
0/13/2
14.2 Integration
0/13/2/0
14.2.1 Definition des Integrationsbegriffs
0/13/2/0/0
|
| Integration |
.
Das Aufsuchen sämtlicher Stammfunktionen
zu einer vorgegebenen Funktion
wird als Integration bezeichnet. .
| | | , mit |
| | | | |
| |
.
.
Gesucht ist bei den folgenden Beispielen die Stammfunktion von
bei
.
Beispiel 14 - 4:
.
.
0/13/2/0/1 .
Beispiel 14 - 101
.
.
0/13/2/0/2 .
Beispiel 14 - 102
.
.
0/13/2/0/3 Mit Maxima läßt sich die Stammfunktion bestimmen .
mittels . .
Mit Maple gelingt dies mittels (Achtung:
Palette benutzen !) oder über .
0/13/2/1
14.2.2 Das bestimmte Integral als Flächeninhalt
0/13/2/1/0
Beispiel 14 - 103:
Für die Funktion
soll die Fläche zwischen 1 und 2 berechnet werden. .
0/13/2/1/1
0/13/2/1/2 .
Näherungsweise läßt sich diese Fläche als Untersumme sowie als Obersumme bestimmen. Existiert
nun der Grenzwert .
.
so bezeichnet man ihn als das bestimmte Integral der Funktion
.
in den Grenzen von
bis . .
.
Es wird durch das Symbol
gekennzeichnet. .
0/13/2/2
14.2.3 Unbestimmtes Integral und Flächenfunktion
0/13/2/2/0
Hält man bei dem bestimmten Integral die untere Grenze fest und macht die obere Grenze
variabel, so hängt der Integralwert nur noch von der oberen Grenze ab: 0/13/2/2/1
EndIsUnit
0/13/2/2/2
.
-
1.
- Die Funktion
wird als unbestimmtes Integral von
bezeichnet, da die obere Grenze unbestimmt ist. Es repräsentiert den Flächeninhalt
zwischen der Funktion
und der t-Achse im Intervall
in Abhängigkeit von der oberen Grenze .
-
2.
- Zu jeder stetigen Funktion
gibt es unendlich viele unbestimmte Integrale, die sich in ihrer unteren Grenze voneinander
unterscheiden.
-
3.
- Die Differenz zweier unbestimmter Integrale
und
ist eine Konstante.
0/13/2/3
14.2.4 Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung
0/13/2/3/0
Vergrößert man die obere Grenze x im Integral
um
, so wächst der
Flächeninhalt um :
.
0/13/2/3/1
0/13/2/3/2 .
Zwischen den Flächeninhalten besteht also die Beziehung .
.
, .
.
und nach Division durch :
.
.
. .
.
Bildet man den Grenzübergang :
.
.
, .
.
so wird mit
.
.
und mit : .
.
und
damit .
.
.
Dies führt zum Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung:
Jedes unbestimmte Integral
ist eine Stammfunktion zu :
.
.
0/13/2/3/3 .
Beispiel 14 - 103
Gegeben sei die Funktion
-
1.
- Bestimmen Sie
-
2.
- Berechnen Sie
.
-
1.
-
.
-
2.
-
.
.
0/13/2/3/4
0/13/2/4
14.2.5 Grundintegrale
|
|
|
|
|
|
| | | | | |
| | | (gilt für ) | | | |
|
|
|
|
|
|
| | | | | |
|
|
|
|
|
|
| Â | Â | Â | Â | Â | Â |
| | | | | |
|
|
|
|
|
|
| | | | | |
|
|
|
|
|
|
| Â | Â | Â | Â | Â | Â |
| | | | | |
|
|
|
|
|
|
| Â | Â | Â | Â | Â | Â |
| | | | | |
|
|
|
|
|
|
| | | | | |
|
|
|
|
|
|
| Â | Â | Â | Â | Â | Â |
|
|
|
|
|
|
|
| Â | Â | Â | Â | Â | Â |
| (für )
|
|
|
|
|
|
| Â | Â | Â | Â | Â | Â |
|
|
|
|
|
|
|
| |
.
0/13/3
14.3 elementare Integrationsregeln
0/13/3/0
14.3.1 Faktorregel
0/13/3/0/0
Ein konstanter Faktor darf vor das Integral geschrieben werden: .
.
Beispiel 14 - 104:
.
.
0/13/3/0/1 .
Beispiel 14 - 104
.
.
.
0/13/3/0/2 .
Beispiel 14 - 105
.
.
.
0/13/3/0/3
0/13/3/0/4 .
Beispiel 14 - 106
.
.
0/13/3/0/5 .
Beispiel 14 - 107
.
.
0/13/3/0/6 .
Beispiel 14 - 108
.
.
0/13/3/0/7
0/13/3/0/8 .
Beispiel 14 - 109
.
.
0/13/3/0/9
0/13/3/1
14.3.2 Summenregel
0/13/3/1/0
Eine endliche Summe von Funktionen darf gliedweise integriert werden: .
.
bzw. .
.
Beispiel 14 - 110:
.
.
0/13/3/1/1 .
Beispiel 14 - 110
.
.
0/13/3/1/2 .
Beispiel 14 - 111
.
.
0/13/3/1/3 .
Beispiel 14 - 112
.
.
0/13/3/1/4 .
Beispiel 14 - 113
.
.
.
0/13/3/1/5
0/13/3/2
14.3.3 Vertauschungsregel
Das Vertauschen von Integrationsgrenzen bewirkt einen Vorzeichenwechsel des Integrals:
0/13/3/3
14.3.4 Zusammenfallen der Integrationsgrenzen
Fallen die Integrationsgrenzen zusammen, so ist der Integralwert gleich Null: .
.
0/13/3/4
14.3.5 Zerlegen des Integrationsintervalls in Teilintervalle
Für jede Stelle c aus dem Integrationsintervall
gilt : .
.
0/13/4
14.4 Integrationsmethoden
0/13/4/0
14.4.1 Integration durch Substitution
0/13/4/0/0
Versucht man, das Integral
zu lösen, gelingt dies durch die Substitution mit einer Hilfsvariablen
. .
. .
Ersetzt man nun
und im
Integral durch
bzw. ,
so erhält man ein elementar lösbares Integral: .
. .
Rücksubstitution ergibt: .
. .
Generelle Vorgehensweise:
-
1.
- Aufstellung der Substitutionsgleichungen .
-
2.
- Durchführung der Substitution durch Einsetzen .
.
-
3.
- Integration .
.
-
4.
- Rücksubstitution (s.o.)
0/13/4/0/1 .
Beispiel 14 - 114
.
. . , Â Â Â
.
.
.
.
0/13/4/0/2 .
Beispiel 14 - 115
.
. . , Â Â Â
.
.
.
.
0/13/4/0/3 .
Beispiel 14 - 116
.
. . .
.
.
.
.
0/13/4/0/4 .
Beispiel 14 - 117
.
. . .
.
.
.
.
.
.
. Substitution:
. .
:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0/13/4/0/5 .
Beispiel 14 - 118
.
. . .
.
. .
. .
. .
.
.
.
.
.
0/13/4/0/6
0/13/4/1
14.4.2 Partielle Integration
0/13/4/1/0
Beim Integral
wird in
ein Produkt aus
- einer Funktion
und
- der Ableitung
einer Funktion
zerlegt, d.h.
Beispiel 14 - 119:
.
Dieses Integral lässt sich wie folgt darstellen: .
Das Verfahren ist hilfreich, wenn die Stammfunktion von
einfach zu bestimmen
ist. Dann ist das Integral
elementar lösbar.
Erklärung:
.
Nach der Produktregel für Ableitungen ist .
.
Das ganze integriert ergibt .
.
Aus der Beziehung zwischen Differential- und Integralrechnung
.
folgt .
.
Analog: .
Vorgehensweise
-
1.
- Bestimmen von
und
-
2.
- Berechnen von
und
-
3.
-
in .
.
einsetzen und ausrechnen.
Beispiel 14 - 120:
.
.
Schritte: .
-
1.
-
-
2.
-
-
3.
-
in .
.
einsetzen und ausrechnen.
.
0/13/4/1/1 .
Beispiel 14 - 119
.
- .
- .
- .
in .
einsetzen und ausrechnen.
.
0/13/4/1/2
0/13/4/1/3 .
Beispiel 14 - 120
(Achtung: Zweimalige partielle Integration erforderlich!) .
(Attention: Two partial integrations required!)
.
Teil 1:
- . .
- . .
- . .
in .
einsetzen und ausrechnen.
.
Wir müssen nun nochmals die Methode der partiellen Integration anwenden, um .
auszurechnen.Dies erfolgt in
Teil 2:
- . .
- . .
- . .
in .
.
.
.
.
.
.
Die unterschiedlichen Bezeichner für die Integrationskonstanten
sind irrelevant, da eine Konstante multipliziert mit einem beliebigen (ebenfalls konstanten)
Faktor ebenso eine Konstante ergibt. .
.
0/13/4/1/4
Regel zum Auffinden von
und
(die ALPES-Formel , aufgestellt durch meinen Studierenden Thaifa Alae): .
Sind beispielweise zwei Ausdrücke in der Prioritätsliste
-
1.
- A:
-
2.
- L:
-
3.
- P:
-
4.
- E:
-
5.
- S:
zu finden, so wird derjenige Term, der in der Liste weiter unterhalb steht, zu
und derjenige Term, der in der Liste weiter oberhalb steht, zu
.
0/13/4/2
14.4.3 Integration durch Partialbruchzerlegung
0/13/4/2/0
Durch Zerlegung eines Polynoms in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale
Funktion lassen sich die Summanden über die bereits eingeführten Integrationsmethoden
integrieren. .
0/13/4/2/1 .
Beispiel 14 - 121
Zur Integration der unecht gebrochenrationalen Funktion .
.
.
.
wird die Funktion zunächst zerlegt in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale
Funktion (z.B. mittels des Horner-Schemas) und anschließend die echt gebrochenrationale Funktion
mittels Partialbruchzerlegung weiter zerlegt. .
.
. . .
.
. Partialbrüche für die Nullstellen des Nenners:
. . (einfache
Nullstelle)
.
. . (einfache
Nullstelle)
.
. .
.
.
. .
. .
. .
. .
.
.
. . .
. .
. .
. .
.
.
0/13/4/2/2
0/13/4/3
14.4.4 Übungen
Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .
0/13/5
14.5 Beispiele
0/13/5/0
14.5.1 Bestimmung des Flächenschwerpunkts
0/13/5/0/0
Für einen Körper im Gleichgewicht gilt: .
.
0/13/5/0/1
0/13/5/0/2 .
.
.
.
.
Erweiterung auf mehrere Massen:
.
Als Summenformel:
.
.
0/13/5/0/3 .
Beispiel 14 - 122
Vier Container mit 15, 30, 45 und 15 Tonnen und jeweils 10 m Länge (Schwerpunkt
in der Mitte) sollen entsprechend der Abbildung in ein Flugzeug eingeladen werden. .
.
Die Ladezone beginnt 10 m vom Bug entfernt. Der Hersteller schreibt vor, daß der Schwerpunkt
m vom Bug entfernt sein
muss mit einer Toleranz von
m. Wird durch die gezeigte Ladereihenfolge diese Vorschrift eingeladen ? .
.
Mit
wird der Schwerpunkt
. . .
.
Das Flugzeug ist also richtig beladen.
.
.
0/13/5/0/4 .
Die Masse von Flächen mit gleicher Dichte
bestimmt sich einfach über .
Die Flächen können gedanklich in Teilflächen zerlegt werden. Kennt man die Einzelschwerpunkte,
so kann man den Gesamtschwerpunkt analog berechnen: 0/13/5/0/5 .
Beispiel 14 - 123
Zu bestimmen sei der Schwerpunkt einer Treppe in x- und y-Richtung. Die Einzelschwerpunkte liegen
jeweils mittig. .
.
Gesamtschwerpunkt .
.
.
.
. . .
.
.
.
. .
.
0/13/5/0/6 .
Hat man ebene Flächen, deren Begrenzung über eine Funktion angegeben ist, macht man einen
Übergang von der diskreten Addition zur Integration: .
.
.
.
.
0/13/5/0/7 .
Beispiel 14 - 124
Gegeben sei ein Dreieck, das durch die x-Achse, y-Achse und die Funktion
begrenzt ist: .
Zu bestimmen ist zunächst die x-Koordinate des Schwerpunkts: .
.
.
.
Hierzu zerteilen wir das Dreieck (willkürlich) in lauter senkrechte kleine Stäbchen mit der Fläche
. .
Hiermit sind die Integralgrenzen vorgegeben zwischen 0 und b. .
.
Mit
wird daraus:
,
.
eingesetzt in die Integraldarstellung der Schwerpunktsformel:
.
.
.
.
0/13/5/0/8 .
Beispiel 14 - 125
Alternative Berechnung: Wir zerteilen das Dreieck (willkürlich) in lauter waagrechte kleine Stäbchen mit
der Fläche .
.
Hiermit sind die Integralgrenzen vorgegeben zwischen 0 und h. .
Der Schwerpunkt eines einzelnen Stäbchens liegt bei
. Damit
erhält man einen Ausdruck für den Schwerpunkt des Dreiecks: .
.
.
.
.
.
Mit
wird daraus:
,
.
eingesetzt in die Integraldarstellung der Schwerpunktsformel:
. .
.
.
Dies ist natürlich das gleiche Ergebnis wie vor. .
.
0/13/5/0/9
0/13/5/0/10 .
Beispiel 14 - 126
Zu bestimmen sei die x-Koordinate des Schwerpunkts der Fläche, die durch die x-Achse, y-Achse und die
Funktion
begrenzt ist.
.
. .
.
.
.
.
0/13/5/0/11
0/13/5/0/12 .
Beispiel 14 - 127
Berechnung des Schwerpunkts eines Viertelkreises: .
Bleibt man hier in der Darstellung kartesischer Koordinaten, wird die Berechnung wesentlich
aufwendiger, wie das Beispiel für die y-Koordinate zeigt: .
.
.
.
.
.
.
Eine alternative Berechnung geht wie folgt: Wir zerteilen den Kreisbogen (willkürlich) in lauter kleine
Kreissegmente .
.
Hier sind die Integralgrenzen einfach angebbar, sie liegen zwischen
und
. .
Haben wir die Schwerpunkte der einzelnen kreissegmente, können wir den Schwerpunkt des
Viertelkreises daraus bestimmen. .
.
Der Schwerpunkt eines einzelnen Stückchens liegt bei
bzw.
. Damit erhält man einen Ausdruck für den Schwerpunkt eines Viertelkreisbogens: .
.
Analog : .
.
0/13/5/0/13 Entsprechend ist der Schwerpunkt eines Halbkreisbogens: .
, und aus
Symmetriegründen: .
.
Bildet man nun die Summe eines Viertelkreises aus diesen Viertelkreisbögen, so ist der Schwerpunkt
.
Weitere Beispiele finden sich in [HibbelerL1] . .
Ist der Gegenstand nun kein ebenes, sondern ein dreidimensionales Gebilde, muss ein Ausdruck für
das jeweilige Massenelement (z.B. Stäbchen) bezüglich x gebildet werden, unter Umständen kann
auch hier eine Integration notwendig werden. Dann spricht man von Mehrfachintegralen. .
Analog können auch die Massenträgheitsmomente
gebildet werden: Für jedes Masseteilchen dm wird das Produkt des Abstandsquadrats zur jeweiligen
Drehachse gebildet und damit das bestimmte Integral für alle Massenteilchen bestimmt. Auf
mathematischer Seite ändert sich hier nichts. .
.