0

0/19

20 Anwendungen

0/19/0

0/19/1

20.1 Vektordarstellung von Geraden

0/19/1/0

r(λ) =r1 + λa

Zwei-Punkte-Form

r(λ) =(r1 -r2 )λ + r1
=r1 + λa
a =r2 -r1
.

Den Abstand eines Punktes Q von einer Geraden r(λ) = r1 + λa erhält man über die Fläche eines Parallelogramms. Diese ist zum einen bestimmbar über Grundlinie mal Höhe, zum anderen über den betrag des Kreuzprodukts. .
Man erhält somit die Höhe, indem man die Fläche des Parallelogramms über das Kreuzprodukt ermittelt und durch die Grundlinie dividiert.

A =|r2 -r1 | d oder
A =|b ×a|
=|P1Q × (r2 -r1 )|
d =|P1Q × (r2 -r1 )| |r2 -r1 |
=|(Q -r1 ) ×a| |a|
.
.
0/19/1/1 .
Beispiel 20 - 199
Abstand Punkt - Gerade .

PIC .

Abbildung 1: Abstand Punkt- Gerade

|

#a ×

# b | = |-

                                                                                               #b ×

                                                                                                                                                                                             #a |. .

.
0/19/1/2

0/19/1/3 .
Beispiel 20 - 200
Gegeben sei eine Gerade

#r (λ)

=

                                                                                                            #r1  +λ

                                                                                                                                                                                                            #a

= 1 0 1 +λ 2 5 2
sowie der Punkt Q = 5 3 -2

Bestimmen Sie den Abstand des Punkts von der Gerade.

.

(

 #
r2  -

#
r1  )×

                                                                                              #
                                                                                              a

= 5 - 1 3 - 0 -2 - 1 ×2 5 2 = x y z 4 3-3 2 5 2 = 21 -14 14
|(

#r2  -

#r1  )×

                                                                                              #a |

=212 + 142 + 142 =833
|

#a |

=4 + 25 + 4 =33
d =833 33 5, 02

.
0/19/1/4

0/19/2

20.2 Abstände/Schnittpunkte von Geraden

0/19/2/0

Zwei Geraden können zueinander folgende Lagen haben:


Ein mögliches Vorgehen ist es, zunächst (einen) Schnittpunkt(e) durch Gleichsetzen der Geradengleichungen zu bestimmen. Dabei gibt es eine, unendlich viele oder keine Lösung.

1.
Eine Lösung: Geraden haben einen Schnittpunkt und Schnittwinkel0.
2.
Unendlich viele Lösungen: Geraden fallen zusammen (Kollinearität)
3.
Keine Lösung: Entweder die Geraden sind kollinear oder windschief.

0/19/2/1

20.2.1 2 Geraden g1 und g2 schneiden sich in einem Punkt

0/19/2/1/0

Den Schnittpunkt zweier Geraden erhält man durch Gleichsetzen der Gleichungen. Den Schnittwinkel bestimmt man dann z.B. über das Skalarprodukt.

Schnittpunkt:r1 + λ1a1 =r2 + λ2a2
Schnittwinkel: cos φ = a1 a2 |a1 ||a2 |
.
0/19/2/1/1 .
Beispiel 20 - 201
Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden
g1 = 1 1 0 +λ1 2 1 1 undg2 = 2 0 2 +λ2 1 -1 2
.

.

1 + 2λ1 =2 + λ2
1 + λ1 =- λ2
0 + λ1 =2 + 2λ2
.
.
Umgeschrieben als lineares Gleichungssystem mit den Variablen λ1 und λ2: .
λ1λ1c




2- 11Tausch mit III
11- 1
1- 22Tausch mit I




1- 22
11- 1 - I
2- 11 - 2 I




1- 22
03- 3 : 3
03- 3 streichen




1- 22 + 2 II
01- 1




100
01- 1
.
λ1 = 0 λ2 = -1 .
.
S = 1 1 0 = 2 0 2 - 1 -1 2 = 1 1 0 .
.
φ = arccos

#a
 1

       #a
        2   |

#a1   ||

       #a2   | = arccos 3 66 = 60

.
0/19/2/1/2

0/19/2/2

20.2.2 2 Geraden g1 und g2 fallen zusammen

0/19/2/2/0

Wenn beide Geraden zusammenfallen, müssen deren Richtungsvektoren kollinear sein. .

a2 =k a1 k
a1 ×a2 =0
.
Das Gleichungssystem: Gleichung von Gerade 1 = zweite Gerade ( für x-, y- und z-Komponente) hat unendlich viele Lösungen.

0/19/2/2/1 .
Beispiel 20 - 202
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Geraden

g1 = 1 1 3 +λ1 1 2 1 undg2 = 2 3 4 +λ2 -2 -4 -2
.

.

1 + λ1 =2 - 2λ2
1 + 2λ1 =3 - 4λ2
3 + λ1 =4 - 2λ2
.
.
Umgeschrieben als lineares Gleichungssystem mit den Variablen λ1 und λ2: .
.
λ1λ1c




121
2 42 - 2 I
121- I




121
000 streichen
000 streichen
.
.
Setze λ2 als frei wählbaren Parameter. Dann wird λ1 = 1 - 2λ2. .
Das GLS hat unendlich viele Lösungen, die Geraden fallen zusammen. .
.
0/19/2/2/2

0/19/2/3

20.2.3 2 Geraden g1 und g2 sind parallel zueinander

Abstand zweier kollinearer Geraden - Bestimmung:

1.
Prüfen, ob beide Geraden kollinear sind, z.B: über das Kreuzprodukt. .
a1 ×a2 = 0 .
2.
Man bestimmt nun einfach den Abstand irgendeines Punkts von Gerade 2 (z.B. Ortsvektor) zur Geraden 1 .
.
Beispiel 20 - 203
Abstand paralleler Geraden .

PIC .

Abbildung 2: Abstand paralleler Geraden

.

A =d |a1 |
d = A|a 1 | =|(r1 -r2 ) ×a1 | |a1|
.

0/19/2/4 .
Beispiel 20 - 204

gegeben:g1:

         #r (λ1)

= 1 1 4 +λ1 1 1 1
g2:

         #
         r (λ2)

= 4 0 3 +λ2 3 3 3

Wie groß ist der Abstand der Geraden ? .

.

Abstand: .
(

#r
2  -

#r
 1  )×

                                                                                           #a
                                                                                            1  = 4 - 1 0 - 1 3 - 4 ×1 1 1 =.
= x y z 3 -1-1 1 1 1 = -1 + 1 -1 - 3 3 + 1 = 0 -4 4 .
.
d = 4+16 3 2, 58 .

.
0/19/2/5

0/19/2/6

20.2.4 2 Geraden g1 und g2 sind windschief

Vorbemerkung: 0/19/2/6/0

Analog zur Beschreibung von Geraden durch einen Ortsvektor und einen Richtungsvektor kann man Ebenen durch einen Ortsvektor und zwei Richtungsvektoren beschreiben. (Die zwei Richtungsvektoren dürfen natürlich nicht kollinear sein.) .
0/19/2/6/1


PIC .

Abbildung 3: Zwei windschiefe Geraden

0/19/2/6/2

Sind beide Geraden windschief, so schneiden sie sich weder (s.o.), noch sind sie kollinear (s.o.) .

Grundidee zu Bestimmung des (kleinsten) Abstands zueinander: Man bildet einen Spat aus den Richtungsvektoren, indem man einmal die eine Gerade solange parallel verschiebt, bis sie die andere Gerade schneidet und umgekehrt. .

0/19/2/6/3


PIC .

Abbildung 4: Zwei parallele Ebenen, erzeugt aus zwei windschiefen Geraden

0/19/2/6/4 .
Von dem entstandenen Spat bestimmt man das Volumen und teilt durch die Fläche des Parallelogramms.

Vorgehensweise:


E1 und E2 sind parallel zueinander .

Volumen des Spats: [a1 a2 (r2 -r1 )]
Fläche Parallelogramm: |a1 ×a2 |
Abstand: d =|[a1 a2 (r2 -r1 )]| |a1 ×a2 |
.

0/19/2/6/5 .
Beispiel 20 - 205
Gegeben seien die Geraden:

g1:

#
x

= 1 2 0 +λ1 1 1 1
g2:

#
x

= 3 0 2 +λ2 2 0 1


Wie groß ist der Abstand der beiden Geraden ? .
Prüfen auf Schnittpunkte und Winkel: λ2: .
.
λ1λ1c




1- 22tauschen mit II
10- 2tauschen mit I
1- 12




10- 2
1- 22 - I
1- 12 - I




10- 2
0- 24
0- 14
.
.
Das GLS ist nicht lösbar, es gibt keinen Schnittpunkt. .

Prüfen auf Kollinearität: .
.

#a1 ×

#a2  = xyz 2 11 2 0 1 = 1 - 0 2 - 1 0 - 2 = 1 1 -2

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   #0  . .
.
|

#
a1  ×

#
a2  | = 12 + 12 + (-2)2 = 6.
.
Abstand: d = |[#a1

         #a2  (

                                                                                                      #r2  -

                                                                                                                                                                                                     #r1  )]| |

          #a
           1  ×

                                                                                                         #a
                                                                                                          2  | .

|[

#
a1

#
a2  (

                                                                                       #
                                                                                       r2  -

                                                                                                                                                                                     #
                                                                                                                                                                                     r1  )]| = 1-22 1 1 1 2 0 1 = |2-4+0-4-0+2| = 4. .
.
d = 4 6. .

.
0/19/2/6/6

0/19/2/7

20.2.5 Anwendungsbeispiele

0/19/2/7/0 .
Beispiel 20 - 206
Gegeben seien die Geraden:

g1:

#x

= 3 -1 2 +λ1 2 4 3
g2:

#x

= -1 5 10 +λ2 -4 4 6


Wie liegen die Geraden zueinander ? .
.
Wo liegt ggf. der Schnittpunkt?
3 + 2λ1 =- 1 - 4λ2 2λ1 + 4λ2 =- 4
- 1 + 4λ1 =5 + 4λ2 4λ1 - 4λ2 =6
2 + 3λ1 =10 + 6λ2 3λ1 - 6λ2 =8

λ1λ2c
24- 41 2
4- 46- 4 I 2
3- 68- 3 I 2
12- 2
0- 1214-1 2
0- 1214-1 2(kann wegbleiben)
12- 2 + II3
06- 71 6
12- 2
01-7 6
1222 II
01-7 6
10-6-7 3
01-7 6


.
Lösung: λ1 = 1 3; λ2 = -7 6 .
.

Schnittpunkt:S = 3 -1 2 +1 3 2 4 3 = 11 3 1 3 3 .
.
.
.
Schnittwinkel: φ = arccos

#a1

                     #
                     a2  |

#
a1   ||

                      #
                      a2  | = arccos 2 4 3 11 3 1 3 3 4+16+916+16+36 .
.
= arccos -8+16+18 2968 0.3 π 54o

.
0/19/2/7/1

0/19/2/7/2 .
Beispiel 20 - 207
Gegeben seien die Geraden:

g1:

#
x

= 1 3 5 +λ1 2 4 6
g2:

#x

= 2 5 9 +λ2 -1 -2 -3


Wie liegen die Geraden zueinander ?

.

Man kann zunächst beide Geradengleichungen gleichsetzen:

1 + 2λ1 =2 - 1λ2
3 + 4λ1 =5 - 2λ2
5 + 6λ1 =9 - 3λ2

Das Gleichungssystem hat keine Lösungen. .
.
Prüfen auf Kollinearität: a1 × a2 .
x y z 2 4 6 -1 -2 -3 = -12 + 120 -6 + 6 -4 + 4 =
0 0 0
..
.
Bestimmung des Abstands der kollinearen Geraden: Man bestimmt den Abstand eines Punkts der Geraden 2 (z.B. Ortsvektor) zur Geraden g1

d = |

#
P2P1   ×

 #
a1   | |a1|

 #
P2P1 ×

 #
a1  = x y z 1 - 15 - 39 - 5 2 4 6 = xyz 0 24 2 4 6 = 12 - 16 8 - 0 0 - 4 = -4 8 -4 .
.
d = 42 +82 +42 22 +42 +62 = 96 56 9,7 7,48 1, 3

.
0/19/2/7/3

0/19/2/7/4 .
Beispiel 20 - 208
Der Sicherheitsabstand zweier Flugzeuge sei 200m. Die Flugzeuge bewegen sich längs der Geraden:

#r (λ1)

= 100 200 100 m+λ1 100 100 100 m

#r (λ2)

= 300 0 300 m+λ2 200 0 100 m
.
.
Wird der Sicherheitsabstand eingehalten? .
.
[a1a2(

#
r2  -

                 #
                 r1  )] = 100 100 100 200 0 100 200-200200 = -4106m3 .
.

#a
 1 ×

#a
 2  = x y z 100100100200 0 100 m2 = 104 104 -2 104 m2.
.
|

#
a1  ×

#
a2  | = 6104m2.
.

d = 4 106 6 104m 163m .

.
0/19/2/7/5

0/19/2/8

20.2.6 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/19/3

20.3 Vektorielle Darstellung der Ebene

0/19/3/0

0/19/3/1

20.3.1 Punkt-Richtungsform

0/19/3/1/0

Eine Ebene in Punkt-Richtungsform kann man wie folgt darstellen: .
r = r(λ,μ) = r1 + λa + μb .
oder in Komponentenschreibweise: .
.
0/19/3/1/1 .
Beispiel 20 - 209
Ebenendarstellung in Punkt-Richtungsform .


PIC .

Abbildung 5: Ebene: Punkt-Richtungsform

.
x y z = x1 y1 z1 +λ ax ay az +μ bx by bz = + x1 + λax + μbx y1 + λay + μby z1 + λaz + μbz .

Dabei bedeuten: .
x,y,z: Koordinaten des laufenden Punkts in der Ebene .
x1,y1,z1: Koordinaten des vorgegebenen Punkts in der Ebene (Ortsvektor) .
ax,ay,az und bx,by,bz : Skalare Vektorkomponenten der beiden nicht kollinearen Richtungsvektoren

#a und

#b der Ebene (

#a ×

#
b

                                                                                          #
                                                                                          0  ) .
λ,μ voneinander unabhängige Parameter. .
.
0/19/3/1/2 .
0/19/3/1/3 .
Beispiel 20 - 210
Ebenendarstellung in Punkt-Richtungsform .
Die Ebene E verläuft durch den Punkt P1 = (3; 5; 1), .
mit den Richtungsvektoren

#
a = 2 5 1 und

#
b = 5 1 3 . .
Die zugehörige Ebenendarstellung in Punkt-Richtungsform lautet dann: .

#
 r (λ; μ) =

                 #
                 r1  +λ

                                                                                                                 #
                                                                                                                 a +μ

                                                                                                                                                                                                                 #
                                                                                                                                                                                                                 b = 3 5 1 +λ 2 5 1 +μ 5 1 3

= 5 + 2λ + 5μ 5 + 5λ + μ 1 + λ + 3μ .

.
0/19/3/1/4 .

0/19/3/2

20.3.2 Drei-Punkte-Form

0/19/3/2/0

Eine Ebene in Drei-Punkte-Form läßt sich recht einfach in eine Punkt-Richtungsform bringen, indem man aus jeweils zwei Punkten einen Richtungsvektor bildet:
r(P) = r1 + λP1P2 + μP1P3 . oder in Komponentenschreibweise: .
.
0/19/3/2/1 .
Beispiel 20 - 211
Ebenendarstellung in Punkt-Richtungsform .
mit

 #
P1  =

#
r1  = x1 y1 z1 ,

 #
P2 = x2 y2 z2 und

 #
P3 = x3 y3 z3 .
erhält man .

#r (P) = x1 y1 z1 +λ x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 +μ x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1 = + x1 + λ(x2 - x1) + μ(x2 - x1) y1 + λ(y2 - y1) + μ(y3 - y1) z1 + λ(z2 - z1) + μ(z3 - z1) .

.
0/19/3/2/2 .
0/19/3/2/3 .
Beispiel 20 - 212
Umwandlung der Ebenendarstellung: Drei-Punkte-Form in eine Parameterdarstellung .
Gegeben sind die drei Punkte mit den Ortsvektoren

#r
1 = 1 5 0 ,

 #
r2 = -2 -1 8 und

#r3 = 2 0 1 .
Die Parameterdarstellung der Ebene lautet dann .

#
r (P) = x1 y1 z1 +λ x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 +μ x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1 = .
1 5 0 +λ -2 - 1 -1 - 5 8 - 0 +μ 2 - 1 0 - 5 1 - 0 .
= 1 5 0 +λ -3 -6 8 +μ 1 -5 1 .

.
0/19/3/2/4 .

0/19/3/3

20.3.3 Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor (Normalenvektordarstellung)

0/19/3/3/0

Ist r der Ortsvektor des laufenden Punkts P der Ebene, so liegt der Vektor P1P = r -r1 in der Ebene und steht somit senkrecht auf den Normalenvektor n. Das heißt, das Skalarprodukt verschwindet:
n (r -r1 ) = 0 .
0/19/3/3/1 .
Beispiel 20 - 213
Normalenvektor-Darstellung .

oder ausgeschrieben: .
nx(x - x1) + ny(y - y1) + nz(z - z1) = 0. .
Dies ist gleichbedeutend mit der Koordinatendarstellung einer Ebene: .
ax + by + cz + d = 0 .
Den Normalenvektor erhält man einfach über das Kreuzprodukt zweier nicht kollinearer Richtungsvektoren: .

 #
n =

#
a ×

                                                                                          #
                                                                                          b .

Hierbei sind: .
x,y,z: Koordinaten des laufenden Punkts in der Ebene .
x1,y1,z1: Koordinaten des vorgegebenen Punkts der Ebene .
nx,ny,nz Vektorkomponenten des Normalenvektors

#n .
.
0/19/3/3/2 .
0/19/3/3/3 .
Beispiel 20 - 214
Umwandlung in eine Normalenvektor-Darstellung .
Gegeben sei eine Ebene .

#r (P) = 3 5 1 +λ -5 -6 7 +μ -1 -5 0 .

Ein Normalenvektor ist z.B.

#n =

                                      #a ×

                                                                                                                                    #b .
.

 #
n = x y z -5-67 -1-50 = 0 + 35 -7 + 0 25 - 6 = 35-7 19 .
n (r -r1) = 0 .
.
35-7 19 rx - 3 ry - 5 rz - 1 = 0.
.
Umwandlung in Achsenabschnittsform: .
35(rx - 3) - 7(ry - 5) + 19(rz - 1) = 0 .
35rx - 7ry + 19rz = 105 - 35 + 19 = 99 .

.
0/19/3/3/4 .

0/19/3/4

20.3.4 Umwandlung einer Normalendarstellung in eine Drei-Punkte-Form

0/19/3/4/0

.
0/19/3/4/1 .
Beispiel 20 - 215
Umwandlung einer Normalenvektor-Darstellung in Punkt-Richtungsform .
Gegeben sei ein Ortsvektor eines Punkts der Ebene .

#r1 = 3 5 1 und der Normalenvektor

#
n = 35-7 19 . .

Zunächst versucht man einen weiteren Punkt der Ebene zu bestimmen, indem man versuchsweise x und y vorgibt und z über die Gleichung der Ebene bestimmt. Damit erhält man einen Richtungsvektor

#a =

             #r
              4  -

                                                                                                           #r
                                                                                                            1  . .
Beispiel:

#r4  = 0 0 z .
.
Eingesetzt in die Normalengleichung bzw. Achsenabschnittsform n (r -r1) = 0 erhält man: .

35(0 - 3) - 7(0 - 5) + 19(z - 1) = 0 .
- 105 + 35 + 19(z - 1) = 0 .
z - 1 = 70 19 .
z = 89 19 .
.

#r4 = 0 0 89 19 .
Richtungsvektor

#a =

             #r4  -

                                                                                                           #r1  = 0 - 3 0 - 5 89 19 - 1 = -3 -5 70 19 .. .
Den Vektor

#
b kann man über das Kreuzprodukt bestimmen:

#
b =

                         #
                         a ×

                                                                                                                        #
                                                                                                                        n .

.
0/19/3/4/2 .

0/19/3/5

20.3.5 Abstand eines Punktes von einer Ebene

0/19/3/5/0

Prinzip: Der Abstand d eines Punkts Q zu einer Ebene ist bestimmbar durch die Projektion des Vektors rd = rQ -r1 auf den Normalenvektor n der Ebene.

0/19/3/5/1 .
Beispiel 20 - 216
Projektion eines Punkts auf den Normalenvektor .


PIC .

Abbildung 6: Projektion eines Punkts auf den Normalenvektor

.
0/19/3/5/2 .

d = |rdn | = |rd | cos φ = |rd n| |n| , .
da |rd ||n| cos φ = rd n. .

Damit wird d = |n (Q -P1 )| |n| . .

0/19/3/5/3 .
Beispiel 20 - 217
Gegeben sei ein Ortsvektor eines Punkts der Ebene .

#r1 = 1 2 3 und der Normalenvektor

#
n = -8 8 0 . .
Bestimmen Sie den Abstand des Punktes

#
Q = 2 6 8 von der Ebene. .

Normalengleichung n (r -r1) = 0 .

d = |n (Q -P1)| |n| . .

d = -8 80 2 - 1 6 - 28 - 3 |82 + 82| = -8 80 145 |82 + 82| = - 8 1 + 8 4 8 2 = 3 2. .

.
0/19/3/5/4 .

0/19/3/6

20.3.6 Abstand einer (parallelen) Geraden von einer Ebene

0/19/3/6/0

Geraden können zu Ebenen folgende Lagen haben

1.
g und E sind parallel zueinander
2.
g liegt in der Ebene E
3.
g und E schneiden sich in einem Punkt

ad 1.) .
Ist eine Gerade parallel zu einer Ebene E, so ist dessen Richtungsvektor senkrecht zu dem Normalenvektor der Ebene (Skalarprodukt = 0).
Danach bestimmt man den Abstand eines Punkts der Geraden zur Ebene durch Projektion von (r1 -r0 ) auf n. .
.
Der Abstand beträgt d = |n (r1 -r0 )| |n| . .
0/19/3/6/1 .
Beispiel 20 - 218
Abstand Gerade-Ebene .
Gegeben sei eine Gerade mit dem Ortsvektor .

 #
r1 = 0 1 -1 und dem Richtungsvektor

#
a = -1 -4 2 . .
sowie eine Ebene dem Ortsvektor

#P0  = 1 5 2 und dem Normalenvektor

#
n = 2 1 3 . .
.
Wie liegen die Gerade und die Ebene zueinander ? .

na = 2 1 3 -1 -4 2 = -2-4+6 = 0. .
.
Ebene und Gerade verlaufen also parallel. .
.
d = |n (r1 -P0)| |n| . .
.
n(r1-P0) = 2 1 3 0 - 1 1 - 5 1 - 2 = 2 1 3 -1 -4 -1 = -2-4-9 = -15. .
.
|

#n | = 22 + 12 + 32 = 14.
.
d = -15 14. .

.
0/19/3/6/2 .
ad 2.) .
Ist der Abstand d=0, so liegt die Gerade auf der Ebene. .

0/19/3/7

20.3.7 Schnittpunkt/Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene

1.
Die Ebene liegt in Parameterdarstellung vor .
Zu lösen ist dann das Gleichungssystem .
E = r1 + λ1a1 + λ2a2 = r2 + μb .
Beispiel 20 - 219
Schnittpunkt Gerade - Ebene bei Darstellung in Punkt-Richtungsform. .
Gegeben sei eine Ebene mit dem Ortsvektor .

#
r1  = 3 4 1 , den Richtungsvektoren

#a1  = 1 2 0 und

 #
a2  = 2 -1 -5 .
sowie eine Gerade mit dem Ortsvektor .

#r2  = 2 1 5 und dem Richtungsvektor

#
b = 3 -4 0 . .
Bestimmen Sie den Schnittpunkt. .

Zu lösen ist das Gleichungssystem 3 4 1 +λ1 1 2 0 +λ2 2 -1 -5 = 2 1 5 +μ 3 -4 0 . .

Für x:λ1 + 2λ2- 3μ =- 1
Für y: 2λ1- λ2 + 4μ =- 3
Für z: - 5λ2 =4

λ1λ2μc
12- 3- 1
2- 14- 3nach III
0- 504 nach II





12- 3- 1
0- 504 :-5
2- 14- 3 -2I





12- 3- 1 -2II
010-4 5
0- 510- 1+5II, :5





10- 3-5+8 5 +3III
010-4 5
001-1 2





1006-15 10 -2II
010-4 5
001-1 2





.

Lösung: λ1 = -9 10; λ2 = -4 5; μ = -1 2 .
Der Schnittpunkt kann über die Ebenengleichung oder über die Geradengleichung bestimmt werden (dient als Probe !) und liegt bei: .
3 4 1 -9 10 1 2 0 -4 5 2 -1 -5 = 2 1 5 -1 2 3 -4 0 = 3 -9+16 10 4 -18-8 10 1 + 40 10 = 3 -5 2 3 1 + 4 = 1 2 3 5 . .

.
.

2.
Die Ebene liegt in Normalendarstellung vor

Der Ortsvektor rs des Schnittpunkts muss sowohl die Geradengleichung als auch die Ebenengleichun erfüllen: .
rs = r1 + λs a .
n (rs -r0 ) = 0. .
Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite und Auflösen nach λS ergibt den Wert für den Schnittpunkt: .

.
Beispiel 20 - 220

n (r1 + λsa -r0) = 0 .

#n (

#r1  -

                                                                                              #r0  )+λs(

                                                                                                                                                                                                 #n

                                                                                                                                                                                                                                                                                              #a ) = 0 .
λs = n (r0 -r1) n a . .
Oben eingesetzt, erhält man: .
rs = r1 + λs a = rs = r1 + n (r0 -r1) n a a .


PIC .

Abbildung 7: Schnittwinkel Gerade - Ebene

.
.
Damit ergibt sich: rs = r1 + (n (r0 -r1 ) n a ) a.
Der Schittwinkel φ = 90o - α berechnet sich über das Skalarprodukt: .

cos(90o - α) = sin α = n a |n||a| bzw. α = arcsin |n a| |n||a| . .

0/19/3/8 .
Beispiel 20 - 221
Schnittpunkt Gerade - Ebene bei Darstellung in Normalform. .
Gegeben sei eine Ebene mit dem Ortsvektor .

#P
 0 = 3 4 1 und dem Normalenvektor

#n = 2 -1 1 .
sowie eine Gerade mit dem Ortsvektor .

#P
 1 = 2 1 5 und dem Richtungsvektor

#a = 3 -4 0 . .
Bestimmen Sie Schnittpunkt und Schnittwinkel. .

rs = r1+n (r0 -r1) n a a = 2 1 5 + 2 -1 1 1 3 -4 2 -1 1 3 -4 0 3 -4 0 = 2 1 5 +2-3-4 6+4 3 -4 0 = 2 1 5 -1, 5 -2 0 = 0, 5 3 5 .

Schnittwinkel: φ = arcsin

#
n

                     #
                     a  |

#n  ||

                      #a  | = arcsin 2 -1 1 3 -4 0 4+1+19+16+0
= arcsin 6+4+0 625 = arcsin 10 65 0.3 π 55o

.
0/19/3/9 .

0/19/3/10

20.3.8 Lage zwischen zwei Ebenen

0/19/3/10/0

Zwei Ebenen E1 und E2 können folgende Lagen zueinander haben:

1.
Sie sind parallel zueinander Die beiden Ebenen sind parallel zueinander, wenn ihre Normalenvektoren parallel sind (Vektorprodukt = 0) .
Dann entspricht der Abstand der Projektion eines Punkts der Ebene E2 auf den Normalenvektor der Ebene E1. .
2.
Sie fallen zusammen (s. o., nur ist der Abstand der Ebenen Null.)
3.
Sie schneiden sich längs einer Geraden

Fall 1: Die Ebenen sind parallel zueinander .
Eine Nachprüfung kann durch Bilden des Kreuzprodukts der Normalenvektoren erfolgen. .
Den Abstand der Ebenen zueinander bestimmt man einfach, indem man den Abstand irgendeines Ortsvektors der Ebene 2 zur Ebene 1 bildet: .
.
0/19/3/10/1 .
Beispiel 20 - 222
zwei parallel zueinander stehende Ebenen .


PIC .

Abbildung 8: zwei parallel zueinander stehende Ebenen

.

.
0/19/3/10/2 .
Dann bestimmt sich der Abstand zu d = |n1 (r2 -r1 )| |n1 | .

0/19/3/10/3 .
Beispiel 20 - 223
zwei parallel zueinander stehende Ebenen: .
Gegeben seien zwei Ebenen mit den Ortsvektoren .

 #
P1 = 7 3 -4 und

 #
P2 = -1 0 8 .
sowie den Normalenvektoren

#n
 1  = -1 4 2 und

#n2  = -2 8 4 . .
Bestimmen Sie die Lage der Ebenen zueinander. .

Bestimmung der Richtungen zueinander über das Kreuzprodukt .
.
n1×n2 = x yz -142 -284 = 16 - 16 -4 - (-4) -8 - (-8) = 0 0 0 . .
.
Ebene und Gerade verlaufen also parallel. .
.
d = |n1 (r2 -r1)| |n1| . .
.
n1(r2-r1) = -1 4 2 -1 - 7 0 - 3 8 + 4 = -1 4 2 -8 -3 12 = 8-12+24 = 20. .
.
|

#n1  | = (-1)2 + 42 + 22 = 21.
d = 20 21 4, 36. .

.
0/19/3/10/4 Fall 2: Die Ebenen fallen zusammen .
Dann sind sie parallel und haben den Abstand d = 0. .
.
Die Rechnung erfolgt analog wie oben. .
.
In allen anderen Fällen tritt .
Fall 3 ein: Die Ebenen schneiden sich längs einer Geraden .
0/19/3/10/5 .
Beispiel 20 - 224
Schnittgerade zweier Ebenen .


PIC .

Abbildung 9: Schnittgerade zweier Ebenen

.
0/19/3/10/6 .
Liegen die Ebenengleichungen in der Form .
E1 = r1 + λ1a1 + μ1b1 .
bzw. E2 = r2 + λ2a2 + μ2b2 vor, .
so erhält man durch Gleichsetzen unendlich viele Lösungen (3 Gleichungen, 4 Unbekannte), die alle auf einer Geraden liegen (Die Rechnung kann etwas aufwendiger werden !): .
g1 = g2 .
r1 + λ1a1 + μ1b1 = r2 + λ2a2 + μ2b2 . .
.

Alternativ führt das folgende Prinzip zu einer einfach zu bestimmenden Lösung: Der Richtungsvektor der Geraden ist senkrecht zu n1 und n2 . .
a = n1 ×n2 . .
Ein Ortsvektor r0 muss die beiden Ebenengleichungen erfüllen: .
n1 (r0 -r1 ) = 0 und n2 (r0 -r2 ) = 0 .
bzw. ausmultipliziert: .
n1x(x0 - x1) + n1y(y0 - y1) + n1z(z0 - z1) = 0 und .
n2x(x0 - x2) + n2y(y0 - y2) + n2z(z0 - z2) = 0. .
.
Der Schnittwinkel errechnet sich wiederum über das Skalarprodukt:
φ = arccos n1 n2 |n1 ||n2 |. .
.
0/19/3/10/7 .
Beispiel 20 - 225
Schnittgerade Ebene - Ebene bei Darstellung in Normalenform. .
Gegeben sei eine Ebene mit dem Ortsvektor .

#r1 = 1 0 1 , dem Normalenvektor

#
n1  = 1 5 -3 .
sowie eine Gerade mit dem Ortsvektor .

#r2 = 0 3 0 und dem Normalenvektor

#
n2  = 2 1 2 . .
Bestimmen Sie die Schnittgerade

#r (λ) =

                                #r 0+λ

                                                                                                                                 #a . .

.
man erhält

#
a =

         #
         n 1×

                                                                                                        #
                                                                                                        n 2 = 1 5 -3 ×2 1 2 = 10 + 3 -6 - 2 1 - 10 = 13-8 -9 . .
.
Die Ebenen sind nicht parallel, da

#n 1×

                             #n 2

                                                                                                                           #0  . .

Einen Ortsvektor r0 erhalten wir aus den beiden Ebenengleichungen: .
.
n1(r0-r1) 1 5 -3 x0 - 1 y0 - 0 z0 - 1 = x0-1+5y0-3(z0-1) = 0.
und .
n2(r0-r2) = 2 1 2 x0 - 0 y0 - 3 z0 - 0 = 2x0+y0-3+2z0 = 0. .
.
Wahl von x0 = 0: .
.
5y0-3z0=-2 y0 +2z0= 3 .
.

Auflösen ergibt y0 = 5 13 und z0 = 17 13. .
Daraus folgt die Geradengleichung .
.

#
r (λ) =

#
r 0+λ

                                                                                                #
                                                                                                a = 0 5 13 17 13 +λ 13-8 -9 = 13λ 5 13 - 8λ 17 13 - 0λ . .
.
Der Schnittwinkel errechnet sich wiederum über das Skalarprodukt:
.
φ = arccos n1 n2 |n1||n2|. .

Schnittwinkel: φ = arccos 1 5 -3 2 1 2 12 +52 +(-3)222 +12 +22
.
= arccos 2+5-6 359 = arccos 1 353 arccos 0, 056 1, 51 87o

.
0/19/3/10/8 .

0/19/3/11

20.3.9 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/19/4

20.4 Drehung von Vektoren

0/19/4/0

0/19/4/1

20.4.1 Drehung von Vektoren um die x-,y- oder z-Achse

0/19/4/1/0

Vektoren in x = x y z -Darstellung können gedreht werden, indem man sie mit mit Drehmatrizen multipliziert: .
.
x1 = (α)x. .
.
Für einen vorgegebenen Winkel α wird die Drehung um die x-Achse beschrieben mit: .
.
x(α) = 1 0 0 0 cosα - sinα 0sinα cosα .
.
Die Drehung um die y-Achse wird beschrieben mit: .
.
y(α) = cosα 0sinα 0 1 0 - sinα0cosα .
.

Die Drehung um die z-Achse wird beschrieben mit: .
.
z(α) = cosα - sinα0 sinα cosα 0 0 0 1 .
0/19/4/1/1 .
Beispiel 20 - 226
Modell eines einfachen (nur bedingt praxistauglichen) Roboters .
Gegeben sei ein Zweiachsenroboter mit den Achsen a1 und a2:


PIC .

Abbildung 10: einfaches Robotermodell

.
Die Koordinaten der Spitze des Roboters liegen bei (1,2,4) [m]. .
Nun dreht der Roboter zunächst seine Spitze um die Achse a1 um 45°gegen den Uhrzeigersinn und danach um seine Achse a2 um 45°gegen den Uhrzeigersinn. Wo steht dann die Spitze ?

.
Wechsel des Bezugssytems: Neuer Ursprung (0,2,4). Bezüglich dieses Bezugspunkts hat die Spitze die Koordinaten (1,0,0). .
Drehung um Achse a1: .

 #
x1 = (α)

  #
 x = 1 2 0 1 2 0 1 0 - 1 20 1 2 1 0 0 = 1 2 0 - 1 2 . .
Erneuter Wechsel des Bezugssytems: Neuer Ursprung (0,0,4). Bezüglich dieses Bezugspunkts hat die (gedrehte) Spitze die Koordinaten 1 2 2 - 1 2 . .
Drehung um Achse a2: .

#x2 = (α)

  #x1  = 1 2- 1 20 1 2 1 2 0 0 0 1 1 2 2 - 1 2 = 1 2 - 2 2 1 2 + 2 2 - 1 2 . .
Die neue Lage der Spitze ist dann nach Transformation in (0,0,0): 1 2 -2 1 2 + 2 4 - 1 2 . .

.
0/19/4/1/2 .

0/19/4/2

20.4.2 Drehung von Vektoren um eine allgemeine Achse

Hat man eine Drehung um den Winkel α um eine beliebige Achse, die durch einen beliebigen Einheitsvektor n^ = n1 n2 n3 (mit |n| = 1) vorgegeben ist, so läßt sich die Drehung beschreiben als: .
Rn(α) x = n^(n^ x) + cos α(n^ ×x) ×n^ + sin α(n^ ×x). .
In Matrixdarstellung lautet die Drehmatrix .
n(α) = .
.
= cosα + n12(1 - cos α) n 1n2(1 - cos α) - n3 sin αn1n3(1 - cos α) + n2 sin α n1n2(1 - cos α) + n3 sin α cosα + n22(1 - cos α) n 2n3(1 - cos α) - n1 sin α n3n1(1 - cos α) - n2 sin αn2n3(1 - cos α) + n1 sin α cosα + n32(1 - cos α) . .
.
.
.
.

Beispiele zum weiteren Üben (Als Benutzername und Passwort dient Ihr Account für den zentralen Anmeldedienst des Rechenzentrums (E-Mail Account)der FH Kaiserslautern): .
Übungsbeispiele im Internet
.