0
0/16
0/16/0
0/16/0/0
0/16/0/0/0
Beispiel 17 - 1:
Sie wohnen auf einer recht einsamen Insel. Auf dieser Insel gibt es nur einen Getränkeanbieter mit zwei
Getränkesorten und
. Der Anbieter hat festgestellt, daß
pro Jahr 15 % der -Konsumenten
zu und
4 % von zu
wechseln. .
Das Konsumentenverhalten kann man graphisch so darstellen: .
0/16/0/0/1
0/16/0/0/2 .
Bezeichnet man den Absatz des Getränks
bzw. in diesem
Jahr mit und
im Folgejahr mit
bzw.
und ,
kann man die Gleichungen aufstellen: .
.
.
Geht man über zur Matrixschreibweise, ergibt sich der Getränke-(Spalten-)vektor im Folgejahr als Produkt der
Übergangsmatrix
mit dem Getränke-(Spalten-)vektor des Vorjahres: .
.
.
.
. .
Für einen Anfangs-Absatz von .
.
.
Fässern erhält man im Folgejahr einen Verkauf von .
.
.
Fässern. .
.
Im Folgejahr (gleiches Wechselverhalten vorausgesetzt) ergibt sich ein Verkauf von .
.
.
Fässern. .
.
Interpretiert man den jährlichen Verkauf von Getränkefässern als Beobachtung und die
Wechselraten als (feste) ’Wahrscheinlichkeiten’, so können wir bei bekannten Verkaufszahlen eines
Jahres auf die Verkaufszahlen im Folgejahr schließen. .
Derartige Prognosemodelle, die mit der Verkettung von Wahrscheinlichkeiten operieren, nennt man
Markoff’sche Ketten : Jede Beobachtung ist nur von einer oder von einer beschränkten Anzahl
vorhergehender Beobachtungen abhängig. .
0/16/0/1
0/16/0/1/0
In Analogie zu obigem Getränkebeispiel soll die Populationsentwicklung einer Schwalbenherde
betrachtet werden. Bekannt seien die (jährliche) Existenzwahrscheinlichkeit von Küken (K)
(im Folgejahr sind nur noch drei Viertel übrig) sowie Erwachsener (E) von
. Jährlich wird die Hälfte
der Küken erwachsen (),
und jährlich gebären die erwachsenen Schwalben 1.3-fachen Nachwuchs
(). .
Im Leslie-Diagramm werden die Übergangswahrscheinlichkeiten an den Pfeilen eingetragen. Ist eine
Übergangswahrscheinlichkeit Null, so kann der Pfeil weggelassen werden. .
0/16/0/1/1
0/16/0/1/2 Nun seien in einem Bestand 30 Erwachsene und 60 Küken. Wie
groß ist der Bestand nach einem bzw. 2 Jahren ? .
Derartige Übergangsmatrizen (sie sind analog zu oben) werden in der theoretischen Ökologie zur
Beschreibung von Populationen genutzt und wurden von P. H. Leslie formuliert. Hat man Daten
über
Altersklassen, dann ist die Leslie-Matrix vomn Typ
x.
.
In unserem Beispiel lautet sie: .
. .
.
.
Für das Folgejahr ist die Population: .
.
.
0/16/0/2
Gegeben sei folgende Leslie-Matrix: .
.
. .
.
Für einen Populationsvektor .
ergibt sich im Folgejahr .
.
Für einen anderen Populationsvektor .
.
ergibt sich im Folgejahr .
.
.
Das heißt, der Populationsvektor kann aus dem ursprünglichen Vektor durch Multiplikation .
mit 1.6 erzeugt werden. Wenn das Produkt einer Matrix
mit einem Vektor
das Gleiche ergibt wie die
Multiplikation des Vektors
mit
einer Zahl , nennen wir diesen
Vektor Eigenvektor . Die Zahl
bezeichnet man als Eigenwert . .
Wie findet man die Eigenwerte und Eigenvektoren ? .
Wir gehen von folgendem Ansatz aus:
.
Ergänzt um die Einheitsmatrix
.
.
Diese Gleichung ist für von Null verschiedene Vektoren
dann
erfüllt, wenn .
. .
.
Lösungen sind
und . .
Die Eigenvektoren erhält man nun, indem man das Gleichungssystem .
jeweils für die
Werte von
und
löst. .
Für
ergibt sich: .
.
.
Für erhält man
unendlich viele Lösungen:
.
Sind nun die Populationsgrößen Eigenvektoren der Leslie-Matrizen, so kann man die
Folgepopulationen einfach durch (ggf. mehrfache) Multiplikation des Eigenwerts mit dem Vektor
bestimmen: .
. .
0/16/1
0/16/1/0
0/16/1/0/0
Stellt man ein Gemisch her aus .
der Menge von
der Komponente ,
.
der Menge von
der Komponente ,
.
.............. .
der Menge von
der Komponente ,
.
spricht man von einem Mischungsverhältnis
wenn man zuvor
erst alle Zahlen
mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert, sodaß sie alle ganzzahlig werden, und anschließend alle
durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividiert. .
Beispiel 17 - 2:
Eine Lösung habe die Komponenten A, B und C in den Mengen 15 ml, 30 ml und 45 ml. In ganzen Zahlen
(multipliziert mit 100/ml): 15, 30 und 45. Dividiert durch den ggT 15 ergibt ein Mischungsverhältnis
. .
.
Hat man nun verschiedene Lösungen bzw. Pulver mit verschiedenen Konzentrationen der Wirkstoffe,
so stellt man zunächst die Summengleichung und danach die Bilanzgleichung je Wirkstoff auf. .
Beispiel 17 - 3:
Gegeben seien drei Standardlösungen mit den Konzentrationen der Wirkstoffe A und B.
Herauskommen soll eine Lösung der Menge L, bei denen die Konzentrationen vorgegeben sind: .
.
| mol/l | L . | |||
| A | A . | |||
| B | B . | |||
| Gesamtmengengleichung: | . | |||
| Bilanzgleichung für A: | . | |||
| Bilanzgleichung für B: | . | |||
Dieses Gleichungssystem kann man z.B. mit dem Gauß-Verfahren lösen. .
(Ein zuzugegebendes Lösungsmittel hat die Konzentration Null.) .
0/16/1/0/1 .
Beispiel 17 - 158
Gegeben sind vier Lösungen:
Die Lösung mit einem
Wirkstoffgehalt A von , einem
Wirkstoffgehalt B von und
einem Wirkstoffgehalt C von ,
die Lösung mit einem
Wirkstoffgehalt A von , einem
Wirkstoffgehalt B von und
einem Wirkstoffgehalt V von ,
die Lösung mit einem
Wirkstoffgehalt A von , einem
Wirkstoffgehalt B von und
einem Wirkstoffgehalt C von
und
die Lösung mit einem
Wirkstoffgehalt A von , einem
Wirkstoffgehalt B von und
einem Wirkstoffgehalt C von ,
Welche Mengen der vier Lösungen muss man einer Mischung zugeben, damit man
mit einem Wirkstoffgehalt
A von , Wirkstoffgehalt
B von und einem
Wirkstoffgehalt C von
erhält ? .
.
Mit Maple : .
restart; .
.
.
.
.
.
und man erhält: .
. .
0/16/2
0/16/2/0
0/16/2/0/0
Nehmen wir an, daß in einer Fabrik n verschiedene Rohstoffe
eingesetzt werden. Aus diesen Rohstoffen enstehen k Zwischenprodukte
. .
Dann kann die Herstellung in Matrixdarstellung beschrieben werden als .
. .
Kennt man nun den Bedarf der einzelnen Endprodukte, so kann man über diese Gleichung den
Rohstoffbedarf ermitteln. Kenn man umgekehrt den Rohstoffbestand, so kann man mittels der Inversen
den
Endproduktbestand bestimmen: .
. .
Sind mehrere Fertigungsstrassen im Werk, so entspricht dies einfach einer Multiplikation der
Produktionsmatrizen. .
0/16/2/0/1 .
Beispiel 17 - 159
In einem Pharmaziebetrieb werden vier Rohstoffe
,
,
und
zu drei
Zwischenprodukten ,
und
verarbeitet. Aus diesen Zwischenprodukten entstehen in einem weiteren Prozess die drei Endprodukte
,
und
.
Die Mengenverbräuche sind gegeben durch die Gleichungen
| = | + | |||||
| = | + | + | ||||
| = | + | + | ||||
| = | + | + | ||||
| = | + | + | ||||
| = | + | + | ||||
| = | + | + | ||||
. .
.
Damit wird der Rohstoffverbrauch .
.
0/16/2/1
Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .
0/16/3
0/16/3/0
0/16/3/0/0
Unter dem Begriff Lineare Optimierung (oder auch Linearer Programmierung) versteht
man die Maximierung (Minimierung) einer linearen Funktion unter Nebenbedingungen in
Ungleichheitsform.
Beispiel (s. Sydsaeter, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler) :
Ein Bäcker hat 150 kg Mehl, 22 kg Zucker und 27,5 kg Butter zur Verfügung, um zwei Arten von
Kuchen zu backen. Nehmen Sie an, daß für die Produktion eines Dutzends Kuchen der Sorte A bzw.
B folgende Zutaten benötigt werden: .
.
| Sorte | Mehl | Zucker | Butter |
| A | 3 | 1.0 | 1 |
| B | 6 | 0.5 | 1 |