0

0/18

19 Vektorrechnung im 3-dimensionalen

0/18/4

19.4 Vektorprodukt

0/18/4/0

c = a ×b
Es gilt:

1.
c a, c b
2.
|c| = |a||b| sin α
3.
a,b,c bilden ein rechtshändisches System

0/18/4/1 .
Beispiel 19 - 188

#
c =

#
a ×

                                                                                          #
                                                                                          b . .

.


PIC .

Abbildung 1: Rechtssystem

bzw. mit x,y, z dargestellt:

#c =

                      #a ×

                                                                                                                    #b . .

.
0/18/4/2 .

F = q (v ×B)
.
Der Betrag des Kreuzproduktes entspricht der Fläche des aufgespannten Parallelogramms .
Rechengesetze für das Kreuzprodukt bzw. Vektorprodukt :

Zwei von Null verschiedene Vektoren sind kollinear, wenn das Vektorprodukt verschwindet. .
Zur Berechnung des Vektorprodukts: a×b = exeyez axayaz bx bybz .

Anwendungsmöglichkeit: Fläche eines aufgespannten Parallelogramms .
0/18/4/3 .
Beispiel 19 - 189
Fläche eines Parallelogramms .
a = 1 -5 2 b = 2 0 3 .
.

gesucht: Fläche des aufgespannten Parallelogramms .
.


PIC .

Abbildung 2: Fläche eines Parallelogramms

.
a×b = ex ey ez ex ey 1 - 5 2 1 - 5 2 0 3 2 0 =.
.
= ex (-15) + ey 4 + ez 0 -ex 0 -ey 3 + ez 10 = .
.
= -15ex + ey + 10ez = .
.
.
= -15 1 10 .
.
.
A = |a ×b| = 152 + 1 + 100 18

.
0/18/4/4

0/18/4/5 .
Beispiel 19 - 190
gesucht: Fläche eines Parallelogramms a = 1 2 8 b = 4 3 5 .
.

.

a×b = xyz 1 2 8 12 4 3 5 4 3 = 10 - 24 32 - 5 3 - 8
= - 14 27 - 5
.
.
A = 142 + 272 + 52 = 950 30, 8.

.
0/18/4/6 Anwendungen Die Lorentzkraft .
FL = q (v ×B)

q: Ladung
v: Geschwindigkeit
B: Magnetfeld

0/18/4/7 .
Beispiel 19 - 191
Wie groß ist die Kraft (Lorentzkraft) auf ein geladenes Teilchen ? .

#v

= 2000 2000 0 m s
B = 0 0 0, 1 vs m2
q =1, 6 10-19c

.

#Fl

=q2000 2000 0 × 0 0 0, 1 m s vs m2 x y z 20002000 0 0 0 0, 1 = 200 -200 0
=q 200 -200 0 v m

.
0/18/4/8

Das Drehmoment 0/18/4/9 .
Beispiel 19 - 192
Gegeben: eine Scheibe mit Drehachse z

#r = 0 1 0 ,

 #
F = -1 0 0 . Wie groß ist das Drehmoment, und in welche Richtung zeigt es ?

.


PIC .

Abbildung 3: Drehmoment

.

#M =

#r ×

                                                                                          #F = x yz 0 1 0 -100 .

 #
M =

#
r ×

                                                                                          #
                                                                                          F = 0 0 1 .

.
0/18/4/10

0/18/4/11 .
Beispiel 19 - 193
Drehmoment an einer Garnrolle

.


PIC .

Abbildung 4: Drehmoment an einer Garnrolle

.
Achtung ! Drehpunkt ist Berührpunkt mit Unterlage .

.
0/18/4/12

Die Coriolislkraft ist definiert als F = 2m (v ×ω). .
0/18/4/13 .
Beispiel 19 - 194
An einem Ort von 45°geographischer Breite fällt ein 10 kg schwerer Gegenstand mit 100 m/s auf die Erdoberfläche. Wie groß ist die Coriolis-Kraft beim Auftreffen auf die Erde ?

.


PIC .

Abbildung 5: Corioliskraft

.
Fc = 2m|ω ×v| = 2mωvsin(π + φ) = 2mωvsin(φ); .
ω = 2π 84600s und R = 6370000m .
Fc = 2 10km 2 86400s 102ms-1 2 2 = 0, 104N.

.
0/18/4/14

Anwendungsbeispiel : Ermittlung des Abstands eines Punkts von einer Geraden .
Das Prinzip: .

0/18/4/15 .
Beispiel 19 - 195
Abstand Punkt zu einer Geraden .


PIC .

Abbildung 6: Abstand Punkt - Gerade

.
(Vektoren zum Ursprung einzeichnen !). .

.
0/18/4/16 .
Daraus lässt sich der Abstand h errechnen: h = A |a| = |a×b| |a|

0/18/4/17 .
Beispiel 19 - 196
Gegeben ist der Vektor

#
a = 1 -5 2 und der der Ortsvektor

#
b = 2 0 3 , Bestimmen Sie den Abstand des Punkts

#
b von

#
a . .

#
a ×

          #
          b = -15 - 0 4 - 3 0 + 10 = -15 1 10 .
A = |

#a ×

 #
 b | 18
|a| = 29 5, 4. .
d = A |a| 3, 33. .
Achtung: wird eine Gerade mit einem Ortsvektor

#
0 verwendet, muß der Bezug zu anderem Ursprung berücksichtigt werden, s. vk9031. .

.
0/18/4/18