0

0/1

2 Gleichungen

0/1/2

2.2 Algebraische Gleichungen

0/1/2/0

2.2.1 Lineare Gleichungen

0/1/2/0/0

Lineare Gleichungen haben Sie bereits unter dem Begriff der Geradengleichung in der Schule .
kennengelernt:
0/1/2/0/1 .
Beispiel 2 - 7

a x + b =0

. .

a x + b =0
Lösung:x =-b a

.
0/1/2/0/2

0/1/2/1

2.2.2 Quadratische Gleichungen

0/1/2/1/0

0/1/2/1/1 .
Beispiel 2 - 8
a x2 + b x + c = 0 .

a x2 + b x + c =0
x2 + b a x + c a =0
oft auch x2 + p x + q =0|quadratische Ergänzung
x2 + p x + (p 2)2 =- q + (p 2)2
(x + p 2)2 = p2 4 - q DiskriminanteD
(x + p 2) =±p2 4 - q
Lösung:x =-p 2 ±p2 4 - q

.
0/1/2/1/2

Ist die Diskriminante D = (p 2)2 - q

0/1/2/1/3 .
Beispiel 2 - 9

.

.
0/1/2/1/4

0/1/2/2

2.2.3 Gleichungen 3. Grades

0/1/2/2/0

0/1/2/2/1


PIC .

Abbildung 1: Kubische Funktion y = x3

0/1/2/2/2

Lösungen für Gleichungen 3. Grades können über die Cardanischen Formeln ermittelt werden .
(s. Formelsammlung). Kann man eine Lösung ermitteln, kommt man mit der Polynomdivision meist .
mit weniger Aufwand zum Ziel.

0/1/2/3

2.2.4 Bi-quadratische Gleichungen

0/1/2/3/0

Bi-quadratische Gleichungen lassen sich durch Substitution auf quadratische Gleichungen zurück- .
führen, die man dann auf bekannte Weise lösen kann. .

ax4 + bx2 + c =0
Substituiere:y =x2
ay2 + by + c =0

0/1/2/3/1 .
Beispiel 2 - 10

x4 - 10x2 + 9 = 0
Substituiere: z = x2
z2 - 10z + 9 = 0

x4 - 10x2 + 9 = 0
Substituiere: z = x2
z2 - 10z + 9 = 0 z 1,25 ± 4
Rücksubstitution: x2 = z
x2 = z 1 = 9 x1,2 = ±3
x2 = z 2 = 1 x3,4 = ±1
L = {-3,-1, 1, 3} .
.
0/1/2/3/2

0/1/2/4

2.2.5 Wurzelgleichungen

0/1/2/4/0

Wurzelgleichungen kann man u.U. lösen, indem man die Wurzel isoliert und über Quadratur beider Seiten der Gleichung Lösungen bestimmt (Achtung: Dies ist eine Nicht-Äquivalenz-Umformung ! Es entstehen weitere "Lösungen". Deshalb: Probe nicht vergessen !)
0/1/2/4/1 .
Beispiel 2 - 11
2x - 3 + 5 - 3x = 0 .

2x - 3 + 5 - 3x =0 |2x - 3 0
2x - 3 =3x - 5 |(Quadrieren)2
2x - 3 =(3x - 5)2 =9x2 - 30x + 25
- 9x2 + 32x - 28 =0 | : (-9)
x2 -32 9 x + 28 9 =0 |p - q - Formel
x1,2 =16 9 ± 4 81 =16 9 ±2 9
x1 = 2 und                                                                                                                                                                                                          <msub><mrow>x< //mrow><mrow >2</mrow></msub >=/ /<mfrac><mrow >1/4</mrow> 
                                                                                                                                                                                                         /      <mrow >9</mrow></mfrac>

Durch das Quadrieren haben wir 2 Lösungen erhalten, von denen eine nicht korrekt ist, da
2 14 9 - 3 + 5 - 3 14 9 = 0 .
.
1 9 1 3 + 15 3 -/3  1 14 /9  3 1 3 = 0 .
.
2 3 = 0 .
.

.
0/1/2/4/2

0/1/2/5

2.2.6 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .