0

0/12

13 Differentialrechnung

0/12/2

13.2 Ableitungsregeln

0/12/2/5

13.2.5 Kettenregel

0/12/2/5/0

Beispiel 13 - 1:
y = sin(3x + 4)

y =f(x)Substitution u=u(x) y =f(u)
u =u(x)Innere Funktion
y =f(u)Äußere Funktion
y =f(u) =f(u(x)) =f(x)
y =dy dx =dy du du dx
u =3x + 4dudx =3
F(u) = sin(u)dydu = cos(u)
y =dy du du dx
= cos(u) 3
=3 cos(3x + 4)
.
.
dydx = lim Δx0Δy Δx = lim Δx0 dy du du dx
= lim Δx0 Δy Δu lim Δx0 Δu Δx
=ΔyΔu Δu Δx

.

0/12/2/5/1 .
Beispiel 13 - 75
y = (3x - 8)5

.

y = (3x - 8)5
äußere Funktion: y = u5
innere Funktion: u = 3x - 8

dydu =5u4
dudx =3
y =dy du du dx =5 u4 3 =15(3x - 8)4

.
0/12/2/5/2 .
0/12/2/5/3 .
Beispiel 13 - 76
1 ln x

.

1 ln x
äußere Funktion: y = F(u) = 1 u
innere Funktion: u = ln(x)

dydu =- 1 u2
dudx =1x
y =dy du du dx =- 1 u2 1 x =- 1 1 x (ln x)2
y =y(x) =y(v(x)) =y(v(u(x)))

.
0/12/2/5/4

0/12/2/5/5 .
Beispiel 13 - 77
y = ln[sin(2x - 3)]

.

y = ln[sin(2x - 3)]
1. Substitution: u = (2x - 3)
2. Substitution: v = sin(u)

y =dy dv dv dx =dy dv dv du du dx
dudx =d(2x - 3) dx =2
dvdu =d(sin(u)) du = cos(u)
dydv =d(ln(v)) dv =1 v
y =1v cos(u) 2 = 1 sin(u) cos(u) 2
=2 cot(u) =2 cot(2x - 3)

.
.
Weiteres Beispiel: ( 1ln(x)) = ( -1 x (ln(x))2)
.
0/12/2/5/6 .