0

0/9

10 Logarithmusfunktionen

0/9/2

10.2 Transzendente Gleichungen

0/9/2/1

10.2.2 Exponentialgleichungen

0/9/2/1/0

Exponentialgleichungen enthalten Exponentialausdrücke.
Gelingt es, den Exponentialausdruck zu isolieren, kann man durch anschließendes Logarithmieren beider Seiten den Exponentialausdruck umformen (Logarithmenregeln beachten !!). Sofern im Logarithmus auf der anderen Seite die unabhängige Variable herausgelöst werden kann, ist die Gleichung relativ einfach lösbar. .
0/9/2/1/1 .
Beispiel 10 - 56
2x2-1 = 8

.

2x2-1 = 8 | Logarithmieren
ln(2(x2-1)) = ln(8) | umformen
(x2 - 1) ln(2) = ln(8)
x2 - 1 = ln(8) ln(2) = 3 ln(2) ln(2) .
x2 = 4 .
x1,2 = ±2. .

.
0/9/2/1/2 .
0/9/2/1/3 .
Beispiel 10 - 57
2x + 4 2-x - 5 = 0

.

Man sollte erkennen, daß die beiden Exponentialformen ineninander überführbar sind: .
2x + 4 2x - 5 = 0 .
Ensprechend kann man substituieren:z = 2x .
z + 4 z - 5 = 0 .
z2 + 4 - 5z = 0 .
z1,2 = 5 2 ±25 4 - 4 = 5 2 ±3 2 .
z1 = 4, z2 = 1 .
Rücksubstitution: .
z1 = 2x = 4 ln2x = ln4 = ln22 .
x ln2 = 2 ln2 x1 = 2 .

z2 = 2x = 1 ln2x = ln1 = 0 .
x ln2 = 0 x2 = 0

.
0/9/2/1/4 .