0

0/19

20 Anwendungen

0/19/3

20.3 Vektorielle Darstellung der Ebene

0/19/3/10

20.3.8 Lage zwischen zwei Ebenen

0/19/3/10/0

Zwei Ebenen E1 und E2 können folgende Lagen zueinander haben:

1.
Sie sind parallel zueinander Die beiden Ebenen sind parallel zueinander, wenn ihre Normalenvektoren parallel sind (Vektorprodukt = 0) .
Dann entspricht der Abstand der Projektion eines Punkts der Ebene E2 auf den Normalenvektor der Ebene E1. .
2.
Sie fallen zusammen (s. o., nur ist der Abstand der Ebenen Null.)
3.
Sie schneiden sich längs einer Geraden

Fall 1: Die Ebenen sind parallel zueinander .
Eine Nachprüfung kann durch Bilden des Kreuzprodukts der Normalenvektoren erfolgen. .
Den Abstand der Ebenen zueinander bestimmt man einfach, indem man den Abstand irgendeines Ortsvektors der Ebene 2 zur Ebene 1 bildet: .
.
0/19/3/10/1 .
Beispiel 20 - 222
zwei parallel zueinander stehende Ebenen .


PIC .

Abbildung 1: zwei parallel zueinander stehende Ebenen

.

.
0/19/3/10/2 .
Dann bestimmt sich der Abstand zu d = |n1 (r2 -r1 )| |n1 | .

0/19/3/10/3 .
Beispiel 20 - 223
zwei parallel zueinander stehende Ebenen: .
Gegeben seien zwei Ebenen mit den Ortsvektoren .

 #
P1 = 7 3 -4 und

 #
P2 = -1 0 8 .
sowie den Normalenvektoren

#n
 1  = -1 4 2 und

#n2  = -2 8 4 . .
Bestimmen Sie die Lage der Ebenen zueinander. .

Bestimmung der Richtungen zueinander über das Kreuzprodukt .
.
n1×n2 = x yz -142 -284 = 16 - 16 -4 - (-4) -8 - (-8) = 0 0 0 . .
.
Ebene und Gerade verlaufen also parallel. .
.
d = |n1 (r2 -r1)| |n1| . .
.
n1(r2-r1) = -1 4 2 -1 - 7 0 - 3 8 + 4 = -1 4 2 -8 -3 12 = 8-12+24 = 20. .
.
|

#n1  | = (-1)2 + 42 + 22 = 21.
d = 20 21 4, 36. .

.
0/19/3/10/4 Fall 2: Die Ebenen fallen zusammen .
Dann sind sie parallel und haben den Abstand d = 0. .
.
Die Rechnung erfolgt analog wie oben. .
.
In allen anderen Fällen tritt .
Fall 3 ein: Die Ebenen schneiden sich längs einer Geraden .
0/19/3/10/5 .
Beispiel 20 - 224
Schnittgerade zweier Ebenen .


PIC .

Abbildung 2: Schnittgerade zweier Ebenen

.
0/19/3/10/6 .
Liegen die Ebenengleichungen in der Form .
E1 = r1 + λ1a1 + μ1b1 .
bzw. E2 = r2 + λ2a2 + μ2b2 vor, .
so erhält man durch Gleichsetzen unendlich viele Lösungen (3 Gleichungen, 4 Unbekannte), die alle auf einer Geraden liegen (Die Rechnung kann etwas aufwendiger werden !): .
g1 = g2 .
r1 + λ1a1 + μ1b1 = r2 + λ2a2 + μ2b2 . .
.

Alternativ führt das folgende Prinzip zu einer einfach zu bestimmenden Lösung: Der Richtungsvektor der Geraden ist senkrecht zu n1 und n2 . .
a = n1 ×n2 . .
Ein Ortsvektor r0 muss die beiden Ebenengleichungen erfüllen: .
n1 (r0 -r1 ) = 0 und n2 (r0 -r2 ) = 0 .
bzw. ausmultipliziert: .
n1x(x0 - x1) + n1y(y0 - y1) + n1z(z0 - z1) = 0 und .
n2x(x0 - x2) + n2y(y0 - y2) + n2z(z0 - z2) = 0. .
.
Der Schnittwinkel errechnet sich wiederum über das Skalarprodukt:
φ = arccos n1 n2 |n1 ||n2 |. .
.
0/19/3/10/7 .
Beispiel 20 - 225
Schnittgerade Ebene - Ebene bei Darstellung in Normalenform. .
Gegeben sei eine Ebene mit dem Ortsvektor .

#r1 = 1 0 1 , dem Normalenvektor

#
n1  = 1 5 -3 .
sowie eine Gerade mit dem Ortsvektor .

#r2 = 0 3 0 und dem Normalenvektor

#
n2  = 2 1 2 . .
Bestimmen Sie die Schnittgerade

#r (λ) =

                                #r 0+λ

                                                                                                                                 #a . .

.
man erhält

#
a =

         #
         n 1×

                                                                                                        #
                                                                                                        n 2 = 1 5 -3 ×2 1 2 = 10 + 3 -6 - 2 1 - 10 = 13-8 -9 . .
.
Die Ebenen sind nicht parallel, da

#n 1×

                             #n 2

                                                                                                                           #0  . .

Einen Ortsvektor r0 erhalten wir aus den beiden Ebenengleichungen: .
.
n1(r0-r1) 1 5 -3 x0 - 1 y0 - 0 z0 - 1 = x0-1+5y0-3(z0-1) = 0.
und .
n2(r0-r2) = 2 1 2 x0 - 0 y0 - 3 z0 - 0 = 2x0+y0-3+2z0 = 0. .
.
Wahl von x0 = 0: .
.
5y0-3z0=-2 y0 +2z0= 3 .
.

Auflösen ergibt y0 = 5 13 und z0 = 17 13. .
Daraus folgt die Geradengleichung .
.

#
r (λ) =

#
r 0+λ

                                                                                                #
                                                                                                a = 0 5 13 17 13 +λ 13-8 -9 = 13λ 5 13 - 8λ 17 13 - 0λ . .
.
Der Schnittwinkel errechnet sich wiederum über das Skalarprodukt:
.
φ = arccos n1 n2 |n1||n2|. .

Schnittwinkel: φ = arccos 1 5 -3 2 1 2 12 +52 +(-3)222 +12 +22
.
= arccos 2+5-6 359 = arccos 1 353 arccos 0, 056 1, 51 87o

.
0/19/3/10/8 .