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15 Reelle Matrizen
0/14/1
15.1 Einstieg: Lineare Gleichungssysteme
0/14/1/1
15.1.2 Einige Beispiele zum Einstieg
0/14/1/1/4 .
.
.
3
Gleichungen, 3 Unbekannte .
Beispiel 15 - 1:
Verschnittkreuz
Gegeben sind die zwei (zu bestimmenden) Mengen
und
eines Weins mit
dem Säuregehalt
und ,
die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge
und einem
Gesamtsäuregehalt .
Die Gleichungen dieses Systems lauten dann:
| + | | = | |
| | + | | = | |
| |
Nun multipliziert man die erste Gleichung mit
: .
| + | | = | |
| | + | | = | |
| |
Subtraktion der zweiten von der ersten Zeile ergibt: .
| + | | = | |
| |
und damit
oder
Die gleichen Schritte werden nach der Multiplikation der ersten Gleichung mit
analog
durchgeführt:
| + | | = | |
| | + | | = | |
| |
Subtraktion der zweiten von der ersten Zeile ergibt:. .
| + | | = | |
| |
und damit
oder .
Kennt man die gesuchte Gesamtmenge nicht, kann man für das Verhältnis von
zu
angeben:
.
Zum besseren Behalten dieser Gleichungen werden die Werte in einem (Verschnitt-)Kreuz
aufgetragen: .
.
|
|
|
| | |
| | | |
| | | |
|
|
|
| |
.
.
Mit Zahlen: .
.
.
.
Hat man nun eine vorgegebene Menge ,
so kann man die Menge des Weins
einfach bestimmen zu:
und
.
Lösung des Beispiels mit Maple:
restart; eq1 := x1+x2 = M;
eq2 := 3.8*x1+9*x2 = 6.0*M;
solve({eq1, eq2}, {x1, x2,M}) ergibt:
x1 + x2 = M
3.8 x1 + 9 x2 = 6.0 M
{M = 2.363636364*x2, x1 = 1.363636364*x2, x2 = x2}.
Also: ist frei wählbar,
daraus ergibt sich
und daraus wiederum die Gesamtmenge.