0

0/14

15 Reelle Matrizen

0/14/4

15.4 Gauß’scher Algorithmus

0/14/4/0

15.4.1 Darstellung in Matrixform

0/14/4/0/0

- x + y + z =0 umbilden in Matrix:
x - 3y- 2z =5 1. Spalte: x,2. Spalte: y
5x + y + 4z =3 3. Spalte: z,4. Spalte: Konstante

- 1 + 1 + 10
1- 3- 25
5143

.

.
Das lineare Gleichungssystem kann geschrieben werden als A x = c . .
Koeffizienten: aik
Absolutglieder (Konstanten): ci

A x = c

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + + a1n xn =c1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + + a2n xn =c2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + + a3n xn =c3

A x =cmit x = x1 x2 x3 und c = c1 c2 c3

.

Entsprechend verfolgt jetzt der Gaußsche Algorithmus das Ziel, über äquivalente Umformungen die Matrix A in ein gestaffeltes System (Dreiecksform) zu bringen durch die Schritte:

1.
Vertauschen von Zeilen
2.
Multiplikation mit einem Faktor 0
3.
Addition eines Vielfachen einer anderen Zeile

0/14/4/0/1 .
Beispiel 15 - 136
Lösen eines Gleichungssytems mit Excel : .


PIC .

Abbildung 1: Gleichungssystem als Excel-Tabelle

.
.

.

.
0/14/4/0/2

0/14/4/0/3 .
Beispiel 15 - 137

- x + y + z =0 umbilden in Matrix:
x - 3y- 2z =5 1. Spalte: x,2. Spalte: y
5x + y + 4z =3 3. Spalte: z,4. Spalte: Konstante

.

.

1- 1- 10-1
1- 3- 25
5143





1 - 1 - 1 0
1- 3- 25- I
5143- 5 I





1- 1- 10
0- 2- 15- I
0693 + 3 II





1- 1- 10
0- 2- 15- 2I
006183





1- 1- 10
011 2-5 2
0013






.
z = 3 .
Aus Zeile 2 folgt: y + 3 1 = -5 2 y = -4 .
Aus Zeile 1 folgt: x + 4 - 3 = 0 x = -1 .
(alternativ Gauß-Jordan: Später !)

.
0/14/4/0/4