0

0/12

13 Differentialrechnung

0/12/3

13.3 Anwendung der Differentialrechnung

0/12/3/1

13.3.1 Tangente und Normale

0/12/3/1/0

0/12/3/1/1


PIC .

Abbildung 1: Tangente und Normale

0/12/3/1/2 .

Tangentengleichung: y-y0 x-x0 = f(x 0) = mt .

Steigung der Normalen: mn = -1 mt .

Normalengleichung: y-y0 x-x0 = -1 f(x0) .
.
Beispiel 13 - 1: .
y = x2 - 2x + 1 .
gesucht: Gleichung der Tangente und Normale n am Schnittpunkt mit der y-Achse. .

Schnittpunkt mit der y-Achse: .
P = 0 1 .
Tangentensteigung: y = 2x - 2 .
mt = y(0) = -2 .
Tangente: y-1 x-0 = -2 .
y = -2x + 1 .
Normale: .
y - 1 x - 0 = 1 2 .
y = 1 2x + 1 .

0/12/3/1/3 .
Beispiel 13 - 83
Zu ermitteln ist die Gleichung der Tangente, die vom Punkt A = (0; -1) aus an den Funktionsgraphen y = ln x gelegt wird.


PIC .

Abbildung 2: Tangenten an Funktionen

.

f(x) = ln(x)
f(x) = 1 x

1.
Gerade durch (x1,y1) = (0,-1) :

y - y1 x - x1 = f(x 0) = 1 x0

y = x - x1 x0 + y1 = x x 0 - 1 , da x1 = 0 und y1 = -1

2.
Tangente für y = ln x

y - y0 x - x0 = f(x 0) = 1 x0

y = x - x0 x0 + y0 = x x 0 + y0 - 1 = x x 0 + ln(x0) - 1
3.
gleichsetzen von 1. und 2.:
xx 0 - 1 = x x 0 - 1 + ln(x0)
ln(x0) = 0
x0 = 1
y = x - 1

.
0/12/3/1/4