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0/1
0/1/1
0/1/1/0
0/1/1/0/0
Definition Term : Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der aus
besteht.
Will man die Äquivalenz von
Termen ausdrücken, so verwendet man das Gleichheitszeichen.
Zwei Terme
und
sind
äquivalent
.
.
Gleichungen ermöglichen u.a. die Beschreibung quantitativer Beziehungen in
Natur, Technik, Wirt- .
schaft etc.
Die Umformung von textlicher Beschreibung in Gleichungen ist häufig ein
schwierigerer, aber meist .
lohnender Schritt.
0/1/1/0/1 .
Beispiel 2 - 1
Den Umfang eines Kreises berechnet man, indem man das Produkt aus dem
Verhältnis von Umfang
.
eines beliebigen Kreises zu seinem Durchmesser und dem Kreisradius mit 2
multipliziert.
.
0/1/1/1
0/1/1/1/0
Beispiel 2 - 2: Lösungsmengen
.
0/1/1/1/1 .
Beispiel 2 - 2
Sogar in der Weltliteratur haben Bestimmungsgleichungen ihren Platz
gefunden. Der Nobelpreisträ- .
ger Thomas Mann zum Beispiel, der sich sonst von allem Mathematischen so
fern wie nur möglich .
hielt, hat in seinem Buch Joseph und seine Brüder ein Gleichungssystem mit
zwei Unbekannten .
verwendet, um die besonderen Fähigkeiten seines jungen Helden zu
demonstrieren [RiessingerL1]
. .
Es geht dabei um die biblische Josephsgeschichte, und wie Sie vielleicht
wissen, wird der so junge .
wie arrogante Joseph von seinen Brüdern an einen vorbeiziehenden Reisenden
verkauft. .
Dieser Reisende stellt seine Neuerwerbung nun auf die Probe: .
„Gesetzt aber, ich habe ein Stück Acker, das ist dreimal so groß wie das
Feld meines Nachbarn .
Dagantakala, dieser aber kauft ein Joch Landes zu seinem hinzu, und nun
ist meines nur noch .
doppelt so groß: Wieviel Joch haben beide Äcker?“
„Zusammen?“fragte Joseph und rechnete ...
„Nein, jeder für sich.“ .
Joseph löst seine Aufgabe, die nichts weiter ist als ein
kleines Gleichungssystem mit zwei .
Unbekannten, und auf die Frage, wie er so schnell die Lösung finden
konnte, läßt Thomas Mann ihn
antworten: .
„Man muß das Unbekannte nur fest ins Auge fassen, dann fallen die Hüllen,
und es wird bekannt.“ .
Vermutlich hat Thomas Mann, der von Mathematik leider gar nichts verstand,
jemanden gebeten, .
das Beispiel für ihn zu rechnen, denn die Erklärung des Lösungsverfahrens
ist doch reichlich
unbefrie- .
digend und läßt darauf schließen, daß er nicht so recht wußte, wie man
systematisch auf die Lösung
.
kommt [RiessingerL1] . .
| |
(Das Lösen von Gleichungssystemen kommt im Kapitel „Reelle Matrizen“).
.
0/1/1/1/2 .
Bestimmungsgleichungen können unterteilt werden in
Beispiel 2 - 3:
Algebraische Gleichungen .
.
.
.
Beispiel 2 - 4:
Transzendente Gleichungen .
.
.
.
.
Ein weiterer Typ von Gleichungen sind die
Auf der rechten Seite stehen Ausdrücke der unabhängigen
Variablen (meist mit
bezeichnet), auf der linken Seite steht die abhängige Variable (meist mit
bezeichnet). .
0/1/1/2
Algebraische Rechenoperationen:
In algebraischen Termen werden nur
algebraische Rechenoperationen durchgeführt.
.
.
.
| mit | = | Koeffizienten (beliebige Werte, auch transzendent) |
| = | Grad | |
|
|
Fundamentalsatz der Algebra
: .
Jede algebraische Gleichung von Grad
hat genau
(reelle oder komplexe) Lösungen. .
0/1/1/3
Äquivalenz kann alternativ so formuliert werden:
Definitionsmenge und Lösungsmenge äquivalen- .
ter Terme stimmen überein.
Elementare Äquivalenzumformungen :
| = | = | . | ||||
| |
| |
|||
| = | . | ||
| = | . | ||
| |
| = | = | |||||||
| = | = | |||||||
| |
| |
Substituiere mit: | ||||
| |
Rücksubstitution: | ||||
| |
|||||
| |
.
.
Beispiel 2 - 5
.
| (mit ) | |||
| |
.
Beispiel 2 - 6
. .
| 1. Ansatz (schlecht): | |||
| mit | |||
| Keine Äquivalenzumformung!! | |||
| |