0

0/1

2 Gleichungen

0/1/4

2.4 Ungleichungen

0/1/4/0

Während bei Gleichungen zwei Terme mit dem Gleichheitszeichen verknüpft werden, werden mit .
Ungleichungen Größenvergleiche formuliert und untersucht. Jede Ungleichung besteht aus zwei .
Termen, die durch eines der Vergleichszeichen .
< (Kleinerzeichen), .
(Kleinergleichzeichen), .
(Größergleichzeichen) oder .
> (Größerzeichen) verbunden sind. .
0/1/4/1

2.4.1 Äquivalenzumformungen

Die Regeln der Äquivalenzumformungen bei Gleichungen gelten bei Ungleichungen nur mit wesentlichen Einschränkungen. .

0/1/4/2

2.4.2 Bestimmen der Lösungen

0/1/4/2/0

Meist hilft der folgende Weg: Man bringt alle Glieder auf eine Seite und ersetzt zunächst das Relationszeichen durch das Gleichheitszeichen. Ist diese neue Funktion stetig, bestimmt man einfach die Nullstellen der Gleichung und unterteilt entsprechend in diese Intervalle. Nun setzt man dann -analog zu Betragsgleichungen- im jeweiligen Intervall einen geeigneten x-Wert ein: Ist die Relation für diesen x-Wert erfüllt, so ist dieses Intervall Teil der Lösungsmenge. .
Weist die Funktion Unstetigkeitsstellen auf, muss man an diesen Stellen jeweils in weitere Invervalle unterteilen und je Intervall die Betrachtung anstellen. .
0/1/4/2/1 .
Beispiel 2 - 14
(x - 5) (x - 3) (x - 2) x (x - 1) 0 oder .
x5 - 11 * x4 + 41 * x3 - 61 * x2 + 30 * x 0 .


PIC .

Abbildung 1: x5 - 11 * x4 + 41 * x3 - 61 * x2 + 30 * x

.

Die Nullstellen sind: 5, 3, 2, 0,-1. .
Wählt man nun für x = 6, 4, 2.5, 1,-0.5,-2, so erkennt man schnell die Intervalle: .
- 1 x 0 .
2 x 3 .
5 x. .

.
0/1/4/2/2

0/1/4/3

2.4.3 Betragsungleichungen

0/1/4/3/0

Durch Fallunterscheidung wird wie bei den Betragsgleichungen in Bereiche unterteilt. Der weitere Lösungsweg geht wie oben beschrieben. .
0/1/4/3/1 .
Beispiel 2 - 15
|2x - 1| > x .

Zunächst: Betrachtung der Gleichung |2x - 1| = x .
Untervallunterteilung (Zahlenstrahl !): x = 1 2 .
Fallunterscheidungen:

Int. 1 2



x < 1 2x 1 2



2x - 1 < 0 0



Gl. - 2x + 1 = x2x - 1 = x
3x = 1
x = 1 3x = 1




Jetzt: Betrachtung der Intervalle .
.




1.x < 1 3Einsetzen von z.B. x = 0 erfüllt Relation. .



2. 1 3 < x < 1 2Einsetzen von z.B. x = 0, 4 erfüllt Relation nicht. .



3. 1 2 x < 1Einsetzen von z.B. x = 0, 7 erfüllt Relation nicht. .



4. x > 1Einsetzen von z.B. 2 erfüllt Relation. .



.
.
L1 = {x |x < 1 3}, .
L2 = {x |x > 1}, .
L = L1 L2 = {x |x < 1 3,x > 1} .
Zeichnen mit Maple: .
.
plot([abs(2*x-1),x],x=-10..10,y=-1..20) .
.
oder Maxima: .
.
plot2d([abs(2*x-1),x],[x,-5,5]); .
.

.
0/1/4/3/2

0/1/4/3/3 .
Beispiel 2 - 16
|x + 3| + |x + 4| < 9 .

Fallunterscheidungen:

Int. 1 2 3
x < -4 - 4 x < -3x -3




x+3 <0 <0 >0
x+4 <0 >0 >0




Gl. - (x + 3) - (x + 4) < 9- (x + 3) + (x + 4) < 9(x + 3) + (x + 4) < 9
- x - 3 - x - 4 < 9- x - 3 + x + 4 < 9x + 3 + x + 4 < 9
- 2x - 7 < 91 < 92x + 7 < 9
x > -8 erfüllt im x < 1
ganzen Intervall

L1 = {x |- 8 < x < -4}, .
L2 = {x |- 4 x < -3}, .
L3 = {x |- 3 x <}, .
L = L1 L2 L3 = {x |- 8 < x < 1}} .

alternativ mit Maple: .
solve(abs(x+3)-abs(x+4)<9,x) .

.
0/1/4/3/4

0/1/4/3/5 .
Beispiel 2 - 17
Stellen Sie die Ungleichung 0 < x < 10 in eine Betragsgleichung um .

- a < x + b < a .
.
Links und rechts muss der gleiche Betrag, aber mit unterschiedlichen Vorzeichen stehen .
- 5 < x - 5 < 5 .
|x - 5| < 5 .
.
0/1/4/3/6

0/1/4/3/7 .
Beispiel 2 - 18
(x + 1)2 |x| .

Betragszeichenauflösung: .
.
Intervall I: x 0 .
(x + 1)2 x .
x2 + 2x + 1 x x2 + x + 1 0 L =

Intervall II: x < 0 .
(x + 1)2 < -x .
x2 + 2x + 1 < -x .
x2 + 3x + 1 0 .
= 0 setzen: .
x1 = -3 2 -1 25 .
x2 = -3 2 + 1 25 .
Wie vor Intervalle untersuchen: .
L = x|-3 2 -1 25 x -3 2 + 1 25 .
Zeichnung mit Maple: .


PIC .

Abbildung 2: Betragsungleichung (x + 1)2 |x|

plot([(x + 1)2,abs(x)],x = -5..5,y = -0..10) .

.
0/1/4/3/8

0/1/4/4

2.4.4 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .