. 0/15/1/7
0/15/1/8
16.2.7 Übungen
Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .
0/15/1/9
16.2.8 Orthogonale Matrix
0/15/1/9/0
Ensteht aus dem Produkt einer n-reihigen Matrix
und ihrer
Transponierten
eine Einheitsmatrix , so heißt die Matrix
orthogonal. Es gilt: . . .
. Damit ist oder
.
Dann gilt auch: .
Multipliziert man nun auf beiden Seiten von links mit der inversen Matrix
, so
erhält man: und
weiter
Damit ist .
. Das heißt, eine Orthogonale Matrix geht bei der Transposition in ihre inverse über. Dann gilt
auch: .
Eigenschaften einer orthogonalen Matrix
-
1.
- Die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren einer orthogonalen Matrix
bilden ein orthonormiertes System, stellen also zueinander orthogonale Einheitsvektoren
dar (daher auch ihr Name)
-
2.
- Die Determinante einer orthogonalen Matrix
besitzt den Wert
oder :
Eine orthogonale Matrix ist daher stets regulär (der Umkehrschluß darf daraus nicht
gezogen werden).
-
3.
- Bei einer orthogonalen Matrix
sind die Transponierte
und die Inverse
identisch: .
.
Beispiel für eine orthogonale Matrix: 0/15/1/9/1 . Beispiel 16 - 151
.
. Mit
muss gelten: . . .
.
.
. 0/15/1/9/2
0/15/1/10
16.2.9 Rang einer Matrix
0/15/1/10/0
Zunächst wird der Begriff der Unterdeterminante auf nicht quadratische Matrizen ausgedehnt, indem
man einfach eine oder mehrere Zeilen oder Spalten streicht, bis man eine quadratische
pxp-Matrix erhält, von der dann die Unter-Determinante p-ter Ordnung gebildet werden kann.
Beispiel 16 - 152:
. hat die Unterdeterminanten . . ,
und
, . aber auch sechs einreihige Unterdeterminanten: ,
,
,
,
,
.
Bildet man nun von einer Matrix alle möglichen Unterdeterminanten und betrachtet beginnend von
der höchsten Ordnung deren Werte, so ergibt die Ordnung der ersten Determinante, die verschieden
von Null ist, den Rang dieser Matrix.
Der
Rang einer Matrix ist die höchste Ordnung aller von Null verschiedenen Unterdeterminanten von
A.
Bestimmung des Rangs einer Matrix :
Ist ,
vertauscht man einfach m und n. Der Rang der Matrix ist höchstens n.
-
1.
- man beginnt mit der höchsten Ordnung m
-
2.
- man bildet die Unterdeterminanten der Ordnung m
-
3.
- Ist eine dieser Unterdeterminanten verschieden von Null ?
Wenn ja,
Ende
-
4.
- anderenfalls reduziert man
um 1 und geht zu Schritt 2
. Alternativ: . Man formt die Matrix um in Richtung Dreiecksgestalt. Die Anzahl der Nicht-Nullzeilen gibt den Rang
der Matrix an. . . Der Rang einer Matrix
ändert sich bei den folgenden Umformungen nicht:
-
1.
- Vertauschen zweier Zeilen (oder Spalten)
-
2.
- Multiplikation oder Division einer Zeile oder Spalte mit einer beliebigen, von Null
verschiedenen Zahl
-
3.
- Addition eines Vielfachen einer anderen Zeile oder Spalte zu einer Zeile bzw. Spalte.
0/15/1/10/1 . Beispiel 16 - 152
Rang der Matrix . .
.
. ,
.
Wegen m = 2 ist .
Prüfen, ob : Finde
eine Unterdeterminante
mit .
.
.
. Alternativ: .
.
. 0/15/1/10/2
0/15/1/10/3 . Beispiel 16 - 153
Rang der Matrix .
.
. Erster Versuch: Streichen der ersten Spalte: . . .
Zweiter Versuch: Streichen der zweiten Spalte: .
.
Dritter Versuch: Streichen der dritten Spalte: . .
Vierter Versuch: Streichen der vierten Spalte: . .
Der Rang kann höchstens noch zwei sein. Erste Zeile und erste und beide Spalte streichen ergibt .
. .
Der Rang ist also .
. . Alternativ: . . .
.
. 0/15/1/10/4 Man kann zeigen: . Für jede Matrix
ist die maximale Anzahl unabhängiger Zeilenvektoren gleich der Anzahl
unabhängiger Spaltenvektoren. Diese maximale Anzahl heißt Rang einer Matrix
.
0/15/1/11
16.2.10 Anwendungen auf Lineare Gleichungssysteme
Wie bereits gezeigt, kann das lineare Gleichungssystem geschrieben werden als
mit den Koeffizienten
und den Absolutgliedern
(Konstanten):
.
| | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | |
| | | | |
| |
| | | | mit | und |
| |
. . Das lineare Gleichungssystem heißt homogen, wenn
ist, d.h. wenn alle
Absolutglieder verschwinden:
. Ist mindestens ein Absolutglied von Null verschieden, so ist das Gleichungssystem inhomogen. .
Für
hat man ein quadratisches Gleichungssystem vor sich.
0/15/1/12
16.2.11 Lösungsverhalten eines linearen (m,n)-Gleichungssystems
0/15/1/12/0
Das Lösungsverhalten eines linearen (m,n)-Gleichungssystems wird durch die
Homogenität/Inhomogenität des Gleichungssystems entscheidend geprägt:
-
1.
- Inhomogenes lineares Gleichungssystem
Das System besitzt entweder genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen oder
überhaupt keine Lösung.
-
2.
- Homogenes lineares Gleichungssystem
Das System besitzt entweder genau eine Lösung, nämlich die triviale Lösung ,
oder unendlich viele Lösungen (darunter die triviale Lösung).
Ein gegebenes Gleichungssystem
| | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | |
| | | | |
| |
kann man durch äquivalente Umformungen in ein gestaffeltes Gleichungssystem der Form
| | | | | | | |
| | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | |
| | | | | | | | |
| | | | | | | | |
| | | | | | | | |
| |
überführen. 0/15/1/12/1
0/15/1/12/2
. In Matrixschreibweise : wird durch äquivalente
Umformungen in
überführt.
.
. .
Damit das Gleichungssystem lösbar ist, muss die erweiterte Koeffizientenmatrix
die
spezielle Form
.
. annehmen. Sowohl die Matrizen
als auch
sind von trapezförmiger Gestalt und enthalten in den letzten (m-r) Zeilen nur Nullen. Sie stimmen
daher mit ihrem Rang überein: .
Da die erweiterten Matrizen
und
durch äquivalente Umformungen / elementare Zeilenumformungen ineinander übergegangen sind,
sind die korrespondierenden Matrizen ebenso ranggleich.
Dann gilt jedoch: Ein lineares (m,n)-System
ist nur dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatric
mit dem Rang der erweiterten
Koeffizientenmatrix
übereinstimmt:
(
Fallunterscheidungen
-
1.
- Fall:
Das gestaffelte System
besitzt für r =n die quadratische Form:
| | | | | |
| | | | | | |
| | | | ⋮ | | ⋮ | | | | | | | |
| |
.
In Matrixschreibweise : .
. Nun kann man durch Rückwärtseinsetzen die Werte für
bestimmen. Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung
-
2.
- Fall:
Das gestaffelte System hat
rechteckige Gestalt für
| | | | | | | |
| | | | | | | | |
| | | | | ⋮ | | | ⋮ | | | | | | | | | |
| |
. . Damit haben wir mehr Unbekannte als Gleichungen:
. Davon sind
der Unbekannten,
z.B.
frei wählbare Größen (Parameter). Durch Rückwärtseinsetzen erhält man die unendlich vielen Lösungen des gestaffelten
Systems, die dann durch die Parameter ausgedrückt werden.
Zusammenfassung: Ein Lineares Gleichungssystem ist nur lösbar, wenn Koeffzientematrix
und erweiterte
Matrix
ranggleich sind:
Im Falle der Lösbarkeit besitzt das lineare Gleichungssystem die folgende Lösungsmenge: Für :
Genau eine Lösung Für :
Unendlich viele Lösungen In einem homogenen System
ist die Lösbarkeitsbedingung
stets erfüllt.
.
0/15/1/12/3 . Beispiel 16 - 154
Das Gleichungssystem
| | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| |
. ist nicht lösbar: Der Rang der Koeffizientenmatrix . .
beträgt 2, da z.B. die Determinante .
.
Die Erweiterte Koeffizientenmatrix
ist quadratisch und sogar regulär: . .
Damit ist ,
das Gleichungssystem ist nicht lösbar. .
. 0/15/1/12/4 .
0/15/1/12/5 . Beispiel 16 - 155
Das Gleichungssystem
| | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| |
hat genau eine Lösung: .
.
.
.
.
.
.
Daraus folgt: .
. Aus dem gestaffelten System kann man das Ergebnis ablesen: . .
.
. .
. 0/15/1/12/6 .
0/15/1/12/7 . Beispiel 16 - 156
Das Gleichungssystem
| | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| |
. ist lösbar und hat unendlich viele Lösungen: .
.
.
.
Daraus folgt: .
. Da ,
besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. .
. 0/15/1/12/8
0/15/1/13
16.2.12 Übungen
Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .
0/15/1/14
16.2.13 Lösung linearer Gleichungssysteme mit der Cramer’schen Regel
0/15/1/14/0
Ein lineares (n,n)-Gleichungssystem
besitzt genau eine Lösung, wenn die Koeffizientenmatrix
regulär ist. Dann
existiert auch die zu
inverse Matrix ,
und die Lösung läßt sich wie folgt berechnen: Man multipliziert die Matrizengleichung
von links mit
:
Damit wird der Lösungsvektor
,
. oder in komponentenweiser Darstellung:
⋮ ⋮
.
Den Zähler kann man auch schreiben als Determinante:
,
. was sich sofort verifizieren läßt, indem man einfach diese Determinante nach den Elementen der
ersten Spalte entwickelt. Mit der Vereinbarung
kann man dann vereinfacht schreiben: bzw.
,
was als Cramer’sche Regel bekannt ist. Die Cramer’sche Regel scheint zwar einfach anwendbar, ist aber in der Regel ineffizient, insbesondere
bei größeren Zahlen von m und n. . 0/15/1/14/1 . Beispiel 16 - 157
Das Gleichungssystem
| | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| |
. hat genau eine Lösung, da die Koeffizientendeterminante . ist. .
.
Anwendung der Cramer’schen Regel: .
.
.
.
Daraus folgt: . .
. .
. . .
. 0/15/1/14/2
0/15/1/15
16.2.14 Auswirkungen von Rundungsfehlern
Die bisher aufgeführten Verfahren
- Gaußsches Verfahren
- Gauß-Jordan-Verfahren
- Cramer’sche Regel
bergen die Gefahr von Rundungsfehlern. Beispiel 16 - 158:
Das Gleichungssystem
hat als
Lösung. Lag nun beispielsweise ein Rundungsfehler vor, ,
erhält man als Lösung ,
was deutlich von der ersten Lösung abweicht. Sind die Rundungseffekte noch stärker,so erhält man ,
mit unendlich vielen Lösungen ,
was nochmals deutlich von der ersten Lösung abweicht.
Wenn sehr kleine Veränderungen der Werte solch große Auswirkungen auf die Lösungen haben,
spricht man von einem schlecht konditioniertem Gleichungssystem. Bei dem Gleichungssystem
tritt dies beispielsweise nicht auf, das Gleichungssystem ist gut konditioniert. Ein Runden
ergibt ,
und man erhält als Lösung .
Bei Anwendung des Gauß-Verfahrens erhält man jedoch
und daraus .
Rundet man diesen Wert auf 1, so ergibt sich aus der ersten Gleichung ,
also eine Lösung
und nicht
wie erwartet. Der Fehler ließe sich durch entsprechende Umstellung vermeiden, indem man z.B. die
Variablen vertauscht:
was zu den Gleichungen führt:
und daraus nach Rundung das Ergebnis .
Indem man die Diagonalelemente durch Umstellung möglichst groß macht (Pivotisieren), läßt sich
dieser Effekt meist reduzieren.
|