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Beispiel 17 - 1:
Sie wohnen auf einer recht einsamen Insel. Auf dieser Insel gibt es nur einen Getränkeanbieter mit zwei
Getränkesorten und
. Der Anbieter hat festgestellt, daß
pro Jahr 15 % der -Konsumenten
zu und
4 % von zu
wechseln. .
Das Konsumentenverhalten kann man graphisch so darstellen: .
0/16/0/0/1
0/16/0/0/2 .
Bezeichnet man den Absatz des Getränks
bzw. in diesem
Jahr mit und
im Folgejahr mit
bzw.
und ,
kann man die Gleichungen aufstellen: .
.
.
Geht man über zur Matrixschreibweise, ergibt sich der Getränke-(Spalten-)vektor im Folgejahr als Produkt der
Übergangsmatrix
mit dem Getränke-(Spalten-)vektor des Vorjahres: .
.
.
.
. .
Für einen Anfangs-Absatz von .
.
.
Fässern erhält man im Folgejahr einen Verkauf von .
.
.
Fässern. .
.
Im Folgejahr (gleiches Wechselverhalten vorausgesetzt) ergibt sich ein Verkauf von .
.
.
Fässern. .
.
Interpretiert man den jährlichen Verkauf von Getränkefässern als Beobachtung und die
Wechselraten als (feste) ’Wahrscheinlichkeiten’, so können wir bei bekannten Verkaufszahlen eines
Jahres auf die Verkaufszahlen im Folgejahr schließen. .
Derartige Prognosemodelle, die mit der Verkettung von Wahrscheinlichkeiten operieren, nennt man
Markoff’sche Ketten : Jede Beobachtung ist nur von einer oder von einer beschränkten Anzahl
vorhergehender Beobachtungen abhängig. .
0/16/0/1
0/16/0/1/0
In Analogie zu obigem Getränkebeispiel soll die Populationsentwicklung einer Schwalbenherde
betrachtet werden. Bekannt seien die (jährliche) Existenzwahrscheinlichkeit von Küken (K)
(im Folgejahr sind nur noch drei Viertel übrig) sowie Erwachsener (E) von
. Jährlich wird die Hälfte
der Küken erwachsen (),
und jährlich gebären die erwachsenen Schwalben 1.3-fachen Nachwuchs
(). .
Im Leslie-Diagramm werden die Übergangswahrscheinlichkeiten an den Pfeilen eingetragen. Ist eine
Übergangswahrscheinlichkeit Null, so kann der Pfeil weggelassen werden. .
0/16/0/1/1
0/16/0/1/2 Nun seien in einem Bestand 30 Erwachsene und 60 Küken. Wie
groß ist der Bestand nach einem bzw. 2 Jahren ? .
Derartige Übergangsmatrizen (sie sind analog zu oben) werden in der theoretischen Ökologie zur
Beschreibung von Populationen genutzt und wurden von P. H. Leslie formuliert. Hat man Daten
über
Altersklassen, dann ist die Leslie-Matrix vomn Typ
x.
.
In unserem Beispiel lautet sie: .
. .
.
.
Für das Folgejahr ist die Population: .
.
.
0/16/0/2
Gegeben sei folgende Leslie-Matrix: .
.
. .
.
Für einen Populationsvektor .
ergibt sich im Folgejahr .
.
Für einen anderen Populationsvektor .
.
ergibt sich im Folgejahr .
.
.
Das heißt, der Populationsvektor kann aus dem ursprünglichen Vektor durch Multiplikation .
mit 1.6 erzeugt werden. Wenn das Produkt einer Matrix
mit einem Vektor
das Gleiche ergibt wie die
Multiplikation des Vektors
mit
einer Zahl , nennen wir diesen
Vektor Eigenvektor . Die Zahl
bezeichnet man als Eigenwert . .
Wie findet man die Eigenwerte und Eigenvektoren ? .
Wir gehen von folgendem Ansatz aus:
.
Ergänzt um die Einheitsmatrix
.
.
Diese Gleichung ist für von Null verschiedene Vektoren
dann
erfüllt, wenn .
. .
.
Lösungen sind
und . .
Die Eigenvektoren erhält man nun, indem man das Gleichungssystem .
jeweils für die
Werte von
und
löst. .
Für
ergibt sich: .
.
.
Für erhält man
unendlich viele Lösungen:
.
Sind nun die Populationsgrößen Eigenvektoren der Leslie-Matrizen, so kann man die
Folgepopulationen einfach durch (ggf. mehrfache) Multiplikation des Eigenwerts mit dem Vektor
bestimmen: .
. .