0

0/13

14 Einführung in die Integralrechnung

0/13/0

0/13/1

14.1 Stammfunktionen

0/13/1/0

14.1.1 Ableitung und Stammfunktion

Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion zu f(x), wenn F′(x) = f(x) gilt. .
Ist F(x) eine Stammfunktion zu f(x), so ist auch F(x) + C eine Stammfunktion zu f(x). .
C ist dabei eine beliebige reelle Konstante. .
Es gibt zu jeder stetigen Funktion f(x) unendlich viele Stammfunktionen. .
Die Differenz zweier Stammfunktionen zu einer stetigen Funktion f(x) ergibt eine Konstante: .
F1(x) - F2(x) = const. .
Beispiel 14 - 2: .

f(x)= cos x
F(x)= sin x + C
.
Beispiel 14 - 3: .
F′(x)=f(x)=ex + 1 1+x2
F(x)=ex + arctan x + C
.

0/13/2

14.2 Integration

0/13/2/0

14.2.1 Definition des Integrationsbegriffs

0/13/2/0/0

y = f(x)

Differentiation →�
Integration
y′ = f′(x) .
Das Aufsuchen sämtlicher Stammfunktionen F(x) zu einer vorgegebenen Funktion y = f(x) wird als Integration bezeichnet. .
f(x) →IntegrationF(x), mit F′(x) = f(x)
F(x) =∫ f(x) dx
.
.

Gesucht ist bei den folgenden Beispielen die Stammfunktion von f(x) bei ∫ f(x) dx .
Beispiel 14 - 4: .

∫ 2x dx =x2 + C
.
0/13/2/0/1 .
Beispiel 14 - 101
∫ sin x dx =

.

∫ sin x dx = - cos x + C

.
0/13/2/0/2 .
Beispiel 14 - 102
∫ x2 dx =

.

∫ x2 dx = 1 3 ⋅ x3 + C

.
0/13/2/0/3 Mit Maxima läßt sich die Stammfunktion bestimmen .
mittels integrate(sin(x),x);. .
Mit Maple gelingt dies mittels ∫ sin(x)dx (Achtung: Palette benutzen !) oder über int(sin(x),x).

0/13/2/1

14.2.2 Das bestimmte Integral als Flächeninhalt

0/13/2/1/0

Beispiel 14 - 103: Für die Funktion y = x2 soll die Fläche zwischen 1 und 2 berechnet werden. .
0/13/2/1/1


PIC .

Abbildung 1: Flächenbestimmung unter einer Kurve

0/13/2/1/2 .

Näherungsweise läßt sich diese Fläche als Untersumme sowie als Obersumme bestimmen. Existiert nun der Grenzwert .
lim x→0 ∑ k=1nf(x k)Δxk, .
so bezeichnet man ihn als das bestimmte Integral der Funktion f(x) .
in den Grenzen von x = a bis x = b. .
.
Es wird durch das Symbol ∫ abf(x)dx gekennzeichnet. .

0/13/2/2

14.2.3 Unbestimmtes Integral und Flächenfunktion

0/13/2/2/0

Hält man bei dem bestimmten Integral die untere Grenze fest und macht die obere Grenze variabel, so hängt der Integralwert nur noch von der oberen Grenze ab: 0/13/2/2/1 EndIsUnit


PIC .

Abbildung 2: Flächenfunktion

0/13/2/2/2 F(x) = ∫ axf(t)dt .

1.
Die Funktion F(x) wird als unbestimmtes Integral von f(t) bezeichnet, da die obere Grenze unbestimmt ist. Es repräsentiert den Flächeninhalt zwischen der Funktion y = f(t) und der t-Achse im Intervall a ≤ t ≤ x in Abhängigkeit von der oberen Grenze x.
2.
Zu jeder stetigen Funktion f(t) gibt es unendlich viele unbestimmte Integrale, die sich in ihrer unteren Grenze voneinander unterscheiden.
3.
Die Differenz zweier unbestimmter Integrale F1(x) und F2(x) ist eine Konstante.

0/13/2/3

14.2.4 Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

0/13/2/3/0

Vergrößert man die obere Grenze x im Integral F(x) = ∫ axf(x)dx um Δx, so wächst der Flächeninhalt um ΔF = F(x + Δx) - F(x): .
0/13/2/3/1


PIC .

Abbildung 3: Variation der oberen Integrationsgrenze

0/13/2/3/2 .
Zwischen den Flächeninhalten besteht also die Beziehung .
.
f(x) ⋅ Δx ≤ ΔF ≤ f(x + Δx) ⋅ Δx, .
.
und nach Division durch Δx: .
.
f(x) ≤ΔF Δx ≤ f(x + Δx). .
.
Bildet man den Grenzübergang Δx → 0: .
.

lim Δx→0f(x) ≤ lim Δx→0ΔF Δx ≤ lim Δx→0f(x + Δx), .
.
so wird mit lim Δx→0ΔF Δx = F′(x) .
.
und mit lim Δx→0f(x) = lim Δx→0f(x + Δx) = f(x) : .
.
f(x) ≤ F′(x) ≤ f(x) und damit F′(x) = f(x). .
.
Dies führt zum Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung:
Jedes unbestimmte Integral F(x) = ∫ axf(x)dx ist eine Stammfunktion zu f(x): .
F(x) = ∫ axf(x)dx ⇒ F′(x) = f(x) .
0/13/2/3/3 .
Beispiel 14 - 103
Gegeben sei die Funktion f(x) = e(x+1 x)

1.
Bestimmen Sie f′(x)
2.
Berechnen Sie ∫ f′(x) dx

.

1.
f′(x) = e(x+1 x) ⋅ (1 - 1 x2 ) = e(x+1 x) -e(x+1 x) x2 .
2.
∫ f′(x) dx = e(x+1 x) + C .

.
0/13/2/3/4

0/13/2/4

14.2.5 Grundintegrale
∫ 1 x2 + 1 dx = arsinhx + C = ln |x + x2 + 1| + C
∫ 1 x2 - 1 dx = arcoshx + C = ln |x + x2 - 1| + C (für |x| > 1)
∫ 1 1 - x2  dx = artanhx + C1 = 1 2 â‹… ln(1 + x1 - x) + C1 für |x| < 1 arcothx + C2 = 1 2 â‹… ln(1 + xx - 1) + C2 für |x| > 1






∫ xn dx = xn+1 n + 1 + C ∫ 1 x dx = ln |x| + C
(gilt für n≠ - 1 )






∫ ex dx = ex + C ∫ax dx =ax ⋅ 1 ln a + C






      
∫ sin x dx = - cos x + C ∫ cos x dx = sin x + C






∫ 1 cos 2 x dx = tan x + C ∫ 1 sin 2 x dx =- cot x + C






      
∫ 1 1 - x2 dx = arcsin x + C1 - arccos x + C2 ∫ 1 1 + x2  dx = arctan x + C1 - arccotx + C2






      
∫ sinh x dx = cosh x + C ∫ cosh x dx = sinh x + C






∫ 1 cosh 2 x dx = tanh x + C ∫ 1 sinh 2 x dx =- coth x + C






      






      






      






.

0/13/3

14.3 elementare Integrationsregeln

0/13/3/0

14.3.1 Faktorregel

0/13/3/0/0

Ein konstanter Faktor darf vor das Integral geschrieben werden: .
∫ a ⋅ f(x) dx = a ⋅∫ f(x) dx .

Beispiel 14 - 104: .
∫ 4x3 dx = 4 ⋅∫x3 dx = 4 4x4 + C .
0/13/3/0/1 .
Beispiel 14 - 104
∫ 2 x dx = .

∫ 2 x dx = 2 ⋅∫ 1 x dx = 2 ⋅ ln |x| + C .

.
0/13/3/0/2 .
Beispiel 14 - 105
∫ 3 ⋅ 3x dx =

.

∫ 3 ⋅ 3x dx = 3 ⋅∫ 3x dx = 3 ⋅ 3x ⋅ 1 ln |3| + C .
.
0/13/3/0/3

0/13/3/0/4 .
Beispiel 14 - 106
∫ 4x+2 dx =

.

∫ 4x+2 dx = 42 ⋅∫ 4x dx = 42 ⋅ 4x ln |4| + C
.
0/13/3/0/5 .
Beispiel 14 - 107
∫ 2 ⋅ cos x dx =

.

∫ 2 ⋅ cos x dx = 2 ⋅∫ cos x dx = 2 ⋅ sin x + C
.
0/13/3/0/6 .
Beispiel 14 - 108
∫ -2 cos 2x dx =

.

∫ -2 cos 2x dx = -2 ⋅∫ 1 cos 2x dx = -2 ⋅ tan x + C
.
0/13/3/0/7

0/13/3/0/8 .
Beispiel 14 - 109
∫ -3 sin 2x dx =

.

∫ -3 sin 2x dx = 3 ⋅∫ -1 sin 2x dx = 3 ⋅ cot x + C
.
0/13/3/0/9

0/13/3/1

14.3.2 Summenregel

0/13/3/1/0

Eine endliche Summe von Funktionen darf gliedweise integriert werden: .
∫ f1(x) + f2(x) + .... + fn(x) dx = ∫ f1(x) dx + ∫ f2(x) + … + fn(x) dx .
bzw. .
∫ ∑ i=1nf i(x) dx = ∑ i=1n∫f i(x) dx .

Beispiel 14 - 110: .
∫ (x2 + 2x + 1) dx = ∫x2 dx + ∫ 2x dx + ∫ 1 dx = 1 3x3 + x2 + x + C .
0/13/3/1/1 .
Beispiel 14 - 110
∫ 2x -1 x  dx =

.

∫ 2x -1 x  dx = ∫ 2x dx -∫ 1 x dx = x2 - ln |x| + C
.
0/13/3/1/2 .
Beispiel 14 - 111
∫ (ex + 2x+2) dx =

.

∫ (ex + 2x+2) dx = ∫ex dx + ∫ 2x ⋅ 22 dx = ex + 22 ⋅ 2x ⋅ 1 ln |2| + C

.
0/13/3/1/3 .
Beispiel 14 - 112
∫ (sin x + cos x) dx =

.

∫ (sin x + cos x) dx = ∫ sin x dx + ∫ cos x dx = - cos x + sin x + C
.
0/13/3/1/4 .
Beispiel 14 - 113
∫ 5 cos 2x - 5 sin 2x + x2  dx = ∫ 5 cos 2x dx -∫ 5 sin 2x dx + ∫ x2 dx

.

∫ 5 cos 2x - 5 sin 2x + x2  dx = ∫ 5 cos 2x dx -∫ 5 sin 2x dx + ∫ x2 dx .
= 5 ⋅∫ 1 cos 2x dx - 5 ⋅∫ 1 sin 2x dx + ∫ x2 dx = 5 ⋅ tan x + 5 ⋅ cot x + 1 3x3 + C
.
0/13/3/1/5

0/13/3/2

14.3.3 Vertauschungsregel

Das Vertauschen von Integrationsgrenzen bewirkt einen Vorzeichenwechsel des Integrals:
∫ abf(x) dx = -∫ baf(x) dx

0/13/3/3

14.3.4 Zusammenfallen der Integrationsgrenzen

Fallen die Integrationsgrenzen zusammen, so ist der Integralwert gleich Null: .
∫ aaf(x) dx = 0 .

0/13/3/4

14.3.5 Zerlegen des Integrationsintervalls in Teilintervalle

Für jede Stelle c aus dem Integrationsintervall a ≤ c ≤ b gilt : .
∫ abf(x) dx = ∫ acf(x) dx + ∫ cbf(x) dx .

0/13/4

14.4 Integrationsmethoden

0/13/4/0

14.4.1 Integration durch Substitution

0/13/4/0/0

Versucht man, das Integral ∫ x â‹… cos(x2)dx zu lösen, gelingt dies durch die Substitution mit einer Hilfsvariablen u = x2. .
u = x2 ⇒du dx = 2x ⇒ dx = du 2x. .
Ersetzt man nun x2 und dx im Integral durch u bzw. du, so erhält man ein elementar lösbares Integral: .
∫ x ⋅ cos(x2)dx = ∫x ⋅ cos u ⋅du 2x = 1 2 ⋅∫ cos udu = 1 2 ⋅ sin u + C. .
Rücksubstitution ergibt: .
∫ x ⋅ cos(x2)dx = 1 2 ⋅ sin(x2) + C. .
Generelle Vorgehensweise:

1.
Aufstellung der Substitutionsgleichungen .
u = g(x), du dx = g′(x),dx = du g′(x)
2.
Durchführung der Substitution durch Einsetzen .
∫ f(x)dx = ∫ φ(u)du.
3.
Integration .
∫ φ(u)du = Φ + C.
4.
Rücksubstitution (s.o.)

0/13/4/0/1 .
Beispiel 14 - 114
∫ (2x - 3)6dx .

u = 2x - 3 .
.
dudx = 2,     dx = du 2 .

∫ u6du 2 = 1 14u7 + C = 1 14(2x - 3)7 + C .
.

.
0/13/4/0/2 .
Beispiel 14 - 115
∫ e4x+2dx .
u = 4x + 2 .
.
dudx = 4,     dx = du 4 .

∫ eudu 4 = 1 4eu + C = 1 4e4x+2 + C .
.

.
0/13/4/0/3 .
Beispiel 14 - 116

∫ sin x ⋅ cos xdx .

u = sin x .
.
dudx = cos x .
dx = du cos x .

∫ u ⋅ cos x du cos x = ∫ udu = 1 2u2 + C = 1 2 sin 2x + C .
.

.
0/13/4/0/4 .
Beispiel 14 - 117
∫ r2 - x2dx .
x = r â‹… sin u .
.
xr = sin u .
u = arcsin(xr) .
dx = r â‹… cos udu .
r2 - x2 = r â‹… cos u .
∫ r2 - x2dx = ∫ r2 cos 2udu .
= r2 ∫1 2(1 + cos(2u))du .
= 1 2r2[∫ 1du + ∫(cos(2u))du] .
.
Substitution: 2u = v .
dv du = 2 .
du = dv 2: .
.

12r2[∫ 1du + ∫(cos(2u)du] .
.
= 1 2r2[u + ∫ cos vdv 2 ] .
.
= 1 2r2[u + 1 2 sin v] .
.
= 1 2r2[arcsin(x) + 1 2 sin(2arcsin(x))] .
.

.
0/13/4/0/5 .
Beispiel 14 - 118
x 4-x2dx .
x = 2 â‹… sin u .
.
dx = 2 â‹… cos udu .
∫ 2 sin u 4 - 4 sin 2 u ⋅ 2 cos udu .
.
= ∫ 2 sin u ⋅ 2 cos u 21 - sin 2 u du .
.
= ∫ 2 sin u ⋅ cos u cos udu .
.
= ∫ 2 sin udu .
= -2 cos u + C .

= -21 - sin 2 u + C .
.
= -21 - (x2 )2 + C .

.
0/13/4/0/6

0/13/4/1

14.4.2 Partielle Integration

0/13/4/1/0

Beim Integral ∫ f(x) wird f(x) in ein Produkt aus

zerlegt, d.h. ∫ f(x) dx = ∫ u(x) ⋅ v′(x) dx

Beispiel 14 - 119: .
∫ x↑u(x) ⋅ex ↑v′(x) dx

Dieses Integral lässt sich wie folgt darstellen: .
∫ f(x) dx = ∫ u(x) ⋅ v′(x) dx = u(x) ⋅ v(x) -∫u′(x) ⋅ v(x) dx

Das Verfahren ist hilfreich, wenn die Stammfunktion von v′(x) ⇒ v(x) einfach zu bestimmen ist. Dann ist das Integral ∫ u′(x) â‹… v(x) dx elementar lösbar.

Erklärung:
∫ u(x) ⋅ v′(x) dx= ?u(x) ⋅ v(x) -∫u′(x) ⋅ v(x) dx .
Nach der Produktregel für Ableitungen ist .
[u(x) ⋅ v(x)]′ = u′(x) ⋅ v(x) + u(x) ⋅ v′(x) ⇒ u(x) ⋅ v′(x) = [u(x) ⋅ v(x)]′- u′(x) ⋅ v(x) .
Das ganze integriert ergibt .
⇒∫ u(x) ⋅ v′(x) dx = ∫[u(x) ⋅ v(x)]′ dx -∫u′(x) ⋅ v(x) dx .
Aus der Beziehung zwischen Differential- und Integralrechnung
∫ F′(x) dx = F(x) .
folgt .
∫ u(x) ⋅ v′(x) dx = u(x) ⋅ v(x) -∫u′(x) ⋅ v(x) dx .
Analog: .
∫ u′(x) ⋅ v(x) dx = u(x) ⋅ v(x) -∫u(x) ⋅ v′(x) dx

Vorgehensweise

1.
Bestimmen von u(x) und v′(x)
2.
Berechnen von u′(x) und v(x)
3.
u(x),u′(x),v(x),v′(x) in .
∫ u(x) ⋅ v′(x) dx = u(x) ⋅ v(x) -∫u′(x) ⋅ v(x) dx .
einsetzen und ausrechnen.

Beispiel 14 - 120: .
∫ x ⋅ ex dx .
Schritte: .

1.
u(x)=x
v′(x) =ex
2.
u′(x)=1
v(x) =ex
3.
u(x),u′(x),v(x),v′(x) in .
∫ u(x) ⋅ v′(x) dx = u(x) ⋅ v(x) -∫u′(x) ⋅ v(x) dx .
einsetzen und ausrechnen.
∫ x ⋅ ex dx = x ⋅ ex -∫ex dx = x ⋅ ex - ex + C = ex(x - 1) + C .

0/13/4/1/1 .
Beispiel 14 - 119
∫ x ⋅ cos x dx

.

.
0/13/4/1/2

0/13/4/1/3 .
Beispiel 14 - 120
∫ sin x ⋅ x2 dx
(Achtung: Zweimalige partielle Integration erforderlich!) .
(Attention: Two partial integrations required!)

.

Teil 1:

Teil 2:

.
0/13/4/1/4

Regel zum Auffinden von u und v′ (die ALPES-Formel , aufgestellt durch meinen Studierenden Thaifa Alae): .
Sind beispielweise zwei Ausdrücke in der Prioritätsliste

1.
A: arcsin(),arccos(),arctan()
2.
L: ln()
3.
P: Polynome
4.
E: exp()
5.
S: sin(),cos(),tan()

zu finden, so wird derjenige Term, der in der Liste weiter unterhalb steht, zu u und derjenige Term, der in der Liste weiter oberhalb steht, zu v′.

0/13/4/2

14.4.3 Integration durch Partialbruchzerlegung

0/13/4/2/0

Durch Zerlegung eines Polynoms in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion lassen sich die Summanden über die bereits eingeführten Integrationsmethoden integrieren. .

0/13/4/2/1 .
Beispiel 14 - 121
Zur Integration der unecht gebrochenrationalen Funktion .
.
∫ f(x)dx = ∫ 2x3 - 14x2 + 14x + 30 x2 - 4 dx .
.
wird die Funktion zunächst zerlegt in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion (z.B. mittels des Horner-Schemas) und anschließend die echt gebrochenrationale Funktion mittels Partialbruchzerlegung weiter zerlegt. .

f(x) = 2x3 - 14x2 + 14x + 30 x2 - 4 = 2x - 14 + 22x - 26 x2 - 4 . .
.
r(x) = 22x - 26 x2 - 4 . .
.
Partialbrüche für die Nullstellen des Nenners: .
.
x1 = 2 (einfache Nullstelle) → A x - 2. .
.
x2 = -2(einfache Nullstelle) → B x + 2. .
.
r(x) = 22x - 26 x2 - 4 = 22x - 26 (x - 2)(x + 2) = = A x - 2 + B x + 2. .
.
22x - 26 = A(x + 2) + B(x - 2) .
.
x = 2 ⇒ 18 = 4A ⇒ A = 4, 5 .
.
x = -2 ⇒-70 = -4B ⇒ B = 17, 5 .
.
.
= 22x - 26 (x - 2)(x + 2) = = 4, 5 x - 2 + 17, 5 x + 2. .
.
.
∫ 2x3 - 14x2 + 14x + 30 x2 - 4 dx .
.
= ∫ (2x - 14)dx + ∫ 22x - 26 (x - 2)(x + 2) .
.
= x2 - 14x + C 1 + ∫ ( 4, 5x - 2 + 17, 5 x + 2)dx .
.
= x2 - 14x + 4, 5 â‹… ln |x - 2| + 17, 5 â‹… ln |x + 2| + C 2 .
.

.
0/13/4/2/2

0/13/4/3

14.4.4 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/13/5

14.5 Beispiele

0/13/5/0

14.5.1 Bestimmung des Flächenschwerpunkts

0/13/5/0/0

Für einen Körper im Gleichgewicht gilt: .
r1 â‹… m1 â‹… g = r2 â‹… m2 â‹… g .
0/13/5/0/1


PIC .

Abbildung 4: Schwerpunktsbestimmung

0/13/5/0/2 .

(xs - x1) â‹… m1 = (x2 - xs) â‹… m2 .
xsm1 - x1m1 = x2m2 - xsm2 .
xs â‹… (m1 + m2) = x1m1 + x2m2 .
xs = x1m1 + x2m2 m1 + m2 .
Erweiterung auf mehrere Massen: xs = x1m1 + x2m2 + x3m3 + ... + xkmk m1 + m2 + m3 + ... + mk .
Als Summenformel: xs = ∑ i=1nx i ⋅ mi ∑ i=1nm i .
.
0/13/5/0/3 .
Beispiel 14 - 122
Vier Container mit 15, 30, 45 und 15 Tonnen und jeweils 10 m Länge (Schwerpunkt in der Mitte) sollen entsprechend der Abbildung in ein Flugzeug eingeladen werden. .


PIC .

Abbildung 5: Beladung eines Flugzeugs

.
Die Ladezone beginnt 10 m vom Bug entfernt. Der Hersteller schreibt vor, daß der Schwerpunkt 30 m vom Bug entfernt sein muss mit einer Toleranz von 30 ± 1 m. Wird durch die gezeigte Ladereihenfolge diese Vorschrift eingeladen ? .
.

Mit xs = m1 â‹… x1 + m2 â‹… x2 + m3 â‹… x3 + m4 â‹… x4 m1 + m2 + m3 + m4 m wird der Schwerpunkt .
.
xs = 15 ⋅ 15 + 30 ⋅ 25 + 45 ⋅ 35 + 15 ⋅ 45 15 + 30 + 45 + 15m ≈ 30, 7m.. .
Das Flugzeug ist also richtig beladen. .

.
0/13/5/0/4 .
Die Masse von Flächen mit gleicher Dichte σ bestimmt sich einfach über m = A â‹… σ. Die Flächen können gedanklich in Teilflächen zerlegt werden. Kennt man die Einzelschwerpunkte, so kann man den Gesamtschwerpunkt analog berechnen: 0/13/5/0/5 .
Beispiel 14 - 123
Zu bestimmen sei der Schwerpunkt einer Treppe in x- und y-Richtung. Die Einzelschwerpunkte liegen jeweils mittig. .


PIC .

Abbildung 6: Schwerpunkt einer Treppe

.

Gesamtschwerpunkt .
xs = σ ⋅ A1 ⋅ x1 + σ ⋅ A2 ⋅ x2 + σ ⋅ A3 ⋅ x3 + σ ⋅ A4 ⋅ x4 + σ ⋅ A5 ⋅ x5 σ ⋅ A1 + σ ⋅ A2 + σ ⋅ A3 + σ ⋅ A4 + σ ⋅ A5 .

ys = σ ⋅ A1 ⋅ y1 + σ ⋅ A2 ⋅ y2 + σ ⋅ A3 ⋅ y3 + σ ⋅ A4 ⋅ y4 + σ ⋅ A5 ⋅ y5 σ ⋅ A1 + σ ⋅ A2 + σ ⋅ A3 + σ ⋅ A4 + σ ⋅ A5 .
.

xs = 5 â‹… 0, 5 + 4 â‹… 1, 5 + 3 â‹… 2, 5 + 2 â‹… 3, 5 + 1 â‹… 4, 5 5 + 4 + 3 + 2 + 1 .
.
xs = 2, 5 + 6 + 7, 5 + 7 + 4, 5 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 27,5 15 ≈ 1, 833. .

ys = 5 â‹… 2, 5 + 4 â‹… 2 + 3 â‹… 1, 5 + 2 â‹… 1 + 1 â‹… 0, 5 5 + 4 + 3 + 2 + 1 .
.
ys = 12, 5 + 8 + 4, 5 + 2 + 0, 5 15 = 27, 5 15 ≈ 1, 833. .

.
0/13/5/0/6 .

Hat man ebene Flächen, deren Begrenzung über eine Funktion angegeben ist, macht man einen Übergang von der diskreten Addition zur Integration: .
.
xs = ∫ xdm ∫ dm = ∫ xdA ∫ dA .
.
.

0/13/5/0/7 .
Beispiel 14 - 124
Gegeben sei ein Dreieck, das durch die x-Achse, y-Achse und die Funktion y = h -h b â‹… x begrenzt ist: .


PIC .

Abbildung 7: Schwerpunkt eines Dreiecks

Zu bestimmen ist zunächst die x-Koordinate des Schwerpunkts: .

xs = ∫ xdA ∫ dA .
.
.
Hierzu zerteilen wir das Dreieck (willkürlich) in lauter senkrechte kleine Stäbchen mit der Fläche dA = y â‹… dx. .
Hiermit sind die Integralgrenzen vorgegeben zwischen 0 und b. .
.

Mit y = h -h bx wird daraus: dA = y â‹… dx = (h -h b â‹… x)dx, .
eingesetzt in die Integraldarstellung der Schwerpunktsformel: .
xs = ∫ 0bx ⋅ (h -h b ⋅ x)dx ∫ 0b(h -h b ⋅ x)dx

= 1 2 â‹… hx2 -1h 3b â‹… x3 0b hx -hx2 2b 0b .
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= 1 2 â‹… bh2 -1 3b2h hb -1 2hb = 1 6 â‹… bh2 1 2hb = h 3

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0/13/5/0/8 .
Beispiel 14 - 125
Alternative Berechnung: Wir zerteilen das Dreieck (willkürlich) in lauter waagrechte kleine Stäbchen mit der Fläche dA = x â‹… dy. .
Hiermit sind die Integralgrenzen vorgegeben zwischen 0 und h. .
Der Schwerpunkt eines einzelnen Stäbchens liegt bei x̃ = x 2. Damit erhält man einen Ausdruck für den Schwerpunkt des Dreiecks: .
xs = ∫ x̃dA ∫ dA = ∫ x 2dA ∫ dA .
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PIC .

Abbildung 8: Schwerpunkt eines Dreiecks

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Mit x = b -b h â‹… y wird daraus: dA = x â‹… dy = (b -b h â‹… y)dy, .
eingesetzt in die Integraldarstellung der Schwerpunktsformel: .
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xs = ∫ 0hx 2 ⋅ (b h ⋅ y + b)dy ∫ 0b( - b h ⋅ y + b)dy

= ∫ 0h1 2 ⋅ ( - b h y + b) ⋅ ( - b h y + b)dy ∫ 0b( - b h ⋅ y + b)dy = 1 2 ⋅∫ 0h(b2 h2y2 -2b2 h ⋅ y + b2)dy ( - by2 2h + by)0h

= 1 2(b2y3 3h2 -b2y2 h + b2y) 0h (bh 2 - bh)0h

= 1 2(-b2h 3 - b2h + b2h) -bh 2 = bh2 3 - bh = - b2h 3bh = -b3 .
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Dies ist natürlich das gleiche Ergebnis wie vor. .

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0/13/5/0/9

0/13/5/0/10 .
Beispiel 14 - 126
Zu bestimmen sei die x-Koordinate des Schwerpunkts der Fläche, die durch die x-Achse, y-Achse und die Funktion y = 1 - x2 begrenzt ist.


PIC .

Abbildung 9: Schwerpunkt einer Fläche

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xs = ∫ xdm ∫ dm = ∫ 01x ⋅ ydA ∫ 01dA .
xs = ∫ 01x ⋅ (1 - x2)dx ∫ 01(1 - x2)dx = ∫ 01xdx -∫ 01x3dx ∫ 011dx -∫ 01x2dx .
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xs = 1 2x2 01 -1 4x4 01 x01 -1 3x3 01 .
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xs = 1 2 -1 4 1 -1 3 = 1 4 2 3 = 3 8

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0/13/5/0/11

0/13/5/0/12 .
Beispiel 14 - 127
Berechnung des Schwerpunkts eines Viertelkreises: .
Bleibt man hier in der Darstellung kartesischer Koordinaten, wird die Berechnung wesentlich aufwendiger, wie das Beispiel für die y-Koordinate zeigt: .


PIC .

Abbildung 10: Schwerpunkt eines Viertelkreises

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x2 + y2 = R2 .
⇒ dA = xdy .
⇒ dA = r2 - y2dy .

ys = ∫ 0RỹdA ∫ 0RdA = ∫ 0Ry ⋅R2 - y2dy ∫ 0RR2 - y2dy = -1 3(R2 - y2)3 2 0R 1 2 yR2 - y2 + R2arcsin( y R) 0R .
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Eine alternative Berechnung geht wie folgt: Wir zerteilen den Kreisbogen (willkürlich) in lauter kleine Kreissegmente dL = R â‹… dφ. .
Hier sind die Integralgrenzen einfach angebbar, sie liegen zwischen 0 und π 2 . .
Haben wir die Schwerpunkte der einzelnen kreissegmente, können wir den Schwerpunkt des Viertelkreises daraus bestimmen. .


PIC .

Abbildung 11: Schwerpunkt eines Viertelkreises

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Der Schwerpunkt eines einzelnen Stückchens liegt bei x̃ = R â‹… cos φ bzw. ỹ = R â‹… sin φ . Damit erhält man einen Ausdruck für den Schwerpunkt eines Viertelkreisbogens: .
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xs = ∫ Lx̃dL ∫ LdL = ∫ 0π 2 R ⋅ cos φ ⋅ Rdφ ∫ 0π 2 Rdφ = R2 sin φ 0π 2 R ⋅ φ0π 2 = 2R π

Analog ys: .
ys = ∫ LỹdL ∫ LdL = ∫ 0π 2 R ⋅ sin φ ⋅ Rdφ ∫ 0π 2 Rdφ = -R2 cos φ 0π 2 R ⋅ φ0π 2 = 2R π

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0/13/5/0/13 Entsprechend ist der Schwerpunkt eines Halbkreisbogens: .
xs = 2R Ï€, und aus Symmetriegründen: ys = 0. .
Bildet man nun die Summe eines Viertelkreises aus diesen Viertelkreisbögen, so ist der Schwerpunkt xs = 4R 3Ï€. Weitere Beispiele finden sich in [HibbelerL1] . .
Ist der Gegenstand nun kein ebenes, sondern ein dreidimensionales Gebilde, muss ein Ausdruck für das jeweilige Massenelement (z.B. Stäbchen) bezüglich x gebildet werden, unter Umständen kann auch hier eine Integration notwendig werden. Dann spricht man von Mehrfachintegralen. .

Analog können auch die Massenträgheitsmomente J = ∫ mr2dm gebildet werden: Für jedes Masseteilchen dm wird das Produkt des Abstandsquadrats zur jeweiligen Drehachse gebildet und damit das bestimmte Integral für alle Massenteilchen bestimmt. Auf mathematischer Seite ändert sich hier nichts. .

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