0

0/5

6 Arithmetische Funktionen

0/5/0

6.1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

0/5/0/4

6.1.5 Horner-Schema

0/5/0/4/0

Das Horner-Schema ist ein elegantes Schema zur Berechnung von Funktionswerten.
0/5/0/4/1 .
Beispiel 6 - 41
Zu bestimmen ist f(2) für die Funktion
f(x) = 3x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1

.

f(x) = 3x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1
= (3x3 + 2x2 - 5x + 1) x - 1
= ((3x2 + 2x - 5) x + 1) x - 1
= (((3x + 2)x - 5) x + 1) x - 1



PIC .

Abbildung 1: Horner-Schema

.
0/5/0/4/2

Vorgehen:

Ist x0 eine Nullstelle, dann stehen in der unteren Zeile die Koeffizienten des reduzierten Polynoms. Dies soll am Beispiel eines Polynoms dritten Grades verdeutlicht werden: .
f(x) x - x0 = a3x3 + a 2x2 + a 1x + a0 x - x0 = b2x2 + b 1x + b0 + r(x) .

f(x0) = a3x03 + a 2x02 + a 1x0 + a0 .
a3 a2 a1 a0 x0 b2x0 b1x0 b0 a3 = b2b1 = a2 + b2x0b0 = a1 + b1x0p(x0) = a0 + b0 .
Für die Koeffizienten gilt: .
a3 = b2 .
b1 = a2 + b2x0 = a2 + a3x0 .
b0 = a1 + b1x0 = a1 + a2x0 + a3x02. .
Die Restfunktion r(x) ist echt gebrochen: .
r(x) = a0 + a1x0 + a2x02 + a 3x03 x - x0 = f(x0) x - x0 .
Im Zähler tritt genau der Funktionswert von f(x) an der Stelle x0 auf. Die Restfunktion r(x) verschwindet an der Nullstelle x0. Damit wird .
f(x) x - x0 = a0 + a1x + a2x2 + a 3x3 x - x0 = b2x2 + b 1x + b0 1.reduziertesPolynomvonf(x).

0/5/0/4/3 .
Beispiel 6 - 42
Zu bestimmen ist f(1) für die Funktion
f(x) = 3x3 + 3x2 - 3x - 3
mit dem Horner-Schema. Daraus sind ggf. die Koeffizienten des reduzierten Polynoms zu bestimmen. .


PIC .

Abbildung 2: Horner-Schema: Bestimmung des reduzierten Polynoms

.
0/5/0/4/4

0/5/0/4/5 .
Beispiel 6 - 43
Bestimmen Sie die Koeffizienten des reduzierten Polynoms für x1 = 1 mit dem Horner-Schema. y = x3 - 2x2 - 5x + 6

.

y = x3 - 2x2 - 5x + 6 = (x - 1)(x - 3)(x + 2)

.
0/5/0/4/6