0

0/2

3 Funktionen und Kurven, Darstellung

0/2/3

3.3 Algemeine Eigenschaften von Funktionen

0/2/3/0

3.3.1 Nullstellen

für x = x0 wird der Funktionswert f(x) = 0
0/2/3/1

3.3.2 Symmetrieverhalten

0/2/3/1/0

gerade Symmetrie oder y-Achsensymmetrie: f(-x) = f(x) für jedes x D

0/2/3/1/1


PIC .

Abbildung 1: Gerade Symmetrie y = x2

0/2/3/1/2 ungerade Symmetrie oder Ursprungssymmetrie: f(-x) = -f(x) für jedes x D

0/2/3/1/3


PIC .

Abbildung 2: Ungerade Symmetrie y = x3

0/2/3/1/4 .
0/2/3/1/5 .
Beispiel 3 - 19
y = 8x5

.

- 8x5 = 8(-x)5 = -8x5

.
0/2/3/1/6

0/2/3/2

3.3.3 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/2/3/3

3.3.4 Monotonie für x1 < x2

Monotonie kann in vier Fälle unterteilt werden. Eine Funktion f(x) heißt .

monoton wachsend, wennf(x1) f(x2)
strengmonoton wachsend, wennf(x1) <f(x2)
monoton fallend, wenn f(x1) f(x2)
strengmonoton fallend, wenn f(x1) >f(x2)

0/2/3/4

3.3.5 Periodizität

0/2/3/4/0

Eine Funktion f(x) heißt periodisch , wenn zu jedem x D auch x + p zum Definitionsbereich gehört und f(x) = f(x + p) gilt.

Beispiel 3 - 20:

sin(x) = sin(x + k π 2)

0/2/3/4/1


PICPIC

Abbildung 1: Periodische Funktion y = sin(x)

0/2/3/4/2

0/2/3/5

3.3.6 Umkehrfunktion

0/2/3/5/0

Eine Funktion f(x) ist umkehrbar, wenn aus x1x2 stets f(x1)f(x2) folgt.
Bestimmung der Umkehrfunktion :

1.
Vertauschen der Variablenbeziehung.
2.
Auflösen nach der abhängigen Variablen.

0/2/3/5/1 .
Beispiel 3 - 20

y =2x + 1

.

y =2x + 1
x =2y + 1
2y =1 - x
y =1-x 2

.
0/2/3/5/2 .
Beispiel 3 - 21

y =x2

.

y =x2
nicht umkehrbar
Sei (x1)(-x1) f(x1)f(-x1)
f(x1) = f(-x1) = (x1)2

.
0/2/3/5/3 Einschränkung des Definitionsbereichs auf + oder - macht f(x) = x2 umkehrbar, denn dann ergibt sich durch Vertauschen der Variablen y = x.

0/2/3/5/4


PIC .

Abbildung 2: Umkehrfunktion

0/2/3/5/5

Wichtig:

0/2/3/6

3.3.7 Übersicht: Bestandteile einer Kurvendiskussion