0

0/13

14 Einführung in die Integralrechnung

0/13/5

14.5 Beispiele

0/13/5/0

14.5.1 Bestimmung des Flächenschwerpunkts

0/13/5/0/0

Für einen Körper im Gleichgewicht gilt: .
r1 m1 g = r2 m2 g .
0/13/5/0/1


PIC .

Abbildung 1: Schwerpunktsbestimmung

0/13/5/0/2 .

(xs - x1) m1 = (x2 - xs) m2 .
xsm1 - x1m1 = x2m2 - xsm2 .
xs (m1 + m2) = x1m1 + x2m2 .
xs = x1m1 + x2m2 m1 + m2 .
Erweiterung auf mehrere Massen: xs = x1m1 + x2m2 + x3m3 + ... + xkmk m1 + m2 + m3 + ... + mk .
Als Summenformel: xs = i=1nx i mi i=1nm i .
.
0/13/5/0/3 .
Beispiel 14 - 122
Vier Container mit 15, 30, 45 und 15 Tonnen und jeweils 10 m Länge (Schwerpunkt in der Mitte) sollen entsprechend der Abbildung in ein Flugzeug eingeladen werden. .


PIC .

Abbildung 2: Beladung eines Flugzeugs

.
Die Ladezone beginnt 10 m vom Bug entfernt. Der Hersteller schreibt vor, daß der Schwerpunkt 30 m vom Bug entfernt sein muss mit einer Toleranz von 30 ± 1 m. Wird durch die gezeigte Ladereihenfolge diese Vorschrift eingeladen ? .
.

Mit xs = m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 + m4 x4 m1 + m2 + m3 + m4 m wird der Schwerpunkt .
.
xs = 15 15 + 30 25 + 45 35 + 15 45 15 + 30 + 45 + 15m 30, 7m.. .
Das Flugzeug ist also richtig beladen. .

.
0/13/5/0/4 .
Die Masse von Flächen mit gleicher Dichte σ bestimmt sich einfach über m = A σ. Die Flächen können gedanklich in Teilflächen zerlegt werden. Kennt man die Einzelschwerpunkte, so kann man den Gesamtschwerpunkt analog berechnen: 0/13/5/0/5 .
Beispiel 14 - 123
Zu bestimmen sei der Schwerpunkt einer Treppe in x- und y-Richtung. Die Einzelschwerpunkte liegen jeweils mittig. .


PIC .

Abbildung 3: Schwerpunkt einer Treppe

.

Gesamtschwerpunkt .
xs = σ A1 x1 + σ A2 x2 + σ A3 x3 + σ A4 x4 + σ A5 x5 σ A1 + σ A2 + σ A3 + σ A4 + σ A5 .

ys = σ A1 y1 + σ A2 y2 + σ A3 y3 + σ A4 y4 + σ A5 y5 σ A1 + σ A2 + σ A3 + σ A4 + σ A5 .
.

xs = 5 0, 5 + 4 1, 5 + 3 2, 5 + 2 3, 5 + 1 4, 5 5 + 4 + 3 + 2 + 1 .
.
xs = 2, 5 + 6 + 7, 5 + 7 + 4, 5 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 27,5 15 1, 833. .

ys = 5 2, 5 + 4 2 + 3 1, 5 + 2 1 + 1 0, 5 5 + 4 + 3 + 2 + 1 .
.
ys = 12, 5 + 8 + 4, 5 + 2 + 0, 5 15 = 27, 5 15 1, 833. .

.
0/13/5/0/6 .

Hat man ebene Flächen, deren Begrenzung über eine Funktion angegeben ist, macht man einen Übergang von der diskreten Addition zur Integration: .
.
xs = xdm dm = xdA dA .
.
.

0/13/5/0/7 .
Beispiel 14 - 124
Gegeben sei ein Dreieck, das durch die x-Achse, y-Achse und die Funktion y = h -h b x begrenzt ist: .


PIC .

Abbildung 4: Schwerpunkt eines Dreiecks

Zu bestimmen ist zunächst die x-Koordinate des Schwerpunkts: .

xs = xdA dA .
.
.
Hierzu zerteilen wir das Dreieck (willkürlich) in lauter senkrechte kleine Stäbchen mit der Fläche dA = y dx. .
Hiermit sind die Integralgrenzen vorgegeben zwischen 0 und b. .
.

Mit y = h -h bx wird daraus: dA = y dx = (h -h b x)dx, .
eingesetzt in die Integraldarstellung der Schwerpunktsformel: .
xs = 0bx (h -h b x)dx 0b(h -h b x)dx

= 1 2 hx2 -1h 3b x3 0b hx -hx2 2b 0b .
.
= 1 2 bh2 -1 3b2h hb -1 2hb = 1 6 bh2 1 2hb = h 3

.
0/13/5/0/8 .
Beispiel 14 - 125
Alternative Berechnung: Wir zerteilen das Dreieck (willkürlich) in lauter waagrechte kleine Stäbchen mit der Fläche dA = x dy. .
Hiermit sind die Integralgrenzen vorgegeben zwischen 0 und h. .
Der Schwerpunkt eines einzelnen Stäbchens liegt bei x̃ = x 2. Damit erhält man einen Ausdruck für den Schwerpunkt des Dreiecks: .
xs = x̃dA dA = x 2dA dA .
.
.
.


PIC .

Abbildung 5: Schwerpunkt eines Dreiecks

.

Mit x = b -b h y wird daraus: dA = x dy = (b -b h y)dy, .
eingesetzt in die Integraldarstellung der Schwerpunktsformel: .
.
xs = 0hx 2 (b h y + b)dy 0b( - b h y + b)dy

= 0h1 2 ( - b h y + b) ( - b h y + b)dy 0b( - b h y + b)dy = 1 2 0h(b2 h2y2 -2b2 h y + b2)dy ( - by2 2h + by)0h

= 1 2(b2y3 3h2 -b2y2 h + b2y) 0h (bh 2 - bh)0h

= 1 2(-b2h 3 - b2h + b2h) -bh 2 = bh2 3 - bh = - b2h 3bh = -b3 .
.
Dies ist natürlich das gleiche Ergebnis wie vor. .

.
0/13/5/0/9

0/13/5/0/10 .
Beispiel 14 - 126
Zu bestimmen sei die x-Koordinate des Schwerpunkts der Fläche, die durch die x-Achse, y-Achse und die Funktion y = 1 - x2 begrenzt ist.


PIC .

Abbildung 6: Schwerpunkt einer Fläche

.

xs = xdm dm = 01x ydA 01dA .
xs = 01x (1 - x2)dx 01(1 - x2)dx = 01xdx -01x3dx 011dx -01x2dx .
.

xs = 1 2x2 01 -1 4x4 01 x01 -1 3x3 01 .
.

xs = 1 2 -1 4 1 -1 3 = 1 4 2 3 = 3 8

.
0/13/5/0/11

0/13/5/0/12 .
Beispiel 14 - 127
Berechnung des Schwerpunkts eines Viertelkreises: .
Bleibt man hier in der Darstellung kartesischer Koordinaten, wird die Berechnung wesentlich aufwendiger, wie das Beispiel für die y-Koordinate zeigt: .


PIC .

Abbildung 7: Schwerpunkt eines Viertelkreises

.

x2 + y2 = R2 .
dA = xdy .
dA = r2 - y2dy .

ys = 0RdA 0RdA = 0Ry R2 - y2dy 0RR2 - y2dy = -1 3(R2 - y2)3 2 0R 1 2 yR2 - y2 + R2arcsin( y R) 0R .
.
Eine alternative Berechnung geht wie folgt: Wir zerteilen den Kreisbogen (willkürlich) in lauter kleine Kreissegmente dL = R dφ. .
Hier sind die Integralgrenzen einfach angebbar, sie liegen zwischen 0 und π 2 . .
Haben wir die Schwerpunkte der einzelnen kreissegmente, können wir den Schwerpunkt des Viertelkreises daraus bestimmen. .


PIC .

Abbildung 8: Schwerpunkt eines Viertelkreises

.
Der Schwerpunkt eines einzelnen Stückchens liegt bei x̃ = R cos φ bzw. = R sin φ . Damit erhält man einen Ausdruck für den Schwerpunkt eines Viertelkreisbogens: .
.

xs = Lx̃dL LdL = 0π 2 R cos φ Rdφ 0π 2 Rdφ = R2 sin φ 0π 2 R φ0π 2 = 2R π

Analog ys: .
ys = LdL LdL = 0π 2 R sin φ Rdφ 0π 2 Rdφ = -R2 cos φ 0π 2 R φ0π 2 = 2R π

.
0/13/5/0/13 Entsprechend ist der Schwerpunkt eines Halbkreisbogens: .
xs = 2R π, und aus Symmetriegründen: ys = 0. .
Bildet man nun die Summe eines Viertelkreises aus diesen Viertelkreisbögen, so ist der Schwerpunkt xs = 4R 3π. Weitere Beispiele finden sich in [HibbelerL1] . .
Ist der Gegenstand nun kein ebenes, sondern ein dreidimensionales Gebilde, muss ein Ausdruck für das jeweilige Massenelement (z.B. Stäbchen) bezüglich x gebildet werden, unter Umständen kann auch hier eine Integration notwendig werden. Dann spricht man von Mehrfachintegralen. .

Analog können auch die Massenträgheitsmomente J =mr2dm gebildet werden: Für jedes Masseteilchen dm wird das Produkt des Abstandsquadrats zur jeweiligen Drehachse gebildet und damit das bestimmte Integral für alle Massenteilchen bestimmt. Auf mathematischer Seite ändert sich hier nichts. .

.