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20 Anwendungen

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20.4 Drehung von Vektoren

0/19/4/0

0/19/4/1

20.4.1 Drehung von Vektoren um die x-,y- oder z-Achse

0/19/4/1/0

Vektoren in x = x y z -Darstellung können gedreht werden, indem man sie mit mit Drehmatrizen multipliziert: .
.
x1 = (α)x. .
.
Für einen vorgegebenen Winkel α wird die Drehung um die x-Achse beschrieben mit: .
.
x(α) = 1 0 0 0 cosα - sinα 0sinα cosα .
.
Die Drehung um die y-Achse wird beschrieben mit: .
.
y(α) = cosα 0sinα 0 1 0 - sinα0cosα .
.

Die Drehung um die z-Achse wird beschrieben mit: .
.
z(α) = cosα - sinα0 sinα cosα 0 0 0 1 .
0/19/4/1/1 .
Beispiel 20 - 226
Modell eines einfachen (nur bedingt praxistauglichen) Roboters .
Gegeben sei ein Zweiachsenroboter mit den Achsen a1 und a2:


PIC .

Abbildung 1: einfaches Robotermodell

.
Die Koordinaten der Spitze des Roboters liegen bei (1,2,4) [m]. .
Nun dreht der Roboter zunächst seine Spitze um die Achse a1 um 45°gegen den Uhrzeigersinn und danach um seine Achse a2 um 45°gegen den Uhrzeigersinn. Wo steht dann die Spitze ?

.
Wechsel des Bezugssytems: Neuer Ursprung (0,2,4). Bezüglich dieses Bezugspunkts hat die Spitze die Koordinaten (1,0,0). .
Drehung um Achse a1: .

 #
x1 = (α)

  #
 x = 1 2 0 1 2 0 1 0 - 1 20 1 2 1 0 0 = 1 2 0 - 1 2 . .
Erneuter Wechsel des Bezugssytems: Neuer Ursprung (0,0,4). Bezüglich dieses Bezugspunkts hat die (gedrehte) Spitze die Koordinaten 1 2 2 - 1 2 . .
Drehung um Achse a2: .

#x2 = (α)

  #x1  = 1 2- 1 20 1 2 1 2 0 0 0 1 1 2 2 - 1 2 = 1 2 - 2 2 1 2 + 2 2 - 1 2 . .
Die neue Lage der Spitze ist dann nach Transformation in (0,0,0): 1 2 -2 1 2 + 2 4 - 1 2 . .

.
0/19/4/1/2 .

0/19/4/2

20.4.2 Drehung von Vektoren um eine allgemeine Achse

Hat man eine Drehung um den Winkel α um eine beliebige Achse, die durch einen beliebigen Einheitsvektor n^ = n1 n2 n3 (mit |n| = 1) vorgegeben ist, so läßt sich die Drehung beschreiben als: .
Rn(α) x = n^(n^ x) + cos α(n^ ×x) ×n^ + sin α(n^ ×x). .
In Matrixdarstellung lautet die Drehmatrix .
n(α) = .
.
= cosα + n12(1 - cos α) n 1n2(1 - cos α) - n3 sin αn1n3(1 - cos α) + n2 sin α n1n2(1 - cos α) + n3 sin α cosα + n22(1 - cos α) n 2n3(1 - cos α) - n1 sin α n3n1(1 - cos α) - n2 sin αn2n3(1 - cos α) + n1 sin α cosα + n32(1 - cos α) . .
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Beispiele zum weiteren Üben (Als Benutzername und Passwort dient Ihr Account für den zentralen Anmeldedienst des Rechenzentrums (E-Mail Account)der FH Kaiserslautern): .
Übungsbeispiele im Internet
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