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0/12

13 Differentialrechnung

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13.3 Anwendung der Differentialrechnung

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13.3.9 Diffusion, Arzneimittelverabreichung

0/12/3/9/0

Das Modell des pharmakokinetischen Grundversuchs [Langguth] ( Kompartiment-Modell ) ist vergleichbar mit dem Modell der Diffusion in der Physik. Es geht aus von Kompartimenten, d.h. pharmakokinetisch einheitlichen Räumen. (In der Sprache der Physik sind dies homogenene Bereiche.) .
Je größer der Konzentrationsunterschied ist, umsomehr versucht C0, kleiner zu werden. (Dies ist eine vereinfachende Modell-Annahme !) .
Beispiel: auf der linken Seite ist eine Konzentration C0, rechts ist C1 = 0 (hierhin ’verdünnt’ sich der Wirkstoff zunächst). 0/12/3/9/1


PIC .

Abbildung 1: Diffusion

0/12/3/9/2 .
Dies kann man beschreiben durch .
Konzentrationsänderungsrate = -k Konzentrationsunterschied (k ist eine Konstante, die -versuchsabhängige- Diffusionskonstante) oder .
dC0 dt = -ke C0 oder: .
dC0 C0 = -ke dt Eine Lösung der (Differential-)Gleichung (s. Mathematik II)ist: C0(t) = C0(0) e-k10t .
Zu Beginn ist C0(0) = D V , also die Dosis verteilt auf das Volumen. .
0/12/3/9/3


PIC .

Abbildung 2: Diffusionsverlauf

0/12/3/9/4 .
0/12/3/9/5


PIC .

Abbildung 3: Diffusionsverlauf, logarithmische Darstellung

0/12/3/9/6 .
Erweiterung: .
Das Zwei-Kompartiment-Modell .
Der Arzneistoff wird in einer ersten Phase injiziert und verteilt sich schnell im gut durchbluteten Gewebe und verteilt sich zwischen den Komparimenten [Wiskowski] . .
0/12/3/9/7


PIC .

Abbildung 4: Zwei-Kompartiment-Modell

0/12/3/9/8 .
Im peripheren Kompartiment kommt es dabei zu einem Anstieg, der nach Erreichung eines Maximums zu einem Abfall und zur Entleerung führt. .
Das Zeitverhalten lässt sich durch zwei gekoppelte Differentialgleichungen beschreiben, die man durch folgende Überlegungen bekommt: .
Die Konzentration C1 im zentralen Kompartiment vermindert sich proportional zur zur momentanen Konzentration durch Elimination mit der Eliminationskonstanten ke : -keC1. .
Des weiteren ändert sich C1 durch den Abfluss in das periphere Kompartiment, was formal ebenfalls einer Elimination entspricht: - k12C1. .
Umgekehrt fließt das Pharmakon aus dem peripheren in das zentrale Kompartiment zurück. Dieser Rückfluss ist proportional zur Konzentration C2 , wird aber positiv gerechnet, da er die Konzentration im zentralen Kompartiment erhöht: + k21C2 . .
Insgesamt ergibt sich .
dC1 dt = -(ke + k12) C1 + k21C2 .
Im peripheren Kompartiment hat man, bis auf die Elimination, die gleiche Bilanz, nur dass die Vorzeichen umgekehrt gewählt werden müssen, da jeder Verlust des peripheren Kompartiments ein Gewinn des zentralen Kompartiments, und umgekehrt, ist: .
dC2 dt = k12 C1 - k21C2 .
Auflösen lässt sich dieses Differentialgleichungssystem (s. Mathematik II), in dem man für C1 und C2 den Ansatz .
C1 = A1 e-kαt + B 1 e-kβt und .
C2 = A2 e-kαt + B 2 e-kβt wählt. .
Zu Beginn ist C1(0) = D V (also die Dosis verteilt auf das Volumen) und C2(0) = 0. .
Mit den Hilfsgrößen .
S = k1 + k12 + k21 und .
Q = 4 ke k12 wird .
kα = 1 2(S + S2 - Q) und .
kβ = 1 2(S -S2 - Q) . .

Qualitativ sieht die Lösung so aus (für e-0.4t - e-0.5t) .
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PIC .

Abbildung 5: Verlauf im Zwei-Kompartiment-Modell

0/12/3/9/10 .
0/12/3/9/11


PIC .

Abbildung 6: Verlauf im Zwei-Kompartiment-Modell, logarithmisch

0/12/3/9/12 .