0
0/17
0/17/0
0/17/0/0
In der Technik arbeitet man häufig mit den Begriffen Skalaren und Vektoren . .
Unter Skalaren versteht man ungerichtete Größen (Beträge) aus den Paaren Maßzahl und
Einheit (wie z.B. Temperatur, Leistung, Energie). .
Will man den Größen eine Richtung zuordnen, verwendet man dazu Vektoren . Sie weisen neben
dem Betrag (Maßzahl, Einheit) zusätzlich eine Richtung auf (wie z.B. eine Kraft oder
ein elektrisches Feld). Der Ursprung von Vektoren damit zunächst nicht festgelegt. .
Man unterteilt in:
Achtung ! Wenn man in der Informatik von Vektoren spricht, meint man damit eine geordnete Menge
von Daten (Arrays). .
0/17/0/1 .
Beispiel 18 - 161
a) Temperaturverteilung in einem Raum .
b) Windgeschwindigkeiten .
c) Kräfte und Drehmomente an einem Körper .
.
Folgende grundlegende Eigenschaften beschreiben spezielle Vektoren: .
| Nullvektor: | Betrag Null, keine Richtung angebbar . |
| Betrag | |
| Ortsvektor : | führt vom Ursprung zum Punkt . . |
| Gleichheit von Vektoren: | Betrag und Richtung sind gleich. . |
| Parallel: | gleiche Richtung . |
| Antiparallel: | entgegengesetzt, Gegenvektor, inverser Vektor . |
| kollinear: | antiparallel oder parallel |
.
.
0/17/1
0/17/1/0
0/17/1/1 .
Beispiel 18 - 163
Vektoraddition :
.
0/17/1/3 .
Beispiel 18 - 164
Vektorsubtraktion
.
0/17/1/5 .
Beispiel 18 - 165
Parallelogrammregel
.
.
0/17/2
0/17/2/0
Vektoren in der Ebene können als Komponenten in x- und y-Richtung beschrieben werden. .
0/17/2/1 .
Beispiel 18 - 167
Vektorkomponenten
.
.
Beispiel 18 - 168
.
.
.
.
Beispiel 18 - 172:
Parameterdarstellung von Geraden .
Eine Gerade ist ausreichend beschrieben durch einen darauf befindlichen Punkt
und der Richtung der Geraden. Hat man die Ortsvektoren der beiden Punkte
und
, kann
man willkürlich einen davon auswählen. .
oder
dienen
als Ortsvektor. .
Die Richtung der Geraden kann man ausdrücken als Differenz der Vektoren
.
(Richtungsvektor) (
oder .
(entgegengesetzte Richtung) .
Parameterdarstellung einer Geraden durch
und : .
.
Die Punkt-Steigungsform wird zu: .
0/17/2/3 .
Beispiel 18 - 172
Gegeben sei eine Gerade
durch den Punkt
und der Steigung .
.
Wie lautet eine Geradengleichung in Parameterform ? .
.
Überführung von der Parameterdarstellung in eine Geradengleichung . Hierzu stellt man je
Komponente eine Gleichungszeile auf und eliminiert bei dem aufgestellten Gleichungssystem den
Parameter .
.
0/17/2/7 .
Beispiel 18 - 174
Gegeben sei eine Gerade in Parameterdarstellung:
.
0/17/3
0/17/3/0 .
Beispiel 18 - 175
Kraft, die entlang eines Wegs wirkt .
.
| . | ||||||
.
Mittels des Skalarprodukts lassen sich Winkel zwischen Vektoren bestimmen. .
.
oder .
oder . .
Für
gilt: ,
spitzer Winkel .
Für
gilt: ,
rechter Winkel .
Für
gilt: ,
stumpfer Winkel .
0/17/3/4 .
Beispiel 18 - 177
Gegeben sind die Vektoren
.
Damit wird
oder
und
oder
0/17/4
0/17/4/0
0/17/4/0/0
Mit Hilfe des Skalarprodukts kann man recht leicht Geradendarstellungen in eine Hesse’sche Normalform
vornehmen: .
.
0/17/4/0/1 .
Beispiel 18 - 179
Hesse’sche Normalform in der Darstellung .
.
Mit
0/17/4/1
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