0

0/18

19 Vektorrechnung im 3-dimensionalen

0/18/5

19.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt)

0/18/5/0

0/18/5/0/0

[abc] = a (b ×c)

[abc] = axayaz bx bybz cx cycz =[bca] =[cab]
.
Zum Vergleich - Das Volumen eines Quaders:
A h =A a cos φ
=|a||b ×c| cos φ

Das Spatprodukt entspricht dem Volumen des aufgespannten Spats, .
0/18/5/0/1 .
Beispiel 19 - 197
Gesucht ist das Volumen des von den Vektoren .

#a = 2 0 5

#b = -1 5 -2

                                                                                             #c = 2 1 2


aufgespannten Spats. .

.


PIC .

Abbildung 1: Spatprodukt

.

[

#a

#
 b

                                                                                         #c ]

= 2 0 5 -1 5 -2 2 1 2 =20 + 0 - 5 - (50 - 4 + 0) =- 31
.
0/18/5/0/2

0/18/5/0/3 .
Beispiel 19 - 198
Lage von Vektoren zu einer Ebene .
gegeben:

#a = 1 4 2

       #b = 0 -1 3

                                                                                                     # c = 2 5 13


Liegen die Vektoren in einer Ebene ?

.

Diese Frage ist gleichwertig mit der Feststellung, ob das Volumen des aufgespannten Spats Null ist (vorausgesetzt, die Grundfläche ist verschieden von Null): .
[

#a

#
b

                                                                                      #c ] = 1 4 2 0 -1 3 2 5 13 = -13+24+0+4-15-0 = 0.
Die Vektoren liegen in einer Ebene.

.
0/18/5/0/4