0
0/9
10 Logarithmusfunktionen
0/9/0
0/9/1
10.1 Grundbegriffe, Rechenregeln
0/9/1/0
10.1.1 Die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion
0/9/1/0/0
.
.
.
0/9/1/0/1
0/9/1/0/2 .
.
Rechenregeln für Logarithmusfunktionen : .
.
.
.
.
.
spezielle Logarithmen: .
(natürlicher Logarithmus, Logarithmus naturalis) .
(Zehnerlogarithmus, dekadischer Logarithmus) .
.
.
(binärer Logarithmus) .
0/9/1/1
10.1.2 Basiswechsel von Logarithmen
0/9/1/1/0 .
Beispiel 10 - 54
Sie sollen mit dem Taschenrechner berechnen: ,
Ihr Taschenrechner kann aber nur natürliche Logarithmen
()
bestimmen. Sie können wie folgt vorgehen: .
,
logarithmieren: .
oder .
.
. .
Allgemein führt dies zur Frage des Basiswechsels: .
Gegeben sei ein Logarithmus
mit
mit irgendeinem Wert. .
Dieser Logarithmus soll in einen Term r umgewandelt werden, in dem später nur noch Logarithmen
der Basis d (d steht für destination, frei wählbar und größer Nulls s für source, frei wählbar und
größer Null) vorkommen sollen: .
.
.
Definition des Logarithmus anwenden:
.
Zur Basis s logarithmieren: .
.
, nach
r auflösen: .
. .
Mit der Definition (s.o).
wird daraus: .
. .
Hat man den Logarithmus von c zur Basis s, so kann man ihn umrechnen zur Basis d,
indem man durch den Logarithmus von d zur Basis s dividiert: .
. .
.
0/9/1/1/1
0/9/1/1/2 .
Beispiel 10 - 55
Gegeben sei
und .
Wie groß ist
.
. .
.
.
.
.
0/9/1/1/3
0/9/2
10.2 Transzendente Gleichungen
0/9/2/0
10.2.1 Definition
Transzendente Gleichungen sind Gleichungen, die mindestens einen nicht-algebraischen Ausdruck enthalten,
wie etwa
oder .
0/9/2/1
10.2.2 Exponentialgleichungen
0/9/2/1/0
Exponentialgleichungen enthalten Exponentialausdrücke.
Gelingt es, den Exponentialausdruck zu isolieren, kann man durch anschließendes Logarithmieren
beider Seiten den Exponentialausdruck umformen (Logarithmenregeln beachten !!). Sofern im
Logarithmus auf der anderen Seite die unabhängige Variable herausgelöst werden kann, ist die
Gleichung relativ einfach lösbar. .
0/9/2/1/1 .
Beispiel 10 - 56
.
| Logarithmieren
|
umformen
.
.
.
.
.
0/9/2/1/2 .
0/9/2/1/3 .
Beispiel 10 - 57
.
Man sollte erkennen, daß die beiden Exponentialformen ineninander überführbar
sind:
. .
Ensprechend kann man substituieren:
. .
.
.
,
.
Rücksubstitution:
. .
.
.
.
0/9/2/1/4 .
0/9/2/2
10.2.3 Logarithmusgleichungen
-
1.
- Logarithmusgleichungen mit einem Logarithmus
Lösungsmethode: man erxponentiert beige Seiten der Gleichung (Regeln beachten
!)
Beispiel 10 - 58:
.
Definitionsbereich:
.
Exponentieren:
.
.
.
.
Beispiel 10 - 58
.
.
.
-
2.
- Gleichungen mit zwei Logarithmen
0/9/2/3 .
Beispiel 10 - 59
.
Definitionsbereich:
.
.
.
.
.
.
Weiteres Beispiel: .
.
Definitionsbereich:
.
Exponentieren .
.
.
, da
.
.
0/9/2/4 .
Beispiel 10 - 60
Lösen Sie die Gleichung .
.
Die Logarithmen haben alle die gleiche Basis (anderenfalls Basistransformation).
.
Vorfaktoren in den Exponenten bringen:
. .
positive und negative Summanden gruppieren:
. .
Zusammenfassen :
. .
.
.
Auflösen nach x:
. .
.
.
.
0/9/2/5
0/9/2/6 .
Beispiel 10 - 61
Ein Container voller Gulaschsuppe wird auf einem LKW (Umgebungstemperatur
°C) zum Kunden transportiert
und habe zum Zeitpunkt
die Temperatur
°C.
Die Temperatur des Containers folgt dem Abkühlungsgesetz nach Newton: .
(k ist
eine Konstante). .
Nach zehn Minuten Fahrt ist der Container um 10 °C abgekühlt.
-
1.
- Wie groß ist die Konstante k ?
-
2.
- Wie lange darf der Fahrer höchstens unterwegs sein, wenn in den Lieferbedingungen
vereinbart wurde, dass die Temperatur des Containers mindestens 75 °C ist ? y-Skala
(logplot() ).
Lösung :
-
1.
-
-
2.
.
0/9/2/7 0/9/2/8
10.2.4 Übungen
Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .