0

0/19

20 Anwendungen

0/19/3

20.3 Vektorielle Darstellung der Ebene

0/19/3/6

20.3.6 Abstand einer (parallelen) Geraden von einer Ebene

0/19/3/6/0

Geraden können zu Ebenen folgende Lagen haben

1.
g und E sind parallel zueinander
2.
g liegt in der Ebene E
3.
g und E schneiden sich in einem Punkt

ad 1.) .
Ist eine Gerade parallel zu einer Ebene E, so ist dessen Richtungsvektor senkrecht zu dem Normalenvektor der Ebene (Skalarprodukt = 0).
Danach bestimmt man den Abstand eines Punkts der Geraden zur Ebene durch Projektion von (r1 -r0 ) auf n. .
.
Der Abstand beträgt d = |n (r1 -r0 )| |n| . .
0/19/3/6/1 .
Beispiel 20 - 218
Abstand Gerade-Ebene .
Gegeben sei eine Gerade mit dem Ortsvektor .

#r1 = 0 1 -1 und dem Richtungsvektor

#
a = -1 -4 2 . .
sowie eine Ebene dem Ortsvektor

#
P0  = 1 5 2 und dem Normalenvektor

#n = 2 1 3 . .
.
Wie liegen die Gerade und die Ebene zueinander ? .

na = 2 1 3 -1 -4 2 = -2-4+6 = 0. .
.
Ebene und Gerade verlaufen also parallel. .
.
d = |n (r1 -P0)| |n| . .
.
n(r1-P0) = 2 1 3 0 - 1 1 - 5 1 - 2 = 2 1 3 -1 -4 -1 = -2-4-9 = -15. .
.
|

#n | = 22 + 12 + 32 = 14.
.
d = -15 14. .

.
0/19/3/6/2 .
ad 2.) .
Ist der Abstand d=0, so liegt die Gerade auf der Ebene. .