0

0/6

7 Gebrochenrationale Funktionen

0/6/0

7.1 Nullstellen und Polstellen

0/6/0/0

7.1.1 echt und unecht gebrochen rationale Funktionen

0/6/0/0/0

y = g(x) h(x) = amxm+a1x1+a0 bnxn+b1x1+b0

n >mEcht gebrochen rational
n mUnecht gebrochen rational

Schritte: .

1.
Zerlegen von Zähler und Nenner in Linearfaktoren (beseitigen von Definitionslücken)
2.
Linearfaktoren Zähler Nullstellen.
3.
Linearfaktoren Nenner Polstellen.

Ermitteln (Errraten) einer ersten Lösung
Polynomdivision (Horner-Schema)

Kürzung gemeinsamer Faktoren in Zähler und Nenner.

0/6/0/0/1 .
Beispiel 7 - 44
y = (2x3 + 2x2 - 32x + 40) (x3 + 2x2 - 13x + 10) .
.

y = 2x3 + 2x2 - 32x + 40 x3 + 2x2 - 13x + 10 = 2(x - 2)2 (x + 5) (x - 1)(x - 2)(x + 5) = 2(x - 2) (x - 1) .
.
Zähler 2x3 + 2x2 - 32x + 40 = 0, x1 = 2: .
22 - 32 40 2 4 12 - 40 26 - 20 0 .
2x2 + 6x - 20, x2 = 2: .
2 6 - 20 2 4 20 210 0 .
2(x + 5) = 0, x3 = -5: .

Nenner: x3 + 2x2 - 13x + 10 = 0, x1 = 1: .
12 - 1310 1 1 3 10 13 - 10 0 .
x2 + 3x - 10 = 0, x2 = 2,x3 = -5 .

Beseitigung der Definitionslücken (x = 2,-5) .
.
y = 2x3 + 2x2 - 32x + 40 x3 + 2x2 - 13x + 10 = 2(x - 2)2(2 + 5) (x - 1)(x - 2)(x + 5) = 2(x - 2) (x - 1) .
.
Maple: convert(2x3 + 2x2 - 32x + 40 x3 + 2x2 - 13x + 10 ,parfrac) .
Maxima: partfrac (1/(1+x)^2 - 2/(1+x) + 2/(2+x), x); .

.
0/6/0/0/2

0/6/0/1

7.1.2 Nullstellen

0/6/0/1/0

Ein Polynom vom Grad n hat n (komplexe) Nullstellen ( Fundamentalsatz der Algebra )

0/6/0/1/1 .
Beispiel 7 - 45
Fall 1: x2 - 4 = 0 x 1,2 = ±2 .
Fall 2: x2 + 4 = 0 x 1,2 = -4 keine reelle Lösung .

.
0/6/0/1/2

Linearfaktorzerlegung; Die Nullstellen des Zählers sind (nach Kürzen) die Nullstellen des Polynoms.

0/6/0/1/3 .
Beispiel 7 - 46
x2 - 1 x2 + 1

.

Zähler: x2 - 1 = 0 x 1,2 = ±1 .
Nenner hat keine rellen Nullstellen .
x2 - 1 x2 + 1 = (x - 1)(x + 1) x2 + 1 .
Maple: plot(x2 - 1 x2 + 1,x = -5..5) .


PIC .

Abbildung 1: y = x2 - 1 x2 + 1

.

.
0/6/0/1/4

0/6/0/2

7.1.3 Definitionslücken

0/6/0/3

7.1.4 Asymptotisches Verhalten

0/6/0/3/0 .
Beispiel 7 - 47
Beispiele für Polstellen: .
.

y = 1 x: Vorzeichenwechsel, kein Grenzwert ! .
y = 1 x2 : kein Vorzeichenwechsel .
y = x x2 - 4: je ein Vorzeichen-wechsel .


PIC .

Abbildung 2: Polstellen von y = x x2 - 4

lim xx02(x-2) x-1

.
0/6/0/3/1

(vgl.Rechenregeln für Grenzwerte)

lim xx0[f(x) ± g(x)] = lim xx0f(x) ± lim xx0g(x)

lim xx0[f(x) g(x)] = lim xx0f(x) lim xx0g(x)

lim xx0[f(x) g(x)] = lim xx0f(x) lim xx0g(x)

Bestimmung der Asymptoten

0/6/0/3/2 .
Beispiel 7 - 48
y = 2x3 - 14x2 + 14x + 30 x2 - 4 .

Nullstelle=x=7, Faktor 2 ausklammerbar: .
y = 2x3 - 14x2 + 14x + 30 x2 - 4 .
2x3-14x2+14x+30: x + 4 = 2x - 14 2x3 -8x -14x2+22x+30 -14x2 +56 -22x-26 .
y = 2x3 - 14x2 + 14x + 30 x2 - 4 = .
= 2x - 14 ganzrationale Funktion + 22x - 26 x2 - 4 echtgebrochen rationale Fkt. .
plot((x pow 2 -2x)/(x-2),x=-5..5)
plot((1/x),x=-5..5)
.
Weiteres Beispiel: .
y = 2x3 - x2 - 4x - 3 x2 - x - 2 = .
= 2x + 1 ganzrationale Funktion + x - 1 x2 - x - 2 echtgebrochen rationale Fkt. = .
= 2x + 1 + 2 3(x + 1) + 1 3(x - 2) .

Weit. Beispiel: .
0, 5x3 - 1, 5x + 1 x2 + 3x + 2 = 0, 5(x - 1)2(x + 2) (x + 1)(x + 2) = 0, 5(x - 1)2 (x + 1) .

0, 5x2 - x + 0, 5 : x + 1 = 0, 5x - 1, 5 + 2 (x + 1) .

.
0/6/0/3/3

0/6/0/4

7.1.5 Partialbruchzerlegung

Ziel der Partialbruchzerlegung ist eine Vereinfachung gebrochenratiohaler Funktionen, um sie beispielsweise besser integrieren zu können. Vorgehen:

Beispiel 7 - 49:
y = x + 1 (x3 - 5x2 + 8x - 4), mit x1 = 1 und x2,3 = 2 .
.

y = (x + 1 (x - 1)(x - 2)2 = .
= A (x - 1) + B (x - 2) + C (x - 2)2 .
= A(x - 2)2 + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1) (x - 1)(x - 2)2 . .
.
Daraus folgt .
(x + 1) = A(x - 2)2 + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1) .
.
Diese Beziehungen müssen für beliebige x erfüllt sein. .
1. Koeffizientenvergleich: .
x + 1 = Ax2 - 4Ax + 4A + Bx2 - 3Bx + 2B + Cx - C .
x2 0 = A + B .
x1 1 = -4A - 3B + C .
x0 1 = 4A + 2B - C .
oder .
2. geschickte Wahl von x, damit man Nullstellen erhält:

x = 1 2 = A
x = 2 3 = C
x = 0 1 = 4A + 2B - C = 4 2 + 2B - 3
B = -2
y = x + 1(x3 - 5x2 + 8x - 4)= 2 (x - 1) + - 2 (x - 2) + 3 (x - 2)2
.

0/6/0/5

7.1.6 Übungen

Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .

0/6/1

7.2 Interpolationspolynome

0/6/1/0

7.2.1 Interpolationspolynome nach Newton

0/6/1/0/0

Fragestellung: n-Messpaare liegen vor. Gesucht ist nun ein Interpolationspolynom , das die Werte möglichst exakt beschreibt. .

i012
x i- 112
yi024
.
.
1. Möglichkeit .
y0 =a0 + a1x0 + a2x02
y1 =a0 + a1x1 + a2x12
y2 =a0 + a1x2 + a2x22
.
.
-

Bei vielen Messwerten wird das Ermitteln der Koeffizienten aufwendig. Besser ist dann das Arbeiten mit Linearfaktoren. Dies leistet das Verfahren der Polynom-Interpolation nach Newton

y = c0 + c1(x - x0) + c2(x - x0)(x - x1) + …+ cn(x - x0)(x - x1)(x - xn)


gegeben: Wertepaare (x0; y0)(x1; y1)(xn; yn)

1.
Betrachtung von nur (x0; y0)
Es reicht das Polynom von Grad 0
p0(x) = c0 = y0
2.
Hinzunehmen von Punkt (x1; y1)
p1(x) = c0 + c1(x - x0)
3.
Hinzunehmen von Punkt (x2; y2)
p2(x) = c0 + c1(x - x0) + c2(x - x0)(x - x1)
4.
n-Stützstellen
p(x) = c0 + c1(x - x0) + c2(x - x0)(x - x1) + …+ cn(x - x0)(x - x1)(x - xn)
= i=0nc i j=0i-1(x - x j)

Bestimmung der Koeffizienten

p(x0) =c0 =y0
p(x1) =c0 + c1(x1 - x0) =y1
p(x2) =c0 + c1(x2 - x0) + c2(x2 - x0)(x2 - x1) =y2
c0 = y0
c1 = y1 - c0 x1 - x0 =y1 - y0 x1 - x0
c2(x2 - x0)(x2 - x1) = y2 - c0 - c1(x2 - x0)
c2 = y2-y1 x2-x1 γ12 -y1-y0 x1-x0 γ01 x2 - x0

Rekursionsformel:

ci =γ0i
γi,i =f(xi)
γi,k =γi+1,k - γi,k-1 xk - xi

Beispiel 7 - 50:

c0 =γ00 =f(x0)
i = 0,k = 1c1 =γ01 =γ1,1 - γ0,0 x1 - x0 =y1 - y0 x1 - x0
i = 0,k = 2c2 =γ02 =γ1,2 - γ0,1 x2 - x1 =γ2,2 - γ1,1 x2 - x1 -γ1,1 - γ0,0 x1 - x0 x2 - x0
=y2 - y1 x2 - x1 -y1 - y0 x1 - x0 x2 - x0

Rechenschema:

x0y0
γ01 = y1-y0 x1-x0
x1y1 γ02 = γ12-γ01 x2-x0
γ12 = y2-y1 x2-x1 γ03 = γ13-γ02 x3-x0
x2y2 γ13 = γ23-γ12 x3-x1
γ23 = y3-y2 x3-x2
x3y3

0/6/1/0/1 .
Beispiel 7 - 49
.





i012




x i- 112




yi024





.

x iyi
- 10 c0
γ01 = 2-0 2 = 1 c1
12 γ02 = 2-1 3 = 1 3 c3
γ12 = 4-2 1
24

p(x) = 0 + 1 (x + 1) + 1 3(x + 1)(x - 1) = x2 3 + x + 2 3
Weitere Stützstelle (x3,y3) = (3, 5):
x iyi
- 10
1
12 1 3
2 -1 2-1 3 3-(-1) = -5 24
24 -1 2
1
35

1 - 2 3 - 1 = -1 2

p(x) = 0 + 1(x - (-1)) + 1 3(x - (-1))(x - 1) + -5 24(x - (-1))(x - 1)(x - 2)

p(x) = -5 24x3 - 1 12x2 + 29 24x + 11 24

.
Maple: newton.mws.mw

.
0/6/1/0/2