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12 Hyperbel- und Areafunktionen

0/11/1

12.1 Hyperbelfunktionen

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12.1.1 Hyperbelsinus und - cosinus

0/11/1/0/3 .
Beispiel 12 - 69
Kettenlinien werden durch eine Funktion y = a cosh(xa) beschrieben. .
Zwei Masten sind 40 m voneinander entfernt. Eine Leitung (=’Kette’) zwischen diesen zwei Befestigungen hat in der Mitte einen Abstand von 10 m zum Erdboden. Wie hoch sind die Masten ?. .


PIC .

Abbildung 1: Kettenlinie

.
.

Herleitung (für Interessierte): Die Masse eines kleinen Teilstücks der Länge Δm , das in x- und y-Richtung (mit noch unbekannten Beträgen) ausgedehnt ist, beträgt nach Phytagoras (mit μ als Gewicht pro Länge): .
Δm = μ Δm = μ (Δx)2 + (Δy)2 = μ 1 + (Δy)2 (Δx)2 Δx. .
Differentiell ausgedrückt: .
dm = μ 1 + (dy)2 (dx)2 dx = μ 1 + y 2 dx. .
Die (feste, aber noch unbekannte) Länge erhält man über .
L =x1x21 + y 2 dx .
Die Energie pro Teilstückchen Δl ist ΔE = μ g y Δl. .
Damit wird für die Gesamtenergie .
E = μ g x1x2y 1 + y 2 dx, die es zu minimieren gilt. Hierzu subtrahiert man auf beiden Seiten einen Wert für eine Länge y0: .
E - μ l g y0 = μ g x1x2 1 + y 2 (y - y 0)dx. .
Für diese Energie sucht man nun ein Minimum, was folgende Gleichung ergibt: .
(y - y0) y - y2 = 1. .
Diese (Differential-) gleichungen werden gelöst durch folgende Funktion: .
y = a cosh(x - x0 a + y0). .
a ist der Krümmungsradius am Scheitelpunkt und gleichzeitig der Vergrößerungsfaktor. .
Im symmetrischen Fall (gleich hohe Aufhängepunkte) lautet die Gleichung y = a cosh(xa + y0). .
Durch geeignete Wahl der Ausgangsbedingungen kann man y0 eliminieren. .

zur Aufgabe: .
y(x) = a cosh x a
1. Scheitelpunkt mit y(x = 0) = 10m = a cosh 0 a = a .
a = 10m
2. Aufhängepunkte : .
y(x = 20m) = a cosh 20m a = 10m cosh 20m 10m 10 3, 7 37m .

.