0
0/5
6 Arithmetische Funktionen
0/5/0
6.1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
0/5/0/0
6.1.1 Grad von Polynomfunktionen
: Grad
des Polynoms. 0/5/0/1
6.1.2 Polynome vom Grad 1: lineare Funktionen
. .
Beispiel 6 - 38:
Gesamtmengen
x sei die Menge eines Weinvorrats, m sei dessen Alkoholgehalt. Dann ergibt sich hieraus die Gesamtmenge
an Alkohol zu .
Häufig wird das Hundertfache des Gehalts als Prozentwert angegeben.
0/5/0/2
6.1.3 Polynome vom Grad 2: quadratische Funktionen
0/5/0/2/0
Allgemeine Form: .
.
gibt an, ob die Funktion nach unten (konkav) oder nach oben (konvex) geöffnet ist: .
.
.
.
Die Scheitelpunktform
erhält man durch quadratische Ergänzung:
.
Die Produktform erhält man durch Abspaltung der Nullstellen:
0/5/0/2/1 .
Beispiel 6 - 38
Das Polynom
.
Produktform:
. Das Polynom
hat
die Nullstellen
.
. (Ausprobieren durch Ausmultiplizieren !)
. Mit dem Vorfaktor 2 kann man die Gleichung umschreiben zu:
. .
. Quadratische Ergänzung:
. .
.
Scheitelpunkt: (2,-2)
.
0/5/0/2/2
0/5/0/3
6.1.4 Polynomfunktionen höheren Grades
0/5/0/3/0
Abspaltung von Linearfaktoren
0/5/0/3/1 .
Beispiel 6 - 39
.
Finden
der ersten Nullstelle
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Finden
weiterer Nullstellen, abspalten weiterer Linearfaktoren
.
0/5/0/3/2 Bei doppelten Nullstellen wird analog verfahren.
ist vom
Grade
gibt
die Anzahl reeller Nullstellen an.
0/5/0/3/3 .
Beispiel 6 - 40
.
Finden
der ersten Nullstelle
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Finden
weiterer Nullstellen, abspalten weiterer Linearfaktoren
Division von
durch 3 ergibt
. Weitere Beispiele:
. ergibt
mit
.
Der erste Term hat eine komplexe Nullstelle.
. .
.
Eine Polynomfunktion 3. Grades besitze bei
eine doppelte und bei
eine einfache Nullstelle und schneidet die x-Achse bei
. Bestimmen Sie die
Gleichung der Funktion !
.
0/5/0/3/4
0/5/0/4
6.1.5 Horner-Schema
0/5/0/4/0
Das Horner-Schema ist ein elegantes Schema zur Berechnung von Funktionswerten.
0/5/0/4/1 .
Beispiel 6 - 41
Zu bestimmen ist
für die Funktion
.
.
0/5/0/4/2
Vorgehen:
- Lückenloses Aufschreiben der Koeffizienten in 1. Zeile.
- 1. Koeffizient herunterholen.
- mit Argument multiplizieren und in 2. Spalte.
- mit 2. Koeffizient addieren etc.
-
Das Ergebnis steht rechts unten
Ist eine
Nullstelle, dann stehen in der unteren Zeile die Koeffizienten des reduzierten Polynoms. Dies soll am
Beispiel eines Polynoms dritten Grades verdeutlicht werden: .
.
.
.
Für die Koeffizienten gilt: .
.
.
. .
Die Restfunktion
ist echt gebrochen: .
.
Im Zähler tritt genau der Funktionswert von
an der Stelle auf. Die
Restfunktion verschwindet
an der Nullstelle .
Damit wird .
.
0/5/0/4/3 .
Beispiel 6 - 42
Zu bestimmen ist
für die Funktion
mit dem Horner-Schema. Daraus sind ggf. die Koeffizienten des reduzierten Polynoms zu bestimmen. .
.
0/5/0/4/4
0/5/0/4/5 .
Beispiel 6 - 43
Bestimmen Sie die Koeffizienten des reduzierten Polynoms für
mit dem
Horner-Schema.
.
.
0/5/0/4/6
0/5/0/5
6.1.6 Übungen
Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .