0

0/15

16 Determinanten

0/15/1

16.2 Determinanten von Matrizen höherer Ordnung

0/15/1/0

16.2.1 Dreireihige Determinanten

0/15/1/0/0

Beispiel 16 - 1:
Gegeben sei ein 3 × 3 Gleichungssystem A x = c ,
ausgeschrieben:

a11x1 + a12x2 + a13x3 =c1
a21x1 + a22x2 + a23x3 =c2
a31x1 + a32x2 + a33x3 =c3

Bildet man aus der Koeffizientenmatrix .

A = a11a12a13 a21 a22a23 a31 a32a33

.
den Term
D =a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32-
-a13 a22 a31-a11 a23 a32-a12 a21 a33 ,
.
.
hat man die Koeffizientendeterminante der Matrix A bestimmt.
Ist der Wert der Determinanten D = 0, so hat das Gleichungssystem keine (oder unendlich viele) Lösung(en).
Schreibweisen:

D = det A = a11a12a13 a21 a22a23 a31 a32a33 = |A| = |aik|
.

Man spricht hier von dreireihigen Determinanten oder Determinanten 3. Ordnung.

Als Merkregel für die Bestimmung der dreireihigen Determinante von A kann man die Regel von Sarrus verwenden, indem man das Produkt der Hauptdiagonalen addiert und das Produkt der Nebendiagonalen subtrahiert:
( = Nebendiagonale, = Hauptdiagonale)

D = det A = a11a12a13 a21 a22a23 a31 a32a33 a11a12 a21 a22 a31 a32 =
.

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32-
-a13 a22 a31- a11 a23 a32- a12 a21 a33

0/15/1/0/1 .
Beispiel 16 - 144
Die dreireihige Determinante von A: .
det A = 1-27 0 3 2 5 -1 4 .
.

.

det A = 1-27 0 3 2 5 -1 4 .

= 1 3 4 + (-2) 2 5 + 7 0 (-1)-
- 7 3 5 - 1 2 (-1) - (-2) 0 4 =
= 12 - 20 - 105 + 2 = -111

.
0/15/1/0/2

0/15/1/0/3 .
Beispiel 16 - 145

det A = 4 2 1 10 5 0 -6-31 =
.

.

det A = 4 2 1 10 5 0 -6-31 = 20+0-30+30-0-20 = 0 .
.
Man hätte sofort auch erkennen können: Spalte 1 ist das Zweifache von Spalte 2. .
.
0/15/1/0/4