0

0/2

3 Funktionen und Kurven, Darstellung

0/2/5

3.5 Polarkoordinaten

0/2/5/0

3.5.1 Polarkoordinaten im Zweidimensionalen

0/2/5/0/0

0/2/5/0/1


PIC .

Abbildung 1: Polarkoordinaten

0/2/5/0/2

. .

Abstandskoordinater
Winkelkoordinate φ
.

Umrechnung zwischen Polarkoordinaten
x = r cos φ .
y = r sin φ .
r = x2 + y2 .
tan φ = y x .

0/2/5/0/3 .
Beispiel 3 - 24
Zahlenbeispiel .

Wie lautet die Polarkoordinatendarstellung des Punkts P1 = (2,-5) ? .

Der Punkt P1 = (2,-5) hat den Abstand vom Ursprung r = 22 + 52 = 29 5, 36. .
Er liegt im 3. Quadranten, tan(φ) = -5 2 φ = arctan(-5 2 ) -1, 19 -68° .

.
0/2/5/0/4

0/2/5/0/5 .
Beispiel 3 - 25
Zahlenbeispiel .

Gegeben ist ein Punkt P2 mit r = 5 und φ = 5π 4 Wie lautet die Darstellung des Punkts in kartesischen Koordinaten ? .

Der Punkt P2 liegt im 3. Quadranten und hat die x-Koordinate x = 5 cos 5π 4 = -5 1 2 -3.54 und die y-Koordinate y = 5 sin 5π 4 = -5 1 2 -3.54

.
0/2/5/0/6

0/2/5/0/7 .
Beispiel 3 - 26
Archimedische Spirale .


PIC .

Abbildung 2: Archimedische Spirale

r(φ) = 2 φ

φ0π 6 2π 6 3π 6 4π 6 5π 6 π








.
Darstellung: .
r =2φ ist umkehrbar.
x = r cos φ =2φ cos φ
y = r sin φ =2φ sin φ

Nach Elimination von φ ist die Funktion nicht mehr umkehrbar !

.

r(φ) = 2 φ .

φ0π 6 2π 6 3π 6 4π 6 5π 6 π








r 0 1, 052, 093, 144, 195, 246, 28
.
Maple: .
plot([t*cos(t), t*sin(t), t=0..15])
.
0/2/5/0/8

0/2/5/1

3.5.2 Polarkoordinaten im Dreidimensionalen

0/2/5/2

3.5.3 Zylinderkoordinaten

0/2/5/2/0

Bei den Zylinderkoordinaten werden die x- und y-Koordinaten wie Polarkoordinaten behandelt. Zusätzlich kommt eine dritte Dimension z hinzu: .
0/2/5/2/1


PIC .

Abbildung 3: Zylinderkoordinaten

0/2/5/2/2 .

Abstandskoordinater
Winkelkoordinate φ
.
.
Umrechnung zwischen Zylinderkoordinaten und kartesischen Koordinaten .
x = r cos φ
y = r sin φ
z = z
r = x2 + y2
tan φ = y x
.

0/2/5/3

3.5.4 Kugelkoordinaten

0/2/5/3/0

Bei den Kugelkoordinaten wird ein Punkt durch einen Abstand und zwei Winkel beschrieben. .
0/2/5/3/1


PIC .

Abbildung 4: Kugelkoordinaten

0/2/5/3/2 .

Abstandskoordinater
Azimuth φ (Winkel zur x-Achse)
Poldistanz ϑ (Winkel zur z-Achse)
.

Der Winkel φ überstreicht den Bereich zwischen 0 φ 2π. Deshalb kann man jeden Punkt beschreiben, wenn 0 ϑ π. .

0/2/5/3/3 .
Beispiel 3 - 27
Umrechnung zwischen Kugelkoordinaten und kartesischen Koordinaten .

Abstandskoordinate r
Winkelkoordinate φ
x = r sin ϑ cos φ
y = r sin ϑ sin φ
z = r cos ϑ
r = x2 + y2 + z2
.
.
Hat man die Werte y,y,z, lassen sich die anderen Werte einfach über die Beziehungen ermitteln: .

.

r = x2 + y2 + z2 .
ϑ = arccos( z x2 + y2 + z2) .
tan φ = y x .
.
0/2/5/3/4

0/2/5/4

3.5.5 Kugelkoordinaten in der Geographie

0/2/5/4/0

Im World Geographic System (WGS84) -Standard werden Kugelkoordinaten eingesetzt. Allerdings sind die Winkel (angegeben in Grad) anders festgelegt. .
0/2/5/4/1


PIC .

Abbildung 5: Das WGS-Koordinatensystem

0/2/5/4/2

Breitenkoordinate (latitude) φ
Längenkoordinate (longitude)λ
. .
Die Breitenkoordinate φ = 0 liegt auf dem Äquator, die Längenkoordinate λ = 0 geht durch Greenwich (Meridian des Flamsteed House des Royal Greenwich Observatory in London). .
Demzufolge überstreicht die Latitude φ den Bereich zwischen 90o S(üd) φ 90o N(ord). .
Die Longitude λ überstreicht den Bereich zwischen - 180o W(est) φ 180o E(st). .
Bei einem Erdumfang von 40.000 km errechnet sich der Erdradius zu ca. 6366 km, der Äquatorradius liegt bei 6378 km. .
Koordinaten von Pirmasens: 49 °12’ 44” N und 07 °36’ 12” E .

Umrechnungen: .

1 Breitengrad 111 km
1 Breitenminute 1,852 km oder 1 nautische Meile
1 Breitensekunde ca. 30 m
1 Längengrad am Äquator111 km
1 Längengrad in Pirmasensca. 72 km

0/2/5/4/3 .
Beispiel 3 - 28
Zahlenbeispiel .

Der Flughafen Frankfurt-Hahn liegt auf 49 °56,92’ N und 07°15,83’ E .
Der Flugplatz Pirmasens liegt auf 49 °12,57’ N und 07°24,04’ E .
Wie weit sind die beiden Orte voneinander entfernt ? .
(Nehmen Sie an, daß Längen- und Breitengrade rechtwinklig zueinander stehen) .
.

1 Breitenminute = 1,852 km .
1 Längenminute = 1,852* sin(90 °- Breite) .
Δlat = 8, 21 cos(φ) = 8, 21 0, 656 6, 2km .
Δlong = 44, 35nm 81, 9km .
Abstand d = x2 + x2 82km. .

.
0/2/5/4/4

0/2/5/4/5 .
Beispiel 3 - 29
Der Sextant .
Es gibt immer einen Punkt auf der Erde, über dem die Sonne senkrecht steht, dem (Sonnen-)Bildpunkt. Dieser wird für die jeweilige Zeit im ’nautischen Jahrbuch’ veröffentlicht. (Natürlich kann man ihn auch selbst berechnen.) .


PIC .

Abbildung 6: Peilung mit dem Sextanten

.

Der Winkel β = π 2 - α im Bogenmass mal Erdradius (ca. 6400 km) gibt den Abstand des Beobachters vom Bildpunkt an. .
oder für Seemänner: .
Der Winkel β = 90°α umgerechnet in Bogenminuten gibt den Abstand des Beobachters vom Bildpunkt in nm an. .
Der Sonnenbildpunkt bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 0,25 Seemeile pro Sekunde auf der Erdoberfläche (2π pro Tag!). .
Kenne ich die Koordinaten des Sonnenbildpunktes zum Zeitpunkt der Messung und die Himmelrichtung, kann ich daraus meine Position bestimmen. .

(Lehrbücher: Abstand in sm = 60 * arccos(sin BG * sin BB + cos BG * cos BB * cos(LB-LG)) .
BB = Breite Bildpunkt .
LB = Länge Bildpunkt .
BG = Breite geschätzte Position .
LG = Länge geschätzte Position .

.
0/2/5/4/6