0

0/15

16 Determinanten

0/15/1

16.2 Determinanten von Matrizen höherer Ordnung

0/15/1/12

16.2.11 Lösungsverhalten eines linearen (m,n)-Gleichungssystems

0/15/1/12/0

Das Lösungsverhalten eines linearen (m,n)-Gleichungssystems wird durch die Homogenität/Inhomogenität des Gleichungssystems entscheidend geprägt:

1.
Inhomogenes lineares Gleichungssystem A x = c
Das System besitzt entweder genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen oder überhaupt keine Lösung.
2.
Homogenes lineares Gleichungssystem A x = 0
Das System besitzt entweder genau eine Lösung, nämlich die triviale Lösung x = 0, oder unendlich viele Lösungen (darunter die triviale Lösung).

Ein gegebenes Gleichungssystem

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a1n xn =c1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + a2n xn =c2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + a3n xn =c3

kann man durch äquivalente Umformungen in ein gestaffeltes Gleichungssystem der Form

a11* x 1 + a12* x 2 + + a1r* x r + a1n* x n =c1*
+ a22* x 2 + + a2r* x r + a2n* x n =c2*
+ a rr* x r + arn* x n =cr*
0 =cr+1*
0 =cr+2*
0 =cm*

überführen.

0/15/1/12/1

PICPICPIC

Abbildung 9: eine / unendlich viele / keine Lösungen

0/15/1/12/2

.
In Matrixschreibweise :
A x = c wird durch äquivalente Umformungen in A*x* = c* überführt.
A (A|c) Zeilenumformungenelementare A* (A*|c*)

.

(A*|c*) = a11**a 12a1r*a 1n* 0 *a 22a2r*a 2n* 0 0 a rr*a rn* 0 0 0 0 A* c1* c2* c r* c m* c* .
.

Damit das Gleichungssystem lösbar ist, muss die erweiterte Koeffizientenmatrix (A*|c*) die spezielle Form

(A*|c*) = a11**a 12a1r*a 1n* 0 *a 22a2r*a 2n* 0 0 a rr*a rn* 0 0 0 0 0 0 0 0 A* c1* c2* 0 0 0 c*.
.
annehmen.
Sowohl die Matrizen a* als auch (A*|c*) sind von trapezförmiger Gestalt und enthalten in den letzten (m-r) Zeilen nur Nullen. Sie stimmen daher mit ihrem Rang überein:

Rg(A*) = Rg(A*|c*) = r.

Da die erweiterten Matrizen (A|c) und (A*|c*) durch äquivalente Umformungen / elementare Zeilenumformungen ineinander übergegangen sind, sind die korrespondierenden Matrizen ebenso ranggleich.

Dann gilt jedoch:

Ein lineares (m,n)-System A c = c ist nur dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatric A mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix (A|c) übereinstimmt:

Rg(A) = Rg(A|c) = r    (r m; r n)

Fallunterscheidungen

1.
Fall: r = n
Das gestaffelte System Ax = c* besitzt für r =n die quadratische Form:
a11* x 1 + a12* x 2 + + a1n* x n =c1*
+ a22* x 2 + + a2n* x n =c2*
a nn* x n =cn*

.

In Matrixschreibweise :

(A*|c*) = a11**a 12a1n* 0 *a 22a2n* 0 0 a nn* A* c1* c2* c n* cn* .
.
Nun kann man durch Rückwärtseinsetzen die Werte für x bestimmen. Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung

2.
Fall: r < n
Das gestaffelte System A*x = c* hat rechteckige Gestalt für r < n

a11* x 1 + a12* x 2 + + a1r* x r + a1n* x n =c1*
+ a22* x 2 + + a2r* x r + a2n* x n =c2*
a rr* x r + arn* x n =cr*
.
.
Damit haben wir mehr Unbekannte als Gleichungen: n > r. Davon sind n - r der Unbekannten, z.B. xr+1,xr+2,,xn frei wählbare Größen (Parameter).
Durch Rückwärtseinsetzen erhält man die unendlich vielen Lösungen des gestaffelten Systems, die dann durch die Parameter ausgedrückt werden.

Zusammenfassung: Ein Lineares Gleichungssystem ist nur lösbar, wenn Koeffzientematrix A und erweiterte Matrix (A|c) ranggleich sind:

Rg(A) = Rg(A|c) = r

Im Falle der Lösbarkeit besitzt das lineare Gleichungssystem die folgende Lösungsmenge:
Für r = n : Genau eine Lösung
Für r < n : Unendlich viele Lösungen

In einem homogenen System A x = 0 ist die Lösbarkeitsbedingung Rg(A) = Rg(A|c) stets erfüllt.


PICT
Abbildung 10: Lösbarkeit von Gleichungssystemen

.

0/15/1/12/3 .
Beispiel 16 - 154
Das Gleichungssystem

3x1-4x2 =2
- x1+5x2 =4
5x1+2x2 =12
.
ist nicht lösbar: Der Rang der Koeffizientenmatrix .
.
A 3 -4 -1 5 5 2 beträgt 2, da z.B. die Determinante .


-15 5 2 = -270.

Die Erweiterte Koeffizientenmatrix (A|c) ist quadratisch und sogar regulär: .
det(A|c) = 3 -4 2 -1 5 4 5 2 12 = -260.

Damit ist rg(A|c)rg(A) , das Gleichungssystem ist nicht lösbar. .
.
0/15/1/12/4 .

0/15/1/12/5 .
Beispiel 16 - 155
Das Gleichungssystem

4x1-x2-x3 =6
x1 +2x3 =0
- x1+2x2+2x3 =2
3x1-x2 =3
hat genau eine Lösung: .

(A|c) = 4 -1-1 1 0 2 -1 2 2 3 -1 0 6 0 2 3 tauschen tauschen .

1 0 2 4 -1 -1 -1 2 2 3 -1 0 0 6 2 3 -4 I +I -3 I .

1 0 2 0 -1 -9 0 2 4 0 -1 -6 0 6 2 3 +2 II -II .

1 0 2 0 -1 -9 0 0 -14 0 0 3 0 6 14-3 14 3 .

1 0 2 0 -1 -9 0 0 -1 0 0 1 0 6 1 -1 +III .

1 0 2 0 -1 -9 0 0 -1 0 0 0 A* 0 6 1 0 c* = (A*|c*).
Daraus folgt: rg(A) = rg(A*) = 3,rg(A|c) = rg(A*|c*) = 3. .
Aus dem gestaffelten System kann man das Ergebnis ablesen: .
x3 = -1 .
- x-2 - 9x3 = 6 x2 = 3 .
x1 + 2x3 = 0 x1 = 2. .

.
0/15/1/12/6 .

0/15/1/12/7 .
Beispiel 16 - 156
Das Gleichungssystem

x1+x2+x3+3x4 =0
2x2 +2x4 =5
- x1-x2-2x3-2x4 =4
2x1+4x2+2x3+8x4 =5
.
ist lösbar und hat unendlich viele Lösungen: .

(A|c) = 1 1 1 3 0 2 0 2 -1-1-2-2 2 4 2 8 0 5 4 5 +I -2 I .

11 1 3 0 2 0 2 00-11 02 0 2 0 5 4 5 -II .

11 1 3 0 2 0 2 00-11 00 0 0 A* 0 5 4 0 c* = (A*|c*).

Daraus folgt: rg(A) = rg(A*) = 3,rg(A|c) = rg(A*|c*) = 3. .
Da - r = 4 - 3 = 1, besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. .

.
0/15/1/12/8