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15 Reelle Matrizen

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15.1 Einstieg: Lineare Gleichungssysteme

0/14/1/1

15.1.2 Einige Beispiele zum Einstieg

0/14/1/1/4 .
x - Richtung :0 FA+ 1 2 FB+0 MA = F cos α y - Richtung : FA + 1 2 FB+0 MA = F sin α DrehmomentM :0 FA+ k 2 FB+ MA =k2 F sin α .
.
3 Gleichungen, 3 Unbekannte .

Beispiel 15 - 1: Verschnittkreuz
Gegeben sind die zwei (zu bestimmenden) Mengen x1 und x2 eines Weins mit dem Säuregehalt G1 = 3, 8gl und G2 = 9gl, die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge M und einem Gesamtsäuregehalt G = 6gl.
Die Gleichungen dieses Systems lauten dann:

x1+x2=M
G1 x1+G2 x2=G M

Nun multipliziert man die erste Gleichung mit G2: .
G2 x1+G2 x2=G2 M
G1 x1+G2 x2=G M

Subtraktion der zweiten von der ersten Zeile ergibt: .
(G2 - G1) x1+=(G2 - G) M

und damit x1 = (G2 - G) M G2-G1
oder x1 G2 - G
Die gleichen Schritte werden nach der Multiplikation der ersten Gleichung mit G1 analog durchgeführt:
G1 x1+G1 x2=G1 M
G1 x1+G2 x2=G M

Subtraktion der zweiten von der ersten Zeile ergibt:. .
+(G2 - G1) x2=(G - G1) M

und damit x2 = (G - G1) M G2-G1
oder x2 G - G1.
Kennt man die gesuchte Gesamtmenge nicht, kann man für das Verhältnis von x1 zu x2 angeben:
x1 x2 = G2-G G-G1 = (9.0-6.0)gl (6.0-3.8)gl = 3.0 2.2 1.36.

Zum besseren Behalten dieser Gleichungen werden die Werte in einem (Verschnitt-)Kreuz aufgetragen: .
.




G1 x1 (G2 - G)
G
G2 x2 (G - G1)



.
.
Mit Zahlen: .
.



3.8 3.0
6.0
9.0 2.2



.
.
Hat man nun eine vorgegebene Menge x1 = 630l, so kann man die Menge des Weins x2 einfach bestimmen zu:
630 x 2 = 3.0 2.2 und x2 = 630 2.2 3.0l = 462l.
Lösung des Beispiels mit Maple:
restart; eq1 := x1+x2 = M;
eq2 := 3.8*x1+9*x2 = 6.0*M;
solve({eq1, eq2}, {x1, x2,M}) ergibt:
x1 + x2 = M
3.8 x1 + 9 x2 = 6.0 M
{M = 2.363636364*x2, x1 = 1.363636364*x2, x2 = x2}.
Also: x2 ist frei wählbar, daraus ergibt sich x1 und daraus wiederum die Gesamtmenge.