0

0/2

3 Funktionen und Kurven, Darstellung

0/2/5

3.5 Polarkoordinaten

0/2/5/0

3.5.1 Polarkoordinaten im Zweidimensionalen

0/2/5/0/0

0/2/5/0/1


PIC .

Abbildung 1: Polarkoordinaten

0/2/5/0/2

. .

Abstandskoordinater
Winkelkoordinate φ
.

Umrechnung zwischen Polarkoordinaten
x = r cos φ .
y = r sin φ .
r = x2 + y2 .
tan φ = y x .

0/2/5/0/3 .
Beispiel 3 - 24
Zahlenbeispiel .

Wie lautet die Polarkoordinatendarstellung des Punkts P1 = (2,-5) ? .

Der Punkt P1 = (2,-5) hat den Abstand vom Ursprung r = 22 + 52 = 29 5, 36. .
Er liegt im 3. Quadranten, tan(φ) = -5 2 φ = arctan(-5 2 ) -1, 19 -68° .

.
0/2/5/0/4

0/2/5/0/5 .
Beispiel 3 - 25
Zahlenbeispiel .

Gegeben ist ein Punkt P2 mit r = 5 und φ = 5π 4 Wie lautet die Darstellung des Punkts in kartesischen Koordinaten ? .

Der Punkt P2 liegt im 3. Quadranten und hat die x-Koordinate x = 5 cos 5π 4 = -5 1 2 -3.54 und die y-Koordinate y = 5 sin 5π 4 = -5 1 2 -3.54

.
0/2/5/0/6

0/2/5/0/7 .
Beispiel 3 - 26
Archimedische Spirale .


PIC .

Abbildung 2: Archimedische Spirale

r(φ) = 2 φ

φ0π 6 2π 6 3π 6 4π 6 5π 6 π








.
Darstellung: .
r =2φ ist umkehrbar.
x = r cos φ =2φ cos φ
y = r sin φ =2φ sin φ

Nach Elimination von φ ist die Funktion nicht mehr umkehrbar !

.

r(φ) = 2 φ .

φ0π 6 2π 6 3π 6 4π 6 5π 6 π








r 0 1, 052, 093, 144, 195, 246, 28
.
Maple: .
plot([t*cos(t), t*sin(t), t=0..15])
.
0/2/5/0/8