0

0/12

13 Differentialrechnung

0/12/1

13.1 Differenzierbarkeit einer Funktion

0/12/1/0

0/12/1/1

13.1.1 Tangentenproblem

0/12/1/1/0

Beispiel: .

y =f(x) =x2x =0, 5:Steigung

0/12/1/1/1

PIC .

Abbildung 1: Tangentenproblem

0/12/1/1/2 .
Gesucht ist zunächst die Steigung der Sekante ms:

ms = tan ε =ΔyΔx
=((0, 5 + Δx)2 - 0, 25) Δx =(0, 25 + Δx + Δx2 - 0, 25) Δx
=(Δx (1 + Δx)) Δx =1 + Δx
.

Für die Tangentensteigung gilt: .

Δx 0mt = tan α = lim Δx0Δy Δx
= lim Δx0(1 + Δx) =1
.
.
Der Grenzwert existiert und ist links und rechts gleich. .
Funktion ist an der Stelle x = 0, 5 differenzierbar. .

Den angegebenen Grenzwert bezeichnet man als Ableitung : .

mt = tan α = lim Δx0(f(x0 + Δx) - f(x)) Δx
.
Sie wird häufig wie folgt symbolisiert: .
y(x 0),f(x 0), dy dxx=x0 Differentialquotient

.

Differenzierbarkeit -auch innerhalb des Definitionsbereichs- ist nicht von vornherein gegeben; Beispielsweise ist die Funktion .
y = |x| =

x für x 0 -x für x < 0
.

nicht überall ableitbar: An der Stelle x = 0 besitzt sie keine eindeutig bestimmte Tangente: .

0/12/1/1/3


PIC .

Abbildung 2: Differenzierbarkeit von y = |x|

0/12/1/1/4 .
Die Funktion y = |x| ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar

0/12/1/2

13.1.2 Potenzregel

für n gilt: .
ddx(xn) = lim x 0Δy Δx = lim x0(x + Δx)n - xn Δx .
.
(a + b)n = an + n 1 an-1b + n 2 an-2b2 + + bn .
.
Δy Δx = f(x0 + Δx) - f(x) Δx = (x + Δx)n - xn Δx .
.

Δy Δx =   n
/<msup><mrow>x/</mrow><mrow ></mrow></msup >   + n 1 xn-1(Δx) + n 2 xn-2(Δx)2 + + (Δx)n -  n
/<msup><mrow>x/</mrow><mrow ></mrow></msup >   Δx .
.
= n 1 xn-1 + n 2 xn-2(Δx) + + (Δx)n-1 .
.
d dx(xn) = lim x0 n 1 xn-1 + n 2 xn-2(Δx) + + (Δx)n-1 .
.
d dx(xn) = n 1 xn-1 = n xn-1

0/12/1/3

13.1.3 Ableitung elementarer Funktionen



Funktionsgruppe      Funktion f(x)Ableitung f(x)



Elementare Funktionen c 0



x 1



a x + b a



x2 2 x



x3 3 x2



xn n xn-1



1x - 1 x2



1xn - n xn+1



x 12 x



xn 1n xn-1 n



Exponentialfunktionen ex ex



ax ax ln(a)



Logarithmusfunktionen ln(x) 1x



log a(x) 1 ln (a) ax






Funktionsgruppe      Funktion f(x)Ableitung f(x)



Sinusfunktionen sin(x) cos(x)



cos(x) - sin(x)



tan(x) 1 cos 2 (x) = 1 + tan 2(x)



cot(x) 1 sin 2 (x) = 1 - cot 2(x)



Arcusfunktionen arcsin(x) 1 1 - x2



arccos x - 1 1 - x2



arctan x 11 + x2



arccot x - 1 1 + x2



Hyperbelfunktionen sinh x cosh x



cosh x sinh x



tanh x 1 cosh 2 x



coth x - 1 sinh 2(x)



Areafunktionen arsinh x 1 x2 + 1



arcosh x 1 x2 - 1



artanh x 11 - x2



arcoth x 11 - x2