0
0/13
14 Einführung in die Integralrechnung
0/13/4
14.4 Integrationsmethoden
0/13/4/0
14.4.1 Integration durch Substitution
0/13/4/0/0
Versucht man, das Integral
zu lösen, gelingt dies durch die Substitution mit einer Hilfsvariablen
. .
. .
Ersetzt man nun
und im
Integral durch
bzw. ,
so erhält man ein elementar lösbares Integral: .
. .
Rücksubstitution ergibt: .
. .
Generelle Vorgehensweise:
-
1.
- Aufstellung der Substitutionsgleichungen .
-
2.
- Durchführung der Substitution durch Einsetzen .
.
-
3.
- Integration .
.
-
4.
- Rücksubstitution (s.o.)
0/13/4/0/1 .
Beispiel 14 - 114
.
. . ,
.
.
.
.
0/13/4/0/2 .
Beispiel 14 - 115
.
. . ,
.
.
.
.
0/13/4/0/3 .
Beispiel 14 - 116
.
. . .
.
.
.
.
0/13/4/0/4 .
Beispiel 14 - 117
.
. . .
.
.
.
.
.
.
. Substitution:
. .
:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0/13/4/0/5 .
Beispiel 14 - 118
.
. . .
.
. .
. .
. .
.
.
.
.
.
0/13/4/0/6
0/13/4/1
14.4.2 Partielle Integration
0/13/4/1/0
Beim Integral
wird in
ein Produkt aus
- einer Funktion
und
- der Ableitung
einer Funktion
zerlegt, d.h.
Beispiel 14 - 119:
.
Dieses Integral lässt sich wie folgt darstellen: .
Das Verfahren ist hilfreich, wenn die Stammfunktion von
einfach zu bestimmen
ist. Dann ist das Integral
elementar lösbar.
Erklärung:
.
Nach der Produktregel für Ableitungen ist .
.
Das ganze integriert ergibt .
.
Aus der Beziehung zwischen Differential- und Integralrechnung
.
folgt .
.
Analog: .
Vorgehensweise
-
1.
- Bestimmen von
und
-
2.
- Berechnen von
und
-
3.
-
in .
.
einsetzen und ausrechnen.
Beispiel 14 - 120:
.
.
Schritte: .
-
1.
-
-
2.
-
-
3.
-
in .
.
einsetzen und ausrechnen.
.
0/13/4/1/1 .
Beispiel 14 - 119
.
- .
- .
- .
in .
einsetzen und ausrechnen.
.
0/13/4/1/2
0/13/4/1/3 .
Beispiel 14 - 120
(Achtung: Zweimalige partielle Integration erforderlich!) .
(Attention: Two partial integrations required!)
.
Teil 1:
- . .
- . .
- . .
in .
einsetzen und ausrechnen.
.
Wir müssen nun nochmals die Methode der partiellen Integration anwenden, um .
auszurechnen.Dies erfolgt in
Teil 2:
- . .
- . .
- . .
in .
.
.
.
.
.
.
Die unterschiedlichen Bezeichner für die Integrationskonstanten
sind irrelevant, da eine Konstante multipliziert mit einem beliebigen (ebenfalls konstanten)
Faktor ebenso eine Konstante ergibt. .
.
0/13/4/1/4
Regel zum Auffinden von
und
(die ALPES-Formel , aufgestellt durch meinen Studierenden Thaifa Alae): .
Sind beispielweise zwei Ausdrücke in der Prioritätsliste
-
1.
- A:
-
2.
- L:
-
3.
- P:
-
4.
- E:
-
5.
- S:
zu finden, so wird derjenige Term, der in der Liste weiter unterhalb steht, zu
und derjenige Term, der in der Liste weiter oberhalb steht, zu
.
0/13/4/2
14.4.3 Integration durch Partialbruchzerlegung
0/13/4/2/0
Durch Zerlegung eines Polynoms in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale
Funktion lassen sich die Summanden über die bereits eingeführten Integrationsmethoden
integrieren. .
0/13/4/2/1 .
Beispiel 14 - 121
Zur Integration der unecht gebrochenrationalen Funktion .
.
.
.
wird die Funktion zunächst zerlegt in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale
Funktion (z.B. mittels des Horner-Schemas) und anschließend die echt gebrochenrationale Funktion
mittels Partialbruchzerlegung weiter zerlegt. .
.
. . .
.
. Partialbrüche für die Nullstellen des Nenners:
. . (einfache
Nullstelle)
.
. . (einfache
Nullstelle)
.
. .
.
.
. .
. .
. .
. .
.
.
. . .
. .
. .
. .
.
.
0/13/4/2/2
0/13/4/3
14.4.4 Übungen
Bitte bearbeiten Sie die Übungen hier .