0

0/15

16 Determinanten

0/15/0

16.1 Einstieg

0/15/0/0

16.1.1 zweireihige Determinanten

0/15/0/0/0

2 × 2 Gleichungssysteme A x = c können wie folgt umgeformt werden:

a11x1 + a12x2 =c1 a22
a21x1 + a22x2 =c2 (-a12)

a11a22 x1 +a12a22 x2= c1 a22 -a12a21 x1-a12a22 x2=-c2 a12
+


a11a22 x1 - a12a21 x1 = c1 a22 - c2 a12
(a11a22 - a12a21)x1 = c1 a22 - c2 a12
x1 = c1 a22 - c2 a12 a11a22 - a12a21 , analog:
x2 = c2 a11 - c1 a21 a11a22 - a12a21 Beide Nenner sind gleich.
.
Bildet man aus der Koeffizientenmatrix .

A = a11a12 a21 a22 den Wert D = a11 a22 - a21 a12,
.
hat man die Koeffizientendeterminante der Matrix A bestimmt.
Da die Koeffizientenmatrix eine 2x2-Matrix ist, spricht man von einer 2-reihigen Koeffizientendeterminanten oder Koeffizientendeterminanten 2. Ordnung.

Ist der Wert der Determinanten D = 0, so hat das Gleichungssystem keine (bzw. bei einem homogenen Gleichungssystem unendlich viele) Lösung(en). .
Determinanten lassen sich nur für quadratische Matrizen (d.h. die Matrix hat genau so viele Zeilen wie Spalten) angeben. .

Rechenregel zur Bestimmung einer 2x2-Determinanten: .

D = det A = a11 a12 × a 21 a22 = |A| = |aik|
.

Die Determinante erhält man, indem man das Produkt der Hauptdiagonal-Elemente bildet und davon das Produkt der Nebendiagonal-Elemente subtrahiert:

det A = det a11a12 a21 a22 = a11a22-a21a12
.
Beispiel 16 - 1:

det A = 5 3 -10 -6 = -30+30 = 0.

0/15/0/0/1 .
Beispiel 16 - 143

1.
det A = 3 5 -2 -4 =
2.
det A = 10 0 1 =
3.
det A = 5 3 -10 -6 =

.
.

1.
det A = 3 5 -2 -4 = 3-4-(-2)5 = -12-(-10) = -2
2.
det A = 10 0 1 = 10-00 = 1
3.
det A = 5 3 -10 -6 = 5(-6)-(-10)3 = 0

.
0/15/0/0/2