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0/11
12 Hyperbel- und Areafunktionen
0/11/0
0/11/1
12.1 Hyperbelfunktionen
0/11/1/0
12.1.1 Hyperbelsinus und - cosinus
0/11/1/0/0
Die Begriffe Hyperbelfunktion , Hyperbelsinus sowie Hyperbelcosinus leiten sich aus der
Beziehung .
ab, die
ähnlich zu .
ist. .
0/11/1/0/1 .
Beispiel 12 - 68
.
.
.
.
.
.
.
0/11/1/0/2
.
.
.
.
.
Additionstheoreme : .
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| |
Technische Anwendung: Die Kettenlinie .
0/11/1/0/3 .
Beispiel 12 - 69
Kettenlinien werden durch eine Funktion
beschrieben. .
Zwei Masten sind 40 m voneinander entfernt. Eine Leitung (=’Kette’) zwischen diesen zwei
Befestigungen hat in der Mitte einen Abstand von 10 m zum Erdboden. Wie hoch sind die Masten ?. .
.
.
Herleitung (für Interessierte): Die Masse eines kleinen Teilstücks der Länge
, das in
x- und y-Richtung (mit noch unbekannten Beträgen) ausgedehnt ist, beträgt nach Phytagoras (mit
als
Gewicht pro Länge):
. .
.
Differentiell ausgedrückt:
. .
.
Die (feste, aber noch unbekannte) Länge erhält man über
. .
Die Energie pro Teilstückchen
ist
.
.
Damit wird für die Gesamtenergie
. , die es
zu minimieren gilt. Hierzu subtrahiert man auf beiden Seiten einen Wert für eine Länge
:
.
.
.
Für diese Energie sucht man nun ein Minimum, was folgende Gleichung ergibt:
. .
.
Diese (Differential-) gleichungen werden gelöst durch folgende Funktion:
. .
.
ist
der Krümmungsradius am Scheitelpunkt und gleichzeitig der Vergrößerungsfaktor.
.
Im symmetrischen Fall (gleich hohe Aufhängepunkte) lautet die Gleichung
.
Durch geeignete Wahl der Ausgangsbedingungen kann man
eliminieren.
.
zur Aufgabe: .
1. Scheitelpunkt mit
.
2. Aufhängepunkte : .
.
.
0/11/1/0/4 .
0/11/1/0/5
0/11/1/0/6 .
Beispiel 12 - 70:
Fall
mit Luftwiderstand .
| | | | Reibungskraft, mit const. |
| | | |
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| | | |
| |
.
0/11/1/0/7
0/11/1/0/8 .
0/11/1/1
12.1.2 Areafunktionen
0/11/1/1/0
Die Areafunktion ist die Umkehrfunktion einer Hyperbelfunktion. .
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| |
.
0/11/1/1/1
0/11/1/1/2
0/11/1/1/3 .
Beispiel 12 - 70
Bitte vereinfachen Sie:
.
| | |
| | | | | |
| |
.
0/11/1/1/4 .
0/11/1/1/5 .
Beispiel 12 - 71
Bitte vereinfachen Sie:
.
| | | | |
| | | | | , da |
| |
.
0/11/1/1/6 .
0/11/1/1/7 .
Beispiel 12 - 72
Bilden Sie die Umkehrfunktion von
.
| ausmultiplizieren . |
| | . |
| | quadrat. Ergänzung: addieren und subtrahieren . |
| | isolieren, Wurzel . |
| | isolieren . |
| | logarithmieren . |
| | achtung mit minus ! . |
| |
.
0/11/1/1/8 .
0/11/1/1/9 .
Beispiel 12 - 73
Bilden Sie die Umkehrfunktion zu :
.
.
.
Variablentausch:
| | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | |
| |
.
0/11/1/1/10 .