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20 Anwendungen

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20.1 Vektordarstellung von Geraden

0/19/1/0

r(λ) =r1 + λa

Zwei-Punkte-Form

r(λ) =(r1 -r2 )λ + r1
=r1 + λa
a =r2 -r1
.

Den Abstand eines Punktes Q von einer Geraden r(λ) = r1 + λa erhält man über die Fläche eines Parallelogramms. Diese ist zum einen bestimmbar über Grundlinie mal Höhe, zum anderen über den betrag des Kreuzprodukts. .
Man erhält somit die Höhe, indem man die Fläche des Parallelogramms über das Kreuzprodukt ermittelt und durch die Grundlinie dividiert.

A =|r2 -r1 | d oder
A =|b ×a|
=|P1Q × (r2 -r1 )|
d =|P1Q × (r2 -r1 )| |r2 -r1 |
=|(Q -r1 ) ×a| |a|
.
.
0/19/1/1 .
Beispiel 20 - 199
Abstand Punkt - Gerade .

PIC .

Abbildung 1: Abstand Punkt- Gerade

|

#a ×

# b | = |-

                                                                                               #b ×

                                                                                                                                                                                             #a |. .

.
0/19/1/2

0/19/1/3 .
Beispiel 20 - 200
Gegeben sei eine Gerade

#r (λ)

=

                                                                                                            #r1  +λ

                                                                                                                                                                                                            #a

= 1 0 1 +λ 2 5 2
sowie der Punkt Q = 5 3 -2

Bestimmen Sie den Abstand des Punkts von der Gerade.

.

(

 #
r2  -

#
r1  )×

                                                                                              #
                                                                                              a

= 5 - 1 3 - 0 -2 - 1 ×2 5 2 = x y z 4 3-3 2 5 2 = 21 -14 14
|(

#r2  -

#r1  )×

                                                                                              #a |

=212 + 142 + 142 =833
|

#a |

=4 + 25 + 4 =33
d =833 33 5, 02

.
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