0

0/1

2 Gleichungen

0/1/1

2.1 Terme und Gleichungen, Äquivalenzumformungen

0/1/1/3

2.1.4 Äquivalenzumformungen

Äquivalenz kann alternativ so formuliert werden: Definitionsmenge und Lösungsmenge äquivalenter Terme stimmen überein.

Elementare Äquivalenzumformungen :

1.

Vertauschen der Seite einer Gleichung

$x$	=	$3$	$\iff$	$3$	=	$x$ .
$↯x$	$<$	$3$	$\iff$	$3$	$<$	$x↯$

(Achtung! Dies gilt nicht für Ungleichungen!)

2.

Termaddition/Subtraktion

$x+3$	=	$7$	$|-3$ .
$x$	=	$4$	.

3.

Term-Multiplikation/Division
Achtung ! Der Faktor/Divisor darf nicht Null sein!  Sonst erhält die Ursprungsgleichung weitere Lösungen order verliert welche.
.

$x$	=	$3$	$|\cdot 4$	$\Rightarrow$	$x\cdot 4$	=	$3\cdot 4$	$✓$
$x$	=	$3$	$|\cdot \underset{=0}{\underbrace{\left(x-1\right)}}$	$\nRightarrow$	$x\cdot \left(x-1\right)$	=	$3\cdot \left(x-1\right)$	$f$

Alle Nullstellen des Faktors, mit dem wir multiplizieren, kommen als scheinbare Lösungen hinzu. Mit einer Probe kann man sie wieder "herausfiltern".

.

4.

Substitution
.Um die Komplexität zu reduzieren, wird ein Term wird durch einen anderen Term ersetzt. Damit wird die Gleichung gelöst.

In die so erhaltene Lösung wird durch Rückwärtseinsetzen die Lösung der ursprüglichen Gleichung erhalten.

Beispiel 2 - 4 Beispiel: $x^2-6=3$ .

	$x^2-6$	$=$	$3$	Substituiere mit:	$y=x^2$
$\Rightarrow$	$y-6$	$=$	$3$
	$y$	$=$	$9$	Rücksubstitution:
$\Rightarrow$	$x^2$	$=$	$9$	$|\sqrt{\text{Wurzel ziehen}}$
	$x_{1,2}$	$=$	$\pm 3$