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4 Computer Algebra Systems

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4.2 Beispiel Maxima

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4.2.1 Erster Einstieg

Nach dem Aufruf von wxMaxima erhält man einen leeren Bildschirm mit einer Menüleiste. Gibt man etwas Auswertbares ein, zum Beispiel 2+5 und schließt mit STRG + ENTER ab, wird die Eingabe (%i1) wiederholt und das Ergebnis (%io1) schwarz angezeigt. Mehrere Eingaben in einer Zeile müssen mit jeweils einem Semikolon getrennt werden.  Das aktuelle Ergebnis kann mit % weiterverwendet werden. Die Eingaben der einzelnen Bereiche können nachträglich verändert werden. Durch erneutes Drücken der Tasten STRG + ENTER wird das Ergebnis neu berechnet.

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4.2.2 Auswertung der Eingaben, Kontextmenü

Schließt man eine Eingabe mit STRG + ENTER ab, wird das Ergebnis unterhalb angezeigt. Alle Ergebnisse werden durchnummeriert mit i1, i2 bzw. o1, o2 usw. Dadurch kann auf einzelne Ergebnisse zugegriffen werden. Mit % kann das letzte berechnete Ergebnis weiterverwendet werden.  Durch den Befehl ’float’ können Brüche in eine Fließkommazahl umgewandelt werden.

Einige ausgewählte Toolbox-Optionen:

Alternativ zur Eingabe von Befehlen, kann auch die Menüleiste zur Eingabe von Aufgaben dienen.

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4.2.3 Auswertung von Summenformeln und Produktformeln

Häufig werden umfangreichere Summen durch Summationszeichen ausgedrückt.
Beispiel 4 - 1: Vereinbarung einer Summenformel
Es soll für die Variable $s$ die Summe der Zahlen von 1 bis 5 bestimmt werden, wenn eine Formel
$s=\sum _{i=1}^{5}i$ angegeben wurde. $i$ ist hierbei die ’ Laufvariable ’. Unterhalb des $\Sigma$-Zeichens steht hierbei die Vereinbarung der Laufvariablen und die Untergrenze, oberhalb des $\Sigma$-Zeichens steht die Obergrenze.
Von Hand ausgerechnet bedeutet dies:
$s=\sum _{i=1}^{5}i=1+2+3+4+5=15$. .
(Vorschlag von Gauss: Addiere $\left(1+5\right)+3+\left(2+4\right)=15$). .
.
Eine Formel $s=\sum _{i=2}^4{i}^2$ ergäbe: $2^2+3^2+4^2=29$.
Maxima stellt hierfür den Befehl ’sum(i^2, i, 2, 4);’ zur Verfügung. .

Beispiel 4 - 2: Vereinbarung einer Produktformel
Auch für Produkte gibt es eine solche Vereinbarung:
$p=\prod _{k=1}^{4}1∕k=\frac{1}{1}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{24}$.
In Maxima wird hierfür eingegeben: ’product(1/k, k, 1, 4);’ und man erhält: $\frac{1}{24}$.

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4.2.4 Primfaktorzerlegung, GGT, KGV

Für eine ganze Zahl oder Bruchzahl n ergibt ’factor(n)’ eine Primfaktorenzerlegung .
Beispiel 4 - 3: ’factor(120);’ ergibt ${\left(2\right)}^3\left(3\right)\left(5\right)$.
Beispiel 4 - 4: ’factor(-125/1764);’ ergibt $\frac{5^3}{2^2{3}^2{7}^2}$. .

Für zwei Zahlen ergibt gcd(zahl1, zahl2) den größten gemeinsamen Teiler ( GGT ).
Beispiel 4 - 5: ’gcd( 540, 210);’ ergibt: 30.

Für zwei Zahlen ergibt ’lcm( ,);’ das kleinste gemeinsame Vielfache ( KGV ).
Beispiel 4 - 6: ’lcm( 540, 210);’ liefert: 3780.

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4.2.5 Lösen von Gleichungssystemen

Auch das Lösen von Gleichungssystemen kann von Maxima vorgenommen werden.
Beispiel 4 - 7: Lösen eines LGS

• eq1 : a + b + c = 6;
• eq2 : a * b + c = 5;
• eq3 : a + b * c = 7;
• s: solve([eq1, eq2, eq3], [a, b, c]);

Die Lösung der Variablen werden nacheinander in einer eckigen Klammer angezeigt.

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4.2.6 Darstellung von Matrizen

Matrizen können ebenfalls mit Maxima bearbeitet werden. Die Darstellung erfolgt mit dem Befehl ’matrix()’.
Beispiel 4 - 8: Darstellung einer Matrix
Die Eingabe von ’m:matrix([7,8][4,6])’ stellt die Matrix $m=\left(\begin{array}{cc}7& 8\\ 4& 6\end{array}\right)$dar. Um eine inverse Matrix zu bilden verwendet man den Befehl ’invert()’, um die Determinante zu bilden den Befehl ’determinant()’ und zur Multiplikation zweier Matrizen wird der Punkt ’.’ genutzt.

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4.2.7 Differenzieren und Integrieren

Differenzieren ist mit der Funktion ’diff()’ möglich.
Beispiel 4 - 9: Differenzieren

• diff(x^2,x);
• diff(sin(x),x);
• diff(%e^(3 * x + 1 / x), x);

Zur Integralbildung dient der Befehl ’integrate()’.
Beispiel 4 - 10: Integration

• Unbestimmte Integrale
  • integrate(x^2,x);
  • integrate(cos(2 + 9 * x), x)
• Bestimmte Integrale
  • integrate(x^2, x, -1, 1); Berechnet die Fläche von -1 bis 1.
  • integrate(sin(x), x, 0, %pi); Berechnet die Fläche zwischen 0 und $\pi$.

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4.2.8 Zeichnen von Graphen

Mit Hilfe des Befehls wxplot2d() lassen sich elegant Zeichnungen von Funktionen erstellen. Beispiele:

• wxplot2d([x^2], [x, -10 ,10])$
  zeichnet die Funktion $x^2$ zwischen x = -10 ..10
  
• wxplot2d([x^2], [x, -4 ,4])$
  zeichnet die Funktion $x^2$ zwischen x = -4 ..4
  
• wxplot2d([x^2], [x, -4, 4], [y, 0, 10])$
  zeichnet die Funktion $x^2$ zwischen x = -4 ..4 und y = 0 ..10
  
• wxplot2d([cos(x), sin(x)], [x, 0, 2*%pi])$
  zeichnet die Kurven $sin\left(x\right)$ und $cos\left(x\right)$ in das gleiche Bild