0/4

5 Reihen, Grenzwert und Stetigkeit

0/4/1

5.1 Reelle Zahlenfolgen (geordnete Menge diskreter Zahlen)

0/4/1/3

5.1.4 geometrische Reihen

Man kann sich die Entstehung geometrischer Reihen so vorstellen, daß ausgehend von zwei Werten a und k eine Summe gebildet wird (ausgehend von a wird n-mal mit k multipliziert):
$s_{n} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} + a k^{n - 2} + a k^{n - 1}$ .
Die Summe kann man durch einen Trick ermitteln: man multipliziert beide Seiten mit k:
$k s_{n} = a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} + a k^{5} + . . . + a k^{n - 1} + a k^{n}$ .
Subtrahiert man beide Gleichungen, erhält man
$s_{n} - k s_{n} = a - a k^{n}$ oder $s_{n} (1 - k) = a (1 - k^{n})$ oder $s_{n} (k - 1) = a (k^{n} - 1)$ . .
Damit wird $s_{n} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} + a k^{5} + . . . + a k^{n - 1} = a \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1}$ .