0

0/5

6 Arithmetische Funktionen

0/5/0

6.1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

0/5/0/4

6.1.5 Horner-Schema

0/5/0/4/2

Vorgehen:

• Lückenloses Aufschreiben der Koeffizienten in 1. Zeile.
• 1. Koeffizient herunterholen.
• mit Argument multiplizieren und in 2. Spalte.
• mit 2. Koeffizient addieren etc.
• $\to$ Das Ergebnis steht rechts unten

Ist $x_0$ eine Nullstelle, dann stehen in der unteren Zeile die Koeffizienten des reduzierten Polynoms. Dies soll am Beispiel eines Polynoms dritten Grades verdeutlicht werden: .
$\frac{f\left(x\right)}{x-x_0}=\frac{a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0}{x-x_0}=b_2{x}^2+b_{1}x+b_0+r\left(x\right)$ .

$f\left(x_0\right)=a_3{x}_0^3+a_2{x}_0^2+a_1{x}_0+a_0$ .
$\begin{array}{ccccc}\hfill \hfill & \hfill a_3\hfill & \hfill a_2\hfill & \hfill a_1\hfill & \hfill a_0\hfill \\ \hfill x_0\hfill & \hfill \hfill & \hfill b_2{x}_0\hfill & \hfill b_1{x}_0\hfill & \hfill b_0\hfill \\ & & & & \\ \hfill \hfill & \hfill a_3=b_2\hfill & \hfill b_1=a_2+b_2{x}_0\hfill & \hfill b_0=a_1+b_1{x}_0\hfill & \hfill p\left(x_0\right)=a_0+b_0\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}$ .
Für die Koeffizienten gilt: .
$a_3=b_2$ .
$b_1=a_2+b_2{x}_0=a_2+a_3{x}_0$ .
$b_0=a_1+b_1{x}_0=a_1+a_2{x}_0+a_3{x}_0^2$. .
Die Restfunktion $r\left(x\right)$ ist echt gebrochen: .
$r\left(x\right)=\frac{a_0+a_1{x}_0+a_2{x}_0^2+a_3{x}_0^3}{x-x_0}=\frac{f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ .
Im Zähler tritt genau der Funktionswert von $f\left(x\right)$ an der Stelle $x_0$ auf. Die Restfunktion $r\left(x\right)$ verschwindet an der Nullstelle $x_0$. Damit wird .
$\frac{f\left(x\right)}{x-x_0}=\frac{a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3}{x-x_0}=\underset{1.reduziertesPolynomvonf\left(x\right)}{\underbrace{b_2{x}^2+b_{1}x+b_0}}$.