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7 Gebrochenrationale Funktionen

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7.1 Nullstellen und Polstellen

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7.1.5 Partialbruchzerlegung

Ziel der Partialbruchzerlegung ist eine Vereinfachung gebrochenratiohaler Funktionen, um sie beispielsweise besser integrieren zu können. Vorgehen:

• Bestimmung reeller Nullstellen des Nenners.
• Jeder Nullstelle wird ein Partialbruch zugeordnet.
  • $x_1$ (einfache Nullstelle) $\to \frac{A_1}{\left(x-x_1\right)}$.
  • $x_1$ (zweifache Nullstelle) $\to \frac{A_1}{\left(x-x_1\right)}+\frac{A_2}{{\left(x-x_1\right)}^2}$.
  • $x_1$ (dreifache Nullstelle) $\to \frac{A_1}{\left(x-x_1\right)}+\frac{A_2}{{\left(x-x_1\right)}^2}+\frac{A_3}{{\left(x-x_1\right)}^3}$.
  • $⋮$
  • $x_1$ ($n$-fache Nullstelle) $\to \frac{A_1}{\left(x-x_1\right)}+\frac{A_2}{{\left(x-x_1\right)}^2}+\dots \frac{A_n}{{\left(x-x_1\right)}^n}$.
• Liegen weitere nicht-reelle Nullstellen des Nenners vor (z.B.) $\left(x^2+1\right)$, so gehört dazu ein Partialbruch mit dem Zähler $Ax+B$ etc. .
  
• Die echt gebrochen rationale Funktion ist die Summe der Partialbrüche.
  Die Konstanten $A_1,A_2$, …kann man durch Koeffizientenvergleich oder durch geschickte Wahl von Nullstellen etc. bestimmen.

Beispiel 7 - 1:
$$