Partialbruchzerlegung

0/6

7 Gebrochenrationale Funktionen

0/6/0

7.1 Nullstellen und Polstellen

0/6/0/4

7.1.5 Partialbruchzerlegung

y = \frac{x + 1}{(x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4)}

, mit

x_{1} = 1

und

x_{2, 3} = 2

$y = \frac{x + 1}{(x - 1) {(x - 2)}^{2}}$ .
$= \frac{A}{(x - 1)} + \frac{B}{(x - 2)} + \frac{C}{{(x - 2)}^{2}}$ .
$= \frac{A {(x - 2)}^{2} + B (x - 1) (x - 2) + C (x - 1)}{(x - 1) {(x - 2)}^{2}}$ . .
.
Daraus folgt .
$(x + 1) = A {(x - 2)}^{2} + B (x - 1) (x - 2) + C (x - 1)$ .
.
Diese Beziehungen müssen für beliebige $x$ erfüllt sein. .
1. Koeffizientenvergleich: .
$x + 1 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C x - C$ .
$x^{2} \Rightarrow 0 = A + B$ .
$x^{1} \Rightarrow 1 = - 4 A - 3 B + C$ .
$x^{0} \Rightarrow 1 = 4 A + 2 B - C$ .
oder .
2. geschickte Wahl von x, damit man Nullstellen erhält:

$x = 1$	$\Rightarrow$	$2 = A$
$x = 2$	$\Rightarrow$	$3 = C$
$x = 0$	$\Rightarrow$	$1 = 4 A + 2 B - C = 4 \cdot 2 + 2 B - 3$
		$B = - 2$

$y$	$=$	$\frac{x + 1}{(x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4)}$	=	$\frac{2}{(x - 1)} + \frac{- 2}{(x - 2)} + \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$