Mathe1_6_0_0

0/6

7 Gebrochenrationale Funktionen

0/6/1

7.2 Interpolationspolynome

0/6/1/0

7.2.1 Interpolationspolynome nach Newton

0/6/1/0/0

Fragestellung: $n$ -Messpaare liegen vor. Gesucht ist nun ein Interpolationspolynom , das die Werte möglichst exakt beschreibt. .

$i$	$0$	$1$	$2$
$x_{i}$	$- 1$	$1$	$2$
$y_{i}$	$0$	$2$	$4$

.
.
1. Möglichkeit .

$y_{0}$	$=$	$a_{0} + a_{1} x_{0} + a_{2} x_{0}^{2}$
$y_{1}$	$=$	$a_{0} + a_{1} x_{1} + a_{2} x_{1}^{2}$
$y_{2}$	$=$	$a_{0} + a_{1} x_{2} + a_{2} x_{2}^{2}$

.
.
-

Bei vielen Messwerten wird das Ermitteln der Koeffizienten aufwendig. Besser ist dann das Arbeiten mit Linearfaktoren. Dies leistet das Verfahren der Polynom-Interpolation nach Newton

y = c_{0} + c_{1} (x - x_{0}) + c_{2} (x - x_{0}) (x - x_{1})

+ …+

c_{n} (x - x_{0}) (x - x_{1})

…

(x - x_{n})

gegeben: Wertepaare

(x_{0}; y_{0}) (x_{1}; y_{1})

…

(x_{n}; y_{n})

1.: Betrachtung von nur $(x_{0}; y_{0})$
$\Rightarrow$ Es reicht das Polynom von Grad 0
$p_{0} (x) = c_{0} = y_{0}$
2.: Hinzunehmen von Punkt $(x_{1}; y_{1})$
$p_{1} (x) = c_{0} + c_{1} (x - x_{0})$
3.: Hinzunehmen von Punkt $(x_{2}; y_{2})$
$p_{2} (x) = c_{0} + c_{1} (x - x_{0}) + c_{2} (x - x_{0}) (x - x_{1})$
4.: $n$ -Stützstellen
$p (x) = c_{0} + c_{1} (x - x_{0}) + c_{2} (x - x_{0}) (x - x_{1})$ + …+ $c_{n} (x - x_{0}) (x - x_{1})$ … $(x - x_{n})$
$= \sum_{i = 0}^{n} c_{i} \prod_{j = 0}^{i - 1} (x - x_{j})$

Bestimmung der Koeffizienten

$p (x_{0})$	$=$	$c_{0}$	$=$	$y_{0}$
$p (x_{1})$	$=$	$c_{0} + c_{1} (x_{1} - x_{0})$	$=$	$y_{1}$
$p (x_{2})$	$=$	$c_{0} + c_{1} (x_{2} - x_{0}) + c_{2} (x_{2} - x_{0}) (x_{2} - x_{1})$	$=$	$y_{2}$

$c_{0}$	$=$	$y_{0}$
$c_{1}$	$=$	$\frac{y_{1} - c_{0}}{x_{1} - x_{0}}$	$=$	$\frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}}$
$c_{2} (x_{2} - x_{0}) (x_{2} - x_{1})$	$=$	$y_{2} - c_{0} - c_{1} (x_{2} - x_{0})$

$\Rightarrow$ $c_{2}$	$= \frac{\overset{γ_{12}}{\overset{︷}{\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}}} - \overset{γ_{01}}{\overset{︷}{\frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}}}}}{x_{2} - x_{0}} = \frac{γ_{12} - γ_{01}}{x_{2} - x_{0}}$