0/7

8 Potenz- und Wurzelfunktionen

0/7/2

8.2 Wurzelfunktionen

0/7/2/1

8.2.2 Wurzelgleichungen

1.

Wurzelgleichungen mit einer Wurzel:
Lösungsmethode: isolierung der Wurzel und Potenzieren

↯

i.d.R. nicht äquivalente Umforungen, daher Lösungen ausprobieren.

Beispiel 8 - 1:

$\sqrt{x + 7}$	$=$	$x + 1$	$D = {x \in ℝ \| x \geq - 7}$
$\sqrt{x + 7}$	$=$	$x + 1$	$\| q u a d r i e r e n$
$x + 7$	$=$	$x^{2} + 2 x + 1$	$\| - x - 7$
$0$	$=$	$x^{2} + x - 6$
$x_{1, 2}$	$=$	$- \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 6}$
$x_{1} = 2$		$x_{2} = - 3$

Probe:

$\sqrt{2 + 7}$	$=$	$2 + 1$	$\Rightarrow$	$\sqrt{9} = 3$	$x_{1} = 2$	$✓$
$\sqrt{- 3 + 7}$	$=$	$\sqrt{4}$	$\neq$	$- 3 + 1 = - 2$		$f$
$L = {2}$

.
Beispiel 8 - 50
Lösen Sie die Gleichung
$\sqrt{x + 5} - x + 1 = 0$

$\sqrt{x + 5} = x - 1$
$x + 5 = x^{2} - 2 x + 1$
$x^{2} - 3 x = 4$ ergibt 4, -1. .
-1 ist nicht zulässig. .
.
.
Weit. Beispiel: $\sqrt{x - 4} \cdot \sqrt{x - 9} = 0$ .
Ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist: $x_{1} = 4, x_{2} = 9$ .
Weit. Beispiel: $\sqrt{x + 4} + x - 1 = 0$ .
$x + 4 = x^{2} - 2 x + 1$ .
$x^{2} - 3 x - 3 = 0$ .
$x_{1, 2} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} + 3} = \frac{3}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{21}$ .

2.

Wurzelgleichungen mit zwei Wurzeln
Methode:

(a): Isolieren der Wurzel
(b): Quadrieren der Gleichung
(c): Isolieren der zweiten Wurzel
(d): Quadrieren (potenzieren) der Wurzel

Beispiel 8 - 51:

$3 + \sqrt{x + 3}$	$=$	$\sqrt{3 x + 6} + 2$	$D = {x \in ℝ \| x \geq - 2}$
$3 + \sqrt{x + 3}$	$=$	$\sqrt{3 x + 6} + 2$	$\| - 2$
$1 + \sqrt{x + 3}$	$=$	$\sqrt{3 x + 6}$	$\|$ Quadrieren
$1^{2} + 2 \sqrt{x + 3} + (x + 3)$	$=$	$3 x + 6$	$\| - 4 - x$
$2 \sqrt{x + 3}$	$=$	$2 x + 2$	$\| : 2$
$\sqrt{x + 3}$	$=$	$x + 1$	$\|$ Quadrieren
$x + 3$	$=$	$x^{2} + 2 x + 1$	$\| - x - 3$
$0$	$=$	$x^{2} + x - 2$
$x_{1} = - 2$		$x_{2} = 1$

Probe:

$3 + \sqrt{- 2 + 3}$	$=$	$4$	$\neq$	$\sqrt{3 \cdot (- 2) + 6} + 2$	$=$	$2$
$3 + \sqrt{1 + 3}$	$=$	$5$	$=$	$\sqrt{3 + 6} + 2$	$=$	$5$
$L = {1}$