0/9

10 Logarithmusfunktionen

0/9/1

10.1 Grundbegriffe, Rechenregeln

0/9/1/1

10.1.2 Basiswechsel von Logarithmen

0/9/1/1/0 .
Beispiel 10 - 54
Sie sollen mit dem Taschenrechner berechnen: $x = {log}_{3} 123$ , Ihr Taschenrechner kann aber nur natürliche Logarithmen ( $ln$ ) bestimmen. Sie können wie folgt vorgehen: .
$3^{x} = 123$ , logarithmieren: .
$ln 3^{x} = l n 123$ oder .
$x \cdot ln 3 = l n 123$ .
$x = \frac{1}{ln 3} \cdot ln 123$ . .
Allgemein führt dies zur Frage des Basiswechsels: .
Gegeben sei ein Logarithmus ${log}_{s} d$ mit $d > 0, s > 0, s \neq 1$ mit irgendeinem Wert. .
Dieser Logarithmus soll in einen Term r umgewandelt werden, in dem später nur noch Logarithmen der Basis d (d steht für destination, frei wählbar und größer Nulls s für source, frei wählbar und größer Null) vorkommen sollen: .
${log}_{d} c = r$ .
.

Definition des Logarithmus anwenden:

d^{r} = c

.
Zur Basis s logarithmieren: .

{log}_{s} d^{r} = {log}_{s} c

r \cdot {log}_{s} d = {log}_{s} c

, nach r auflösen: .

r = \frac{{log}_{s} c}{{log}_{s} d}

. .
Mit der Definition (s.o).

{log}_{d} c = r

wird daraus: .

{log}_{d} c = \frac{{log}_{s} c}{{log}_{s} d}

. .

Hat man den Logarithmus von c zur Basis s, so kann man ihn umrechnen zur Basis d, indem man durch den Logarithmus von d zur Basis s dividiert: .

${log}_{d} c = \frac{1}{{log}_{s} d} \cdot {log}_{s} c$ . .
.