0/12

0/12/1

0/12/1/1

0/12/1/1/2 .
Gesucht ist zunächst die Steigung der Sekante $m_{s}$ :

Für die Tangentensteigung gilt: .

.
.
Der Grenzwert existiert und ist links und rechts gleich. .

\Rightarrow

Funktion ist an der Stelle

x = 0, 5

differenzierbar. .

Den angegebenen Grenzwert bezeichnet man als Ableitung : .

$m_{t}$	$=$	$tan α$	$=$	$lim_{Δ x \to 0} \frac{(f (x_{0} + Δ x) - f (x))}{Δ x}$

.
Sie wird häufig wie folgt symbolisiert: .

$y^{'} (x_{0}),$		$f^{'} (x_{0}),$		$\underset{Differentialquotient}{\underset{︸}{{\frac{d y}{d x}\|}_{x = x_{0}}}}$

Differenzierbarkeit -auch innerhalb des Definitionsbereichs- ist nicht von vornherein gegeben; Beispielsweise ist die Funktion

.
$y = | x | = {\begin{matrix} x für x \geq 0 \\ - x für x > 0 \end{matrix}$ .

nicht überall ableitbar: An der Stelle x = 0 besitzt sie keine eindeutig bestimmte Tangente: .