0

0/12

13 Differentialrechnung

0/12/3

13.3 Anwendung der Differentialrechnung

0/12/3/6

13.3.6 Linearisierung einer Funktion; Nullstellenbestimmung nach Newton

0/12/3/6/2 .

$\frac{y-y_0}{x-x_0}=f^{\prime }\left(x_0\right)$ .
.
$\frac{0-y_0}{x_1-x_0}=f^{\prime }\left(x_0\right)$ .
.
$x_1=x_0-\frac{y_0}{f^{\prime }\left(x_0\right)}$ .
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.
Wiederholung: $x_{n+1}=x_n-\frac{y_n}{f^{\prime }\left(x_n\right)}$ solange, bis Fehler $y\left(x_n\right)<\epsilon$ .
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Konvergenzkriterien: $\left|\frac{f\left(x\right)\cdot f^{″}\left(x\right)}{f^{\prime }{\left(x\right)}^2}\right|<1$ .
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Beispiel: $x^2+2-e^x=0\iff x^2+2=e^x$ .
Startwert $x=1,5$ : Konvergenzkriterium erfüllt? .
$y=x^2+2-e^x\Rightarrow f\left(1,5\right)\approx -0,2$ .
$y^{\prime }=2x-e^x\Rightarrow f^{\prime }\left(1,5\right)\approx -1,48$ .
$y^{″}=2-e^x\Rightarrow f^{″}\left(1,5\right)\approx -2,48$ .

$\left|\frac{f\left(1,5\right)\cdot f^{″}\left(1,5\right)}{f^{\prime }{\left(1,5\right)}^2}\right|=|-0,26|<1$ .
.
$\Rightarrow$ Konvergenzkriterium erfüllt .