0/12

13 Differentialrechnung

0/12/3

13.3 Anwendung der Differentialrechnung

0/12/3/7

13.3.7 Extremwertaufgaben

0/12/3/7/1 .
Beispiel 13 - 92
Gegeben sei die Funktion $f (x) = 5 - 2 x^{2}$ . Ein Rechteck werde durch die x- und y-Achsen sowie einen Punkt der Funktion $f (x)$ begrenzt.

Abbildung 1:

f (x) = 5 - 2 x^{2}

1.: Zeigen Sie, daß es einen Punkt von $f (x)$ gibt, für den die Fläche des eingeschlossenen Rechtecks maximal wird.
2.: Welchen Wert hat x ?
3.: Wie groß ist die Fläche ?

Lösung :

1.: ,
2.: $A = x \cdot f (x) = 5 x - 2 x^{3}$ .
$\frac{d A}{d x} = 5 - 6 x^{2} = 0$
$x_{1, 2} = \pm \sqrt{5 ∕ 6}$ , nur $x_{1} = \sqrt{5 ∕ 6}$ macht Sinn. .
$\frac{d^{2} A}{d x^{2}} = - 12 x < 0$ , also Maximum für $x > 0$ .
3.: $A = 5 x_{1} - 2 x_{1}^{3} = 5 \cdot \sqrt{5 ∕ 6} - 2 \sqrt{125 ∕ 216} \approx 3, 04$