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Beispiel 13 - 93
Aus einem Baumstamm mit kreisförmigem Querschnitt soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt so herausgeschnitten werden, daß sein Widerstandsmoment

W = \frac{b \cdot h^{2}}{6}

(Breite b, Dicke h) möglichst groß wird. .

Mit dem Durchmesser 2R gilt: .
$b^{2} + h^{2} = {(2 R)}^{2} = 4 R^{2} \Rightarrow h^{2} = 4 R^{2} - b^{2}$ .
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Das Widerstandsmoment wird damit ausgedrückt: .
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$W (b) = \frac{1}{6} b h^{2} = \frac{1}{6} b (4 R^{2} - b^{2}) = \frac{1}{6} (4 R^{2} b - b^{3})$ (für 0.
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$\frac{d W}{d b} = \frac{1}{6} (4 R^{2} - 3 b^{2})$ , $\frac{d^{2} W}{d b^{2}} = - b$ .
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$\frac{d W}{d b} = 0$ ergibt: .
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$\frac{1}{6} (4 R^{2} - 3 b^{2}) = 0 \Rightarrow b_{1, 2} = \pm \frac{2}{3} \sqrt{3} R$ . .
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(Der negative Wert scheidet aus). Maximum: .
$\frac{d^{2} W}{d b^{2}} (b_{1} = \frac{2}{3} \sqrt{3} R) = - \frac{2}{3} \sqrt{3} R < 0$ .
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$W_{m a x} = W (\frac{2}{3} \sqrt{3} R) = \frac{8}{27} \sqrt{3} R^{3}$ . .
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Das Ganze ließe sich auch durch die Balkendicke h ausdrücken, ist aber wesentlich aufwendiger: .
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$W (h) = \frac{1}{6} \sqrt{4 R^{2} - h^{2}} \cdot h^{2} = \frac{1}{6} \sqrt{4 R^{2} h^{2} - h^{6}}$ .

13 Differentialrechnung

13.3 Anwendung der Differentialrechnung

13.3.7 Extremwertaufgaben