Lösungsweg: Drücke alle Terme in $h$ aus!
$r=\sqrt{R^2+h^2}$
$sin\alpha =\frac{h}{r}=\frac{h}{\sqrt{R^2+h^2}}$
$\Rightarrow B=L\cdot r^{-2}\cdot \frac{h}{\sqrt{R^2+h^2}}$
$=L\cdot \frac{h}{{\sqrt{R^2+h^2}}^{\frac{3}{2}}}$

$B^{\prime }\left(h\right)=0$

$B^{\prime }=L\cdot \frac{{\left(R^2+h^2\right)}^{\frac{3}{2}}-2h^2\left(R^2+h^2\right)\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{3}{2}\right)}{{\left(R^2+h^2\right)}^3}$

$=L\frac{\left(R^2+h^2\right)-2h^2\cdot \frac{3}{2}}{{\left(R^2+h^2\right)}^{\frac{5}{2}}}$

$=\frac{L}{{\left(R^2+h^2\right)}^{\frac{3}{2}}}-\frac{3L{h}^2}{{\left(R^2+h^2\right)}^{\frac{5}{2}}}$

$\Rightarrow \frac{L\cdot {\left(R^2+h^2\right)}^{\frac{5}{2}}}{{\left(R^2+h^2\right)}^{\frac{5}{2}}}=\frac{3L{h}^2}{{\left(R^2+h^2\right)}^{\frac{5}{2}}}$

$R^2+h^2=3h^2$

$R^2=2h^2$

$h=\frac{R}{\sqrt{2}}$

$B^{″}=\frac{-\frac{3}{2}\cdot 2L\cdot 2h}{{\left(R^2+h^2\right)}^{\frac{5}{2}}}-\frac{12Lh{\left(R^2+h^2\right)}^{\frac{5}{2}}-6L{h}^2\cdot \frac{5}{2}{\left(R^2+h^2\right)}^{\frac{3}{2}}\cdot 2h}{{\left(R^2+h^2\right)}^{\frac{5}{2}}}$

$=\frac{-6Lh}{{\left(R^2+h^2\right)}^{\frac{5}{2}}}-\frac{12Lh}{{\left(R^2+h^2\right)}^{\frac{5}{2}}}+\frac{30L{h}^3}{{\left(R^2+h^2\right)}^{\frac{7}{2}}}$

$=-\frac{18Lh}{{\left(R^2+h^2\right)}^{\frac{5}{2}}}+\frac{30L{h}^3}{{\left(R^2+h^2\right)}^{\frac{7}{2}}}$


$B^{″}\left(h=\frac{R}{\sqrt{2}}\right)=-\frac{18LR}{\sqrt{2}\cdot {\left(\frac{3}{2}{R}^2\right)}^{\frac{5}{2}}}+\frac{30L{R}^3}{2\cdot \sqrt{2}\cdot {\left(\frac{3}{2}{R}^2\right)}^{\frac{7}{2}}}$

$=L\cdot \frac{-18\cdot R\cdot \frac{3}{2}{R}^2+\frac{30}{2}\cdot \frac{R^2}{\sqrt{2}}}{2\cdot \sqrt{2}\cdot {\left(\frac{3}{2}{R}^2\right)}^{\frac{7}{2}}}<0\text{, da}$

$-9\cdot 3+\frac{15}{\sqrt{2}}<0$

d.h. $h=\frac{R}{\sqrt{2}}$ ist ein Maximum.