0/12

13 Differentialrechnung

0/12/3

13.3 Anwendung der Differentialrechnung

0/12/3/9

13.3.9 Diffusion, Arzneimittelverabreichung

0/12/3/9/8 .
Im peripheren Kompartiment kommt es dabei zu einem Anstieg, der nach Erreichung eines Maximums zu einem Abfall und zur Entleerung führt. .
Das Zeitverhalten lässt sich durch zwei gekoppelte Differentialgleichungen beschreiben, die man durch folgende Überlegungen bekommt: .
Die Konzentration $C_{1}$ im zentralen Kompartiment vermindert sich proportional zur zur momentanen Konzentration durch Elimination mit der Eliminationskonstanten $k_{e} : - k_{e} C_{1}$ . .
Des weiteren ändert sich $C_{1}$ durch den Abfluss in das periphere Kompartiment, was formal ebenfalls einer Elimination entspricht: $- k_{12} C_{1}$ . .
Umgekehrt fließt das Pharmakon aus dem peripheren in das zentrale Kompartiment zurück. Dieser Rückfluss ist proportional zur Konzentration $C_{2}$ , wird aber positiv gerechnet, da er die Konzentration im zentralen Kompartiment erhöht: $+ k_{21} C_{2}$ . .
Insgesamt ergibt sich .
$\frac{d C_{1}}{d t} = - (k_{e} + k_{12}) \cdot C_{1} + k_{21} C_{2}$ .
Im peripheren Kompartiment hat man, bis auf die Elimination, die gleiche Bilanz, nur dass die Vorzeichen umgekehrt gewählt werden müssen, da jeder Verlust des peripheren Kompartiments ein Gewinn des zentralen Kompartiments, und umgekehrt, ist: .
$\frac{d C_{2}}{d t} = k_{12} \cdot C_{1} - k_{21} C_{2}$ .
Auflösen lässt sich dieses Differentialgleichungssystem (s. Mathematik II), in dem man für $C_{1}$ und $C_{2}$ den Ansatz .
$C_{1} = A_{1} \cdot e^{- k_{α} \cdot t} + B_{1} \cdot e^{- k_{β} \cdot t}$ und .
$C_{2} = A_{2} \cdot e^{- k_{α} \cdot t} + B_{2} \cdot e^{- k_{β} \cdot t}$ wählt. .
Zu Beginn ist $C_{1} (0) = \frac{D}{V}$ (also die Dosis verteilt auf das Volumen) und $C_{2} (0) = 0$ . .
Mit den Hilfsgrößen .
$S = k_{1} + k_{12} + k_{21}$ und .
$Q = 4 \cdot k_{e} \cdot k_{12}$ wird .
$k_{α} = \frac{1}{2} (S + \sqrt{S^{2} - Q})$ und .
$k_{β} = \frac{1}{2} (S - \sqrt{S^{2} - Q})$ . .

Qualitativ sieht die Lösung so aus (für $e^{- 0.4 t} - e^{- 0.5 t}$ ) .